薄板弯曲问题
弹性力学：平板弯曲问题 (2) 薄板弯曲经典解法
t
2
yz zdz
（10.10）
将式（10.3）和（10.5）代入式（10.9），（10.10）得
Mx
D
2w x2
2w y 2
,
My
D
2w y 2
2w x2
M
xy
D(1
)
2w xy
（10.11）
FQx
D
x
2w x2
2w y 2
,
FQy
D
y
2w x2
2w y 2
将式（10.3）和（10.5）与（10.11）进行比较， 可以得到用内力矩表示的薄板应力
D 4 w q
（10.7） （c） （10.8a）
即
4w x 4
2
4w x 2 y
2
4w y 4
q D
（10.8b）
方程（10.8）称为薄板的弹性曲面微分方程或 挠曲微分方程。它是薄板弯曲问题的基本方程。 从薄板中取出微元体进行平衡分析，同样可推导 出该方程式。
纵上所述，薄板弯曲问题归结为：在给定的薄 板侧面的边界条件下求解挠曲微分方程。求得挠 度w后，然后就可以按公式（10-3）、（10-5）和 （10-7）求应力分量。
薄板的小挠度弯曲理论，普遍采用以下三个计
算假定：
（1）、变形前垂直于中面的任一直线线段，变形 后仍为直线，并垂直于变形后的弹性曲面，且长度 不变。这就是Kichhoff的直法线假设；
（2）、垂直于板中面方向的应力分量σz、τzx 、 τzy较小，它们引起的形变可以略去不计，但它们本 身却是维持平衡所必须的，不能不计。
薄板弯曲问题的经典解法
第10章 薄板弯曲问题
在弹性力学中， 将两个平行面和垂 直于该平面的柱面 所围城的物体称为 平板，简称为板， y 如图10-1所示。
薄板弯曲问题
（2）小挠度弯曲：挠度t，（本节讨论） 大挠度弯曲：挠度=t 薄膜问题 ：挠度t
（3）薄板弯曲的基本假定：（Kirchhoff-Love假定）
a、假定应变分量z=0，xz=0，yz=0
说明任意根法线上,
z
w z
0
w
w( x,
y)
薄板全厚的所有各点 具有相同的挠度
2020年6月13日星期六
专题：薄板弯曲问题
2
xz
w x
u z
0
yz
w y
v z
0
结论：
u w z x
v w z y
弯曲变形前垂直于中面的法线，变形后仍为直线，且 长度不变，称为直法线假定，它和梁弯曲的平面假定 类似。
b、薄板弯曲时，垂直于板面的应力分量z很小，可以 忽略不计，纵向间无挤压，所以物理方程与平面问题
的物理方程完全一样。
z
xz
6 FSx t3
t2 (
4
z2)
yz
6FSy t3
(t2 4
z2)
z
2q( 1 2
z )2 (1 t
z) t
2020年6月13日星期六
专题：薄板弯曲问题
17
各应力最大值
x , y , xy
x z , yz
( x )z t 2
6M x t2
( y )z t 2
2020年6月13日星期六
专题：薄板弯曲问题
4
三、弹性曲面的微分方程
薄板的小挠度弯曲问题，采用按位移求解，所以，取 薄板挠度w为基本未知量
1、用w表示应力，应变和位移
u w
z
x
v w z y
v
w y
第五章 薄板弯曲问题有限元讲义
第五章薄板弯曲问题有限元法第一节薄板弯曲问题的有关概念一、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平行的表面所构成的片状结构，其间距称为板厚。
同时，定义等分板厚的面为中面，当中面为平面时，称为平板，当中面为曲面时则称为壳体。
2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪力）作用下，发生弯扭而使薄板中面上各个点沿垂直中面方向发生的横向变形称为挠度，记为w。
3．薄板的两类问题：（1）平面应力板问题，载荷作用于板面内—（薄膜单元）；在拉、压力和面内切力作用下，板内将产生薄膜内力，从而使板产生面内变形。
（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) 几何尺寸：板的厚度远较长与宽的几何尺寸为小(一般厚度与板面最小尺寸之比小于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中面的横向载荷作用。
c) 小挠度条件；即挠度与板厚之比值较小，一般为w/t ≤1/5。
研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中面为xoy平面，厚度方向为z轴方向，3．板的一般问题：一般情况下，板既可承受横向载荷作用，也可同时承受平行于板中面的膜载荷作用。
(1) 薄板：在小挠度情况下，当两种载荷同时作用时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作用可按平面应力问题进行处理，而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内力和弯曲内力的叠加便是一般载荷综合作用的结果。
（2）厚板：当1<w／t<5时为大挠度板,w／t≥5时为特大挠度板。
在大挠度情况下，薄板面内变形和弯扭变形之间将相互影响，即横向载荷也可能产生膜内力和面内变形，而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形。
这时描述薄板变形的数学方程是非线性的，应采用更复杂的理论分析方法。
二．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中面的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲面，且法线线段没有伸缩，板的厚度无变化。
这样，垂直于中面的正应变便可忽略，即εz=0根据几何方程，可得因此挠度只是x,y的函数，表示为w=w(x,y)，也即薄板中面上法线的各点都有相同位移。
薄板弯曲和薄壳问题
y
Ni 0
0
Ni
刚度矩阵b 刚度矩阵S
kbe se Bb T DBb dxdy kSe se BS T BS dxdy
Kb kbe KS kSe
总体刚度矩阵 K Kb KS
等效节点力
q x, y
Qe
se
N T
0
dxdy
0
Q Qe
K Q
§4 薄壳变形的假设
1
(i k,l, m, n)
M DBe
T
U e 1 2
1
se
D
1
dxdy
1 2
e
T
se BT DBdxdy e
1 e T ke e 2
ke se BT DBdxdy
K ke
总变形能
U
U e
1 T
2
K
不计边界外力，只有面内横向载荷时的外力功为
1
(i=k, l, m, n)
三、单元刚阵
w N(x, y)e
1
x
2
x
2
1
1
y
2 y2
w
2
x
2
1 2
y
2
N e [B] e
1
xy
2 2 xy
应变矩阵
2 2 xy
B Bk Bl Bm Bn
6xi x a4
