2-25.资料-比较幂指对函数值大小

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高中数学—指对数比较大小方法

高中数学—指对数比较大小方法标题：高中数学——指对数比较大小方法在数学的海洋中，我们经常需要比较数字的大小。

然而，当我们面对指对数时，比较大小的方法就变得相对复杂了。

指对数是一类特殊的函数，其特点是函数的值与实数之间存在一一对应的关系。

因此，比较指对数的大小实际上就是比较它们所对应的实数的大小。

一、理解指对数我们需要理解什么是指对数。

简单来说，指对数是一种特殊的函数，它可以将一个正实数映射到一个特定的实数。

对于任何一个正实数x，都有一个唯一的实数y与之对应，这个关系可以表示为log(x) = y。

其中，log是常用对数的简写形式，它通常用来表示以10为底的对数。

二、比较指对数大小的方法1、利用函数的单调性：对于任何一个底数大于1的指对数函数，它在定义域内都是单调递增的。

因此，如果log(a) > log(b)，那么a 一定大于b。

同样地，如果log(a) < log(b)，那么a一定小于b。

2、利用图象：我们可以通过画出指对数函数的图象来比较大小。

如果两个数的指对数值相等，那么它们对应的点应该在同一条直线上。

反之，如果两个数的指对数值不相等，那么它们对应的点一定不在同一条直线上。

3、利用中间值：当两个数的指对数值难以确定时，我们可以利用中间值来比较它们的大小。

假设log(a) > log(m) > log(b)，那么我们可以推断出a > m > b。

三、注意事项在比较指对数大小的时候，一定要注意底数的范围。

如果底数小于1，那么函数在定义域内是单调递减的。

这时，比较大小的方法就需要根据具体情况来调整了。

总结来说，比较指对数大小的方法需要我们理解指对数的概念和性质，并利用函数的单调性、图象和中间值等方法来进行比较。

我们也要注意底数的范围对比较大小的影响。

通过不断地实践和练习，我们就能熟练掌握指对数比较大小的方法了。

在数学学习中，比较大小是非常基础且重要的一项技能。

2023高考一轮热题---幂指对三角函数值比较大小归纳

02 幂指对三角函数值比较大小归纳【题型一】临界值比较：0、1临界【典例分析】设0.2515log 4,log 4,0.5a b c −===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【提分秘籍】基本规律因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者-1）比较大小。

【变式演练】1.已知120212022202212022,log 2021,log 2021a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b2.若0.3220.32,log 0.3,0.3,log 2a b c d ====，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（） A ．a > B. a b c >> C. b c a >> D.c b a >>【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值（难点）【典例分析】已知3422,log e a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【提分秘籍】基本规律寻找中间变量是属于难点，可以适当的总结积累规律 1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值【变式演练】1.已知 6ln a π=，3ln 2b π=，4ln1.5c π=，则a b c 、、大小关系为（） A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<2.已知0.350.11log 2,,0.7log 0.7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b <>D ．c a b >>【提分秘籍】基本规律1. 一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小2. 作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解【变式演练】1.已知0.40.8a −=，5log 3b =，8log 5c =，则（） A ．a b c <> B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>3.已知3610a b ==，则2，ab ，a b +的大小关系是（） A ．2ab a b <+< B ．2ab a b <<+ C ．2a b ab <+< D ．2ab a b <<+【题型四】利用对数运算分离常数比大小【典例分析】已知m ＝log 4ππ，n ＝log 4e e ，p ＝e 13−，则m ，n ，p 的大小关系是（其中e 为自然对数的底数）（） A ．p ＜n ＜m B ．m ＜n ＜pC ．n ＜m ＜pD ．n ＜p ＜m【提分秘籍】基本规律这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数据，转化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小【变式演练】1.2log 3､8log 12､lg15的大小关系为（） A ．28log 3log 12lg15<> D ．82log 12log 3lg15<<2.已知b 0,b 1a a >>=，若()21,log ,2a b x y a b z a b ==+=+，则()log 3x x ，()log 3y y ，()log 3z z 的大小关系为（）A ．()()()log 3log 3log 3x y z x y z >>B ．()()()log 3log 3log 3y x z y x z >>C ．()()()log 3log 3log 3x z y x z y >>D ．()()()log 3log 3log 3y z x y z x >>log 15a =log 40b =c【题型五】构造函数：lnx/x 型函数【典例分析】设24ln 4e a −=，1eb =，ln 22c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【提分秘籍】基本规律学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练。

