错位相减法求数列前n项和
求数列前N项和的方法
求数列前N 项和的方法1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS（错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 ① ①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n ]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211n n 的前n 项和。
高三数学错位相减法求和
错位相减法求和怎样求等差数列与等比数列对应项乘积所组成数列的前n项和?通常的方法是运用推导等比数列前n项和公式的错位相减法，但不少同学用此法时容易出错．本文列举了几种处理方法，供同学们闲暇时消遣或思考．类型一：已知数列是首项为，公差为的等差数列，且；数列是首项为，公比为q的等比数列，且求和：.解法一(错位相减法)：①②由①—②得：结论：存在常数且使得注意事项：1．可以①-②，也可以②-①，乘公比q时，要保持项结构的对应关系，如要写成 不要写成更不要将算出一个具体数(如2．计算时，要注意其中等比数列的首项是还是是项还是项；3．最后结果最好写成类似的形式；4．如想检查，可分别按与算出如结果均无误，则运算正确．例1：求和解： ①②由①—②得：故检验：按计算得：按计算得：完全吻合，可确认结果无误．例2：求和解：由①—②得：得检验：按计算得：按计算得：完全吻合，可确认结果无误．解法二(待定系数法)：设即令解得从而数列是常数列，其通项公式为例3：求和解：得(以下求待定系数的过程不必写在答卷上：设令解得 从而数列是常数列，其通项公式为故：例4：求和解：即(以下求待定系数的过程不必写在答卷上：设令解得从而数列是常数列，其通项公式为故：解法二(裂项相消法)：分析：设其中即通过待定系数法得，解出从而例5：求和解：设例6：求和解：设解法三(导数法)：即：例7：求和解：即：当时，例8：求和解：当时，类型二：已知数列是首项为，公差为的等差数列，且数列是首项为，公比为的等比数列，且求和：.解法一(错位相减法)：①②由②—①得：结论：存在常数a，b，使得例10：已知求和解：①②由②—①得：得解法二(转化为类型一)；其中和式便是类型一．例11：已知求和解：其中通过待定系数法得故另解第三次综合测试第20题：已知函数．若对一切且，不等式恒成立，求实数k的取值范围．解：令由，知当且仅当时，故t的取值范围是对一切且(注意到故必有因式）所以实数k的取值范围．是。
数列求和之错位相减法
1
1 22
+2
1 23
(n
1)
1 2n
n
1 2n1
②
1 2 sn
1 2
1 22
+
1 23
1 2n
n
1 2n1
1n 化简整理，得：sn =2- 2n1 - 2n
sn
2- n 2 2n
小技巧:验证n=1
小结：“错位相减法”的解题步骤
第其一中步数：列观{a察n}通为项等是差否数满列足，{a数n b列n}
学习目标
能理解错位相减法，并能够正确地应用错位相 减法求数列的前n项和。
等比数列前n项和公式的推导
① ② ① -② 得
这种推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法，注意“ 错位”、“相减”的含义，它蕴含了化无限为有限的数学 思想方法。
什么样的数列求和可以用“错位相减法”
若 这数 两列个数{列an为}的等对差应数项列乘，积数组列成的{bn新} 为数等列比{a数n 列 bn，} 由求
的
{bn
形式， } 为公比为q等比数列，由这两个数列的对应
项乘积组成的新数列 {an bn}
第二步：写出 {an bn} 前n项和的展开式，即 sn a1b1 a2b2 a3b3 anbn
第三步在 第二步所得式子的两边同乘以公比q，
第四步：第2步与第3步所得的两式相减。相减之后，撇开第一项和最后一项，中 间的所有项组成了一个公比为q的等比数列，对其使用等比数列求和公式求和。
10
9 10
Sn
2
9
2
4
...
