三大抽样分布
三大抽样分布(1)概率论与数理统计习题 概率论与数理统计)
x2 x2
~ F (1,1)
4. 正态总体的样本均值与样本方差的分布
正态总体 N ( , 2 ) 的样本均值和样本方差
有以下两个重要定理.
定理一
设 X1, X 2, , X n 是来自正态总体N (, 2 )
的样本, X 是样本均值, 则有
(1) X ~ N (, 2 / n).即 X ~ N (0,1)
样本, X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有
X ~ t(n 1).
S/ n
证明
因为 X ~ N (0,1), / n
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1),
且两者独立, 由 t 分布的定义知
X (n 1)S 2 ~ t(n 1). / n 2(n 1)
n
2
πn
1
n 2
1
t2 n
n1 2
,
t
t 分布的概率密度曲线如图
显然图形是关于
t 0对称的.
当 n 充分大时, 其
图形类似于标准正
态变量概率密度的
图形. 因为lim h(t)
1
t2
e 2,
n
2π
所以当 n 足够大时 t 分布近似于 N (0,1) 分布,
1,
因为 1 F
~ F (n2 , n1 ),
所以
P
1 F
F1
(n2
,
n1
)
1
,
比较后得
F1
(n2 ,
三大抽样分布课件
差异。
04
CATALOGUE
卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。
三大抽样分布知识点一览
三大抽样分布知识点一览抽样分布的概念抽样分布：从已知的总体中以一定的样本容量进行随机抽样，由样本的统计数所对应的概率分布称为抽样分布。
抽样分布是统计推断的理论基础。
如果从容量为N的有限总体抽样，若每次抽取容量为n的样本，那么一共可以得到N取n的组合个样本(所有可能的样本个数)。
抽样所得到的每一个样本可以计算一个平均数，全部可能的样本都被抽取后可以得到许多平均数。
如果将抽样所得到的所有可能的样本平均数集合起来便构成一个新的总体，平均数就成为这个新总体的变量。
由平均数构成的新总体的分布，称为平均数的抽样分布。
随机样本的任何一种统计数都可以是一个变量，这种变量的分布称为统计数的抽样分布。
三大抽样分布1. 卡方分布χ2(n)定义：若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn,均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。
2. t分布定义：设X1服从标准正态分布N(0,1)，X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量t=X1(X2/n)1/2所服从的分布为自由度为n的t分布。
3. F分布定义:设X1服从自由度为m的χ2分布，X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量F=(X1/m)/(X2/n)所服从的分布为F分布，其中第一自由度为m，第二自由度为n。
与正态分布一同构成数理统计中的四大分布。
由标准正态总体样本的适当组合构成的统计量形成数理统计中的其他三大基础分布。
所以，数理统计中总是以正态总体作为研究对象展开。
在数理统计中，"总体"、"抽样"、"样本"是三个基本概念,分位点是"小概率事件"发生的临界点，置信区间是参数估计和假设检验的核心计算问题。
概率论与数理统计(王明慈第二版)第5章数理统计的基本知识4-5
2
t 分布的概率密度函数图形如图所示
①关于x =0 对称； ②当k充分大时，其图形
k 30 k 3
与标准正态分布图形相似.
k 1
lim
k
ft ( x)
( x)
1
x2
e 2 ,xR
2π
t(30) N(0,1)
4/4/2020
13
例3. 设总体X和Y相互独立 ，且都服从 N (0,9),
X1, X 2 , , X 9和Y1,Y2 , ,Y9来自总体 X ,Y的样本，
自由度k：指χ 2
X
2 1
X
2中包含独立
k
变
量的个数.
特别地,当k=1时,若X1 ~ N (0,1)，则X12 ~ （2 1）
4/4/2020
2
其概率密度函数:
1
k 1 x
f
2
(
x)
2
k 2
(
k 2
)
x
2
e 2 , x 0;
0,
x 0.
其图形随着参数k的变化而改变，如图所示
k2
k 6
k 1
26
第五节 正态总体统计量的分布
基本内容： 一、抽样分布——统计量的分布； 二、正态总体下的抽样分布
4/4/2020
27
一、统计量的分布
统计量是对样本信息的“加 它依赖于样本,
工”, 由于样本是随机变量,
所以统计量也是随机变量,
故统计量有一定的概率分布.
