解三角形(学案)

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解直角三角形学案1

9.4解直角三角形学案一学习目标：1理解解直角三角形的概念，会选择正确的方法解直角三角形。

2能运用锐角三角比解直角三角形。

二知识回顾：在Rt△ABC中，∠C＝900，a，b，c，分别为∠A,∠B,∠C 所对的边，则边之间的关系为，角之间的关系为，角与边之间的关系为，三自主预习：1解直角三角的概念：有直角三角形中求出元素的过程，叫做解直角三角形。

2解直角三角形的两种情况。

（1）已知，求第三边及两锐角。

（2）已知和一个，求其它两边及另一锐角。

四导学探究：在Rr△ABC中，共有六个量，三条边a，b，c，三个角∠A，∠B，∠C，其中∠C是已知的，其它的五个量都是未知的。

（1）已知∠A，∠B，能求出其它的三个量a，b，c吗？（2）已知两条边的长，能求出其它的三个量吗？（3）已知一角和一边，能求出其它的三个量吗？你有什么发现？bA例1在Rt △ABC 中，∠C ＝900,a ＝17.5，c ＝62.5，解这个直角三角形。

例2在Rt △ABC 中，∠C ＝900,c ＝128，∠B ＝520，解这个直角三角形（边长精确到0.01）练一练：1 在Rt △ABC 中，∠C ＝900,a ＝12，b ＝24，解这个直角三角形。

2在Rt △ABC 中，∠C ＝900，（1）已知c＝15，∠B＝600，求a；（2）已知∠A＝350，a＝24，求b，c五当堂达标；1在Rt△ABC中，∠C＝900，BC＝a，AC＝b，且3 a＝4b，则∠A的度数是（）A 53.70B 53.130C 53013′D 53048′2已知Rt△ABC中，∠C＝900，∠A＝300，斜边上的高为1，则△ABC三边的长分别为（）A a＝22，b＝2，c＝4，B a＝3，b＝2， c ＝7C a＝332，b＝2，c＝334，D a＝2,b＝332,c＝3342已知在Rt△ABC中，∠C＝900，a，b，c，分别为∠A,∠B,∠C所对的边，由下列条件解直角三角形。

学案1.2解三角形应用举例(必修5)

预习案1.2 解三角形应用举例命题人申占宝【预习目标】1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语。

2、体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

【知识连接】【问题导引】问题一：遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？问题二：：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？【自学指导】阅读课本12页掌握上面提及的两个问题。

【预习反馈】你在预习中有些什么样的问题？学习案1.2 解三角形应用举例【课标点击】(一)学习目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语。

情感与价值：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

（二）重点、难点教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。

【学习方法】自主学习合作探究【学习过程】（一）问题导引：通过你自己的预习你觉得：1、怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度。

2、怎样去测量地面上两个不能到达的地方之间的距离。

3、我们学习过的应用题的解法分几步？(二)知识点梳理：1、解三角形应用题解决的一般步骤是：2、上面问题导引中的问题如何构造三角形并加以求解。

（三）思考与讨论: 某人在M汽车站的北偏西20︒的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。

公路的走向是M站的北偏东40︒。

开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。

问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？（四）典例示范例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。

解三角形学案

解三角形知识点1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 6、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---7．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 8．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.9、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ．10、三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。

高考数学：解三角形(复习学案)

专题09 解三角形（一）三角形中的求值问题1.例题【例1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( )A ． 3B ．2C ．2 2D ．3【例2】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（）A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 【例3】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4a =，b =cos (2)cos c B a b C =-，则ABC ∆的面积为______．【例4】（2017·全国高考真题（理））△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、, 已知△ABC 的面积为23sin a A．(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【例5】如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.2.巩固提升综合练习【练习1】（2019·全国高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（）A ．6B ．5C ．4D ．3【练习2】（2018·全国高考真题）△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知bsinC +csinB =4asinBsinC ，b 2+c 2−a 2=8，则△ABC 的面积为________．【练习3】在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【练习4】在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．2【练习5】已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S ．【练习6】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ． (1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积．（二）三角形中的最值或范围问题1.例题【例1】在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin A sin B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．【例2】已知在锐角ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos cosb Cc B=，则111tan tan tanA B C++的最小值为（）A B C D．【例3】已知△ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin B cos C ＋32c sin C＝2R，则△ABC面积的最大值为( )A．25B．45C．255D．125【例4】在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos Ccos cos cos2ab Ac A B+=，ABC∆，则ABC∆周长的最小值为______.2.巩固提升综合练习【练习1】设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【练习2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( ) A ．2＋3 B ．2＋2 C ．3D ．3＋2【练习3】已知ABC ∆1,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______.【练习4】在ABC ∆中，23BAC π∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC ∆面积的最大值为__________．（三）解三角形的实际应用必备知识：实际测量中的有关名称、术语南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角1.例题【例1】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【例2】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【例3】某人在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为____________米．2.巩固提升综合练习【练习1】甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【练习2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为( )A.1762海里/时B ．346海里/时 C.1722海里/时D ．342海里/时【练习3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217秒．在A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B ＝( )A ．32B ．233C ．33D ．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎪⎭⎫⎝⎛+6πB 则b ＝( ) A ．1 B.2 C.3D.53．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝32，tan B ＝2tan A ，则△ABC 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．32D ．423．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( ) A ．223B ．24C ．64D ．634．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，6) C ．(2，3)D ．(6，4)5．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =2，B =45°，若三角形有两解，则b 的取值范围是_______.6．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝12，延长BC至点D ，若BD ＝2，则△ACD 面积的最大值为________．8．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 9．若满足3ABC π∠=， AC =3， ,BC m ABC =恰有一解，则实数m 的取值范围是______．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ． (1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．12．已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅰ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。