Dp
1
z
h
M x
2
h
x
zdz
2
h
M xy
2
h
xy
zdz
x
2
h
M y
2
h
y
薄板弯曲问题
第五章薄板弯曲问题机场学院2011/11/21CAUCCAUC两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，简称为板。
bhyxzCAUCCAUC垂直于板面——平板弯曲问题byxzCAUCCAUC1、小变形假设：虽然板很薄，但它的挠度远小于板的厚度。
byxz)(0==z u 0)(0==z v 因为：2、板中面各点都没有平行于中面的位移，只发生弯曲变形。
x u x ∂∂=εy v y ∂∂=εyu x v xy ∂∂+∂∂=γ所以：0)(0==z x ε0)(0==z y ε0)(0==z y x γCAUC CAUC3、沿板的厚度方向挤压变形忽略不计。
byxz=∂∂=zw z ε所以：),(y x w w =在薄板中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都具有相同的挠度。
CAUCCAUC保持在挠曲面法线上。
byxz应力分量：zx τzy τzσ远小于其余三个应力分量，其引起的形变忽略不计。
0=zx γ0=zx γ0=∂∂+∂∂xw z u 0=∂∂+∂∂yw z v 即：等价于：这样=∂∂=z w z ε0=zx γ0=zx γ中面法线不伸缩，仍为变形后曲面的法线CAUC CAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=薄板弯曲与平面应力问题有相同的物理方程。
CAUCCAUC1、几何方程byxz0=∂∂+∂∂x w z u 0=∂∂+∂∂y w z v xw z u ∂∂−=∂∂y w z v ∂∂−=∂∂),(2y x f z yw v +∂∂−=),(1y x f z xwu +∂∂−=0)(0==z u 0)(0==z v 因为：),(),(21==y x f y x fCAUCCAUCzxu ∂−=zyv ∂−=zxwx u x 22∂∂−=∂∂=εzyw y v y 22∂∂−=∂∂=εz yx w y u x v xy∂∂∂−=∂∂+∂∂=22γ221xw x ∂∂−=ρ221ywy ∂∂−=ρyx wxy ∂∂∂−=221ρ令：xx zρε=yy z ρε=xyxyz ργ=得：CAUCCAUCw y x y x xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨=⎭⎬⎫⎩⎨⎧222221111ρρρρ{}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεε写成列阵形式：应变列阵：CAUCCAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=xyxy x y y y x x EEE γµτµεεµσµεεµσ)1(2)(1)(122+=+−=+−={}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεεyx w Ez x w y w Ez y wx w Ez xy y x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂∂+∂∂−−=222222222221)(1)(1µτµµσµµσCAUCCAUCyx w Ez xw y w Ez yx xyy x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂+∂−−=2222222221)(1)(1µτµµσµµσ其它几项应力：w yh z E w xh z E zy zx22222222)4()1(2)4()1(2∇∂∂−−=∇∂∂−−=µτµτw hz h z Eh z 4223)1()21()1(6∇+−−−=µσCAUCCAUC在薄板的上表面有：qh z z −==2)(σ得：q w Eh =∇−423)1(12µ令：)1(1223µ−=Eh D qw D =∇42、微分方程CAUCCAUC xyab边界条件：0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(220220220220=∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=========b y b y y y a x a x x x xww x ww x ww x w w qw D =∇4微分方程：四边简支矩形薄板的重三角级数解答——纳维叶解法CAUCCAUC设重三角级数解为：b yn a x m A w m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==代入微分方程：qb yn a x m A b n am D m n mn =+∑∑∞=∞=πππsin sin )(1122224b yn a x m C q m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==将),(y x q q =也展成重三角级数：CAUCCAUC222226)(16bn a m Dmn q A mn +=π（m=1,3,5, m=1,3,5, ………… n=1,3,5, n=1,3,5, …………）∑∑∞=∞=+=...5,3,1,...5,3,12222260)(sin sin 16m n bn a m mn b yn a x m D q w πππ得挠度的表达式：CAUC CAUC荷代替q ，得：dxdyP q =b n a m bn a m abD P dxdy b n a m dxdy P b n a m abD A mn ηπξππηπξππsin sin )(4sin sin )(4222224222224+=+=CAUC CAUC集中载荷作用下的简支矩形板挠度表达式：b y n a x m bn a m b m a m abD P w m n ππηπξππsin sin )(sin sin 411222224∑∑∞=∞=+=M x yxzM y{}[]zDxyyx⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=ρτσσσ1zdzMhhxx∫−=22σ1、弯曲应力zdzMhhyy∫−=22σzdzMhhxyxy∫−=22τCAUC CAUCCAUC CAUC{}zdzM M M M h xy y x ∫−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=22}{σ完成积分：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ρρ1][1][12}{3D