22.2.2 配方法
22.2.2配方法公式法 式子配方和方程配方
例1
用配方法解方程 3x2＋8x－3＝0．
把下列二次三项式转化为 a(x＋数）的形式： （1）3x2＋8x－3．
• 注意对比代数式的配方与方程的配方的不同 点
代数式的配方是通过提取二次项系数把二次项系数 化为1。 方程的配方是通过两边同时除以二次项系数把二次 项系数化为1。
例2 当k取什么值时，关于x的方程
2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等实数根； (3)方程没有实数根．
已知关于x的方程 x 2(m 1) x m 5 0 有两个不相等的实数根，化简：
2 2
|1 m | m 4m 4
2
全效两道!
对任意实数m，求证:关于x的方程
(m 1) x 2mx m 4 0
2 2 2
无实数根．
例4 求证: 关于x的方程 (k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0没有实数根.
已知关于 x 的方程 x2＋kx＋k2－3 k＋4＝0．试说明：无 论 k 取什么实数值，这个方程总是没有实数根．
没有实数根，且 m 5，求证： 0 m 5 x2 2 m 2 x m 有两个实数根．
2 mx 2 m 2 x m 5 0 已知：方程
例3.设关于x的方程, x 2mx 2m 4 0 证明:不论m为何值,这个方程总有 两个不相等的实数根
典型例题解析
【例5】 已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程
有两个等根，试判断△ABC的形状.
练习： 已知 a、b、c 是△ABC的三边长，且方程
a(1 x ) 2bx - c(1- x ) 0 的两根相等，
22.2.2配方法
册）
华东师大版§22.2.2
22.2.2 解一元二次方程 ——配方法
知识巩固 一、解下列方程:
1、
9x2-13=
2
3;
2、x 4 25
2
3、 3x 2 49 0 用开平方法解一元二次方程关键是把 方程化为x2=a或( )2=a的形式。
课后延伸 课后延伸
你会解下列方程吗？ 1、 3x2 +2x-3=0 2、 x2 +px+q=0
自我测评
1、解下列方程
（1）、x 10x 25 7
2
（2）、x 2 12x 15 0 （3）、2 x 4 x 1 0 （4）、x( x 8) 16
2
自我测评
2、用配方法解下列方程 1 1 2 2 （1）x -3x-1=0 （2）x – x – =0 2 2 （3）(x-1)(x+2)=1
两边同时加上一次项系数一 半的平方。
注意：正数的平方根有两个。
x 1 6
x 1 - 6
即 x1 -1 6 ， x 2 -1- 6
方法归纳
把一元二次方程的左边配成一个完 全平方式，然后用开平方法求解，这种 解一元二次方程的方法叫配方法。 注意： 配方时，等式两边同时加上的是一 次项系数一半的平方。
例题讲解
解方程：
1、x2 -4x+1=0 2、4x2-12x-1=0
x1 2 3
x2 2 3
3 10 x1 2 2
3 10 x2 2 2
合作交流
用配方法解一元二次方程的一般步骤及注意问题：
1、移项：把常数项移到等号的右边。（变号） 2、配方：方程的两边都加上一次项系数一半的 平方。（如果二次项系数不为1时，先将二次项 系数为化1） 3、开方：根据平方根意义，方程两边开平方。 4、求解：得到两个一元一次方程，解一元一次 方程，写出原方程的解。
华师大版九年级数学上册22.2.2 配方法
21．用配方法把代数式3x－2x2－2化为a(x＋m)2＋n的形式，并 说明不论x取何值时，这个代数式的值总是负数．并求出当x取 何值时，这个代数式的值最大．
解：3x－2x2－2＝－2(x－34)2－78，∵－2(x－34)2≤0，∴－2(x－34)2 －78<0.当 x＝34时，代数式最大值为－78
12．用配方法解方程 x2＋6x＝10 的根为( B)
A．3± 19
B．－3± 19
C．－3＋ 10
D．－3－ 10
13．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( B ) A．x2－2x－99＝0 化为(x－1)2＝100 B．x2＋8x＋9＝0 化为(x＋4)2＝25
C．2t2－7t－4＝0 化为(t－74)2＝8116
13)2＝16＋19两第 边―四 开―→步 平方x－13＝±
158第―移五 ―项→步x1＝13＋
610，x2＝13－
10 6.