我们称统计量的分布为抽样分布.
4/4/2020
在这样的背景下，十九世纪初英国一位年经
酿酒化学技师Gosset W S，他在酒厂从事试验和
概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
三大抽样分布课件(课件类别)
2 2
这就是自由度为m与n的F分布的密度函数。
课件精选
15
课件精选
16
n 40 n 10
n4 n 1
课件精选
17
若F ~ F(m, n),对给定的 (0 1),称满足
PF F1 m, n 1
的F1 (m, n)是自由度为m与n的F分布的1 分位数.
m n
u
mn 2
1eu
du
0
2
2 2
m
2
n
m1
z2
1
z
mn 2
m
n
2 2
z0
课件精选
14
第二步，我们导出 F n Z 的密度函数 m
pF
y
pZ
m n
y
1
F1 m, n
课件精选
20
例5.4.1 若取m=10,n=5, =0.05,那么从附表5上查得
F10,05 10，5 F0.9510，5 4.74
由F n, m
1
F1 m, n
F0.0510,5
1
F0.95 5,10
1 3.33
1
从而t与-t有相同分布。
P(0 t y) P(0 t y) P( y t 0)
X1
~
2(m)
p1( x1)
2
m
m
x1 2
1e
x1 2
,
2
n
1 2
5-4三大抽样分布
三、t 分布 设X1～N(0,1) , X2～ (n ) , 且X1与X2相 X1 互独立，则称变量 t
1、定义:
2
X2 n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
例2:
若总体X ~ N ( 0,1)，从此总体中取一个容量为
6的样本X 1 , X 2 ，X 6 , 设 Y ( X1 X 2 X 3 ) ( X 4 X 5 X 6 )
2 2 2
试决定常数C，使随机变量CY服从 分布 .
解:
因为
X 1 X 2 X 3 ~ N (0, 3), 所以
2
( y 0)
F
( y1 ym ) / m ( x1 xn ) / n
2 2
p( y )
( m2 n )
m
m 2
1
( ) ( )
m 2 n 2
( ) 2 ( y)
m n
1
m n
y
n n 2
m (n 2) (n 4)
2
( y 0)
1
1 2 2 3 43 5 4 6 5 6
2. F分布的性质
(1).F分布的数学期望
E(F )
n n2
(n>2)
即它的数学期望并不依赖于第一自由度m. (2).F分布的分位数
对于给定的 (0 1), 称满足条件
P F F1 (m, n)
F ( m , n ) 1
p( y )dy 1
的点F1 (m, n)为F (m, n)分布的1- 分位数. 如图所示.
三大抽样分布的理解与具体性质
数学学习与研究 2019. 12
பைடு நூலகம்
( ) 还有一个实用的结论，Γ
1 2
= 槡π．
若 X ～ Γ（ α，β） ，我 们 可 以 计 算 出 它 的 矩 母 函 数 为
MX （ t） = （ 1 － βt） －α ，下面的分布就与这个矩母函数有关． 三、三大分布的性质
（ 一） 卡方分布
1． 定义
如果 Z ～ N（ 0，1） ，且 X = Z2 ，我们就说 X 服从自由度为
1 的卡方分布，记作 X ～ χ21 ． 证明如下：
FX （ x） = P（ X ≤ x） = P（ Z2 ≤ x） = P（ － 槡x ≤ Z ≤槡x） ，
FX （ x） = FZ （ 槡x） － FZ （ － 槡x） ，
求导可得，fX （ x） =
1
1
x－
1 2
e
－
x 2
，
2 2 槡π
( ) 或者 fX（ x）
二、预备知识
如果一个随机变量 X 服从形状参数为 α，尺度参数为 β
的伽马分布，我们记 X ～ Γ（ α，β） ，那么其概率密度函数为
f（ x）
=
x
α
－1
e
－
x β
βαΓ（ α）
，α，β
＞
0，x ≥ 0，则 E（
X）
= αβ，Var（ X）
=
∫∞
αβ2 ，其中 Γ（ α） 为伽马函数，且 Γ（ α） = xα－1 e －x dx，另外 0
交流平台
JIAOLIU PINGTAI
143
三大抽样分布的理解与具体性质
◎蔡则元 （ 甘肃省兰州市榆中县兰州大学榆中校区，甘肃 兰州 730107）
常用的三种抽样分布
常用的三种抽样分布
概述
在统计学中，抽样分布是指从总体中抽取一定数量的样本，并计算样本统计量的分布。
根据中心极限定理，当样本数足够大时，样本的均值和标准差会呈正态分布。
