小学奥数知识名师点拨 例题精讲 解题思路 图形的分割.教师版

DF∶FC∶AB 2∶1∶3 ， SDFG∶SCEF∶SABE 4∶1∶9 ． 连 结 DE ， 则 S△DEC 3S△FEC ，
S△DEC
S△AEB
1 2
S
ABCD
，
SABCD 24S△CEF ，
S梯形AEFG
10S△CEF
10 24 SABCD
，
所
以
S ABCD
24 10
S梯形AEFG
【答案】 5 平方厘米
【例 7】 把同一个三角形的三条边分别 5 等分、7 等分(如图 1，图 2)，然后适当连接这些等分点，便得到了
4-2-4 图形的分割 题库
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Hale Waihona Puke 若干个面积相等的小三角形．已知图 1 中阴影部分面积是 294 平方分米，那么图 2 中阴影部分的 面积是______平方分米．
24 10
15
36
平方厘米．
【答案】 36 平方厘米
【例 14】一个长方形和一个等腰直角三角形如图放置，图中六块的面积分别为 1，1，l，l，2，3．大长方形
的面积是
．
2
1
1
1
1
3
【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 3 题，8 分 【解析】面积为 2 的部分可以划分为两个单位三角形，并可观察出，空白部分可以划分为 14 个单位三角形。
所以，大长方形的面积为 1+1+14+3=19。 【答案】19
【例 15】如右图，一个面积为 2009 平方厘米的长方形，被分割成了一个长方形、两个等腰直角三角形、三
个梯形．已知除了阴影长方形外，其它的五块面积都相等，且 B 是 AC 的中点；那么阴影长方形
=
1 2
×EF×DF=
81 2
，
SACGF
=
1 2
×CF×FG=
9 2
．
因为 CF=FG=3，所以 DG=DF-FG=6．
如图，可以将 4 个三角形 DGH 拼成一个边长为 DG 的正方形．
4-2-4 图形的分割 题库
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D
H
G
所以， S△ACD
S△DGH
=
1 4
×DG×DG=9，而 S△AIH
例题精讲
模块一、简单分割
【例 1】 3 个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图)，顶点 A 和 B 分别与正方形中心点重合，如 果所构成图形的周长是 48 厘米，那么这个图形覆盖的面积是__________平方厘米.
【考点】图形的分割 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级组，复试，4 题 【解析】将这 3 个正方形分割，可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和，故正方形边长为 48÷8=6
= S△DGH
=9，
所以
S阴影BFGHI
=
S
△ABC
-
S△CGF
-
S△AIH
=
81 2
- 9 -9=27(平方厘米)． 2
即阴影部分的面积为 27 平方厘米．
【答案】 27 平方厘米
【例 11】正方形 ABCD 与等腰直角三角形 BEF 放在一起（如图），M、N 点为正方形的边的中点，阴影部 分的面积是 14cm2，三角形 BEF 的面积是____ cm2。
2 2 4 ．根据 58 2 60 ，则①与③一共是 60 4 15 格，所以①与③是 3 5 的长方形．所以正 方形边长是①的直角边长的 5 倍，等腰直角三角形直角边长是①的直角边长的 7 倍，则④的格数为 8 格，⑤的格数为 10 格，④、⑤这两块的面积差是10 8 2 (格)，1 格的面积为 4，所以④、⑤这 两块的面积差为 4 2 8 ． 【答案】 8
ABCD 的面积是
平方厘米．
D
F C
E
G
A
B
【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级组，初试，9 题 【解析】这是一道几何问题，重点考察同学们对等腰直角三角形性质的认识．
方 法 一 ： 在 长 方 形 ABCD 中 ， 由 于 四 边 形 AEFG 是 直 角 梯 形 ， GAE 45 ， 可 知 DGF DFG CFE FEC EAB BEA 45 ，所以， △DGF 、 △CEF 、 △ABE 都是等腰 直角三角形．故可将长方形 ABCD 分割，如图 6：
D
F C
E G
A
B
显然， S梯形AEFG 10S△CEF ， SABCD 24SCEF ，
S ABCD
24 10
S梯形AEFG
24 15 36 平方厘米． 10
方法二：在直角梯形 AEFG 中， AE ∥GF ，由 GAE 45 ，可知 GDF 45 ，因为直角三角形 GDF
与 ABE 的 斜 边 GF∶AE 2∶3 ， 所 以 直 角 边 DF∶AB 2∶3 ， 故 FC∶AB 1∶3 ． 于 是 ，
F
A
MD
N
B
CE
【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 8 题 【解析】因为 M、N 是中点，故我们可以将该图形进行分割，所得图形如下
F
A
MD
N
B
CE
图形中的三角形面积都相等，阴影部分由 7 个三角形组成，且其面积为 14 平方厘米，故一个三角形的面 积为 2 平方厘米，那么三角形 BEF 的面积是 18 平方厘米。 【答案】18 平方厘米
（厘米），则图中每个分割得到的小正方形边长为 6÷2=3（厘米），所以这个图形覆盖的面积为 6×6×2+3×3×2=90（平方厘米）。 【答案】 90 平方厘米
【例 2】 正方形 ABCD 的面积是 1 平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方 形(如图)，求大正方形的面积．