D hM ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=21000101)1(12][23µµµµEh DCAUCCAUC2b2ayxzlmn kw θ yθ x（1）节点位移单元任一节点有三个位移分量：{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂−∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i i i yi xi i i x w y w w w )()(θθδ{}{}Tyk xk k ynxn n ymxm m yl xl li w w w w θθθθθθθθδ={}{}T T kT nT mTli δδδδδ=CAUCCAUC31231131029283726524321xya y x a y a xy a y x a xa y a xy a x a y a x a a w +++++++++++=写成矩阵形式：{}a xy yx yxyyx xy xy xy xw ]1[33322322=或：{}a y x M w )],([=CAUCCAUC{}a xy yx yxy yx xy xy xy xw ]1[33322322={}a xy xyxy xy x yw x ]332020100[2322=∂∂=θ{}a y y x y xy xy x xw y ]302302010[3222−=∂∂−=θCAUC CAUC⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨654310000110000001a a a a y x y x y x y x v u v u n nn n m m m m n n m m {}[]{}a A e=δ[]{}[][]{}a A A A e 11−−=δ{}[]{}eA a δ1−=[]{}[][]{}{}eey x N A y x M a y x M w δδ)],([),(),(1===−A[][]k nm lN N N N y x N =),(形函数CAUCCAUC⎥⎥⎦⎤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=111,111,21181][2222222222222222a x x b y y a x x x b y y b y y a x x y b y a x b y y a x x b y y a x x N i i i i i i i i ii i i i （i ＝l ，m ，n ，k ）单元刚度阵：ee xy y x B N y x y x w y x y x }]{[}]{[2211112222222222δδρρρρ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧CAUCCAUC][][k n m l B B B B B =单元内力：eB D M }]{][[}{δ=[][][][]dxdy B D B k Ts ee∫=单元刚度阵：[]{}{}Q K =δ整体方程：。
薄板弯曲问题
略不计。取 εz =0
，因而有：
• 因此，板内各点的挠度w 与z 坐标无关，只是x、y 的函数。
• 2. 直线假设
• 在薄板弯曲变形前垂直于板中面的直线，在簿板弯曲变形后仍为直线， 且垂直于弯曲后的中面。这说明在平行于中面的面上没有剪应变，即：
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7.1 薄板的弯曲变形
• 3. 正应力假设 • 中面上的正应力远小于其他应力分量的假设：平行于中面的各层相互
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7.2 矩形薄板单元分析
• 最后两项的选取是使单元在边界上有三次式的形式。按照式（7.20） 可以算出转角，即：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 将矩形单元的4 个节点坐标(ξ i , η i ) 分别代入式（7.20），就可以得 到用12 个参数来表示的节点位移分量的联立方程组，求解这12 个方 程，从中解出a1～a12，再代入式（7.21），经归纳并整理后就可以改 写成如下的形式：
• 或者写成标准形式，即：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 其中 • 如果把形函数写成通式，即：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 于是有：
• 其中，
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第八章 班级气氛的经营与管理
• 知道最好的一切，且将之发挥至极致，才 是成功的生活。
• 未来我们会创造一个更经济、更有效率的 世界，但是让人担心的是，人们却没有现 在过得幸福。
• 为学生营造良好的班级气氛，提供给学生优质的 学习和生活环境，让学生快乐、健康地在班级中 成长是班级管理者的义务和责任。
2022/8/29
24
一、班级气氛的涵义与作用
机械工程用有限元法学习笔记(四)
薄板弯曲问题的有限元法一、 薄板弯曲问题的基本方程什么是薄板？薄板就是指厚度t 远小于其长度、宽度的板。
1. 三个基本假设（克希霍夫假设）： (1) 法线假设，εz =0,γyz =γzx =0 (2) 正应力假设，σz <<σx ,σy ,τxy (3) 小挠度假设，w<t/4根据假设，可以得到位移分量()()()()()(),,,,,,,,,,, x y z u x y z z x x y z v x y z z y x y z x y ωωωω∂⎧=-⎪∂⎪∂⎪=-⎨∂⎪⎪=⎪⎩式4-1图 1 薄板弯曲后某点B 的位移2. 应变分量{}222222x y z x z y x y ωεωεεεω⎧⎫∂-⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-23. 曲率{}222222x y z x y x y ωχωχχχω⎧⎫∂-⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-3 22=x x ωχ∂-∂——薄板弹性曲面在x 方向的曲率22=y yωχ∂-∂——薄板弹性曲面在y 方向的曲率2=z x yωχ∂-∂∂——薄板弹性曲面在x 方向和y 方向的扭率4. 