2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学全真模拟试卷(解析版)
2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学全真模拟试卷(一)
2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学全真模拟试卷（一）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{2A =，3，4，6，7}，{2B =，3，5，7}，则(A B = )A ．{2，3，5}B ．{2，3，7}C ．{2，3，5，7}D ．{2，3，4，5，6，7}2．（5分）复数3321i z i-=+的虚部为( )A ．12- B ．1-C ．52D ．123．（5分）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德⋅黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．其定义黎曼函数()R x 为：当(q x p p =，q 为正整数，qp是既约真分数）时1()R x p=，当0x =或1x =或x 为[0，1]上的无理数时()0R x =．已知a 、b 、a b +都是区间[0，1]内的实数，则下列不等式一定正确的是( )A ．()R a b R +（a ）R +（b ）B ．()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）C ．()R a b R +（a ）R +（b ）D ．()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）4．（5分）已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为( ) A ．12B ．24C ．36D ．485．（5分）已知球O 的半径为8，矩形ABCD 的顶点都在球O 的球面上，球心O 到平面ABCD 的距离为4，则此矩形的最大面积为( ) A ．96B ．48C ．32D ．246．（5分）已知向量||2AB =，||1CD =，且|2|23AB CD -=，则向量AB 和CD 的夹角为() A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒7．（5分）在平面直角坐标系内，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 为不同的两点，直线l 的方程为0ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，下面四个命题中的假命题为( )A ．存在唯一的实数δ，使点N 在直线l 上B ．若1δ=，则过M ，N 两点的直线与直线l 平行C ．若1δ=-，则直线经过线段M ，N 的中点D ．若1δ>，则点M ，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M ，N 的延长线相交 8．（5分）设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．（5分）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数H ，使得对任意的n N +∈，都有||n S H <，则称数列{}n a 为“和有界数列”．下列说法正确的是( )A ．若{}n a 是等差数列，且公差0d =，则{}n a 是“和有界数列”B ．若{}n a 是等差数列，且{}n a 是“和有界数列”，则公差0d =C ．若{}n a 是等比数列，且公比||1q <，则{}n a 是“和有界数列”D ．若{}n a 是等比数列，且{}n a 是“和有界数列”，则{}n a 的公比||1q <10．（5分）甲、乙两类水果的质量（单位：)kg 分别服从正态分布1(N μ，21)σ，2(N μ，22)σ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( )A ．乙类水果的平均质量20.8kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数2 1.99σ=11．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ．则下列命题正确的是()A ．当102CQ <<时，S 为四边形 B ．当12CQ =时，S 不为等腰梯形C ．当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =D ．当1CQ =时，S 612．（5分）已知定义域为A 的函数()f x ，若对任意的1x ，2x A ∈，都有1212()()()f x x f x f x ++，则称函数()f x 为“定义域上的优美函数”．以下函数是“定义域上的优美函数”的有( ) A ．211()1,[,]22f x x x =+∈-B ．()x f x e =，x R ∈C ．()sin f x x =，[0x ∈，]πD ．3()log f x x =，[2x ∈，)+∞三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知复数z 在复平面内对应点是(1,2)-，i 为虚数单位，则21z z +=- ． 14．（5分）若函数()f x 是偶函数，对任意x R ∈都有(2)()f x f x +=，且[1x ∈-，0]时，()f x x =-，则方程()f x lgx =的实根个数为 ．15．（5分）已知四面体ABCD 的棱都相等，G 为ABC ∆的重心，则异面直线AG 与CD 所成角的余弦值为 ．16．（5分）我国南北朝时期的数学家祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子），提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．已知曲线2:C y x =，直线l 为曲线C 在点(1,1)处的切线．如图所示，阴影部分为曲线C 、直线l 以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω．过(0，)(01)y y 作Ω的水平截面，所得截面面积S = （用y 表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出Ω体积为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知数列{}n a 中，15a =且1221(2n n n a a n -=+-且*)n N ∈． （1）证明：数列1{}2n na -为等差数列； （2）求数列{1}n a -的前n 项和n S ．18．（12分）如图，郊外有一边长为200m 的菱形池塘ABCD ，塘边AB 与AD 的夹角为60︒，拟架设三条网隔BE ，BF ，EF ，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE 与BF 相互垂直，E ，F 两点分别在塘边AD 和DC 上，区域BEF 为荷花种植区域．记ABE θ∠=，荷花种植区域的面积为2Sm ．（1）求S 关于θ的函数关系式； （2）求S 的最小值．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12CA CB AA ===，M ，N 分别是1A B 与1CC 的中点，G 为ABN ∆的重心． ()I 求证：MG ⊥平面ABN ；（Ⅱ）求二面角1A AB N --的正弦值．20．（12分）进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量．某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行．为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如表：（1）根据表中周一到周五的数据，求y 关于x 的线性回归方程．（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为121()()ˆ()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 21．（12分）已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为y x =截圆222:O x y a +=与椭圆E 所得的弦长之比为，圆O 、椭圆E 与y 轴正半轴的交点分别为P ，A ．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设点0(B x ，00)(0y y ≠且01)y ≠±为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线AB ，AC 分别交x 轴于点M ，N ，证明：tan tan OPM ONP ∠=∠． 22．（12分）已知函数3224()233f x x x =-+，()()xg x e ax x R =-∈． （1）若()f x 在区间[5a -，1]a -上的最大值为43，求实数a 的取值范围； （2）设3()()12h x f x x =-+，(),()()()(),()()h x h x g x F x g x h x g x ⎧=⎨>⎩，记1x ，2x ，n x ⋯为()F x 从小到大的零点，当3a e 时，讨论()F x 的零点个数及大小．2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学全真模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{2A =，3，4，6，7}，{2B =，3，5，7}，则(A B = )A ．{2，3，5}B ．{2，3，7}C ．{2，3，5，7}D ．{2，3，4，5，6，7}【解答】解：{2A =，3，4，6，7}，{2B =，3，5，7}，{2AB ∴=，3，7}．故选：B ．2．（5分）复数3321i z i-=+的虚部为( )A ．12-B ．1-C ．52D ．12【解答】解：33232(32)(1)5511(1)(1)222i i i i i iz i i i i -++--=====-+++-，∴复数3321i z i -=+的虚部为12-．故选：A ．3．（5分）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德⋅黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．其定义黎曼函数()R x 为：当(q x p p =，q 为正整数，qp是既约真分数）时1()R x p=，当0x =或1x =或x 为[0，1]上的无理数时()0R x =．已知a 、b 、a b +都是区间[0，1]内的实数，则下列不等式一定正确的是( )A ．()R a b R +（a ）R +（b ）B ．()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）C ．()R a b R +（a ）R +（b ）D ．()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）【解答】解：设{|,,,}qA x x p q p==为正整数是既约真分数，{|0B x x ==或1x =或x 是[0，1]上的无理数}，①当a A ∈，b A ∈，则()R a b R +（a ）R +（b ），()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）； ②当a B ∈，b B ∈，则()R a b R +=（a ）R +（b ），()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）0=；③当a Ab B∈⎧⎨∈⎩或a Bb A∈⎧⎨∈⎩，则()R a b R+（a）R+（b），()R a b R⋅（a）R⋅（b）．综上，选项B一定正确．故选：B．4．（5分）已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为()A．12B．24C．36D．48【解答】解：根据题意，如图的三棱锥中，设6条棱为1、2、3、4、5、6，分析可得1、4，2、6，3、5不能分到同一组，分2步进行分析：①，将6种化工产品分成3组，其中1、4，2、6，3、5不能分到同一组，有222642333218C C CA-⨯-=种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应3个仓库，有336A=种情况，则不同的安全存放的种数有8648⨯=种；故选：D．5．（5分）已知球O的半径为8，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABCD 的距离为4，则此矩形的最大面积为()A．96B．48C．32D．24【解答】解：球O 的半径为8，矩形ABCD 的顶点都在球O 的球面上， 球心O 到平面ABCD 的距离为4，∴22184432BD =-=， 83BD ∴=，故2221922AB AD BD AB AD +==⋅⋅，当且仅当AB AD =时取等号， 故当AB AD =时，矩形ABCD 的面积最大， 解得2296AB AD ==，∴此矩形的最大面积296S AB ==．故选：A ．6．（5分）已知向量||2AB =，||1CD =，且|2|23AB CD -=，则向量AB 和CD 的夹角为() A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【解答】解：据条件： 2(2)AB CD -2244AB AB CD CD =-+ 444AB CD =-+12=；∴1AB CD =-；∴1cos ,2||||AB CD AB CD AB CD <>==-；∴向量,AB CD 的夹角为120︒．故选：C ．。
2021年高考数学一模试卷(江苏省) (2)(含答案解析)
2021年高考数学一模试卷（江苏省） (2)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，则A∩B=____．2.已知复数z=2+3i ，则|z|=．3.从由数字1，2，3所组成的所有两位数中随机抽取一个数，则该数为没有重复数字的两位数的概率为________．4.如图，某报刊亭老板根据以往报纸的销售记录，绘制了某100天的报纸日销售量(单位：份)的频率分布直方图(每组包含最小值，不包含最大值)，不慎将频率分布直方图弄污，则这家报刊亭在这100天中，报纸日销售量在[100,150)内的天数为________．5.执行如图所示的流程图，则输出的M应为______6.已知双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程是y=±2x，那么此双曲线的离心率为______ ．7.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P为棱AA1上任意一点，则四棱锥P−BDD1B1的体积为______8. 已知p:x ≤1，q:x ≤a ，若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是_________．9. 在△ABC 中，若AC =6，cosB =45，C =π4,则AB =____．10. 已知数列的前{a n }的前n 项和为S n =2n+1,b n =log 2(a n 2⋅2a n )，数列的{b n }的前n 项和为T n ，则满足T n >1024的最小n 的值为______．11. 已知集合P ={−4,−2,0,2,4},Q ={x|−1<x <3}，则P ∩Q =_______.12. 已知函数f(x)的图象关于原点对称，当x <0时，f(x)=x(1−x)，则当x >0时，函数f(x)=__________．13. 在△ABC 中，AC =4，M 为AC 的中点，BM =3，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．14. 若点A(a,2)既是曲线y =mx 2上的点，又是直线x +y =0上的点，则m =________．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)，x ∈R ，(其中A >0,ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图像上的一个最低点为M (2π3,−2)．(1)求f (x )的解析式．(2)当x ∈[0,π12]时，求f (x )的最值．16. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC =60°，PA =AC ，PB =PD =√2AC ，E 是PD 的中点，求证：(1)PB//平面ACE；(2)平面PAC⊥平面ABCD．17.如图，在圆心角为变量2θ(0<2θ<π)的扇形OAB内作一半径为r的内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，圆P与圆Q相切于C点，圆P和圆Q与半径OA分别切于E，D两点．(1)当圆Q的半径不低于OA时，求θ的最大值；9(2)设BH为点B到半径OA的距离，当BH取得最大值时，扇形被称之为“最理想扇形”.求“最PE理想扇形”的面积．18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a<b<0)的左右焦点分别为F1,F2，椭圆C过点P(1,√22)，且PF2垂直于x轴．(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作出直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设这条直线的斜率分别为k1,k2，且k1+k2=2，证明：直线AB过定点．19.已知数列{a n}中，a1=1，a n a n+1=(12)n，(n∈N∗)(1)求a1，a2，a3，a4(2)求证：数列{a2n}与{a2n−1}(n∈N∗)都是等比数列．20.已知函数f(x)=x4−4x3+ax2−1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．(1)求a的值；(2)在区间[−2,2]上，试求函数f(x)的最大值和最小值．21.已知矩阵A=[12−14]，向量α=[74].(1)求A的特征值和对应的特征向量；(2)计算A5α的值．22.在极坐标系中，已知直线与圆ρ=acosθ(a>0)相切，求a的值．23.设x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，且4x+3y+2z=√29，求x+y+z的值．24.若直线x=m与抛物线y2=4√3x交于A、B两点，F是其焦点，若△ABF为等边三角形，求m的值．25.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知，a2+a12=24.S11=121(1)求{a n}的通项公式；(2)令b n=1，T n=b1+b2+⋯+b n，若24T n−m≥0对一切n∈N∗成立，求实数m的最a n+1a n+2大值．【答案与解析】1.答案：{1,6}解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题目．由交集的定义直接得出即可．解：∵A={−1,0，1，6}，B={x|x>0,x∈R}，∴A∩B={1,6}．故答案为{1,6}．2.答案：√13解析：本题考查复数模的求法，根据复数的求模公式计算即可．解：因为z=2+3i，所以|z|=√22+32=√13．故答案为√13．3.答案：23解析：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件个数n=3×3=9，该数为没有重复数字的两位数包含的基本事件个数m=3×2=6，由此能求出所求概率．解：从由数字1，2，3所组成的所有两位数中随机抽取一个数，基本事件个数n=3×3=9，该数为没有重复数字的两位数包含的基本事件个数m=3×2=6，∴该数为没有重复数字的两位数的概率为p=69=23．故答案为：23．4.答案：30解析：本题主要考查频率分布直方图，考查考生分析问题、解决问题的能力，是基础题.利用据矩形面积和为1即可求解．解：由题图知，没有被弄污的频率的和为50×(0.003+0.005+0.004+0.002)=0.7，所以被弄污这组的频率为1−0.7=0.3，所以这家报刊亭在这100天中，报纸日销售量在[100,150)内的天数为100×0.3=30．5.答案：2解析：解：由题意，执行程序框图，可得i=1，满足条件，则M=11−2=−1，i=2，满足条件，则M=11−(−1)=12，i=3，满足条件，则M=11−12=2，i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．故答案为：2模拟执行程序，依次写出每次循环得到的M，i的值，当i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．6.答案：√5解析：解：∵焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±2x，∴设双曲线方程为x2λ−y24λ=1，λ>0，∴双曲线的标准方程为x2λ−y24λ=1，∴a2=λ，b2=4λ，c2=5λ，∴此双曲线的离心率e=√5λ√λ=√5．故答案为：√5由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±2x，知双曲线的标准方程可设为x2λ−y24λ=1，由此能求出此双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意双曲线渐近线方程的合理运用．7.答案：13解析：四棱锥P−AA1C1C的体积等于三棱柱的体积减去两个三棱锥的体积．本题考查了正方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于基本知识的考查．解：V ABD−A1B1D1=12V正方体=12，V P−BDD1B1=23V ABD−A1B1D1=13故答案为：13．8.答案：(−∞,1)解析：解：∵p是q的必要不充分条件，所以q要真包含于p，通过数轴可判断1位于a的右侧，∴a<1，即a的取值范围为(−∞,1)．故答案为：(−∞,1)．p是q的必要不充分条件，所以q要真包含于p，可判断1与a的大小．本题主要考查简易逻辑推理，通过数轴解决，属于基础题．9.答案：5√2解析：本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型．首先根据cosB=45求出sin B，再利用正弦定理即可求解．解：∵cosB=45，∴B为锐角，∴sinB=35，∵AC=6，C=π4,由正弦定理得ACsinB =ABsinC，∴635=√22，∴AB=5√2．故答案是5√2．10.答案：9解析：解：n≥2，a n=S n−S n−1=2n+1−2n=2n.n=1，a1=S1=4．∴a n={4,n=12n,n≥2．∴b1=log2(42×24)=8，n≥2时，b n=log2[(2n)2⋅22n]=2n+2n．数列的{b n}的前n项和为T n=8+4(2n−1−1)2−1+2×n(n+1)2=2n+1+4+n2+n．由T n>1024，即满足2n+1+4+n2+n>1024的最小n的值为9．故答案为：9．n≥2，a n=S n−S n−1.n=1，a1=S1=4.可得a n.b1=log2(42×24)=8，n≥2时，b n=log2[(2n)2⋅22n]=2n+2n.利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：{0,2}解析：本题考查了集合的交集及其运算，属于基础题． 解：∵P ={−4,−2,0,2,4},Q ={x|−1<x <3}， ∴P ∩Q ={0,2}， 故答案为{0,2}．12.答案：x(1+x)解析：当x >0时，−x <0，f(x)=−f(−x)=−[(−x)(1+x)]=x(1+x)．13.答案：5解析：解：∵M 为AC 的中点，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=36，① ∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16，② ①−②得：4BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =20， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5． 故答案为：5．由题意可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，对两式平方相减即可得出答案． 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，平面向量的数量积运算，属于在中档题．14.答案：12解析：本题主要考查了点与直线及曲线的关系，考查了计算能力，属于基础题．由题意，将点A(a,2)代入直线方程，可得a =−2，则点A(−2,2)在曲线y =mx 2上，代入可求出m 的值．解：因为点A(a,2)在直线x +y =0上， 所以a +2=0，即a =−2， 又点A(−2,2)在曲线y =mx 2上， 所以4m =2，解得m =12． 故答案为12．15.答案：解：①由T =π，可知ω=2πT=2，又图像上有最低点M (2π3,−2),∴A =2， 又有2sin (4π3+φ)=−2得sin (4π3+φ)=−1∴4π3+φ=−π2+2kπ ，k ∈z故φ=−11π6+2kπ k ∈z 又φ∈(0,π2) ∴φ=π6 ∴f (x )的解析式为f (x )=2sin (2x +π6)．(2)∵x ∈[0,π12] ∴2x +π6∈[π6,π3] 又正弦函数y =sinx 在[0,π2]上单调递增 又[π6,π3]⊆[0,π2]∴当2x +π6=π6即x =0时，f (x )min =1 当2x +π6=π3即x =π12时，f (x )max =√3．解析：此题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．(1)由题意知，A =2，T =π，可求得ω=2πT=2，由ω·2π3φ=2kπ−π2,k ∈Z ，可求得φ=π6，从而可求f(x)的解析式； (2)由x 的范围求得的范围，利用正弦函数的单调性即可求得f(x)的最值．16.答案：证明：(1)连BD 交AC 于点O ，连接EO ，则O 为BD 的中点，∵E 为PD 的中点， ∴PB//OE ，∵OE ⊂平面EAC ，PB ⊄平面EAC ， ∴PB//平面ACE ；(2)∵底面ABCD 是菱形，∠ABC =60°， 设AB =BC =CD =DA =AC =a ，∵PA =AC ， ∴PA =AB =a ，PB =√2a ，∴PA ⊥AB ，同理可得PA ⊥AD ，∵AB ∩AD =A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ， 又PA ⊂平面PAC ， 故平面PAC ⊥平面ABCD ．解析：本题主要考查了线面平行，面面垂直的判定，属于基础题． (1)连BD 交AC 于点O ，则PB//OE ，从而得到PB//平面ACE ； (2)先证得PA ⊥平面ABCD ，从而得到面面垂直．17.答案：解：(1)由题意得OP =PE sinθ=rsinθ，又OP +PE =OA ，∴rsinθ+r =OA ，∴OA =1+sinθsinθr ，又OQ =QDsinθ且OP =OQ +CQ +PC ，∴rsinθ=QDsinθ+QD +r ， ∴QD =1−sinθ1+sinθr则当圆Q 的半径不小于OA9，即QD ≥OA9也即1−sinθ1+sinθr ≥1+sinθ9sinθr ，整理得10sin 2θ−7sinθ+1≤0，即15≤sinθ≤12， 又θ∈(0,π2)，y =sinθ在θ∈(0,π2)单调增， 故θ的最大值为π6；(2)∵BH =OBsin2θ=sin2θ×1+sinθsinθr =2cosθ(1+sinθ)r ，∴BH PE=2cosθ(1+sinθ)，设f(θ)=cosθ(1+sinθ)，θ∈(0,π2)，则f′(θ)=−sinθ(1+sinθ)+cos 2θ=−2sin 2θ−sinθ+1 令f′(θ)>0可解得−1<sinθ<12，可得θ∈(0,π6)， 同理令f′(θ)<0可得θ∈(π6,π2)，则当θ∈(0,π6)时，f(θ)为增函数，当θ∈(π6,π2)时，f(θ)为减函数， ∴当θ=π6时，BHPE 取得最大值，此时OA =1+1212r =3r ，故“最理想扇形”的面积为12×π6×OA 2=π12×(3r)2=34πr 2解析：(1)由题意得OA =1+sinθsinθ，QD =1−sinθ1+sinθr ，由QD ≥OA 9可得sinθ的不等式，解不等式解正弦函数的单调性可得；(2)可得BHPE =2cosθ(1+sinθ)，设f(θ)=cosθ(1+sinθ)，θ∈(0,π2)，由导数法可得函数的最值，可得结论．本题考查导数和三角函数的综合应用，涉及新定义和导数法判函数的单调性，属难题．18.答案：(1)解：∵椭圆C 过点P(1,√22)，∴1a 2+12b 2=1①，∵PF ⊥x 轴，则c =1，∴a 2−b 2=1，②， 由①②得a 2=2，b 2=1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；(2)证明：当直线AB 的斜率不存在时， 设A(x 0,y 0)，则B(x 0,−y 0)， 由k 1+k 2=2得y 0−1x 0+ −y 0−1 x 0=2，得x 0=−1，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y =kx +m(m ≠1)， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 22+y 2=1y =kx +m⇒(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0，得x 1+x 2= −4km 1+2k2 ,x 1⋅x 2= 2m 2−21+2k2，k 1+k 2=2⇒ y 1−1x 1 + y 2−1x 2 =2⇒(kx 2+m−1)x 1+(kx 1+m−1)x 2x 1x 2 =2，即(2−2k)x 2x 1=(m −1)(x 2+x 1)⇒(2−2k)(2m 2−2)=(m −1)(−4km)， 由m ≠1，(1−k)(m +1)=−km ⇒k =m +1， 即y =kx +m =(m +1)x +m ⇒m(x +1)=y −x ，故直线AB 过定点(−1,−1)．解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系及斜率计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)根据题意可得1a 2+12b 2=1，a 2−b 2=1，联立解出即可得出结果；(2)对直线AB 的斜率分类讨论：当直线AB 的斜率不存在时，利用k 1+k 2=2，及其斜率计算公式即可得出．当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y =kx +m(m ≠1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线方程与椭圆方程联立化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．19.答案：(1)解：∵数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=(12)n ，∴a 1=1，a 2=12，a 3=12，a 4=14； (2)证明：∵a n a n+1=(12)n ， ∴a n+2a n=12，∴数列a 1，a 3，…a 2n−1，是以1为首项，12为公比的等比数列； 数列a 2，a 4，…，a 2n ，是以12为首项，12为公比的等比数列．解析：(1)利用数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=(12)n ，可求a 1，a 2，a 3，a 4； (2)由a n a n+1=(12)n ，可得a n+2a n=12，根据等比数列的定义判定出数列{a 2n }与{a 2n−1}(n ∈N ∗)都是等比数列．本题主要考查了等比关系的确定．解题的关键是对等比数列基础知识点的熟练掌握．20.答案：解：(1)由f(x)=x 4−4x 3+ax 2−1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．∴当x =1时，f(x)有极大值，∴f′(1)=0.又∵f′(x)=4x 3−12x 2+2ax ， ∴f′(1)=4−12+2a =0⇒a =4．当a =4时，f′(x)=4x(x 2−3x +2)=4x(x −1)(x −2)， 在(0,1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增； 在(1,2)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，则x =1是极大值点，符合题设． ∴a =4．(2)令f′(x)=4x 3−12x 2+8x =0，得x =0，1，2． 此时，f(0)=−1，f(1)=0，f(2)=−1，f(−2)=63， ∴f(x)max =63，f(x)min =−1．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了计算能力与推理能力，属于中档题． (1)根据函数f(x)=x 4−4x 3+ax 2−1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减，知道当x =1是f(x)的极大值点，令f′(x )=0，可得a 的值，再验证即可；(2)由(1)得f′(x)=4x 3−12x 2+8x =0，得x =0，1，2，由此能求出函数f(x)在区间[−2,2]上的最大值和最小值．21.答案：解：(1)矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−1−21λ−4|=λ2−5λ+6=0，解得：λ1=2，λ2=3，当λ1=2时，得α1=[21]；当λ2=3时，得α2=[11]；(2)由α=mα1+nα2，可得：{2m +n =7m +n =4，解得m =3，n =1，∴A 5α=A 5(3α1+α2)=3(A 5α1)+A 5α2=3(λ15α1)+λ25α2=3×25[21]+35[11]=[435339]．解析： 本题考查矩阵的特征值与特征向量的计算，注意解题方法的积累，属于基础题． (1)通过令矩阵A 的特征多项式为f(λ)=0，可得特征值，进而可得对应的特征向量； (2)通过解方程组α=mα1+nα2，可得m =3，n =1，进而可得结论．22.答案：解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系xoy ，则将直线化为普通方程：，即x −√3y −4=0.将圆ρ=acosθ(a>0)化为普通方程：x2+y2=ax，即(x−a2)2+y2=a24.因为直线与圆相切，所以|a2−4|2=a2 (a>0)，解得a=83.解析：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充要条件的应用．首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果．23.答案：解：由柯西不等式可得，(x2+y2+z2)(42+32+22)≥(4x+3y+2z)2=29，则29≥(4x+3y+2z)2，又4x+3y+2z=√29，∴x4=y3=z2，代入x2+y2+z2=1，解得x=29，y=29，z=29，∴x+y+z=9√2929．解析：利用柯西不等式可得29≥(4x+3y+2z)2，然后结合条件即可得到x+y+z的值．本题考查了柯西不等式的应用，属基础题．24.答案：解：抛物线y2=4√3x的焦点F坐标为(√3,0)．将直线x=m代入抛物线方程y2=4√3x，可得y2=4√3m(m>0)，所以y=±√4√3m，即|AB|=2√4√3m．由条件可知|AB|=|AF|，则2√4√3m=m+√3，两边平方解得m=7√3−12或7√3+12．解析：本题考查抛物线的定义和与直线的关系，属于基础题．首先将直线x=m代入抛物线方程可得|AB|=2√4√3m.|AF|=m+√3，结合条件即可得到m的值．25.答案：解：(1)∵等差数列{a n }中，a 2+a 12=24，S 11=121．∴{2a 7=2411a 6=121，解得{a 7=12a 6=11． ∴d =a 7−a 6=12−11=1， ∴a n =a 6+(n −6)d =n +5,n ∈N ∗．(2)∵b n =1a n+1⋅a n+2=1(n +6)(n +7)=1n +6−1n +7∴T n =17−18+18−19+19−110+⋯+1n+6−1n+7=17−1n+7=n7(n+7)，∴{T n }是递增数列，T n ≥T 1=156， ∵24T n −m ≥0,对一切n ∈N ∗成立，∴m ≤24(T n )min =2456=37∴实数m 的最大值为37．解析：(1)利用等差数列的通项公式以及前11项和，求出数列的第6，7项与公差，然后求解通项公式．(2)求出通项公式，利用裂项法求解数列的和，通过不等式求解即可． 本题考查数列求和，通项公式的应用，考查转化思想以及计算能力．。
江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高三上学期10月测试数学试题
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型：I(t)= ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长
率 r 与 R0，T 近似满足 R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6．据此，在新冠
肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 3 倍需要的时间约为(ln2=0.69)（ ）
得
1 2
x
3
，其解集为
(
1 2
, 3)
，于是得“2
x2
-5x-3<0”的一个必
要不充分条件对应集合必真包含 ( 1 , 3) ， 2
对于 A，A 选项所对集合等于 ( 1 , 3) ，A 不是； 2
对于 B，B 选项所对集合 (3, 1 ) 与 ( 1 , 3) 互不包含，B 不是；
2
2
5
对于 C，C 选项所对集合 (1,6) ( 1 , 3) ，C 是； 2
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型：I(t)= ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长
率 r 与 R0，T 近似满足 R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6．据此，在新冠 肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 3 倍需要的时间约为(ln2=0.69)（ ）
1
A. 2.1 天
B. 2.4 天