n
9
n
n
1
9
n1
求数列前n项和的七种方法
求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g ，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S n k n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ……………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）∴ 1224-+-=n n n S 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1 ①①两边同乘以x ，得x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n -3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n) 1-x +1-（4n-3）x n ]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο ①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5 4. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得3211123nnnn k k k S k k k====++∑∑∑（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22(1)(1)(21)(1)222n n n n n n n ++++=++ （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
2000.求数列前N项和的七种方法 (1)
求数列前N 项和的七种方法1.公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+ ，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和：q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q -≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n [例1]已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和.[例2]设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值.2.错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-13.分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例5]求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
求前n项和的几种方法
求前n 项和的几种方法求数列前N 项和的方法1. 公式法（1）等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公（2q=11q S ≠，（31、=S n 3、=S n [例1][例2]设2. 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1答案：当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n ]3. 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把[例5]求4. [例6]5. （1（3（5）)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵ n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1 -+-+-+-∴6. [[例7. [例练习：求5，55，555，…，的前n 项和。
数列错位相减法万能公式
数列错位相减法万能公式
数列错位相减法万能公式是求解等差数列前n项和的有效方法，其有效性和简洁性均受到了广大数学学习者的一致认可。
数列错位相减法万能公式可以用来求解等差数列前n项和，其公式为：Sn = n/2[2a1+(n-1)d]，其中，Sn为前n项和，a1为首项，d 为公差。
式中n/2表示前n项的个数，2a1表示首项和末项的和，(n-1)d表示错位相减的结果。
数列错位相减法的万能公式的有效性可以用一个例子来说明：求：1+3+5+7+…+99的和。
由题知，该数列是一个等差数列，首项a1=1，公差d=2，末项an=99，求前n项和Sn。
由数列错位相减法万能公式，Sn = n/2[2a1+(n-1)d]，将数列的参数带入，可得：Sn = 50/2[2*1+(50-1)*2] = 50/2[2+98] = 50/2*100 = 2500。
即：1+3+5+7+…+99的和为2500。
由此可见，数列错位相减法万能公式的有效性是毋庸置疑的，其简洁性也是受到众多数学学习者的一致认可的。
在一般的数列求和中，数列错位相减法万能公式的作用是十分重要
的，它能够使得求解等差数列前n项和变得更加简单，更加高效，在学习数学的过程中，应该加以重视，多加练习，以此提高自身数学水平。
运用错位相减法求数列和的步骤
思路探寻数列是数学高考的必考内容之一.近几年的高考数学全国卷试题中的数列问题侧重于考查等差和等比数列的通项公式、性质、前n项和公式的应用.求数列和的方法很多，其中错位相减法比较常用.等比数列前n项和的公式Sn=a1(1-q n)1-q(q≠1)就是用错位相减法求得的.如果一个数列的通项公式可以变形为一个等差数列与一个等比的通项公式的乘积，我们就可以用错位相减法求数列的和.错位相减法的运用步骤为：第一步，根据数列的通项公式列出数列的前n项和式，并将其记为①式；第二步，在①式的左右两边同乘以等比数列的公比q，得到②式；第三步，将②式右边的式子与①式右边的错开一位，使q的指数相同的项对齐；第四步，将两式相减，合并同类项，并提取公因式；第五步，构造出等比数列，利用等比数列的前n 项和公式进行求和，并化简.例1.若数列{}a n是以a1为首项，d为公差的等差数列，数列{}b n是以b1为首项，q(q≠1)为公比的等比数列，令c n=a n b n，求数列{}c n的前项和T n.解：T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a n−1b n−1+a n，①qTn=a1b1q+a2b2q+a3b3q+⋯+a n−1b n−1q+a n b n q=a1b2+a2b3+a3b4+⋯+a n−1b n+a n b n q，②由①-②得：(1-q)T n=a1b1+d(b2+b3+⋯+b n−1+b n) -a n b n q，当q≠1时，Tn=a1b1+d()b2+b3+⋯+b n−1+b n-a n b n q1-q=a1b1+déëêêùûúúb2()1-q n−11-q-a n b n q1-q周永松思路探寻。
错位相减法 求数列的前n项和
四、课堂小结
1.这节课学习了数列求和的什么方法？ 错位相减法 2.什么数列可以用错位相减法来求和？ 通项公式是“等差×等比”型的数列 3.错位相减法求和的步骤是什么？
（1）写出Sn （2）乘公比： （3）错位相减： （4）等比求和： （5）化简整理
变式3.