应力分量与应变分量间的关系：{}[]{}2222222222221 11D Ez xy Ez x y Ez x y σεωωμμωωμμωμ=⎧⎫⎛⎫∂∂-+⎪⎪ ⎪-∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫∂∂⎪⎪=-+⎨⎬ ⎪-∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪--∂∂⎪⎪⎩⎭式4-4 5. 线力矩{}()2222222101012110022x y z x M Et M M y M x y ωμωμμμω⎧⎫∂-⎪⎪⎡⎤∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬⎢⎥∂-⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎪⎪⎢⎥∂⎣⎦-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-5a广义应力与广义应变之间的关系式{}[]{}D M χ= 式4-5b式中：[D]—薄板弯曲问题的弹性矩阵6. 薄板弯曲问题的基本方程（双调和方程）()32222222121Et p xx y y ωωωμ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂∂-⎝⎭ 式4-6()32121Et μ-——薄板弯曲刚度 二、 矩形薄板单元分析 1、矩形薄板单元图 2 矩形薄板单元2、位移函数22123456322333789101112 a a x a y a x a xy a y a x a x y a xy a y a x y a xy ω=+++++++++++ 式4-73、形状函数[]{}k i i xi xi yi yi j j xj xj yj yj k kxk xk yk y l l xl xl yl yl N N N N N N N N N N N N N q ωωθθωθθωθθωθθ=+++++++++++= 式4-8式中：i,j,k,l ——节点号N i ，N xi ，N yi ，……，N yl ——形状函数()()()()()()()()()()2211128N 111 ,,,8111 8y i i i i i xi i i iyi i i i b N i i j h l N a x a b ξξηηξξηηξηηξξηηηξξξηηξξη⎧⎫++++--⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-++-=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪++-⎪⎪⎩⎭==， 式4-94、单元刚阵[][][][]S K TB D B dxdy =⎰ 式4-10式中：[]22222222222222222222 2222yi yl i xiyi yl ixi yi yl i xi N N N N x x x x N N NN B y y y y N N N N x yx yx yx y ⎡⎤∂∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂=⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦式4-11 5、节点力与节点位移的关系式{}[]{}F K q = 式4-12三、 三角形薄板单元分析1、三角形薄板单元当薄板具有斜交边界或曲线边界时，可采用三角形单元较好地反映边界形状。
弹性力学 07章 薄板弯曲问题
要点：利用小挠度理论建立薄板弯曲问题的基 本方程，边界条件及其基本解。
主要内容： 1. 薄板的基本概念和基本假设 2. 小挠度弯曲问题基本方程 3. 薄板横截面内力 4. 薄板边界条件
§7.1 薄板基本概念和基本假设
工程构件中板的形式多样
根据几何形状和变形分类
板——中面为平面
(1) 形变分量 z , y z, zx 都可
以不计。
由该假设可得： w w(x, y)
v w ; u w z y z x
(9-1)
(2) 应力分量 z引起的形变可以不计。
由此可得物理方程：
x
1 E
( x
y );
y
1 E
( y
x );
xy
2(1 E
) xy
(9-2)
(3) 薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移。
薄板弯曲内力
D
Ed 3 12(1 2
)
薄板弯曲刚度
M
x
D(2w x 2
2w) y 2
广
M
y
D(
2w y 2
2w x 2
)
M
xy
(1
)D
2w xy
义 力
广
x
2w x2
义 应
y
2w y 2
变
xy
2w xy
曲率 扭率
§7.2 基本方程
薄板平衡方程
4w x 4
2
4w x 2 y
2
4w y 4
q D
D w q 2 2
壳——
曲面
小挠度的弯曲薄板
板壳理论
薄板——宽度与厚度比值在15以上
有限元_4-薄板弯曲问题
第4章
弹性薄板弯曲问题的有限元法
板和壳是指厚度比其他尺寸要小得多的平面或曲面构件。由于它的这种几何特点，三维单 元并不适合用来分析它们的变形。因为三维单元在三个方向的尺寸应尽量接近，否则求解精度 由于“剪切自锁”(shear locking)或系统矩阵病态而大大降低，甚至得到错误的结果。所以 必须采用很细密的网格来适应板和壳的几何特征，但是这将导致有限元模型的自由度疯狂地增 长。 仿照根据梁理论建立梁单元的思路，自然想到根据板理论建立板单元。这里讨论两种板理 论，一是薄板理论，也被称为Kirchhoff 板理论，它忽略了板的横向剪切变形；另一种是Mindlin 板理论，它考虑了板的横向剪切变形的影响，适合于板的厚跨比较大的情形。后者也常被称为 Reissner 板理论[8]或中厚板理论。根据这两种理论可以建立不同的板单元。 薄板弯曲问题在理论上和应用上都具有重要意义,并有专门著作加以论述（如杨耀乾《平 板理论》）。象其它弹性力学问题一样，用微分方程、差分法等经典方法所能求解的薄板问题 很有限，一般只能解决等厚、小孔口、支承情况较简单的单跨板。故工程设计中以往多采用简 化、近似、图表等方法来解决板的设计问题。 在板的分析中，常取板的中面为xoy平面(如图)。平板结构按其厚度t与短边a的比值大小 而分为: 厚板（Thick plate）和 薄板（Thin plate)两种。
阵
[S]的显式：
五、单元刚度矩阵
由一般公式得:[K]=
t[B] [D] [B]dxdy。将几何矩阵[B]和弹性矩阵[D]的表达式代入，积分可
a b T -a -b
得薄板弯曲问题矩形单元的单元刚度矩阵的显示：
8
《有限元》讲义
六、荷载等效变换
由荷载等效变换的一般公式可得
第九章薄板弯曲
zx 0, zy 0 .