(1)上述步骤，发生第一次错误是在( B ) A．第二步 B．第三步 C．第四步 D．第一步 (2)写出上述步骤中发生第一次错误的原因，并重新写出解方程 6x2－x－1＝0的步骤． 解：原方程配方得：(x－112)2＝12454，∴x1＝12，x2＝－13
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二下午5时35分30秒17:35:3022.4.12
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月下午5时35分22.4.1217:35April 12, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月12日星期二5时35分30秒17:35:3012 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
2014年秋华师大版九年级数学上22.2.2配方法(2)课件
练一练
用配方法解方程：
(1) x 8x 2 0
2
(2) x 5x 6 0
2
试一试
用配方法解方程
x 2 px q 0( p 2 4q 0)
2
2 x px q 解：移项，得
p p p 方程左边配方，得 x 2 x q 2 2 2 2 p 2 p 4q (x ) 即 2 4 2 p 4q 0 ∵ 2 p 4q 0 ∴ 4 2 p 4q ∴ x 2p 2 p p2 4 p p 2 4q , x2 原方程的解是 x1 2 2
原方程的解是 x1 7, x2 1
(2)移项,得 x 3x 1
2
3 3 3 方程两边配方,得 x 2 x 1 2 2 2 3 2 5 即 (x ) 2 4
2
2
所以
3 5 x 2 2
3 5 3 5 原方程的解是 x1 , x2 2 2 2 2
(2).x 4x 3 0
2
( x 2) 1 0
2
( x 2)2 1
x1 3, x2 1
2 ax 0 a 0） 这种把形如 bx c （ 的方程变 2 形为 ( x m) n ,它的左边是一个含
有未知数的完全平方式,右边是一 个非负常数,这样,就能应用直接开 平方的方法求解.这种解一元二次 方程的方法叫做配方法.
(1).(x a) x 2ax b
2
2 2 2
(2).(x a) x 2ax b
2
2
3.填空:
(1) x 6x 9 x 3
人教版数学九年级上册22.2.2《配方法》教学设计1
人教版数学九年级上册22.2.2《配方法》教学设计1一. 教材分析《配方法》是人教版数学九年级上册第22章第2节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了整式的加减、乘除，以及完全平方公式的基础上进行学习的。
配方法是一种解决问题的方法，通过构造完全平方公式，将问题转化为学生已经掌握的知识点，从而解决问题。
配方法在解决二次方程、二次不等式以及函数图像的平移等问题中有着广泛的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，能够理解和运用整式的加减、乘除以及完全平方公式。
但是，对于配方法的原理和应用，他们可能还不太清楚。
因此，在教学过程中，需要通过具体例子让学生理解配方法的原理，并通过练习让学生掌握配方法的应用。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握配方法的原理，并能够运用配方法解决相关问题。
2.过程与方法：通过具体例子，让学生理解配方法的过程，并能够独立完成配方法的操作。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.配方法的原理理解2.配方法在解决实际问题中的应用五. 教学方法采用讲解法、示范法、练习法、讨论法等教学方法，通过具体例子引导学生理解配方法，并通过练习让学生巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学PPT七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何解决这类问题。
例如，解决方程x^2 -5x + 6 = 0。
2.呈现（15分钟）讲解配方法的原理，并通过PPT展示配方法的具体步骤。
配方法的步骤如下：（1）将方程写成完全平方的形式；（2）根据完全平方公式，构造出两个相同的因式；（3）将方程转化为两个因式的乘积等于0的形式；（4）根据乘积等于0的性质，解出方程的解。