高三一轮复习难点突破(3)——幂指对大小比较

2021届高三一轮复习难点突破（3）——幂指对大小比较【方法点拨】方法1：单调性法：利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小．方法2：中间值法：既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小，不能直接利用函数的单调性来比较，可利用特殊数值作为中间桥梁，进而可比较大小．（1）比较形如ma 与nb 的大小，一般找一个“中间值c ”，若m a c <且m c b <，则m na b <；若m a c >且n c b >，则m n a b >．（2）常用到的特殊值有0和1．(0log 1a =，1log a a =，01a =)（3）若 1a b >>，则0log 1a b <<，log 1b a >，如：5 0log 41<<，4log 51>；（4）若 01a b <<<，则0log log 1a a b a <<=，log log 1b b a b >=，如：0.3 l og 0.41<，0.3log 0.21>；（5）若 10a b >>>，则l og 0a b <， l og 0b a <，如：3 l og 0.20<，0.2log 30<．方法3：特值代入法：对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题，可在这个区间上取满足条件的特殊值，代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论，使得问题能够获解．方法4：估值计算法：估值计算是指通过估值、合理猜想等手段，准确、迅速地选出答案方法5：数形结合法：画出函数图像，利用直观的图像往往能得到更简捷的解法．方法6：构造新函数法类型1：单调性法（化成同底、同指）例1（2016·新课标Ⅲ，理6文7）已知4213332,3,25a b c ===，则A ． b a c <>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>变式2．（2013·新课标Ⅱ，文8）设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>变式3．（多选题）已知a b c === ）A ．a b >B ．c b >C ．b c >D ．b a >类型2：中间值法例2 (2019·全国卷Ⅰ，文理3)已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（） A ．a b c <>，则0log 1a b <<，log 1b a >，如：5 0log 41<<，4log 51>；（2）若 01a b <<<，则0log log 1a a b a <<=，log log 1b b a b >=，如：0.3 0log 0.41<<，0.3log 0.21>；（3）若 10a b >>>，则l og 0a b <， l og 0b a <，如：3 l og 0.20<，0.2log 30< 变式1：（2018·新课标Ⅲ，理12）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（）A ．0a b ab +<>B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>类型4：特殊值法例4 (2016·新课标Ⅰ，文8)若0a b >>，01c <<，则（）A ．log log a b c c 类型5：估值比较法理5 (2020·全国卷Ⅲ，文10)设a =log 32，b =log 53，c =23，则（） A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b变式1．设3log a e =， 1.5b e =，131log 4c =，则（） A ．b a c <>b a ，10<<c ，则（） A ．c c b a 0且132log aa =，131()log 2b b =，31()log 2cc =，则A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．a >c >b类型8：综合法例8 （2017·新课标Ⅰ，理11）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z巩固练习题1．已知a =21．3，b =40．7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．已知156a =，23b =，32c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜a ＜b3．设实数a 、b 、c 满足0.20.3a -=，3log 2b =，0.5log 3c =，则实数a 、b 、c 的大小关系为（）A ．c a b <>B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >>5．若a b c 、、均为正数，且3545a b c ==，则（）A ．112a b c-=B ．112b c a-=C ．112c a b-=D ．112c b a-=6．已知函数()f x 在R上是增函数，设111,ln 3,3e a e bc ππ===，则下列不等式成立的是（）A ．()()()f b f a f c >>B ．()()()f c f a f b >>C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f a f c f b >>7．设0.213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 5b =，ln5c =，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．a c b >>8．设4log 3a =，5log 4b =，0.012c -=，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b a c <>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>10．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>11．设,,x y z 为大于1的正数，且235log log log x y z ==，则12x，13y ，15z 中最小的是（）A ．12xB ．13yC ．15zD ．三个数相等12．设a ，b ，c 都是正数，且4a =6b =9c ，那么A ．111c a b=+ B ．221c a b =+ C ．121c b a =- D ．212c a b =+2021届高三一轮复习难点突破（3）——幂指对大小比较【方法点拨】方法1：单调性法：利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小．方法2：中间值法：既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小，不能直接利用函数的单调性来比较，可利用特殊数值作为中间桥梁，进而可比较大小．（1）比较形如ma 与nb 的大小，一般找一个“中间值c ”，若m a c <且m c b <，则m na b <；若m a c >且n c b >，则m n a b >．（2）常用到的特殊值有0和1．(0log 1a =，1log a a =，01a =)（3）若 1a b >>，则0log 1a b <<，log 1b a >，如：5 0log 41<<，4log 51>；（4）若 01a b <<<，则0log log 1a a b a <<=，log log 1b b a b >=，如：0.3 l og 0.41<，0.3log 0.21>；（5）若 10a b >>>，则l og 0a b <， l og 0b a <，如：3 l og 0.20<，0.2log 30<．方法3：特值代入法：对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题，可在这个区间上取满足条件的特殊值，代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论，使得问题能够获解．方法4：估值计算法：估值计算是指通过估值、合理猜想等手段，准确、迅速地选出答案方法5：数形结合法：画出函数图像，利用直观的图像往往能得到更简捷的解法．方法6：构造新函数法类型1：单调性法（化成同底、同指）例1（2016·新课标Ⅲ，理6文7）已知4213332,3,25a b c ===，则 A ． b a c <>．变式1．（2013·新课标Ⅱ，理8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg 5lg 3<<，即c ＜b ＜a ．故选D ．变式2．（2013·新课标Ⅱ，文8）设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>解析：因为321log 21log 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大．又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D ．变式3．（多选题）已知a b c === ）A ．a b >B ．c b >C ．b c >D ．b a >【解析】a b c ===()()()7577035577570142722322128,5525a b ========， ()57010257749c ===，,a c a b ∴>>，又()()2270147270105255(78125),77(16807)b c ======，b c ∴>，a b c ∴>>．故选：AC ．类型2：中间值法例2 (2019·全国卷Ⅰ，文理3)已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（） A ．a b c <，0.300.21c <=<，得a c b <<，选B ．【总结】当发现指数式和对数式没有任何共同部分时，可以引入中间值进行比较，常见的指数式引入中间量1，对数式引入中间量1，0．【一些常用的小结论】（1）若 1a b >>，则0log 1a b <<，log 1b a >，如：5 0log 41<<，4log 51>；（2）若 01a b <<<，则0log log 1a a b a <<=，log log 1b b a b >=，如：0.3 0log 0.41<<，0.3log 0.21> （3）若 10a b >>>，则l og 0a b <， l og 0b a <，如：3 l og 0.20<，0.2log 30< 变式1：（2018·新课标Ⅲ，理12）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（）A ．0a b ab +<，0b <，∴0ab a b <+<，故选B ．类型3：单调性法+中间值法例3 (2019·全国卷Ⅲ，理11文12))设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（）A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>【答案】C解析：因为()f x 是偶函数，所以331(log )(log 4)4f f =，因为23323221log 4--<<<，且()f x 在(0,)+∞递减，所以23323(2)(2)(log 4)f f f -->>类型4：特殊值法例4 (2016·新课标Ⅰ，文8)若0a b >>，01c <<，则（）A ．log log a b c c 【解析】方法1：作为选择题，本题可以用特殊值代入验证，如取4a =，2b =，12c =，可得答案B ．方法2：由01c <<可知log c y x =是减函数，又0a b >>，所以log log c c a b <．故选B ．方法3：对于A ，lg log lg a c c a =，lg log lg b cc b=，因为01c <<，所以lg 0c <．又0a b >>，所以lg lg a b >，但正负性无法确定，所以A 无法判断．对于C ，D ，可分别利用幂函数、指数函数的单调性判断其错误．类型5：估值比较法理5 (2020·全国卷Ⅲ，文10)设a =log 32，b =log 53，c =23，则（） A ．a <c ==，所以a c b <<．变式1．设3log a e =， 1.5b e =，131log 4c =，则（） A ．b a c << B ．c a b << C ．c b a << D ．a c b << 【解析】因为，所以，选D ．类型6：构造新函数，利用单调性求解例6 已知45a =，3log 4b =，1.52c =，则（）A ．a <c <bB ．a ，则22ln ln(1)ln (1)ln(1)1()0ln (1)ln x x x x x x x x f x x x x x+--+++'==<+，所以ln(1)()log (1)ln x x f x x x+=+=在(1,)+∞上为减函数，所以43(4)log 5log 4(3)a f f b ==<==，因为34b =，1.52c =，所以2.254c =，因为1.52c =，所以 1.533log 222log 2log 4c b =>===，综上所述，a b c <<，选B ．方法2：因为4log 50a =>，3log 40b =>，222422223lg 5lg 5lg 3lg16()()log 5lg 5lg 3(lg 4)lg 4221lg 4log 4(lg 4)(lg 4)(lg 4)(lg 4)lg 3a b +⋅===<<==，所以1a b<，所以a b <，以下同方法1，略．变式1．（2016·新课标Ⅰ，8）若1>>b a ，10<<c ，则（）A ．c c b a >⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ，构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确；要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c c c a b>⇔>，D 错误；故选C ．类型7：利用函数图象来比较大小例7．已知a ，b ，c >0且132log aa =，131()log 2b b =，31()log 2cc =，则A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．a >c >b【解析】∵a ，b ，c >0，且132log aa =，131log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴0<a <1，01．分别画出函数y =2x ，y =12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，y =13log x 的图象，则0<a <b <1．综上可得a <b <c ．故选C ．类型8：综合法例8 （2017·新课标Ⅰ，理11）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【解题思路】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小．【解析】方法1：令235x y zk ===（1k >），则2log x k =，3log y k =，5log z k =，所以22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >，22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，所以325y x z <<，故选D ．方法2：令2351x y z k ===>，求得2log x k =，3log y k =，5log z k =，则122222log logx k k ==，133333log log y k k ==，155555log log z k k ==，由于1k >，只用比较底数122，133，155的大小即可，因为116632(2)8(3)9=<=，11101052(2)32(5)25=<=，所以111532523<<，所以325y x z <<，故选D ．方法3：2351log log 212351log log 31log log 5m x y zm m x m m y m z m ⎧==⎪⎪⎪⎪===>⇒==⎨⎪⎪==⎪⎪⎩求得1112352131512,3,5log 2log 3log 5log 2log 3log 5m m m m m m x y z ======，分别对分母乘以30可得11151063230log 2log 2,30log 3log 3,30log 5m m m m m ==，故可得10156101561log 3log 2log 5325325m m m m y x z >⎧⇒>>⇒<<⎨>>⎩，选D 。

专题2-2 幂指对三角函数比大小归类-1

【变式 1-2】
试卷第 6页，共 12页
（广东省陆丰市林启恩纪念中学 2021-2022 学年高三上学期第 2 次（12 月）数学试题）
19．已知
a
1
0.32
，
b
20.2
，
c
0.30.2
，则
a
，
b
，
c
三者的大小关系是（
）
A． a b c
B． b a c
C． b c a
D． c b a
C．必要不充分条件
【典例 1-2】
D．既不充分又不必要条件
试卷第 3页，共 12页
（2023 上·江苏南京·高三统考）
7．已知 a 0.72 ， b ln0.5 ， c lg0.7 ，则（）
A． c a b
B． a b c
C． c b a
D． b<c<a
【变式 1-1】
（2023 上·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）
A． a c b
B． b a c
C． c<a<b
D． a b c
【变式 1-2】
14．已知
0,
4
，
a
sin
sin
，
b
sin
cos
，
c
cos
sin
，则
a
，
b
，
c
的大小关系是（
）
A． b a c
B． b<c<a
C． a b c
D． c b a
【变式 1-3】
15．已知 a sin 3 ， b cos 4 ， c tan( 3 ) ，则 a ， b ， c 的大小关系为

幂指对

幂、指、对——三种重要基本初等函数一、指数函数指数与指数幂的运算1、一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。

其中+∈>N n n ,1.2、当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，a a n n =. 3、我们规定： ⑴m n mn a a=()1,,,0*>∈>m Nn m a ；⑵()01>=-n a a nn ； 4、运算性质：⑴()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0；⑵()()Q s r a a a rs sr∈>=,,0；⑶()()Q r b a b a ab r r r∈>>=,0,0.指数函数及其性质1、图象：()1,0≠>=a a a y x2、性质：指数函数：x a y =（0,1a a >≠），定义域R ，值域为（+∞,0）。

⑴①当1a >，指数函数：x a y =在定义域上为增函数；②当01a <<，指数函数：xa y =在定义域上为减函数。

⑵当1a >时，xa y =的a 值越大，越靠近y 轴；当01a <<时，则相反。

二、对数函数对数与对数运算1、对数定义：如果a （0,1a a >≠）的b 次幂等于N ，就是N a b=，数b 就叫做以a为底的N 的对数，记作b N a =log （0,1a a >≠，负数和零没有对数）；其中a 叫底数，N 叫真数。

2、指数与对数互化式：log x a a N x N =⇔=；3、对数恒等式：log a N a N =4、基本性质：01log =a ，1log =a a5、运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M NMa a a log log log -=⎪⎭⎫⎝⎛； ⑶M n M a n a log log =. 6、换底公式：abb c c a log log log =()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .7、换底公式的重要变形：log log n m a a mb b n=ab b a log 1log =()1,0,1,0≠>≠>b b a a . 对数函数及其性质1、图象：()1,0log ≠>=a a x y a2、性质：当1a >时，x y a log =的a 值越大，越靠近x 轴；当01a <<时，则相反.图表归纳：三、幂函数1、定义：一般地，形如y x α= ()x R ∈的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数2、幂函数的图像及性质y x = 2y x =3y x =12y x =1y x -=定义域 R R R奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展无论α取任何实数，幂函数y x α=的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

4、高三一轮复习：幂指对函数

k < 1幂函数【知识要点】一、幂函数的定义：形如k x y =（k 为常数，∈k Q ）的函数叫做幂函数。

二、幂函数在第一象限的图像：【注】掌握幂函数在第一象限的图像，并据此结合定义域和奇偶性即可画出幂函数的图像。

三、幂函数的性质：1、幂函数在第一象限必有图像，在第四象限没有图像；2、幂函数恒过定点)1,1(；当0>k 时，幂函数还过定点)0,0(；3、当0>k 时，幂函数在),0[∞+单调递增；当0<k 时，幂函数在),0(∞+单调递减；反之亦然。

【例题解析】1、画出下列幂函数的大致图像：（1）21x y =；（2）4x y =；（3）31x y =；（4）3-=x y ；（5）32x y =；（6）2-=x y ；（7）21-=x y ；（8）23x y =；（9）3x y =。

