弹性力学8-逆解法、半逆解法、梁的纯弯曲
弹性力学8-逆解法、半逆解法、梁的纯弯曲
3.3 位移分量的求出
3.4 简支梁受均布荷载
3.5 楔形体受重力和液体压力
本章重点： 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
内容要点： 1. 逆解法与半逆解法解题方法的介绍
2.
逆解法举例—应力函数的多项式解答
结论3：三次多项式对应于线性应力分布。
第三章 平面例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 ay 3 , ( fx fy 0) 由式（2-24）可得： 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
1）应力函数 ϕ为一次多项式
（ 1） 其中： a、b、c 为待定系数。 4 4 4 4 检验φ(x,y) 是否满足双调和 4 2 2 2 4 0 （ 2） x x y y 方程： 显然φ(x,y) 满足双调和方程，可作为应力函数。 （3） 对应的应力分量： 2 2 2 xy 0 x 2 fx x fx x y 2 f y y f y y x xy y 假定体力：fx = fy =0，则有： x y xz 0 （1）一次多项式对应于无体力和无应力状态； 结论1： （2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式， 对应力无影响。
( x, y ) 0 xy
0
2
y2
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
公式推导
（ 1）
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
弹性力学总结与复习(全)
1 ( z) 1( z)
（3）
E (u iv ) (3 ) 1 ( z ) z1 ( z ) 1 ( z ) 1 1
（5-10）
( z) z ( z) ( z) i ( X iY )ds
B 1 1 1 s A
（5-12）
（4）
—— 应力边界条件的复变函数表示
3 E (u iv ) 1 1 ( z ) z1 ( z ) 1 ( z ) 1 s
（5-13）
—— 位移边界条件的复变函数表示 多连体及无限大多连体中，1 ( z ), 1 ( z ) 结构特点
（2-18）
us u vs v
（2-17）
极坐标下 （1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数
2 2 2 4
( r , )
（4－6）
1 1 0 2 2 2 r r r r
（2） 由式（4－5）求出相应的应力分量：
（3） 楔形体问题 —— 由因次法确定 应力函数的分离变量形式 （1） 楔顶受集中力偶
y
M O
2
（2） 楔顶受集中力
y
P
2
O
2
( )
2
rf ( )
（3） 楔形体一侧受分布力
x
x
r f ( )
2
r 3 f ( )
y
O
2
2
r 2 f ( )
（1）一般多连体
1 m 1 ( z ) ( X k iYk ) ln( z zk ) 1 ( z) 8 k 1 （5-14） 3 m 1 ( z) ( X k iYk ) ln( z zk ) 1* ( z) 8 k 1 其中： 1 ( z ), 1 ( z ) 为该多连体中单值解析函数。
弹性力学__徐芝纶版第三章
4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤：
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解：
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y
P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u
P Eh
x
f1y
v
P
Eh
y
f2 x
代入第三式得： df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得： df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件： 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2
弹性力学-第八章 平面问题的极坐标解答
(2) 只有环向变形，无径向变形。 O
径向线段PA的相对伸长：
r2
PA PA PA
dr dr 0 dr （f）
径向线段PA的转角：
2
u
u dr r
dr
u
y
u r
d
B
B
rP
2
P
dr
u
2 A
x
A
u
（g） u
u
d
u r
dr
环向线段PB的相对伸长：
2
PB PB PB
BB PP PB
u
u d rd
xy
sin
2