3.操练（15分钟）让学生独立完成配方法的操作，教师巡回指导。
4.巩固（10分钟）让学生解答一些相关的练习题，检验学生对配方法的理解和掌握程度。
5.拓展（10分钟）讲解配方法在解决二次方程、二次不等式以及函数图像的平移等问题中的应用。
人教版数学九年级上册22.2.2《配方法》教案1
人教版数学九年级上册22.2.2《配方法》教案1一. 教材分析《配方法》是初中数学九年级上册的教学内容，主要目的是让学生掌握配方法的基本原理和应用。
配方法是一种解决二次方程问题的方法，通过将二次方程转化为完全平方形式，从而简化问题的求解过程。
本节课的内容是在学生已经掌握了二次方程的基本概念和求解方法的基础上进行讲解的，为后续学习更复杂的二次方程问题打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次方程的基本概念和求解方法，具备了一定的数学基础。
但是，对于配方法的理解和应用还需要进一步的引导和培养。
学生的学习兴趣和学习积极性较高，对于新的学习内容有一定的好奇心和求知欲。
三. 教学目标1.让学生掌握配方法的基本原理和应用。
2.培养学生解决二次方程问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
四. 教学重难点1.配方法的基本原理的理解和应用。
2.配方法在解决二次方程问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生自主探究和合作交流，让学生在解决实际问题的过程中掌握配方法的基本原理和应用。
同时，运用案例教学法，结合具体的例子进行讲解，使学生更好地理解和掌握配方法。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备教学课件和教学素材。
七. 教学过程导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：已知一个二次方程的解为x1=3和x2=4，求原方程。
让学生尝试解决这个问题，引发学生对配方法的好奇心和兴趣。
呈现（10分钟）讲解配方法的基本原理和步骤。
通过具体的例子进行讲解，让学生理解和掌握配方法的基本原理和应用。
同时，引导学生进行思考和讨论，巩固学生的理解。
操练（10分钟）让学生进行配方法的练习。
提供一些配方法的练习题，让学生独立完成。
在学生完成练习的过程中，进行巡视指导和解答学生的疑问。
巩固（10分钟）通过一些综合性的题目，让学生应用配方法解决实际问题。
引导学生进行合作交流，共同解决问题，巩固学生对配方法的理解和应用。
22.2.2配方法
你是这样配方的吗？
1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两 边都除以二次项系数)； 2、把常数项移到方程右边； 3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使 左边成为完全平方式； 4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法 解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。
1、配方法： 通过配方,将方程的左边化成一个含 知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直 接开平方求出方程的解的方法。 2、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤： (1)化二次项系数为1 （2）移项
2
( (4) x px =( x 共同点： 左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.
2
p 2 ) 2
p 2 )2
•观察(1)(2)看 所填的数与一 次项系数之间 有什么关系?
例4 解方程：x2 +2x=5 解：方程左右两边都加上1，得 x2 +2x+1=6 即（x+1）2 =6 直接开平方，得x+1=± 6 所以 x=-1± 6 x2 =-1- 6
（3）配方
（5）写出方程的解
（4）开平方
用配方法解下列方程:
(1)x2+8x-2=0 (2)x2-5x-6=0
(
配方法
1、用直接开平方法解下列方程: (1) 9 x 2 1
(2)
( x 2) 2
2
填上适当的数或式,使下列各等式成立.
