第十章曲线积分与-曲面积分
曲线积分与曲面积分重点总结+例题
第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。
【教学重点】1。
两类曲线积分的计算方法；2。
格林公式及其应用；3。
第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。
两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。
应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。
[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。
《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。
求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。
定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。
，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。
同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分
第十章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长地曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程x =x t L ：y =y tx = x(t ) L:<y = y(t )"z(t )Lf x,y,z ds - 注意：上限一定要大于下限1.计算下列对弧长地曲线积分<1) \(x 2y 2)2ds ,其中 L 为圆周 x 2y 2=a 2； 解：法一：Q|jx2+y 2)2ds = |J L (a 2)2ds二玄仁 ds =a 4(2二a) =2二a 5法二：_L x =acosv L: 0 心：:2二,匸(x 2 y 2)2ds2二 2 2 2 2 2[a cos ： a si n ] -asi na cos d ：2二 5 . 5ad^ - 2「a<2) \e x yds ,其中L 为圆周x 2■ y 2=a 2,直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成地扇形ba 兰t 兰b ,则(f (x, y ps= f a f(x (t ), y(tddbafxt ,y t ,zt解：忆e 拧%s = ( & +廟+ J BO 卅“ ds ,其中故口 e^iyds=e a(2+ — a) -2匕 4<3) L xds ,其中L 为抛物线y =2x 2-1上介于x =0与x=1之间地一段弧;「X =x解：由 L:20<x<1，得、y=2x -1l xds 二 ° x 1亠〔4x 2dx2 3_2(1+16x)2o_17用-1 -32-48<4) L y 2ds ,其中 L 为摆线地一拱 x =a(t - si nt), y =a(1 - cost)(0 — t — 2二)； 解: .L y 2ds = ：0〔a(1-cost)『」a 1-cost ]2a si nt^dt2TI 5=V2a 3「(1 —cost)2dtx = x x = a cos—— x = x 、2 OA: ,0_x_a ,AB:,0, BO: 0_x a y =0 y =as in 4 y = x 2f e x 旳 ds =『少尺 J 12 +02 dxoA-0aoa二ABey ds 二ABe ds二 e ABds4<或]e x 七ds■AB=[4 e ' 严"巧塔“巧 J (一 a sin 盯 + (acos日 j d 日JI4 e a ad ) 4a 二 BO-a-2-2匸2a 一2 2 -------- ■ 2 e x 2 x 2,12 12dx 0-1 a二5二 迈a 3 ： (2sin 2*)2dt =8a 3J6a 3siJI353= 32a 2sin 如-32a」0x 2+y 2+z 2=22 2]x = cosT解：由」 丫，得2X 2+Z2=2,令 < 厂 0兰日兰2兀y = xz = \ 2 sin 71x= cos 日sin 5 -dt <令—-v4 2 256 3a5 3 15<5) “L xyds ，其中L 为圆周x 2 y 2 =a 2 ； 解：利用对称性J |xyds = 4jJxyds ,其中 Lix = a cos 日 0<6y = a sinJI< 一2[xy ds = 4『xy ds = 4 fxyds迟,=4 02 (acos R(asin v) (-asin v)2 (acosv)2dv"a 3jcosrsin=2a 3sin =-2a 3<6)-x 2y 22ds ,其中-为曲线 z 2X =e t cost ,y =e t si nt ,z =e t 上相应于 t 从 0 变到 2 地------ 2 -- 1 ---- 2 ---- cost )]2 +[(£ sin t )]2 +e 2t dte tcost ]亠[d sin t ]亠[d =—fe^dt =^(1 —e‘) 2 02<7)广yds ,其中-为空间圆周:x 2 + y 2 + z 2 =2』=x弧段; 解：故丫: * y = cos日0兰日乞2兀.故z = J2s in。
高等数学第10章 曲线积分与曲面积分