2、判断下列命题的真假：（1）幂函数0x y =的图像是一条直线；（×）（2）幂函数的图像与坐标轴至多一个交点；（√）（3）幂函数要么是奇函数，要么是偶函数；（×）（4）若一个幂函数是奇函数，则它必经过原点；（×）（5）若一个幂函数是奇函数，则它在定义域内单调递增；（×）（6）如果一个幂函数的图像不经过)1,1(-，则它一定不是偶函数；（√）（7）如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个函数一定相同；（8）任何两个不同的幂函数的图像最多有三个交点。

（√）3、已知函数a x y =（∈a Q ）的图像当10<<x 时在直线x y =的上方，当1>x 时在直线x y =的下方，则a 的取值范围是}1|{Q ∈<a a a 且。

4、已知幂函数)237(3251)1(t t x t t y -+⋅+-=（∈t Z ）是偶函数，且在区间),0[∞+单调递增，求整数t 的值。

【解】由题意得：113=+-t t ，解得：0=t 或1=t 或1-=t ；当0=t 时，57x y =不是偶函数，所以0=t 不满足题意；当1=t 时，58x y =是偶函数，所以1=t 满足题意；当1-=t 时，52x y =是偶函数，所以1-=t 满足题意。

高一上数学必修一第四章《4.4幂函数》知识点梳理

高一上必修二第四章《指数函数、对数函数与幂函数》知识点梳理§4.4　幂函数学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α(α＝－1，12，1，2，3)的图像与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一　幂函数的概念一般地，函数y ＝x α称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．提醒　幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．知识点二　幂函数的图像和性质1．幂函数的图像在同一平面直角坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝，y ＝x －1的图像如图．2．五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数12x 12x公共点(1,1)1．y ＝－1x 是幂函数．(　×　)2．当x ∈(0,1)时，x 2>x 3.(　√　)3．y ＝与y ＝定义域相同．(　×　)4．若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.(　√　)一、幂函数的概念例1　(1)(多选)下列函数为幂函数的是( )A ．y ＝x 3 B ．y ＝(12)xC ．y ＝4x 2D ．y ＝x答案　AD解析　B 项为指数函数，C 中的函数的系数不为1，AD 为幂函数．(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解　由题意得Error!解得Error!或Error!所以m ＝－3或1，n ＝32.反思感悟　判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.跟踪训练1　已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )A ．2 B ．1 C.12 D ．0答案　A解析　因为f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，所以a ＝1，－b ＋1＝0，即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2.32x 64x 22m x二、幂函数的图像例2　如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 取±2，±12四个值，则对应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案　B解析　根据幂函数y ＝x n 的性质，故c 1的n ＝2，c 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝－12，曲线c 4的n ＝－2.反思感悟　解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y ＝x －1 或y ＝或y ＝x 3)来判断．跟踪训练2　函数f (x )＝的大致图像是( )答案　A解析　因为－12<0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B ，C ；又f (x )的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D.三、比较幂值的大小12x 12x例3　比较下列各组数中两个数的大小：(1)(25)0.5与(13)0.5；(2)(－23)－1与(－35)－1；(3)与.解　(1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴(25)0.5>(13)0.5.(2)∵幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴(－23)－1>(－35)－1.(3)∵函数y 1＝(23)x为R 上的减函数，又34>23，∴>.又∵函数y 2＝在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴>，∴>.反思感悟　比较幂值大小的方法跟踪训练3　比较下列各组值的大小：(1)，；(2)，，1.42.解　(1)∵y ＝为R 上的偶函数，∴＝.又函数y ＝为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，3423⎛⎫⎪⎝⎭2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫ ⎪⎝⎭23x 2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭2334⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫⎪⎝⎭()650.31-650.35121.2121.465x ()650.31-650.3165x∴<，即<.(2)∵y ＝在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4，∴<.又∵y ＝1.4x 为增函数，且12<2，∴<1.42，∴<<1.42.幂函数性质的应用典例　已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N ＋)的图像关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a 的取值范围．解　因为函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3.又因为m ∈N ＋，所以m ＝1,2.因为函数的图像关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1.则原不等式可化为.因为y ＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是Error!.[素养提升]　(1)幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．(2)通过具体实例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，体现了数学中数学运算与直观想象的核心素养．650.31650.35()650.31-650.3512x 121.2121.4121.4121.2121.433(1)(32)m m a a --+<-1133(1)(32)a a --+<-13x-1．下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝5x B ．y ＝x 5C ．y ＝5x D ．y ＝(x ＋1)3答案　B解析　函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数．2．幂函数y ＝x α(α∈R )的图像一定不经过( )A ．第四象限 B ．第三象限C ．第二象限 D ．第一象限答案　A解析　由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．3．设α∈{－1，1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案　A解析　可知当α＝－1,1,3时，y ＝x α为奇函数，又因为y ＝x α的定义域为R ，则α＝1,3.4．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点(12，2)，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2答案　A解析　∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点(12，2)，∴k ＝1，f(12)＝(12)α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.5．已知f (x )＝，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f(1a )<f(1b)B ．f (1a )<f(1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f(1a )D ．f (1a )<f (a )<f(1b )<f (b )12x答案　C解析　因为函数f (x )＝在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1<1b <1a ，故f (a )<f (b )<f(1b )<f(1a).1．知识清单：(1)幂函数的概念．(2)幂函数的图像．(3)幂函数的性质及其应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：幂函数与指数函数的区别；幂函数的奇偶性．1．幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,4)，则f (－12)等于( )A.12B.14 C ．－14 D ．2答案　B解析　幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,4)，则2α＝4，解得α＝2；∴f (x )＝x 2，∴f (－12)＝(－12)2＝14.2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2 D ．y ＝答案　A解析　所给选项都是幂函数，其中y ＝x －2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x －1和y ＝不是偶函数，故排除选项B ，D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意．3．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系是( )12x 13x13x 2535⎛⎫ ⎪⎝⎭3525⎛⎫⎪⎝⎭2525⎛⎫⎪⎝⎭A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a答案　A解析　∵y ＝(x >0)为增函数，又35>25，∴a >c .∵y ＝(25)x (x ∈R )为减函数，又25<35，∴c >b .∴a >c >b .4．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图像可能是( )答案　C解析　选项A 中，幂函数的指数a <0，则y ＝ax －1a 应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则y ＝ax －1a 应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a在y 轴上的截距为正，D 错误．5．若幂函数f (x )的图像过点(2，2)，则函数g (x )＝f (x )－3的零点是( )A.3 B ．9 C ．(3，0) D ．(9,0)答案　B解析　∵幂函数f (x )＝x α的图像过点(2，2)，∴f (2)＝2α＝2，解得α＝12，∴f (x )＝，∴函数g (x )＝f (x )－3＝－3，由－3＝0，得x ＝9.∴函数g (x )＝f (x )－3的零点是9.6．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：x11225x 12x 12x 12xf (x )122则f (x )的单调递增区间是________．答案　[0，＋∞)解析　因为f(12)＝22，所以(12)α＝22，即α＝12，所以f (x )＝的单调递增区间是[0，＋∞)．7．已知幂函数f (x )＝x α(α∈R )的图像经过点(8,4)，则不等式f (6x ＋3)≤9的解集为________．答案　[－5,4]解析　由题意知8α＝4，故α＝log 84＝23，由于f (x )＝＝x 2为R 上的偶函数且在(0，＋∞)上递增，故f (6x ＋3)≤9即为f (6x ＋3)≤f (27)，所以|6x ＋3|≤27，解得－5≤x ≤4.8．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 从小到大的顺序是________．答案　b <a <c解析　由a ＝，b ＝，可利用幂函数的性质，得a >b ，可由指数函数的单调性得c >a ，∴b <a <c .9．已知幂函数f (x )＝x α的图像过点P (2，14)，试画出f (x )的图像并指出该函数的定义域与单调区间．解　因为f (x )＝x α的图像过点P (2，14)，所以f (2)＝14，即2α＝14，得α＝－2，即f (x )＝x －2，f (x )的图像如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)．10．已知幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R 上单调递增．(1)求f (x )的解析式；(2)求满足f (a ＋1)＋f (3a －4)<0的a 的取值范围．解　(1)由幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R上单调递增，可得9－3m >0，解得m <3，m ∈N ＋，可得m ＝1,2，12x 23x 2312⎛⎫⎪⎝⎭2315⎛⎫ ⎪⎝⎭1312⎛⎫⎪⎝⎭2312⎛⎫ ⎪⎝⎭2315⎛⎫⎪⎝⎭若m ＝1，则f (x )＝x 6的图像不关于原点对称，舍去；若m ＝2，则f (x )＝x 3的图像关于原点对称，且在R 上单调递增，成立．则f (x )＝x 3.(2)由(1)可得f (x )是奇函数，且在R 上单调递增，由f (a ＋1)＋f (3a －4)<0，可得f (a ＋1)<－f (3a －4)＝f (4－3a )，即为a ＋1<4－3a ，解得a <34.11．若函数f (x )＝(m ＋2)x a 是幂函数，且其图像过点(2,4)，则函数g (x )＝ log a (x ＋m )的单调递增区间为( )A ．(－2，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞) D ．(2，＋∞)答案　B解析　由题意得m ＋2＝1，解得m ＝－1，则f (x )＝x a ，将(2,4)代入函数的解析式得，2a ＝4，解得a ＝2，故g (x )＝log a (x ＋m )＝log 2(x －1)，令x －1>0，解得x >1，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．12．函数y ＝－1的图像关于x 轴对称的图像大致是( )答案　B解析　y ＝的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y ＝－1的图像可看作由y ＝的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝－1的图像关于x 轴对称后即为选项B.13．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．答案　9解析　由题意可知加密密钥y ＝x α(α为常数)是一个幂函数，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意，得2＝4α，解得α＝12，则y ＝.由＝3，得x ＝9，即明文是9.14．已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x答案　(3,5)解析　∵f (x )＝＝1x(x >0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴Error!解得Error!∴3<a <5.15.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么，αβ等于________．答案　1解析　由条件，得M (13，23)，N (23，13)，可得13＝(23)α，23＝(13)β，即α＝13，β＝23.所以αβ＝13·23＝lg 13lg 23·lg 23lg 13＝1.16．已知幂函数g (x )过点(2，12)，且f (x )＝x 2＋ag (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解　(1)设幂函数的解析式g (x )＝x α(α为常数)．因为幂函数g (x )过点(2，12)，所以2α＝12，解得α＝－1，所以g (x )＝1x.(2)由(1)得f (x )＝x 2＋a x.①当a ＝0时，f (x )＝x 2.12x 23log 13log 23log 13log由于f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，可知f(x)为偶函数．②当a≠0时，由于f(－x)＝(－x)2＋a－x＝x2－ax≠x2＋ax＝f(x)，且f(－x)＝(－x)2＋a－x＝x2－ax≠－(x2＋a x)＝－f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数．综上，①当a＝0时，f(x)为偶函数；②当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．。