2 x 6 x 3 =( x (1) + 3 )2 2 2 4 (2) x 8 x 4 =( x )2 2 2 2 2 (3) x 4 x =( x )2
即x 1 =-1+ 6
华师大版九年级上册22.2.2 用配方法解一元二次方程课件
次方程 当当pp<<00时时，，原原方方程程的无解解又如何？
【针对练二】
2
-4
-1
解：
总结梳理 内化目标
•用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
(1)配方法解一元二次方程应注意些什么 ？
在用配方法解二次项系数不为1的一元二次 方程时，通常是先让方程的各项除以二次项系 数，即把这类方程转化为例1中的方程类型；
合作探究 达成目标
解一元二次方程的基本思路
二次ห้องสมุดไป่ตู้程
一次方程
把原方程变为(x+n)2＝p的形式 (其中n、p是常数）
当p≥0时，两边同时开平方，
（4）求解:解一元一次方程
（5）定解:写出原方程的解
（1）把常数项移到方程右边后，两边加上的常数和一 次项系数有何关系？
（2）左边的平方式中的符号与一次项系数的符号有什 么关系？
【针对练一】
36
6
4
2
16
4
解：
合作探究 达成目标
探究点二 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
➢ 活动二：
(1)这两个小题与活动一中的方程有什么不同 ？如何将此例方程转化为活动一中方程的情形？
达标检测 反思目标
D B
9
3
正数
解：
• 上交作业：教科书第17页 习题21.2第2,3题 ．
22.2.2 配方法 课件 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册
A. + ＝28
B. − ＝28
C. + ＝1
D. − ＝1
典例导思
2. 一元二次方程 x2－2 x ＋ m ＝0配方后得（ x －1）2＝
n ，则 m ＋ n 的值是 1 .
典例导思
题型二 用配方法解一元二次方程
用配方法解下列方程：
C ）
典例导思
4. 解下列方程：
（1） x2－4 x ＋1＝0；
解： x1＝2＋ ，
x2＝2－ .
（2）2 x2＋ x ＝5 x ＋5；
解： x1＝1＋
x2＝1－
.
，
典例导思
（3）3 x2－6 x －2＝0；
解： x1＝1＋
，
x2＝1－
.
2
（4）－ x ＋ x － ＝0.
＝1＋
，
即 −
＝ .
直接开平方，得 x － ＝± .∴ x1＝3， x2＝－ .
典例导思
3. 一元二次方程 x2＋4 x ＋1＝0配方后可化为（
2
2
A. （ x ＋2） ＝5
B. （ x －2） －5＝0
2
2
C. （ x ＋2） ＝3
D. （ x －2） －3＝0
2
2
2
2
配方，得 x －4 x ＋2 ＝ ＋2 ，即（ x －2） ＝ .
22.2.2配方法(2)课件ppt
(2).( x a)2 x2 2ax b2
3.填空:
(1)x2 6x 9 x 3 2
(2)x2 8x 16 x 4 2
(3)x2
3 2
x
9 16
x
3 4
2
想一想
你能解以下方程吗?
(1).x2 2x 5 x2 2x 1 5 1 (x 1)2 6
(x 1)2 6 0
解：移项，得 x2 px q
方程左边配方，得
即
(x p)2
x2 2 p2 4q
x
p 2
p 2
2
q
p 2
∵
p2
2 4q
0
4
∴ p2 4q 0
4
∴
p2 4q x2p
原方程的解是
2 p x1
p2 4q ,
2
p x2
p2 4 2
讨论：
如何用配方法解下列方程：
(1).4x2 12 x 1 0 (2)3x2 2x 3 0
x 1 6
(2).x2 4x 3 0
(x 2)2 1 0
x1 1 6, x2 1 6 x2 4x 3 x2 4x 4 3 (x 2)2 1 x 2 1 x1 3, x2 1
这种把形a如x2 bx c （ 0的a 方 0程）变 形为 (x m)2,它n的左边是一个含 有未知数的完全平方式,右边是一 个非负常数,这样,就能应用直接开 平方的方法求解.这种解一元二次 方程的方法叫做配方法.
例1.用配方法解下列方程:
(1)x2 6x 7 0 (2)x2 3x 1 0 解:(1)移项,得 x2 6x 7
记住:配上 一次项系数 一半的平方
方程两边配方,得x2 2 x 3 32 7 32
22.2.2配方法 教案导学案
解：能．理由：∵a2＋4b2＋2a－4b＋2＝0，
∴a2＋2a＋1＋4b2－4b＋1＝0.
∴(a＋1)2＋(2b－1)2＝0.
∵(a＋1)2≥0，(2b－1)2≥0，
∴a＋1＝0，2b－1＝0.
∴a＝－1，b＝0.5.
中考链接
1.(随州中考)用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是( )
学生板演，老师订正
学生解答，师生总结步骤
学生解答，老师板书讲解.