1 已知数列｛an }的通项公式an 2n n , 求数列前n项和S n 3
三、巩固训练
1 1 1 1 变式1.求和： S n 1 2 2 3 3 n n 2 2 2 2
课堂练习
解：Sn 1
1 Sn 2 ① ②得 1 1 1 1 1 1 S n 1 1 2 1 3 1 n n n 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 3 n n n 1 2 2 2 2 2 1 1 [1 ( ) n ] 1 2 2 n n 1 1 2 1 2 1 1 1 n n n 1 2 2 1 1 1 1 故Sn 2 2 n 2n n 1 2 2 n n n 2 2 2 2 1 2 ( 2 n) n 2
①
qSn=
a1q+a1q2+a1q3+· · · · · · +
· · · · · ·
a1qn-1 + a1qn
①-②得：
（1-q）Sn=a1-a1qn
错 ② 位 相 减 法
二、合作探究
例 1.求和: Sn 1 2 2 2 3 2 n 2
2 3 n
小组探究并解决下列问题： （1）这个数列是等差或等比数列吗？ 既不是等差也不是等比数列
故Sn 2 (1 n)2 n1
错位相减法求数列的前n项和
错位相减法求数列的前n 项和基本方法：一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ×的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是在和式的两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解；若{}n b 的公比为参数(字母)，则应对公比分等于1和不等于1两种情况分别求和. 一、典型例题1. 设数列{}n a 的通项公式2n n a n =?，求其前n 项和.2. 已知数列{}n a 满足11a =，()*1N n n n na na a n +=-?. 数列{}nb 的前n 项和为nS ，23nn S b =-，求数列{}n n b a ×的前n 项和n T . 二、课堂练习1. 设数列{}n a 的通项公式11283n n a n -骣琪=?琪桫，求其前n 项和.2. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*231n n S a n N =-?. 求数列21nn a 禳-镲睚镲铪的前n 项和n T . 三、课后作业1. 设数列{}n a 的通项公式123n n a n =?，求其前n 项和.2. 已知数列{}n a ，1e a =，31n n a a +=()*n N Î. 设()21ln n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .3. 已知数列{}n a 中,111,()3nn n a a a n a *+==?+N . （1）求证：112n a 禳镲+睚镲铪是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足(31)2n n n n n b a =-鬃，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式1(1)2n n n nT l --<+对一切n *ÎN 恒成立，求l的取值范围.。
8.错位相减法求数列的前n项和
第 74 课 错位相减法求数列的前 n 项和
一般地，如果数列{an} 是等差数列，{bn} 是等比数列，求数列{an ×bn} 的前 n 项和时，可采用错位相减法
求和，一般是在和式的两边同乘以等比数列{bn} 的公比，然后作差求解；若{bn} 的公比为参数(字母)，则应对 公比分等于 1 和不等于 1 两种情况分别求和. 一、典型例题
1 3
得
1 3
Tn
=
2
1 32
4
1 33
6
1 34
2(n - 1)
1 3n
2n
1 3n+1
……②，
①式减②式得
2 3
Tn
=
2
1 31
2
1 32
2
1 33
2
1 3n
2n
1， 3n+1
所以
2 3
Tn
=
2´
1 3
1
-
1 3n
1- 1
3
-
2n
´
1 3 n+1
=
1
-
(2n
+
3)
×
1 3 n+1
，则 Tn
=
32
2n + 3 2 × 3n
.
( ) ( ) 2. 已知数列 {an} ， a1 = e ， an+1 = an3 n Î N * . 设 bn = 2n -1 lnan ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn .
答案： Tn = (n - 1)´3n +1 .