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10.7.2 旋度的定义及其物理意义
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实际上，我们常常碰到的曲面是双侧曲面，但单侧 曲面也存在，最有名的单侧曲面是拓扑学中的莫比乌斯 带，如图10.28所示.它的产生是将长方形纸条ABCD 先 扭转一次，然后使B与D，及A与C粘合起来构成的一个 非闭的环带.若想象一只蚂蚁从环带上一侧的某一点出发， 蚂蚁可以不用跨越环带的边界而到达环带的另一侧，然 后再回到起点；或者用一种颜色涂这个环带，不用越过 边界，可以涂满环带的两侧.显然这是双侧曲面不可能出 现的现象
第10章 曲线积分与曲面积分
解决许多几何、物理以及其他实际问题时，不仅需 要用到重积分，而且还需要将积分区域推广到一段曲线 弧或一片曲面上，这样推广后的积分称为曲线积分和曲 面积分.本章还将介绍格林公式、高斯公式及斯托克斯公 式，这三个公式刻画了不同类型的积分之间的内在联系， 并且在微积分、场论及其他学科中有着广泛的应用。
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10.4 第一型曲面积分
通过讨论非均匀密度的空间曲面壳质量这一物理问 题，本节引入第一型曲面积分的概念并研究了相关性质。 10.4.1 实例 质量分布在可求面积的曲面壳上，曲面壳占有空间 曲面Σ，其密度函数为ρ（x，y，z），求曲面壳的质量.
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10.2.3 向量值函数在有向曲线上的积分的计算法 设向量值函数F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x， y，z）j+R（x，y，z）k在有向曲线Γ上有定义且连续， 有向曲线弧Γ为简单曲线，它的参数方程为
高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答
第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）LIxds ，其中L 是圆221xy中(0,1)A 到11(,)22B 之间的一段劣弧；解:1(1)2．（2）(1)Lx y ds，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)322Lxyds．（3）22Lxy ds，其中L 为圆周22x yx ；解:222Lxy ds．（4）2Lx yzds ，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C (1,2,3)D ；解:2853Lx yzds ．2 求八分之一球面2221(0,0,0)xyzx y z 的边界曲线的重心，设曲线的密度1。
解故所求重心坐标为444,,333．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b （b 为常数），证明xyz(0,0,0)A (0,0,2)B (1,0,2)C (1,2,3)D xyoABC(,)0LQ x y dy 。
证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分：（1）Lxydx ，其中L 为抛物线2yx 上从点(1,1)A 到点(1,1)B 的一段弧。
解:45Lxydx 。
（2）Ldy y xdx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y11从对应于0x 时的点到2x 时的点的一段弧；解34)()(2222Ldyy xdxy x．（3）,Lydx xdy L 是从点(,0)A a 沿上半圆周222xya 到点(,0)B a 的一段弧；解0.Lydxxdy（4）22Lxy dyx ydx ，其中L 沿右半圆222xya 以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a 的路径；解22Lxy dyx ydx44a 。
（5）3223Lx dx zy dy x ydz ，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解3223Lx dx zy dy x ydz3187874t dt。
第10章-曲线积分与曲面积分 高等数学教学课件
f (x, y) d s
f (x, y) d s.
L( A,B)
L( B, A)
性质2 设, 为常数，则
L[ f (x, y) g(x, y)]d s L f (x, y)d s L g(x, y)d s.
性质3 若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1,L2, 则
f (x, y) d s f (x, y) d s f (x, y) d s.
把 L分成n个有向小弧段
¼ A0 A1, ¼ A1A2,L , ¼ Ai1Ai ,L , ¼ An1An, (A0(x0, y0) A, An (xn, yn) B).
令xi xi xi1, yi yi yi1，在¼ Ai1Ai上任取点Mi (i ,i )， i 1, 2,L , n，若当小弧段的长度的最大值 0时，和
若L是闭曲线,即L的两个端点重合,那么f (x, y)
在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为
ÑL f (x, y) d s.
