第四章能带理论§4.1能带理论的基本假定

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能带理论课件

2
k V k
II、能量的二级修正：
Ek(2)
k
Ek0 Ek0
kV k
a. k k n 2
a
kVka 10 aei2a nV()dVn
b. k kn2 kV k 0
a
2
二级微扰能：
E (2) k
k
kV k Ek0 Ek0
n
Vn 2
2 2m
k
2
(k
n a
2
)2
微扰下的电子能量就可写成：
有 N个具有相同能量的束缚态波函数，所以在不考虑原认为一个电子在离子实和其他电子所形成的势场中运动，称为哈特里—福克自洽场近似，也称为单电子近似。
二、近自由电子近似（Nearly Free Electron）模型
在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子
的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是
它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来V求解。
（也称为弱周期V 场(近x)似）V。势场V(x)可用平均势代替，
E
Ek0
Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
Ek0 Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
E i：原来较低的
E
0 k
态微扰使它下降为：
E ii：原来较高的
E
0 k
态微扰使它更高为：
差别为 2 V n
——在近自由电子近似中，在晶体中运动的共有电子被看成
是近自由电子。所有电子及原子实产生的场是具有晶格周期
性的等效势场，周期性势场的起伏对共有化电子

固体物理 04-01布洛赫定理

大
学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
为一矢量 —— 当平移晶格矢量
—— 波函数只增加了位相因子电子的波函数
—— 布洛赫函数
西
南晶格周期性函数
科技大学
—— 晶格周期性函数
Solid State Physics
固体物
理布洛赫定理的证明
—— 引入平移算符证明平移算符与哈密顿算符对易两者具有相同的本征函数
二十年代初期，在用量子力学研究金属
的电导理论的过程中发展起来的。
西南科技大学
Solid State Physics
固
体
物
理
Felix Bloch，1905.10 – 1983.9
博士论文《金属的传导理论》
发展核磁精密测量的新方法及其有关的发现，与爱德华·珀塞尔（ Edward Mills Purcell, 1912-1997）分享 1952年诺贝尔物理学奖
Solid State Physics
固体
物平移算符本征值的物理意义
理
1)
—— 原胞之间电子波函数相位的变化
2) 平移算符本征值量子数
西
南 —— 简约波矢，对应于平移动操作本征值的量子数
科
技 —— 不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同
大学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
？
b）晶体中电子的平均自由程为什么会远大于
西
南原子的间距？
科
技大
……
学
Solid State Physics

能带理论 4-1 固体中电子的状态和能谱

由于晶体结构的周期性，使我们有理由认为：晶体中的每个价电子都处于一个完全相同的严格周期性势场之内。于是求解晶体中电子的能量状态的问题——能带论就归结为求解这样一个周期性势场内的单电子薛定谔方程的问题。即需求解单电子定态薛定谔方程： 2m 2 ＋ 2 [E－V(r)]＝0 （4－1）其中V(r) 是势函数，V(r)=V(r+Rn), Rn为正格矢，所以能带论即是周期场中的单电子理论。
R≫a的情况：系统的势能曲线和电子云
当R→a时：
各个原子的电子势垒发生了两个明显的变化：一是势垒宽度大为减小；二是势垒高度明显下降。对于Na的价电子（3s），已不存在势垒。它可以自由地在整个晶体中运动，即它为整个固体所共有，不再属于个别原子。这种共有化现象不仅表现在能级在势垒以上的价电子，对于2p， 2s电子由于势垒变薄变低，通过隧道效应，也在一定程度上共有化。
第四章
固体能带论
(固体中电子的状态和能谱)
基本近似：
1．绝热近似：由于原子实的质量是电子质量的 103～105倍，所以原子实的运动要比价电子的运动缓慢得多，于是可以忽略原子实的运动，把子实的势场中运动，即把多体问题简化为多电子问题。 2 ．单电子近似：原子实势场中的 n 个电子之间存在相互作用，晶体中的任一电子都可视为是处在原子实周期势场和其它（ n － 1 ）个电子所产生的平均势场中的电子。即把多电子问题简化为单电子问题。
才有相同的能级，电子只能在相似壳层间转移。因此，共有化运动的产生是由于不同原子的相似壳层间的交叠。例：2p支壳层的交叠，3s支壳层的交叠。也可以说，结合成晶体后，每一个原子能引起“与之相应”的共有化运动。例：3s能级引起“3s” 的共有化，2p能级引起“2p”的共有化运动，等等。由于内外壳层交叠程度很不相同，所以只有最外层电子的共有化运动才显著。

固体物理_第4章_能带理论

ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以及电子波函数反对称性而带来的交换作用。能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似：原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。