解析：由 a1 = e ， an+1 = an3 知， an > 0 ，所以 lnan+1 = 3lnan ，数列{lnan} 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，
数列之 求前n项和之 错位相减法
数列之 求前n 项和之 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求。
1．已知等差数列{}n a ，33=a ，1272=+a a（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设n an n b 2=，求数列{}n b 的前n 项和2.已知数列{a n }的前n 项和21()2n S n kn k N *=-+∈,且S n 的最大值为8. （1）确定常数k ，求a n ；（2）求数列92{}2nna -的前n 项和T n 。
3.已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}nb ，111==b a ，1073=+a a ， 3b ＝4a （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式 （2）若n n n b ac ∙=，求数列{}n c 的前n 项和n T4.求a+2a 2+3a 3+…+na n .5.已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．6.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .7.已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 8.已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3n a 41log (n ∈N *)，数列{c n }满足c n＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n . 9.在数列{a n }中，a 1＝1，2a n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 2·a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{a n n 2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝a n ＋1－12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .10.设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，求数列{a n b n }的前n 项和S n 。
错位相减法求数列前n项和
错位相减法求数列前n项和
1、写出新数列的Sn，Sn=a1*b1+a2*b2+a3*b3+......+an*bn，只要求把等差部分的数列算出来，等比数列部分保留指数形式不变。
2、对求和的等式左右同时乘以等比数列部分的公比q，只要求乘的公比q乘到等比数列部分去，保留等差部分的形式不变。
3、错位相减，第一步中的Sn中的第二项和第二步中的qSn第一项减，第三项和第二项减，以此类推，只需要对等差部分数列计算，保留等比部分的形式不变，千万别忘记最后还有一个减的项。
4、等比数列n-1求和公式，Sn-qSn=a1*b1+d
（b2+b3+......+bn）-an*bn+1，中间是n-1项的等比求和，注意公式别背成了n项求和公式，第一项和最后一项单独列出。
5、化（1-q）Sn的系数为1，等式左右同时除以1-q，就得到了Sn=代数式的形式，最后再把指数进行运算，化为最简形式即可。
求数列前N项和的七种方法
求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--求数列前N 项和的七种方法点拨:1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 nn 8=，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS（错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 ①①两边同乘以x ，得x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ②①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ nx ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-（4n-3）x n]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝4. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
求数列前n项和的几种方法
六、分段求和法求和 【例 7】 已知数列{an}前 n 项和为 Sn，且 an＋Sn＝1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 bn＝3＋log4an，设 Tn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|，求 Tn.
1n n 6－n (2)法一：bn＝3＋log4( ) ＝3－ ＝ . 2 2 2 n11－n 当 n≤6 时，bn≥0，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ； 4 当 n≥7 时，bn＜0， Tn＝b1＋b2＋…＋b6－(b7＋b8＋…＋bn) 6×5 n2－11n＋60 1 n－6n－7 1 ＝ －[(n－6)(－ )＋ ×(－ )]＝ ， 4 2 2 2 4
(1)若数列{an}的通项能转化为 f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项相 消法求和． (2)使用裂项相消法求和时，要注意正、负项相消时，消去了哪些项，保 留了哪些项． 1 1 1 1 1 1 (3)常见的拆项有：① ＝ － ，②a ＝a＋ ，③ ＝ b b nn＋1 n n＋1 n＋ n＋ 1 1 1 1 1 n＋1－ n，④ ＝ ( － )等． 2n－12n＋1 2 2n－1 2n＋1
(1)解：由题设得 a3a4＝10，且 a3，a4 均为非负整数， ∴a3 的可能值为 1,2,5,10. 3 若 a3＝1，则 a4＝10，a5＝ ，与题设矛盾； 2 35 若 a3＝5，则 a4＝2，a5＝ ，与题设矛盾； 2 3 若 a3＝10，则 a4＝1，a5＝60，a6＝ ，与题设矛盾． 5 ∴a3＝2.
综上可知，T ＝ n －11n＋60 4
n 2
n11－n 4
n≤6 . n≥7
1n n 6－n 法二：bn＝3＋log4( ) ＝3－ ＝ . 2 2 2 当 n≤6 时，bn≥0，|bn|＝bn， n11－n ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ . 4 当 n≥7 时，bn＜0，|bn|＝－bn， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋b6－b7－b8－…－bn ＝2(b1＋b2＋…＋b6)－(b1＋b2＋…＋bn) n2－11n＋60 ＝2T6－Sn′＝ ，(其中 Sn′表示{bn}的前 n 项和) 4
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解：anbn n 2n
Sn a1b1 a2b2 a3b3 L an-1bn-1 anbn
即Sn 1 2 2 22 3 23 L L (n 1) 2n1 n 2n
2Sn 1 22 2 23 2 24 L L L (n-1) 2n n 2n1
练习2
已知数列an满足a1 2，nan1 （n 1)an （n n 1)，n N
1
证明：数列
an n
等差数列；
2令bn 3n an ，求数列bn的前n项和Sn.