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin
2
r
x
y
2
sin
2
xy
cos 2
第八章 平面问题的极坐标解答 §8.2 平面轴对称应力问题
§8.2 平面轴对称应力问题
A. 轴对称问题应力分量与协调方程
无体积力,且与θ无关.求解方法：
（1）应力分量
r
1 r
d
dr
d 2
dr 2
r 0
主 要内容
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 §8-7 §8-8 §8-9
基本方程 平面轴对称应力问题 内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板 匀速转动的圆盘 曲梁的纯弯曲 曲梁一端受径向集中力作用 圆孔对应力分布的影响 集中力作用于全平面 在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体
第八章 平面问题的极坐标解答 §8-1 基本方程
1 r
)
e2 (sin
r
cos
弹塑性力学 弹性与塑性力学的解题方法
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4
弹性力学的半逆解法
弹性力学的半逆解法研究指导老师：刘平姓名：曹天阁班级：研13学号：M13746弹性力学的半逆解法研究姓名：曹天阁学号：M13746摘要:利用应力平衡方程和相容方程的特点，根据问题的应力边界条件以应力分量的函数表达式作为试函数求解弹性力学问题。
这种方法简化了计算过程。
本文推荐用剪应力函数求解问题较为容易。
关键词:弹性力学;解析法;应力函数THE SEMI- REVERSE METHOD TO SOLVE PROBLEMS OF THE ELASTICITY Abstract:Stress component functions are used to solve the problems of elasticity based on the equilibrium equations and stress compatible equation according to boundary conditions。
Shear stress function is recom2mended to solve the elasticity problems。
Key words:elasticity;analysis method;stress function半逆解法是圣维南于1856 年提出来的，它是求解弹性力学问题十分重要的方法，在弹性力学中占有极重要的地位。
半逆解法通常根据问题的应力边界条件以及结构的受力特点凑合出某应力分量的待定函数式，再根据假设的该应力分量函数式通过积分求出应力函数<从而求得各应力分量[1]。
这种方法较为有效，但通过解平衡方程求应力函数<时要做消元运算，升高了微分方程的阶数，以至于运算过于复杂，很有改进的必要。
实际上，按应力求解时只要各应力分量满足平衡方程、应力相容方程和边界条件，则是问题的解。
可以看出，在不考虑体积力的情况下各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的。
第八章弹性力学问题一般解·空间轴对称问题
所求问题的边界条件给定的是边界上的位移 ui ui，则可直接进行计算。 如果全部边界或部分边界上给出的是应力边界条件， ij l j F i 就要将应力 形式的边界条件转换成为位移形式。 其方法与将应力形式的平衡方程转化为Lame方程的方法大致相同。现推导如 下：先后将式(4-6)、式(4-2)代人式(4-13)得 E E ij ij e ij ij e 2G ij (4 6) (1 )(1 2 ) (1 )
将 2G 换成 , E 来表示，则位移解答为
显然最大位移发生在边界上，由式(8-7)可知
将式(8-7)代入几何方程(4-2)求出应变，再引用式本够方程(4-6)可得应力分量解答
x y
1
( q pz ), z ( q pz ), xy yz zx 0
采用半逆解法。由于载荷和几何形状都对称于z 轴，则各点位移只在z向有变化。试假设
于是 而
因此由Lame方程式(8-3)的前两式知，它们成为恒等式自然满足，而第三式给出
式中A、B为积分常数。 边界上
边界条件式(8-6)前两式自然满足，
lx l y 0
lz 1
u u u u v w lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z x x x v v v u v w F y el y G ( lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z y y y w w w u v w F z el z G ( lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z z z z F x el x G (