然而，并非所有的抽样分布都符合正态分布。
本文将介绍统计学中常用的三种抽样分布，包括正态分布、t分布和χ²（卡方）分布。
1. 正态分布（Normal Distribution）
正态分布是最常见的一种抽样分布，也被称为高斯分布。
它具有以下特点： - 均值为μ，标准差为σ； - 对称分布，其曲线呈钟型，两侧尾部逐渐下降； - 总体分布和抽样分布均为正态分布； - 标准正态分布
的均值为 0，标准差为 1。
可以通过标准化计算将任意正态分布转换为标准正态分布。
正态分布在实际应用中非常重要，尤其是在假设检验和置信区间计算中的应用广泛。
2. t分布（Student’s t-Distribution）
t分布是由英国统计学家William Sealy Gosset（也被称为。
数理统计中的三大抽样分布理论系统与题型题法
一、 三大抽样分布的分布函数综 述：)a 根据大数定理和中心极限定理，但样本容量n 较大时（数学上一般要求45n >），任何分布都依概率收敛于正态分布()2, N μσ，并可标准化为()0, 1N 。
)b 现实世界和工程技术中的任何数据样本流到目前为止，不外乎()0, 1N 的函数分布，集中表现为3大抽样分布规律。
)c 考研数学中规定：()0, 1N 的分位数定义为下分位数（从图形上看为左边面积），3 大抽样分布的分位数定义都为上分位数（从图形上看为右边面积）1． ()2n χ分布（分布函数不要求掌握）量纲模型：性 质：()1{}i X ()2 可加性212~()n n χ+++()3证 明()3：由于()()()~0,10; 1i i i X N E X D X ⇒==()()()()()2224421 1,2,,3i i i i x iE X E X E X D X i n E X x edx +∞--∞=-===⎡⎤⎣⎦==()()()()()()()()()224222211222113122iii n ni i i i n n i i i i D X E X E X E n E X E X n D n D X D X nχχ====⎡⎤=-=-=⎣⎦⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑样本函数中的必需记住的数字特征()4 上分位点 α定义为()2n χ分布的分位数2． ()t n 分布（分布函数不要求掌握）{}i X 独立同分布 2~(0,1), ~(); i X N Y n X Y χ和独立 性 质：()1 t 分布密度函数()()~(0,1)t n n f x N →∞⇒()2 上分位点 α定义为()t n 分布的分位数()3 ()0, 22nEX DX n n ==>- ()4 性质T 分布具有对称性， 1()(); 45t nt n n αα-=->时，()t n Z αα≈3．(), F m n 分布（分布函数不要求掌握）X 、Y 相互独立，2~(); ~()X m Y n χχ；量纲模型：例：假定()12, X X 来自正态整体()2~0, X N σ的一个样本，求()()2122124X X P X X ⎡⎤+<⎢⎥-⎢⎥⎣⎦。
5-4三大抽样分布
2
1 2
e x2 / 2dx
3
E
(
X
2 i
)
3
D(
2
)
nD(
X
2 i
)
n{ E (
X
4 i
)
[E(
X
2 i
)]2
}
2n
4、上侧分位数（重点）
设X : 2 (n),对给定的正数(0< 1),称满足条件: P{ X 2 (n)} 的点2 (n)为 2分布的上分位点.
说明：
(1)即随机变量X 落在点2 (n)右侧的概率等于的点.
其值可以查表求得.
f (y) n1
2 分布图形：
n4
n 10
y0 y0
O
5 10 15 20
y
3、主要特征：
(1)可加性: 如果 X ~ 2(n1 ), Y ~ 2(n2 ),并且X , Y相互独立, 则 X Y ~ 2(n1 n2 )
(2) 若 2 ~ 2 (n), 则 E( 2 ) n, D( 2 ) 2n
U ~ 2(n1 ),
F ( n2 , n1 )
V
~
2 (n2 ) , 使F
U / n1 V / n2
(2) 若 t ~ t(n), 则 t 2 ~ F (1, n) (P130-习8)
简证: t : t(n) X : N (0,1), Y : 2(n),使t X
Y /n t 2 X 2 , X 2 : 2(1), Y : 2(n), F分布定义
(2)上 分位点 2 (n) 可查 2(n) 分布表求得(见P250附表5).