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
巩固所学知识
培养学生分析归纳的能力.
培养学生动手，自己解决问题的能力
课堂练习
1.一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为( )
A．(x－3)2＝15 B．(x－3)2＝3
4、x2+ x+___ =(x+___)2
师：你所填写的b、b2与一次项的系数有怎样的关系？
生：完全平方公式
师：试着解方程吧
师：总结一下什么叫配方法？
生：它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.
这样，就能应用直接开平方的方法求解.
这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
课件展示：
例5、用配方法解下列方程：
4．将x2＋6x＋4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为．
答案：﹣5
5.用配方法解方程：
(1)x2－2x＝5； (2)2x2＋7x－4＝0
答案：
解：(1)(x－1)2＝＋ )2＝ ，
∴x1＝ ，x2＝－4.
拓展提高
已知实数a，b满足a2＋4b2＋2a－4b＋2＝0，你认为能够求出a和b的值吗？如果能，请求出a，b的值；如果不能，请说明理由．
第5课时 22.2.2 配方法(第2课时)教学设计
第5课时 22.2.2 配方法(2)教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．教学目标了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重难点关键1．重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程：（1）x2-4x+7=0 （2）2x2-8x+1=0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式，•不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略. (2)与(1)有何关联?二、探索新知讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．例1．解下列方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：略三、巩固练习教材P39练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）．四、应用拓展例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=12（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y2（12y+12）（16y-16）=6去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72y2（y2-1）=72，y4-y2=72（y2-12）2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 3当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53例3求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.五、归纳小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性（如例3）在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。
22.2.2 一元二次方程 求根公式法
③、△＜0 ④、△≥0
方程没有实数根 方程有实数根
例题讲解
不解方程，判别方程 的根的情况.
解：4 y 2 4 y 1 0 a 4, b 4, c 1 (4) 2 4 4 1 0
4 y 1 4 y
2
所以，方程有两个相等的实数根。
3 x 2
2x
解： a 2，b 1，c 1. 1
b 4ac 1 4 2 1 9 0,
2 2
x
确定a、b 、c的值时要 注意符号．
1 9 2 ２
1 3 , 4
1 x1 1, x2 . 2
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公 式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根 公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例题讲解
解下列方程：
2x 1 2 x 1 0; x 2 1.5 3x; 2 1 0; 2 3 x 2 0. 4 4x 2
小结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：
１.先写出a，b，c ２.再求出
b 4ac
2
３.最后代入公式
当 当
b 2 4ac 0 b 2 4ac 0
时，有两个实数根 时，方程无实数 解
4 2 6 x 0 4x
解：
a 4, b 6, c 0.
b 4ac 6 4 4 0 36.
2 2
x
6 36 2 4
66 , 8
3 x1 0, x2 . 2
5 x
解：化为一般式
2
4 x 8 4 x 11 x2 3 0 .