2020年数学(理)一轮复习：二次函数与幂函数

2．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数 f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝_x_2_＋__2_x_＋__1__. 解析：设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得 m＝－1 或 m＝2. 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴m＝2. 5．已知 f(x)＝4x2－mx＋5 在[2，＋∞)上是增函数，则实数 m 的取值范围是_(－__∞__，__1_6_]__．解析：因为函数 f(x) ＝ 4x2 － mx ＋ 5 的单调递增区间为
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2．二次函数 (1)二次函数解析式的3种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
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(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
1
(1)函数 y＝2x 3 是幂函数．
(×)
(2)当 n>0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数． ( √ )
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数． ( × ) (4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac4－a b2.
图象(抛物线)
定义域值域
对称轴顶点坐标
R

幂函数、指数函数和对数函数

幂函数、指数函数和对数函数一、幂函数1、函数k x y =（k 为常数，Q k ∈）叫做幂函数2、单调性：当k>0时，单调递增；当k<0时，单调递减3、幂函数的图像都经过点（1，1）二、指数函数1、x a y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数，定义域为R ，x 作为指数2、指数函数的值域：），（∞+03、指数函数的图像都经过点（0，1）4、当a>1时，为增函数；当0<a<1时，为减函数5、指数函xa y =数的图像：a>1 0<a<1三、对数1、如果a(a>0,且a ≠－1）的b 次幂等于N ，即N a b=，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ，其中，a 叫做底数，N 叫做真数2、零与负数没有对数，即N>03、对数恒等式：N aNa =log4、(重点强调）a>0,且a ≠－1，N>05、常用对数：以十为底的对数，记作lg N6、自然对数：以e 为底的对数，记作in N7、对数的运算性质：如果a>0,a ≠1，M>0,N>0,那么（1）N M MN a a a log log )(log += （2）N M NMa a alog log log -=（3）M n M a n a log log = 8、对数换底公式：)01,01,(log log log >≠>≠>=N b b a o a NNN b a b ，，其中四、反函数1、对于函数)(x f y =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应（即一个x 对应一个y ），且满足)(x f y =，这样得到的x 关于y 的函数叫做)(x f y =的反函数，记作)(1y f x -=，习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，说以把它改写为))((1A x x fy ∈=-2、反函数的定义域与值域：函数)(x f y = 反函数)(1x f y -=定义域 D A 值域AD3、函数)(x f y =的图像与反函数)(1x f y -=的图像关于直线x y =对称五、对数函数1、函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且叫做对数函数，是指数函数的反函数2、对数函数的图像都在y 轴的右方3、对数函数的图像都经过点（1，0）4、当a,x 范围相同时，y>0；当a,x 范围不同是，y<0,（范围指的是0<x<1和x>1两个范围）5、对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且的图像6、对数函数的定义域：x>07、对数函数的单调性：当a>1时，单调递增；当0<a<1时，单调递减六、简单指数方程指数里含有未知数的方程叫做指数方程1、819252=+-x x（1）将方程化为同底数幂的形式：225992=+-x x2252=+-∴x x 解得：5,021==x x（2）指对互换：281log 2592==+-x x ，解得：5,021==x x2、0155252=-⋅-x x换元法：令)05>=t t x（，则原方程化为01522=--t t ，解得：（舍）3,521-==t t 1,55==∴x x3、11235-+=x x两边同取以十为底的对数，得：1123lg 5lg -+=xx ，3lg )1)(1(5lg )1+-=+∴x x x （ 0)3lg 3lg 5)(lg 1(=+-+∴x x ，解得：5log 13lg 5lg 113+=+=-=x x 或七、简单对数方程对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程（解对数方程须检验，真数＞0）1、化为同底：2)532(log 2)1(=-++x x x2)1(2)1()1(log )532(log +=-+++x x x x x ，532)1(22-+=+x x x062=-+x x ，3,221-==x x经检验，x=2为原方程的解2、换元：1log 325log 225=-x x令t x =25log ，则t x 125log =，所以原方程化为：1312=-t t0232=-+∴t t ，解得32,121=-=t t当1-=t 时，1log 25-=x ，251=∴x当32=t 时，32log 25=x ，3165=∴x经检验，它们都是原方程的根所以原方程的解为321165,32==x x。

高中数学必修一知识讲解(复习补习,期末复习资料)：28【基础】指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