此，略去 z , xz和 zy。
(a)
并在空间问题的物理方程中，略去 σ z引起的形变项。因
7
薄板弯曲问题的物理方程为
说明：
1 x (σ x σ y ), E
1 y (σ y σ x ), E
xy
2(1 ) xy E
中面在变形后，其线段和面积在xy面上的投影形状保持不变。
类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问题中提出了上 述三个计算假定，并应用这三个计算假定,简化空间问 题的基本方程，建立了小挠度薄板弯曲理论。 实践证明，只要是小挠度的薄板，薄板的弯曲理论 就可以应用，并具有足够的精度。
9
思考题
• 1.试考虑在材料力学梁的弯曲问题中，是否也应用了 这三个计算假定？ • 2.在材料力学的梁弯曲问题中，采用了平面截面假设。 在薄板中有否采用此假设？
(b)
(1) 在薄板弯曲问题中，略去了次要应力引起的形变; 但在平 衡条件中，仍考虑它们的作用。 ⑵ 薄板弯曲问题的物理方程(b)与平面应力问题的物理方程 相同。但沿板厚方向，对于 x , y , xy , 平面应力问题的应力 为均匀分布，合成轴力 FN x , FNy , FNxy 。而薄板弯曲问题的应 力为线性分布，在中面为0，合成弯矩 M x ,M y和扭矩 M xy 。 ⑶ 从计算假定1、2，得出εz=γzx=γzx=0。 故中面法线在 薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。
6
弯应力 σ x ,σ y（合成弯矩 M x ,M y ） 及扭应力 xy（合成扭矩 M xy）
b 2 ~ q ( ) ,
横向切应力 zx , zy （合成横向剪力 Fsy ,Fsx ）~ q ( ), 挤压应力 z ~ q.
薄板弯曲问题-浙江大学共36页PPT资料
从薄板内取出一个平行六面体，
它的三边长度分别为d x , d y和板的厚度
图（9－2）
在x为常量的横截面上，作用着 x , y , xz 在该截面的每单位宽度上，应力分量 x
a
对中面合成为弯矩 M x
2 a
z
x
dz
2
将式（9－4）中的第一式代入并对z进行积分，得
M x 1 E 2 2 x w 2 2 y w 2 a 2 a 2 z 2 d z 1 2 ( 1 E 32 ) 2 x w 2 2 y w 2
0 取 z
由几何方程的第三式得 w0wwx,y
z
结论：中面的任一根法线上的各点都有相同的横向位移，也就等于挠度
2）应力分量 xz , yz , z 远小于其余的3个应力分量
所引起的形变可以忽略不计
z 0,zx 0,yz 0
从而有 u w,v w z x z y
可见：中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线
x
12M 3
x
z,
y
12M 3
y
z,
xy
yx
12M 3
xy
z,
zx
6 FSx 3
2
4
z2
,
yz
6 FSy 3
2 4
z2
,
z
2
q
1 2
z
2
1
z
。
（9－11）
• 由内力表示的平衡微分方程
Qx Qy q0 x y
Mx x
M yyxQx
0
MxyMy x y
Qy
0
2M x2x22x M yxy 2M y2yq0
薄板的物
薄板弯曲问题
z
y
x
将x、y、xy的表达式代入得：
zx Ez ( 3w 3w ) Ez 2w z 1 2 x3 xy2 1 2 x
zy
z
1
Ez
2
(
3w y3
3w yx2
)
1
Ez
2
2w y
2020年3月10日星期二
2020年3月10日星期二
专题：薄板弯曲问题
12
最后得
z
Et3
6(1 2 )
(1 2
z )2 (1 t
z )4w t
边界条件： z t q 板上面 2
将z的表达式代入此边界条件，得：
Et 3
12(1
2
)
4w
q
or或写成： D4w q
其中：D
Et 3
2
二、薄板弯曲的基本假定 （1）薄板弯曲时,中面为曲面,称为弹性曲面或中曲面, 中面内各点在垂直方向的位移称为挠度.