初中数学 教案1：22.2.2 配方法
配方法教学目标：知识技能目标1.正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0(p2-4q≥0)的方程变形为(x＋m)2＝n(n ≥0)类型；2.会用配方法解形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的数字系数的一元二次方程；3.培养学生准确、快速的计算能力以及观察、比较、分析问题的能力；过程性目标1.让学生经历配方法的推导形成过程，并能够熟练地运用配方法求解一元二次方程；2.让学生探索用配方法解形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)数字系数的一元二次方程，并与形如x2＋px＋q＝0的方程进行比较，感悟配方法的本质．情感态度目标通过本节课，继续渗透由未知向已知转化的思想方法，配方法是解决某些代数问的一个很重要的方法．重点和难点重点：掌握用配方法解一元二次方程；难点：把一元二次方程化为(x＋m)2＝n的形式．教学过程一、创设情境问题：怎样解下列方程：(1)x2＋2x＝5；(2)x2－4x＋3＝0．二、探究归纳思考能否经过适当变形，将它们转化为(x－m)2＝n(n≥0)的形式，应用直接开平方法求解？分析对照公式：a2±2ab+b2＝(a+b)2，对于x2＋ax型的代数式，只需再加上一次项系数一半的平方，即可得到22222⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++axaaxx完成转化工作．解(1)原方程化为x2＋2x＋1＝5＋1．即(x＋1)2＝6．两边开平方，得x＋1＝±6．所以x1＝6－1,x2＝－6－1．(2)原方程化为x 2－4x ＋4＝－3＋4即(x －2)2＝1．两边开平方，得x －2＝±1．所以x 1＝3, x 2＝1．归纳 上面，我们把方程x 2－4x ＋3＝0变形为(x －2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数．这样，就能应用直接开平方的方法求解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法．运用配方法解一元二次方程的步骤：第一步是移项，将含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到方程的另一边；第二步是配方，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，进行这一步的依据是等式的基本性质和完全平方公式a 2±2ab +b 2＝(a +b )2；第三步是用直接开平方法求解．三、实践应用例1 用配方法解下列方程：(1)x 2－6x －7＝0；(2)x 2＋3x ＋1＝0．解 (1)移项，得x 2－6x ＝7 ……第一步方程左边配方，得x 2－2∙x ∙3＋32＝7＋32……第二步即 (x －3)2＝16．所以x －3＝±4．原方程的解是x 1＝7， x 2＝-1．(2)移项，得x 2＋3x ＝－1．方程左边配方，得x 2＋2∙x ∙23＋(23)2＝－1＋(23)2, 即(x ＋23)2＝45． 所以x ＋23＝±25． 原方程的解是x 1＝－23＋25，x 2＝－23－25． 试一试 用配方法解方程：x 2＋px ＋q ＝0(p 2-4q ≥0)解 移项，得x 2＋px ＝－q ， 方程左边配方，得2222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+p q p p x x即44222q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 当p 2-4q ≥0时，得2422q p p x -±=+ 原方程的解是24242221q p p ，x q p p x ---=-+-= 例2 如何用配方法解方程：2x 2＋3＝5x ．分析 这个方程化成一般形式后，二次项的系数不是1，而上面的几个方程二次项的系数都是1，只要将这个方程的二次项系数化为1，就变为上面的问．因此只要在方程的两边都有除以二次项的系数2就可以了．解 移项，得：2x 2－5x ＋3＝0，把方程的各项都除以2，得023252=+-x x ， 配方，得22245234525⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ， 即161452=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ， 所以4145±=-x ， 原方程的解是12321==x x ，． 说明 例2中方程的特点和例1不同的是，例2的二次项系数不是1．因此要想配方，必须化二次项系数为1．对形如一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)用配方法求解的步骤是：第一步：化二次项系数为1；第二步：移项；第三步：配方；第四步：用直接开平方法求解．思考 怎样解方程9x 2－6x ＋1＝0比较简单？解法(1) 化二次项的系数为1，得091962=+-x x ， 移项，得91962-=-x x ，配方，得22231913196⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x , 所以，0312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ． 原方程的解是3121==x x ． 解法(2) 原方程可整理为(3x －1)2＝0． 原方程的解是3121==x x ． 比较上面两种方法，让学生体会配方法是通用方法，但有时用起来麻烦；解法(2)是据方程的特点所采用的特殊的方法，较解法(1)简捷，明快．所以学习不要机械死板，在熟练掌握通法的基础上，可根据方程的结构特点灵活地选择简单的方法，培养灵活运用能力．四、交流反思．1.用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，其步骤如下：(1)把二次项系数化为1；(2)移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项；(3)配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；(4)用直接开平方法求解．配方法的关键步骤是配方．配方法是解一元二次方程的又一种方法．2.对于二次项的系数不是1的一元二次方程，通常在方程的两边都除以二次项的系数，转化为二次项系数为1的方程，从而用配方法求解；3.通过观察、比较、分析去发现新旧知识的联系，以旧引新，学会化未知为已知的转化思想是学习数学常用策略；配方法是一种重要的方法，在后面的学习中经常会用到．五、检测反馈1.填空：(1)x 2＋6x ＋( )＝(x ＋ )2；(2)x 2－8x ＋( )＝(x － )2；(3)x 2＋23x ＋( )＝(x ＋ )2； (4)4x 2－6x ＋( )＝4(x － )2＝(2x － )2．2.用配方法解方程：(1)x2＋8x－2＝0；(2)x2－5x－6＝0；(3)4x2－12x－1＝0；(4)3x2＋2x－3＝0．六、布置作业习题22．2的4(1)\(2)\(3)\(4).。