A
________ 倍.
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【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 6 题，4 分
【解析】阴影部分是大正方形的 0.5×0.5×0.5×0.5= 1 ，所以正方形是阴影的 16 倍 16
【答案】16 倍
【例 4】 正三角形 ABC 的面积是 1 平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边 形(如右图)，求六边形的面积．
4-2-4.图形的分割
知识点拨
几何面积问题除了利用常规的五大模型、各种公式求得之外，还可以用图形分割的思想来做。我们发现， 在迎春杯几何问题中，这类题目很多。掌握好这种思想方法，可以帮助我们解决很多几何难题。 解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性 质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。 解题思想：这其实就是一种化整为零的思想，各位同学不仅要学会几何题中的这种方法，更要细细体味这种 思想在解决各种问题中的妙用。
①1
①2
【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】图 1 中阴影部分占整个三角形面积的 12 ，图 2 中阴影部分占整个三角形面积的 16 ，故图 2 中阴影
25
49
部分的面积为 294÷ 12 16 =200(平方分米)． 25 49
【答案】 200 平方分米
【例 8】 右图中的大正方形 ABCD 的面积是 1，其它点都是它所在的边的中点。请问：阴影三角形的面积 是多少？
B
D
C
【考点】图形的分割 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有 9 个小正方形组成，所以，大正方
形的面积是：1 9 9 (平方米)． 【答案】 9 平方米
【例 3】 将边长为 a 的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三 个正方形，依此规律，继续下去，得到下图那么，边长为 a 的正方形面积是图中阴影部分面积的
SA HIG
=
1 4
×
S正方形AIGD
=
1 4
×
62
=9.而四边形
IGFB
为长方形，有
BF=AD=DG=6(厘米)，
GF=3(厘 米 )， 所 以 S长方形IGFB =6×3=18． 阴 影 部 分 面 积 为 A HIG 与 长 方 形 IGFB 的 面 积 和 ， 即 为 9+18=27(平方厘米)．
A
D
H
I
G
EB
FC
方法三：如图，为了方便叙述，将图 6-10 中某些交点标上字母．
A
D
H
I
G
EB
FC
易知三角形 BIE、CGF、AIH、DGH 均为等腰直角三角形．
先求出等腰直角三角形 AHI、CGF 的面积，再用已知的等腰三角形 ABC 的面积与其作差，
即为需求阴影部分的面积．有
S
△ABC
=
S△DEF
P
【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，第 1 题 【解析】去掉两边的弓形之后，中间部分面积是整个圆的一半，横竖两块中间部分面积和就等于圆面积，所
以重叠部分面积等于 4 个 P 面积的和。即正方形面积是 P 的 4 倍。 【答案】 4
4-2-4 图形的分割 题库
其中阴影部分占有 6 个小等腰三角形， S△ABC =9×9÷2=40.5(平方厘米)，所以阴影部分的面积为 40.5÷9×6=27(平方厘米)．
A
D
H
I
G
EB
FC