利用式(4-5)，式(1)中 简化后得
04弹性力学解题方法
Laplace算子 位移分量表示 的平衡微分方程
G G 2 ui f i 0 （4－3） 1 2 xi G G 2 u f x 0 1 2 x G G 2 v f y 0 1 2 y G G 2 w f z 0 1 2 z
几何方程：
物理方程
1 x E x y 1 y x y E 1 xy xy G
E x x y 2 1 E y y x 2 1
xy G xy
解题思路：
G G 2 ui f i 0 （4－3） 1 2 xi
ui u j n jG x j x i
ui ui
几何 方程 物理 方程
n j ij Fi （4－4）
u v w
ij
ij
优点： 适用范围广，在数值解法中得到广泛应用（有限元）。
q
解：
位移分量：
o
x
Z=h
uv0
1 2 w 4(1 )G
应力分量：
z g( h2 z 2 ) 2q( h z )
x y
1
(q gz )
z (q gz)
z 0 r 0
r
E 1 2(1 ) 1 2 E 1 2(1 ) 1 2
u 2u 2 fr 0 u u w r r r r z 2 w fz 0 2 2 1 z 2 2 2 r r z r
( G ) G 2 ui f i 0 xi
(整理)弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
第五章弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理一、内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。
面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
弹性力学解题方法
4(1 )G
Stress component：
x
y
1
rg( z
A)
z rg(z A)
xy yz zx 0
Boundary condition：
q
o
x
z=h
z
l x m yx n zx Fx l xy m y n zy Fy
A q
rg
l xz m yz n z Fz
（4－4）
几何 物理 方程 方程
u
v
ij
ij
w
优点： 适用范围广，在数值解法中得到广泛应用（有限元）。
缺点： 解三个联立的偏微分方程组，求解析解困难。
空间轴对称问题： u u(r ), v 0, w w(r, z) r z 0
Equation of equilibrium
z 0 r 0
§4－4 平面问题和应力函数
一、平面应力问题和平面应变问题
plane stress problem
y
plane strain problem
y
构件特征：
x
z
受力特点： 平行于板面，板面上无载荷
应力分量： 应变分量： 位移分量：
z ＝ xz ＝zy ＝0 x , y , xy(x,y) yx ＝ zx ＝ 0 x , y , xy (x,y); z
e xy
1 2G
xy
e yz
1 2G
yz
ezx
1 2G
zx
eij
1 2G
sij
➢ Constitutive equation （Generalized Hooke's law ）
stress-strain relationship
弹性力学-08
§8－3 半空间体在边界上受法向集中力 半空间体，体力不计 ，在水 平边界上受法向集中力P 。 按轴对称位移问题求解
1 1 2 1 1 2 u 2 u 2 0 2uZ 0 z
ρ
应力边界条件：
z z 0, 0 0
（g）
要确定B必须利用位移边界条件，假定在距边界h处没有位移 则边界条件为： wz h 0
1 1 2 g h q 代入（g）求出B: B 2 E 1 g
2
1 1 2 q h z g h2 z 2 铅直位移： w 2E 1 2
§8－2 半空间体受重力及均布压力
（2）代入基本微分方程（8－2），并化简 前两式自动满足；第三式为：
E 1 d 2w d 2w 2 g 0 2 2 1 1 2 dz dz
1 1 2 g d 2w 化简： 2 dz E 1
问题描述： 如图，密度 ，受均布压力 q 体力分量：f x 0, f y 0, f z g, （1）按位移求解，试假设位移分量
0
g
x
h
u 0, v 0, w w z
u v w dw x y z dz
z
图：8－1
d 2 w 0, 0, 2 x y z dz
u z z 0
F 1 E
2
(f)
若单位力均匀分布在a b 的矩形面积上， 其沉陷解为： 1 d F d d y，对 , y 将F代之为 ba 积分，便得到教材上公式。
§8－4 按应力求解空间问题
浅析材料力学与弹性力学的研究差异
浅析材料力学与弹性力学的研究差异材料力学与弹性力学作为力学的重要分支学科，尽管在研究内容和目的等方面相似，但其研究方法却有明显差异，本文将就两者的差异进展综述。
力学作为一门研究物质机械运动规律的科学，其在建筑、机械、航天、航海等关系国计民生、国家平安等重大工程上发挥着重要作用。