C. 2.8 天
D. 3.6 天
7. 在等腰梯形 ABCD 中， AB//CD ， AB 2CD 4 ， AD BC 5 ， E 为 CD 的中
2021-2022学年全国版天一大联考高考数学一模试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米2．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<3．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m β D ．n ⊂α，m n ⊥4．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）5．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．6．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ）A ．34- B ．34C ．43-D ．437．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>11．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米12．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省无锡市2021届新高考数学一模试卷含解析
江苏省无锡市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】可判断函数()f x 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<.【详解】12()111e e x x xf x e -==-++在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>， 所以c b a <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.2． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A BC ．D ．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.3．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.4．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3πB ．3π-C ．23π D ．23π-【答案】B 【解析】 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 故选：B本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.5．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 【答案】B 【解析】 【分析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将13BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA=-代入化简即可. 【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-2()3BA BC BA AQ =+-+1233BA BC =+-⨯13AC 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.6．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321-D ．1962-【答案】D【分析】该题可以看做是圆上的动点到曲线ln y x =上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线ln y x =上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果. 【详解】由题意可得，其结果应为曲线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(),ln M m m ，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1'k m=，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+，整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件，其到圆心()2,3C -的距离为()()22213032d =--+-=，故其结果为()23211962-=-，故选D. 【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.7． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．8．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ） A ．22παβ+=B ．4παβ+=C ．4αβ-=πD ．22παβ+=【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得cos 2tan tan 1sin 24βπαββ⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭,即可求得结果. 【详解】2222cos 2cos sin 1tan tan tan 1sin 2cos sin 2sin cos 1tan 4ββββπαβββββββ-+⎛⎫====+ ⎪-+--⎝⎭，所以4παβ=+，即4αβ-=π. 故选:C. 【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.9．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭ D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x='-， 当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当1a e ≥时，()0g x '>，故()g x 在区间()0,e 上单调递增； 当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0g x '=，解得1x a=， 故()g x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立，只需()111,54g g e a ⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭， 即可得111,154alna e+<-≥， 解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题. 10．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+i B ．1−iC ．−1+iD ．−1−i【答案】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得． 详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题． 11．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数()f x '，由()0f x '=有不等的两实根，即>0∆可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论． 【详解】()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-，()2221()4f x x bx a c ac '∴=+++-.若()f x 存在极值，则()2221404b ac ac -⨯⨯+->，222a c b ac ∴+-<又2221cos ,cos 22a cb B B ac +-=∴<.又()0,,3B B π∈π∴<<π． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键．12．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y =C ．2y x =± D ．y =【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b ，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b，∴3b a =3=,双曲线的渐近线方程为：3x y x=±=, 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
八省联考江苏天一中学考前热身模拟试题(一)数学解析
2021届高三新高考统一适应性考试 江苏省天一中学考前热身模拟试题数学试题一､选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.1．(本题5分)已知集合{15}A x x =-<<，{}0B x x =≥，则A B =（ ）A ．{5}x x <B ．{05}x x <<C ．{05}x x ≤<D ．{1}x x >-【答案】C【解析】由已知得{05}AB x x =≤<，故选C2．(本题5分)已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425i C ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C【解析】由已知得342525z i =-，z 的实部为325，虚部为425-，共轭复数为342525i +，模为不为模为15，故选C3．(本题5分)将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后得到函数π()sin(2)6g x x =+的图象，则函数()f x 的一个单调减区间可以为（ ）A ．π5π[,]1212-B ．π5π[,]66-C ．π5π[,]36-D ．π2π[,]63【答案】A【解析】由已知得()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<向右平移4π个单位长度得到()sin(2)2g x x πϕ=+-，所以2=+2=2263k k πππϕπϕπ-+，(0)ϕπ<<，∴2=3πϕ，()sin(232)f x x π=+，()f x 的单调减区间是123222322k k x πππππ≤++≤+，即151212x k k ππππ-≤≤+，A 选项符合题意4．(本题5分)设()(3lg f x x x =+，则对任意实数a b 、，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】由已知得()f x 为奇函数，0a b +≥，a b ≥-，()()f a f b ≥-，即()()0f a f b +≥，故选C 5．(本题5分)《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（ ）A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两 【答案】C【解析】由已知得五人共有40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，则中间一项丙分8两，乙与丁共有16两，乙与丁分钱和恰为丙的2倍，则丁分6两8钱，丙分8两，乙分9两2钱，故选C6．(本题5分)函数2()x x f x e e-=+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由解析式可知得(()f x f x -=-为奇函数，且定义域为[]3,3-，0x >，则中()0f x >恒成立，故选C7．(本题5分)已知点P 为函数()ln f x x =的图象上任意一点，点Q 为圆2211x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（ ）ABCD ．11e e+- 【答案】A【解析】依题意，圆心为1(,0)C e e+，设P 点的坐标为(,ln )x x ，由两点间距离公式得()22222211||ln 21+ln PC x x x e x e e e e e x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎣⎦+,21()2+f x x e x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭22+ln 1x e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭+，12ln ln ()22+2()x e x x f x x e x e e x ex -⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭，()0,f x x e '==，2ln ln 1ln =e x x x x ex x x ''--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知当()ln 0,,x x e x ∈递增，()ln ,,x x e x ∈+∞递减，故当=x e 时取得极大值也是最大值为0，ln 10x x e-≤，当()0,,x e ∈()0f x '≤，当(),,x e ∈+∞()0f x '≥，()0,f x x e '== ()0,,x e ∈()f x 单调递减，(),,x e ∈+∞()f x 单调递增，∴2min21()()e f x f e e+==，线段PQ 的长度的最1e e=，故选AA ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为0C ．常数项为20D ．二项式系数最大的项为第4项【答案】ABD【解析】所有项的二项式系数和0123456666666662=64C C C C C C C ++++++=,令=1x ，即可得到所有项的系数和为60=0，含有常数项为()3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,01234566666666,,,,,,C C C C C C C 中最大的项为36C ，第4项，，故选ABD9．(本题5分)已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在两个不同的12,x x 满足()()121f x f x =，且()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭和直线712x π=分别为()f x 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ） A ．()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性无法判断 B ．()f x 图象的一个对称中心为59,06π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的和为12D ．将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位得到()y g x =的图象，则()cos g x x =- 【答案】BC【解析】由题意可知，7+0,+,6122k k Z ωππωπϕϕπ-==+∈，即41()32k ω=+，6πωϕ= 252212312T ππππω⎛⎫=≥--= ⎪⎝⎭，则=1k ，此时23πωϕ==，，()sin(2)3f x x π=+，∴26x ππ<< ∴242333x πππ<+<，∴()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故A 错误，由592+3=206πππ⨯，∴59,06π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，故B 正确，∴,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52,366x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，min ()=()=4f x f π- 1sin()62π-=-，max ()=()=sin =1122f x f ππ，∴最大值与最小值的和为12，故C 正确，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，到sin()3y x π=+的图象，再向左平移6π个单位，得到sin()=sin()=cos 632y x x x πππ=+++，即()cos g x x =故D 错误，BC 正确 10．(本题5分)下列结论正确的是（ ）A ．若ν是直线l 方向向量，l ⊥平面α，则()R λνλ∈是平面α的一个法向量；B ．坐标平面内过点00(,)P x y 的直线可以写成2200()()0(0)A x x B y y A B -+-=+≠；C ．直线l 过点(2,3)-，且原点到l 的距离是2，则l 的方程是512260x y +-=；D ．设二次函数(2019)(2020)y x x =-+的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为(0,1). 【答案】BD【解析】A 、ν是直线l 方向向量，l ⊥平面α，则ν是平面α的一个法向量；但=0λ时，()R λνλ∈为零向量，不是平面α的一个法向量B 、过点00(,)P x y 的直线方程为22+0(0)Ax By C A B +=+≠可得00+0Ax By C +=，即00C Ax By =--，代入直线方程得2200()()0(0)A x x B y y A B -+-=+≠，故B 正确；C 、直线l 方程为过点3(2)y k x -=+，原点到l 的距离是2，则32k d ，解得5=12k ±的方程是512260x y +-=，故C 不正确D 、设二次函数(2019)(2020)y x x =-+的图象与坐标轴有三个交点分别为(2019,0)(2020,0)-、、 (0,4078380)，由相交弦定理得：20192020=20192020a ⨯⨯⨯，解得：=1a ，故另一个交点坐标为(0,1)，故D 正确11．(本题5分)已知数列{}n a ，{}n b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .且满足12n n a a n ++=，12(N)nn n b b n +⋅=∈，则下列说法正确的有( )A ．101a << B ．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥【答案】ABC【解析】解：∴数列{}n a 为递增数列，∴123a a a <<，又∴12n n a a n ++=，∴122324a a a a +=⎧⎨+=⎩， ∴12123212244a a a a a a a +>⎧⎨+>=-⎩，∴101a <<，故A 正确.∴()()()22123421226102(21)2n n n S a a a a a a n n -=++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+-=又∴{}n b 均为递增数列，∴123b b b <<，∴12(N)nn n b b n +⋅=∈∴122324b b b b =⎧⎨=⎩，∴2132b bb b >⎧⎨>⎩ ∴11b <，故B 正确.又∴()()12212213521242(21)(21)+2121n nn n n n b b T b b b b b b b b b b ---=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=+=--()()))12212121nnnb b +-≥--，∴对于任意的*n N ∈，22n n S T <，故C 正确，D 错误.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中第16题分值分配为前3分、后2分，满分共20分） 12．(本题5分)下列命题：∴2:,10p x R x x ∀∈++≥；∴000:,sin cos 2q x R x x ∃∈+=；∴():0,1x r x e x ∀∈-∞>+，；∴:s 若0ab ≠，则0a ≠的否命题，其中正确的结论是______．(填写所有正确的序号)【答案】∴∴【解析】∴2=14010x x ∆-<++≥，为真命题，∴sin cos 2sin +24x x x π⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭，不存在0x R ∈，使得00sin cos 2x x +=，为假命题，∴()1),()(1x x g x e x g x e '=+=--，当()0,()0x g x '∈-∞<，，()g x 单调递减，()(0)0g x g >=，即1x e x >+为真命题，∴若0ab ≠，则0a ≠的否命题是若=0ab ，则=0a 为假命题13．(本题5分)()623a b c +-的展开式中23ab c 的系数为______. 【答案】-6480【解析】有关23ab c 的项为()()()()23231232323236532360236480C a C b C c ab c ab c ab c⋅⋅-=⋅⋅-=- 14．(本题5分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【答案】22【分析】根据题意推出AB QA ⊥，CD QD ⊥，再根据CQD BQA ∠=∠推出2QD AQ =，在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=在三角形PDA 的边上或内的弧，从而可求出点Q到DA 的距离最大为2，即三棱锥Q ABC -的高的最大值为2，再根据三棱锥的体积公式可求得结果.【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为//AB CD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ，CD ⊥平面PAD ，因为Q 在PAD △内及边上，所以AB QA ⊥，CD QD ⊥，所以tan CD CQD DQ ∠=，tan AB BQA QA =，因为CQD BQA ∠=∠，所以CD ABDQ QA=，因为2,CD AB ==，所以QD =，在平面PDA 内，以DA 的中点为原点，线段DA 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系：则(1,0)D -，(1,0)A ，(1,3)P ，设(,)P x y，则||DQ =||QA =QD ==22(3)8x y -+=，所以Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=在三角形PDA 的边上或内的弧，如图所以，当Q 为圆22(3)8x y -+=与PA 在x 轴上方的交点时，点Q 到DA 的距离最大，令1x =，解得2y =±，所以点Q到DA 的距离最大为2，也就是三棱锥Q ABC -的高的最大值为2，因为122ABC S ==△以三棱锥Q ABC -的体积最大值为1233⨯=.故答案为：3.15．(本题5分)对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根.记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =____________；设数列{}n a 的前n 项和为n S=___. 【分析】（1）当1n =时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而求出结果. （2）令12=n nt x ，化简方程，通过构造函数的方法，找到零点的范围，即n t 得范围，分类讨论n 为奇数和偶数时n a ，求得结果. 【答案】0 1010【解析】（1）当1n =时，221log 4-=x x ，设221()log 4=--f x x x 单调递减，1()1>02=f ，(1)30f =-<，所以1112<<x ，111122<<x ，111[]02==a x （2）令12=n nt x ，则方程化为：22+1(2)log 23+=+n n n t n t n n ， 令22+1()(2)log 23=+--n f x x n x n n ，则()f x 在(0,)+∞单调递增，+1()log 302=-<n n f n n n ；+1()1>02=n f ，由零点存在定理可得：1(,)22+∃∈n n x ，()0f x =，当21()n k k +=-∈N ，21(,)2-∈n k t k ，[]1==-n n a t k 当2()n k k +=∈N ，21()2，+∈n k t k ，[]==n n a t k所以当101010102202011(1)1010===-+=∑∑k k S k k ，1010=【点睛】关键点点睛：在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=在三角形PDA的边上或内的弧，从而可求出点Q 到DA 的距离最大为2，即三棱锥Q ABC -的高的最大值为2，这是本题解题的关键，属于难题.四、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本题15分)在ABC 中，3A π=，b =∴、条件∴这两个条件中选择一个作为已知，求（∴）B 的大小；（∴）ABC 的面积 .条件∴：222b a c =+； 条件∴：cos sin a B b A =. 注：如果选择条件∴和条件∴分别解答，按第一个解答计分.【答案】（∴）4B π=（∴【分析】若选择条件∴：222b a c +=+. （∴）根据余弦定理求出4B π=；（∴）根据正弦定理求出a =sin C ，再根据面积公式可得结果.若选择条件∴：cos sin a B b A = （∴）根据正弦定理可求出4B π=；（∴）根据正弦定理求出a =sin C ，再根据面积公式可得结果.【解析】若选择条件∴：222b a c +=+.（∴）因为222b ac =+，由余弦定理222cos a c b B +-==，因为()0,B π∈，所以B π=.（∴）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 2b A a B ===又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12222=+⨯=，所以113sin 2244ABC S ab C ===△. 若选择条件∴：cos sin a B b A=.（∴）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B b A =. 又因为cos sin a B b A =，所以sin cos B B =，又因为()0,B π∈，所以4B π=.（∴）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 2b A a B ===又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12=+4=，所以11sin 22ABC S ab C ===△. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.17．(本题12分)已知数列{}n a 满足：11a =，11n n a na n +=+数列{}nb 是等比数列，并满足12b =，且11b -，4b ，51b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n=；2nn b =（2）()1122n n S n +=-⋅+. 【分析】（1）由数列{}n a 的递推公式判断数列{}n na 是常数列，从而求得{}n a 的通项公式，根据11b -，4b ，51b -成等差数列，列式求数列的公比q ，再求通项公式；（2）由（1）可知 2n nn nb c n a ==⋅，利用错位相减法求和.【解析】（1）由已知11a =，()11n n na n a +=+，所以{}n na 是常数列，所以111n na a =⋅=，故1n a n= 设{}n b 的公比是q ，由已知得()()415211b b b =-+-，所以3442q q =，所以2q，故2n n b =（2）由题意可知：2n nn nb c n a ==⋅，又121n n n S c c c c -=+++，代入可得：()1211222122n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅……∴()23412122232122n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅……∴ ∴-∴得：()123111212222222(1)2212n n n n n n S n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--所以()1122n n S n +=-⋅+.【点睛】本题考查数列的递推公式，等差数列，等比数列，错位相减法数列求和，重点考查计算能力，转化与变形，属于中档题型.18．(本题12分)如图所示的几何体中，,,2,BE BC EA AC BC AC ⊥⊥==45,ACB ∠=//,2AD BC BC AD =．(1)求证：AE ⊥平面ABCD ；(2)若60ABE ∠=，点F 在EC 上，且满足EF =2FC ，求二面角F —AD —C 的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）7【分析】（1）在ABC ∆中，根据已知的边、角条件运用余弦定理可得出AB BC ⊥，再由,BE BC AB BE B ⊥⋂=，得出BC ⊥平面ABE .，由线面垂直的性质得BC AE ⊥，再根据线面垂直的判定定理得证；（2）在以B 为原点，建立空间直角坐标系B xyz -，得出点,,,F A D C 的坐标，求出面FAD 的法向量，由（1）得EA ⊥平面ABCD ，所以EA 为平面ABCD 的一个法向量，再根据向量的夹角公式求得二面角的余弦值.【解析】（1）在ABC ∆中，2,45,BC AC ACB ==∠= 由余弦定理可得2222cos 454AB BC AC BC AC =+-⨯⨯⨯=，所以2AB =，所以222,AC AB BC =+所以ABC ∆是直角三角形，AB BC ⊥. 又,BE BC AB BE B ⊥⋂=，所以BC ⊥平面ABE .因为AE ⊂平面ABE ，所以BC AE ⊥，因为,EA AC AC BC C ⊥⋂=,所以AE ⊥平面ABCD .（2）由（1）知，BC ⊥平面ABE ，所以平面BEC ⊥平面AEB ，在平面ABE 中，过点B 作Bz BE ⊥，则Bz ⊥平面BEC ，如图，以B 为原点，BE ,BC 所在直线分别为,x y 轴建立空间直角坐标系B xyz -， 则()()()(0,0,0,0,2,0,4,0,0,,B C EA (D ,因为2EF FC =，所以44,,033F ⎛⎫⎪⎝⎭，易知()140,1,0,,,33AD AF ⎛== ⎝, 设平面ADF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,AD n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,140,33y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令z =则0,9y x ==， 所以(9,0,3n =为平面ADF 的一个法向量，由（1）知EA ⊥平面ABCD，所以(EA =-为平面ABCD 的一个法向量.设二面角F AD C --的平面角为α，由图知α为锐角，则cos 23EA n EA nα⋅===⨯⋅所以二面角F AD C --.【点睛】本题考查线面垂直关系的证明和二面角的计算，属于中档题.19．(本题12分)据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50％的高速年均增长.针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值志为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k ，并分成以下5组：[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，其统计结果及产品等级划分如下表所示：： （1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k 近似地服从正态分布()2N ,μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得10.03s ≈.记X 表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k 在区间(50.54,80.63]之外的包装胶带个数，求P(X 1)=及X 的数学期望；（精确到0.001）（2）已知每个包装胶带的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示：((1,4))t ∈房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由. 参考数据：若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.68.27P Z μσμσ-<≤+=，(22)P Z μσμσ-<≤+0.9545=，(33)0.9973P Z μσμσ-<≤+=，290.81860.0030≈，ln13 2.6≈.【答案】（1）(1)0.016P X =≈，() 5.442E X =；（2）不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资，理由见解析.【分析】（1）本小题先求样本平均数，再根据正态分布直接求解即可. （2）本小题根据题意利用导函数求函数最大值，进行比较，给出判断即可. 【解析】（1）由题意知：0.0470.6x ⨯=. ∴(2,](70.620.06,70.610.03](50.54,80.63]μσμσ-+=-+=， 而11(2)()(22)0.818622P k P k P k μσμσμσμσμσμσ-≤+=-≤++-≤+=＜＜＜. 从而质量指标值k 在区间(50.54,80.63]之外的概率为0.1814.因此12930(1)(0.8186)0.1814300.00300.18140.0163260.016P X C ==⨯≈⨯⨯=≈X 的数学期望为()300.1814 5.442E X =⨯=.（2）由题意可知，该包装胶带的质量指标值k 与对应概率如下表所示：(14)t <<故每个包装胶带的利润50.1630.320.40.10.20.22y t t t t e e =⨯+⨯+⨯+⨯-=-+ 则()0.2 2.60.213tty e e '=-+=--， 令0y '=，得ln13t =，故当(1,ln13)t ∈时，0y '>，当(ln13,4)t ∈时，0y '<，所以当ln13 2.6t =≈时，y 取得最大值，ln13max 0.2 2.6ln13 2..6 2.6 2.6 4.16y e =-+⨯≈-+⨯=（元），由已知，该生产线的年产量为1000万个，故该生产线的年盈利的最大值为4.1610004160⨯=（万元），而4160万元5000<万元，故该化工厂不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资. 【点睛】本题考查正态分布的相关知识点，函数最值问题，是偏难题.20．(本题12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F ，点P 为坐标平面内的一点，且32OP →=，1234PF PF ⋅=-，O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且2παβ+=证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析，该点坐标10(3-,0)【分析】（1）设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，运用两点的距离公式和向量数量积的坐标表示，以及椭圆的离心率公式，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，判断直线AB 的斜率不存在不成立，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理，结合直线方程和恒过定点的求法，可得所求．【解析】（1）设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，由32OP =，123·4PF PF =-可得2294m n +=，(,)(,)c m n c m n ----22229344m c n c =-+=-=-，即有23c =，即c =，又c e a ==，可得2a =，1b ==，则椭圆的方程为2214x y +=；（2）证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ,2)y ，由题意可得(2,0)M -，若直线AB 的斜率不存在，即12x x =，12y y =-，由题意可得直线MA ，MB 的斜率大于0，即120y y >，矛盾；因此直线BA 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．联立椭圆方程2244x y +=， 化为：222(14)84(1)0k x kmx m +++-=，∴∴22226416(14)(1)0k m k m =-+->，化为：2214k m +>．122814km x x k ∴+=-+，21224(1)14m x x k-=+． 由2παβ+=，可得tan tan 1αβ=，∴1212·122y y x x =++， 1212()()(2)(2)kx m kx m x x ∴++=++，化为：221212(1)(2)()40k x x mk x x m -+-++-=，222224(1)8(1)(2)()401414m km k mk m k k -∴-+--+-=++， 化为22316200m km k -+=，解得2m k =，或103m k =． ∴直线AB 的方程可以表示为2y kx k =+（舍去），或103y kx k =+，则直线AB 恒过定点10(3-,0)． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，主要考查化简运算能力，属于中档题．21．(本题12分)已知函数cos ()(,a xf x b a x=+b ∴R ). （1）当1,0a b ==时，判断函数f (x )在区间(0,)2π内的单调性;（2）已知曲线cos ()a x f x b x =+在点(,())22f ππ处的切线方程为6 2.y x π=-+(i )求f (x )的解析式; (ii )判断方程3()12f x π=-在区间(0，2π]上解的个数，并说明理由. 【答案】（1）单调递减函数；（2）(i ) 3cos ()1xf x x=-； (ii ) 3个，理由见解析. 【分析】（1）当1,0a b ==时，求得2sin cos ()x x xf x x⋅+'=-，进而得到()0f x '<，即可求得函数()f x 的单调性；（2）(i ) 求得函数的导数()'f x ，求得2()2af ππ-'=，得到26aππ-=-，求得a 的值，进而求得b 的值，即可求得函数的解析式； (ii ) 令()()312g x f x π=-+，求得()23(sin cos )x x x x g x -+'=，分(0,]2x π∈，3(,)22x ππ∈和3[,2]2x ππ∈三种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与极值，即可求解. 【解析】（1）当1,0a b ==时，cos ()x f x x =，可得2sin cos ()x x xf x x⋅+'=-， 因为(0,)2x π∈，所以sin cos 0x x x ⋅+>,即()0f x '<，所以函数()f x 在区间(0,)2π上为单调递减函数.（2）(i ) 由函数cos ()a x f x b x=+，可得2(sin cos )()a x x x f x x -⋅+'=，则2()2a f ππ-'= 因为函数()f x 在点(,())22f ππ处的切线方程为62y x π=-+，所以26aππ-=-，解得3a =，当2x π=，代入切线方程为6212y ππ=-⨯+=-，可得()12f b π==-， 所以函数()f x 的解析式为3cos ()1xf x x=-. (ii ) 令()()33cos 3122x g f x x x ππ+=-=-，则()23(sin cos )x x x x g x -+'=，∴当(0,]2x π∈时，可得()0g x '<，()g x 单调递减，又由330(,022)()62g g πππππ->-=<=， 所以函数()g x 在区间(0,]2π上只有一个零点；∴当3(,)22x ππ∈时，cos 0x <，可得()3cos 302x x g x π-=<恒成立， 所以函数()g x 在区间3(,)22ππ上没有零点；∴当3[,2]2x ππ∈时，令()sin cos h x x x x =+，可得()cos 0h x x x '=>， 所以()h x 在区间3[,2]2ππ单调递增，3(2)0,()02h h ππ><，所以存在03[,2]2x ππ∈，使得()g x 在03[,)2x π上单调递增，在0(,2]x π单调递减， 又由(2)0,()02g g ππ=<，所以函数在3[,2]2ππ上有两个零点， 综上可得，方程3()12f x π=-在(0,2]π上有3个解. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
