第十二章 平稳随机过程

18

事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W ( t )W ( t )] E {[ X ( t ) Y ( t )][X ( t ) Y ( t )]} E[ X ( t ) X ( t ) X ( t )Y ( t ) Y ( t ) X ( t ) Y ( t )Y ( t )] E[ X ( t ) X ( t )] E[ X ( t )Y ( t )] E[Y ( t ) X ( t )] E[Y ( t )Y ( t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )

RX ( t , s ) E[ X ( t ) X ( s )] E[(Y cos( t ) Z sin ( t ))(Y cos( s ) Z sin ( s ))] E[cos( t ) cos( s )Y sin ( ( t s ))YZ
2
sin ( t ) sin ( s ) Z 2 ]

3
平稳过程数字特征的特点. 设平稳过程X(t)的均值函数E[X(t)]存在. 对n=1, 在(1.1)式中, 令h= - t1 , 由平稳性 定义, X(t1)和X(0) 同分布. 于是 E[X(t)] = E[X(0)], 记为 X 同样, X(t)的均方值函数和方差函数亦为 2 2 常数, 分别记为 X 和 X
7

若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列. 广义平稳过程
严平稳过程 严平稳过程
二阶矩存在

严平稳过程
广义平稳过程 广义平稳过程
8
正态过程

例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ² ] = σ² , 则有
2 2
cos((s t ) )
2 2
cos( )
所以{X(t), t T }为宽平稳过程.
14

例4 设 {Xn, n = 0, 1, 2,} 是实的互 不相关随机变量序列，且E(Xn)=0， D(Xn) = 2 . 讨论随机序列的平稳性. 解 因为E(Xn) = 0，


依照图10-4的意义, 可以知道,平稳过程的 所有样本曲线都在水平直线 x(t ) X 上下 波动, 平均偏离度为 X .
4
又若平稳过程X(t)的自相关函数 RX(t1, t2 ) = E[X(t1) X(t2)] 存在. 对n = 2, 在(1.1)式中, 令h= - t1 , 由 平稳性定义, (X(t1), X(t2))与(X(0), X(t2 - t1)) 同分布. 于是 RX(t1, t2 ) = E[X(t1)X(t2)] = E[X(0)X(t2 - t1)]. 记为 RX(t1, t2 ) = RX(t2 - t1) 或 RX(t, t + ) = E[X(t)X(t +)] = RX( ) . 这表明:平稳过程的自相关函数是时间差 t2 - t1 = 的单变量函数.
2 , k l , R X ( k , l ) E[ X k X l ] 0, k l .

即相关函数只与k-l有关, 所以它是宽平稳的随
机序列. 如果X1 , X2 ,…, Xk ,…又是独立同分布的,
则易证序列也是严平稳的.
9

例2 设s(t)是一周期为T的函数, Θ是在(0,T)上 服从均匀分布的随机变量, 称X(t) = s(t + Θ)为 随机相位周期过程. 试讨论它的平稳性.
0 1
1 1 {cos(2 ) cos[2 ( 2t ) ]}d 2 0 1 , 0 2 0 , 0
所以X(t)是平稳过程.
17
联合平稳随机过程
定义3 设{X(t), t T }和{Y(t), t T }是两 个平稳过程，如果它们的互相关函数 E[X(t)Y(t +)] 和E[Y(t)X(t +)]仅与 有关, 而与 t 无关，则称X(t)和Y(t)是平稳相关 的, 或称这两个过程是联合(宽)平稳的. RXY(t, t +) = E[X(t)Y(t +)] = RXY(), RYX(t, t +) = E[Y(t)X(t +)] = RYX(). • 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
解 由假设, Θ的概率密度为


1 / T , 0 T , f ( ) 其它. 0, 于是, X(t)的均值函数为
1 E[ X ( t )] E[ s( t )] s( t ) T d 0 T
1 T

t T
t
s( T E[ X ( t )] s( )d 常 数. T 0 而自相关函数
1 RX ( t , t ) T
记成

t T
t
s( ) s( )d RX ( ).

