绝对值与相反数(提高)知识精讲
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绝对值与相反数(提高)
【学习目标】
1.借助数轴理解绝对值和相反数的概念;
2.知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系;
3.会求一个数的绝对值和相反数,并会用绝对值比较两个负有理数的大小;
4.通过应用绝对值解决实际问题,体会绝对值的意义和作用.
【要点梳理】
要点一、相反数
1.定义:如果两个数只有符号不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数.特别地,0的相反数是0.
要点诠释:
(1)“只”字是说仅仅是符号不同,其它部分完全相同.
(2)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分,不能漏掉.
(3)相反数是成对出现的,单独一个数不能说是相反数.
(4)求一个数的相反数,只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质:
(1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁,且与原点的距离相等(这两个点关于原点对称).
(2)互为相反数的两数和为0.
要点二、多重符号的化简
多重符号的化简,由数字前面“-”号的个数来确定,若有偶数个时,化简结果为正,如-{-[-(-4)]}=4 ;若有奇数个时,化简结果为负,如-{+[-(-4)]}=-4 .
要点诠释:
(1)在一个数的前面添上一个“+”,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5)=-5.(2)在一个数的前面添上一个“-”,就成为原数的相反数.如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3.
要点三、绝对值
1.定义:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值,例如+2的绝对值等于2,记作|+2|=2;-3的绝对值等于3,记作|-3|=3.
要点诠释:
(1)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即对于任何有理数a 都有:
(2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大;离原点的距离越近,绝对值越小. (3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的. 2.性质:
(1)0除外,绝对值为一正数的数有两个,它们互为相反数. (2)互为相反数的两个数(0除外)的绝对值相等.
(3)绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或0. 要点四、有理数的大小比较
1.数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小. 如:a 与b 在数轴上的位置如图所示,则a <b . 2.法则比较法:
两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下:
两数同号
同为正号:绝对值大的数大
同为负号:绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数 -数为0
正数与0:正数大于0
负数与0:负数小于0
要点诠释:
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:(1)分别计算两数的绝对值;(2)比较绝对值的大小:
(3)判定两数的大小.
3. 作差法:设a 、b 为任意数,若a-b >0,则a >b ;若a-b =0,则a =b ;若a-b <0,a <b ;反之成立.
(0)||0
(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
4. 求商法:设a 、b 为任意正数,若
1a b >,则a b >;若1a b =,则a b =;若1a
b
<,则a b <;反之也成立.若a 、b 为任意负数,则与上述结论相反.
5. 倒数比较法:如果两个数都大于零,那么倒数大的反而小. 【典型例题】 类型一、相反数的概念
1.若m 与n 互为相反数,则|m+n ﹣2|= . 【答案】2
【解析】根据互为相反数的两个数的性质,可知0m n +=,代入上式可得:|m+n ﹣2|=|0﹣2|=2.
【总结升华】若,m n 互为相反数,则0m n +=或m n =-. 举一反三:
【变式】若|x ﹣2|与(y+3)2
互为相反数,则x+y= . 【答案】-1.
∵|x ﹣2|与(y+3)2
互为相反数, ∴|x ﹣2|+(y+3)2=0, ∴x ﹣2=0,y+3=0, 解得x=2,y=﹣3, ∴x+y=2+(﹣3)=﹣1. 故答案为:﹣1.
类型二、多重符号的化简
2.化简下列各数.
①(6)--; ②(6)-+; ③ [(6)]--+;④{[(6)]}---+;⑤{[(6)]}---- 【答案】①6; ②6-;③6;④-6;⑤6
【解析】①(6)--表示-6的相反数,所以(6)6--=; ②(6)-+表示+6的相反数,所以(6)6-+=-;
③ [(6)]--+前面共有2个“-”号,为偶数个,而“+”可以省略,所以[(6)]6--+=; ④{[(6)]}---+中共有3个“-”号,即奇数个,而“+”可以省略,所以{[(6)]}---+=-6;
⑤{[(6)]}----中共有4个“-”号,即偶数个,而 “+”可以省略,所以{[(6)]}6----= 【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单.即数一下数字前面有多少个负号.若有偶数个,则结果为正;若有奇数个,则结果为负. 类型三、绝对值的概念
3.如果|x|=6,|y|=4,且x <y .试求x 、y 的值.
【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6,4和-4的绝对值都等于4,所以要注意分类讨论. 【答案与解析】因为|x|=6,所以x =6或x =-6; 因为|y|=4,所以y =4或y =-4;
由于x <y ,故x 只能是-6,因此x =-6,y =±4.
【总结升华】已知绝对值求原数的方法:(1)利用概念;(2)利用数形结合法在数轴上表示出来.无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数,则此数有两个,且互为相反数.此外,此题x =-6,y =±4,就是x =-6,y =4或x =-6,y =-4. 举一反三:
【变式】如果数轴上的点A 到原点的距离是6,则点A 表示的数为 .
如果|x -2|=1,那么x = ;
如果|x |>3,那么x 的范围是 . 【答案】6或-6;1或3;x>3或x<-3 类型四、比较大小
4. 比较下列每组数的大小: (1)-(-5)与-|-5|;(2)-(+3)与0;(3)4
5
-
与34--;(4)π-与| 3.14|--.
【思路点拨】先化简符号,去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”,然后比较.
【答案与解析】 (1)化简得:-(-5)=5,-|-5|=-5. 因为正数大于一切负数,所以-(-5)>-|-5|.
(2)化简得:-(+3)=-3.因为负数小于零,所以-(+3)<0. (3)化简得:3344--
=-.这是两个负数比较大小,因为4416
5520
-==
,