(3)当 n 45 时，费歇证明: 2 2(n) 近 似 N ( 2n 1 , 1).
三大抽样分布充分统计量
7/7/2020
第五章 统计量及其分布
注：
X
~
2 N(,
)
X
~
N(0,1)
n n
第23页
7/7/2020
第五章 统计量及其分布
第24页
推论5.4.1 设 x1, x2,…, xn 是来自N(, 2) 的
样本，其样本均值和样本方差分别为 x = xi/n 和 s2= (xix)2/(n1)
则有
n(X) t(n1)
则称 t1-(n)为
t(n) 的下侧1- 分位点.
7/7/2020
第15页
t1 ( n )
第五章 统计量及其分布
第16页
当随机变量t t(n) 时，称满足
P(t t1(n)) =1 的 t1(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1分位数.
分位数 t1(n) 可以从附表4中查到。
譬如 n=10,=0.05，那么从附表4上查得
则：
n 1 in 1 ( X i X ) 2 ,S n 21
n 11 in 1 ( X i X ) 2
1 n
1n
2
E(X) E(X ) , Var(X) Var(X)
n i1
i
n2 i1
i
n
E(Sn2
)
n 12, n
E(Sn21) 2,
7/7/2020
第五章 统计量及其分布
第20页
5.4.4 一些重要结论
7/7/2020
第五章 统计量及其分布
第27页
课堂练习
设X1, X2, …, Xn 是来自总体 N(, 2)的一个样本,
则
n
i 1
Xi
2
16几个常用的抽样分布与抽样分布定理
(s
0),
(s 1)
s (s) ,(12)
3
3．性质：
1）期望与方差
提示： 2
X
2 1
X
2 n
若 2 ~ 2(n)，则 E( 2)= n，D( 2)=2n
证明： 因为Xi～N(0, 1)
所以
E
(
X
2 i
)
D( Xi
) [E( Xi
)]2
1 0 1
D(
X
2 i
)
E
(
X
4 i
)
[
2 1
/
2 2
~
F (n1
1, n2
1)
29
定理2结论(3)
假定
2 1
2 2
2,
就有
t T ( X Y ) (1 2 ) ~ S 1 n1 1 n2
(n1 n2 2)
其中
S2
(n11)S12 (n2 1)S22 n1 n 2 2
即
( X Y ) (1 2 )
13
Ｔ 的概率密度为
(s) xs1e x d x (s 0),
0
f (t)
( n 1) 2
(1
t2
)
n1
2,
(12)
t
n ( n) n
2
14
2．基本性质：
(1) f ( t ) 关于 t = 0(纵轴)对称。
(2) f ( t ) 的极限为 N(0, 1) 的密度函数，即
lim f (t) (t)
标准化
定理1：设总体 X ~ N ( , 2 ) ，X1, X2,…, Xn 是
来自总体 X 的样本，
抽样分布的名词解释
4.F分布：F分布是指F统计量的分布情况。F分布常用于F检验，用于比较两组样本的方差差异是否显著。
抽样分布的类型和使用场景不同，但都在统计学中扮演着重要的角色。通过对抽样分布的了解，可以帮助我们更加准确地进行统计分析，更好地掌握数据的分布情况。
抽样分布是指根据总体数据的抽样结果的分布情况。在统计学中，通过对样本的观察，可以推断出总体的分布情况。
常见的抽样分布包括正态分布、t分布、卡方分布、F分布等。
1.正态分布：正态分布是指数据呈现出高峰在中间，两侧逐渐递减的分布形态。正态分布常用于表示自然界中许多变量的分布情况，例如人群身高、体重等。
2.t分布：t分布是指在总体方差未知的情况下，样本方差的分布情况。t分布常用于统计分析中的t检验，用于比较两组样本的差异是否显著。
浅谈统计学中三大抽样分布之——X2 分布
一
ｐ＿＠ １
１
，
） 分布即为 ｘ ） 分布 ，其密度 函数为
（ 加 ！ 一
（１ ） ｄ １ Ｏ一 Ｏ …ｅ＿ ｅ Ｏ …ｄ ｌ １ 却
ｘ ｃ ４
：
ｐｎ１ － ｅ －
０
ｃ
￣ ： －１
＝
设 “一Ｚ （ ， ｖ ｃ（） 且 “与 ｖ相 互 独 立 ，则 ） 一］ ， Ｕ ｖ ｍ＋， ＋ —Ｘ （ １ ）
浅 谈 统 计 学 中 三 大 抽 样 分 布 之
Ｂ鑫
－
Ｘ ２分 布