函数f (x, y, z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
f (x, y, z) d s lim 0
i 1
f (xi , yi , zi )si.
性质1 对弧长的曲线积分与曲线L的方向无关，即
方程为x =a cos t, y =a sin t, z = kt, 0 t 2p, k>0.
解 Q x' t asint, y' t a cost, z' t k,
[x '(t)]2 [( y '(t)]2 [z '(t)]2 a2 k2 ,
(x2 y2 z2 ds 2p (a2 k 2t2 ) a2 k 2 dt
d r d xi d yj d zk，即有
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6） 奇偶性与对称性 如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。 所以， 当积分曲线是直线时， 可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线： 其参数方程： x
分别是 和 ，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线 ：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。 定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]
(整理)高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答
第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧； 解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。
解 故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。
证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。
解 :45Lxydx =⎰。
（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。
（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。
第十章曲线积分与曲面积分习题课
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
D( Q x P y)dx d L Py dQ xd (沿 y L 的)正向
格林公式
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3.三重积分与曲面积分的联系
思路:
ILPdxQdy
(x,y)
非闭
I PdxQdy (x0,y0)
P
Q
P
定 义
n
n
f(x,y,z)d sl i0 im 1f(i,i,i) si R (x ,y,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i)( S i)xy
联 系
PdydQzdzdRxdxd (yP c oQ sco s R co)dsS
计
f(x, y,z)ds
R(x,y,z)dxdy
算
a y 1 (x ) z 1 (x ,y )
f(x ,y )d s bf[x ,y (x )1 ] y 2 d,(d x 线 s ( 曲 元 ))
L
a
f(x ,y )d x bf[x ,y (x )d ],(d x 线 x (投 元 ))影 素
L
a
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f(x ,y ,z)d S f[x ,y ,z(x ,y )]1 zx 2 zy2 dxd
旋度 rA o ( tR Q )i ( P R ) j ( Q P )k y z z x x y
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二、典型例题
例 1 计 算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y L
其 中 L为 由 点 O(0,0)到 点 A(1,1)的 曲 线 ysi nx. 2
第十章(第四部分)曲面积分
第十章曲线积分与曲面积分(第四部分)曲面积分Ⅰ、对面积的曲面积分（第一型曲面积分）一、对面积的曲面积分的定义1．定义.2．物理意义表示面密度为的曲面的质量.二、对面积的曲面积分的性质1．线性性质：2．可加性：.3．的面积：.4．单调性：若在上，，则.三、对面积的曲面积分的计算方法方法：化为二重积分计算（关键：确定二重积分的积分变量）（1）若，. 则.（2）若，. 则.（3）若，. 则.四、对面积的曲面积分典型例题例1．计算曲面积分，其中为在与之间的部分。
分析因为：，即，从中能确定，或。