解三角形正弦定理和余弦定理复习学案教师版

第 1 页解三角形正弦定理和余弦定理复习学案一、正、余弦定理解三角形的基本问题例1 在△ABC 中，(1)已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 、c ；(2)已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．点拨 (1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A ，再求其余的量． (2)先由sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ，求出a ∶b ∶c ，再由余弦定理求出最大角．解 (1)由正弦定理及已知条件有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32，∵a >b ，∴A >B ＝45°，∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22，当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22(2)根据正弦定理可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10， ∴边c 最大，即角C 最大．设a ＝(3＋1)k ，b ＝(3－1)k ，c ＝10k ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3＋1)2＋(3－1)2－(10)22(3＋1)(3－1)＝－12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3回顾归纳已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．►变式训练1 (1)△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠C ＝30°，求△ABC 的面积；(2)已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度．解 (1)1sin 30°＝3sin B ，∴sin B ＝32，∴B ＝60°或120°，当B ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32.当B ＝120°时，A ＝30°，∴S △ABC ＝12×3×1×sin 30°＝34.综上，△ABC 的面积为32或34.(2)∵S ＝12ab sin C ，∴sin C ＝32，于是C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝21，∴c ＝21；当C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ＝61， ∴c ＝61.∴c 的长度为21或61. 二、正、余弦定理在三角形中的应用例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长．已知b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc .第 2 页(1)求∠A 的大；(2)求b sin Bc 的值．点拨 (1)利用cos A ＝b 2＋c 2－a22bc 求解；(2)利用正弦定理对代数式b sin Bc进行转化．解 (1)∵b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc ，∴a 2－c 2＝b 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)方法一在△ABC 中，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ，∵b 2＝ac ，∴b a ＝cb.∴sin B ＝b sin A a ＝c ·sin A b ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.方法二在△ABC 中，由面积公式得：12bc sin A ＝12ac sin B∵b 2＝ac ，∴bc sin A ＝b 2sin B ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.回顾归纳 (1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系．(2)要注意利用△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B ＋C )＝sinA ，cos(B ＋C )＝－cos A ，tan(B ＋C )＝－tan A ，sin B ＋C 2＝cos A2等，进行三角变换的运算．►变式训练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求∠A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．解 (1)∵B ＋C ＝180°－A ，∴B ＋C 2＝90°－A2.由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72，得4cos 2A 2－cos 2A ＝72，即2(1＋cos A )－(2cos 2 A －1)＝72.整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0.∴cos A ＝120°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∵a ＝3，∴b 2＋c 2－bc ＝3.又b ＋c ＝3，∴b 2＋c 2＋2bc ＝9，∴bc ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3bc ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝1. 三、正、余弦定理在实际问题中的应用例3 A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，A 见塔在东北方向，B 见塔在正东方向，C 见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．解如图所示，过C、B、P分别作CM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分别为M、N 、Q.设BN=x，则PQ=x，PA=2x.∵AB=BC，∴CM=2BN=2x，PC=2x.在△PAC中，由余弦定理得AC2=PA2+PC2-2PA·PC·cos 75°，即4=2x2+4x2-42x2·624-，解得x2=2(43)13+，过P作PD⊥AC，垂足为D，则线段PD的长为塔到直路的距离．在△PAC中，由于12AC·PD=12PA·PC·sin 75°，得PD020sin7522sin752P A P C xAC⋅⋅⋅==，=2(43)62753213413+++⋅⋅=(km)．答塔到直路的距离为75313+km.回顾归纳(1)解斜三角形应用题的程序是：①准确地理解题意；②正确地作出图形(或准确地理解图形)；③把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；④根据实际意义和精确度的要求给出答案．(2)利用解斜三角形解决有关测量的问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语．►变式训练3如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，设乙船按方位角为θ的方向沿直线前往B处救援，求sin θ的值．解在△ABC中，AB=20，AC=10，∠BAC=120°，由余弦定理知：BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=202+102-2×20×10×12⎛⎫-⎪⎝⎭=700.∴BC=107第3 页第 4 页由正弦定理得sin sin A B B C A C B B A C=∠∠，∴sin ∠ACB=A B B C·sin ∠BAC=·sin 120°=7.∴cos ∠ACB=7.∴sin θ=sin(∠ACB+30°)=sin ∠ACB ·cos 30°+cos ∠ACB ·sin 30°=7×2+7×12=14，.课堂小结：1．正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题： (1)已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解，其解不确定． 2．余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：(1)已知三边，求其他三角，其解是唯一的．(2)已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解．3．正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆)提供了理论基础，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．课后作业一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对答案 C 解析 sin B ＝b ·sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案 C 解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0，∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．(2008·福建)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D 解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49第 5 页答案 D 解析 S △ABC ＝12AC ×AB ×sin 60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos 60°＝552＋162－2×16×55×12＝2 401∴BC ＝49.5．(2012·广东东莞模拟)△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A 解析 ①由a 2>b 2＋c 2知A 为钝角，①正确；②由a 2＝b 2＋c 2＋bc 知A ＝120°，②错；③由a 2＋b 2>c 2，仅能判断C 为锐角，A 、B 未知，③错；④由A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，知A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2，④错．所以仅①正确．二、填空题6．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________．答案 6 cm 2解析由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)．7．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A＝______.答案 2393.解析由S ＝12sin A ＝121×c ×32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13.∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 8．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________．解析如图所示，sin 45sin 30BCAC =，∴BC=sin 30A C ×sin 45°=20122⨯， (km)．9．(2012·广东广州一模)已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，第 6 页cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×3517，∴b ＝17.10．在△ABC 中，已知AB ＝463，cos B ＝66，AC 上的中线BD ＝5，求sin A 的值．解设E 为BC 的中点．连接DE ，则DE ∥AB ，且DE ＝12AB ＝263，设BE ＝x .在△BDE 中利用余弦定理可得：BD 2＝BE 2＋ED 2－2BE ·ED cos ∠BED ，5＝x 2＋83＋2×263×66x ，解得x ＝1，x ＝－73(舍去)．故BC ＝2，从而AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝283AC ＝2213.又sin B ＝306，故2sin A ＝2213306，sin A ＝7014.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B2－cos 2C ＝72.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)∵A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，得4cos 2C 2－cos 2C ＝72， ∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，整理，得4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即7＝a 2＋b 2－ab ，∴7＝(a ＋b )2－3ab ，由条件a ＋b ＝5，得7＝25－3ab ，ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.。