两式相减得
2Sn 1 3 2 32 2 3n (2n 1) 3n1
2Sn 3 2 （32 3n ) (2n 1) 3n1
3
2
32
3n 3 13
(2n
1) 3n1 6源自(22n)3n1
故Sn 3 (1 n) 3n1
课堂总结
数列求和的新方法：错位相减法
1 2
n1
故Tn
2 ( 1 )n1 2
n ( 1 )n =22
2+n 2
( 1 )n1 2
课堂练习
求和：1 3 3 32 (2n 1) 3n
解：
记Sn 1 3 3 32 (2n 3) 3n1 (2n 1) 3n
3Sn 1 32 3 33 (2n 3) 3n (2n 1) 3n1
①-②得
Sn 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n1
即
Sn
2 22 23 2n n 2n1
2 2n 2 n 2n1 (1 n)2n1 2
1 2
错位相减法：
故Sn 2 (1 n)2n1 展开，乘公比，错位，相减
方法探究 例：数列{an}的通项公式an n，数列{bn}的通项公式bn 2n
①-②得
Sn 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n1
即
Sn
2 22 23 2n n 2n1
2 2n 2 n 2n1 (1 n)2n1 2
1 2
错位相减法：
故Sn 2 (1 n)2n1 展开，乘公比，错位，相减
变式训练
例：数列{an}的通项公式an n，
2、求数列{2n 3n}的前n项和
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn 2n2 n, n N ,数 列{bn}满足an 4 log2 bn 3, n N （1）求{an}和{bn}的通项公式; （2）求数列{an }的前n项和.
bn
4.{an}的前 n 项和为 Sn, 2Sn 3an 3 (n∈N*).
求数数列列{b{n}a的n }通的项前公n式 项b和n 2n bn
课堂练习 解：an bn
n 2n
n (1)n 2
Tn
1 1 2 (1)2 3 (1)3 +L
2
2
2
(n 1) ( 1 )n1 n ( 1 )n
2
2
①
1 2 Tn
1 ( 1 )2 2 ( 1 )3 3 ( 1 )4 +L (n 1) ( 1 )n n ( 1 )n1 ②
2
2
2
2
2
① ②得
1 2 Tn
1 1 2
1（1 ）2 1 ( 1 )3 +K
2
2
1（1 ）n n ( 1 )n1
2
2
1 ( 1 )2 ( 1 )3 +L ( 1 )n n ( 1 )n1
22 2
2
2
1 2
(1)n 1 22
n ( 1 )n1
1 1
2
2
1
( 1 )n 2
n
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
通项公式是“等差×等比”型的数列
2、错位相减法的步骤是什么？
①展开：将Sn展开 ②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比 ③错位：让次数相同的相对齐 ④相减 ⑤解出Sn
课下作业：
1、求和：
（1）1 4 6 L 2n
22 23
2n
（2） 1 3x 5x2 K (2n 3)xn2 (2n 1)xn1 （x 0）
相 减
法
总结：用“错位相减法”求和的数列特征：
可以求形如
的数列的和，其中
为等差数列, 为等比数列.
即如果一个数列的各项是由一个等差 数列和一个等比数列的对应项乘积构 成的，那么这个数列的前n项和则采 用“错位相减法” 求和.
方法探究 例：数列{an}的通项公式an n，数列{bn}的通项公式bn 2n
求和：
11 3 5 L 2n 3 2n 1
21 a a2 L an1 an
等差数列与等比数列的求和公式：
等差数列的前n项和公式：
Sn
a1n
n(n 2
1)
d
或
等比数列的前n项和公式：
Sn
a1
an 2
n
当q
1,Sn
a1 (1 q n ) 1 q
a1 an q 1 q
当q 1,Sn na1
(1)求数列{an}的通项 an;
(2)求数列｛ n ｝的前 n 项和 Tn an
9.28作业： P42.例3 P43.变式3 P44.数学探究
P46.6 P50.例2
P56.11
巩固练习
已知数列an是等差数列，且a1 2，a1 a2 a3 12 1 求数列an 的前n项和； 2令bn anx（n x 0），求数列bn的前n项和.
忆一忆 等比数列的前n项和公式的推导
采用了什么方法？
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ ···+an
即：Sn=a1+a1q+a1q2+······+a1qn-2+a1qn-1
错
qSn= a1q+a1q2+a1q3+······+ a1qn-1+a1qn 位
错位相减得：（1-q）Sn=a1-a1qn
解新：问令题cn：求an数bn 列 {nan2bnn}的前n项和
Sn c1 c2 c3 L L cn-1 cn
即Sn 1 2 2 22 3 23 L L (n 1) 2n1 n 2n
2Sn 1 22 2 23 2 24 L L L (n-1) 2n n 2n1