（ 齐 哈尔 广 播 电视 大 学 教 学 部 齐
中图 分 类 号 ： １ Ｏ２ 文 献 标 识 码 ： Ａ
黑龙 江 齐 齐 哈 尔
１ １０ ６ ０ ５１
文章编 号：０ ８ ９ ５ ２ １ ）３ ０ ６ — ２ １ ０ — ２ Ｘ（０ ２０ — １ ０ ０
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一
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ｆｌ ｃｓｌｏＯ …ｃｓ ， ｚ ＝ＰｏＯｃｓ２ ｏＯ－ １ Ｉ２ ０ｃｓ２ ｏＯ—， Ｚ ＝Ｐｉ ｌｏＯ …ｃｓＨ ｓ ｎ ｌ
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２
ｌ ０－， ＝Ｐｉ ｚ ｓ １ ｎ
：
： １ ： ：
０ｐ０， ．） （ ，ｌ … － １
嘉 。 Ｐ ｛
即 ） 服从 自由度为 ， ） ） ｃ ｌ Ｃ 分布 。 的
方法 ２ ： Ｚ—Ｎ（， 贝 一） （ ，记 Ｙ＝Ｚ ０） ０ １ Ｚ ｃ １ ） Ｐ （） Ｙ ： ＿１ １
三大抽样分布(F、t、X2)
(三)三大抽样分布(l)t分布首先，我们应把注意力放在服从t分布的t变量的构造上。
设百，叼，…，凝是来自正态总体您)的一个样本.则有：对样本均值x施行标准化变换，则有：公=与=向〜)〜秋o,D当用样本标准差S代替上式中的总体标准差b，则上式U变量改为t变量，标准正态分布N①，1)也随之改为''自由度为n-1的t分布” .记为.即：――G-〃) -.［修一V尾部概率产(x>3) =0.00155. F(r >3) >0,02自由度为n-1的t分布的概率密度函数与标准正态分布N(0, 1)的概率密度函数的图形大致类似，均为对称分布，但它的峰比N(0, 1)的峰略低一些，而两侧尾部要比N①，1)的两侧尾部略粗一点，参见图1.3-8。
当自由度超过3。
后，两者区别已很小，这时可用N9, 1)代替1号-1)・(2) /分布设百，叼，…，演是来自正态总体从(人〃)的一个样本，则其样本方差一的n-l倍(也即离差M平方和2：(々- 3)2除以总体方差的分布是自由度为n-1的Z?分布，记为才 2 (% 一1),即：2-1♦一？S - = £ - 2)2 / /〜F 伽-1)自由度为n-1的1？分布的概率密度函数在正半轴上呈偏态分布，参见图1.3-9o（3）F 分布设有两个独立的正态总体N （〃i ，/）和4），它们的方差相等。
又设x P 叼，…，/是来自N （〃i ，〃）的一个样本；Xp -一，是来自》（外，〃）的一个样 本 > 两个样本相互独立。
它f 门的样本方差比的分布是自由度为n-1和的F 分布：其中n-1称为分子自由度或第1自由度；m-1称为分母自由度或第2自由度■ F 分布的概率密度函数在正半轴上呈偏态分布，参见图l.3-10o阳131。
尸储加-1）的IK 率密度函数 n-X _次（演-五）2 1 2-1〜F （力一 L W-1）。
5.4三大抽样分布
X 1 ~ χ 2 (n1 )
X 2 ~ χ 2 (n2 )
X1,X2 相互独立，则X1+X2 ~χ2(n1+n2) 相互独立， 例1
X ~ N (µ ,σ 2 )
2
(X1,X2,X3)为X的一个样本 为 的一个样本
2 2
求 X 1 − µ + X 2 − µ + X 3 − µ 的分布。 的分布。
1-α α α
t1−α (n)
tα (n) t1−α (n)
（2）对称性
t1−α (n) = −tα (n)
求t 0.05 (10)
三、 F—分布 分布
问题：1/F服从什么分布？
1、定义 若X~χ2(n1)，Y~χ2(n2) ，X,Y独立，则 、 独立， ， 独立
X n1 F= ~ F (n1 , n2 ) Y n2
称为第一自由度为n1 ，第二自由度为 2的F—分布， 第二自由度为n 分布， 称为第一自由度为 分布 其概率密度为
n1 −1 n1 + n 2 n1 / 2 2 )(n1 / n2 ) y Γ( 2 , h( y ) = n1 n2 n1 ( n1 + n2 ) / 2 Γ( 2 )Γ( 2 )(1 + n y ) 2 0, y≤0
解：a=1/20, b=1/100