高三一轮复习解三角形学案

§1.1 正弦定理高考导航CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B=，同理可得sin sin c b C B=，从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=．试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（）．A ．sin sin a A bB = B .cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于．[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C．（3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和．三、总结提升※ 学习小结1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin c C= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※ 知识拓展 a b =2c R ==，其中2R 为外接圆直径.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a =sin sin sin a b c A B C++++= ．1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．§1.2 余弦定理高考导航和它所对角的的相等，即 = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学※ 探究新知问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC = ，∴AC AC ∙=同理可得： 2222c o s a b c b c A =+-，2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=，，．[理解定理]（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC 中，a =2c =，150B =，求b ．（2）△ABC 中，2a =，b ，1c ，求A ．※ 典型例题例1. 在△ABC 中，已知a b =，45B =，求,A C 和c ．变式：在△ABC 中，若AB ，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．例2. 在△ABC中，已知三边长3b=，c=，求三角形的最大内角．a=，4变式：在∆ABC中，若222=++，求角A．a b c bc三、总结提升※学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边．※知识拓展在△ABC中，若222+=，则角C是直角；a b c若222+<，则角C是钝角；a b c若222+>，则角C是锐角．a b c※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知a c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.A. B. C.2D.2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60B．75C．120D．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A x<B x＜5C．2＜x D．5＜x＜54. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足222b ac ab+-=，则∠C等于．1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝1314，求最大角的余弦值．2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB BC⋅的值.§1.3 正弦定理和余弦定理（练习）高考导航已知三边求角，用定理；已知两边和夹角，求第三边，用定理；已知两角和一边，用定理．复习2：在△ABC中，已知 A ＝6π，a ＝，b ＝二、新课导学※ 学习探究探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形. ① A ＝6π，a ＝25，b ＝； ② A ＝6π，a ，b ＝ ③ A ＝6π，a ＝50，b ＝.思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．已知边a,b和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<ba=CH=bsinAa<CH=bsinA试试：1. 用图示分析（A为直角时）解的情况？2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？※典型例题例1. 在∆ABC中，已知80a=，100b=，45A∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC中，若1a=，12c=，40C∠=︒，则符合题意的b的值有_____个．例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b c A B C++++的值．变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1sin 2ab C =C ．三、总结提升※ 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※ 知识拓展在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解；②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a b b +的值=（）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）.A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（）.A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝．5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状．1. 在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2. 在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足2221sin 24a b c ab C +-=，求角C ．。

解三角形复习学案

解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：（其中R 是三角形外接圆的半径）2.变形：①C B A c b a sin :sin :sin ::= ②角化边 C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===③边化角 RcC R b B R a A 2sin 2sin 2sin ===练习：△ABC 中，①B b A a cos cos =②B a A b cos cos =3.三角形内角平分线定理：如图△ABC 中，AD 是A ∠4.判断三角形解的个数：△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，无解；②A b a sin =或b a ≥时，有一个解； ③b a A b <<sin 时，有两个解。