(完整word版)能带理论

能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带”中，因此，这方面的理论称为能带理论。

对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的，因而其能量与波失间的关系E(k)较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容。

本章采用一些近似讨论能带的形成，并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。

一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。

平均场近似：让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。

周期场近似：无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。

原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型（1）近自由电子模型1、模型概述在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。

因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。

（也称为弱周期场近似） (222U m ∇+)()(r U R r U n =+2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(K)是连续的能级。

由于周期性势场的微扰 E(K)在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带，连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。

3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式。

第四章-能带理论-(Band-Theory)

能带理论 - 3 （Band Theory）
近自由电子适用于价电子束缚较弱的金属晶体, 采用赝势方法后也可以用来研究半导体的价带和导带；对于价电子束缚较强的半导体和绝缘体, 通常采用紧束缚近似 (TightBinding Approximation, TBA) 来讨论其电子结构.
1
与利用平面波描写零级近似状态的近自由电子近似不同, 紧束缚近似中首先把电子看作所属原子的电子, 晶体环境对电子的影响则作为微扰处理.
N
2
V
2
3
4
3
kF2
kF
3 2n 1/3 .
Fermi 球的表面称为 Fermi 面, Fermi 面的能量
称为Fermi 能 (级). Fermi 能对应的动量和速度分称
为 Fermi 动量和 Fermi 速度.
15
一方面, 三维晶体的能量作为简约波矢的函数, 随波矢方向变换而性质有所变化; 另一方面, 三维BZ 构造复杂, 讨论起来比较困难.
由于对称性的存在, 实际上人们并不需要研究整个BZ (FBZ). 利用对称性, 人们可以通过研究部分 FBZ的情况来了解整个FBZ.
16
晶体全部对称操作的集合构成空间群.
26
原子中的电子能级是分立的, 可以具体表明各能级的能量. 固体中, 电子能级形成准连续的能带, 标明每个能级很困难也没有必要. 这时通常引入能态密度来描写能级的分布：
状态数
能态密度： N E lim Z
E0 E
能量间隔
27
k 空间等能面 E 和 E + ΔE 之间的状态数为
Z
2V
V
当取遍晶体所属点群中的所有对称操作, 得到一组
k , 它们是等价的, 称为 k*.

能带理论

第四章
绝热近似
固体的能带理论
价电子和内层电子的分离：内层电子与原子核一起运动构成离子实绝热近似：由于电子的响应速度极快，可以将离子的运动与电子的运动分离
离子实（原子）体系
决定材料中声波的传播，热膨胀，晶格比热，结构缺陷等性能周期性排列的原子体系的行为可以通过晶格动力学理论处理（通过晶格振动中能量量子-声子描述晶体的物理特性）
固体的能带
3p 3s 2p 2s
Mg
。 1s
Mg
3p 3s 2p 2s 1s
空带价带
根据泡利不相容原理，原来的能级已填满不能再填充电子— 分裂为两条
第四章
各原子间的相互作用
固体的能带
原来孤立原子的能级发生分裂若有N个原子组成一体，对于原来孤立原子的一个能级，就分裂成N条靠得很近的能级，称为能带（energy band）。
提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体
技术的发展
随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的
普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算
第四章
固体的能带理论
能带理论是信息技术的物理基础
1928-29 建立能带理论并由实验证实
1947.12 发明晶体管
1962 制成集成电路 1971 Intel 4004微处理器芯片 2300晶体管
金刚石的能带
钠的能带
第四章
固体的能带
电子在周期性晶格中的运动，电子共有化，受到周期性势场的作用。
孤立原子中电子的势阱
势垒
电子能级
+
第四章
固体的能带
解定态薛定谔方程，可以得出两点重要结论：

能带理论

§ 导体、半导体和绝缘体尽管所有的固体都包含大量有电子，但有些固体具有很好的电子导电性能，而另一些固体则观察不到任何电子的导电性。

对于固体为什么分为导体、绝缘体和半导体呢这一基础事实曾长期得不到解释，能带论对这一问题给出了一个理论说明，并由此逐步发展成为有关导体、绝缘体和半导体的现代理论。

晶体中电子有能量本征值分裂成一系列能带，每个能带均由N 个准连续能级组成（N 为晶体原胞数），所以，每个能带可容纳2N 个电子。

晶体电子从最低能级开始填充，被电子填满的能带称作满带，被电子部分填充的能带称为不满带，没有电子填充的能带称为空带。

能带论解释固体导电的基本观点是：满带电子不导电，而不满带中的电子对导电有贡献。

5. 11. 1 满带电子不导电从前面的知识中，已经知道，晶体中电子能量本征值E (k )是k 的偶函数，可以证明v (-k )=-v (k )，即v (k )是k 的奇函数。