几类不同增长的函数模型【学习目标】1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【要点梳理】要点一：几类函数模型的增长差异一般地，对于指数函数(1)xy a a =>和幂函数(0)y x αα=>，通过探索可以发现，在区间()0,+∞上，无论α比a 大多少，尽管在x 的一定范围内，x a 会小于x α，但由于x a 的增长快于x α的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有x a >x α．同样地，对于对数函数log a y x =增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平行一样，尽管在x 的一定范围内，log a x 可能会大于x α，但由于log a x 的增长慢于x α的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有log a x x α<．综上所述，在区间()0,+∞上，尽管函数(1)xy a a =>、(0)y x αα=>和log (1)a y x a =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，(1)xy a a =>的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)y x αα=>的增长速度，而log (1)a y x a =>的增长则会越来越慢，因此总会存在一个0x ，当0x x >时，就有log .xa x x a α<<三类函数模型增长规律的定性描述：1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）； 2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）； 3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．如图所示：要点诠释：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．常用的函数模型有以下几类：（1）线性增长模型：(0)y kx b k =+>；（2）线性减少模型：(0)y kx b k =+<．（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数2(0)y ax bx c a =++<；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数2(0)y ax bx c a =++>．（3）指数函数模型()x f x ab c =+（a 、b 、c 为常数，a≠0，b ＞0，b≠1），当1b >时，为快速增长模型；当01b <<时，为平缓减少模型．（4）对数函数模型()log a f x m x n =+（m 、n 、a 为常数，a ＞0，a≠1）；当1a >时，为平缓增长模型；当01a <<时，为快速减少模型．（5）反比例函数模型(0)ky k x=≠．当0k >时，函数在区间(),0-∞和()0,+∞上都是减函数；当0k <时，函数在(),0-∞和()0,+∞上都是增函数．（6）分段函数模型当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．【典型例题】类型一、研究函数的变化规律并比较其大小例1．（1）已知函数2()2xf x x =-，分别求()f x 在（－1，0）、[0，3）、[3，5）、[5，+∞）上的零点及总个数．（2）比较2x 与x 2的大小关系．（3）通过作图，比较2x 、x 2、log 2x 的大小关系．【答案】（1）3 （2）略（3）略【解析】运用图象估计零点区间，借助计算器或计算机求出精确解，然后再分区间讨论、比较函数值的大小．应用二分法可求得（－1，0）中x≈－0.7666，[0，3）中x=2.000，[3，5）中x=4.000，[5，+∞）中无零点．∴共有3个零点，分别为x 1≈－0.7666，x 2=2.000，x 3=4.000．（2）在同一平面直角坐标系中画出y=2x ，y=x 2，y=log 2x 的图象，如图所示．当x ∈（－∞，－0.7666）时，2x ＜x 2；当x ∈（－0.7666，2.000）时，2x ＞x 2；当x=－0.7666时，2x =x 2；当x ∈（2.000，4.000）时，2x ＜x 2；当x=2.000时，2x =x 2；当x ∈（4.000，+∞）时，2x ＞x 2；当x=4.000 ，2x =x 2．（3）当x ∈（－∞，－0.7666）时，2x ＜x 2；log 2x 不存在；当x ∈（－0.7666,0）时，2x ＞x 2；log 2x 不存在；当x=－0.7666时，2x =x 2；当x ∈（0，2.000）时，log 2x ＜x 2＜2x ；当x ∈（2.000，4.000）时，log 2x ＜2x ＜x 2；当x=2.000时，log 2x ＜2x =x 2；当x ∈（4.000，+∞）时，log 2x ＜x 2＜2x ；当x=4.000时，log 2x ＜x 2=2x ．【总结升华】由本例我们可以进一步领悟幂函数、指数函数、对数函数的增长规律，即在（0，+∞）上必存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，log a x ＜x n ＜a x （a ＞1）恒成立．但在（0，x 0）上，该不等式不一定成立．举一反三：【变式1】（2017 北京高考）132223log 5-，，三个数中最大的数是．【答案】2log 5【解析】本题考查幂指对函数比较大小问题．1322212131log 5log 428-=<=>>>>，，2log 5最大．故答案为：2log 5．类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型例2．假设你有一批资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报率如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．【答案】投资1-6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8-10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．【解析】设第x 天所得回报是y 元，则方案一可以用函数*40()y x N =∈进行描述；方案二可以用函数*10()y x x N =∈进行描述；方案三可以用函数1*0.42()x y x N -=⨯∈进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．如图举一反三：【变式1】我国是电力资源较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用电的目的，某（2）若该市某家庭某月的用电费为224元，该家庭当月的用电量是多少？【答案】（1）056(0200)06416(200300)096112(300)y .x,x y .x ,x y .x ,x =≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪=->⎩；（2）350【解析】（1）当2000≤≤x 时，x y 56.0=当300200≤<x 时，)200(64.0112-+=x y 当300>x 时，)300(96.0176-+=x y⎪⎩⎪⎨⎧>-=≤<-=≤≤=∴)300(,11296.0)300200(,1664.0)2000(,56.0x x y x x y x x y（2）由（1）知300>x由22411296.0=-x ，得x =350 ∴ 该家庭月用电量为350千瓦时例3．（2018 江苏新沂市模拟）设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m （万元）与总支出n （万元）近似地满足下列关系：9124m x =-，217544n x x =-++，当m ―n ≥0时，称不亏损企业；当m －n ＜0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？【思路点拨】（1）通过解不等式m －n ≥0，计算即得结论；（2）通过（1）可知当0＜x ＜4时企业亏损，通过配方可知亏损额219(1)44n m x -=--+，进而计算可得结论．【答案】（1）至少要生产4台电机；（2）当x =1时，n －m 取最大值94【解析】（1）依题意，m －n ≥0，即2911752444x x x -≥-++，整理和：2280x x --≥，解得：x ≥4或x ≤－2（舍），∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机；（2）由（1）可知当0＜x ＜4时企业亏损，亏损额22179119(5)()(1)442444n m x x x x -=-++--=--+， ∴当x =1时，n －m 取最大值94，答：当月总产值为1台时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．【总结升华】本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意分析题设条件中的数量关系，合理地进行等价转化，注意解题方法的积累．举一反三：【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x = t （0≤t ≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数y = f （t ）的图象大致是（）【答案】D【解析】函数22(01)2()(12)2t tS tt t≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩故选D．例4．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数关系式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？【答案】复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元．【解析】按复利计算利息，也就是增长率问题．已知本金为a元．1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r)；2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2；3期后的本利和为y3=a(1+r)3；……x期后的本利和为y=a(1+r)x．将a=1000（元），r=2.25%，x=5代入上式得y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255．由计算器算得y=1117.68（元）．答：复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元．【总结升华】上述公式y=a(1+r)x是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y=a(1+xr)．其中a为本金，r为每一期的利率，x为期数．举一反三：【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．【答案】219.01【变式2】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下的问题：（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；（2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）；（4）如果20年后该城市的人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？【答案】（1）y=100×（1+1.2)x；（2）15年；（3）0.9%．【解析】本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律．（1）1年后该城市人口总数为：y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；2年后该城市人口总数为： y=100×(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2； 3年后该城市人口总数为：y=100×(1+1.2%)3； ……x 年后该城市人口总数为：y=100×（1+1.2)x ．（2）10年后，人口总数为：100×(1+1.2%)10≈112.7（万人）．（3）设x 年后该城市人口将达到120万人，即100×(1+1.2%)x=120，1.0121.102120log log 1.215()100x ==≈年．（4）设年增长率为x ，依题意，得100×(1+x)20≤120，由此有(1+x)20≤1.2，由计算器计算得1+x≤1.009，∴x≤0.009=0.9%，即年自然增长率应控制在0.9%以内．【总结升华】这是一类增长率问题，在实际问题中，有关人口增长、银行利息、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y=N(1+p)x （其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间）的形式．【巩固练习】1．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是（） A ．y=1，x ∈Z B ．y=x C ．y=2x D ．y=e x2．某厂日产手套总成本y （元）与手套日产量x （副）的函数解析式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（）A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是（）A ．增加7.84%B ．减少7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减）A ．2log v t =B ．12log v t = C ．212t v -= D ．22v t =-5．如下图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y=f (x)的图象大致为下图中四个选项中的（）6．某债券市场常年发行三种债券，A 种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B 种贴水债券面值为1000元，但买入价为960元，一年到期本息和为1000元；C 种面值为1000元，半年到期本息和为1020元. 设这三种债券的年收益率分别为a , b, c ，则a , b, c 的大小关系是（）A 、a=c 且a ＜bB 、a ＜b ＜cC 、a ＜c ＜bD 、c ＜a ＜b7．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x ，2010年底世界人口数为y （亿），那么y 与x 的函数关系式为________．8．（2018 四川广元模拟）某城区按以下规定收取水费：若每月用水不超过20 m 3，则每立方米收费按2元收取；若超过20 m 3，则超过的部分按每立方米3元收取，如果某户居在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元，则这户居民这月共用水________m 3．9．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是21()f x x =，2()4f x x =，32()log f x x =，4()2x f x =如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是．10．（2018 江苏新沂市期末）设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m （万元）与总支出n （万元）近似地满足下列关系：9124m x =-，217544n x x =-++，当m ―n ≥0时，称不亏损企业；当m －n ＜0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？11．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价x 元与日销售量y 件（Ⅰ）确定x 与y 的一个一次函数关系式()x f y =；（Ⅱ）若日销售利润为P 元，根据（Ⅰ）中关系写出P 关于x 的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？【答案与解析】 1．【答案】D【解析】指数函数模型增长速度最快，并且e ＞2，因而y=e x 增长速度最快．所以选D ． 2．分析：根据题意列出出厂价格和成本之间的不等关系式：5x +4000≤10x ，解出即可．【答案】D【解析】由5x +4000≤10x ，解得x ≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．故选D ．点评：主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．3．【答案】B 【解析】设该商品原价为a ，四年后价格为a(1+0.2)2(1―0.2)2=0.9216a ．所以(1―0.9216)a=0.0784a=7.84%，即比原来减少了7.84%．4．【答案】C【解析】取t=1.99≈2，代入A ，得v=log 22=1≠1.5；代入B ，得12log 21 1.5v ==-≠；代入C ，得221 1.52v -==；代入D ，得v=2×2－2=2≠1.5．故选C ．5．【答案】C【解析】设AB=a ，则222211112222y a x x a =-=-+，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方，故选C ．6．【答案】C【解析】40a =元，设买B 种债券一年后本期和为x 元，960:10001000:x =，则1041.5x ≈，一年后收益为b =41.5元,同理求得 40.4c =元,故选C.7．【答案】y=54.8(1+x)18【解析】由增长率的基本公式y=a(1+x)n 可写出． 8．【答案】25【解析】设他这个月共用了x 立方米的水，则所交水费2,020()403(20),0x x f x x x ≤≤⎧=⎨+->⎩，∵某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元，超过了2元， ∴x ＞20，则由20×2+(x －20)×3=2.2x 得40+3x －60=2.2x ，即0.8x =20，得x =25．故他这个月共用了25立方米的水．故答案为：25．9．分析：根据题意，本题实际考查各类函数的增长模型，通过对四类函数分析，指数函数增长最快，选出选项．【答案】4()2xf x =【解析】根据题意，最终跑在最前面的人一为函数值最大的函数，通过分析各种类型函数的增长21()f x x =，2()4f x x =，32()log f x x =，4()2x f x =中，4()2x f x =增长最快，如图故答案为：4()2xf x =．点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，通过对二次函数，一次函数，对数函数，指数函数的分析选出选项．10．【答案】（1）至少要生产4台电机；（2）当x =1时，n －m 取最大值94【解析】（1）依题意，m －n ≥0，即2911752444x x x -≥-++，整理得：2280x x --≥，解得：x ≥4或x ≤－2（舍），∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机；（2）由（1）可知当0＜x ＜4时企业亏损，亏损额22179119(5)()(1)442444n m x x x x -=-++--=--+， ∴当x =1时，n －m 取最大值94，答：当月总产值为1台时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．11．【答案】当x =42时，P 最大=432, 【解析】（I ）因为f (x )为一次函数，设y =ax +b ，解方程组45b 27,5012,a ab +=⎧⎨+=⎩ 得a =－3，b =162,故y =162－3x 为所求的函数关系式，又∵y ≥0，∴0≤x ≤54．（II ）依题意得：2(30)(30)(1623)3(42)432P x y x x x =-⋅=-⋅-=--+当x =42时，P 最大=432,即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润．。