二.三角形面积 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC)(21++=∆,其中r 是三角形内切圆半径. 注:由面积公式求角时注意解的个数三.余弦定理1.余弦定理：=2a )cos 1(2)(2A bc c b +-+= =2b )cos 1(2)(2B ac c a +-+= =2c )cos 1(2)(2C ab b a +-+=注：后面的变形常与韦达定理结合使用。

2.变形： =A cos=B cos=C cos注意整体代入，练习：=⇒=-+B ac b c a cos 222。

3.三角形中线：△ABC 中， D 是BC 的中点，则222221BC AC AB AD -+= 4.三角形的形状①若222c b a >+时,角C 是角 ②若222c b a =+时,角C 是角 ③若222c b a <+时,角C 是角练习:锐角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围; 钝角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围;5.应用用余弦定理求角时只有一个解四.应用题1.步骤：①由已知条件作出图形，②在图上标出已知量和要求的量；③将实际问题转化为数学问题； ④作答2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。

数学学案编号42 解三角形

山西大学附中高一年级（下）数学学案编号42解三角形一、知识与方法：1．三角形的内角和定理：三角形三个内角和为π可以运用诱导公式了.如sin()sin A B C +=，sincos 22A B C +=等。

2．正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===(R 为三角形外接圆的半径)。

（1）正弦定理的一些变式：① sin sin sin a b c A B C ::=::；② sin 2b B R=（起到化角为边的作用）；③ 2sin a R A =（起到化边为角的作用）。

（2）已知三角形两边一对角，运用正弦定理求解三角形时，要注意判断解的情况。

3．余弦定理：两种形式：2222cos a b c bc A =+-；222cos 2b c a A bc +-=，已知三角形两边一角，或三边时常用余弦定理，判断三角形的形状时也常用余弦定理.4．面积计算公式：（1）12a S ah =；（2）1sin 2S ab C =（3）1()2S r a b c =++，其中r为三角形内切圆的半径；（4） S =，其中1()2p a b c =++。

5．解含有边角混合关系的三角形时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化（包括化边为角；化角为边）。

6．解斜三角形的常规思维方法：（1）已知两角和一边（如A 、B 、c ），由A B C π++=求角C ，由正弦定理求a 、b ；（2）已知两边及其夹角（如a 、b 、C ），用余弦定理求边c ；再用正弦定理先求较短边所对的角（A 或B ），然后利用A B C π++=，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），用正弦定理求B （要注意解的结果可能有多种情况），由A B C π++=求C ，再由正弦定理或余弦定理求边c ；（4）已知三边，用余弦定理求角。

（5）三角形内切圆的半径2ABC S r a b c∆=++，特别地直角三角形的内切圆的半径2a b c r +-=（其中c 为斜边）；二、应用举例 1．ABC ∆中，角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，向量(2sin ,2cos 2),m B B =-2(2sin (),1)42B n π=+- ,m n ⊥ ．（1）求角B 的大小；（2）若a =b=1，求c 的值．2．设锐角三角形ABC ∆的内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，2sin a b A =．（1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围.3．ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且l g l g l g c o sl o g c o s 0a b B A -=-≠．（1）判断ABC ∆的形状；（2）设向量(2,),(,3)m a b n a b ==- ，且m n ⊥ ，()()14m n m n +⋅-+= ，求,,a b c ．4．在锐角ABC ∆中a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，已知sin 3A =（1）求22tan sin 22B C A ++的值；（2）若2a =，ABC ∆的面积S =b 的值。

人教a版必修5学案：第1章《解三角形》本章回顾(含答案)

