因式分解定理(高等代数)

⇒ ∃q j ( x ), 使得
p1 ( x ) q j ( x ).
不妨设 q j ( x ) = q1 ( x ), 则
p1 ( x ) q1 ( x )
⇒ q1 ( x ) = c1 p1 ( x ), c1 ≠ 0
(1)两边消去 q1 ( x ), 两边消去 即得
p2 ( x )L ps ( x ) = c1−1q2 ( x )L qt ( x )
§1.5 因式分解定理
定义： 定义： 设 p( x ) ∈ P[ x ] ，且 ∂ ( p ( x ) ) ≥ 1 ，若 p( x )
不能表示成数域 P上两个次数比 p( x )低的多项式的 上两个次数比 乘积，则称 p( x ) 为数域 上的不可约多项式 为数域P上的不可约多项式. 上的不可约多项式 乘积，
说明： 说明：
§1.5 因式分解定理
二、因式分解及唯一性定理
1. 定理：∀f ( x ) ∈ P ( x ), 若 ∂ ( f ( x )) ≥ 1 ，则 f ( x )可 定理：
上一些不可约多项式的乘积. 唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积 上一些不可约多项式的乘积 所谓唯一性是说， 所谓唯一性是说，若有两个分解式
§1.5 因式分解定理
∴ f ( x )可分解为一些不可约多项式的积 可分解为一些不可约多项式的积.
再证唯一性 . 设 f ( x ) 有两个分解式
f ( x ) = p1 ( x ) p2 ( x )L ps ( x )
= q1 ( x )q2 ( x )L qt ( x )
⑴
pi ( x ), q j ( x ) ( i = 1,2,L , s ; j = 1,2,L , t . ) 都是不可约
Leabharlann Baidu
§1.5 因式分解定理
作业
1 分别在复数域、 分别在复数域、实数域和有理数域上分解多 为不可约因式的乘积。 项式 x4＋1 为不可约因式的乘积。 2 证明： 证明：g 2 ( x ) f 2 ( x ) ⇔ g ( x ) f ( x ) .
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不是不可约多项式， 若 f ( x )不是不可约多项式，则存在 f1 ( x ), f 2 ( x ), 且 ∂ ( f i ( x )) < n, i = 1,2 使
f ( x ) = f1 ( x ) f 2 ( x )
皆可分解成不可约多项式的积. 由归纳假设 f1 ( x ), f 2 ( x ) 皆可分解成不可约多项式的积
即 d ( x ) = 1, 或 d ( x ) = cp( x ) ⇓ ⇓ p( x ) f ( x ) ( p( x ), f ( x )) = 1
§1.5 因式分解定理
不可约. 定理5： 定理 ： p( x ) 不可约 ∀f ( x ), g( x ) ∈ P[ x ] ，若
p( x ) f ( x ) g ( x ), 则 p( x ) f ( x ) 或 p( x ) g ( x ).
f ( x ) = p1 ( x ) p2 ( x )L ps ( x ) = q1 ( x )q2 ( x )L qt ( x )
且适当排列因式的次序后， 则 s = t ，且适当排列因式的次序后，有
pi ( x ) = ci qi ( x )
是一些非零常数． 其中 ci ( i = 1,2,L , s ) 是一些非零常数．
多项式. 多项式 作归纳法． 对 s 作归纳法． 若 s = 1, 则必有 s = t = 1, f ( x ) = p1 ( x ) = q1 ( x )
§1.5 因式分解定理
时唯一性已证. 假设不可约多项式个数为 s − 1 时唯一性已证 由(１) １
p1 ( x ) q1 ( x )q2 ( x )L qt ( x )
其中 c 为 f ( x )的首项系数， pi ( x )为互不相同的， 的首项系数， 为互不相同的，
ri ∈ Z + . 称之为 f ( x ) 首项系数为1的不可约多项式 的不可约多项式， 首项系数为 的不可约多项式，
的标准分解式. 标准分解式
§1.5 因式分解定理
说明
的标准分解式, ① 若已知两个多项式 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式, 则可直接写出
( f ( x ), g( x ) ) .
f ( x ), g ( x ) 的标准
( f ( x ), g( x ) ) 就是那些同时在
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积， 分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带 方幂指数等于它在 f ( x ), g ( x ) 中所带的方幂指数 中较小的一个． 中较小的一个．
由归纳假设有
§1.5 因式分解定理
s − 1 = t − 1,
∴ s = t.
