错位相减法求数列前n项和

①-②得
Sn 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n1
即
Sn
2 22 23 2n n 2n1
2 2n 2 n 2n1 (1 n)2n1 2
1 2
错位相减法：
故Sn 2 (1 n)2n1 展开，乘公比，错位，相减
方法探究 例：数列{an}的通项公式an n，数列{bn}的通项公式bn 2n
(1)求数列{an}的通项 an;
(2)求数列｛ n ｝的前 n 项和 Tn an
9.28作业： P42.例3 P43.变式3 P44.数学探究
P46.6 P50.例2
P56.11
巩固练习
已知数列an是等差数列，且a1 2，a1 a2 a3 12 1 求数列an 的前n项和； 2令bn anx（n x 0），求数列bn的前n项和.
解新：问令题cn：求an数bn 列 {nan2bnn}的前n项和
Sn c1 c2 c3 L L cn-1 cn
即Sn 1 2 2 22 3 23 L L (n 1) 2n1 n 2n
2Sn 1 22 2 23 2 24 L L L (n-1) 2n n 2n1
相 减
法
总结：用“错位相减法”求和的数列特征：
可以求形如
的数列的和，其中
为等差数列, 为等比数列.
即如果一个数列的各项是由一个等差 数列和一个等比数列的对应项乘积构 成的，那么这个数列的前n项和则采 用“错位相减法” 求和.
方法探究 例：数列{an}的通项公式an n，数列{bn}的通项公式bn 2n
①-②得
Sn 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n1
即
Sn
2 22 23 2n n 2n1
2 2n 2 n 2n1 (1 n)2n1 2
1 2
错位相减法：
故Sn 2 (1 n)2n1 展开，乘公比，错位，相减
变式训练
例：数列{an}的通项公式an n，
求数数列列{b{n}a的n }通的项前公n式 项b和n 2n bn
课堂练习 解：an bn
n 2n
n (1)n 2
Tn
1 1 2 (1)2 3 (1)3 +L
2
2
2
(n 1) ( 1 )n1 n ( 1 )n
2
2
①
1 2 Tn
1 ( 1 )2 2 ( 1 )3 3 ( 1 )4 +L (n 1) ( 1 )n n ( 1 )n1 ②
练习2
已知数列an满足a1 2，nan1 （n 1)an （n n 1)，n N
1
证明：数列
an n
等差数列；
2令bn 3n an ，求数列bn的前n项和Sn.
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
通项公式是“等差×等比”型的数列
2、错位相减法的步骤是什么？
①展开：将Sn展开 ②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比 ③错位：让次数相同的相对齐 ④相减 ⑤解出Sn
课下作业：
1、求和：
（1）1 4 6 L 2n
22 23
2n
（2） 1 3x 5x2 K (2n 3)xn2 (2n 1)xn1 （x 0）
求数列{anbn}的前n项和
解：anbn n 2n
Sn a1b1 a2b2 a3b3 L an-1bn-1 anbn
即Sn 1 2 2 22 3 23 L L (n 1) 2n1 n 2n
2Sn 1 22 2 23 2 24 L L L (n-1) 2n n 2n1
2、求数列{2n 3n}的前n项和
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn 2n2 n, n N ,数 列{bn}满足an 4 log2 bn 3, n N （1）求{an}和{bn}的通项公式; （2）求数列{an }的前n项和.
bn
4.{an}的前 n 项和为 Sn, 2Sn 3an 3 (n∈N*).
忆一忆 等比数列的前n项和公式的推导
采用了什么方法？
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ ···+an
即：Sn=a1+a1q+a1q2+······+a1qn-2+a1qn-1
错
qSn= a1q+a1q2+a1q3+······+ a1qn-1+a1qn 位
错位相减得：（1-q）Sn=a1-a1qn
1 2
n1
故Tn
2 ( 1 )n1 2
n ( 1 )n =22
2+n 2
( 1 )n1 2
课堂练习
求和：1 3 3 32 (2n 1) 3n
解：
记Sn 1 3 3 32 (2n 3) 3n1 (2n 1) 3n
3Sn 1 32 3 33 (2n 3) 3n (2n 1) 3n1
2
2
2
2
2
① ②得
1 2 Tn
1 1 2
1（1 ）2 1 ( 1 )3 +K
2
2
1（1 ）n n ( 1 )n1
2
2
1 ( 1 )2 ( 1 )3 +L ( 1 )n n ( 1 )n1
22 2
2
2
1 2
(1)n 1 22
n ( 1 )n1
1 1
2
2
1
( 1 )n 2
n
求和：
11 3 5 L 2n 3 2n 1
21 a a2 L an1 an
等差数列与等比数列的求和公式：
等差数列的前n项和公式：
Sn
a1n
n(n 2
1)
d
或
等比数列的前n项和公式：
Sn
a1
an 2
n
当q
1,Sn
a1 (1 q n ) 1 q
a1 an q 1 q
当q 1,Sn na1
两式相减得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2Sn 1 3 2 32 2 3n (2n 1) 3n1
2Sn 3 2 （32 3n ) (2n 1) 3n1
3
2
32
3n 3 13
(2n
1) 3n1
6
(2
2n)
3n1
故Sn 3 (1 n) 3n1
课堂总结
数列求和的新方法：错位相减法