本章回顾识结构点回放1．三角形中的边角关系设△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C.(1)三角形内角和定理A＋B＋C＝π.(2)三角形中的诱导公式sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C，sin A＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2，tan A＋B2＝cotC2.(3)三角形中的边角关系a＝b⇔A＝B；a>b⇔A>B；a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b.(4)三角形中几个常用结论①在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B(其余两个略)；②在△ABC中，sin A>sin B⇔A>B；③在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C. 2．正弦定理(1)正弦定理在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，则asin A＝bsin B＝csin C＝2R.其中R 是△ABC 外接圆半径． (2)正弦定理的变形公式正弦定理反映了三角形的边角关系．它有以下几种变形公式，解题时要灵活运用． ①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；③sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ； ④sin A sin B ＝a b ，sin B sin C ＝b c ，sin C sin A ＝c a . 3．余弦定理 (1)余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (2)余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.4．三角形的面积三角形面积公式S △＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c ；S △＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；S △＝12(a ＋b ＋c )r (r 为△ABC 内切圆半径)；S △＝abc4R (R 为△ABC 外接圆半径)；S △＝p (p －a )(p －b )(p －c ) ⎝⎛⎭⎫其中p ＝12(a ＋b ＋c ).5．解三角形的常见类型及解法在三角形的六个元素中，若知道三个，其中至少一个元素为边，即可求解该三角形，按6．已知两边及一边对角解三角形，解的个数的判断在△ABC 中，以已知a ，b ，A 为例想方法一、构建方程(组)解三角问题例1如图所示，设P 是正方形ABCD 内部的一点，P 到顶点A 、B 、C 的距离分别是1,2,3，求正方形的边长．解设边长为x ，x >0，在△ABP 中，cos ∠ABP ＝x 2＋22－124x ＝x 2＋34x，在△CBP 中，cos ∠CBP ＝x 2＋22－324x ＝x 2－54x，又cos 2∠ABP ＋cos 2∠CBP ＝1， ∴⎝⎛⎭⎫x 2＋34x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2－54x 2＝1.∴x 2＝5＋22或x 2＝5－2 2.所以，x ＝5±22，即正方形的边长为5±2 2. 例2如图所示，测量人员沿直线MNP 的方向测量，测得塔尖A 处的仰角分别是∠AMB ＝30°，∠ANB ＝45°，∠APB ＝60°，且MN ＝PN ＝500 m ，求塔高AB .分析设AB ＝h ，则MB ，NB ，PB 都可用h 来表示，在底面△BMP 中，MN ＝PN ＝500 m ，借助△MNB 与△MPB ，利用公共角∠PMB ，结合余弦定理的推论得出方程可求解．解设AB ＝h ，∵AB ⊥MB ，AB ⊥NB ，AB ⊥PB ，又∠AMB ＝30°，∠ANB ＝45°，∠APB ＝60°，∴MB ＝3h ，NB ＝h ，PB ＝33h .在△MPB 中，cos ∠PMB ＝MP 2＋MB 2－BP 22MP ·MB＝1 0002＋3h 2－13h 22×1 000×3h. 在△MNB 中，cos ∠NMB ＝MN 2＋MB 2－BN 22MN ·MB＝5002＋3h 2－h 22×500×3h. ∴1 0002＋83h 22 0003h ＝5002＋2h 21 0003h. 整理，得h ＝250 6.∴塔高AB 为250 6 m. 二、构建目标函数解三角问题例3 如图所示，已知⊙O 的半径是1，点C 在直径AB 的延长线上，BC ＝1，点P 是⊙O 上半圆上的一个动点，以PC 为边作等边三角形PCD ，且点D 与圆心分别在PC 的两侧．(1)若∠POB ＝θ，试将四边形OPDC 的面积y 表示为关于θ的函数； (2)求四边形OPDC 面积的最大值．分析四边形OPDC 可以分成△OPC 与△PCD .S △OPC 可用12OP ·OC ·sin θ表示；而求△PCD 的面积关键在于求出边长PC ，在△POC 中利用余弦定理即可求出；至于面积最值的获得，则可通过三角函数知识解决．解 (1)在△POC 中，由余弦定理，得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos θ＝5－4cos θ，所以y ＝S △OPC ＋S △PCD＝12×1×2sin θ＋34×(5－4cos θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534. (2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.答四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.例4 甲船在A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？分析利用余弦定理构建甲、乙两船的距离关于时间t 的目标函数，注意到t ＝2时，乙到达A 处，此时，甲地、乙地、A 地三处构不成三角形，要注意分类讨论．如下图所示：解设甲、乙两船经t 小时后相距最近，且分别到达P 、Q 两处，因乙船到达A 处需2小时．①当0≤t ≤2时，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ，所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AP ·AQ cos 120°＝ (20－10t )2＋(8t )2－2(20－10t )×8t ×⎝⎛⎭⎫－12 ＝84t 2－240t ＋400＝221t 2－60t ＋100.②当t >2时，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝10t －20， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ·AP cos 60°＝221t 2－60t ＋100. 综合①②知，PQ ＝221t 2－60t ＋100 (t ≥0)．当且仅当t ＝3021＝107时，PQ 最小．答甲、乙两船行驶107小时后，相距最近．三、利用等价转化思想解三角问题例5 在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin 2A －sin 2B ＋sin 2C ＝1＋cos 2C1＋cos 2B，求证：△ABC 是等腰三角形或直角三角形．