解令：；：. 则（如图）.（1）求和在平面上的投影区域：因和在平面上的投影区域相同，设为，则：，.（2）求微元：在和上，；（3）转化为二重积分：.例2．计算曲面积分，其中为曲面.分析注意到积分曲面为旋转抛物面，它关于面和面对称，且被积函数关于变量和均为偶函数，因此只要计算在第一卦限部分，再4倍即可，即本题利用对称性计算比较简便。
解设在第一卦限的部分为，则在面上的投影区域为于是（令）.例3．计算曲面积分，其中为球面.分析由于积分曲面为球面，它关于三个坐标面具有轮换对称性，所以，而. 故本题利用轮换对称性和奇偶对称性计算比较简单。
解因，由奇偶对称性可知，上述未写出项的积分值均为，而由轮换对称性易知，故.注从以上几个例子可以看出，计算对面积的曲面积分应注意掌握以下几个要点：（1）由于积分范围是曲面，所以点的坐标满足曲面的方程,计算中要善于利用曲面的方程来化简被积函数；（2）计算对面积的曲面积分时，应注意观察积分曲面的对称性（包括轮换对称性）和被积函数的奇偶性，可以利用此类特殊性来简化积分的计算；（3）将对面积的曲面积分转化为二重积分计算，关键在于二重积分积分变量的选择，这是由积分曲面的方程的特点所决定的，从以上的例子即可看出。
五、对面积的曲面积分的应用1．几何应用求曲面的面积：.2．物理应用质量.质心，，.转动惯量，，.例4．求面密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量。
曲线积分与曲面积分知识点
第十章 曲线积分与曲面积分一、 一、 重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用 二、 二、 难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。
三、 三、 内容提要1． 1． 曲线（面）积分的定义：（1） （1） 第一类曲线积分∑⎰=→∆∆ni i i i LS f ds y x f 0),(lim ),(ηξλ（存在时）i S ∆表示第i 个小弧段的长度，（i i ηξ,）是i S ∆上的任一点小弧段的最大长度。
实际意义：当f(x,y)表示L 的线密度时，⎰Lds y x f ),(表示L 的质量；当f(x,y) ≡1时，⎰Lds表示L 的弧长，当f(x,y)表示位于L 上的柱面在点（x,y ）处的高时，⎰Lds y x f ),(表示此柱面的面积。
（2） （2） 第二类曲线积分]),(),([lim 1i i i ni iiiLy Q x P Qdy Pdx ∆+∆∆+∑⎰=→ηξηξλ(存在时)实际意义：设变力F =P(x,y) i +Q(x,y) j 将质点从点A 沿曲线L 移动到B 点，则F 作的功为：⎰⎰+=⋅=L L Qdy Pdx S d F W，其中S d =（dx,dy ）事实上，⎰L Pdx ，⎰L Qdy 分别是F在沿X 轴方向及Y 轴方向所作的功。
（3） （3） 第一类曲面积分∑⎰⎰=→∑∆∆ni i iiiS f ds z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ(存在时)i S ∆表示第i 个小块曲面的面积，（i i i ζηξ,,）为i S ∆上的任一点，λ是n 块小曲面的最大直径。
实际意义：当f(x,y ，z)表示曲面∑上点（x,y,z ）处的面密度时，⎰⎰∑ds z y x f ),,(表示曲面∑的质量，当f(x,y,z) ≡1时，⎰⎰∑ds 表示曲面∑的面积。
高数 第十章 曲线积分与曲面积分
计算
定积分
计算
Stokes公式 计算 曲面积分 Gauss公式
重积分
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积分概念的联系
定积分
f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
0
i 1
n
当 R1上区间 a, b]时, f ( M )d f ( x )dx. [
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基本问题： 如何熟练掌握各种积分的计算
首先判断准确要求的是哪一类积分 重要的是牢牢记住各种积分的计算方法
1、I
L
f ( x , y )ds 代入曲线的方程以及ds，从而化为定积分解之
2、I Pdx Qdy 代入曲线的方程，化为定积分解之 L
P Q 闭合 y x 非闭
( y 2 z 2 ) dS; I z
( x 2 y 2 ) dS
曲面质心： 曲面形心：
x
x
dS ; y
S
;y
ydS ydS
dS ; z
S
;z
dS S
dS zzdS
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（二）各种积分之间的联系
积分是
P cos Q cos R cos ds
，其中， ，为有向曲面上点
x, y, z 处的
法方向 的方向角。
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2.选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论：
(1)设曲面是上半球面 : x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0, 曲面 1 是 曲面在第一卦限中的部分 , 则有 C .