2. 标准分解式： 标准分解式：
对 ∀f ( x ) ∈ P[ x ], ∂ ( f ( x ) ) ≥ 1,
f ( x ) 总可表成
f ( x ) = cp1r1 ( x ) p2 r2 ( x )L ps rs ( x )
§1.5 因式分解定理
的次数作数学归纳. 证：对 f ( x ) 的次数作数学归纳
1o
∂ ( f ( x )) = 1 时，结论成立． 一次多项式都不可约） （ 结论成立． 一次多项式都不可约）
2o 设对次数低于 的多项式结论成立． 设对次数低于n的多项式结论成立． 的多项式结论成立
的情形. 下证 ∂ ( f ( x ) ) = n 的情形 若 f ( x )是不可约多项式 是不可约多项式. 结论显然成立． 结论显然成立．
§1.5 因式分解定理
如果 f ( x ), g ( x ) 的分解式分别为
f ( x ) = ap1r1 ( x ) p2 r2 ( x )L ps rs ( x ), ri ≥ 0 g ( x ) = bp1l1 ( x ) p2 l2 ( x )L ps ls ( x ), li ≥ 0
则有
( f ( x ), g( x ) ) = p1 ( x ) p2 ( x )L ps λi = min ( ri , li ) , i = 1,2,L , s
λ1 λ2
λs
( x ),
[ f ( x ), g( x )] = p1 ( x ) p2 ( x )L ps ui = max ( ri , li ) , i = 1,2,L , s
(
)(
x+ 2
)(
x2 + 2
)
（在实数域上） 在实数域上）
(
) ( x + 2 ) ( x − 2i ) ( x +
在复数域上） 2i （在复数域上）
)
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§1.5 因式分解定理
一、不可约多项式
一个多项式是否不可约依赖于系数域. ① 一个多项式是否不可约依赖于系数域 一次多项式总是不可约多项式. ② 一次多项式总是不可约多项式
§1.5 因式分解定理
③ 多项式 p( x ) ( ∂ ( p( x )) ≥ 1) 不可约
⇔ p( x ) 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.
u1 u2
us
( x ),
f ( x ) g ( x ) ⇔ ri ≤ li , i = 1, 2,L , s
§1.5 因式分解定理
虽然因式分解定理在理论有其基本重要性， ② 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性， 但并未给出一个具体的分解多项式的方法． 但并未给出一个具体的分解多项式的方法． 实际上， 实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项 式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多项 的方法是不存在的．而且在有理数域上， 式的可约性的判定都是非常复杂的． 式的可约性的判定都是非常复杂的．
证：若 p( x ) f ( x ), 结论成立 . 若 p( x ) 不整除 f ( x ) ，则 ( p( x ), f ( x )) = 1
Th4
⇒
p( x ) g ( x ).
不可约， 推论： 推论： p( x )不可约，p( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )L f s ( x ), 则必有某个 f i ( x ), 使得 p( x ) f i ( x ).
一、不可约多项式 二、因式分解及唯一性定理
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问题的引入
因式分解与多项式系数所在数域有关 如： x 4 − 4 = x 2 − 2
(
)(
x2 + 2
)
（在有理数域上） 在有理数域上）
= x− 2 = x− 2
不可约， ④ 多项式 p( x ) 不可约，对 ∀f ( x ) ∈ P[ x ] 有
p( x ) f ( x ) 或 ( p( x ), f ( x ) ) = 1.
证：设 ( p( x ), f ( x )) = d ( x ), 则 d ( x ) p( x )
⇒ d ( x ) = a ≠ 0 或 d ( x ) = cp( x ), c ≠ 0