2.设t 1−α (n)为t分布的1 − α分位数 P (T < t 1−α (n)) = P (| T |> t 1−α (n)) =
1-α 2α
P(T < − t 1−α (n)) =
α
三、有关正态总体的几个主要结果
X −µ X 1 , X 2 ,⋯, X n ~ N ( µ , σ 2 ) 则 U = ~ N (0, 1) 1、若 、
三种重要的统计分布和分位数
0.5 n=2
n=4
0.4
n=8
n=16
0.3
0.2
0.1
00
5
10
15
20
图 13.1 不同自由度 2 分布的密度函数 **********************************************************
2 分布有重要意义的原因之一是下面的定理。
定理 设 X1, X2,, X n 是来自正态总体 N , 2 的样本，其样本均值和样本方
Y
~
2 n或Y
~
2 n
。
2 分布随机变量具有可加性，即若 X1`, X2 独立， X1 ~ 2 m, X 2 ~ 2 n ，则 X1 X 2 ~ 2 m n。且若 X ~ 2 n ，则 E X n, Var X 2n。
**********************************************************
最大似然估计量，并判断是否为无偏估计，若不是无偏估计尝试给出无偏校正， 并比较估计的有效性。
验证 1
2X
和2
n1 n
max
1 k n
Xk
都是参数 的无偏估计，并比较它们的有效
性。
例 14.4.2 设元件的寿命服从指数分布 f x e x x 0。为了了解元件寿
2
1 2
P
X
u0.975
1
2P
X
u0.975
1 2 1 0.975 0.95.
**********************************************************
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P{F F (n1, n2 )}
( y)dy
F ( n1 , n2 )
的点 F (n1, n2 ) 为 F (n1, n2 ) 分布的上 分位点.
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例4 设 F (n1, n2 )分布的上分位点满足
P{F F (n1, n2 )}
( y)dy ,
F (n1 , n2 )
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例3 设 T ~ t(n), t(n) 的上 分位点满足
P{T t (n)}
t( y; n)dy ,
t (n)
求 t (n) 的值, 可通过查表完成.
t0.05(10) 1.8125, 附表3-1
t0.025(15) 2.1315. 附表3-2
在Matlab中求解
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3. F分布
设U ~ 2(n1 ), V ~ 2(n2 ), 且U , V 独立, 则称
随机变量 F
U V
/ n1 / n2
服从自由度为( n1 ,
n2 ) 的
F
分
布, 记为 F ~ F (n1, n2 ).
随机数演示
分布函数与密度函数演示
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F (n1, n2 )分布的概率密度为
费舍尔(R.A.Fisher)证明:
费舍尔资料
当
n
充分大时,
2 (n)
1 2
(
z
2n 1)2.
其中 z 是标准正态分布的上 分位点.
利用上面公式,
可以求得 n 45 时, 上 分位点的近似值.
例如
2 0.05
(50)
1 2
(1.645
99)2 67.221.
而查详表可得
2 0.05
(50)
求 F (n1, n2 ) 的值, 可通过查表完成.
F0.025(7,8) 4.90, 附表5-1 F0.05(14,30) 2.31 . 附表5-2
在Matlab中求解
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F 分布的上 分位点具有如下性质 :
67.505
.