条 件 等
高等数学第十章《曲线积分与曲面积分》
第十章 曲线积分与曲面积分一．曲线积分的计算 （1）基本计算1.第一类：对弧长线积分的计算(,)Lf x y ds ⎰关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰例 L 为圆周221,x y +=则22xy Le ds +=⎰2e π 参数方程，曲线代入解 cos :(02)sin x L y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩ds d θθ==22x y Leds +=⎰202ed e πθπ=⎰例 计算2⎰L x ds ，其中2222:(0)0⎧++=>⎨-=⎩x y z a L a x y . (8分)解 由于 22222222::00⎧⎧++=+=⇒⎨⎨-=-=⎩⎩x y z a x z a L L x y x y 所以L 的参数方程可表示为:(02)sin θθπθ⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩x L y t z a (3分)θθ==ds ad (2分) 故23222cos 22ππθθ==⎰⎰La a x ds ad(3分) 【例10.22】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为:,(),cos 22L ds ad r a θθππθθθθ=⎧-≤≤==⎨=⎩则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰第二类：对坐标的线积分的计算 关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩(:)t αβ→做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰例 设L 为抛物线2y x =从点()0,0到()2,4一段弧，则()22Lx y dx -=⎰5615-注意微元，及参数方程的形式【例10.17】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧. 解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算；对弧长的线积分，对称性同二重积分 例 计算3222(),Lx y ds L x y R 其中：++=⎰解：33()LLLx y ds xds y ds =+=0+⎰⎰⎰ 第一个L 关于y 对称，第二个L 关于x 对称【例10.15】 求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a ta y a t =⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解 （法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例10.18】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰对坐标的线积分，对称性为，当平面曲线L 是分段光滑的，关于x 对称，L 在上半平面与下半平面部分的走向相反时，若P 对y 为偶函数，则，0LPdx =⎰奇函数，则12LL Pdx Pdx =⎰⎰。
《高等数学》第十章曲线积分与曲面积分 第五节
G
B( x , y )
C ( x , y0 )
o
u( x , y ) x P ( x , y0 )dx y Q( x , y )dy
0 0
x
x
y
AC CB
或 u( x , y ) y Q( x0 , y )dy x P ( x , y )dx
一重积分中,牛顿—莱布尼茨公式
f(x)积分区间[a , b]
y
y f x
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
二重积分中, 格林公式
o a
y
b x
D
f(x, y)积分区域D
x y dxdy L Pdx Qdy . D P Q
o
三重积分中, 高斯公式和斯托克斯公式
2
设 P ( x , y ) x 2 2 xy , Q( x , y ) x 2 y 4 .
则 P，Q 在全平面上有连续的 一阶偏导数，且
1
y
B
1
P 2 x , y
Q 2 x. x
o
x
Q P 即 . 全平面是单连通域。 y x
因此，积分与路径无关。
10
P 2 x , y
( x, y)
D
0 , y0 )
P ( x , y )dx Q( x , y )dy
0
x
当起点A( x , y )固定时，
0
O
积分的值取决于终点 B( x , y ), 因此，它是 x , y的函数，
定义 u( x , y )
( x, y)
( x0 , y0 )
高数课件第十章 曲线积分与曲面积分
Σ: x−y+z = 在第四卦限部分的上侧 1 在第四卦限部分的上侧.