2025数学大一轮复习讲义苏教版第二章指、对、幂的大小比较

C.a<b<c
D.b<a<c
c＝2－log32＝log39－log32＝log392>log34＝2log32＝b，即 c>b， a－c＝log23＋log32－2>2 log23×log32－2＝2－2＝0，所以 a>c，所以 b<c<a.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.(2023·宣城模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则
跟踪训练1 (1)(2023·龙岩模拟)已知a＝0.30.2，b＝0.30.1，c＝log0.33，则a， b，c的大小关系为
A.a<b<c
√C.c<a0，
∴log34>log45，
∴b＝4m－5＝4log3 4－5 4log4 5－5＝0，
a＝2m－3＝2log3 4－3 2log2 3－3＝0，
∴b>0>a.
命题点2 作商法
例5 已知a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则
3 2
4
，即b<c，故c>b>a.
命题点2 找中间值
例2
1
(2023·昆明模拟)设a＝e ，b＝ln
2－13ln

高三数学高考基础：幂指对函数的性质

函数进入新高考后，由于小题量减少，函数小题似乎也跟着减少，2008年、2009年江苏卷都只考了一道，分别属于“条件函数最值”，“指数函数数值大小比较”类型。

但是函数的图像与性质，以及具体的幂、指、对函数的复习仍很重要，不仅对考小题而且对考大题(如解析几何、导数、函数等)都起作用。

幂、指、对数函数的性质例题【例1】若函数f(x)=a x－x －a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是______(09年山东理14)[解]设y=a x 和y=x+a ，在平面直角坐标系中作出其图象如下图，观察知a>1时原函数有两个零点。

[解题回顾]解本题的关键是将一个函数有两个零点问题转化为两个函数图象有两个交点的问题，通过数形结合来分析参数a 的取值范围。

【例2】若函数f(x)=x 2+a x(a ∈R),则下列结论正确的是__________ (09年浙江文6) A ．∀a ∈R,f(x)在[0,+∞)上是增函数；B ．∀a ∈R,f(x)在[0,+∞)上是减函数；C ．∃a ∈R,f(x)是偶函数；D ．∃a ∈R,f(x)是奇函数；[解]依已知，据函数的单调性和奇偶性判定方法，依次判定，知当a=0时，f(x)=x 2 (x ≠0),此时f(x)为偶函数，所以选C类题1.下列函数f(x)中，①f(x)=1x；②f(x)=(x －1)2；③f(x)=e x ；④f(x)=ln(x+1). 满足“对任意x 1,x 2∈[0,+∞),当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)”的是___ (09福建理5改)2.已知函数f(x)满足：x ≥4,则f(x)=(12)x ；当x<4时，f(x)=f(x+1),则f(2+log 23)=_____ (09辽宁文改)3.若x 1满足2x+2x =5，x 2满足2x+2log 2(x －1)=5，x 1+x 2=_________ (09辽宁理12改)4.若函数f(x)=⎩⎨⎧1x x<0(13)xx ≥0，则不等式|f(x)|≥13的解集是________ (09北京理13)5.已知a=5－12，函数f(x)=a x ，若实数m,n 满足f(m)>f(n)，则m,n 的大小关系为______ (09江苏10)。

高考数学复习考点题型专题讲解1 幂指对三角函数值比较大小

高考数学复习考点题型专题讲解第1讲幂指对三角函数值比较大小【题型一】临界值比较：0、1临界【典例分析】设0.2515log 4,log 4,0.5a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <，从而可得出答案. 【详解】因为5550log 1log 4log 51=<<=，所以01a <<；因为11555log 4log 4log 4b -===-，所以10b -<<；又0.200.50.51c -=>=，所以b a c <<.故选：B. 【变式演练】 1.已知120212022202212022,log 2021,log 2021a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b【答案】A【分析】利用指数函数及对数函数的性质即得.【详解】∵102021202221022a >==，2022202220220log 1log 2021log 20221b =<=<=，202220221log log 102021c =<=， ∴a b c >>.故选：A.2.若0.3220.32,log 0.3,0.3,log 2a b c d ====，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（） A ．a =，2000.30.31<<=，即1a >，01c <<；因为2221142log log 0.3log <<，所以12222log log 0.3g 2lo 2--<<，即221log 0.3<<--，即21b -<<-，又.2031log 2log 0.3=，所以0.311log 22-<<-，即112d -<<-，即a c d b >>>，故选：C3.9.01.17.01.1,9.0log ,8.0log ===c b a 的大小关系是（）A. c a b >>B. a b c >>C. b c a >>D.c b a >> 【答案】A试题分析：0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=，而1.11.1l o g 0.9l o g 10<=，对于0.901.1 1.11>=所以c a b >>，故选A【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值（难点）【典例分析】已知3422,log e a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】B 【分析】首先求出4a 、4b ，即可判断a b >，再利用作差法判断4432b ⎛>⎫⎪⎝⎭，即可得到32b >，再判断32c <，即可得解；【详解】解：由342a b ==，所以449,8==a b ，可知a b >，又由44381478021616⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭b ，有32b >，又由28e <，有322e <=，可得23log 2<e ，即32c <，故有a b c >>.故选：B【变式演练】1.已知6ln a π=，3ln 2b π=，4ln1.5c π=，则a b c 、、大小关系为（） A ．c b a <在()0,∞+上是增函数，对数函数ln y x =在()0,∞+上是增函数可得答案. 【详解】66ln ln a ππ==，33ln 2ln 2b ππ==，44ln1.5ln1.5c ππ==，因为3428 1.5 5.0625ππππ=>=，所以3ln 24ln1.5b c ππ=>=，即b c >，因为6666π=>=，66683.26635222222ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，66>，所以632ππ>，所以6ln 3ln 2a b ππ=>=，即a b >，所以c b a <<.故选：A. 2.已知0.350.11log 2,,0.7log 0.7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <， ∴ 1b >，10.300.70.70.7<<，故0.71c <<，所以a c b <<．故选：A ． 3.若0.60.590.5,0.6,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性分别比较0.60.50.5,0.5和0.50.50.5,0.6的大小，即可比较,a b ，再根据91log 32c ==，即可得出答案. 【详解】解：因为函数0.5x y =是减函数，所以0.60.50.50.50.5<<，又函数0.5y x =在()0,∞+上是增函数，所以0.50.50.50.6<，所以0.60.50.50.6<，即12a b <<，91log 32c ==，所以c a b <<.故选：B.【题型三】差比法与商比法【典例分析】已知实数a b c ､､满足13266,log 3log 4,51213b b c a b ==++=，则a b c ､､的关系是（） A ．b a c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．c a b >>【答案】C 【分析】利用幂函数的性质知2a <，利用对数的运算性质及作差法可得20b ->，再构造1313c b -，根据指数的性质判断其符号，即可知,b c 的大小. 【详解】1133682a =<=；()2226222log 3log 312log 3log 4log 3201log 31log 3b b ⋅-=+=+-=>++，，2b >；2221351251213c b b =+>+=，2c >；222222222222131351213551212131351212121313c b b b b b b b b b b -------=+-=⋅+⋅-⋅<⋅+⋅-⋅2222222212(512)131313(1213)0b b b b ----=+-⋅=-<，∴b c >，综上，b c a >>.故选：C【变式演练】1.已知0.40.8a -=，5log 3b =，8log 5c =，则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】B 【分析】应用作商法，由对数的运算性质、基本不等式可得222ln 3ln8(ln 3ln8)ln 54ln 5b c ⋅+=<可知b 、c 的大小，再结合指对数的性质可知a 、c 的大小. 【详解】25228log 3ln 3ln 8(ln 3ln 8)1log 5ln 54ln 5b c ⋅+==<=<，即b c <， ∵0.410.8c a -<<=，∴综上，b c a <<.故选：B2.已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】C【详解】因为310log 35c =，又24log 3.41,log 3.61><，231010lg3.4lg3lg 2lglg 6.8lg3-lg 2lg3lg 2lg 10lg 6.8lg3lg 233log 3.4log =03lg 2lg3lg 2lg3lg 2lg3----==>（），所以23410log 3.4log 1log 3.6,3>>>324log 0.3log 3.4log 3.61555⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即a c b >>3.已知3610a b ==，则2，ab ，a b +的大小关系是（） A ．2ab a b <+=，6log 101b =>，∴2ab >；又11lg3lg6lg181a b ab a b+=+=+=>∴ a b ab +>，∴2a b ab +>>.故选：D. 【题型四】利用对数运算分离常数比大小【典例分析】已知m ＝log 4ππ，n ＝log 4e e ，p ＝e 13-，则m ，n ，p 的大小关系是（其中e 为自然对数的底数）（） A ．p ＜n ＜m B ．m ＜n ＜p C ．n ＜m ＜p D ．n ＜p ＜m【答案】C 【分析】根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较m ，n ，12的大小关系，再由指数的性质有p ＝e 1312->，即知m ，n ，p 的大小关系.【详解】由题意得，m ＝log 4ππlg lg lg 41lg 4lg 4lg lg 4lg πππππ===-++，4lg lg lg 4log 1lg 4lg 4lg lg 4lg e e e n e e e e====-++， ∵lg4＞lgπ＞lg e ＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lg e ，∴lg 4lg 4lg 4111lg 4lg 4lg 4lg lg 4lg eπ->->-+++，∴12n m <<，而p ＝e 1312-=>，∴n ＜m ＜p ．故选：C ．【变式演练】1.2log 3､8log 12､lg15的大小关系为（） A ．28log 3log 12lg15<> D ．82log 12log 3lg15<< 【答案】C 【分析】应用对数的运算性质可得2321log 31log 2=+、8321log 121log 8=+、321lg151log 10=+，进而比较大小关系. 【详解】22232331log 3log (2)1log 122log 2=⋅=+=+，88832331log 12log (8)1log 122log 8=⋅=+=+，32331lg15lg(10)1lg 122log 10=⋅=+=+，∵3332220log 2log 8log 10<<<， ∴28log 3log 12lg15>>，故选：C. 2.已知b 0,b 1a a >>=，若()21,log ,2a b x y a b z a b ==+=+，则()log 3x x ，()log 3y y ，()log 3z z 的大小关系为（）A ．()()()log 3log 3log 3x y z x y z >>B ．()()()log 3log 3log 3y x z y x z >>C ．()()()log 3log 3log 3x z y x z y >>D ．()()()log 3log 3log 3y z x y z x >>【答案】D 【分析】先化简33333log (3)111log (3)1,log (3)1,log (3)1log log log log x y z x x y z x x y z ==+=+=+，再根据,,x y z 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得到其大小关系．【详解】因为33333log (3)111log (3)1,log (3)1,log (3)1log log log log x y z x x y z x x y z==+=+=+，函数31log y x =在(0,1)和(1,)+∞上均单调递减，又b 0,b 1a a >>=，所以1,0 1.a b ><<而21,log (),2a b x y a b z a b==+=+, 所以0x <1,1,22y z <>>，即,y x z x >>，可知log (3)x x 最小．由于222221log ()log ,2log 2log 4a ay a b a z a a⎛⎫=+=+=== ⎪⎝⎭，所以比较真数1a a +与4a 的大小关系.当1a >时，14aa a+<，所以1z y >>, 即331111log log y z+>+. 综上,log (3)log (3)log (3)y z x y z x >>．故选：D ．3.已知3log 15a =，4log 40b =，23c =，则（） A ．a c b ＞＞ B ．c a b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞【答案】C 【分析】把c 用对数表示，根据式子结构，转化为比较10323log 5log 4log 2、、的大小，分别与1和32比较即可. 【详解】3333log 15=log 3log 5=1log 5a =++，4444log 40=log 4log 10=1log 10b =++，由23c =得，223log 31log 2c ==+. 因为353,104,22>><，所以323log 51log 2>>，423log 101log 2>>，即,a c b c ＞＞. 下面比较a 、b 的大小关系：32333log 5log 32<=（其中323 5.2≈），324443l og 10l o g 8=l o g 4=2>，所以34log 5log 10< 所以b a ＞所以b a c ＞＞.故选：C.【题型五】构造函数：lnx/x 型函数【典例分析】设24ln 4e a -=，1e b =，ln 22c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c <<【答案】B 【分析】设()ln xf x x =，利用导数判断单调性，利用对数化简2e 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e b f =，()()24c f f ==，再根据单调性即可比较a ，b ，c 的大小关系.【详解】设()ln x f x x =，则()221ln 1ln ⋅--'==x xx x f x x x，当()1,e x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当()e,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，因为()222222e ln 2ln e ln 24ln 4e 2e e e 22a f -⎛⎫-==== ⎪⎝⎭，()1ln e e e eb f ===，()ln 222c f ==，所以()e b f =最大，又因为()()24c f f ==，2e e 42<<，所以()2e 42a f f c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以b a c >>，故选：B.【变式演练】1.已知a=3ln2π，b=2ln3π，c=3lnπ2，则下列选项正确的是（） A ． cB ．cC ．cD ． c【答案】D 对同除，转化为之间的比较，构造函数 =，利用导数研究函数的单调性，得到答案. 【详解】===，，，的大小比较可以转化为的大小比较．设 =ln，则 =ln，当 = 时， = ，当时，，当时，在上单调递减， 3lnlnln=ln，，故选：D ．2.以下四个数中，最大的是（）A ．B ．1eC ．ln ππD 【答案】B 【详解】由题意，令()ln x f x x=，则()21xf x x-'=，所以e x >时，()0f x '<，∴()f x 在(,)e +∞上递减，又由315e π<<<，∴()()()3(15)f e f f f π>>>，则111113315ln ln3ln ln ln15ee πππ>>>>>，即1ln e ππ>>>，故选：B ． 3.下列命题为真命题的个数是ln3 3ln ； lnπ；； 3 ln A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 本题首先可以构造函数 =，然后通过导数计算出函数 =的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数 =的单调性即可比较出大小。