一个完全填满的电子能带，电子在能带上的分布，在k 空间具有中心对称性，即一个电子处于k 态，其能量为E(k )，则必有另一个与其能量相同的E (-k )=E (k )电子处于-k 态。

当不存在外电场时，尽管对于每一个电子来证，都带有一定的电流-e v ，但是k 态和-k 态的电子电流-e v (k )和-e v (-k )正好一对对相互抵消，所以说没有宏观电流。

当存在外电场或外磁场时，电子在能带中分布具有k 空间中心对称性的情况仍不会改变。

以一维能带为例，图1中k 轴上的点子表示简约布里渊区内均匀分布的各量子态的电子。

如上所述，在外电场E 的作用下，所有电子所处的状态都以速度 d e dt=-k E …………………………………………………………………………………………(1) 沿k 轴移动。

由于布里渊区边界A 和A '两点实际上代表同一状态，在电子填满布里渊区所有状态即满带情况下，从A 点称动出去的电子同时就从A '点流进来，因而整个能带仍处于均匀分布填满状态，并不产生电流。

第四章能带理论.ppt

可以用分离变量法对单个电子独立求解（单电子近似）。
1 单电子所受的势场为： U (r ) u (r ) e
Rn
Ze 2 4 0 r Rm
无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性（周期场近似）： U (r Rn ) U (r ) 通过上述近似，复杂多体问题变为周期势场下的单电子问题，单电子薛定谔方程为：
假定在体积 V=L3 中有 N 个带正电荷的离子实，相应地有 NZ 个价电子，那么该系统的哈密顿量为:
2 2 N 1 1 e ˆ H ' 2 n 2 m 2 4 2 M r r i 1 i, j n 1 0 i j NZ 2 i NZ N 1 1 ( Ze) 2 1 Ze 2 ' 2 m ,n 4 0 Rn Rm i 1 n 1 4 0 ri Rn 2
H ' V ( x) V V
0 (1) ( 2) E E E E 根据微扰理论，电子的能量本征值 k k k k .
一级能量修正
Ek(1) k | H ' | k k | V ( x) V | k
Ek(1)
0 L
1 ikx 1 e [V ( x ) V ] eikx dx L L 1 ikx 1 e V ( x ) eikx dx ] V L L
k r e
ikr
uk r
—— Bloch函数
这里，uk(r) = uk(r +Rl) 是以格矢 Rl 为周期的周期函数。
它确定了波动方程解的基本特点。
4.1
布洛赫定理
二. Bloch 定理的物理证明（定性说明）：

济南大学固体物理(黄昆)课件能带理论.ppt

i 2 l 1
N1 = 1
cos 2 l1
l1 是任意整数
ix i 2l1
又e cosx cos2l1
2 il 1
又 e cos x i sin xe
ix
e cos 2 l 1 N 1
e 1
1 e
l1 2i N1
2 e
l2 2i N2
3 e
l3 2i N3
其中 l1 , l2 , l3 为整数如果引入矢量:
l l l 3 2 k 1 b b b 1 2 3 N N N 1 2 3
T r a f r a a T T f r

T T T T

2 m 2 2 2 m 22 2 2 2 2 h rr h r 证明：T r ff f r Hf r TT T VV r TT Hf r r r Hf r V r r 2 2 2 2 m 2 2 m 2 m h h r a r a 2 2 h V r a f 2 2 2 2 V r a 2 h 2 r a h r r a f a rr aa a V r 2 m r r VV a f r a a 2 m a f r 2 m 2 m 2 m 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 h h r r r h h rr f r T rr f VV r TT r V r f r V r T f r 2m m 2 V r T f 2 m 2 m 2 m HT HT f f r r HT r f f r HT TT H H HT HT T Hf

(完整版)黄昆版固体物理学课后答案解析答案

《固体物理学》习题解答黄昆原著韩汝琦改编（陈志远解答，仅供参考）第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。