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2. t 分布
设 X ~ N (0, 1), Y ~ 2(n), 且 X , Y 独立,
则称随机变量t X 服从自由度为n 的 t Y /n
分布, 记为 t ~ t(n).
学生氏资料
t 分布又称学生氏(Student)分布. 随机数演示
t(n) 分布的概率密度函数为 分布函数与密度函数演示
所以
X
2 1
,
X
2 2
,
,
X n2也相互独立,
根据 分布的可加性知
2
n i 1
Xi2
~
n 2
,
2.
2 (n)分布的概率密度曲线如图.
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2 分布的性质
性质1 ( 2 分布的可加性)
设 12 ~ 2(n1 ),
2 2
~
2(n2 ),
并且
2 1
,
2 2
独
立,
则 12
2 2
~
2 (n1
(
y)
n1
n2
n1
n1
2
n1 1
y2
2 n2
n1 n2
n1 2
n2 2
1
n1 y n2
2
,
y 0,
0,
其他.
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F分布的概率密度曲线如图
根据定义可知,
若F ~ F (n1, n2 ),
则1 F
~
F (n2 , n1 ).
F 分布的分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
i1
i1
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2 分布的分位点 对于给定的正数 , 0 1, 称满足条件
P{ 2 2 (n)}
f ( y)dy
2 ( n)
的点
2
(n)
为
2 (n)
分布的上
分位点.
对于不同的 , n,
可以通过查表求
得上 分位点的值.
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例1 设 X 服从标准正态分布N (0,1), N (0,1) 的上
2(n)分布的概率密度为
f
(
y)
n 22
1 (n)
n1 y
y2 e 2
,
2
0
y0 其他.
证明 因为 2(1) 分布即为 1 , 2 分布,
2
又因为 Xi ~ N (0, 1),
由定义
X
2 i
~
2 (1),
即
X
2 i
~
1, 2
2 ,
i 1, 2, , n.
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因为 X1, X2, , Xn 相互独立,
分位点 z 满足 P{ X z }
1
x2
e 2 dx ,
2π z
求 z 的值, 可通过查表完成.
z0.05 1.645,
附表2-1
z0.025 1.96,
附表2-2
根据正态分布的对称性知 z1 z .
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例2 设 Z ~ 2(n), 2(n) 的上 分位点满足
h(t)
n
2
πn
1
n 2
1
t2 n
n1 2
,
t
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t 分布的概率密度曲线如图
显然图形是关于
t 0对称的.
当 n 充分大时, 其
图形类似于标准正
态变量概率密度的
图形. 因为lim h(t)
1
t2
e 2,
n
2π
所以当 n 足够大时 t 分布近似于 N (0,1) 分布,
证明 因为 Xi ~ N (0, 1), 所以 E( Xi2 ) D( Xi ) 1, D( Xi2 ) E( Xi4 ) [E( Xi2 )]2 3 2 1, i 1, 2, , n.
故 E( 2 ) E n Xi2 n E( Xi2 ) n,
i1
i1
D( 2 ) D n Xi2 n D( Xi2 ) 2n.
n2 ).
( 此性质可以推广到多个随机变量的情形. )
设
2 i
~
2(ni ),
并且
2 i
(i 1, 2,, m) 相互
m
独立, 则
2 i
~
2(n1
n2
nm ).
i 1
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性质2 ( 2分布的数学期望和方差)
若 2 ~ 2(n), 则 E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
但对于较小的n, t分布与N (0,1)分布相差很大.
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t 分布的分位点 对于给定的 , 0 1, 称满足条件
P{t t (n)}
h(t)dt
t (n)
的点 t (n) 为 t(n) 分布的上 分位点.
可以通过查表求
得上分位点的值.
由分布的对称性知
t1 (n) t (n). 当 n 45 时, t (n) z .
P{Z 2 (n)}
2( y; n)dy ,
2 (n)
求2 (n)的值, 可通过查表完成.
2 0.025
(8)
17.535,
附表4-1
2 0.975
(10)
3.247,
附表4-2
2 0.1
(
25)
34.382.
附表4-3
附表4只详列到 n=45 为止.
在Matlab中求解
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