重积分的计算方法

重积分的计算方法

重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。

一．二重积分的计算

1．常用方法

（1）化累次积分计算法

对于常用方法我们先看两个例子

对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：

第一步：画出积分区域D的草图；

第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；

第三步：计算累次积分。

需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。

选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。

（2）变量替换法

着重看下面的例子：

在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。

利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。

于积分区域的多样性。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。

（3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）

下面看一个例子：

计算二重积分时，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如能

采用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。从积分域来考虑，一般情况下，圆形、扇形或者环形可以选用极坐标。

（4）对称法

第四种对称法为轮换对称，它在应用中十分重要，下面详细介绍：

首先所谓轮换对称性就是，如果把f(x,y)中的x换成y，y换成x后，f(x,y)的形式没有变化，就说f(x,y)具有轮换对称性。例如x^2+y^2有轮换对称性，而2x+3y没有轮换对称性(因为换完后是2y+3x，和原来的不一样)。下面说明轮换对称性在二重积分中的应用，我们知道二重积分的积分区域的边界可以用方程f(x,y)=0表示，如果这里的f(x,y)具有轮换对称性，那么被积函数中的x和y互换后积分结果不变。例如∫∫x^2dxdy，积分区域为圆周x^2+y^2=1，由于轮换对称性可知∫∫x^2dxdy=∫∫y^2dxdy(这就是把被积函数中的x换成

了y)，因此积分=(1/2)∫∫2x^2dxdy=(1/2)∫∫(x^2+y^2)dxdy，再用极坐标计算就简单多了。

下面举几个例子：

对称法就是利用区域和被积函数的对称性简化积分。

在做题时，先考虑区域和被积函数有无对称性，有时一看就知道积分为零，有时可使积分化简。否则的话，就会把时间花在无谓的计算上，有时不仅仅“得不偿失”，而且往往是“有失无得”。

利用区域和被积函数对称性简化积分的方法可以总结为：

①设域D关于x轴对称，x轴上方部分为D1，下方为D2，

②设域D关于y轴对称，y轴右边的部分为D1,左边的部分为D2，

（4）特例

当积分区域是一矩形，被积函数可以分离成只含x 的函数和只含y的函数相乘时二重积分可作两个定积分相乘。

二．三重积分

三重积分概念可以看作是二重积分概念的直接推广，它的计算也是化为累次积分，适当地选择变量代换可使三重积分容易计算。与前面二重积分情况相同，三重积分也可以应用对称法计算，即一般地，若区域D关于yoz平面对称，被积函数关于x 是奇函数，则三重积分必为零，类似地还可推出其它各种对称情况的三重积分。

计算三重积分的一般步骤为：

1．画出空间域D的草图；

2．根据被积函数和积分域D选择适当的坐标和累次积分的次序，并将域 D用相应的双边不

等式组表示；3．完成累次积分的计算。

这里，画好图形是计算的关键，因为积分变量变化的围就是从图形上看出来的，于是也就顺利地写出了积分限。其中柱坐标系中的定限化为平面直角坐标系的定限，球坐标中定限化为平面极坐标系的定限。

可以说，三重积分的计算方法可由二重积分推广过来，不再累述。

三．结语

综上所述，重积分的计算的方法是有规律可循的。总体上，重积分的主要计算思路是先化重积分为累次积分，难点是积分区域的分块、积分上下限的确定、积分次序的互换以及利用变量代换是重积分简化。