分析从题中的等式结构来看，情况较为复杂，且求证的是判定△ABC 为等腰三角形或直角三角形两种情况．因此，应综合应用正、余弦定理，先进行化简，再讨论．证明应用正弦定理及二倍角公式，将已知等式变形为：a 2＋b 2－c 2a 2－b 2＋c 2＝2cos 2C2cos 2B，再由余弦定理将其变形为：2ab cos C 2ac cos B ＝cos 2Ccos 2B，整理得cos C cos B ⎝⎛⎭⎫b c －cos C cos B ＝0.∴cos C cos B ＝0或b c －cos Ccos B ＝0，若cos C cos B ＝0，则C ＝90°；若b c －cos C cos B ＝0，依据正弦定理得sin B sin C ＝cos C cos B ，即sin B cos B ＝sin C cos C ．所以sin 2B ＝sin 2C . 所以2B ＝2C 或2B ＋2C ＝180°，即B ＝C 或B ＋C ＝90°. 综上所述，△ABC 是等腰三角形或直角三角形．例6 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边长分别为a ，b ，c ，若a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，a ＝43，B ＝45°，求△ABC 的面积．分析解决本题的突破口是由a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2联想到余弦定理，这就需要降次，自然就得进行等式的变形．变形后自然容易发现它与余弦定理的关系，进而应用余弦定理解决问题．解因为a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，所以变形得(a ＋b )(a 2＋b 2－c 2－ab )＝0.因为a ＋b ≠0，所以a 2＋b 2－c 2－ab ＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab .根据余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又因为0°<C <180°，所以C ＝60°. 因为B ＝45°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(60°＋45°)＝75°.根据正弦定理得a sin A ＝bsin B，所以b ＝a sin Bsin A ＝43×226＋24＝12－4 3.根据三角形的面积公式得S △ABC ＝12ab sin C ＝12×43×(12－43)×32＝36－12 3.四、构建辅助圆解三角应用题例7 (能力创新题)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ ⎝⎛⎭⎫其中sin θ＝2626，0°<θ<90° 且与点A 相距1013海里的位置C . (1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．分析第(1)问实际上就是求BC 长度，在△ABC 中，利用余弦定理求解即可；第(2)问警戒区域是以E 为中心的一个圆，半径为7(海里)，问题实质上可以看作直线BC 与圆E 是否有交点，因此可以构建辅助圆E 来求解．解 (1)如图所示，AB ＝402， AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626.由于0°<θ<90°，所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫26262＝52626.由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5. 所以船的行驶速度为 1054060＝10523＝155(海里/小时)． (2)如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)，BC 与x 轴的交点为D .由题设有，x 1＝y 1＝22AB ＝40，x 2＝AC cos ∠CAD ＝1013cos(45°－θ)＝30， y 2＝AC sin ∠CAD ＝1013sin(45°－θ)＝20.所以过点B 、C 的直线l 的斜率k ＝2010＝2，直线l 的方程为y ＝2x －40.又点E (0，－55)到直线l 的距离d ＝|0＋55－40|1＋4＝35<7，所以船会进入警戒水域．五、利用正、余弦定理解平面几何问题例8 (竞赛竞技题)(斯特瓦尔特定理)在△ABC 中，D 是BC 边上一点，若BD ＝p ，DC＝q ，求证：AD 2＝b 2p ＋c 2q p ＋q－pq .证明如图所示，在△ABD 中，由正弦定理：cos B ＝c 2＋p 2－AD 22cp.在△ABC 中，由余弦定理：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac.∴c 2＋p 2－AD 22cp ＝c 2＋a 2－b 22ca.∴c 2＋p 2－AD 2＝pa (c 2＋a 2－b 2)．∴AD 2＝c 2＋p 2－pa(c 2＋a 2－b 2)把a ＝p ＋q 代入后整理得：AD 2＝c 2－pp ＋q (c 2－b 2)－pq .即AD 2＝b 2p ＋c 2q p ＋q－pq .注当D 为BC 中点时，p ＝q ，此时，AD ＝122b 2＋2c 2－a 2，即三角形中线长定理．斯特瓦尔特定理是三角形中线长定理推广，中线长定理是该定理的特例．思妙解1．构造三角形巧求代数式的值例1 设a ，b ，c 为正实数，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋ac ＋c 2＝16b 2＋3c 2＝27a 2＋ab ＋13b 2＝25，求ab ＋2bc ＋3ac 的值．解 a 2＋ac ＋c 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝42； 13b 2＋c 2＝⎝⎛⎭⎫b 32＋c 2＝32； a 2＋ab ＋13b 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫b 32－2a ·⎝⎛⎭⎫b 3cos 150°＝52.三个条件式的结构都类似余弦定理，于是可以构造直角三角形ABC ，使∠C ＝90°.AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，在直角三角形ABC 内作一点O ，使∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，则∠COA ＝120°，如图所示．OA ＝a ，OB ＝b3，OC ＝c .一方面：S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △COA ＝12a ·b 3·sin 150°＋12·b 3·c ＋12·ca sin 120° ＝143(ab ＋2bc ＋3ac )．另一方面：S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×4×3＝6.∴143(ab ＋2bc ＋3ac )＝6. 即ab ＋2bc ＋3ac ＝24 3. 2．构造四面体巧证不等式例2 设x >0，y >0，z >0，求证：x 2－xy ＋y 2＋y 2－yz ＋z 2>z 2－zx ＋x 2. 证明如图所示，构造四面体V —ABC ，使∠AVB ＝∠BVC＝∠CVA＝60°，且VA＝x，VB＝y，VC＝z，由余弦定理得AB＝x2＋y2－2xy cos 60°＝x2－xy＋y2同理，BC＝y2－yz＋z2，CA＝z2－zx＋x2，在△ABC中，由于AB＋BC>CA，故有：x2－xy＋y2＋y2－yz＋z2>z2－zx＋x2.。