材料力学(Mechanics of materials)和弹性力学(Theory of elasticity)都是力学的重要分支学科，尽管他们都是研究和分析各种构造物在弹性阶段的应力和位移，但在研究对象和方法上仍然具有很大的差异。
材料力学主要研究物体受理后发生的变形、由于变形而产生的内力以及物体由此而产生的失效和控制失效准那么[1]。
其主要的研究对象是杆状构件，即长度远大于高度和宽度的构件及其在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。
材料力学除了从静力学、几何学、物理学三方面进展分析之外，通过试验现象的观察和分析，忽略次要因素，保存主要因素，引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，大大简化了数学推演。
虽然解答只是近似的，但是可以满足工程上的精度要求。
弹性力学作为固体力学的一个分支，研究可变性固体在外部因素如力、温度变化、约束变动等作用下产生的应力、应变和位移[2]。
其研究对象既可是非杆状构造，如板和壳以及挡土墙、堤坝、地基等实体构造，亦可是杆状构件，并且其不引用任何假定，解答较材料力学更为准确，常常用来校核材料力学里得出的近似解答。
材料力学与弹性力学同样作为变形体力学的分支，在解决详细问题使，需要将实际工程构件的研究对象抽象为理想模型。
作为理想模型，在建立其量和量的推导关系时，要满足如下根本假设：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、小变形假设、完全弹性假设。
下面本文将就在一下详细问题的解决中，探讨材料力学和弹性力学在研究方法上的差异。
1)在纯弯曲梁中，对于平截面假定的验证材料力学在研究梁的弯曲应力时，采用纯弯曲段分析。
弹性力学逆解法和半逆解法多项式解法
第三章 平面问题的直角坐标解答
思考题
1. 当问题中的y轴为对称轴时，试说明Φ 和
σx , σ y , v应为x的偶函数，而 xy ,u 应为x的 奇函数。
2. 对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学 中是如何考虑平衡条件的？
第三章 平面问题的直角坐标解答
3. 试说明从弹性力学得出的解答（3-6）不 符合平面截面假设。
y轴，故 Φ, σ应x , σ为y 的偶x函数， 为 xy
x的奇函数，故 E F 。G 0
第三章 平面问题的直角坐标解答
⑸ 考察边界条件。 主要边界 y h/20,
(σ y ) yh/2 0, (σ y ) yh/2 q, (τ xy ) y h/2 0. 由此解出系数A , B , C , D 。
学解相同。
第三章 平面问题的直角坐标解答
思考题
1. 弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学 的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此 是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截 面假设成立？
2. 试证明刚体位移 u0 , v0 , 实际上表示弹性体中
原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以
验证。
第三章 平面问题的直角坐标解答
应力
最后应力解答：
σx
6q (l 2 h3
x2)y q
y h
(4
y2 h2
3) 5
M I
y
q
y h
(4
y h
2 2
3), 5
xy
6q h3
x(
h2 4
y2
)
FS S bI
,
σ
y
q 2
(1
y h
)(1
2y h
弹性力学的半逆解法
弹性力学的半逆解法研究指导老师：刘平姓名：曹天阁班级：研13学号：M13746弹性力学的半逆解法研究姓名：曹天阁学号：M13746摘要:利用应力平衡方程和相容方程的特点，根据问题的应力边界条件以应力分量的函数表达式作为试函数求解弹性力学问题。
这种方法简化了计算过程。
本文推荐用剪应力函数求解问题较为容易。
关键词:弹性力学;解析法;应力函数THE SEMI- REVERSE METHOD TO SOLVE PROBLEMS OF THE ELASTICITY Abstract:Stress component functions are used to solve the problems of elasticity based on the equilibrium equations and stress compatible equation according to boundary conditions。
Shear stress function is recom2mended to solve the elasticity problems。
Key words:elasticity;analysis method;stress function半逆解法是圣维南于1856 年提出来的，它是求解弹性力学问题十分重要的方法，在弹性力学中占有极重要的地位。