所以, 随机相位周期过程是平稳的. 特别,
随机相位正弦波是平稳的.(第十章§2例
2).
12
例3 X(t) =Ycos(t)+Zsin(t), t > 0, Y, Z相 互独立, E(Y) = E(Z) = 0, D(Y) =D(Z) =2. 讨论随机过程{X(t), t > 0}的平稳性. 解 E[ X ( t )] E[Y cos( t ) Z sin( t )] cos( t ) E (Y ) sin( t ) E ( Z ) 0.
§12.1 平稳随机过程的概念
在实际中, 有相当多的随机过程,
不仅它现在的状态, 而且它过去的状态,
都对未来状态的发生有着很强的影响.
有这样一类随机过程, 即所谓平稳过程, 它的特点是: 过程的统计特征不随时间 的推移而变化.严格地说,有下面的定义.
1
平稳随机过程的定义

定义1 设{X(t), t T }是随机过程，如果对任 意常数 h 和正整数 n，
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T，
若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
(X(t1+h), X(t2 +h),, X(tn+h)) (1.1)
有相同的分布函数，则称{X(t)，t T }为平稳 随机过程，或简称平稳过程.
2
在实际问题中, 确定过程的分布函数, 并 用它来判定其平稳性,一般是很难办到的. 但是, 对于一个被研究的随机过程, 如果 前后的环境和主要条件不随时间的推移 而变化, 则一般就可以认为是平稳的. 恒温条件下的热噪声电压过程; 强震阶段的地震波幅; 船舶的颠簸过程; 照明电网中电压的波动过程; 各种噪声和干扰等等.
2 2 X C X (0) RX (0) X
6

• • • •
定义2 给定二阶矩过程{X(t), t T }, 如果 对任意 t, t + T E[X(t)] = μX (常数), E[X(t) X(t +)] = RX( ), 则称{X(t), t T }为宽平稳过程, 也称广义平稳 过程. 简称平稳过程. 相对地, 前述按分布函数定义的平稳过程称为 严平稳过程或狭义平稳过程. 一个严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳过程. 但反过来, 一般是不成立的. 特例: 一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳. 泊松过程和维纳过程是非平稳过程.
13
cos( t ) cos( s ) E (Y 2 ) sin ( ( t s ))E (YZ ) sin ( t ) sin ( s ) E ( Z 2 ) cos( t ) cos( s ) D(Y ) sin ( t s ) E (Y ) E ( Z ) sin ( t ) sin ( s ) D( Z ) cos( t ) cos( s ) sin ( t ) sin ( s )
2 0
1 AB sin( t ) sin( t ) d 2
AB 2 1 [cos( ) 2 0 2 cos(2t 2 )]d 1 AB cos( ) RXY ( ). 2

5

由第十章(2.7)式, 协方差函数: CX(t1, t2 ) = E{[X(t1) - μX(t1)][X(t2) - μX(t2)]} = RX(t1, t2 ) - μX(t1)μX(t2). 那么, 协方差函数可以表示为: CX() = E{[X(t) - μX][X(t +) - μX]} = RX() - μX ² 特别地, 令 =0,由上式,有
2 , 0 R X ( n , n ) E [ X n X n ] 0 , 0
所以, {Xn, n = 0, 1, 2,}是平稳随机序 列.
15

例5 设状态连续、时间离散的随机过程 X(t) = sin(2 Θt), 其中Θ是(0, 1)上的均匀 分布随机变量, t 只取整数值1, 2, ，讨 论随机过程 X(t) 的平稳性.
解
E[ X ( t )] E[sin( 2t )] sin( 2 t ) f ( )d
1
sin( 2 t )d 0
0
16
RX ( t , t ) E[ X ( t ) X ( t )] sin ( 2 t ) sin [ 2 ( t )]d

R X ( t , t ) E[ s( t ) s( t )]