高中数学解三角形教案

高中数学解三角形教案
一、教学目标：
1. 了解三角形的定义和性质；
2. 掌握解三角形的方法；
3. 能够运用解三角形的知识解决实际问题。

二、教学重点：
1. 三角形的定义和性质；
2. 解三角形的方法。

三、教学内容：
1. 三角形的定义和性质
2. 解三角形的方法
3. 实例分析
四、教学步骤：
1. 师生互动导入：通过实际例子引入三角形的定义和性质，例如让学生观察周围的物体，
找到其中的三角形并进行分类，引导学生讨论三角形的定义和性质。

2. 教学讲解：讲解三角形的定义和性质，包括三角形的内角和为180度、三边之和大于第三边等性质，引导学生理解三角形的基本概念。

3. 解三角形的方法：介绍解三角形的方法，包括余角、角平分线、作图等方法，讲解每种
方法的应用场景和步骤。

4. 实例分析：通过实际例子进行分析和讨论，引导学生运用解三角形的方法解决实际问题，加深对知识的理解和应用能力。

五、教学评价：
教师可通过课堂练习、作业和小测验等方式进行教学评价，检验学生对三角形的理解和解
题能力。

六、拓展延伸：
师生可通过课外探究、实验等方式拓展三角形的相关知识，激发学生的学习兴趣，提高学
生的综合能力。

七、教学反思：
教师应及时总结本节课的教学效果，结合学生的表现和反馈，不断优化教学方法，提高教学质量。

9.4解直角三角形学案2

9.4解直角三角形学案2山东省单县终兴中学编写人王敏吴新峰审阅人吴吉杰一学习目标：能综合运用勾股定理与直角三角形的边角关系解决问题，并养成“先画图，再求解”的习惯。

二知识回顾：1解直角三角的概念：有直角三角形中求出元素的过程，叫做解直角三角形。

2解直角三角形的两种情况。

（1）已知，求第三边及两锐角。

（2）已知和一个，求其它两边及另一锐角。

三导学探究：例3如图，在△ABC中，已知∠A＝600，∠B＝450，，AC＝20cm，求AB的长。

A B 例4在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠ABC＝450，求BC长B练一练：1如图，在Rt△ABC中，∠A＝900，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝600，AD＝3，求BC的长。

BC2在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，且一腰长于底边长的比是5︰8，求sinB.cosB 的值。

当堂达标：1在△ABC 中，∠B ＝450，cosC ＝53，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是B2 如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠B ＝600，求BC 长BC3如图在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB ＝cos ∠DAC ，（1） AC 与BD 相等吗？为什么？（2）若sinC ＝1312，BC ＝12，求AD 长＋B4 △ABC 中,已知∠B ＝450，∠C ＝600，BC ＝53＋5，求AB 和AC 长5 已知如图，在△ABC 中，AB ＝20，AC ＝30，∠A ＝1500，求△ABC 的面积C六能力提升：1 在Rt△ABC中，∠C＝900，CD⊥AB，垂足为D，AB＝6，AD＝2，求sinA，cosA，tanA 的值，2如图，在△ABC中，∠ACB＝1180，BC＝4，求AC边上的高A。

解直角三角形学案31-33

24.4解直角三角形(31)初稿【学习目标】使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形【知识回顾】1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系(2)三边之间关系(3)锐角之间关系【例题学习】1、如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高多少？2、一个公共房屋门前的台阶共高出地面1．2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°．从斜坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16，精确到0．1米）【巩固训练】3、如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB多少米？（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65，结果精确到0.1米）4、小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？（sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，精确到1米）ABC D 150° h【作业】1、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．2、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=35，则cosA 的值是（） 3、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB ．CD 分别表示一楼．二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（）A ．833mB ． 4 mC ．43 mD ．8 m4、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（） A ．8米B ．83米C ．833米 D ．433米 5、在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？6、如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．7、若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A 处沿直线方向开往对岸的B 处，AB 与河岸的夹角是600，船的速度为5米/秒，求船从A 到B 处约需时间几分。

新人教A版必修5高中数学第一章解三角形学案

高中数学第一章解三角形学案新人教A 版必修5学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．学法重难点测量距离的实际应用一：知识链接（本课时的主要知识展示）问题1：正弦定理和余弦定理（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形； ②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．（2）用余弦定理：①知三边求三角； ②知道两边及这两边的夹角解三角形．问题2：应用举例① 距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．二：试一试（课前演练）练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变.则斜坡长变为___ ．新课探究探究1 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =，求角C 的大小及△ABC 最短边的长．探究2 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到1）？探究3 在∆ABC 中，设tan 2,tan A c b B b-= 求A 的值．※ 模仿练习练1. 练1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，北 20 10 A B • •C 30°60°B C 北海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min 到达C 点，求P 、C 间的距离．练2. 在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？三、总结提升※ 学习小结1. 应用正、余弦定理解三角形；2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．※ 知识拓展设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是： =()()()abcR p p a p b p c --- ( 内切圆半径 ()()()S p a p b p c r p p---==) 当堂检测A 级：1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（）. A ．9 B ．18 C ．93 D ．1832.在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（）.A ． 60°B ． 90°C ．150°D ．120°3. 在∆ABC 中，80a =，100b =，A =30°，则B 的解的个数是（）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定的B 级：4. 在△ABC 中，32a =，23b =，1cos 3C =，求ABC S ∆；5. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，求A 。