半逆解法通常根据问题的应力边界条件以及结构的受力特点凑合出某应力分量的待定函数式，再根据假设的该应力分量函数式通过积分求出应力函数<从而求得各应力分量[1]。
这种方法较为有效，但通过解平衡方程求应力函数<时要做消元运算，升高了微分方程的阶数，以至于运算过于复杂，很有改进的必要。
实际上，按应力求解时只要各应力分量满足平衡方程、应力相容方程和边界条件，则是问题的解。
可以看出，在不考虑体积力的情况下各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的。
弹性力学中的逆解法与半逆解法
函数，进行静力等效变换，求主失 和主矩。 根 据 面 力 分 布 分 析 所 能 求 解的 问 题
求得应力，可进一步求解应变和位移
求得应力，可进一步求解应变和位移
变、位移
(
l
x
m
xy
) s
f (s) x
(
l
xy
m
y
) s
f (s) y
次要边界上应用圣维南原理（三个
积分边界条件公式）
(
l
x
m
xy
) s
f (s) x
( xy l
m)
y
s
f (s) y
次要边界上应用圣维南原理（三个积分边界条件
公式）
（全部为应力边界条件）
未 知 量 ― 应力函数（常体力下） 应 力 、 应 （按应力函数求解）
xy
xy
（4）对于每个边界，均由下式反 推边界上的面力；
4
4
4
2
0
x4
x2y 2 y 4
（3）求应力分量；
2 (x, y)
x
y 2
fxx
2 (x, y)
y
x2
f y y
2 (x, y)
xy
xy
2 (x, y)
x
y 2
fxx
xy
2 (x, y) xy源自（2）校核应力函数 满足相容方 知；
（2）由假设的应力分量反推应力函数 的一般函数
程；
（2）校核应力函数 满足相容方程； 形式（含待定函数）；
4
4
4
2
0
x4
x2y 2 y 4
（3）求应力分量；
2 (x, y)
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第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
总结： （多项式应力函数 ( x, y) 的性质） 4 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 0 。 （ 1） 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0 。 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
h y , f y ( y ) h 12ax 2 , f x ( xy ) h 0 y y 2 2 2
FN f x dy ah3 , FS f y dy 0, M f x ydy 0
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.2 矩形梁纯弯曲
3、由边界形状和应力分量反推 出边界上的面力： 在主要边界上：
2 l 2 x , f x ( x ) x l 12ay , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 2 2
h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2
在次要边界上： l x , f x ( x ) x l 12ay 2 , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 h h h FN 2h f x dy ah3 , FS 2h f y dy 0, M 2h f x ydy 0
（2）应力函数： （3）应力函数：
b 2c
cy
2
y
xy b
2c
应力分量 x 2c, y 0, xy yx 0
x
y
结论2：二次多项式对应于均匀分布的应力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
2）应力函数 ϕ为二次多项式
( x, y ) 0 xy
0
2
y2
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多式
公式推导
（ 1）
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
其中: a、b、c 、d 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
应力函数：
ay
3
可解决 y
如图a所示应力边界的矩形截面梁 的纯弯曲问题应力分布问题。
但若坐标系位置不同，对应的应
x 图a x
力边界也不同，同一个应力函数， 如图b的坐标系，为梁的偏心受拉 （或受压）问题。 y 图b
内容要点： 1. 逆解法与半逆解法解题方法的介绍
2.