22.2.2 配方法(1)第4课时教学设计
第4课时 22.2.2 配方法(1)教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±mx+n=p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?二、探索新知列出下面问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→（x+3）2=•25 •降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-12=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：略三、巩固练习教材P 38 讨论改为课堂练习，并说明理由．教材P 39 练习1 2．（1）、（2）．四、应用拓展例3．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．C AQ P分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12×8×6 整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．五、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．六、布置作业1．教材P 45 复习巩固2．3(1)(2)2．选用作业设计．一、选择题1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-32．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31B ．x 2-8x+（-4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2-4x+4=-113．如果m x 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x x x ---的值为0，则x 的值为________．3．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，•所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．三、综合提高题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x2-4x+y2，求（xy）z的值．3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？课后反思。
22.2.2公式法2与配方法比较
4 5
由此可得
1 x1 , x2 3 3
1 x1 , x2 3. 3
4 5 x . 3 3
观察比较
公式法
相对于
配方法
可以避免配方过程而直接得出根
公式法是怎样生产的？
b c 解 : x x 0. a a b c 2 x x . a a
一般地，式子 b 4 ac 叫做方程
2
ax bx c 0
2
根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即
△＝
b
2
4ac
当△>0时，方程 ax bx c 0
2
(a≠0)
的实根可写为
b b 4ac x 2a
2
一元二次方程的 求根公式
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
2
方程有两个相等实数根 .
练习
不解方程，请判断下列方程根的情况:
(1) x 2 x 1 0
2
(2) 2 x 5x 3 0
2
(3) x x 1 0
2
例:已知关于x的方程
2
x ( m 1) x m 2 0
有两个相等的实数根，求m的值。
解：根据题意，得 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (1) b 4ac 0, 这时 0 4a
即
此时，方程有两个不等的实数根
b b2 4ac x 2a 2a
b b
x x
b
2
4a c 4a c
1
2a
b
2
2
22.2.2配方法数学教案
22.2.2配方法数学教案**标题：22.2.2 配方法****一、课程目标**1. 学生能够理解配方法的概念。
2. 学生能够掌握如何使用配方法解决实际问题。
3. 学生能够通过配方法理解和掌握完全平方公式。
**二、教学内容**1. 配方法的基本概念2. 完全平方公式的推导过程3. 配方法的应用**三、教学步骤**1. 引入新课：通过生活中的实例引出配方法的重要性，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解新课：- 配方法的基本概念：首先解释什么是配方法，然后给出一些简单的例子让学生理解。
- 完全平方公式的推导过程：通过图形的方式帮助学生理解完全平方公式的推导过程，使其更直观易懂。
- 配方法的应用：通过一系列的问题和练习，使学生掌握如何使用配方法解决实际问题。
3. 练习与讨论：组织学生进行小组讨论，解答他们在学习过程中遇到的问题。
4. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，并引导学生自我反思，提出自己的疑问和思考。
**四、教学资源**1. 教材2. 多媒体设备（如投影仪、电脑等）3. 实物模型或教具**五、教学评价**1. 课堂观察：观察学生在课堂上的表现，包括他们的参与度、理解程度等。
2. 作业反馈：通过批改学生的作业，了解他们对知识的理解和应用情况。
3. 小组讨论：通过小组讨论，了解学生的思维过程和解决问题的能力。
**六、教学策略**1. 创设情境：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣。
2. 启发式教学：采用启发式教学法，引导学生主动思考，培养他们的创新意识。
3. 分层教学：针对不同层次的学生，提供不同的教学内容和教学方法，满足他们的学习需求。