幂指对函数的增长比较ppt课件

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比较大小
[例 2] 比较下列各组值的大小：
(1)log1
2
45与
log1
2
67；
(2)0.8－0.1 与 1.250.2；
(3)log32.5 与 log52.5； (4)(lgm)1.7 与(lgm)2.1(m>1)．
[分析] 充分利用函数的图像和性质(如单调性等)来比较
两数的大小．
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[解析] (1)y＝log1 x 在(0，＋∞)上递减，
1 o 1234 x
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一般地，对于指数函数 y=ax (a>1)和幂函数 y=xn (n>0),在区间
（x0，0+∞）10 上，无20论n比a大30多少，尽4管0 在x的一5定0 变化范围
y内=2，x a1x会10小24于x1.n0,5但×由10于6 a1x.0的7×增1长09 快1.于10x×n1的01增2 长1.1，3×因10此15 总存在
2.列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图像.
x
0.2 0.6 1.0 1.4
y
y=x2 y=2x
y=2x 1.149 1.516 2 2.639
5
y=x2 0.04 0.36 1 1.96
4
y=log2 x -2.322 -0.737 0 0.485
3
1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
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知能自主梳理
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在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)， y＝xn(n>0)都是________(填“增”或“减”)函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着 x 的增大，y ＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于 y＝ xn(n>0)的增长速度，而 y＝logax(a>1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个 x0 ，当 x>x0 时，就有 logax________xn________ax.

高三指对幂函数精品讲义

幂、指、对函数综合复习一、指数与指数函数（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈（4）指数函数图像与性质二、对数与对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log aa a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a n M Mb n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且（5）对数函数及其性质(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．说明：反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（7）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上． ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．三、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．四、例题分析例1 已知函数223nn y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．解：因为图象与y 轴无公共点，故2230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，由2230n n --≤，得13n -≤≤，又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，．当0n =时，2233n n --=-不是偶数；当1n =时，2234n n --=-为偶数；当1n =-时，2230n n --=为偶数；当2n =时，2233n n --=-不是偶数；当3n =时，2230n n --=为偶数；所以n 为1-，1或3．此时，幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=，其图象如图１所示．例2已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．解：设()m f x x =，则由题意，得2m =，∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1(2)4n =-，∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知：（1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >；（2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．例3、已知函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．分析：函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式．解：∵()f x 是偶函数，∴223m m -++应为偶数．又∵(3)(5)f f <，即22232335mm mm -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2230m m -++>，∴312m -<<．又∵m ∈Z ，∴0m =或1．当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数．故m 的值为1，2()f x x =．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．练习、若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围．正解（分类讨论）：（1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm <<；（2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，，解得1m <-．综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞．现在把例1中的指数1-换成3看看结果如何．练习、若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．解：由图3，10320321m m m m +⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得 213m -<≤．例4、关于x 的不等式232255|x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，则实数a 的取值范围是。

幂指型函数极限推导

幂指型函数极限推导幂指函数极限推导：一、定义1. 幂指函数：又称为复数指数函数，定义为$$y=a^x$$其中a≠0，x∈R，y是实数。

其中a为基数，x为指数，y为函数值。

2. 极限：定义为当某个变量不断逼近某一数值时，函数值的趋势即被称为极限。

二、极限的推导1. 对于a>1或a=1的情况：（1）当x趋于正无穷大时，即极限为：$$lim_{x\rightarrow +\infty }a^x=+\infty$$（2）当x趋于负无穷大时，即极限为：$$lim_{x\rightarrow -\infty }a^x=0$$2. 对于0<|a|<1的情况：（1）当x趋于正无穷大时，即极限为：$$lim_{x\rightarrow +\infty }a^x=0$$（2）当x趋于负无穷大时，即极限为：$$lim_{x\rightarrow -\infty }a^x=+\infty$$3. 对于a<0的情况：（1）当x为偶数时，极限为：$$lim_{x\rightarrow \pm \infty }a^x=+\infty $$（2）当x为奇数时，极限为：$$lim_{x\rightarrow \pm \infty }a^x=-\infty$$三、总结1. 对于a>1或a=1的情况：（1） x趋于正无穷大时，极限为+∞；（2） x趋于负无穷大时，极限为0；2. 对于0<|a|<1的情况：（1） x趋于正无穷大时，极限为0；（2） x趋于负无穷大时，极限为+∞；3. 对于a<0的情况：（1）当x为偶数时，极限为+∞；（2）当x为奇数时，极限为-∞。

幂、指、对函数图像增长差异的探究及应用

幂、指、对函数图像增长差异的探究及应用发表时间：2020-12-10T14:50:21.380Z 来源：《中国教师》2020年9月第25期作者：徐振恒[导读] 函数是高中数学中最基本、最重要的概念之一。

徐振恒江西省丰城市第九中学，江西丰城331100摘要：函数是高中数学中最基本、最重要的概念之一。

它是高中甚至大学学习数学的基础，尤其是学习微积分。

它就像一个环节，高中数学的各个分支紧密地联系在一起。

关键词：函数图像；增长差异；幂引言：毫无疑问，函数是许多知识聚合的核心，是多年来高考的热点，考试的内容主要有函数和反函数，函数的性质，指数函数和对数函数，以及这些内容所反映的数学思想方法。