（2）小挠度弯曲：挠度t，（本节讨论） 大挠度弯曲：挠度=t 薄膜问题 ：挠度t
（3）薄板弯曲的基本假定：（Kirchhoff-Love假定）
a、假定应变分量z=0，xz=0，yz=0
19
六、边界条件
求薄板的小挠度弯曲问题，就是在满足板边的边界条件
下，由方程
D4w q
求出挠度w
下面以矩形板为例：
O
如图所示矩形板，OA边固定
a
x C
，OC边简支,AB、BC边是自由 b
边
OA边 w 0 x0
w 0 A x x0
薄板弯曲问题
7.2 矩形薄板单元分析
• 式中的9 个元素如下：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 其中
• 7.2.3 矩形单元的等效节点力和内力矩计算
• 若平板单元受到分布横向载荷q 的作用，则其等效节点力为：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 当q = q0 为常量时，将式（7.14）代入式（7.33）并进行积分，于是 得：
• 7.2.1 矩形单元的位移模式
• 将平板中面用一系列矩形单元划分，则得到一个离散的系统以代替原 来的平板，要使各单元至少在节点上存在挠度及其斜率的连续性，必 须把挠度及其在x 和y 方向的一阶偏导数指定为节点位移（或称广义 位移）。通常将节点i 的位移列阵写成以下的形式：
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7.2 矩形薄板单元分析
不挤压、不拉伸，则沿z 向的正应力可忽略，即： • 4. 小挠度假设 • 薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即：
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7.1 薄板的弯曲变形
•因
• 故有
• 因此，中面的任意一部分虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但其在xy 面上的投影形状却保持不变。
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返回
7.2 矩形薄板单元分析
上一页 下一页 返回
7.2 矩形薄板单元分析
• 最后两项的选取是使单元在边界上有三次式的形式。按照式（7.20） 可以算出转角，即：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 将矩形单元的4 个节点坐标(ξ i , η i ) 分别代入式（7.20），就可以得 到用12 个参数来表示的节点位移分量的联立方程组，求解这12 个方 程，从中解出a1～a12，再代入式（7.21），经归纳并整理后就可以改 写成如下的形式：
弹性力学第九章 薄板弯曲问题
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§9－3 薄板横截面上的内力
（1）应力分量 x
由公式（9－4）知， x 合成的主矢量为零；
对中面合成的弯矩
2
M x 2 z xdz
把（9－4）代入上式
M x
1
E
2
2w x2
2w y2
2 z2dz
§9－1 有关概念及计算假定
计算假定：
薄板的小挠度弯曲理论，三个计算假定。
（1）垂直于中面方向的正应变可以不计。即
z 0
由几何方程可得
y
w 0, w w x, y
z
0
x
b
/2 /2
z 图9－1
也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都 具有相同的位移，其值等于挠度。
M yx
2 2
z yxdz
E 3
121
2w xy
M xy
Fsy
2
2
yz
dz
12
E 3 1 2
2w y
（d） （e） （f）
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§9－3 薄板横截面上的内力
zx 0, yz 0
这里与梁的弯曲相同之处，也有 不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截 面，板的弯曲有两个方向，要考虑两 个横截面上的应力。
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§9－1 有关概念及计算假定
结合第一假定，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成 为弹性曲面的法线。
薄板弯曲问题
M xy zdzdy
' xy - h/2
- h/2 h/2
- h/2 h/2
扭矩
M
' yx
yx zdzdx
- h/2
h/2
内力与应力的关系
Mx 3 Eh M My 2 12 1 M xy 1 0
2
x y z xy
弯扭变形列阵
几何方程
2w 2 2 4 6 7 x 2 8 y 611xy x 2 w 2 2 6 2 9 x 610 y 612 xy x 2 w 2 x 2 y 3 x 2 3 y 2 5 8 9 11 12 xy
N x1 i 1 0
b2 c2 d 2 0 N x1 1 N x1 0 (2) y b i 2 a2 e2 N x1 最后利用本点1，确 0 (3) , (4) x i 4,1 定a2=b/8，代回
(1)
弹性薄板矩形（R12）单元
弹性薄板矩形（R12）单元
薄板的形函数可以用 广义坐标法，也可以用试 凑法得到。由于单元自由 度为12，因此可有12个广 义坐标，位移模式可设为 如下不完全四次多项式
Q1 1 Mx1 4
My1
w3 2 y z 3
x
x3 y3
w a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3 2 2 3 3 3 a8 x y a9 xy a10 y a11 x y a12 xy
物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
第9章 薄板的小挠度弯曲问题及经典解法汇总
d
z
d
2
z
d
2
（d）
zy yz ，将（9-5）式代入（c）式， 由于 zx xz、
z E d2 2 4 ( z ) w 2 z 2(1 ) 4
E d2 z3 4 z ( z ) w F3 ( x, y ) 2 3 2(1 ) 4
称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是：L2MT-2
方程（9-8）称为薄板的弹性曲面微分方程。是薄板弯曲问题的基本 微分方程。具体求解时要考虑（板边上）薄板侧面的边界条件。
§9-3 薄板横截面上的内力及应力
一般情况下，很难使应力分量精确满足边界条件，应用圣维南原 理，应使应力组成的内力整体地满足边界条件。
2 2w 2w F D w M y D y 2 x 2 ， Sy y
M xy M yx 2w D(1 ) xy
（9-10）
图9-3
薄板内力的正负方向的规定，是从应力的正负方向的规定得出： 正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为 正；反之为负。薄板内力的正方向如图9-3所示。
平板，简称板。 （2）中面 平分板厚度d的平面称为中面。 （3）弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面。
（4）挠度 中面在 z方向上的位移。 （5）薄板 板的厚度d远小于中面的最小尺寸 b。 （3）弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面。 （如小于b/8至b/5 ）的平板。
2. 荷载的分解
将板受到的一般荷载分解为两种： 作用于中面之内的荷载（平面应力问题）。 垂直于中面的荷载（板的弯曲问题）。
（c）
（2）薄板边上的扭矩可以变换为等效的横向剪力，即扭矩的等效 剪力。总的分布剪力是：
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第九章 薄板弯曲问题
(1)具有一定的刚度，横向挠度 ； (2) 在中面位移中,w 是主要的，而纵向位 移u,v很小，可以不计；
(3)在内力中，仅由横向剪力 Fs 与横向荷
载q成平衡，纵向轴力的作用可以不 计。
第九章 薄板弯曲问题
计算假定
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
根据其内力和变形特征，提出了3个计 算假定：克希霍夫假设 1. 垂直于中面的线应变 z 可以不计。
z x 0, z y 0.