江苏省2021年高考模拟考试数学试题与答案
江苏省2021年高考模拟考试数学试题一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|60}A x x x =--≤，{|10}B x x =-<，则A B =（ ）A. (,3]-∞B. (,2]-∞C. (,1)-∞D. [2,1)-2．复数2(1i)1+i-=（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3．如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm ，高8cm （不含杯脚），已知水的高度是4cm ，现往杯子中放入一种直径为1cm 的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（ ）A ．98颗B ．106颗C ．120颗D ．126颗4．2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO 或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．144种5．平行四边形ABCD 中,M 为CD 的中点,点N 满足2BN NC =,若AB AM AN λμ=+,则λμ+的值是（ ）A ．4B ．2C ．14D ．126．如图为我空军战机在海面上空绕台巡航，已知海面上的大气压强是760mmHg ，大气压强p （单位：mmHg ）和高度h （单位：m ）之间的关系为760ehkp -=（e 是自然对数的底数，k 是常数），根据实验知500m 高空处的大气压强是700mmHg ，则我战机在1000m 高空处的大气压强约是（结果保留整数）（ ）A. 645 mmHg B . 646 mmHg C.647 mmHg D . 648 mmHg7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，两渐近线分别为1:b l y x a =，2:bl y x a=-，过F 作1l 的垂线，垂足为M ，该垂线交2l 于点N ，O 为坐标原点，若OF FN =，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2B ．32C ．3D ．238．已知()f x x x =，对任意的x ∈R ，()()2430f ax f x +-≥恒成立，则实数a 的最小值是（ ）A ．12 B ．13 C ．16 D ．18二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．.某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润=收入-支出,根据该折线图,下列说法正确的是（ ）A . 该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B . 该企业2019年第一季度的利润约是60万元C . 该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D . 该企业2019年11月份的月利润最大 10．下列命题为真命题的是( )A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a b ＞，则122a b -> C ．若00a b >>，，则2abab a b+≥D ．若0a b >>，则lg 1lg a b > 11．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件1202020211,1,a a a >⋅>20202021(1)(1)0a a -⋅-<.则下列结论中正确的是( )A ．1q >B ．20212020S S >C ．202020221a a ⋅<D ．2020T 是数列{}n T 中的最大值12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝1，则下列说法中正确的是( )A ．存在点E ，F 使得AE ∥BFB ．异面直线EF 与C 1D 所成的角为60° C ．三棱锥B —AEF 2 D ．A 1到平面AEF 3三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知抛物线()2:20C y px p =>的交点为F ，过F 3l 交抛物线C 与A 、B 两点，若线段AB 3C 的方程是________．14．已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α的值是________． 15．经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是一种利用三度空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统，能够标示地球上的任何一个位置，经度是个二面角，是两个经线平面（经线与地轴所成的半平面）的夹角，某一点的经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角.纬度是个线面角，某一点的纬度是指该点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角.城市A 位置东经120°，北纬48°，城市B 位置为东经120°，北纬18°，若地球的半径为R ，则过A ，B 两点和地心的平面截球所得的截面圆的劣弧AB 的长是________．16．已知0a >，若ln ln a x x a ≤恒成立，则a 的值是________．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在①222b a c =+,②cos sin a B b A =,③sin cos B B +=,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ______________,3A π=,b =求ABC ∆的面积.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()112323122n n a a a na n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（n *∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若log 2n n a b =，则在数列{}n b 中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由.19．（本小题满分12分）截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一.与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点.如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素.研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据（v 表示行车速度，单位：/km h ；1d ，2d 分别表示反应距离和制动距离，单位：m ）道路交通事故成因分析v64 72808997 105113 121128 1351d13.415.2 16.718.620.1 21.9 23.525.326.8 28.5（1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的概率（用频率代替概率）；（2）已知2d 与v 的平方成正比，且当行车速度为100/km h 时，制动距离为65m .（i ）由表中数据可知，1d 与v 之间具有线性相关关系，请建立1d 与v 之间的回归方程，并估计车速为110/km h 时的停车距离；（ii ）我国《道路交通安全法》规定：车速超过100/km h 时，应该与同车道前车保持100m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性.参考数据：1011004ii v==∑，()1011210i i d ==∑，()101122187.3i i i v d ==∑，1021106054i i v ==∑，110330.2152524≈；参考公式：()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥S -ABCD 的底面为直角梯形，且满足AB ∥CD ，BC ⊥AB ，AB =9，BC =CD =SD =6，SB =12，平面SCD ⊥平面SBC . M 为线段SC 的中点，N为线段AB 上的动点.（1）求证：平面SCD ⊥平面ABCD ；（2）设AN =λNB (λ＞0)，当二面角C -DM -N 的大小为60°时，求λ的值.21．（本小题满分12分） 已知函数()ln 1f x x ax =++． （1）讨论()f x 的单调性； （2）对任意0x >，2e ()xx f x 恒成立，求实数a 的最大值．22．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点在椭圆C 上．A 、B 分别为椭圆C 的上、下顶点，动直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，满足AP AQ ⊥，AH PQ ⊥，垂足为H ．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求ABH △面积的最大值．数学模拟试题参考答案1．A 2．C 3．D 4．A 5．D 6．A 7．D 8．C 9．AC 10．BC 11．BCD 12．BCD13．26y x = 14．- 15．6πR16．e 解析： ()ln ln ,0f x a x x a a =->，17．解：选择①：2222b ac a c =+,由余弦定理22222cos 222a cb ac B ac ac +-===, 因为(0,)B π∈,所以4B π=;由正弦定理sin sin a b A B=,得2sin sin 33sin 22b A a B π===因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=, 所以562sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ+⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭, 所以116233sin 322244ABC S ab C ∆===. 若选择②：cos sin a B b A =,则sin cos sin sin A B B A =, 因为sin 0A ≠,所以sin cos B B =,因为(0,)B π∈,所以4B π=;由正弦定理sin sin a b A B=,得2sin sin 33sin 2b A a B π===因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以11sin 22ABC S ab C ∆===.若选择③：sin cos B B +=4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,因为(0,)B π∈,所以5,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以42B ππ+=,所以4B π=; 由正弦定理sin sin a b A B=,得sin sin sin 2b A a B π===因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以113sin 2244ABC S ab C ∆===. 18．解：（1）由题意，得()112323122n n a a a na n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+，当2n ≥时，()()1231231222nn a a a n a n -+++⋅⋅⋅+-=-⋅+， 两式相减，得()()11222n n n na n n +=-⋅--⋅，即2n n a =.当1n =时，12a =，也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式2nn a =.（2）22111log 2log log 2n n a n n b a n====，法一：11b =，212b =，显然不适合；212b =，313b =适合，即212b =，313b =，616b =构成公差为16-的等差数列； 313b =，414b =适合，即313b =，414b =，616b =构成公差为112-的等差数列；当4n ≥时，假设n b ，1n b +，n k b +（2k ≥）成等差数列，则12n n n k b b b ++=+， 即12211122121n k n n n b b b n n n n n n ++-=-=-==++++-，而当4n ≥时，21n *∉-N ，所以n k b +不是数列{}n b 中的项，所以当4n ≥时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列. 综上，2b ，3b 和3b ，4b 适合条件. 法二：11b =，212b =显然不适合； 当2n ≥时，设n b ，1n b +，n k b +（2k ≥）成等差数列，则12n n n k b b b ++=+，即2111n n n k =+++，解得221k n =+-. 当2n =时，4k =，则212b =，313b =，616b =构成公差为16-的等差数列；当3n =时，3k =，则313b =，414b =，616b =构成公差为112-的等差数列；当4n ≥时，21n *∉-N ，则k *∉N ，所以n k b +不是数列{}n b 中的项，所以当4n ≥时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列. 综上，2b ，3b 和3b ，4b 适合条件.19．解：（1）由题意可知从一年内发生的交通事故中随机抽出一起事故,则该起事故是恰好是超速驾驶的概率为0.2,设“恰好有一起事故属于超速驾驶”为事件A ,则21311()155P A C ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭48125= （2）由题意,设22d k v =⋅,因为当行车速度为100/km h 时,制动距离为65m , 所以0.0065k =,即220.0065d v =,（i ）因为1d 与v 之间具有线性相关关系,故设1ˆˆˆd bv a =+,因为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx ====---==--∑∑∑∑所以()1011110222122187.310100.4211103.3ˆ0.2110605410100.45252.4i ii ii v d nvd bvnv ==--⨯⨯===≈-⨯-∑∑故1ˆˆ0.21d v a =+,把(100.4,21)代入上式,解得ˆ0.084a =-, 则1d 与v 之间的回归方程为：1ˆ0.210.084d v =-： 设停车距离为d ,则12d d d =+,则20.00650.210.084d v v =+-,当110/v km h =时,101.666d =,即车速为110/km h 时的停车距离为101.666m（ii ）易知当车速为100/km h 时,停车距离为85.916m ,该距离小于100m , 又因为当车速为110/km h 时的停车距离为101.666m ,该距离大于100m ,由以上两个数据可知,当车速超过100/km h 时,必须与同车道前车保持100米以上的距离才能保证行驶安全.21．解：（1）11()(0)ax f x a x x x +'=+=> 当0a 时，(0,)x ∈+∞，1()0ax f x x+'=>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，1(0,)x a ∈-，1()0ax f x x+'=>，所以()f x 在1(0,)a -上单调递增； 1(+)x a ∈-∞，，1()0ax f x x +'=<，所以()f x 在1(+)a-∞，上单调递减； 综上：当0a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(+)a-∞，上单调递减. （2）任意0x >，2e ()xx f x ，即2e ln 10x x x ax ---恒成立, 即ln 2e ln 10x x x ax +---恒成立；令ln 2g()=e ln 1x x x x ax +---,则任意0x >，ln 2g()=e ln 10x x x x ax +---,因为，存在正实数0x ，满足：00ln 20x x +=,且00ln 2000g()=e ln 10x x x x ax +---，所以0020x ax -，所以2a .下证：当2a =时成立：即证：ln 2e ln 210x x x x +---, 因为R e 1x x x ∀∈+，,所以：ln 2e ln 21ln 21ln 210x x x x x x x x +---++---=显然成立；所以实数a 的最大值为2. 22．解：（1）由题意知22222321c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解2a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22164x y +=． （2）由题意知PQ 的斜率存在，设直线PQ 方程为y kx m =+，其中2m ≠ 由22164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223263120k x kmx m +++-=， ()()()22222236123242464k m k m k m =-+-=+-△，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122632km x x k -+=+，212231232m x x k -=+，因为AP AQ ⊥， 所以()()()()121212122222AP AQ x x y y x x kx m kx m ⋅=+--=++-+-()()()2212121(2)20k x x k m x x m =++-++-=， 所以()()()22222312612203232m km k k m m k k --++-+-=++， 即()()()()()222221312622320k m k m m m k +---+-+= 因为2m ≠，所以()()()2221(36)62320k m k m m k ++-+-+= 所以222223636632640k m k m k m k m m k +++-++--=，所以25m =-，满足0>△．所以直线PQ 的方程为25y kx =-，即直线PQ 的定点20,5⎛⎫- ⎪⎝⎭． （解法一）因为ABH △存在，所以0k ≠，所以AH 的斜率为1k -，方程为12y x k=-+， 联立2512y kx y x k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1215H x k k =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（H x 为H 点的横坐标）， 所以1112241242251155ABH H SAB x k k k k =⨯=⨯⨯=≤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1k k =即1k =±时等号取得，即ABH △面积的最大值为125． （解法二）设PQ 所过定点为D ，因为AH PQ ⊥，所以点H 在以AD 为直径的圆上， 所以() max 2211125422225МВH AD S AB ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⨯=⨯⨯=△，即ABH △面积的最大值为125．。
江苏省无锡市天一中学2021届高三下学期第三次调研模拟考试数学试题(含答案解析)
江苏省无锡市天一中学2021届高三下学期第三次调研模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设,a b ∈R ，则集合()(){}()(){}22|10,|10P x x x a Q x x x b =--==+-=，若P Q =，则a b -=（ ） A ．0B ．2C ．2-D ．12．已知复数z 满足1z =，且有171z z +=，求z =（ ）A ．12 B 12i C ± D ．都不对3．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个正整数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则数列{}n a 各项的和为（ ） A ．137835B ．137836C ．135809D ．1358104．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒表示.若实数n 满足224sin 184n ︒+=，则221sin188sin 18n ︒︒-=（ ）A ．14B ．12C ．4D ．25．电影《刘三姐》中有一个“舟妹分狗”的片段.其中，罗秀才唱道:三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀?舟妹唱道；九十九条圩上卖，九十九条腊起来，九十九条赶羊走，剩下三条，财主请来当奴才（讽刺财主请来对歌的三个奴才）.事实上，电影中罗秀才提出了一个数学问题：把300条狗分成4群，每群都是单数，1群少，3群多，数量多的三群必须都是一样的，否则就不是一少三多，问你怎样分?舟妹已唱出其中一种分法，即{}3,99,99,99，那么，所有分法的种数为（ ） A ．6 B ．9 C ．10D ．126．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数()()2cos x x x e e f x x-+=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（ ）A ．34BC ．916D8．已知()()21ln f x x a x =-+在1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上恰有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则()12f x x 的取值范围为（ ） A ．13,ln 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1ln 2,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,ln 22⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．13ln 2,ln 224⎛⎫--⎪⎝⎭二、多选题9．2020年初，新冠病毒肆虐，为了抑制病毒，商场停业，工厂停工停产．学校开始以网课的方式进行教学．为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高三一段时间的教学成果进行测试．高三有1000名学生，期末某学科的考试成绩（卷面成绩均为整数）Z 服从正态分布()282.5,5.4N ，则（人数保留整数）（ ） 参考数据：若()2,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，()220.9545P Z μσμσ-<<+=，()330.9973P Z μσμσ-<<+=．A ．年级平均成绩为82.5分B ．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等C ．成绩不超过77分的人数少于150人D ．超过98分的人数为1人10．x R ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3.54-=-，[]2.12=．十八世纪，函数()[]f x x =被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中是真命题的是（ ） A ．x R ∃∈，[]1x x ≥+B ．x ∀，y R ∈，[][][]x y x y +≤+C ．x R ∀∈，1[][]1x x x x -<<<+D ．函数()[]f x x x =-的值域为[)0,111．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上（不含端点）且BE BF =，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A 、C 两点重合于点1A ，则下列结论正确的有（ ）．A ．1A D EF ⊥B ．当12BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -C ．当14BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -D ．当14BE BF BC ==时，点1A 到平面DEF 12．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2b =B ．函数()11f x x=+存在跟随区间C ．若函数()f x m =存在跟随区间，则1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”三、填空题13．已知向量3,2cos 2a α→⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,52b →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且a b ⊥，则cos α=__________．14．已知点P （x ，y ）是抛物线y 2＝4x 上任意一点，Q 是圆（x +2）2+（y ﹣4）2＝1上任意一点，则|PQ |+x 的最小值为_____．15．若非负实数,x y 满足222244432x y xy x y +++=，2)2x y xy ++的最大值为_____.16．如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD ==AD BC ==,E F 分别是,AD BC 的中点若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为______.四、解答题17．若数列{}n a 满足11a =，且存在常数1k >，使得对任意的*n N ∈都有11n n n a a ka k+≤≤，则称数列{}n a 为“k 控数列”． （1）若公差为d 的等差数列{}n a 是“2控数列”，求d 的取值范围；（2）已知公比为()1q q ≠的等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 与n S 都是“k 控数列”，求q 的取值范围（用k 表示）．18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，请在①cos sin b b C B +=；②()2cos cos b a C c A -=；③2223ABCa b c S +-=这三个条件中任意选择一个，完成下列问题： （1）求∠C ；（2）若a ＝5，c ＝7，延长CB 到D ，使cos 7ADC ∠=，求线段BD 的长度. 19．数学家斐波那契在其所著《计算之书》中，记有“二鸟饮泉”间题，题意如下：“如图1，两塔相距**步，高分别为**步和**步.两塔间有喷泉，塔顶各有一鸟.两鸟同时自塔顶出发，沿直线飞往喷泉，同时抵达（假设两鸟速度相同）.求两塔与喷泉中心之距.”如图2，现有两塔 AC 、BD ，底部A 、B 相距12米，塔AC 高3米，塔BD 高9米.假设塔与地面垂直，小鸟飞行路线与两塔在同一竖直平面内.（1）若如《计算之书》所述，有飞行速度相同的两鸟，同时从塔顶出发，同时抵达喷泉所在点M ，求喷泉距塔底A 的距离；（2）若塔底A 、B 之间为喷泉形成的宽阔的水面，一只小鸟从塔顶C 出发，飞抵水面A 、B 之间的某点P 处饮水之后，飞到对面的塔顶 D 处.求当小鸟飞行距离最短时，饮水点P 到塔底A 的距离.20．最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分ξ的分布列和数学期望()E ξ； （3）第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由. 21．已知函数()e cos(1)x f x a a =--，a R ∈.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）设()()ln(1)g x f x x =-+，若()0g x ≥，求a 的取值范围．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，E 为C 上不同于A ，B 的动点，直线AE ，BE 的斜率AE k ，BE k 满足12AE BE k k ⋅=-，AE BE ⋅的最小值为-4. （1）求C 的方程；（2）O 为坐标原点，过O 的两条直线1l ，2l 满足1//l AE ，2//l BE ，且1l ，2l 分别交C 于M ，N 和P ，Q .试判断四边形MPNQ 的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.参考答案1．C 【分析】由集合的描述写出集合,P Q ，根据P Q =求,a b ，进而可求-a b . 【详解】 由题意，得{}{}{}{}1,,11,,1{,{1,11,1a ab b P Q a b ≠-≠-===-=-，∵P Q =，∴仅当1,1a b =-=时符合题意，故2a b -=-. 故选：C. 2．A 【分析】根据题意可设cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位）；然后再利用棣莫佛公式，可得()()cos17cos sin17sin =1i θθθθ+++，再根据复数的概念，可得cos17cos =1sin17sin =0θθθθ+⎧⎨+⎩，利用三角函数同角关系，即可求出θ的值，进而求出结果. 【详解】因为1z =，设cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位）； 由棣莫佛公式，可得()()17cos17sin17cos sin =cos17cos sin17sin z z i i i θθθθθθθθ+=++++++，所以()()cos17cos sin17sin =1i θθθθ+++所以cos17cos =1sin17sin =0θθθθ+⎧⎨+⎩，即cos171cos sin17sin θθθθ=-⎧⎨=-⎩因为()()22sin17cos17=1θθ+，所以()()()()2222sin17cos17=sin 1cos 1θθθθ+-+-=； 化简可得22sin cos 2cos 0θθθ+-=，即12cos 0θ-=所以1cos 2θ=，所以sin 2θ==±；所以122z =±. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数模的运算，熟练掌握复数模的运算性质，是解决本题的关键. 3．D 【分析】由题意知n a 被15除余1，它们成等差数列，公差为15，由此只要确定不大于2021的项数即可得求和． 【详解】由题意n a 被15除1，{}n a 是等差数列，公差15d =，首项为11a =，115(1)1514n a n n =+-=-，由15142021n -≤得，21353n ≤．因此135n ≤，1351351341351151358102S ⨯=⨯+⨯=．故选：D ． 4．A 【分析】利用二倍角公式可求三角函数的值． 【详解】根据题中的条件可得()22222221sin181sin181sin181sin188sin 188sin 184cos 188sin 368sin 1844sin 18n -︒-︒-︒-︒===︒︒⨯︒︒︒-︒()1sin181sin1811cos7241cos72482-︒-==-︒︒︒=-⨯. 故选：A ． 5．D 【分析】设少的1群狗有n 条，多的3群狗每群有m 条，m 、n *∈N ，且m n >，由已知条件可得出3300n m +=，分析出n 为3的倍数，设()*3n t t N =∈，求出t 的可能取值，然后列举出所有的分法，由此可得出结果. 【详解】设少的1群狗有n 条，多的3群狗每群有m 条，m 、n *∈N ，且m n >. 根据题意，3300n m +=，则n 一定是3的倍数，可设()*3n t t N =∈，由m n >，得075n <<，则0375t <<，即025t <<.由n 为奇数，则t 为奇数，即{}1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23t ∈，于是分配方法有以下12种：{}3,99,99,99、{}9,97,97,97、{}15,95,95,95、{}21,93,93,93、{}27,91,91,91、{}33,89,89,89、{}39,87,87,87、{}45,85,85,85、{}51,83,83,83、{}57,81,81,81、{}63,79,79,79、{}69,77,77,77.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查分配问题，根据题意得出m 、n 的等式以及n 的可能取值是解题的关键，本题是数学文化题，在解题时要充分理解题中的信息，将题意转化为等式或不等式来求解. 6．C 【分析】首先排除函数的奇偶性，再判断0x >时的函数值的正负. 【详解】()()()()()2cos 2cos x x x x x e e x e e f x f x x x---+-+-===-+-+，函数是奇函数，故排除AB ，当0x >时，0x x e e -+>，2cos 0x +>，所以()0f x >，故排除D. 故选：C 7．B 【分析】分别设内外层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>、22221(1)()()x y m ma mb +=>，进而设切线AC 、BD 分别为1()y k x ma =+、2y k x mb =+，联立方程组整理并结合0∆=求1k 、2k 关于a 、b 、m 的关系式，再结合已知得到a 、b 的齐次方程求离心率即可. 【详解】若内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由离心率相同，可设外层椭圆方程为22221(1)()()x y m ma mb +=>， ∴(,0),(0,)A ma B mb -，设切线AC 为1()y k x ma =+，切线BD 为2y k x mb =+，∴12222()1y k x ma x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22223224222111()20a k b x ma k x m a k a b +++-=，由0∆=知： 32222224222111(2)4()()0ma k a k b m a k a b -+-=，整理得2212211b k a m =⋅-，同理，222221y k x mb x yab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22222(1)b k m a =⋅-， ∴4221249()()16b k k a ==-，即22916b a =，故4c e a ===.故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合0∆=及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率. 8．