除了对单个函数的知识外，它还常常表现在函数和方程、不等式、函数和数列、函数和固体几何、解析几何、函数和导数的解中。

一、复习函数知识，应着重解决如下几类问题：(I）解析公式函数、域和范围的简单函数、函数单调性和判断，并证明奇偶性方法、精确而具体的函数单调范围和函数的最大值和最小值： (2）精确地求出一些简单函数的反函数，并能利用图像的两个函数之间的反函数关系来解决问题； (3）掌握指数函数和单调函数的概念、图像和性质，能正确判断指数函数和对数函数的正确性，能充分执行指数运算和对数运算，能比较函数的值： (4）能利用函数、对数和对数函数的性质来解决一些简单的实际问题。

复习函数知识的关键是运用数形结合的思想加深对函数（包括特殊函数）的理解，掌握函数的图像特征和性质，建立运动变化和广泛联系的观点，熟练运用函数的思想，善于抽象造型。

二、幂、指、对函数图像增长差异在高考题中作为处理函数不等式问题的重要模型，高中数学人教A版必修1第101页对其进行了定性描述，在学习了导数工具后，我们可以对其进行定量研究。

原问题即等价于问题1：证明：当α>0，α1，α2>1时，存在x。

>0，当x>x。

时，有α1x>xα>logα2x。

高一数学-如何比较幂、指、对数值的大小精品

如何比较幂、指、对数值的大小重庆市潼南古溪中学陈本平一、利用函数的单调性比较大小涉及到无理数和超越数的大小比较，一般须根据这些数的构成特点，寻求某个函数作为模型，然后将各数统一到这个模型中，利用函数单调性比出大小.如何构造模型函数，其一般方法是：①指数相同、底数不同时构造幂函数；②底数相同、指数不同时构造指数函数；③底数相同、真数不同时构造对数函数.例1．比较下列各组数的大小：（1）;)(log )3(log 53215321--π与（2）.)9.0()9.0()2)(1(23+++a a a 与解：∵53-=xy 是奇函数，且在),0(+∞上为减函数，∴)0,(53-∞=-在x y 上也是减函数又由于532153212121)(log )3(log ,03log log --∴ππ（2）由于R x y x ∈=在9.0上是减函数，又由.210)2)(1(-≤-≥≥++a a a a 或得)i 当,023,2 +-≤a a 时 ;)9.0()9.0(,)2)(1(23)2)(1(23++++++a a a a a a 此时显然,1)时当-≥a ii ),2)(1(493)23(22++++=+a a a a a此时.)9.0()9.0()2)(1(23+++a a a二、比值法（包括比商、比差）1．不同底指数的比较大小通常采用比商法.在)0,0( b a b a nm和中，不妨设n m 与均大于零，.,;,.)(nm m nn m m n m mn n m b a b a b a b a b a ba ≤≤≥=时若时若2．同底对数的比较大小可以使用比差法. 例2．比较16181816和的大小.解：∵1)298()2()1816(16)1816(18161616162161618 =⋅=⋅=， ∴.18161618例3．已知,2log 2)(,3log 1)(x x x g x f =+=比较)()(x g x f 与的大小. 解：易知f(x )、g(x)的定义域均是（0，1）),,1(+∞.43log 2log 23log 1)()(x x g x f xx x =-+=- （1）当);()(,34,143,1x g x f x x x 这时则若时若).()(,341,143x g x f x x 这时则（2）当).()(,043log ,1430,10x g x f x x x x 这时时故由（1）、（2）可知，当);()(,),34()1,0(x g x f x 时+∞∈当).()(,)34,1(x g x f x 时∈三、利用“中介值”比较大小有些直接不便比较，但找一个“中介值”，分别与“中介值”比较大小，从而得出结论. 例4．比较)10( b a b a ab 与的大小.解：（1）先比较aba a 与的大小，考察函数x a y =∵10 a ，∴函数在R x ∈上是减函数，又ab a a b a ∴,（2）再比较aab a 与的大小，考察函数a x y =.∵0 a ，∴函数在（0，+∞）上是增函数，又.,aa b a b a ∴ 故由（1）（2）可知abb a 例5．（1997年上海高考题）三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是（） A ．7.07.0666log 7.0B ．6log 67.07.07.06C ．67.07.07.066logD ．7.067.067.06log解：由于,06log ,17.00,167.067.0 故选D.注：中介值常选0，1等，划分成),1(),1,0(),0,(+∞-∞区域内比较大小. 四、用图象法比较大小例6．a 、b 是不等于1的正数，且b a ，讨论c a log 与)0(log c c b 的大小. 解：（1）若1 b a ，画出x x y b a log log 与=的图象，如右图，由图观察得：当;log log ,1c c c b a ==时当;log log ,1c c c b a 时当.log log ,10c c c b a 时（2）若10 a b ，画出x y x y b a log log ==与的图象，如右图，由图观察得：当;log log ,1c c c b a ==时当;log log ,1c c c b a 时当.log log ,10c c c b a 时（3）若,10a b 画出x x y b a log log 与=的图象，如右图，由图观察得：当;log log ,1c c c b a ==时当;log log ,1c c c b a 时当.log log ,10c c c b a 时。

幂指函数的性质及应用

摘要幂指函数是一类重要的函数，但在教材中涉及幂指函数的内容非常有限，系统的研究幂指函数的性质及应用是非常有必要的。

本文先利用微积分的相关知识论述幂指函数的分析性质；再用这些性质研究两个特殊的幂指函数；最后探讨幂指函数的性质在求极限、导数、微分和积分等问题中的应用。

关键词:幂指函数；极限；导数；微分；积分AbstractExponential function is a kind of important function, but the content of the exponential function involved in the teaching material is very limited, the exponential function of the nature of the research and application of system is very necessary. This paper, using relevant knowledge of calculus, first analysis the power properties; With these two special properties research of exponential function; Finally discusses the nature of the exponential function limit, derivative, differential and integral application problems.Key words: Power exponent function; Limit; Derivative; Differential; Integral目录1 引言 (1)2 预备知识 (1)3 幂指函数的性质 (3)3.1 极限性质 (3)3.2 导数性质 (6)3.3 微分性质 (8)3.4 积分性质 (9)4 幂指函数性质的应用 (9)4.1 在研究特殊幂指函数中的应用 (9)4.2 在解题中的应用 (11)4.2.1求极限 (11)4.2.2 求导数 (13)4.2.3 求微分 (14)4.2.4 求积分 (14)5 结论 (15)致谢 ........................................................................................错误!未定义书签。

幂指对函数性质专题

幂指对函数性质活用一．命题陷阱及易错点分析指数函数与对数函数是高中数学两个重要的基本函数，初学者往往不能深刻理解指数函数及对数函数的有关概念、图象、性质及应用.关于指数函数与对数函数的试题在命制时，主要有概念类、分类讨论、转化不等价、隐含条件、迷惑性等几类陷阱.其中：1.概念类陷阱，包括指数的运算性质找不到化简方向、指数函数的底数讨论，指数函数对数函数的定义中对底数的限制及对数对真数的限制；（1）指数幂的运算.注意几个运算公式的使用.（2）指数函数底数讨论. x y a =当01a <<时函数是减函数，当1a >时函数是增函数.（3）指数函数定义.函数必须严格具备形式的函数是指数函数.（4）对数的底数和真数,它们都必须大于0，底数还要不等于1. 2.隐含条件陷阱，对含有的式子，隐含着0x a >.3. 迷惑性陷阱，含有逻辑联结词.把任意和存在转化为求函数的最值问题或方程的有解问题.4.分类讨论陷阱，含参数对数函数的定义域值域为全体实数问题.在处理式要对参数进行讨论要做到不重不漏.5. 等价转化陷阱，指数函数与对数函数互为反函数问题，转化为数形结合问题.6.定义域为R 与值域为R 及特定定义域陷阱7.幂指对函数中的倒序求和二．【学习目标】1．理解对数的概念，掌握指数与对数的相互转化，会运用指数、对数运算法则进行有关运算．2．掌握对数函数的定义、图象和性质及其应用． 3．掌握以对数函数为载体的复合函数的有关性质．4．了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0且a ≠1)的关系．三．【知识要点】1．对数的定义如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作_______________________，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．几种常见的对数3.对数的性质(a >0，且a ≠1，N >0)① ＝________；②log a a N ＝________；③换底公式：_____________________________；log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .4．对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么a Na log①log a (MN )＝__________________； ②log a MN ＝___________________；③log a M n ＝_______________； ④log a m M n ＝_____________． 5．对数函数的概念、图象和性质定义形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的函数叫对数函数图象性质(1)定义域：_____________ (2)值域：________ (3)过点_____________，即x ＝1时，y ＝0 (4)在(0，＋∞)上是_______ 在(0，＋∞)上是______(5)x >1时，________ 0<x <1时，________x >1时，________ 0<x <1时，________ 6.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线________对称．四．题型分析1.利用幂指对函数性质比较大小2.幂指对函数的性质3.幂指对函数的定义问题4.幂指对函数的图像问题5.幂指对奇偶性问题6.幂指对参数范围问题7.幂指对综合问题8.创新题型9.对称问题1.利用幂指对函数性质比较大小例1. 【江苏扬州优质试题模拟】三个数，，的大小顺序是( ) A．< < B．< <C．< < D．< <【答案】D【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出，，的取值范围，从而可得结果.【解析】由指数函数的性质可得,由对数函数的性质可得，< < ，故选D.练习1．已知．则（）A．a＞c＜d＞b B．b＜a＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．c＞a＞d＞b 【答案】C【解析】利用指数与对数的性质，先分别与1和0比较大小，间接的比较出一部分的大小关系，对没有比较出大小关系的，通过化为底数一样的形式再去比较大小即可。