解： (c sα,c sβ,c sγ) = 1 ( ,− ,1 o o o 1 1) 3 1 I =∫∫ [f (x y z)+x−2f (x y z)−y+f (x y z)+z]dS , , , , , , ∑ 3 1 =∫∫ [x−y+z]dS ∑ 3 1 1 3 1 =∫∫ dS= . = ∑ 3 3 2 2
+∫ ( x y−3 y2 +y2) d 32 x y u(x y =∫ 5x d , ) x 0
4 0
x
y
32 2 3 1 3 =x + x y −xy + y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x + x y −xy + y =C 2 3
5
y
(x y , )
o (x0 x ,)
2π R 2 2 2
π
+ ∫ dθ ∫π dϕ ∫
2 0 3
2π
π
2 R cos ϕ
0
r cos ϕ ⋅ r sin ϕ dr
2 2 2
第十章 曲线积分与曲面积分
1. 第一类曲线积分 物质曲线质量） （物质曲线质量） 2. 第二类曲线积分 变力作功） （变力作功） 3. 第一类曲面积分 曲面薄板质量） （曲面薄板质量） 4. 第二类曲面积分 通量） （通量）
曲线积分
曲面积分
1. 第一类曲线积分的计算
(1)利用参数方程化为定积分 利用参数方程化为定积分 • 对光滑曲线弧
f (x y d =∫ f[ ( )ψ( ) φ 2( )+ ′2( )dt ∫ , ) s α φt , t ] ′ t ψ t L
(完整版)第十章曲线积分与曲面积分练习题
第十章 曲线积分与曲面积分§10.1 对弧长曲线的积分一、判断题1．若f(x)在（-+∞∞,）内连续，则⎰badx x f )(也是对弧长的曲线积分。
（ ）2．设曲线L 的方程为x=)(y ϕ在[βα,]上连续可导则⎰⎰'+=Ldyy y y f ds y x f βαϕϕ2)]([1)),((),(（ ）二、填空题1.将⎰+Lds y x)(22，其中L 为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)()20π≤≤t 化为定积分的结果是 。
2.⎰+L ds y x )(= ，其中L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段。
三、选择题1．⎰+Lds y x )(22=（ ），其中L 为圆周122=+y x （A ）⎰02πθd （B ）⎰πθ2d （C ）⎰πθ22d r （D ）⎰πθ22d2．⎰Lxds =（ ），L 为抛物线2x y =上10≤≤x 的弧段。
（A ）)155(121- （B ）)155(- （C ）121 （D ）)155(81-四、计算⎰+Cds y x )(，其中C 为连接点（0，0）、（1，0）、（0，1）的闭折线。
五、计算⎰++L ds z y x )2(22，其中L 为⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x六、计算⎰+Ln ds y x)(22，L 为上半圆周：)(222N n R y x ∈=+七、计算⎰+Ly x ds e22，其中L 为圆周222a y x =+，直线y=x 和y=0在第一象限内围成扇形的边界。
八、求半径为a ，中心角为ϕ2的均匀圆弧（ρ=1）的重心。
§10.2 对坐标的曲线积分一、判断题1．定积分也是对坐标的曲线积分。
（ ） 2．022=+-⎰L y x ydx xdy ，其中L 为圆周122=+y x 按逆时针方向转一周。
（ ）二、填空题1．ydz x dy y dx x 2233++⎰Γ= ，其中Γ是从点A （1，2，3）到点B （0，0，0）的直线段AB 。
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第十章 曲线积分与曲面积分10.01 填 空(1) 第二类曲线积分⎰ΓRdz+Qdy +Pdx 化成第一类曲线积分是⎰Γγ+β+α)dsRcos Qcos (Pcos ，其中α﹑β﹑γ为Γ上点(x,y,z)处切 向量的方向角。
(2) 第二类曲面积分⎰⎰∑Rdxdy+Qdzdx +Pdydz 化成第一类曲面积分是⎰⎰∑γ+β+α)dsRcos Qcos (Pcos ，其中α﹑β﹑γ为∑上点(x,y,z)处的法 向量的方向角10.02 计算下列曲线积分： (1) dsy x L22⎰+,其中L 为圆周ax y x 22=+ 解：ΘL:x y ax22+=表示为参数方程:x =a 2a 2cos y =a 2sin +⎧⎨⎪⎩⎪≤≤θθθπ()02有 θ'θ-='θθcos 2a =y ,sin 2a xx y a 4a 2''2θθ22+== )cos 1(2a =ax y x 222θ+=+θ⋅θ=+∴⎰⎰πd 2a cos +12a ds y x 20L22θθ⎰πd 2cos 2a 42=202⎪⎭⎫⎝⎛θθ-θθ=⎰⎰πππ022d 2cos d 2cos 2a=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=a a2220222sin sinθπθππ(2)⎰Γzds ,其中Γ为曲线t cos t x =，t sin t x =，t z =，0tt 0≤≤解：ΘΓ:cos sin ()x t ty t tz t t t ===⎧⎨⎪⎩⎪≤≤00 ∴++=+x y z t t t t '''22222Θzds t t dt t Γ⎰⎰=+2200)t 2(d t 2212t 020++=⎰322)t 2(0t )t 2(32212/32002/32-+=+⨯=(3)⎰+-Lxdy dx )y a 2(,其中L 为摆线)t sin t (a x -=，)t cos 1(a y -=上对应t 从0到π2的一段弧。