D 【分析】由题意得导函数在区间1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭有两个零点，根据二次函数的性质可得3182a <<，由根与系数的关系可得121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩以及21324x <<，求出()12f x x 的表达式，将1x 用2x 表示，表示为关于2x 的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果. 【详解】由题意得()()222220a x x af x x x x x-+'=-+=>，令()0f x '=，得2220x x a -+=，由题意知2220x x a -+=在1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有两个根1x ，2x ， ∴20,1122044480a a a >⎧⎪⎪⎛⎫⨯-⨯+>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪∆=->⎩，得3182a <<．由根与系数的关系得121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，由求根公式得1,22142x ==， ∵12x x <，∴2x =，∵3182a <<，∴21324x <<．则()()()()2211121212222221ln 2ln 21ln 1f x x a x x x x x x x x x x x -++===+--()()222213121ln 1124x x x x ⎛⎫=-+--+<< ⎪⎝⎭，令21t x =-，则1142t <<． 设()112ln 142g t t t t t ⎛⎫=-++<<⎪⎝⎭，则()12ln g t t '=+，易知()g t '在11,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ∴()12ln 12ln 2ln04eg t t '=+<-=<，∴当1142t <<时，函数()g t 为减函数， ∴()11132ln 1ln 24444g t <-+⨯+=-，且()11112ln ln 1ln 22222g t >-+⨯+=-，∴()1213ln 2,ln 224f x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 故选：D . 【点睛】关键点点睛：（1）根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数a 的取值范围，以及1x 与2x 之间的关系；（2）将题意转化为关于2x 的函数，构造出21t x =-，利用导数判断单调性. 9．ABD 【分析】根据正态分布概念知A 正确；根据95和70关于x μ=对称知B 正确；根据3σ原则计算可求得CD 中的人数，知C 错误，D 正确. 【详解】 对于A ，()282.5,5.4ZN ，82.5μ∴=， 5.4σ=，由正态分布概念知：年级平均成绩82.5μ=，A 正确； 对于B ，957082.52μ+==，∴成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等，B 正确；对于C ，7782.5 5.4μσ≈-=-，()()10.6827770.158652P Z P Z μσ-∴<≈<-==， 10000.158********⨯≈>，∴成绩不超过77分的人数多于150人，C 错误；对于D ，82.5 5.4398.799+⨯=≈，()()10.99739930.001352P Z P Z μσ-∴≥≈≥+==， 10000.001351⨯≈，∴超过98分的人数为1人，D 正确.故选：ABD. 10．BD 【分析】由“取整函数”定义可判断选项A ，C ；根据定义与不等式性质可判断B ，D ． 【详解】由定义得：[][]1x x x ≤≤+，故对[],1x R x x ∀∈<+，故A 错；由定义得：[][][),,,,,0,1x y R x x a y y b a b ∀∈=+=+∈，所以[][]x y x y a b +=+++[][][][]x y x y a b +=+++ ，所以[][][]x y x y +≤+，故B 正确；由定义得：[][]11x x x x -<≤<+，故C 错；由定义得：[]1x x x -<≤，所以[]01x x ≤-<，故()[]f x x x =-的值域为[)0,1，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】关键点点睛：正确理解新定义是解题的基础，由新定义转化为不等式关系是解题的关键． 11．ACD 【分析】A 选项：证明1A D ⊥面1A EF ，得1AD EF ⊥； B 选项：当122BE BF BC ===时，三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，利用分隔补形法求三棱锥1A EFD -的外接球体积； C 选项：利用等体积法求三棱锥1A EFD -的体积； D 选项：利用等体积法求出点1A 到平面DEF 的距离. 【详解】 A 选项：正方形ABCD,AD AE DC FC ∴⊥⊥由折叠的性质可知：1111,A D A E A D A F ⊥⊥ 又111A E A F A ⋂=1A D ∴⊥面1A EF又EF ⊂面1A EF ，1A D EF ∴⊥；故A 正确.B 选项：当122BE BF BC ===时，112,A E A F EF ===在1A EF 中，22211A E A F EF +=，则11A E A F ⊥ 由A 选项可知，1111,A D A E A D A F ⊥⊥∴三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，把三棱锥1A EFD -=，三棱锥1A EFD -334433R ππ==，故B 错误C 选项：当114BE BF BC ===时，113,A E A F EF ==在1A EF中，22222211111338cos 22339A E A F EF EA F A E A F+-+-∠===⋅⨯⨯，1sin EA F ∠=则111111sin 332292A EFSA E A F EA F =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=11111143323A EFD D A EF A EF V V SA D --∴==⋅⋅=⨯=故C 正确；D 选项：设点1A 到平面EFD 的距离为h ，则在EFD △中，2222225524cos 225525DE DF EF EDF DE DF +-+-∠===⋅⨯⨯， 7sin 25EDF ∠=则1177sin 5522252EFDSDE DF EDF =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=11173323A EFD DEFV Sh h -∴=⋅⋅=⨯⨯=即7h =故D 正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积． 12．ABCD 【分析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】对A, 若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,因为()222f x x x =-+在区间[]1,b 为增函数,故其值域为21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有222b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()11f x x=+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故存在, B 正确.对C, 若函数()f x m =存在跟随区间[],a b ,因为()f x m =,故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=⎪-=⎨=⎪⎩a b < 即()()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <,1=.易得01≤.所以(1a m m =-=-,令t =20t t m --=,同理t =也满足20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.故1400m m +>⎧⎨-≥⎩,解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,故C 正确. 对D,若()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b ,值域为[]3,3a b .当1a b <≤时,易得()212f x x x =-+在区间上单调递增,此时易得,a b 为方程2132x x x -+=的两根,求解得0x =或4x =-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-. 故D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题. 13．725-【分析】根据向量垂直的坐标表示得3cos 25α=，再根据半角公式即可得答案. 【详解】因为向量3,2cos 2a α→⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,52b →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且a b ⊥，所以3cos 052α-+=，即3cos 25α=，所以27cos 2cos 1225αα=-=-． 故答案为：725-. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，半角公式的应用，考查运算求解能力，是中档题.向量垂直的坐标表示：已知()()1122,,,a x y b x y →→==，若a b →→⊥，则12120a b x x y y →→⋅=+=.14．3 【分析】利用抛物线的定义得1x PF =-,以及圆上的点的到定点的距离的最小值为圆心到定点的距离减去半径即可转换题目中的条件分析. 【详解】画出图像,设焦点为(1,0)F ,由抛物线的定义有1PF x =+,故1x PF =-.又PQ QC CP +≥当且仅当,,C Q P 共线且Q 为CP 与圆C 的交点时PQ 取最小值为1PC QC PC -=- .故PQ x +的最小值为112PC PF PC PF -+-=+-.又当P 为线段CF 与抛物线的交点时PC PF +取最小值,此时2223PQ x PC PF CF +=+-=-==【点睛】(1)与抛物线上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为抛物线上的点到焦点的距离. (2)与圆上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为圆心到定点的距离与半径的关系. 15．16 【分析】2)2(0)x y xy t t ++=≥，结合题意，得到2223243270x y txy t --⨯+=，根据关于xy 的方程必须有解，利用0∆≥，求得以016t ≤≤，即可求解. 【详解】2)2(0)x y xy t t ++=≥，2)20x y t xy +=-≥，两边平方，可得227(2)(2)x y t xy +=-， （1） 因为222244432x y xy x y +++=，所以2222244(2)324x y xy x y x y ++=+=-， （2） 由（1）（2）可得2227(324)(2)x y t xy -=-， 整理得2223243270x y txy t --⨯+=，因为关于xy 的方程必须有解，所以2216432(327)0t t ∆=-⨯⨯-⨯≥，解得21616t ≤⨯，因为20t ≥，所以016t ≤≤，所以t 的最大值为16，2)2x y xy ++的最大值为16. 故答案为：16. 【点睛】2)2x y xy ++转化为关于xy 的方程2223243270x y txy t --⨯+=必须有解，结合二次函数的性质求解是解答本题的关键.16【分析】1的长方体，然后根据EF ⊥平面α得求出异面直线BC 与AD 所成角的正弦值，最后通过解三角形面积公式以及基本不等式即可得出结果． 【详解】1的长方体，由于EF ⊥平面α，故截面为平行四边形MNKL ，由平面几何的平行线段成比例可得5KL NK ，设异面直线BC 与AD 所成角为θ，则sin θsin sin HFB LKN ，解得sin 5θ=所以平行四边形MNKL 的面积2266sin 522NK KL S NK KL NKL，当且仅当KL NK 时取“=”号，故答案为2． 【点睛】本题考查四面体截面面积的求法，考查解三角形面积公式以及基本不等式的使用，能否根据四面体构建出长方体以及确定四面体截面的位置是解决本题的关键，考查推理能力，是难题． 17．（1）[0,1]（2）1,1k k⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【分析】（1）根据“k 控数列”的定义得出*1122，n n n a a a n N +∈，则由等差数列的通项公式可得(1)1(2)1n d n d +-⎧⎨--⎩对*n N ∈恒成立，求出公差d 的取值范围； （2）由等比数列{}n b 为“k 控数列”得1q k k，又{}n S 是“k 控数列”得1*1111111，n n nq q q k n N k qq q+---⋅⋅∈---，分类讨论求出q 的取值范围.【详解】（1）因为公差为d 的等差数列{}n a 是“2控数列”，所以11a =，所以*111(1)22，，n n n n a n d a a a n N +=+-∈，即*1[1(1)]12[1(1)]2，n d nd n d n N +-++-∈， 所以**(1)1,(2)1,n d n N n d n N ⎧+-∈⎨--∈⎩由(1)1n d+-得所以11d n -+，又11,012n ⎡⎫-∈-⎪⎢+⎣⎭，所以0d ≥， 由(2)1n d --得：当1n =时，1d -≥-，所以1d ≤； 当2n =时，01≥-成立； 当3n 时，12dn --，又1[1,0)2n -∈--，所以0d ≥； 综上，01d ，所以d 的取值范围是[0,1]；（2）因为数列{}n b 是公比为(1)≠q q 的等比数列且为“k 控数列”，所以11n n n b b kb k+，显然0n b >，故1q k k． 易知11nn q S q-=-，要使{}n S 是“k 控数列”，则1*1111111，n n nq q q k n N k q q q+---⋅⋅∈---，（ⅰ）当11q k <时，1*111，n n q k n N k q+-∈-， 令1*11()11，n n nq q f n q n N q q+--==+∈--，则()f n 递减， 所以1()1f n q <+， 所以1k q +，即11q k k-． 要使q 存在，则111k k k>⎧⎪⎨-⎪⎩得512k+； （ⅱ）当1q k <时，1*111，n nq k n N k q+-∈-， 令1*11()11，n n nq q g n q n N q q +--==+∈--，则()g n 递减，()1q g n q <+， 所以11q k k q ⎧<⎪⎨⎪+⎩，又1q k <，所以11q k <-，要使q 存在，需11k <-，得2k > 综上，当512k +时，公比q 的取值范围是1,1k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式，数列不等式的恒成立问题，考查了分类讨论的思想，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力． 18．（1）答案见解析；（2）5. 【分析】（1）主要考查利用正余弦定理进行边角互化；（2）本题为多三角形问题，在ABD △中，需要算出BAD ∠的三角函数值，然后用正弦定理即可. 【详解】 （1） 选①∵cos sin b b C B +=，及正弦定理，∴sin sin cos sin B B C C B +=，∵在ABC 中，()0,B π∈，∴sin 0B >，cos 1C C -= ∴1sin coscos sinsin 6662C C C πππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， ∵在ABC 中，()0,C π∈，∴5,666C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴66C ππ-=，则3C π=. 选②∵()2cos cos b a C c A -=，及正弦定理，∴2sin cos sin cos sin cos B C A C C A -= ∴()2sin cos sin B C A C =+ ∵在ABC 中，A B C π++=，∴()sin sin A C B +=，∴1cos 2C = ∵在ABC 中，()0,C π∈，∴3C π=.选③2221sin sin 2ABC a b c ab C C ∆+-===由余弦定理得：222cos 2a b c C C ab +-==∵在ABC 中，()0,C π∈，∴sin tan cos C C C ==3C π=. （2）第一问的答案都一样3C π=在ABC 中，∵5,7,3a c C π===，由余弦定理得212549225b b+-=⨯ ∴25240b b +-=，得8,3b b ==-（舍去）由正弦定理得：sin sin b c ABC C =∠，∴87sin sin 3ABC π=∠，则sin ABC ∠=由余弦定理得：2222549641cos 22577a cb ABC ac +-+-∠===⨯⨯在ABC中，cos 7ADC ∠=，∴sin 7ADC ∠== ∴()sin sin sin cos cos sin BAD ABC ADC ABC ADC ABC ADC ∠=∠-∠=∠∠-∠∠1777749=-⨯=由正弦定理得：sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，则5BD == 【点睛】本题需要熟练运用正余弦定理进行边角互化，遇到多三角形问题，可以从要求的结果出发，把所求量放在一个三角形中，然后逆向思考. 19．（1）9米；（2）3米. 【分析】（1）设AM x =，列方程求解；（2）作出C 关于AB 的对称点C '，C D '与AB 的交点就是最短距离的P 点，由此可计算出结论． 【详解】（1）设AM x ==9x =；（2）设C '是C 关于直线AB 的对称点，连接C D '交AB 于P ，Q 是线段AB 上任一点，如图，QC QD QC QD C D ''+=+≥，当且仅当Q 与P 重合时，等号成立．P 点即为所求．∵,AC AB BD AB '⊥⊥，∴//AC BD '，∴AC AP BD BP '=，而AC AC '=，∴3912APAP=-，解得3AP =．【点睛】本题考查数学文化，考查数学的应用，解题关键是正确理解题意，抽象出数学问题，用相应的数学知识求解． 20．（1）37；（2）分布列见解析，607；（3）比赛不公平，理由见解析. 【分析】（1）甲再摸2球至少得4分，分两种情况：一个红球，一个其他球，或者两个黄球，求出方法数，由此根据古典概型公式计算出概率；（2）乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出 3个小球，可计算出3个球的得分情况也即乙得分情况，分别计算概率得概率分布列，从而计算出期望.（3）以第一次摸出的球的颜色分类，分别计算获胜的概率，再计算概率的期望，与12比较大小即可. 【详解】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜”为事件A则()1121632793217C C C P A C +=== （2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分()33371635C P C ξ===()2133379735C C P C ξ⋅=== ()1233379835C C P C ξ⋅=== ()11331333774935C C C P C C ξ⋅==+= ()1113313791035C C C P C ξ⋅⋅=== ()21313731135C C P C ξ⋅=== 所以ξ的分布列为：所以ξ的数学期望678910113535353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由第（1）问知，若第一次摸出来绿球，则摸球人获胜的概率为137p =由第（2）问知，若第一次摸出了红球，则摸球人获胜的概率为294935357p +++== 若第一次摸出了黄球，则摸球人获胜的概率为221162233372235C C C C p C ++== 若第一次摸出了白球，则摸球人获胜的概率为2263437(1)1735C C P C -+== 则摸球人获胜的概率为1315322317157187878358352802P =⨯+⨯+⨯+⨯=> 所以比赛不公平. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，判断是否公平，即判断任何一方获胜的概率是不是12，但是由于第一次摸出什么球对后面摸球有影响，所以需要对第一摸球进行分类. 21．（1）0x y -=；（2）[1,)+∞. 【分析】（1）若1a =，则()e 1x f x =-，()e x f x '=，求得(0)f '，(0)f ，写出切线方程. （2）构造函数()cos(1)()t a a a a =--∈R ，知()t a 在(,)-∞+∞上单调递增，且(1)0t =，由()0g x ≥恒成立，得1a ≥，再利用导数研究()g x 的单调性证得()0g x ≥恒成立即可.【详解】（1）当1a =时，()e 1x f x =-，则()e x f x '=，(0)1f '∴=， 又(0)0f =，故切点为(0,0)所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为0x y -=． （2）()e ln(1)cos(1)x g x a x a =-+--，定义域为(1,)-+∞， 令()cos(1)()t a a a a =--∈R ，求导()1sin(1)0t'a a =+-≥， 所以()t a 在(,)-∞+∞上单调递增，且(1)1cos(11)=0t =--，若()0g x ≥，则当0x =时，cos((0))01g a a --=≥恒成立，即()(1)t a t ≥，所以1a ≥．因为1()e 1xg x a x'=-+， 当1a ≥时，令()()m x g x '=，则21e 0((1))xm x a x =+>+'，所以()m x 在(1,)-+∞上单调递增，且(0)10m a =-≥，1111e 0a m a a a a a -⎛⎫-=-≤-= ⎪⎝⎭，所以存在0(1,0]x ∈-，使得0()0m x =，即01e 01xa x -=+，00ln(1)ln x x a +=--， 当0(1,)x x ∈-时，()0g x '<，()g x 在0(1,)x 上单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在0(,)x +∞上单调递增， 所以000()()e ln(1)cos(1)x g x g x a x a ≥=-+--001ln cos(1)1x a a x =++--+0011ln cos(1)11ln cos(1)01x a a a a x =+++---≥+--≥+． 综上，所求a 的取值范围为[1,)+∞. 【点睛】方法点睛：本题主要考查导数的几何意义以及导数与不等式恒成立问题，常用方法： ①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.考查了学生的转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22．（1）22184x y +=；（2）是定值，【分析】（1）由(,0),(,0)A a B a -，设()00,E x y ，可得22AE BE b k k a⋅=-，22202c AE BE x c a ⋅=-，结合已知列方程求参数a 、b 、c ，写出椭圆方程即可；（2）由椭圆对称性知：4MPNQ OMP S S =，设1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，由题设知1212k k ⋅=-，讨论直线MP 的斜率，联立直线与椭圆方程，应用根与系数关系确定MPNQ S 是否为定值. 【详解】（1）设()00,E x y ，则2200221x y a b+=，故(,0),(,0)A a B a -，∴2202220002222200001AE BEx b a y y y b k k x a x a x a x a a⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---， 又()()()()22200000021x AE BE x a x a y x a x a b a ⎛⎫⋅=+-+=+-+- ⎪⎝⎭222202c x c c a=-≥-，由题意知：222124b ac ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）根据椭圆的对称性，可知OM ON =，OP OQ =， ∴四边形MPNQ 为平行四边形，所以4MPNQ OMP S S=.设1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，()11,M x y ，()22,P x y ，则111y k x =①，222y k x =②. 又1//l AE ，2//l BE ，即1212AE BE k k k k ⋅=⋅=-. 当MP 的斜率不存在时，12y y =-，12x x =.由①⨯②，得2221121112y k k x x -==-，结合2211184x y +=，解得12x =，1y =∴1114422MPNQ OMPS Sy x ==⨯⨯⨯=当MP 的斜率存在时，设直线MP 的方程为y kx m =+，联立方程组得22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214280k x kmx m +++-=，则()()()22222(4)421288840km k m k m ∆=-+-=+->，即122421kmx x k +=-+，21222821m x x k -=+. ∵()22121212121212121212k x x km x x m y y kx m kx m k k x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅==-，∴22222222841212128221m km k km m k k m k -⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭=--+，整理得：2242m k =+. 由直线MP 过(0,)m ，12144||2||2MPNQ OMPS Sm x x m ==⨯⨯-=2||m ==， 将2242m k =+代入，整理得MPNQ S =.综上，四边形MPNQ 的面积为定值，且为【点睛】 关键点点睛：（1）应用两点斜率公式、向量数量积的坐标表示，求AE BE k k ⋅，AE BE ⋅关于椭圆参数的代数式，结合已知条件列方程求参数，写出椭圆方程；（2）利用椭圆的对称性，由直线与椭圆的位置关系，讨论直线斜率的存在性，结合直线与椭圆方程及根与系数关系，求四边形的面积并判断是否为定值.。
2021届江苏省高三高考数学全真模拟试题(一)(解析版)
2021届江苏省高三高考数学全真模拟试题（一）一、单选题1．已知集合{|2A x cosx =≥，集合2{|20}B x x x =+-≤，则AB =（ ）A ．2,6π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,16π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1-D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】化简集合A ，B ，根据交集运算求解即可.【详解】由2cosx ≥cos x ≥ 解得22,66k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以{|2{|22,}66A x cosx x k x k k Z ππππ=≥=-≤≤+∈，当0k =时，{|}66A x x ππ=-≤≤ 又2{|20}{|21}B x x x x x =+-≤=-≤≤， 所以,66A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故选：D2．2020年支付宝推出的“集福卡，发红包”活动中，用户只要集齐5张福卡，就可拼手气分支付宝5亿元超级大红包，若活动的开始阶段，支付宝决定先从富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福5个福中随机选出3个福，投放到支付宝用户中，则富强福和友善福至少有1个被选中的概率为（ ）． A ．25B ．23C ．35D ．910【答案】D【分析】先求出富强福和友善福两个都没有被选中的概率，然后再由1110P =-可得答案.【详解】从富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福5个福中随机选出3个福有3510C =选法，富强福和友善福两个都没有被选中有331C =种选法，所以富强福和友善福两个都没有被选中的概率为110， 则富强福和友善福至少有1个被选中的概率为1911010P =-=， 故选：D ．3．新冠肺炎肆虐全，疫情波及200多个国家和地区；一些国家宣布进入“紧急状态”，全球股市剧烈震荡……新冠肺炎疫情严重挑战公共卫生安全，全面冲击世界经济运行，深刻影响社会生活运转.这场全球公共卫生危机，需要国际社会的通力合作，在一次国际医学学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为（ ） A ．甲丙丁戊乙 B ．甲丁丙乙戊 C ．甲乙丙丁戊 D ．甲丙戊乙丁【答案】D【分析】首先从戊的国家和语言开始分析，两侧只能是乙和丙，其余顺序唯一，可得选项．【详解】戊是法国人，还会说德语，只能用法语交流， 则两侧只能是乙和丙，乙旁边是丁，丙旁边是甲， 故选：D .4．已知椭圆2219x y m +=的焦点在x 轴上，1B ，2B 是椭圆短轴的两个端点，F 是椭圆的一个焦点，且12?120B FB ∠=︒，则m =（ ）A ．B ．6C ．12D ．16【答案】C【分析】根据1 B ，2B 是椭圆短轴的两个端点，且12?120B FB ∠=︒，易得1203FB F O B O ∠∠==︒，再由tan 03cb︒=求解. 【详解】因为椭圆2219x y m +=的焦点在x 轴上，所以9m >，因为1 B ，2B 是椭圆短轴的两个端点，F 是椭圆的一个焦点，且12?120B FB ∠=︒，所以1203FB F O B O ∠∠==︒,O 为原点，所以an 33t 0c c b ︒===解得c =所以2212m b c =+=， 故选：C5．直线0ax by c与圆C ：22240x x y y -++=相交于A ，B 两点，且15AB =CA CB ⋅=（ ）A ．52-B C D ． 【答案】A【分析】求出圆半径，由余弦定理求得ACB ∠，然后由数量积的定义求得数量积．【详解】圆C 标准方程为22(1)(2)5x y -++=，圆心半径为r =ABC 中2221cos22CA CB AB ACB CA CB +-∠===-⋅，∴15cos 22CA CB CA CB ACB ⎛⎫⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭． 故选：A ．6．已知()621x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数之和为-64，则其常数项为（ ）A ．-25B ．-5C ．20D ．55【答案】A【分析】令1x =可得所有项的系数，进而得2a =，再由61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式和()2x a -相乘可得常数项.【详解】令1x =可得()621x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数之和为()66421a -=-，解得2a =，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：66266r r r r r C x x C x ---=，()6212x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为：24230662154025x C x C x --=-=-. 故选：A.【点睛】方法点睛：利用二项展开式计算指定项的系数时，注意利用通项公式和多项式的乘法判断出指定项的系数是有哪些项的系数相乘所得到的.7．朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家，历学家、音乐家.朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”.十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是1122，如果12音阶中第一个音的频率是F ，那么第二个音的频率就是1122F，第三个单的频率就是2122F，第四个音的频率是3122F ，……，第十二个音的频率是11122F，第十三个音的频率是12122F ，就是2F .在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为（ ）.A ．2FB ．121212112F - C ．112121F -D ．112112221F -【答案】D【分析】分析题意，利用等比数列的求和公式即可计算得解.【详解】由题意知，第二个音到第十三个音的频率分别为12312121212122,2,2,,2F F F F ，显然以上12个数构成了以1122F为首项，以1122为公比的等比数列，由等比数列求和公式得： 1211121211211121221221221⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=--F F .故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和公式，解题的关键是分析题意将第二个音到第十三个音的频率构成以1122F 为首项，以1122为公比的等比数列，再根据等比数列求和公式可得，考查学生的分析解题能力与转化思想及运算能力，属于基础题.8．已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()32xxf x x e f x '=+，若()2244f e =+，则函数()()2g x f x =-的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】采用构造函数法，同乘x 得()()242xx f x xf x x e '-=，变形得()()242x x f x xf x e x '-=，即()2x f x e x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由此可得()f x 表达式，将()2244f e =+求出具体解析式，再结合导数研究()f x 增减性，画出大致图象，即可求解. 【详解】依题意，()()32xxf x f x x e -='，故()()242xx f x xf x x e '-=，则()()242x x f x xf x e x '-=，即()2xf x e x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故()2x f x e c x =+，令2x =， 则()22214f e c e =+=+，解得1c =，故()()21xf x x e =+， 故()()22x x f x x xe e '=++；令()22x x g x xe e =++，则()()3xg x x e '=+，当3x <-时，()0g x '<，当3x >-，()0g x '>，故()()33min 33220g x g e e --=-=-++>⎡⎤⎣⎦，故当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>；作出函数()f x 的大致图象如图所示；观察可知，()y f x =与2y =有2个交点，即函数()g x 有2个零点， 故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查构造函数法求解函数解析式，利用导数研究函数增减性，常用以下方法：（1）利用含导数方程还原原表达式需要结合导数四则运算特征，如本题中同乘x 移项后就得到除法对应导数公式；（2）利用导数研究函数增减性,如遇导数不能判断正负的情况下，往往需要再次求导，通过二阶导数判断一阶导数的正负，再通过一阶导数的正负判断原函数的增减.二、多选题9．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解. 【详解】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-=+复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确. 故选：AD10．已知函数()2sin(4),4f x x π=+将()f x 的图像向右平移16π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图像，则下列命题正确的是（ ）A ．()y g x =是偶函数B ．函数()g x 的单调递减区间为3[,]()44k k k Z ππππ++∈ C ．直线()4x k k Z ππ=+∈是函数()g x 的图象的对称轴D ．函数()g x 在5[0,]8π上的最小值为【答案】BD【分析】先根据图像的平移变换以及伸缩变换求出()g x ，对A ，利用函数奇偶性的定义即可证明；对B ，根据sin y x =的单调性，整体代入即可求出()g x 的单调递减区间；对C ，根据sin y x =的对称轴，整体代入即可求出()g x 的对称轴；对D ，根据5[0,]8x π∈以及sin y x =的值域即可求出()g x 在5[0,]8π上的最小值. 【详解】解：将()f x 的图像向右平移16π个单位长度得到2sin 42sin(4)164x x ππ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到2sin 2x ， 故()()2sin 2g x x =， 对A ，()()2sin 2g x x =的定义域为R 关于原点对称，且()()()()2sin 22sin 2g x x x g x -=-=-=-， 故()y g x =是奇函数，即A 错误； 对B ，令()3222,22k x k k z ππππ+≤≤+∈， 解得：()3,44k x k k z ππππ+≤≤+∈， 故()g x 的单调递减区间为3[,]()44k k k Z ππππ++∈，即B 正确； 对C ，令()2,2x k k z ππ=+∈，解得：(),42k x k z ππ=+∈， 故()g x 的对称轴为：(),42k x k z ππ=+∈，即C 错误； 对D ，当5[0,]8x π∈时，520,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则sin 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()()2sin 22g x x ⎡⎤=∈⎣⎦，故()g x 在5[0,]8π上的最小值为D 正确. 