逆解法举例—应力函数的多项式解答
（只解出应力分量，位移分量后面再介绍）
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
1.逆解法与半逆解法
应力函数 ϕ 解法将平面问题的一组方程简化为相容方 程式（2-25）的一个方程，问题得到大大简化。理论上 只需求解一个方程（2-25）就可以得到应力分量，如果 应力分量满足应力边界条件，则所得应力分量就是问题 的正确解答。 数学上能够找到很多满足式（2-25）的双调和函数， 但是要找到同时能满足应力边界条件和双调和方程的函 数却十分困难。
ax by c
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
2）应力函数 ϕ为二次多项式
公式推导
（1）
ax bxy cy
2
2
其中： a、b、c 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
4 4 4 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y 2 x 2 2c y
4 24a 4 x
得
代入：
4
0
24a 8c 24e 0
3a c 3e 0
可见，对于函数：
ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 4
3a c 3e 0
其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。
（4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
例1：已知函数=a(x4 -y4)，试检查它能否作为应力函数？ 若能，试求出应力分量（不计体力），并求出如图所示矩 形薄板边界上的面力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
解：按逆解法 1、将=a(x4-y4)代入相容方程，可知其是满足的。因此 ，它有可能作为应力函数。 2、将代入式（2－25），得出应力分量：
结论3：三次多项式对应于线性应力分布。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 ay 3 , ( fx fy 0) 由式（2-24）可得： 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
半逆解法：是根据弹性体的形状和受力情况，推测假设 可能的（部分或全部）应力分量表达式，由应力分量反推出 可能的应力函数的形式，然后带入双调和方程确定应力函数 具体表达式， 由（2-24）求出应力分量，看其能否满足边界 条件 ，若满足则问题即告解决，若不满足则另作假设，重新 求解。——是针对具体问题， “凑”出一个满足所求问题边 界条件的双调和函数。
为了能获得问题的解答，采用逆解法或半逆解法。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
1.逆解法与半逆解法
逆解法：事先设定应力函数[双调和函数（2-25）]，根 据（2-24）式可得到应力分量，看这个应力分量能满足哪些 应力边界条件，由此可以确定所设定的应力函数能解决什么 样的问题。——不针对具体问题，用于积累弹性力学的基本 解答。类似于查表法，在已经得到的一族函数中查找与所要 求解的问题一样的情况，直接引用其解答。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
逆解法步骤： （1）先找出满足双调和方程（2-25）的解答- ϕ ， （2）由式（2-24）计算出应力分量， （3）根据应力分量表达式及（2-15），由应力反推出相 应各边界的面力， （4）所的解答即是该面力边界作用下弹性体的解答。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
4）应力函数 ϕ为四次多项式
（ 1）
公式推导
ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 4
4 4 2 2 2 8c 24e 4 x y y
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程
1）应力函数 ϕ为一次多项式
（ 1） 其中： a、b、c 为待定系数。 4 4 4 4 检验φ(x,y) 是否满足双调和 4 2 2 2 4 0 （ 2） x x y y 方程： 显然φ(x,y) 满足双调和方程，可作为应力函数。 （3） 对应的应力分量： 2 2 2 xy 0 x 2 fx x fx x y 2 f y y f y y x xy y 假定体力：fx = fy =0，则有： x y xz 0 （1）一次多项式对应于无体力和无应力状态； 结论1： （2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式， 对应力无影响。
应用举例：
0
例： 试求图示板的应力函数。
0
0
x y
x y
cy 2； x 2c, y 0, xy yx 0 x 0 , y 0, xy yx 0
( x, y )
0
bxy； x 0, y 0, xy yx b x 0, y 0, xy yx 0
内容要点： 利用上一节的逆解法结果，选取与之对应的应力函数 求解梁纯弯曲的应力分量表达式。
2.逆解法举例——多项式解答
2）应力函数 ϕ为二次多项式
可解决的问题（分析边界条件）： （1）应力函数： ax 2 应力分量 x 0, y 2a, xy yx 0
2a
O x
2a
y b o x
bxy 应力分量 x 0, y 0, xy yx b
2 ( x, y ) 2 x f x 12 ay x y 2 2 ( x, y ) 2 y f y 12 ax y x 2 2 ( x, y ) xy 0 xy
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
逆解法举例说明:体力为零的情况下的一系列多项式解答。 将应力函数 ϕ 设定为一系列关于弹性体中点坐标 （x，y）的一系列多项式函数ϕ （x，y） ，按照逆解法 步骤看每个多项式解函数 ϕ 能够解决哪类弹性力学问题。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
M
l
图示梁对应的边界条件：