解:{[]⎰⎰π-⋅--=+-20L)t sin t (a )t cos 1(a a 2x dy dx )y a 2(}dt )t cos 1(a )t sin t (a -⋅-+22020220220222a 2tdt cos )t cos (t a tdtsin t adt )t sin t sin t t cos 1(a π-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-==-+-=⎰⎰⎰ππππ(4)⎰Γ-+-dzx yzdy 2dx )z y (222，其中Γ是曲线32t z ,t y ,t x ===上由0t 1=到1t 2=的一段弧。
解:[]()()y z dx yzdy x dz t t t t t t dt22246522012223-+-=-+-⎰⎰Γ=-⎰()326401t t dt351t 52t 731057=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=（5⎰-+-Lx x dy )2y cos e (dx )y 2y sin e (，其中L 为上半圆周222a y )a x (=+-，0y ≥沿逆时针方向。
解: 补直线段y x a :(),=≤≤002由格林公式,有[]⎰⎰⎰⎰⎰=--=-+-+DDx x OAL x x dxdy2dxdy)2y cos e (y cos e dy )2y cos e (dx )y 2y sin e (=⋅2区域D 的面积=πa 2又L OALOA+⎰⎰⎰=+2Lx x a20OAxxa dy )2y cos e (dx )y 2y sin e (0dx 0dy )2y cos e (dx )y 2y sin e (π=-+-∴==-+-⎰⎰⎰（6）⎰Γxyzdz ，其中Γ是用平面z y =截球面1z y x222=++所得的截痕，从z 轴的正向看去，沿逆时针方向解: Γ:y z x y z =++=⎧⎨⎩2221， 用参数方程表示为:x t y z t t ===⎧⎨⎪⎩⎪→cos sin (:)1202πtdt cos 21t sin 21t cos x yzdz 220⋅⋅=∴⎰⎰πΓ⎰⎰ππ-==20202dt 2t 4cos 1162dt )t 2(sin 162π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=π162t 4sin 812t 16220 10.03 计算下列曲面积分：（1）ds z y x 1222⎰⎰∑++，其中∑是界于平面0z =及H z =之间的原柱面222R y x =+解：∑投影到yoz 平面上的投影为y zD∑∑∑=+12 其中Hz 0,R y R :D y R R x x 1),H z 0(y R x :y R R x x 1),H z 0(y R x :y z 222z 2y 222222z 2y 221≤≤≤≤--=++≤≤--=∑-=++≤≤-=∑ds zy x 12222⎰⎰∑+++=+⋅-=-⋅+=⋅⋅⎰⎰⎰⎰--21221222222220R z RR y dydz R dy R y dz R z R y RR arctg z RD RRHRR Hxy(arcsin)()=⋅--⎡⎣⎢⎤⎦⎥⋅-=222102R R arctg H R arctgHR πππ()()（2）⎰⎰∑-+-+-dxdy )y x (dzdx )x z (dydz )z y (222，x(10.03 (2)图)其中∑为锥面22y x z +=,()h z 0≤≤的外侧。
解：补平面h z :1=∑上侧（如上页下图），与∑构成一封闭曲面：1∑+∑的外侧由高斯公式得:0d 0dxdy )y x (dzdx )x z (dydz )z y (1222=ν=-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑又⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=11故⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑+∑∑-=11⎰⎰∑-+-+-∴dxdy)y x (dzdx )x z (dydz )z y (222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππ∑θθ+θθ+-=θθ-θ-=θ-θθ-=--=-+-+--=20320420324h2220D 2222d sin 3h d 22cos 14h d )sin 3h cos 4h (rdr)sin r cos r (d dxdy )y x (dxdy )y x (dzdx )x z (dydz )z y (xy14h cos 3h 2sin 4124h 4203204π-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ+θ-=ππ（3）⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑为半球面222y x R z --=的上侧解: 补平面h z :1=∑下侧,与∑构成一封闭曲面：1∑+∑的外侧；由高斯公式得:⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑ν++=++d )111(zdxdy ydzdx xdydz 1=⋅3区域Ω的体积=⨯⨯=31243233ππR R又xdydz ydzdx zdxdy ++=⎰⎰∑1，∑∑∑∑+⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+11∴++=-=⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy R R ∑20233ππ（4）()⎰⎰∑++++3222z y xzdxdyydzdx xdydz ，其中∑为曲面()9)1y (162x 5z 122-+-=-)0z (≥的上侧。