w w u z f1 ( x, y ), v z f 2 ( x, y ). x y
对 z 积分，
又由计算假定3， (u, v) z 0 0, 故 f1 f 2 0,
w w u z, v z. 得： x y
2 3
第九章 薄板弯曲问题
由下板面的边界条件
(ζ z ) z 0,
2
求出 F3 ，故更次要应力为
E 3 1 z 2 z 4 ζz ( ) (1 ) w.(e) 2 6(1 ) 2
第九章 薄板弯曲问题
求w方程
7.导出求解w的基本方程。 由上板面边界条件（属于静力平衡 条件）
定义
§9-1 有关概念及计算假定
薄板是厚度 板面尺寸的物体。 薄板的上下平行面 ( z 2 )，称为板面。 薄板的侧面，称为 板边。平分厚度的 面,称为中面 ( z 0) 。
第九章 薄板弯曲问题
比较
杆件受到纵向荷载（∥杆轴）的作用─ 杆件的拉压问题； 杆件受到横向荷载（⊥杆轴）的作用─ 梁的弯曲问题。 薄板受到纵向荷载（∥板面）的作用─ 平面应力问题； 薄板受到横向荷载（⊥板面）的作用─ 薄板的弯曲问题。
应用薄板的三个物理方程及式(b)，
得：
Ez w w ζx ( ), 2 2 2 1 x y Ez 2w 2w ζy ( ), 2 2 2 1 y x Ez 2 w xy . 1 xy
第九章 薄板弯曲问题
具体推导如下： 1. 取挠度w w( x, y )为基本未知函数。
应用几何方程及计算假定1，
w εz 0, w w( x, y ). z
第九章 薄板弯曲问题
v 用 w 表示。 2. 将u ， 应用几何方程及计算假定2， zx 0, zy 0 ∴ u w v w
(b)
第九章 薄板弯曲问题
说明： (1) 在薄板弯曲问题中，略去了次要应 力引起的形变; 但在平衡条件中，仍考虑 它们的作用。
第九章 薄板弯曲问题
⑵ 薄板弯曲问题的物理方程(b)与 平面应力问题的物理方程相同。 但沿板厚方向，对于 x , y , xy , 平面应力问题的应力为均匀分布， 合成 轴力 N x , N y , N xy ; 而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中 面为0，合成弯矩 M x ,M y 和扭矩 M xy 。
第九章 薄板弯曲问题
薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内 容是： 1.取挠度w(x,y)为基本未知函数。 2. 将其他未知函数─纵向位移 u,v；主要 应变分量 x , x , xy ;主要应力分量ζ x ,ζ x , xy； 次要应力分量 zx , zy 及最次要应力 ζ z 均用w来 表示。 3.导出求解w的方程。 4.导出板边的边界条件。
内力均为单位宽度上的主矢量和主矩， ∴其量纲均应降低一次长度量纲。 薄板内力是横截面上，应力向中面合成 的主矢量和主矩。 考虑上图的中面平衡条件，可得：
(a)
─合成主矢量为0,合成主矩称为扭矩,
M xy
δ 2 δ 2
w z xy d z D1 . xy
2
(b)
η xz
─合成主矢量称为横向剪力,
Fsx
δ 2 δ 2
2 xy d z D w. x
(c)
第九章 薄板弯曲问题
y面内力
η yz 沿z为二次分布，方向∥横截面。 η xz ，
第九章 薄板弯曲问题
x面内力
x面 ( 1)面积上，应力的主矢量和主矩为：
ζx
─合成主矢量为0,合成主矩称为弯矩,
Mx
δ 2 δ 2
η xy
2w 2w zζ x d z D . 2 2 x y
故
( x , y , xy ) z 0 0.