解直角三角形学案2

9.4解直角三角形学案2山东省潍坊临朐冶源初中孙中福一学习目标：能综合运用勾股定理与直角三角形的边角关系解决问题，并养成“先画图，再求解”的习惯。

二知识回顾：1解直角三角的概念：有直角三角形中求出元素的过程，叫做解直角三角形。

2解直角三角形的两种情况。

（1）已知，求第三边及两锐角。

（2）已知和一个，求其它两边及另一锐角。

三导学探究：例3如图，在△ABC中，已知∠A＝600，∠B＝450，，AC＝20cm，求AB的长。

A B 例4在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠ABC＝450，求BC长B练一练：1如图，在Rt△ABC中，∠A＝900，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝600，AD＝3，求BC的长。

BC2在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，且一腰长于底边长的比是5︰8，求sinB.cosB 的值。

《3.8 解三角形应用举例》学案

学习过程复习预习1.正弦定理及其变形公式：2.余弦定理及其变形公式：知识讲解考点1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．考点2 实际应用中的常用术语坡度为i，则i＝l的比例题精析【例题1】【题干】如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100 m．求该河段的宽度．【解析】∵∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°， ∴∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA ＝60°. 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠CAB ，∴BC ＝AB sin 75°sin 60°.如图，过点B 作BD 垂直于对岸，垂足为D ，则BD 的长就是该河段的宽度．在Rt △BDC 中，∵∠BCD ＝∠CBA ＝45°，sin ∠BCD ＝BDBC ， ∴BD ＝BC sin 45°＝AB sin 75°sin 60°·sin 45°＝100×6＋2432×22＝25(6＋23)3 m ，∴该河段的宽度为25(6＋23)3m.【例题2】【题干】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【解析】如图如图，设CD＝x m，则AE＝(x－20) m，tan 60°＝CD BD，则BD＝CDtan 60°＝x3＝33x m.在△AEC中，x－20＝33x，解得x＝10(3＋3) m，故山高CD为10(3＋3) m.【例题3】【题干】如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．【解析】如题中图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝207.由正弦定理得，ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝27 7.由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝21 14.【题干】如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？如图，连接A 1B 2∵由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1A 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302海里/时．【基础】1．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么x的值为()A.3B．2 3C.3或2 3 D．32．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拨高度为(精确到0.1 km)() A．11.4B．6.6C．6.5D．5.6【巩固】4.2012年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.5．(2013·铜川模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________海里/小时．【拔高】6．如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？7．为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D是着火点，A、B分别是水枪位置，已知AB＝15 2 m，在A 处看到着火点的仰角为60°，∠ABC＝30°，∠BAC＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？课程小结解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．。

学案23 解三角形(文理)

学案解三角形一、目标要求：（1）掌握正弦定理、余弦定理（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

二、知识梳理：1、正弦定理：（1）基本形式：；（2）变形式：。

(3)适用条件：①已知一边和两角。

②已知两边和其中一边的对角③已知两边与夹角求面积. 注意：在第二种情况下三角形角的情况有三种：一解；两解；无解。

2、余弦定理：（1）基本形式；(2）变形式: 。

（3）适用条件：①已知两边与夹角求第三边；②已知三边解三角形③已知两边及一边对角求第三边（利用方程思想）注意：已知a,b 及A ，利用余弦定理A bc c b a cos 2222-+=得到c 解的个数，即为解三角形的情况，避免了应用正弦定理的讨论。

3、实际问题：（1）有关概念：仰角与俯角：水平视线和目标视线的夹角.方位角：一般为指北方向线顺时针到目标方向线的水平角。

坡角:坡面与水平面的夹角。

（2）解三角形的一般步骤①分清已知与所求，理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等。

②根据题意画出示意图，将问题归结到一个或几个三角形中，通过合理应用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解。

演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答。

③检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍。

4、（1）三角形内角和定理：A+B+C=π及变形A=)(C B +-π，.222C B A +-=π 注意：用于消角或函数名称的转化。

（2）正弦定理与余弦定理是三角形中边角转化的依据。

三、基础训练1、已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB=1,BC=4,则BC 边上的中线AD 的长为 .2、在ABC ∆中，若sinC=2cosAsinB,则此三角形必是3、在ABC ∆中，A=3π,a=3,b=1,则c= . 4、已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量(31)=-，m ，(cos sin )A A =，n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = ．.四、典例精析例1、（1）在ABC ∆中acosA+bcosB=ccosC,试判断三角形的形状。

《解三角形》复习学案

期末复习 - ----《解三角形》一、【知识梳理】1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a。

2．斜三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===。

（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC 。

3．三角形的面积公式：（1）S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（4）S ＝2R 2sinAsinBsinC 。

（R 为外接圆半径）4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。

解三角形(学案)

解直角三角形学案1

学案1.2解三角形应用举例(必修5)

解三角形学案

高考数学：解三角形(复习学案)

解三角形 正弦定理和余弦定理复习学案教师版

高三一轮复习解三角形学案

解三角形复习学案

数学学案 编号42 解三角形

人教a版必修5学案：第1章《解三角形》本章回顾(含答案)

高中数学解三角形教案

9.4解直角三角形学案2

解直角三角形学案31-33

新人教A版必修5高中数学第一章解三角形学案

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