故选：BD.11．某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为23，游览B ，C 和D 的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ） A ．游客至多游览一个景点的概率14B ．()328P X == C ．()1424P X == D ．()136E X =【答案】ABD【分析】利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率和来判断A ；由题意得随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，求出数学期望，来判断BCD. 【详解】解：记该游客游览i 个景点为事件i A ，0,1i =，则()0211111111322224P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()321132121151113232224P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⋅⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以游客至多游览一个景点的概率为()()0115124244P A P A +=+=，故A 正确； 随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4;()01(0)24P X P A ===， ()15(1)24P X P A ===， 213211(2)1322P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭2232113113228C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；223211(3)1322P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33317122423C ⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3211(4)3212P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故C 错误；数学期望为：1597()012324242424E X =⨯+⨯+⨯+⨯2134246+⨯=，故D 正确， 故选：ABD.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是基础题.12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣2，0），B （4，0），点P 满足12PA PB=．设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是，（ ） A ．C 的方程为（x +4）2+y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两定点D ，E ，使得12PDPE = C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线 D ．在C 上存在点M ，使得|MO |＝2|MA | 【答案】BC【分析】设P（x，y），运用两点的距离公式，化简可得P的轨迹方程，可判断A；假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得12PDPE=，设出D，E的坐标，求得轨迹方程，对照P的轨迹方程可得D，E，可判断B；当A，B，P三点不共线时，由12OA PAOB PB==，由角平分线定理的逆定理，可判断C；若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M（x，y），运用两点的距离公式，可得M 的轨迹方程，联立P的轨迹方程，即可判断D．【详解】在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足12 PAPB=，设P（x，y），则12 =，化简可得（x+4）2+y2＝16，故A错误；假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得12 PDPE=，可设D（m，0），E（n，0）=化简可得3x2+3y2﹣（8m﹣2n）x+4m2﹣n2＝0，由P的轨迹方程为x2+y2+8x＝0，可得8m﹣2n＝﹣24，4m2﹣n2＝0，解得m＝﹣6，n＝﹣12或m＝﹣2，n＝4（舍去），即存在D（﹣6，0），E（﹣12，0），故B正确；当A，B，P三点不共线时，由12OA PAOB PB==，可得射线PO是∠APB的平分线，故C正确；若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M（x，y），=化简可得x2+y2163+x163+=0，联立x2+y2+8x＝0，可得方程组无解，故不存在M，故D错误．故选：BC．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查圆方程的求法和运用，以及两点距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．三、填空题13．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点A 为抛物线C 上一点，若3AF =，则点A 的横坐标为______. 【答案】2【分析】根据抛物线的定义，得到132p AFx ，即可求得A 的横坐标.【详解】设点11(,)A x y ，因为3AF =， 根据抛物线的定义，可得11132pAF x x =+=+=，解得12x =， 即点A 的横坐标为2. 故答案为：214．已知一个棱长为1的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则该半球体(包括底面)的表面积为_________. 【答案】92π 【分析】根据正方体和半球的关系，作出对应的轴截面，根据对应关系求得求得半径，结合面积公式，即可求解.【详解】作出半球和正方体的轴截面，如图所示， 设求得的半径为R ，因为正方体的棱长为1，所以正方体的对角线长2AB =， 在直角OBC 中，2226()122R OC ==+=， 半球的表面积为2222161694()4()22222S R R πππππ=+⨯=⨯+⨯=. 故答案为：92π.15．已知直线方程1(0,0)x ya b a b+=>>经过指数函数11x y e -=+的定点，则2ab a b ++的最小值______________.【答案】16【分析】解出函数11x y e -=+的定点，代入直线方程得2a b ab +=，用“1”的替换及均值不等式计算即可.【详解】解：指数函数11x y e -=+的定点为(1,2)， 因为直线方程1(0,0)x ya b a b+=>>定点(1,2)， 所以121a b+=，即2a b ab += 则()1222(2)22ab a b a b a b a b ⎛⎫++=⨯+=⨯+⋅+⎪⎝⎭4242416b a a b ⎛⎫⎛⎫⨯++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当4b aa b=即2,4a b ==时取得最小值. 故答案为：16【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.四、双空题16．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k ，则两个几何体的体积比也为k .已知线段AB 长为4，直线l 过点A 且与AB 垂直，以B 为圆心，以1为半径的圆绕l 旋转一周，得到环体M ；以A ，B 分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N ；过AB 且与l 垂直的平面为β，平面//αβ，且距离为h ，若平面α截圆柱体N 所得截面面积为1S ，平面α截环体M 所得截面面积为2S ，则12S S =________，环体M 体积为_________.【答案】12π28π 【分析】画出示意图的截面，结合图形可得1S 和2S 的值，进而求出圆柱的体积，乘以2π，可得环体M 的体积，得到答案.【详解】画出示意图，可得22121481S h h =-⋅=-，222S r r ππ=-外内， 其中()22241hr =+-外，()22241r h=--内，故2211612S h S ππ=-⋅=，即1212S S π=， 环体M 体积为22248V ππππ=⋅=柱.五、解答题17．数列{}n a 前n 项和为n S ，满足：12a =，122n n a S +=+. （1）求证：数列{}1n S +是等比数列； （2）求和：12n S S S ++⋅⋅⋅+.【答案】（1）证明见解析；（2）13322n n +--.【分析】（1）由递推关系结合11n n n a S S ++=-可得()1131n n S S ++=+即可证明； （2）由（1）求出31nn S =-，分组求和法即可求出.【详解】（1）由122n n a S +=+可得122n n n S S S +-=+，即()1131n n S S ++=+ ∵112S a ==，132n n S S +=+， ∴0n S >，∴10n S +>，∴1131n n S S ++=+对任意*n N ∈恒成立， 故数列{}1n S +是以113S +=为首项，公比为3的等比数列；（2）由（1）知：11333n nn S -+=⋅=，即31n n S =-，故1212313131nn S S S +++=-+-++-1133331322n n n n +-=⋅-=---.18．在①ac =sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin AB ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角,,A B C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】解法一： 由sin 3sin AB可得：ab=不妨设(),0a b m m ==>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =. 选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==，此时：sin 3c A m ==，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =，与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,()1?2sinA A C =+= ，∴sinA =,∴tanA =∴23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =∵a =,2=∴c=1;若选②，3csinA =,3=,c =;若选③,与条件=c 矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19．我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响，为进一步培养中学生对航空航天的兴趣爱好，某学校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作，前五天的报名情况为：第1天3人，第2天6人，第3天10人，第4天13人，第5天18人，通过数据分析已知，报名人数与报名时间具有线性相关关系． （1）已知第x 天的报名人数为y ，求y 关于x 的线性回归方程，并预测第7天的报名人数（结果四舍五入取整数）．（2）该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系，随机调查了100名学生，并得到如下22⨯列联表：请根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0．001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”参考公式及数据：回归方程ˆˆˆy a bx=+中斜率的最小二乘估计公式为：()()()1122211ˆnniii i i i n ni ii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-； ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）ˆ 3.7 1.1=-y x ，25；（2）在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”.【分析】（1）利用最小二乘法直接求解回归方程，进而预测第7天的报名人数； （2）根据22⨯列联表直接求得2K ，进而判断. 【详解】解：（1）时间的平均数为1234535x ++++==，报名人数的平均数为36101318105++++==y ，所以717221187531037ˆ 3.7555910==-⋅-⨯⨯====-⨯-∑∑i ii ii x y nx ybxnx ，ˆˆ10 3.73 1.1=-=-⨯=-ay bx ， 所以线性回归方程为ˆ 3.7 1.1=-yx ，把7x =代入得ˆ24.825=≈y，所以第7天的报名人数约为25． （2）由列联表数据可得()2210045205301275255050⨯-⨯==⨯⨯⨯K因为12>10.828，所以，在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”．【点睛】一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值． 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAC ⊥底面ABCD ，PA PC AC ==.（1）证明：AC PB ⊥；（2）若PB 与底面所成的角为45︒，求二面角B PC A --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25【分析】（1）要求证AC PB ⊥；只需根据线面垂直判断定理求证AC ⊥平面PBD ，即可求得答案.（2）以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面BPC 的一个法向量n 和平面APC 的一个法向量m ，根据cos ,m nm n m n⋅=，即可求得答案. 【详解】（1）连接BD 交AC 于O ，底面ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥.PA PC =，O 为AC 的中点，∴AC PO ⊥.又BDPO O =，BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD .又PB ⊂平面PBD ，∴AC PB ⊥.（2）因为PA PC =，O 为AC 的中点，∴PO AC ⊥.又平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC底面ABCD AC =，PO ⊂平面PAC ，∴PO ⊥底面ABCD ， ∴OB ，OC ，OP 两两垂直.以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，PB 与底面所成的角即为45PBO ∠=︒，∴OB OP =.设3OP =1OC =，3OB =∴)3,0,0B，()0,1,0C ，(3P ，()0,1,0A -(3,0,3BP =-，()3,1,0BC =-.设平面BPC 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n BP n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令1x =，得()1,3,1n =， 又平面APC 的一个法向量为()3,0,0m OB ==，∴3cos ,5m n m n m n ⋅===⨯. 又二面角B PC A --为锐角，∴二面角B PC A --.【点睛】本题主要考查了异面直线垂直和二面角的余弦值，解题关键是掌握将线线垂直转化为线面垂直的证法和向量法求二面角的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21．抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过F 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于,M N 两点，O 为原点，OMN 的面积为2.（1）求拋物线C 的方程.（2）P 为直线()00:0l y y y =<上一个动点，过点P 作拋物线的切线，切点分别为,A B ，过点P 作AB 的垂线，垂足为H ，是否存在实数0y ，使点P 在直线l 上移动时，垂足H 恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出0y 的值，并求定点H 的坐标. 【答案】（1）24x y =；（2）存在这样的0y ，当01y =-时，H 坐标为(0,1). 【分析】（1）先根据抛物线的性质，结合题中条件，得到||2MN p =，由三角形面积列出方程求出p ，即可得出抛物线方程；（2）先设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，直线AP 的方程为()11y y k x x -=-，根据直线与抛物线相切，得到112x xy y +=，进而推出AB 的方程为002x x y y +=，根据PH AB ⊥，得到PH 方程，由两直线方程，即可求出0y ，确定出结果.【详解】（1）由题意得，点,M N 的纵坐标均为2p ，由222p x p =⋅，解得x p =±，则||2MN p =，由2111||||222222CMN p S MN OF p p =⋅⋅=⋅⋅==△，解得2p =， 故抛物线C 的方程为24x y =.（2）假设存在实数0y ，使点P 在直线l 上移动时，垂足H 恒为定点， 设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，直线AP 的方程为()11y y k x x -=-，将抛物线方程变形为24x y =，则2x y '=，所以12x k =， 所以AP 的方程为()1112x y y x x -=-. 因为2114x y =，所以直线AP 的方程为112x x y y +=. 把()00,P x y 代入AP 的方程得10012x x y y +=. 同理可得2002.2x x y y +=构造直线方程为002x xy y +=，易知,A B 两点均在该直线上， 所以直线AB 的方程为002x xy y +=.故AB 恒过点()00,y -. 因为PH AB ⊥，所以可设PH 方程为()0002x x x y y -=--，化简得()0022xx y y =--- 所以PH 恒过点()00,2y +.当002y y -=+，即01y =-时，AB 与PH 均恒过(0,1)， 故存在这样的0y ，当01y =-时，H 坐标为(0,1). 【点睛】关键点点睛：求解本题第二问的关键在于用0y 分别表示出直线AB 和PH 的方程；根据题中条件，先设点的坐标，以及直线AP 的方程，由直线与抛物线相切，得出直线AP 方程，推出AB 的方程，进而确定PH 的方程，即可求解.22．已知函数23()ln (1)2f x x x x a x b =+-++. （1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）e 为自然对数的底数，若3(1,31)a e e∈-+时，()0f x ≥恒成立，证明：260b a -+>.【答案】（1）()f x 的递减区间为(0,1)，递增区间为(1,)+∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）当3a =时，求导()ln 33f x x x '=+-，知()f x '在(0,)+∞上单调递增，又()01f '=，求()f x 的单调区间；（2）求导，结合零点存在性定理知存在唯一的01(,)x e e∈，使0()0f x '=，得00ln 3a x x =+，求出()f x 的最小值min ()f x ，推出200032652ln 62b a x x x -+≥--+，构造函数20000031()52ln 6,(,)2h x x x x x e e=--+∈，利用导数求出0()h x 极小值，即可证得结论.【详解】（1）当3a =时，23()ln 42f x x x x x b =+-+，(0,)x ∈+∞ ()ln 33f x x x '=+-在(0,)+∞上单调递增， 又()01f '= 当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增.所以当3a =时，()f x 的递减区间为(0,1)，递增区间为(1,)+∞. （2）()ln 3f x x x a '=+-在(0,)+∞上单调递增，3(1,31)a e e ∈-+，13()10f a e e'∴=-+-<，()130f e e a '=+->，由零点存在性定理知，存在唯一的01(,)x e e∈，使0()0f x '=，即00ln 30x x a +-=，得00ln 3a x x =+. 当00x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以当0x x =时，()f x 取得极小值即()f x 的最小值,2min 000003()()ln (1)2f x f x x x x a x b ==+-++ 20000003ln (ln 31)2x x x x x x b =+-+++20032x x b =--+又()0f x ≥恒成立，第 21 页 共 21 页 2min 003()02f x x x b ∴=--+≥，得20032b x x ≥+， 22000000033262(ln 3)652ln 622b a x x x x x x x ∴-+≥+-++=--+， 设20000031()52ln 6,(,)2h x x x x x e e=--+∈， 求导2000000000352(31)(2)2()35x x x x h x x x x x --+-'=--== 01(,)x e e∈，令0()0h x '=，得02x = 当012x e<<时，0()0h x '<，0()h x 单调递减； 当02x e <<时，0()0h x '>，0()h x 单调递增.当02x =时，0()h x 极小值3(2)4102ln 2622ln 22(1ln 2)02h =⨯--+=-=-> ， 即260b a -+>.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，常用的方法： ①首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围．②也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
2021届全国天一大联考新高考模拟考试数学试题
2021届全国天一大联考新高考模拟考试数学试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===，，则集合U U C M C N 等于（ ）A. {5,6}B. {1,5,6}C. {2,5,6}D. {1256}，，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集、并集的定义计算即可；【详解】解：因为{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===，， 所以{}2,5,6U C M =，{}1,5,6U C N = 所以()(){}1,2,5,6U U C N M C =故选：D【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.已知实数x ，y 满足1,0,x y >>则“x y <是log 1x y >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由对数的性质分析可得“若x y <，则log log 1x x y x >=”和“若log 1x y >，即log log 1x x y x >=，必有x y <”，结合充分、必要条件的定义分析可得答案.【详解】根据题意，实数,x y 满足1,0xy ，若x y <，即1x y <<，则log log 1x x y x >=，则“x y <”是“log 1x y >”的充分条件，反之若log 1x y >，即log log 1x x y x >=，由1x >，则必有x y <，则“x y <”是“log 1x y >”的必要条件， 故“x y <”是“log 1x y >”的充要条件； 故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对数函数的单调性，属于基础题.3.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足()1i e z i i π-⋅=+则 | z | =（ ）A.B.C. D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由新定义将i e π化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出z 后再求模． 【详解】由欧拉公式cos sin i e i θθθ=+有：cos sin 1i e i πππ=+=-. 由()1i e z i i π-⋅=+，即(1)1z i i --⋅=+ 所以111iz i i+--==-，即2z i =-+所以z ==故选：A【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化i e π为代数形式，然后求解．属于中档题.4.设()1,3a =-，()1,1b =，c a kb =+，若b c ⊥，则a 与c 的夹角余弦值为（ ）【答案】B 【解析】 【分析】根据()1,3a =-，()1,1b =，表示c 的坐标，再由b c ⊥建立方程求得k ，得到c 的坐标，然后利用夹角公式求解.【详解】因为()1,3a =-，()1,1b =， 所以()1,3c a kb k k =+=-++， 因为b c ⊥，所以()()11310k k -+⨯++⨯=， 解得1k =-， 所以()2,2c =-，因为8,10,22a c a c ⋅===，所以cos ,5102a c a c a c⋅===⋅⋅，所以a 与c . 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5.已知α终边与单位圆的交点3,-5P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且sin cos 0αα⋅>的值等于（ ） A.95B.75C.65D. 3【答案】A【解析】 【分析】先根据三角函数的定义得sin ,cos αα的值，再利用正、余弦二倍角公式化简所求式子，即可求解. 【详解】因为α终边与单位圆的交点3,5P x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且sin cos 0αα⋅>，所以3sin 5α=-，4cos 5α=-，则 1sin 222cos 2αα-++()12sin cos 21cos 2ααα=-⋅++()22sin cos 4cos ααα=-+189sin cos 2cos 555ααα=-+=+=.故选：A.【点睛】本题考查了正弦函数的定义以及二倍角公式进行化简求值，属于较易题.6.某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时）,现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时）,其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理（ ）附：()()()()()22n ad bc K a c b d a d b c -=++++,其中n a b c d =+++. ()20P K k ≥ 0.100.050.010.0050k2.7063.8416.6357.879A. 有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”B. 有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C. 有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D. 有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关” 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样以及频率分布直方图列联表,再计算2K ,结合表中的数据判断即可.【详解】由频率分布直方图可知, 平均体育锻炼时间不少于4小时的频率为()20.150.1250.0750.0250.75⨯+++=,故经常进行体育锻炼的学生2000.75150⨯=人.又其中有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,故有15040110-=位男生经常锻炼.根据分层抽样的方法可知,样本中男生的人数为700200140⨯=,女生有30020060⨯=.列出22⨯列联表有：故()22200110203040 3.171406015050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,因为2.706 3.17 3.841<<.故有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”. 故选：B【点睛】本题主要考查了分层抽样以及频率分布直方图的运用,同时也考查了独立性检验在实际情景中的运用.属于中档题.7.25()x x a --的展开式的各项系数和为32-，则该展开式中含9x 项的系数是（ ） A. 15- B. 5-C. 5D. 15【答案】B【解析】 【分析】因为25()x x a --的展开式的各项系数和为32-，令1x =，可得25(11)32a --=-，解得2a =，结合二项式展开通项公式，即可求得答案. 【详解】25()x x a --的展开式的各项系数和为32-令1x =，可得25(11)32a --= 故：5()32a -=- 解得：2a =故：()()552525()(2)21x x a x x x x --=--=-+设()52x -展开通项公式为：()5152ii ii T C x -+=- 设()51x +展开通项公式为：()5151rr r r M C x -+=则()()5521x x -+展开通项公式为展开式中含9x即()()()()5555105555552122iriii i r r i r r i i r i r C x C x C C x x C C x ------⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅中x 的幂是9故109i r --=，可得1i r += 又05,05i r ≤≤≤≤且,i r N ∈可得01i r =⎧⎨=⎩或10i r =⎧⎨=⎩当01i r =⎧⎨=⎩，由()()01001995555225i i r i r C C x C C x x --⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅= 当10i r =⎧⎨=⎩，由()()110109955552210i i r i r C C x C C x x --⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅=- 该展开式中含9x 项的系数为1055-+=- 故选：B.【点睛】本题主要考查了根据二项式展开式求指定项的系数问题，解题关键是掌握二项式展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.8.已知函数f （x ）的定义域为R ，且()()()1,02f x f x f '+<=，则不等式()13x f x e +>解集为（ ）A. (1,)+∞B. (,1)-∞C. (0,)+∞D. (,0)-∞【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()1xf xg x e+=,再分析()g x 的单调性以及()0g 求解()13x f x e +>即可. 【详解】构造函数()()1xf xg x e+=,则()()()10x f x f x e g x '--=>',故()g x 在R 上为增函数. 又()()00103f g e+==,故()13xf x e +>即()13x f x e +>,即()()0g x g >.解得0x >. 故选：C【点睛】本题主要考查了构造函数求解不等式的问题,需要根据题中所给的导数不等式或者所求的不等式,构造合适的函数,再根据函数的单调性求解.属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ ）A. ab 有最大值14B.C.11a b+有最小值2 D. 22a b +有最大值12【答案】AB 【解析】 【分析】对A,根据基本不等式求ab 的最大值；对B,对C,根据()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭再展开求解最小值； 对D,对1a b +=平方再根据基本不等式求最值.【详解】对A,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B, 22a b a b a b =++≤+++=,≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b +有最小值4.故C 错误.对D, ()()2222222121a b a ab b a a bb+=⇒++=≤+++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误. 故选：AB【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.10.直线1y kx =-与圆C ：()()223336x y ++-=相交于A 、B 两点,则AB 长度可能为（ ） A. 6 B. 8C. 12D. 16【答案】BC 【解析】 【分析】先求得圆心到直线1y kx =-的距离最大值,再利用垂径定理求得弦长AB 的范围即可.【详解】因为直线1y kx =-过定点()0,1-,故圆C 的圆心()3,3-到直线1y kx =-的距离的最大值为5=.又圆C 的半径为6,故弦长AB 的最小值为=.又当直线1y kx =-过圆心时弦长AB 取最大值为直径12,故AB ⎡⎤∈⎣⎦.故选：BC【点睛】本题主要考查了直线过定点以及垂径定理的运用,需要根据定点求出圆心到直线的距离最值,进而得出弦长的最值与范围.属于中档题.11.CPI 是居民消费价格指数(comsummer priceindex )的简称.居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标.如图是根据国家统计局发布的2019年4月——2020年4月我国CPI 涨跌幅数据绘制的折线图（注：2019年6月与2018年6月相比较，叫同比；2019年6月与2019年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论正确的是（ ）A. 2019年4月至2020年4月各月与去年同期比较，CPI 有涨有跌B. 2019年4月居民消费价格同比涨幅最小，2020年1月同比涨幅最大C. 2020年1月至2020年4月CPI 只跌不涨D. 2019年4月至2019年6月CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳 【答案】BD 【解析】 【分析】根据同比和环比的概念结合折线图，对各选项逐一分析，即可得到正确选项. 【详解】根据同比折线图可知：2019年4月至2020年4月各月与去年同期都是涨，只是涨的幅度有大有小，其中，2019年4月居民消费价格同比涨幅最小为2.5%，2020年1月同比涨幅最大为5.4%， 故A 错误，B 正确； 根据环比折线图可知：2020年1月至2020年4月CPI 有跌有涨，故C 错误；2019年4月至2019年6月CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳，故D 正确. 故选：BD.【点睛】本题主要考查统计中的折线图，同时考查对图表的分析与数据处理能力，属于基础题.12.抛物线24C x y =：的焦点为F ，P 为其上一动点，设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，点()22,M ，下列结论正确的是（ ） A. |PM | +|PF |的最小值为3B. 抛物线C 上的动点到点()0,3H 的距离最小值为3C. 存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称D. 若过A 、B 的抛物线的两条切线交准线于点T ，则A 、B 两点的纵坐标之和最小值为2【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质对每个命题进行判断．【详解】A ．设l 是抛物线的准线，过P 作PN l '⊥于N ，则3PM PF PM PN +=+≥，当且仅当,,P M N 三点共线时等号成立．所以PM PF +最小值是3，A 正确；B ．设(,)P x y 是抛物线上任一点，即24x y =，2222(3)4(3)(1)8PH x y y y y =+-=+-=-+1y =时，min 822PH ==B 错误；C ．假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称，设l 方程0x y m -+=，由240x yx y m ⎧=⎨-+=⎩得2440x x m --=，所以16160m ∆=+>，1m >-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x +=，AB 中点为00(,)Q x y ，则12022x x x +==，002y x m m =+=+，Q 必在直线30x y +-=上， 所以2230m ++-=，1m =-，这与直线l 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C 错误；D ．