因此，中面在变形后，其线段和面积 在xy面上的投影形状保持不变。
第九章 薄板弯曲问题
类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问 题中提出了上述三个计算假定，并应用这 三个计算假定,简化空间问题的基本方程， 建立了小挠度薄板弯曲理论。 实践证明，只要是小挠度的薄板，薄 板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的 精度。
第九章 薄板弯曲问题
3.主要应变 x , x , xy 用 w 表示。
应用其余三个几何方程，并代入式(a) 得：
w w w (b) x 2 z, y 2 z, xy 2 z. x y xy
2 2 2
第九章 薄板弯曲问题
4.主要应力 ζ x ,ζ x , xy 用 w 表示。
第九章 薄板弯曲问题
⑶ 从计算假定1、2，得出 z zx zy 0, 故中面法线在薄板弯曲时保持不伸缩，
并且成为弹性曲面的法线。
第九章 薄板弯曲问题
3.中面的纵向位移可以不计，即
(u,v) z0 0
(c)
u v v u , y , xy , 由于 x x y x y
Ez 2 zx w F1 ( x, y ), 2 2(1 ) x
2
2 2 其中2 2 2 , x y
Ez 2 zy w F2 ( x, y ), 2 2(1 ) y
2
第九章 薄板弯曲问题
∵上下板面是大边界，必须精确满足 应力边界条件
b 2 ~ q( ) , 及扭应力 xy （合成扭矩 M xy） b ~ q ( ), 横向切应力 zx , zy （合成横向剪力Fsy ,Fsx ）
挤压应力
z ~ q.
第九章 薄板弯曲问题
∴ zx , zy 为次要应力， ζ z为更次要应力。 略去它们引起的形变，即得
第九章 薄板弯曲问题
6.更次要应力 ζ z 用 w 表示。 应用第三个平衡微分方程，将体力及 板面上的面力等效地移置到上板面，有
z η zx η yz . z x y
代入式(d)，并对z积分，得
E z 4 ζz ( z ) w F3 ( x, y). 2 2(1 ) 4 3
2
（板面）上，三个应力边界条件也已精
确满足。
⑷ 只有板边的边界条件尚未考虑，它 们将作为求解微分方程（f）的边界条件。
第九章 薄板弯曲问题
思考题
试比较梁的弯曲问题和薄板弯曲
问题的异同。
第九章 薄板弯曲问题
薄板内力
§9-3 薄板横截面上的内力
薄板内力，是薄板每单位宽度的横截面 上 ( 1) ,由应力合成的主矢量和主矩。 求薄板内力的目的：
第九章 薄板弯曲问题
特点
薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根
据其内力及变形的特征，又提出了三个计
算假定，用以简化空间问题的基本方程， 并从而建立了薄板的弯曲理论。
第九章 薄板弯曲问题
定义
当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，
称为薄板弹性曲面。 小挠度薄板─这种板虽然薄，但仍
有相当的抗弯刚度。它的特征是：
(ζ z ) z q,
2
得出在A域中求w的方程
D w q,
4
(f)
(g)
E D 为薄板的抗弯刚度 2 12(1 )
3
第九章 薄板弯曲问题
说明： ⑴ 在三个计算假定下，纵向位移u,v；主 要应变 x , x , xy ；主要应力 ζ x ,ζ x , xy ； 沿z向均为线性分布，在中面 ( z 0)为0； zx , zy 沿z向 次要应力（横向切应力） 为抛物线分布； 均与材料力学相似。 更次要应力（挤压应力） ζ z 沿z为三次曲线分布。
第一节
有关概念及计算假定
第二节
第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节 例题
弹性曲面的微分方程
薄板横截面上的内力 边界条件 扭矩的等效剪力
四边简支矩形薄板的重三角级数解 矩形薄板的单三角级数解 矩形薄板的差分解 圆形薄板的弯曲 圆形薄板的轴对称弯曲 习题的提示和答案 教学参考资料
第九章 薄板弯曲问题
第九章 薄板弯曲问题
⑵ 按位移求解薄板弯曲问题，只取w为
基本未知函数。在导出求w的基本方
程中应用了三个计算假定，与材料力 学解梁的弯曲问题相似。
第九章 薄板弯曲问题
⑶ 从上述推导过程可见,空间问题的6
个几何方程，6个物理方程和3个平衡微分
方程都已考虑并满足（其中应用了3个计 算假定）；并且在 z 的大边界
第九章 薄板弯曲问题
思考题
1.试考虑在材料力学梁的弯曲问题中，是
否也应用了这三个计算假定？2Leabharlann 在材料力学的梁弯曲问题中，采用了平
面截面假设。在薄板中有否采用此假设？
第九章 薄板弯曲问题
薄板问题解法
§9-2 弹性曲面的微分方程
本节从空间问题的基本方程出发，
应用三个计算假定进行简化，导出按位
移求解薄板弯曲问题的基本方程。
zx 0, zy 0 .
(a)
并在空间问题的物理方程中，略去 ζ z引起 的形变项。因此，当略去 z , xz和 zy 后， 薄板弯曲问题的物理方程为
2(1 ) 1 1 x (ζ x ζ y ), y (ζ y ζ x ), xy xy E E E