解: 补平面0z :1=∑下侧, 与曲面∑构成一封闭曲面：1∑+∑的外侧；而222y x R z --=∂∂∂∂∂∂x x x y z y z x x y z y y x y z x z y x y z z z x y z x y zx y z ()()()()()()222322222252222322222252222322222252222++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=+-++++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=+-++++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=+-++⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪∴由高斯公式得：⎰⎰∑+∑++++13222)z y x (zdxdyydzdx xdydz()()0d 0d )z y x ()z 2y x (y 2z x x 2z y25222222222222=ν=ν++-++-++-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ又⎰⎰⎰⎰++-=++++∑xy1D 32223222dxdy )0y x (0)z y x (zdxdy ydzdx xdydz 0dx dy 0xy D =-=⎰⎰（其中()()191y 162x :D 22xy ≤-+-）00)z y x (zdxdyydzdx xdydz 113222=-=-=++++∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑+∑∑（5）⎰⎰∑xyzdxdy，其中∑为曲面1z y x 222=++ ()0y ,0x ≥≥的外侧 解：方法1:xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+上下⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰π-θθθ=--=------=201023D 22D 22D 22drr 1cos sin r d 2dxdy y x 1xy 2dxdy)y x 1(xy dxdy y x 1xyxy xyxy1521520sin dr r 1r d cos sin 22220123=⋅θ=-⋅θθθ=ππ⎰⎰其中：⎰⎰π-=-023123dt)t sin (t sin t cos tcos r drr 1r令1520t sin 51t sin 31t sin td sin )t sin 1(2530222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ππ⎰ 方法2：补)1z y (,0x :),1z x (,0y :224223≤+=∑≤+=∑ 由高斯公式得:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑+∑∑∑∑ν==++xyd xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy 4343152513421dr r d sin d cos sin drsin r cos sin sin r d d 1403201222020=⋅⋅=⋅ϕϕ⋅θθθ=ϕ⋅θθϕϕθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππ而 xyzdxdy xyzdxdy ∑∑34⎰⎰⎰⎰==∴=--=⎰⎰xyzdxdy ∑2150021510.04证明：22y x ydyx dx ++在整个xOy 平面的除去y 的负半轴及原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数证明：ΘP x x y Q yx y =+=+2222, (∴=-+=+∂∂∂∂P y xy x y Q x x 22222(),∴++xdx ydy x y 22在整个xoy 平面除去及原点的开区域G u x y xdx ydyx yx y (,)(,)(,)=++⎰2201⎰+++=BC 22AB 22y x y x x dx)y x ln(21y ln 21)y x ln(21y ln y x x dx dy y 122222x 022y1+=-++=++=⎰⎰10.05设在半平面0x >内有力()jy i x r k F 3ρρρ+-=构成力场，其中k 为常数，22y x r +=；证明在此力场中场力所作的功与所取路径无关。