设1122(,),(,)A x y B x y ，由24x y =即214y x =，得12y x '=，则切线AT 方程为1111()2y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，同理BT 方程是2221124y x x x =-，由21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12121()214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由题意T 在准线1y =-上，所以12114x x =-，124x x =-，所以22221212121212111()[()2]()2444y y x x x x x x x x +=+=+-=++， 所以120x x +=时，122y y +=为最小值．D 正确． 故选：AD ．【点睛】本题考查抛物线的性质，涉及抛物线的定义，抛物线上的点到定点距离的最值，抛物线上的点关于定直线的对称性，抛物线的切线问题，难度较大．第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C 过点()1,-且与双曲线221126x y -=有相同的渐近线，则双曲线C 的标准方程为______. 【答案】221105x y -=【解析】 【分析】设所求双曲线方程为22126x y k -=，代入所过点的坐标，可求解．【详解】由题意设所求双曲线方程为22126x y k -=，因为双曲线过点()1,-所以121126k -=，56k =，所以双曲线方程为2251266x y -=，即221105x y -=． 故答案为：221105x y -=．【点睛】本题考查求共渐近线的双曲线方程，掌握渐近线的定义是解题关键是．与双曲线22221x y a b-=共渐近线的双曲线方程可设为2222x y m a b-=．14.已知) (f x 为奇函数，当0x <时3,()2, x f x ex e -=+则曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是______.【答案】2y ex e =- 【解析】【分析】利用奇函数的性质，求出0x >时，函数的解析式，求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程． 【详解】) (f x 为奇函数，当0x <时3,()2, x f x ex e -=+可得0x >，30,()()2,xx f x e x e -<-=-+ 根据奇函数性质()()f x f x -=- 可得：3()()2xf x e x e -=-+∴3()2x f x ex e =-，可得1(1)2=f e e e =--故：2()32xf x ex e '=-∴(1)32f e e e '=-=∴曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是：()1y e e x +=-整理可得：2y ex e =- 故答案为：2y ex e =-【点睛】本题考查奇函数的性质，考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．15.声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，已知函数()()()2cos 2f x x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移3π个单位后，与纯音的数学模型函数2sin 2y x =图象重合，则ϕ=______，若函数()f x 在[],a a -是减函数，则a 的最大值是______. 【答案】 (1). 6π (2). 12π 【解析】 【分析】将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位后可得到函数()y f x =的图象，结合诱导公式可求得ϕ的值，求得函数()y f x =的单调递减区间，由0x =属于该区间求得k 的值，再由区间的包含关系可求得a 的最大值.【详解】将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位后可得到函数()y f x =的图象，则()22sin 22sin 22sin 22cos 233626f x x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 又()()()2cos 2f x x ϕπϕπ=+-≤≤，6πϕ∴=，令()2226k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以，函数()y f x =的单调递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 由()50,1212k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，可得0k =， 由于函数()y f x =在区间[],a a -上单调递减，则[]5,,1212a a ππ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以，12512a a a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎪≤⎨⎪-<⎪⎪⎩，解得012a π<≤，则a 的最大值为12π.故答案为：6π；12π. 【点睛】本题考查利用三角函数图象平移求参数，同时也考查了利用余弦型函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.16.《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，12,4,BB BC AB AC ====且有鳖臑C 1-ABB 1和鳖臑1C ABC -，现将鳖臑1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，与鳖臑11C ABB -拼接成的几何体的外接球的表面积是______.【答案】1003π【解析】 【分析】当1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，A 点翻折到E 点，,A E 关于B 对称，所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解.【详解】当1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，A 点翻折到E 点，,A E 关于B 对称，所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -,如图，由123,2,4,BB BC AB AC ==== 可得22114AB BB AB =+=,22114B E BB BE =+=,即1B AE △为正三角形，所以外接圆圆心为三角形中心1O ，设三棱锥外接球球心为O ，连接1O O ，则1O O ⊥平面1AB E ，连接1OC ,1OB ,在11OB C 中作11OM B C ⊥,垂足为M ，如图，因为11OC OB R ==,11OM B C ⊥,所以M 是11B C 的中点，由矩形11MOO B 可知11111322OO B C BC ===, 因为1O 为三角形1AB E 的中心， 所以111224323333B O B B ==⨯=在11Rt B OO 中，22111165333R OO B O =+=+=, 所以210043S R ππ==, 故答案为：1003π【点睛】本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了空间想象力，属于难题.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知D 是ABC ∆边AC 上的一点,ABD ∆面积是BCD ∆面积的3倍，22.ABD CBD θ∠=∠= （1）若∠ABC =2π，求sin sin A C 的值；（2）若BC 2，AB =3，求边AC 的长. 【答案】（13217 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式以及题设条件，求解即可； （2）由题设条件结合三角形面积公式得出2cos 2θ=，进而得出334ABC πθ∠==，最后由余弦定理求解即可.【详解】解：（1）因为2ABC π∠=，22ABD CBD θ∠=∠=，所以6πθ=.所以11sin 3sin 2326AB BD BC BD ππ⋅=⨯⋅，所以sin 3sin 3BC A AB C ==；（2）因为11sin 23sin 22AB BD BC BD θθ⋅=⨯⋅，即2cos 3AB BC θ= 所以2cos 2θ=,所以4πθ=，334ABC πθ∠==2292232172AC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以17AC =.【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题. 18.给出以下三个条件:①数列{}n a 是首项为 2，满足142n n S S +=+的数列；②数列{}n a 是首项为2，满足2132n n S λ+=+（λ∈R ）的数列； ③数列{}n a 是首项为2，满足132n n S a +=-的数列.. 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 与n S 满足______，记数列21222log log log n n b a a a =+++，21++=n n n n n c b b ，求数列{n c }的前n 项和n T ；（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据所填条件求出数列{}n a 的通项公式，再依次求{}n b ，{}n c 的通项公式，由111(1)1n c n n n n ==-++，用裂项相消求数列{n c }的前n 项和n T 即可.【详解】选①，由已知142n n S S +=+（1）， 当2n ≥时，142n n S S -=+（2），（1）-（2）得：()1144n n n n a S S a +-=-=，即14n n a a +=，当1n =时，2142S S =+，由12a =，所以22422a +=⨯+， 所以28a =，满足214a a =，故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列，所以212n na -=.()21222212log log log log n n n b a a a a a a =++⋅⋅⋅+=213(21)n n =++⋅⋅⋅+-=，2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++，所以111111112231n n T c c c n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 选②，由已知2132n n S λ+=+（1）， 当2n ≥时，21132n n S λ--=+（2），（1）-（2）得，21212132232n n n n a +--=-=⋅，即212n n a -=，当1n =时，12a =满足212n na -=，故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列，所以212n n a -=.下同选①；选③，由已知132n n S a +=-（1）， 则2n ≥时，132n n S a -=-（2），（1）-（2）得13n n n a a a +=-，即14n n a a +=，当1n =时，1232a a =-，而12a =，得28a =，满足214a a =， 故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列，所以212n n a -=.下同选①.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，以及用裂项相消法求数列前n 项和.19.如图，已知平面BCE ⊥平面ABC ，直线DA ⊥平面ABC ，且DA AB AC ==.（1）求证：//DA 平面EBC ； （2）若3BAC π∠=，PE ⊥平面BCE ，求二面角A BD E --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）15【解析】 【分析】（1）过点E 作EH BC ⊥于点H ，推导出EH ⊥平面ABC ，利用线面垂直的性质定理可得出//AD EH ，再由线面平行的判定定理可证得//DA 平面EBC ；（2）推导出四边形DAHE 为矩形，然后以点H 为坐标原点，分别以HB 、HA 、HE 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2DA a =，利用空间向量法可求得二面角A BD E --的余弦值.【详解】（1）证明：过点E 作EH BC ⊥于点H ， 因为平面BCE ⊥平面ABC ，又平面BCE 平面ABC BC =，EH ⊂平面BCE ，所以EH ⊥平面ABC ，又因为DA ⊥平面ABC ，所以//AD EH ，因为EH ⊂平面BCE ，DA ⊄平面BCE ，所以//DA 平面EBC ；（2）因为DE ⊥平面BEC ，所以2DEB DEC π∠=∠=，由AB AC =可知DB DC =，DE DE =，DEB DEC ≅△△，则BE CE =， 所以点H 是BC 的中点，连接AH ，则AH BC ⊥， 所以AH ⊥平面EBC ，则//DE AH ，AHEH ⊥，所以四边形DAHE 是矩形.以H 为坐标原点，分别以HB 、HA 、HE 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2DA a =，则()0,0,2E a 、()3,0A a 、(),0,0B a 、()3,2D a a . 设平面ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =， 又(),3,0AB a a =-，()0,0,2AD a =.由00m AB m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1113020ax ay az ⎧=⎪⎨=⎪⎩，取11y =，得()3,1,0m =.设平面BDE 的一个法向量为()222,,n x y z =， 因为(),3,2BD a a a =-，(),0,2BE a a =-.由00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2222232020ax ay az ax az ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，取21z =，得()2,0,1n =；设二面角A BD E --的平面角为θ，则15cos cos ,m n m n m nθ⋅=<>==⋅， 由题知二面角A BD E --是钝角，则二面角A BD E --的余弦值为15【点睛】本题考查利用线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，涉及面面垂直和线面垂直的性质定理的应用，考查推理能力和计算能力，属于中等题.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与圆22243x y b +=相交于M ，N ，P ，Q 四点，四边形MNPQ 为正方形，△PF 1F 2的周长为()221.+（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点(),0,1,D -若直线AD 与直线BD 的斜率之积为16，证明：直线恒过定点.【答案】（1）2212x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据四边形MNPQ 为正方形，可得到关于,a b 的一个方程，由△PF 1F 2的周长为()221+得到关于,a b的另一个方程，联立方程，解方程组，即可得到椭圆C 的方程.（2）对直线l 的斜率存在与否进行讨论，当斜率不存在时，结合条件容易排除，当斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，得到两根之和、两根之积，将条件直线AD 与直线BD 的斜率之积为16转化为韦达定理的形式，代入化简即可证明结论. 【详解】解：（1）如图所示，设点()00,N x y ，由题意四边形MNPQ 为正方形，所以00x y =，即()00,N x x ， 因为点()00,N x x 在圆22243x y b +=上，所以2220043x x b +=，即22023x b =，又点()00,N x x 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，所以2200221x x a b+=，即2222133b a +=，所以2212b a =①，又△PF 1F 2的周长为)21，即)2221a c +=②，由①②解得22a =，21b =，所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.（2）①当直线l 斜率不存在时，设l ：x m =，(),A A m y ，(),A B m y -，因为点(),A A m y 在椭圆2212x y +=上，所以2212A y m +=，即2212A y m =-， 所以22111A A AAD BDy y y k k m m m+-+-⋅=⋅=2211226m m ==≠不满足题意. ②当直线l 斜率存在时，设l ：()1y kx b b =+≠-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22220y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩， 整理得()222124220kxkbx b +++-=，所以122412kb x x k -+=+，21222212b x x k -⋅=+，则121211AD BD y y k k x x ++⋅=⋅ ()()()12211221kx b kx b k x x b x x ++++++⎡⎤⎣⎦=()22121212()21k x x kb k x x b b x x ++++++=，将122412kb x x k -+=+，21222212b x x k -⋅=+代入上式化简得： 121211AD BDy y k k x x ++⋅=⋅2(1)12(1)(1)6b b b +==+-.即1113b b +=-，解得，2b =-， 所以直线l 恒过定点()0,2-.【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的综合，椭圆中直线恒过定点问题，属于中档题.21.已知函数()()21ln 204f x x ax a x a =-+≠ （1）若0a <时()f x 在[1,]e 上的最小值是5ln 24-，求a ；（2）若a e ≥，且x 1，x 2是()f x 的两个极值点，证明：()()()221212122f x f x x x e +<+-（其中e 为自然对数的底数, 2.71e ≈）【答案】（1）1a =-（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数得出函数()f x 的单调性，再由最值，解出a 的值；（2）由题意结合韦达定理得出122x x a +=，122x x a =，2221244x x a a +=-，将()()()221212122f x f x x x e +-++化简为2ln832a a a a e -++，构造函数2()ln 832()g a a a a a e a e =-++≥，利用导数得出其最大值，进而得出()()()221212122f x f x x x e +<+-. 【详解】解：（1）()f x 定义域是0,，222'()22a x x ax af x a x x-+=-+=. 令2()22g x x ax a =-+，对称轴00x a =<因为1a >，()110g =>，所以当[]1,x e ∈时，()0g x >，即()()'02g x f x x=> 所以()f x 在[]1,e 上单调递增.min 15()(1)ln 2ln 244f x f a a ==-+=- 解得1a =-.（2）由()f x 有两个极值点1x ，2x ，则()'0f x =在0,有2个不等的实根即2220x ax a -+=在0,有2个不等的实根，则2480a a a ⎧∆=->⎨>⎩，解得2a >.122x x a +=，122x x a =，()2222121212244x x x x x x a a +=+-=-当a e ≥时，()()()221212122f x f x x x e +-++()()221212121ln 424a x x a x x x x e =-+-++ ()()2221ln82442ln8324a a a a a e a a a a e a e =---+=-++≥ 令2()ln 832()g a a a a a e a e =-++≥，'()ln862()g a a a a e =-+≥ 令()'()ln862h a g a a a ==-+116'()6ah a a a-=-=，当a e ≥时，()'0h a <，所以()h a 在[),e +∞单调递减. 所以()()h a h e ≤即'()'()ln862(13ln 2)62g a g e e e e ≤=-+=+-+3ln 263363660e e e =-+<-+=-< 所以()g a 在[),e +∞单调递减22()()ln833(13ln 2)33g a g e e e e e e e e ≤=-+=+-+ (3ln 234)(334)(73)0e e e e e e =-+<-+=-<所以()0g a <所以原式成立. 即()()()221212122f x f x x x e +<+-. 【点睛】本题主要考查了已知函数的最值求参数，利用导数证明不等式，将不等式的恒成立问题转化为求最值的问题是解题的关键，属于较难题.22.新能源汽车已经走进我们的生活，逐渐为大家所青睐.现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售，预售场面异常火爆，故该经销商采用竞价策略基本规则是：①竞价者都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期汽车配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2020年6月份的汽车竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近5个月参与竞价的人数（如下表）（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆ bt y a =+，并预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2020年6月份汽车竞价人员的报价进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：（i ）求这200位竞价人员报价的平均值x 和样本方差s 2（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替） （ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,,N μσ且μ与σ2可分别由（i ）中所示的样本平均数x 及s 2估计.若2020年月6份计划提供的新能源车辆数为3174，根据市场调研，最低成交价高于样本平均数x ，请你预测（需说明理由）最低成交价. 参考公式及数据：①回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑ ②5521155, 2.6;ii i i i tx y ====≈∑∑③若随机变量X 服从正态分布()2,,N μσ则()()0.6826,220.9544,P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+= ()330.9974P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）ˆ0.320.08y t =+，20000人.（2）（i ）11万元，6.8（ii ）13.6万元【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法得出回归方程，并将6t =代入回归方程，即可预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；（2）（i ）由频数表中数据，利用平均数和方差的求解方法求解即可；（ii ）由题意得出竞拍成功的概率，根据正态分布的性质，即可确定最低成交价. 【详解】解：（1）根据题意，得：3t =， 1.04y =52155ii t==∑，5118.8i i i t y ==∑5152221518.853 1.040.3255535i ii ii t y t yb tt ==-⋅-⨯⨯∴===-⨯-∑∑则ˆ 1.040.3230.08a y bt =-=-⨯=从而得到直线的回归方程为ˆ0.320.08yt =+ 当6t =时，2y =.所以预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数为20000人. （2）（i ）根据表中给的数据求得平均值和方差为206060302010791113151711200200200200200200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）. 2222222060302010(4)(2)0246 6.8200200200200200s =⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=.（ii ）竞拍成功的概率为31740.158720000P == 由题意知()~11,6.8X N所以()0.6826P X μσμσ-<<+= 所以()10.68260.15872P X μσ-≥+== 所以2020年6月份的预测的最低成交价13.6μσ+=万元.【点睛】本题主要考查了求线性回归方程，正态分布的实际应用，计算平均数和方差，属于中档题.。
无锡市锡山区天一中学2021届高考数学二模考前热身试卷(含答案解析)
无锡市锡山区天一中学2021届高考数学二模考前热身试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设，已知集合，，且，则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.设i是虚数单位，若复数z满足z(1−i)=i，则复数z对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.由所确定的平面区域内整点的个数是()A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个4.函数y=a−x与y=log a(−x)的图象可能是()A. B.C. D.5.在中，，，则的面积为()A. B. C. D.6.《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长六百里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．根据该问题设计程序框图，若输人a=103，b=97，则输出n的值是()A. 5B. 6C. 7D. 87.已知双曲线：x 2−y 24=1上一点P 到它的一个焦点的距离为2，则它到另一个焦点的距离为( ) A. 3B. 4C. 6D. 2+2√58.已知f(x)=x 3−6x 2+9x −abc ，a <b <c ，且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0； ②f(0)f(1)<0； ③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0； ⑤abc <4； ⑥abc >4．其中正确结论的序号是( )A. ①③⑤B. ①④⑥C. ②③⑤D. ②④⑥二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =√2，CC 1=1，点D 为BC 中点，则以下结论正确的是( ) A. A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. 三棱锥D −AB 1C 1的体积为√36C. AB 1⊥BC 且AB 1//平面A 1C 1DD. △ABC 内到直线AC.BB 1的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分10. 已知(x +2)7=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+a 3(x +1)3+⋯+a 6(x +1)6+a 7(x +1)7，则( )A. a 5=21B. ∑(7i=0−1)ia i =0C. ∑i 7i=1a i =448D. a 0，a 1，a 2，…，a 7这8个数中a 6最大11. 已知点P 是双曲线E ：x 216−y 29=1的右支上一点，F 1、F 2是双曲线E 的左、右焦点，△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的有( )A. 点P 的横坐标为203 B. △PF 1F 2的周长为803 C. ∠F 1PF 2大于π3D. △PF 1F 2的内切圆半径为3212. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P 分别是线段C 1D 1，线段C 1C ，线段A 1B 上的动点，且MC 1=NC 1≠0，则下列说法正确的有( )A. 三棱锥P −B 1BM 的体积为定值B. 异面直线MN 与BC 1所成的角为60°C. AP +PC 1的长的最小值为√2+√6D. 点B 1到平面BCD 1的距离为2√23三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知二项式的各项系数和为，则的常数项为 ．14. 已知两条直线和互相垂直，则等于15. 底面是正方形，容积为16的无盖水箱，它的高为______时最省材料．16. 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB =√3b ． (1)求角A 的大小；(2)若a =6，b +c =8，求△ABC 的面积． (3)若b =6，求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影．18. 已知等差数列{a n }中，a 3a 7=−16，a 4+a 6=0 (1)求{a n }的通项公式；(2)若a 3<a 2，S n 是数列{a n }的前n 项和，求{Snn}的前n 项和．19. 如图，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB =1． (1)求证：平面AB 1D ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：A 1C//平面AB 1D ； (3)求二面角B −AB 1−D 的正切值．20. 北京时间3月10日，CBA 半决赛开打，采用7局4胜制(若某对取胜四场，则终止本次比赛，并获得进入决赛资格)，采用2−3−2的赛程，辽宁男篮将与新疆男篮争夺一个决赛名额，由于新疆队常规赛占优，决赛时拥有主场优势(新疆先两个主场，然后三个客场，再两个主场)，以下是总决赛赛程：(1)若考虑主场优势，每个队主场获胜的概率均为23，客场取胜的概率均为13，求辽宁队以比分4：1获胜的概率；(2)根据以往资料统计，每场比赛组织者可获得门票收入50万元(与主客场无关)，若不考虑主客场因素，每个队每场比赛获胜的概率均为12，设本次半决赛中(只考虑这两支队)组织者所获得的门票收入为X ，求X 的分布列及数学期望．21. 已知函数f(x)=(x 2+mx +m)√1−2x ，(m ∈R)(1)当m =4时，求f(x)的极值．(2)若f(x)在区间(0,14)上单调递增，求m 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l′：x =4的距离的比是常数12．(1)求点M 的轨迹C 方程；(2)设过点A(2,0)的直线l 与曲线C 交于点B(B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点P ，与y 轴交于点D ，若BF ⊥DF ，且∠POA ≤∠PAO ，求直线l 斜率的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：因为，所以，要使，只需．考点：集合的运算．2.答案：B解析：解：由z(1−i)=i，得z=i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+i2．∴复数z对应的点的坐标为(−12,12)，在第二象限．故选：B．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：解：由题意画图如下阴影部分，所以阴影部分内部的整数点只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)(2,1)，(3,1)六个．故选：A．4.答案：C解析：解：∵在y=log a(−x)中，−x>0，∴x<0；∴图象只能在y轴的右侧，故排除A、D；当a>1时，y=log a(−x)是减函数，y=a−x=(1a)x是减函数，故排除B；当0<a<1时，y=log a(−x)是增函数，y=a−x=(1a)x是增函数，∴C满足条件；故选：C．用排除法，根据对数的真数大于0，排除A、D；讨论a的取值，排除B；从而得到正确答案．本题考查了函数的图象与对应函数之间的关系，是基础题．5.答案：C解析：试题分析：根据题意，由于，，那么，那么可知则根据三角形的正弦定理，，然后结合三角形的面积公式可知，故选C．考点：解三角形点评：解决的关键是利用正弦定理和余弦定理来求解三角形的面积，属于基础题。
八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题(二)(含答案解析)
八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，{}220A x x x =-<，{}1B x x =≥，则()UAB =（ ）A ．{}0x x >B ．{}1x x <C ．{}2x x <D ．{}01x x <<2．设53a -=，3log 0.2b =，2log 3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>3．已知sin α=()cos αβ-=，且304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A B C D 4．已知直线l 与曲线()xf x e =和()lng x x =分别相切于点()11,A x y ，()22,B x y .有以下命题：（1）90AOB ∠>︒(O 为原点)；（2）()11,1x ∈-；（3）当10x <时，)2121x x ->.则真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为（ ） A ．1360B ．16C ．115D ．7156．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA '是铅垂面，下宽3m AA '=，上宽4m BD =，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽5m CE =，无深，长6m （直线CE 到BD 的距离），则该羡除的体积为（ ）A ．324mB ．330mC ．336mD ．342m7．已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆上一点（异于左、右顶点）为半径的圆内切于12PF F △，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．0,3⎛ ⎝⎦C ．1,33⎛ ⎝⎦D ．3⎫⎪⎢⎪⎣⎭8．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID -19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)p p <<且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 最大，则0p =（）A ．1BC ．3D ．13-二、多选题9．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）A ．()12P M =B ．()1611P M A =C ．事件M 与事件1A 不相互独立D ．1A ，2A ，3A是两两互斥的事件 10．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ） A ．()()a b a b λλ⊗=⊗ B ．a b b a ⊗=⊗C ．()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗D ．若()11,a x y =，()22,b x y =，则122a b x y x y ⊗=-11．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 12．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x = B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a = C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点三、填空题 13．若1721701217(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++⋯++，则012316a a a a a ++++⋯+=______.14．已知ABC 的外心为,34O AO BC BO AC CO BA ⋅=⋅+⋅，则cos B 的取值范围是_____________.15．《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，12,4,BB BC AB AC ====且有鳖臑C 1-ABB 1和鳖臑1C ABC -，现将鳖臑1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，与鳖臑11C ABB -拼接成的几何体的外接球的表面积是______.四、双空题16．对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x+-=+的实数根.记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =____________；设数列{}n a 的前n 项和为n S=___.五、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n nS +=，数列{}n b 满足：2log n n a b =，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设1,?(2) 2,? nn nn a n c n b ⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求2n T .18．已如函数()()2ππsin 2cos 12f x x x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2f A =，2a =，求ABC 面积的最大值．19．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA -V 200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270，25 ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p (0<p <1).（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数).（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为()f p . （i ）求出f (p )的最大值点0p ;（ii ）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列. 参考数据:ζ ~N (u ，2σ)，则p (μ-σ<X <μ+σ)≈0.6826，p (μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9644.20．如图1，矩形ABCDBC =，将矩形ABCD 折起，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，连接AF 、CE ，以AF 和EF 为折痕，将四边形ABFE 折起，使点B 落在线段FC 上，将CDE △ 向上折起，使平面DEC ⊥平面FEC ，如图2.（1）证明：平面ABE ⊥平面EFC ；（2）连接BE 、BD ，求锐二面角A -BE -D 的正弦值.21．已知椭圆C .22221x y a b+=（0a b >>）与抛物线22y px Γ=：（0p >）共焦点，以椭圆的上下顶点M 、N 和左右焦点F 1、F 2所围成的四边形MF 1NF 2的面积为8，经过F 2的直线交抛物线于A 、B ，交椭圆于C 、D ，且满足22221111AF BF CF DF ⎫+=+⎪⎪⎭.（1）求出椭圆和抛物线的标准方程;（2）若点D 在第三象限，且点A 在点B 上方，点C 在点D 上方，当△BF 1D面积取得最大值S 时，求212F F F B ⋅的值. 22．已知函数()()xf x xex =∈R ，其中e 为自然对数的底数．（1）当1x >时，证明：()()211ln 231f x x x x x --->-+； （2）设实数1x ，()212x x x ≠是函数()()()2112g x f x a x =-+的两个零点，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 【分析】解出集合A 中的不等式，然后可得答案. 【详解】因为{}{}220=02A x x x x x =-<<<，{}1B x x =≥所以{}1UB x x =<，所以()U AB ={}2x x <故选：C 2．D 【分析】利用对应指对数函数性质即可判断a ，b ，c 的范围，即可知它们的大小关系. 【详解】由3x y =的性质知：01a <<， 由3log y x =的性质知：0b <， 由2log y x =的性质知：1c >， 所以c a b >>. 故选：D 3．A 【分析】 易知()()sin sinβααβ=--，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ-，分别在()sin αβ-=和利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果.【详解】sin α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴-<-<，()sin 5αβ∴-==±.当()sin 5αβ-=时， ()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=---5757535=-⨯=-， 304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴= 当()sin αβ-=sin β=，符合题意.综上所述：sin β=. 故选：A . 【点睛】易错点睛：本题中求解cos α时，易忽略sin α的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cos α的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.4．C 【分析】先利用导数求斜率得到直线l 的方程，可得出()1121211ln 1x x e xe x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，分类讨论1x 的符号，计算化简()111x x OA OB x ee -⋅=-并判断其符号即得命题①正确；由()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩结合指数与对数的互化，得到111101x x e x +=>-，即得1x 的范围，得命题②错误；构造函数1111()1x x F x e x +=--，研究其零点132,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，再构造函数()x h x e x -=-并研究其范围，即得到12112x x x e x --=->，得到命题③正确. 【详解】()x f x e =，()x f x e '∴=，所以直线l 的斜率11x k e =，直线l 的方程为()111x x y e e x x -=-，即()1111x x y e x x e =+-，同理根据()ln g x x =可知，直线l 的方程为()221ln 1y x x x =+-，故()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，得1221ln ln x x x ==-. 命题①中，若10x =，由121xe x =可得21x =，此时等式()1121ln 1xe x x -=-不成立，矛盾；10x ≠时，()()11111212111x x x x OA OB x x y y x e e x x e e --⋅=+=+⋅-=-，因此，若10x <，则110x x ->>，有110x x e e -->，此时0OA OB ⋅<； 若1>0x ，则110x x -<<，有110x x e e --<，此时0OA OB ⋅<.所以根据数量积定义知，cos 0AOB ∠<，即90AOB ∠>，故①正确；命题②中，由()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩得1211111ln 1110111x x x x e x x x ---+===>---，得11x <-或11x >，故②错误；命题③中，因为21ln 2111x x x x ex ex --=-=-，由②知，11111xx e x +=-，11x <-或11x >， 故当10x <时，即11x <-，设1111()1x x F x e x +=--，则()1212()01x F x e x '=+>-，故 ()F x 在(),1-∞-是增函数，而21(2)03F e --=-<，3231025F e -⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，故1111()01x x F x e x +=-=-的根132,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，因为21ln 2111x xx x e x e x --=-=-，故构造函数()x h x e x -=-，32,2x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，则()10xh x e -'=--<，故()h x 在32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以32333()52222xh x e x g e -⎛⎫=->-=+>+> ⎪⎝⎭，故)2121x x ->，故③正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用导数几何意义求曲线的切线，考查了利用函数的单调性研究函数的零点问题，属于函数的综合应用题，属于难题. 5．C 【分析】先求得总可能性为410A 种，再求得满足题意的可能性为2283A A 种，代入公式，即可求得答案. 【详解】由题意得：10种乐器种任选4种，故总的可能性有410A 种，琵琶、二胡一定安排且不相邻的可能性有2283A A 种，所以两种乐器互不相邻的概率2283410115A A P A ==. 故选：C 6．C 【分析】在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算． 【详解】如图，在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，则三棱柱ABC A B C '''-是斜三棱柱，该羡除的体积V V=三棱柱ABC A B C '''-V+四棱锥A B DEC '''-()311123636336m 232+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 7．A 【分析】根据三角形的面积关系，可得(1122222p a c c y +=，再根据||P y b ≤可得关于,a c 的不等式，从而可求得离心率的取值范围. 【详解】12PF F 的面积关系可得：(11222222p a c c y +=，∴()p a c c y +=≤，∴()a c +≤， ∴()222a c b +≤，则22023a ac c ≤--，()()30a c a c +-≥，∴3a c ≥，∴103e <≤.故选：A. 【点睛】本题考查椭圆的定义运用、三角形内切圆、椭圆的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意不等关系的建立. 8．A 【分析】先求出概率4()(2)(1)f p p p p =--，再求最大值，借助于均值不等式求解． 【详解】解：设事件A ：检测5个人确定为“感染高危户”， 事件B ：检测6个人确定为“感染高危户”. ∴4()(1)P A p p =-，5()(1)P B p p =-.即454()(1)(1)(2)(1)f p p p p p p p p =-+-=--. 设10x p =->，则()424()(1)(1)(1)1g x f p x x x x x =-=-+=-，∴()()242221()1222g x xxx x x ⎡⎤=-=⨯-⨯⨯⎣⎦ ()322222142327x x x ⎡⎤-++≤⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当2222x x -=即x =时取等号，即013p p ==-. 故选：A. 【点睛】本题考查概率，以及求函数最值，属于中档题． 9．BCD 【分析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案． 【详解】解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球． 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A 、2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，对A ，463535541()1011101110111102P M =⨯+⨯+⨯=≠，故A 错误； 对B ，11146()61011(|)4()1110P MA P M A P A ⨯===，故B 正确； 对C ，当1A 发生时，6()11P M =，当1A 不发生时，5()11P M =，∴事件M 与事件1A 不相互独立，故C 正确；对D ，1A ，2A ，3A 不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力. 10．BD 【分析】对于A,B,只需根据定义列出左边和右边的式子即可,对于C,当λab 时,()()1sin,a b c b c b c λ+⊗=+⋅,()()()sin,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅,显然不会恒成立. 对于D,根据数量积求出cos ,a b ,再由平方关系求出sin ,a b 的值,代入定义进行化简验证即可. 【详解】解：对于A ：()()sin ,a b a b a b λλ⊗=⋅，()sin ,a b a b a bλλλ⊗=⋅，故()()a b a b λλ⊗=⊗不会恒成立；对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅，=sin ,b a b a b a ⊗⋅，故a b b a ⊗=⊗恒成立； 对于C ，若λab ，且0λ>，()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅，()()()sin,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅，显然()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗不会恒成立；对于D ，1212cos ,x x y y a b a b+=⋅，212sin ,1a b a b ⎛ ⎪=- ⎪⋅⎭， 即有222121212121x x y y x x y y a b a b a b a a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⊗=⋅⋅-=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⋅⎭⎭21y ⎪=⎪+⎭=1221x y x y =-.则1221a b x y x y ⊗=-恒成立. 故选：BD. 【点睛】本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题. 11．BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误.当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 12．ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确； 对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解， 令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解， 则sin xxa e-=在()π,π-上恰有一个解，即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e-'=，()π,πx ∈-， 令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为343204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为4204g e ππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 而()()()0,0,00g g g ππ-===， 作出()sinxg x e -=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， 即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确；对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x x a e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e --'=，()π,πx ∈-， 令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<， ()h x ∴在,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为4204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos xxh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为4204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 所以42a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当42a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确；对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数x y e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点， 则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想. 13．1721- 【分析】先利用二项展开式的通项公式求解171a =，然后利用赋值法求解012316a a a a a ++++⋯+. 【详解】由题意，由1717(2)[1(1)]x x +=++，17171(1)T x +=+， ∴171a =，令0x =，则17012172a a a a ++++=⋯，所以1701231621a a a a a ++++⋯+=－. 故答案为：1721-.14．⎫⎪⎪⎣⎭【分析】作出图示，取BC 的中点D ，则有ODBC ，再由向量的线性表示和向量数量积的运算得出()2212AO BC b c ⋅=-，()2212BO AC a c -⋅=，()2212CO BA b a -⋅=，代入已知得222+23a c b =，由余弦定理表示cos B ，再由基本不等式可求得范围.【详解】作出图示如下图所示，取BC 的中点D ，连接OD ，AD ，因为ABC 的外心为O ,则OD BC ，因为()++AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD BC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅，又()()()()2222111+222AD BC AB AC AC AB AC AB b c ⋅=⋅-==--，所以()2212AO BC b c ⋅=-，同理可得()2212BO AC a c -⋅=，()2212CO BA b a -⋅=，所以34AO BC BO AC CO BA ⋅=⋅+⋅化为()()()22222211134222b c a c b a ⨯-=⨯+--，即222+23a c b =.由余弦定理得()2222222221+2123cos 2232+a c a c a c ba c B acac ac+-+-===⨯，又22222+a c ac ac ≥=c =时，取等号，又0B π<<，所以cos 13B ≤<.故答案为：3⎫⎪⎪⎣⎭.【点睛】本题考查向量的数量积运算，以及三角形的外心的定义和性质，关键在于三角形的外心的定义和向量的线性表示，转化表示向量的数量积，将已知条件转化为三角形的边的关系，属于较难题. 15．1003π 【分析】当1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，A 点翻折到E 点，,A E 关于B 对称，所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解. 【详解】当1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，A 点翻折到E 点，,A E 关于B 对称，所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -,如图，由12,4,BB BC AB AC ====可得14AB ==,14B E ==,即1B AE △为正三角形，所以外接圆圆心为三角形中心1O ，设三棱锥外接球球心为O ，连接1O O ，则1O O ⊥平面1AB E ，连接1OC ,1OB ,在11OBC 中作11OM BC ⊥,垂足为M ，如图，因为11OC OB R ==,11OM BC ⊥,所以M 是11B C 的中点，由矩形11MOO B可知1111122OO B C BC ===因为1O 为三角形1AB E 的中心，所以1112233B O B B ==⨯=在11Rt B OO中，3R ===, 所以210043S R ππ==, 故答案为：1003π【点睛】本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了空间想象力，属于难题.16．0 1010 【分析】（1）当1n =时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而求出结果. （2）令12=n nt x ，化简方程，通过构造函数的方法，找到零点的范围，即n t 得范围，分类讨论n 为奇数和偶数时n a ，求得结果. 【详解】 （1）当1n =时，221log 4-=x x ， 设221()log 4=--f x x x 单调递减， 1()1>02=f ，(1)30f =-<，所以1112<<x ，111122<<x 111[]02==a x （2）令12=n nt x ，则方程化为：22+1(2)log 23+=+n n n t n t n n令22+1()(2)log 23=+--n f x x n x n n ，则()f x 在(0,)+∞单调递增+1()log 302=-<n nf n n n ； +1()1>02=n f由零点存在定理可得：1(,)22+∃∈n n x ，()0f x =， 当21()n k k +=-∈N ，21(,)2-∈n k t k ，[]1==-n n a t k 当2()n k k +=∈N ，21()2，+∈n k t k ，[]==n n a t k 所以当101010102202011(1)1010===-+=∑∑k k S k k ，1010故答案为：①0；②1010 【点睛】本题考查了函数的性质、零点存在定理，数列求和等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化和分类讨论的数学思想，属于难题.17．（1）n a n =，2nn b =；（2）()2712622134n nT n =--+⨯ 【分析】（1）根据22n n n S +=，利用数列的通项与前n 项和的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解；（2）由（1）知，n a n =，2nn b =得到()()()11212n n n n n c n -⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，然后利用分组求和法求解. 【详解】（1）数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，当1n =时，111a S ==当2n ≥时，22n n n S +=，()21112n n n S --+-=，两式相减得：1n n n a S S n -=-=(2)n ≥ 又1n =时，11a =满足上式 所以n a n =又2log n n a b =，所以2log n n b =， 所以2nn b =.（2）()()()122n n n n a n c n b ⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，由（1）知，n a n =，2nn b =所以()()()11212n n n n n c n -⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++++()()21111111 (1335212128)2n n n -⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-+⎝⎭⎝⎭ 11111111124112335212114n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-+-++-+ ⎪-+⎝⎭- 1121(1)(1)22134n n =-+-+ 71262(21)34nn =--+⨯ 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 18．（1）()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2【分析】（1）先将函数整理，得到()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果；（2）由（1）根据题中条件，先求出π3A =，根据余弦定理，求出224b c bc bc =-+≥，进而可求出三角形面积的最值. 【详解】（1）()1πcos cos 222cos 22sin 226f x x x x x x x ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 由()πππ2π22π262k x k k -+≤-≤+∈Z ， 得()ππππ63k x k k -≤≤+∈Z ，∴函数()f x 的单调递增区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）∵()2f A =，∴π2sin 226A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ABC 为锐角三角形， ∴ππ262A -=，∴π3A =．在ABC 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-， 又2a =，∴2242b c bc bc bc bc =-+≥-=，当且仅当2b c ==时，()max 4bc =，∴1sin 2ABC S bc A =≤△，∴当2b c ==时，()maxABC S =【点睛】 方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立+a b ，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.19．（1）140；（2）（i ）034p =；（ii ）分布列见解析. 【分析】（1）由正态分布3σ原则即可求出排球个数；（2）（i ）根据二项分布先求出()f p ，再利用导数求出()f p 取得最大值时0p 的值； （ii ）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后求出分布列. 【详解】（1）因为ξ服从正态分布N (270，25 )，所以()0.96440.68262602650.14092P ξ-<<==，所以质量指标在(260，265]内的排球个数为10000.1409140.9140⨯=≈个； （2）（i ）()()()2333131f p C p p p p =-=-，()()()()2'2331+13334p p f p p p p ⎡⎤=-⨯-=-⎣⎦令()0f p '=，得34p =， 当3(0,)4p ∈时，()0f p '>，()f p 在3(0,)4上单调递增； 当3(,1)4p ∈时，()0f p '<，()f p 在3(,1)4上单调递减； 所以()f p 的最大值点034p =； （ii ）X 的可能取值为0，1，2，3.212313(0)(1)(1)256P X p C p p ==-+-=；223427(1)(1)512P X C p p ==-=； 222481(2)(1)512P X C p p p ==-=；2223189(3)(1)256P X p C p p p ==+-=；所以X 的分布列为【点睛】求随机变量的分布列的步骤：(1)理解X 的意义，写出X 可能取得全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.20．（1）证明见解析；（2【分析】（1）先沿EF 将ABFE 折起，同时在平面ABFE 内再沿折痕AF 将面ABF 折起翻过来，使得B 落在FC 上，所以AB 与BF 始终垂直，及FC AB ⊥，若能证明FC BE ⊥，问题就获得解决，接下来就设出相关量，通过勾股定理等计算，证明EF EC =，12BF FC =，从而说明B 点是FC 的中点，从而达到证明目的.（2）建立空间直角坐标系，求出两面的法向量，即可得解.【详解】（1）证明：在平面ABCD 中，AF =FC ，BF +FC ，设AB =，则3BC a =，设BF =ED =x ，在BAF △中，2223(3)x a a x +=-，解得x a =，则2AF FC a ==， 因为点B 落在线段FC 上，所以2BC a a a =-=，B 点是FC 的中点，又())222234EF a a a a =--+=，所以2EF a =根据等腰三角形三线合一得BE FC ⊥， 又AB BF ⊥即AB CF ⊥，AB BE B =，,AB BE ⊂平面ABE ，所以CF ⊥平面ABE ，由CF ⊂平面EFC 可得平面ABE ⊥平面EFC ；（2）以F 为原点，FC 为x 轴，过点F 平行BE 的方向作为作y 轴，过点F 垂直于平面EFC 的方向作为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,0,0),(,0),(,0,0)C a F E a B a ，(0,,0)BE =， 易得平面ABE 的一个法向量为(2,0,0)FC a =，作DG EC ⊥于G ， 因为平面DEC ⊥平面FEC ，所以DG ⊥平面EFC ，则5(4G a ，5(4D a ，1(4BD a =， 设平面DBE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则30104m BE ay m BD axy ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令z =(n =-， 因为cos ,||||2n FC n FC nFC a ⋅〈〉===⋅⋅所以锐二面角A -BE -D 13= 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，抓住“到底是怎么翻折的”，“翻折后哪些量是不变的”，要树立“有些垂直关系是通过数量给出的”的意识.21．（1）22:184x y C +=；2:8y x Γ=；（2161-【分析】（1）利用已知条件，列出含,,a b c的方程组，进而出,,a b c 的解即可； （2）设直线AB 的倾斜角为θ，利用椭圆和抛物线的焦半径公式的倾斜角式得到2244;1cos 1cosep F D F B e θθ====-+ 进而得到2241cos DB F D F B θ=-=-+，设1F 到BD 的距离为DB h ， 列出面积的方程，进而利用导数的性质可求解 【详解】解：（1）先作如下计算，设过2F 的直线AB 的倾斜角为θ，设22,F D x F C y ==，由椭圆定义得112,2F D a x FC a y =-=-，由余弦定理得2222cos (2)(2)x c c x a x θ⋅⋅=+--， 整理可得2cos b x a c θ=-⋅，同理可求得2cos b y a c θ=+⋅，2112ax y b∴+=，∴222112a CF DF b +=； 所以，222cos 1cos b b a F D c a c aθθ==-⋅-⋅；过,A B 两点分别向x 轴作垂线1AA 、1BB ，1A 、1B 为垂足， 再设22,F A x F B y ==，可得， 点A 的横坐标为cos 2p x θ+⋅，点B 横坐标为cos 2py θ-⋅， 由抛物线定义知cos 22p p x x θ+⋅+=，cos 22p py y θ-⋅+=， 所以，1cos p x θ=-，1cos py θ=+，此时， 112x y p +=，∴22112AF BF p+= 设椭圆C 的焦距为2c ，所以，2pc =，易知24y cx Γ=：， 又因为椭圆的上下顶点M 、N 和左右焦点F 1、F 2所围成的四边形MF 1NF 2的面积为8，得1482bc ⨯=，得4bc =，又21p c=由22221111AF BF CF DF ⎫+=+⎪⎪⎭得，212a c b =，得2ac =，联立方程得，22224bc ac a b c =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得22842a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴22:184x y C +=，2:8y x Γ= （2）由（1）得，直线AB 的倾斜角为θ，且2ac =，得，椭圆离心率2e =，则222cos cos 1cos 1cos p b F D a c a c e e θθθθ====-⋅-⋅-⋅-⋅，得，2421cos 2p F D e θ===-⋅，又由（1）得241cos F B θ=+∴2241cos DB F D F B θ=-=-+，设1F 到BD 的距离为DB h ， 则12sin 4sin DB h FF θθ==，112sin 421cos DB BF D DB h θθ⎫∆=⨯⨯=⎪+⎭()()()22sin 121cos 1cos cos f f θθθθθθθ'-=-⇒=-++()(()202cos 1cos 50f θθθ-'=⇔+=，根据cos θ的性质，只有cos θ=符合题意，根据导数的性质，可知，()f θ在cos θ=时，取得最大值，21221216116cos cos 1cosF F F B F F FB θθθ-∴•=⋅⋅==+，【点睛】 关键点睛：解题关键在于根据椭圆和抛物线的焦半径公式的倾斜角式得到，2244;1cos 1cos ep F D F B e θθ====-+，进而列出面积方程，再求导后求解，本题的运算量相当大，属于难题22．（1）证明见解析；（2）(),0-∞．【分析】（1）构造函数()()()11ln 21ln 2111x f x h x x x e x x x x --=+-+=+-+>-，证明最小值大0即可得解；（2）先求导()()2112x g x xe a x =-+可()()()()()111x x g x x e a x x e a '=+-+=+-， 分0a =，0a <和0a >进行讨论即可得解.【详解】（1）设()()()11ln 21ln 2111x f x h x x x e x x x x --=+-+=+-+>-， ∴()112x h x e x -'=+-，∴()121x h x e x-''=-， ∵1x >，∴11x e ->，2101x <<，∴()1210x h x e x-''=->，∴()h x '在()1,+∞上单调递增， 又()10h '=，∴1x >时，()()10h x h ''>=，()1ln 21x h x e x x -=+-+在()1,+∞上单调递增，又()10h =，∴1x >时，()()10h x h >=，故当1x >时，()1ln 211f x x x x ->-+--， ∴()()211ln 231f x x x x x --->-+．（2）∵()()2112x g x xe a x =-+， ∴()()()()()111x x g x x e a x x e a '=+-+=+-， 当0a =时，易知函数()g x 只有一个零点，不符合题意．当0a <时，在(),1-∞-上，()0g x '<，()g x 单调递减；在()1,-+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增；又()110g e-=-<，()120g e a =->， 不妨取4b <-且()ln b a <-时，()()()2ln 2111120222a g b be a b a b b -⎛⎫>-+=-++> ⎪⎝⎭， [或者考虑：当x →-∞，()g x →+∞]，所以函数()g x 有两个零点，∴0a <符合题意，当0a >时，由()()()10x g x x e a '=+-=得1x =-或ln x a =． （ⅰ）当ln 1a =-，即1a e=时，在(),-∞+∞上，()0g x '≥成立， 故()g x 在(),-∞+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．（ⅱ）当ln 1a <-，即10a e<<时，在(),ln a -∞和()1,-+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增；在()ln ,1a -上，()0g x '<，()g x 单调递减；又()110g e-=-<，且()()()2211ln ln ln 1ln 1022g a a a a a a a =-+=-+<， 所以函数()g x 至多有一个零点()g x ，不符合题意．（ⅲ）当ln 1a >-即1a e>时， 在(),1-∞-和()ln ,a +∞上()0g x '>，()g x 单调递增；在()1,ln a -上()0g x '<，()g x 单调递减，以()110g e-=-<，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是(),0-∞．【点睛】本题考查了导数的应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造法证明不等式以及分类讨论求参数范围，要求较高的计算能力，属于难题.解决本类问题的方法有以下几点：（1）证明题常常利用构造法，通过构造函数来证明；（2）分类讨论解决含参问题，是导数压轴题常考题型，在讨论时重点是找到讨论点.。
江苏省天一中学2021-2022学年高一上学期第一次教学质量监测数学试题及答案
2021-2022学年度上学期第一次教学质量监测高一数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．下列关于集合表述正确的是（）A ．N 是*N 的真子集B ．{}2R 20210x x ∈+==∅C ．{}[]N 1,2x y x =∈=-D ．*0N ∈2．若{}21,2,x x ∈，则x 的可能值为（）A ．0B ．0，1C ．0，2D ．0，1，23．已知集合{}2|45,{2}A x x x B x =-<=<，则下列判断正确的是（）A ． 1.2A -∈B BC ．B A⊆D ．{|54}A B x x =-<<U 4．设,,a b c 为实数，22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax cx bx =+++=+++．记集合{}{}|()0,,|()0,S x f x x R T x g x x R ==∈==∈．若|S |、||T 分别为集合,S T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A ．||1S =且||0T =B ．||1S =且||1T =C ．||2S =且||2T =D ．||2S =且||3T =5．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件()1{1A B ⋃=，2，3，4，5，6}，A B ⋂=∅；()2若x A ∈，则1x B +∈．则有序集合对()A B ，的个数为（）A ．10B ．11C ．12D ．136．已知集合{}{}{}|2,,|21,,|41,P x x k k Z Q x x k k Z M x x k k Z ==∈==+∈==+∈，且,a P b Q 挝，则（）A ．a b P +?B ．a b Q+?C ．a b M+?D ．a b +不属于,,P Q M 中的任意一个7．已知S 1，S 2，S 3为非空集合，且S 1，S 2，S 3⊆Z ，对于1，2，3的任意一个排列i ，j ，k ，若x ∈S i ，y ∈S j ，则x －y ∈S k ，则下列说法正确的是（）A ．三个集合互不相等B ．三个集合中至少有两个相等C ．三个集合全都相等D ．以上说法均不对8．设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（）A ．32B ．56C ．72D ．84二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知{},|3782U R A x x x ==--…，{}|12B x a x =<-，若U A B A =I ð，则实数a 的取值范围可以为（）A ．2a …B ．2a …C ．2a >D ．2a <10．给定数集M ，若对于任意,ab M ∈，有a b M +?，a b M -∈，则称集合M 为闭集合.则下列说法中不正确．．．的是（）A ．集合{}6,3,0,3,6M =--为闭集合B ．集合{}3,M n n k k Z ==∈为闭集合C ．正整数集是闭集合D ．若集合1A 、2A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合11．已知集合{(,)()}M x y y f x ==∣，若对于()()1122,,,x y M x y M ∀∈∃∈，使得12120x x y y +=成立则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合{}{}21234(,)1;{(,)(,);{(,)sin 1}x M x y y x M x y y M x y y e M x y y x ==+======+∣∣∣∣．其中是“互垂点集”集合的为（）A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M 12．对于集合{}22,,M aa x y x Z y Z ==-∈∈∣，给出如下结论，其中正确的结论是（）A ．如果{21,}B bb n n N ==+∈∣，那么B M ⊆B ．若{2,}C cc n n N ==∈∣，对于任意的c C ∈，则c M ∈C ．如果12,a M a M ∈∈，那么12a a M ∈D ．如果12,a M a M ∈∈，那么12a a M+∈三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．2021-2022学年度上学期第一次教学质量监测高一数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．下列关于集合表述正确的是（）A．是的真子集B．C．D．2．若，则的可能值为（）A．0B．0，1C．0，2D．0，1，2 3．已知集合，则下列判断正确的是（）A．B．C．D．4．设为实数，．记集合．若||、分别为集合的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．且B．且C．且D．且5．已知非空集合A，B满足以下两个条件2，3，4，5，，；若，则．则有序集合对的个数为（）。
江苏省无锡市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷含解析
江苏省无锡市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>【答案】C 【解析】 【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果． 【详解】 ∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++23232324log log l 23og log 82>+⋅+=⋅，故D 正确故C ． 【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：2a b ab +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题2．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题3．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．643π B ．2563π C ．4363π D 2048327π 【答案】B 【解析】由题，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，则根据余弦定理可得2215825872BC =+-⨯⨯⨯= ，ABC 的外接圆圆心2sin 332BC r r B ===三棱锥的外接球的球心到面ABC 的距离15,2d SA == 则外接球的半径()22764533R ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，则该三棱锥的外接球的表面积为225643S R ππ== 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键． 4．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-，若()a c b -⊥，则n 等于（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】先求出(1,4)a c n -=-，再由()a c b -⊥，利用向量数量积等于0，从而求得n . 【详解】由题可知(1,4)a c n -=-，因为()a c b -⊥，所以有()12240n -⨯+⨯=，得5n =， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.5．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件． 故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．6．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c,0）（c ＞0）的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为 ）A ．221205x y -=B ．22125100x y -=C ．221520x y -=D ．221525x y -=【答案】C 【解析】 【分析】由题得ca =b ==222+=a bc ，联立解方程组即可得25a =，220b =，进而得出双曲线方程. 【详解】由题得ce a== ①又该双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，且被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为b == ②又222+=a b c ③ 由①②③可得：25a =，220b =，所以双曲线的标准方程为221520x y -=.故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.7．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】计算31cossin 332πππ=+=i ei ，得到答案. 【详解】根据题意cos sin ix e x i x =+，故31cossin 3322πππ=+=+i e i ，表示的复数在第一象限. 故选：A . 【点睛】本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.8．已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ）A ．23B ．29C ．13-D ．49-【答案】C 【解析】 【分析】22sin αα=可得cos α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos α=所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 9．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】C 【解析】 【分析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.10．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18【答案】A 【解析】 【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A ． 【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1 B ．2C ．22D 3【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】根据抛物线定义，可得1||||AF AA =，1||||BF BB =， 又11AA FK BB ∥∥，所以11||||2||||A K AF B K BF ==，所以1111||||2||||A K AAB K BB ==， 设1||(0)BB m m =>，则1||2AA m =，则111||||21cos cos ||23AA BB m m AFx BAA AB m m --∠=∠===+，所以22sin AFx ∠=，所以直线l 的斜率tan 22k AFx =∠=C ．12．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是()A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则3h =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)423V =，应选答案B ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学全真模拟试卷（一）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{2，3，4，6，7}，B＝{2，3，5，7}，则A∩B＝（）A．{2，3，5}B．{2，3，7}C．{2，3，5，7}D．{2，3，4，5，6，7}2．复数z＝的虚部为（）A．﹣B．﹣1C．D．3．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德•黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．其定义黎曼函数R（x）为：当（p，q为正整数，是既约真分数）时，当x＝0或x＝1或x为[0，1]上的无理数时R（x）＝0．已知a、b、a+b 都是区间[0，1]内的实数，则下列不等式一定正确的是（）A．R（a+b）≥R（a）+R（b）B．R（a⋅b）≥R（a）⋅R（b）C．R（a+b）≤R（a）+R（b）D．R（a⋅b）≤R（a）⋅R（b）4．已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为（）A．12B．24C．36D．485．已知球O的半径为8，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABCD的距离为4，则此矩形的最大面积为（）A．96B．48C．32D．246．已知向量||＝2，||＝1，且|﹣2|＝2，则向量和的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°7．在平面直角坐标系内，设M（x1，y1），N（x2，y2）为不同的两点，直线l的方程为ax+by+c ＝0，δ＝，下面四个命题中的假命题为（）A．存在唯一的实数δ，使点N在直线l上B．若δ＝1，则过M，N两点的直线与直线l平行C．若δ＝﹣1，则直线经过线段M，N的中点D．若δ＞1，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交8．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．）9．记数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数H，使得对任意的n∈N+，都有|S n|＜H，则称数列{a n}为“和有界数列”．下列说法正确的是（）A．若{a n}是等差数列，且公差d＝0，则{a n}是“和有界数列”B．若{a n}是等差数列，且{a n}是“和有界数列”，则公差d＝0C．若{a n}是等比数列，且公比|q|＜1，则{a n}是“和有界数列”D．若{a n}是等比数列，且{a n}是“和有界数列”，则{a n}的公比|q|＜110．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12），N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（）A．乙类水果的平均质量μ2＝0.8kgB．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.9911．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是（）A．当0＜CQ＜时，S为四边形B．当CQ＝时，S不为等腰梯形C．当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝D．当CQ＝1时，S的面积为12．已知定义域为A的函数f（x），若对任意的x1，x2∈A，都有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），则称函数f（x）为“定义域上的优美函数”．以下函数是“定义域上的优美函数”的有（）A．B．f（x）＝e x，x∈RC．f（x）＝sin x，x∈[0，π]D．f（x）＝log3x，x∈[2，+∞）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知复数z在复平面内对应点是（1，﹣2），i为虚数单位，则＝．14．若函数f（x）是偶函数，对任意x∈R都有f（x+2）＝f（x），且x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，则方程f（x）＝lgx的实根个数为．15．已知四面体ABCD的棱都相等，G为△ABC的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为．16．我国南北朝时期的数学家祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子），提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．已知曲线C：y＝x2，直线l为曲线C在点（1，1）处的切线．如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω．过（0，y）（0≤y≤1）作Ω的水平截面，所得截面面积S＝（用y表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出Ω体积为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}中，a1＝5且a n＝2a n﹣1+2n﹣1（n≥2且n∈N*）．（1）证明：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n﹣1}的前n项和S n．18．如图，郊外有一边长为200m的菱形池塘ABCD，塘边AB与AD的夹角为60°，拟架设三条网隔BE，BF，EF，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE与BF相互垂直，E，F两点分别在塘边AD和DC上，区域BEF为荷花种植区域．记∠ABE＝θ，荷花种植区域的面积为Sm2．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最小值．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝AA1＝2，M，N分别是A1B与CC1的中点，G为△ABN的重心．（I）求证：MG⊥平面ABN；（Ⅱ）求二面角A1﹣AB﹣N的正弦值．20．进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量．某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行．为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如表：时间周一周二周三周四周五周六周日1099.510.51188.5车流量（x万辆）空气质量78767779807375指数y（1）根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程．（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为＝，＝．21．已知O为坐标原点，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，直线y＝x截圆O：x2+y2＝a2与椭圆E所得的弦长之比为，圆O、椭圆E与y轴正半轴的交点分别为P，A．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设点B（x0，y0）（y0≠0且y0≠±1）为椭圆E上一点，点B关于x轴的对称点为C，直线AB，AC分别交x轴于点M，N，证明：tan∠OPM＝tan∠ONP．22．已知函数f（x）＝，g（x）＝e x﹣ax（x∈R）．（1）若f（x）在区间[a﹣5，a﹣1]上的最大值为，求实数a的取值范围；（2）设h（x）＝f（x）﹣x+1，F（x）＝，记x1，x2，…x n为F （x）从小到大的零点，当a≥e3时，讨论F（x）的零点个数及大小．参考答案一、选择题（共8小题）1．已知集合A＝{2，3，4，6，7}，B＝{2，3，5，7}，则A∩B＝（）A．{2，3，5}B．{2，3，7}C．{2，3，5，7}D．{2，3，4，5，6，7}解：∵A＝{2，3，4，6，7}，B＝{2，3，5，7}，∴A∩B＝{2，3，7}．故选：B．2．复数z＝的虚部为（）A．﹣B．﹣1C．D．解：∵z＝＝，∴复数z＝的虚部为．故选：A．3．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德•黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．其定义黎曼函数R（x）为：当（p，q为正整数，是既约真分数）时，当x＝0或x＝1或x为[0，1]上的无理数时R（x）＝0．已知a、b、a+b 都是区间[0，1]内的实数，则下列不等式一定正确的是（）A．R（a+b）≥R（a）+R（b）B．R（a⋅b）≥R（a）⋅R（b）C．R（a+b）≤R（a）+R（b）D．R（a⋅b）≤R（a）⋅R（b）解：设，B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，①当a∈A，b∈A，则R（a+b）≥R（a）+R（b），R（a⋅b）≥R（a）⋅R（b）；②当a∈B，b∈B，则R（a+b）＝R（a）+R（b），R（a⋅b）≥R（a）⋅R（b）＝0；③当或，则R（a+b）≤R（a）+R（b），R（a⋅b）≥R（a）⋅R（b）．综上，选项B一定正确．故选：B．4．已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为（）A．12B．24C．36D．48解：根据题意，如图的三棱锥中，设6条棱为1、2、3、4、5、6，分析可得1、4，2、6，3、5不能分到同一组，分2步进行分析：①，将6种化工产品分成3组，其中1、4，2、6，3、5不能分到同一组，有﹣3×2﹣1＝8种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应3个仓库，有A33＝6种情况，则不同的安全存放的种数有8×6＝48种；故选：D．5．已知球O的半径为8，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABCD的距离为4，则此矩形的最大面积为（）A．96B．48C．32D．24解：∵球O的半径为8，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABCD的距离为4，∴BD＝＝4，∴BD＝8，故AB2+AD2＝BD2＝192≥2•AB•AD，当且仅当AB＝AD时取等号，故当AB＝AD时，矩形ABCD的面积最大，解得AB2＝AD2＝96，∴此矩形的最大面积S＝AB2＝96．故选：A．6．已知向量||＝2，||＝1，且|﹣2|＝2，则向量和的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°解：据条件：＝＝＝12；∴；∴；∴向量的夹角为120°．故选：C．7．在平面直角坐标系内，设M（x1，y1），N（x2，y2）为不同的两点，直线l的方程为ax+by+c ＝0，δ＝，下面四个命题中的假命题为（）A．存在唯一的实数δ，使点N在直线l上B．若δ＝1，则过M，N两点的直线与直线l平行C．若δ＝﹣1，则直线经过线段M，N的中点D．若δ＞1，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交解：对于A，因为当点N在直线l上时，ax2+by2+c＝0，所以δ不确定，所以A错；对于B，因为δ＝1，ax2+by2+c≠0，即N∉l，ax2+by2+c＝ax1+by1+c，所以a（x1﹣x2）+b（y1﹣y2）＝0，即向量与直线l的法向量垂直，并且N不在l上，所以MN∥l，所以B对；对于C，因为δ＝﹣1，ax2+by2+c+ax1+by1+c＝0，所以a+b+c＝0，于是（，）∈l，所以则直线l经过线段M，N的中点，所以C对；对于D，因为δ＞1＞0，则ax2+by2+c与ax1+by1+c，同号，所以点M，N在直线l的同侧，ax1+by1+c＞ax2+by2+c或ax1+by1+c＜ax2+by2+c，从而a（x1﹣x2）+b（y1﹣y2）＞0，或a（x1﹣x2）+b（y1﹣y2）＜0，即a（x1﹣x2）+b（y1﹣y2）≠0，向量与直线l的法向量不垂直，所以直线MN与直线不平行或重合，所以直线l与线段M，N的延长线相交，所以D对．故选：A．8．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a解：函数y＝0.6x为减函数；故a＝0.60.6＞b＝0.61.5，函数y＝x0.6在（0，+∞）上为增函数；故a＝0.60.6＜c＝1.50.6，故b＜a＜c，故选：C．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．记数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数H，使得对任意的n∈N+，都有|S n|＜H，则称数列{a n}为“和有界数列”．下列说法正确的是（）A．若{a n}是等差数列，且公差d＝0，则{a n}是“和有界数列”B．若{a n}是等差数列，且{a n}是“和有界数列”，则公差d＝0C．若{a n}是等比数列，且公比|q|＜1，则{a n}是“和有界数列”D．若{a n}是等比数列，且{a n}是“和有界数列”，则{a n}的公比|q|＜1解：若{a n}是等差数列，且公差d＝0，当a1＝0，可得S n＝0，数列{a n}为“和有界数列”；当a1≠0，可得S n＝na1，数列{a n}不为“和有界数列”，故A错误；若{a n}是等差数列，且数列{a n}为“和有界数列”，可得存在实数H，使得对任意的n∈N+，都有|S n|＜H，即|na1|＜H恒成立，可得a1＝d＝0，故B正确；若{a n}是等比数列，且公比|q|＜1，|S n|＝||＜||，则{a n}是“和有界数列”，故C正确；若{a n}是等比数列，且{a n}是“和有界数列”，若q＝﹣1，即当n为奇数时，S n＝a1，当n为偶数时，S n＝0，可得存在实数H，使得对任意的n∈N+，都有|S n|＜H，故D错误．故选：BC．10．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12），N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（）A．乙类水果的平均质量μ2＝0.8kgB．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99解：由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，∴μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A正确，C正确，∵甲图象比乙图象更“高瘦”，∴甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；∵乙图象的最大值为1.99，即＝1.99，∴σ2≠1.99，故D错误．故选：ABC．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是（）A．当0＜CQ＜时，S为四边形B．当CQ＝时，S不为等腰梯形C．当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝D．当CQ＝1时，S的面积为解：如图所示，对于B：当CQ＝时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP＝QD1＝＝，故可得截面APQD1为等腰梯形，故B错误；对于A：由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故A正确；对于C：当CQ＝时，如图，延长DD1至N，使D1N＝，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R＝C1Q：D1N＝1：2，故可得C1R＝，故C正确；对于D：当CQ＝1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1＝AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF＝×＝，故D正确．综上可得：只有ACD正确．故选：ACD．12．已知定义域为A的函数f（x），若对任意的x1，x2∈A，都有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），则称函数f（x）为“定义域上的优美函数”．以下函数是“定义域上的优美函数”的有（）A．B．f（x）＝e x，x∈RC．f（x）＝sin x，x∈[0，π]D．f（x）＝log3x，x∈[2，+∞）解：对于A，，f（x1+x2）＝（x1+x2）2+1＝x12+x22+2x1x2+1，f（x1）+f（x2）＝x12+x22+2，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）恒成立，满足定义；对于B，f（x）＝e x，x∈R，f（x1+x2）＝，f（x1）+f（x2）＝+，当x1＝x2＝2时，f（x1+x2）＝e4，f（x1）+f（x2）＝2e2，显然f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2），不满足定义；对于C，f（x）＝sin x，x∈[0，π]，f（x1+x2）＝sin（x1+x2）＝sin x1cos x2+cos x1sin x2，f（x1）+f（x2）＝sin x1+sin x2，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）恒成立，满足定义；对于D，f（x）＝log3x，x∈[2，+∞），x1+x2≤x1x2恒成立，f（x1+x2）＝log3（x1+x2），f（x1）+f（x2）＝log3x1+log3x2＝log3（x1x2），f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）恒成立，满足定义．故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知复数z在复平面内对应点是（1，﹣2），i为虚数单位，则＝．解：由题意，z＝1﹣2i，则＝．故答案为：．14．若函数f（x）是偶函数，对任意x∈R都有f（x+2）＝f（x），且x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，则方程f（x）＝lgx的实根个数为9．解：∵f（x+1）＝﹣x，∴f（x+2）＝f（x），∴函数f（x）为周期为2的周期函数，∵x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，∴函数f（x）的图象和y＝lgx的图象如图：由图数形结合可得函数y＝f（x）与函数y＝lgx的图象的交点个数为9个，故答案为：9．15．已知四面体ABCD的棱都相等，G为△ABC的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为．解：设四面体ABCD的棱长为a，延长AG交BC于点E，取BD的中点F，连接EF、AF，由题意知，E为BC的中点，∴CD∥EF，故∠AEF即为异面直线AG与CD所成角．在△AEF中，AE＝AF＝a，EF＝a，由余弦定理知，cos∠AEF＝＝＝．∴异面直线AG与CD所成角的余弦值为．故答案为：．16．我国南北朝时期的数学家祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子），提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．已知曲线C：y＝x2，直线l为曲线C在点（1，1）处的切线．如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω．过（0，y）（0≤y≤1）作Ω的水平截面，所得截面面积S＝（用y表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出Ω体积为．解：过点（0，y）的直线与抛物线C：y＝x2的交点为（，y），0≤y≤1．∵直线l为曲线C在点（1，1）处的切线，则切线的斜率为y′|x＝1＝2，切线方程为y＝2x﹣1．过点（0，y）的直线与切线y＝2x﹣1的交点为（，y），用平行于底面的平面截几何体所得截面为圆环，截面面积为；取底面直径与高均为1的圆锥，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到截面为圆，圆的半径为，截面面积为，符合题意．则Ω体积等于圆锥的体积等于．故答案为：，．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}中，a1＝5且a n＝2a n﹣1+2n﹣1（n≥2且n∈N*）．（1）证明：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n﹣1}的前n项和S n．【解答】（1）证明：根据题意，数列{a n}满足a n＝2a n﹣1+2n﹣1则有a n﹣1＝2a n﹣1+2n﹣2＝2（a n﹣1﹣1）+2n，变形可得：＝+1，即﹣＝1，又由a1＝5，则＝2，则数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列；（2）解：由（1）可得：数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，则＝2+（n﹣1）＝n+1，则a n﹣1＝（n+1）×2n，则S n＝（2×2）+（3×22）+（4×23）+…+[（n+1）×2n]，①则有2S n＝（2×22）+（3×23）+（4×24）+…+[（n+1）×2n+1]，①①﹣②可得：﹣S n＝4+[22+23+…+2n]﹣（n+1）×2n+1，变形可得：S n＝n•2n+1．18．如图，郊外有一边长为200m的菱形池塘ABCD，塘边AB与AD的夹角为60°，拟架设三条网隔BE，BF，EF，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE与BF相互垂直，E，F两点分别在塘边AD和DC上，区域BEF为荷花种植区域．记∠ABE＝θ，荷花种植区域的面积为Sm2．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最小值．解：（1）由正弦定理可得＝，即＝，＝，即＝，∴BE＝，BF＝，∴S＝，（0≤θ≤）；（2）令f（θ）＝cos2θ+sinθcosθ＝+sin2θ＝sin（2θ+）+，当2θ+＝，即θ＝时，f（θ）有最大值为+1，此时S有最小值为120000﹣60000．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝AA1＝2，M，N分别是A1B与CC1的中点，G为△ABN的重心．（I）求证：MG⊥平面ABN；（Ⅱ）求二面角A1﹣AB﹣N的正弦值．解：（Ⅰ）证明：由题意知AC，BC，CC1两两垂直，以C为原点，分别以AC、BC、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），A1（2，0，2），由中点坐标公式，得M（1，1，1），0，1），由重心性质得：G（），则＝（﹣），＝（﹣2，2，0），＝（﹣2，0，1），＝（0，0，2），∴＝0，＝0，∴MG⊥AN，MG⊥AB，又AN∩AB＝A，∴MG⊥平面ABN．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得平面ABN的一个法向量＝（﹣），设平面A1AB的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，0），∴cos＜＞＝＝﹣，设二面角A1﹣AB﹣N的大小为θ，则sinθ＝＝．∴二面角A1﹣AB﹣N 的正弦值为．20．进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量．某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行．为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如表：时间周一周二周三周四周五周六周日1099.510.51188.5车流量（x万辆）78767779807375空气质量指数y（1）根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程．（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为＝，＝．解：（1）＝（10+9+9.5+10.5+11）＝10，＝（78+76+77+79+80）＝78．………………………………∴（x i﹣）（y i﹣）＝5，………………………………………………………＝2.5，∴＝＝2．……………………………………………∴＝﹣＝78﹣2×10＝58．……………………………………………∴y关于x的线性回归方程为＝2x+58．………………………………（2）当x＝8时，＝2×8+58＝74，满足|74﹣73|＝1＜2，……………………………………………………………当x＝8.5时，＝2×8.5+58＝75．满足|75﹣75|＝0＜2，……………………………………………………………∴所得的线性回归方程是可靠的．………………………………………21．已知O为坐标原点，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，直线y＝x截圆O：x2+y2＝a2与椭圆E所得的弦长之比为，圆O、椭圆E与y轴正半轴的交点分别为P，A．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设点B（x0，y0）（y0≠0且y0≠±1）为椭圆E上一点，点B关于x轴的对称点为C，直线AB，AC分别交x轴于点M，N，证明：tan∠OPM＝tan∠ONP．解：（Ⅰ）根据题意可得c＝，a2﹣b2＝3．因为直线y＝x截圆O：x2+y2＝a2所得的弦长为2a，直线y＝x截椭圆E所得的弦长为2•，故2a＝．⇒a2＝4b2⇒a2＝4，b2＝1．故椭圆E的标准方程为：．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A（0，1），点P（0，2）．直线AB的方程为，令y＝0，得M（）．因为点B关于x轴的对称点为C，所以C（x0，﹣y0），所以直线AC的方程为，令y＝0，得N（）．∴|OM|•|ON|＝．∵，∴．∴|OM|•|ON|＝4＝|OP|2，即．∴tan∠OPM＝tan∠ONP．22．已知函数f（x）＝，g（x）＝e x﹣ax（x∈R）．（1）若f（x）在区间[a﹣5，a﹣1]上的最大值为，求实数a的取值范围；（2）设h（x）＝f（x）﹣x+1，F（x）＝，记x1，x2，…x n为F （x）从小到大的零点，当a≥e3时，讨论F（x）的零点个数及大小．解：（1）∵f′（x）＝2x2﹣4x＝2x（x﹣2），∴f（x）在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增，在（0，2）上单调递减，f（x）的极大值为f（0）＝，f（x）的极小值为f（2）＝，又f（3）＝，∴若f（x）在区间[a﹣5，a﹣1]上的最大值为，则，解得1≤a≤4；（2）h（x）＝f（x）﹣x+1＝x3﹣3x2﹣x+3＝（x+1）（x﹣1）（x﹣3），当x≤﹣1时，g（x）＝e x﹣ax＞0，此时F（x）＝h（x），∴F（x）在（﹣∞，﹣1]上有一个零点，x1＝﹣1；当x＞﹣1时，g′（x）＝e x﹣a，∴g（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，又a≥e3，∴lna≥3，由于g（0）＝1＞0，g（1）＝e﹣a＜0，x∈（﹣1，1）时，f（x）＞0，∴F（x）在（0，1）上有一个零点x2；又g（lna）＝a（1﹣lna）＜0，令k（x）＝x﹣lnx（x≥e3），k′（x）＝＞0，∴k（x）在[e3，+∞）上单调递增，k（x）＝x﹣lnx≥k（e3）＝e3﹣3＞0，∴a＞lna，g（a）＝e a﹣a2．再令φ（x）＝e x﹣x2（x≥2），φ′＝e x﹣2x，φ″（x）＝e x﹣2＞0，∴φ′在[2，+∞）上单调递增，从而φ′（x）＞φ′（2）＝e2﹣4＞0，∴φ（x）在[2，+∞）上单调递增，φ（x）＞φ（2）＝e2﹣4＞0，则g（a）＞0．∴F（x）在（lna，a）上有一个零点x3，综上所述，当a≥e3时，F（x）有三个零点x1＝﹣1，0＜x2＜1，lna＜x3＜a．且x1＜x2＜x3．。