这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。

它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。

能带理论基础

§2 Bloch定理
1、周期场模型考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外其他电子的平均势场和原子实的势场中运动。按照周期场近似，电子所感受到的势场具有周期性。这样的模型称为周期场模型。
2、Bloch定理 ① 表述：在周期场中，描述电子运动的Schrödinger方程为
晶体中电子： ψ k ( r ) = eik⋅r uk ( r ) 自由电子：孤立原子：
ψ k ( r ) = Ae ik ⋅r
ψ ( r ) = Cu ( r )
可以看出，在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之间，是两者的组合。如果晶体中电子的运动完全自由，则 uk ( r ) = A = const. ；若电子完全被束缚在某个原子周围，则 eik⋅r = C = const. 。但实际上晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有 ψ k ( r ) = eik⋅r uk ( r ) 的形式。周期函数的性质 uk ( r ) 就反映了电子与晶格相互作用的强弱。
∴ψ ( r + Rl ) = eik⋅Rlψ ( r )
（4）定义一个新函数：
= exp ⎡ik ⋅ ( l1a1 + l 2 a2 + l 3a3 )⎤ψ ( r ) ⎣ ⎦
l1 l 2 l 3 1 2 3
l1 1
l2 2
l3 3
uk ( r ) = e
− ik ⋅r
ψ k (r )
uk ( r + Rl ) = e
− ik ⋅( r + Rl )
ψ k ( r + Rl )
=e

第四章能带理论BandTheory

3
Fig 4.4 能带示意图.
近自由电子的波函数 (考虑到微扰一阶修正) 为：
2 n x i a 1 V e 0 1 ikx n k k k e 1 . 2 2 L n 2 n 2 k k 2 m a
2
2m k k , k , . a a a
简约波矢和自由电子波矢的这种差别表明, 简约波矢不能唯一确定一个状态. 唯一确定一个状态除了需要指定简约波矢外, 还需要指定它和自由电子波矢之间相差的倒格矢; 这个倒格矢确定该状态所属的能带: 即利用简约波矢标记能态时需要指出该能态所属能带.
14
Fig 4.7 三维晶格能带的交叠
15
与一维情况相同的是 , 简约波矢和平面波波矢既有联系又有区别. 简约波矢取值限制在FBZ中, 故 FBZ 又称为简约 BZ. 对于 FBZ 以外的平面波波矢则总可以通过改变某一倒格矢而移入 FBZ. 每一个
简约波矢对应于能量高低不同的一系列量子态 , 分

1 ik r 0 k H0 T V , r e , Ek V . 2m V
0 k
7
2
2
周期性边界条件
li k bi i 1 N i
k ' V k Ek0 Ek0' k ' V k E E
0 k 0 k'
3

1 k

k ' k

k0' ,
12
Fig 4.6 简单立方格子 BZ 的二维示意图
13
BZ 中能量是连续的; 属于一个 BZ 的能级构成一个能带, 不同的 BZ 对应于不同的能带; 所有 BZ 的体积相等 , 都等于倒格子原胞的体积 ; 记入自旋, 每个 BZ 有 2N 个电子态. 三维和一维情况有一个重要的区别 : 不同能带之间可以有交叠. 能量在 BZ 边界是不连续的，但不同方向断开时的能量取值不同 , 因而有可能发生能量交单立方格子的 FBZ.

能带理论

能带理论摘要阐述了能带理论提出的背景以及假设条件，在此基础上，主要给出了两个模型：近自由电子近似模型、紧束缚近似模型。

两者的假设不同，近自由近似模型认为价电子近似自由，晶体的周期性势场微扰很小；紧束缚近似模型认为电子受到原子核作用比较强，将其他原子的作用看做微扰。

两者共同基础是周期性势场中电子共有化运动，由两种模型研究电子的运动状态得出同一结论--能带。

在能带理论的基础上，定性的解释了绝缘体、半导体和导体。

Abstract This paper expounds the background and hypothesis of the theory of band theory,on the basis of it,two models are given:Near-free electron approximation model,tight-binding approximation model.Their assumptions are different,The near - free approximation model considers that the valence electrons are approximately free and the periodic potential of the crystal is very small;The tight-binding approximation model considers electrons are strongly affected by the nucleus,The role of other atoms as perturbation.The common basis of them is the electron co movement in the periodic potential field,It is concluded that the two models can be used to study the motion of electrons. On the basis of band theory, the properties of insulator, semiconductor and conductor are explained qualitatively.概述（背景、出发点）能带理论是讨论晶体（包括金属、绝缘体和半导体的晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。

第四章+能带理论pdf

1第四章固体的电子能带理论4-1 周期场和布洛赫定理晶体具有由大量分子、原子或离子有规则排列的点阵结构因此在固体中有关电子的研究实际上是一个多电子问题不仅应该包括电子与离子相互作用的单电子势还包括电子与电子相互作用的两电子势。

解决多体问题是非常复杂的而且严格解是不可能的。

要解决这些问题只能抓住主要矛盾建立模型作充分的近似才可以求解。

其中把多体问题简化为单电子问题需要经过多次简化。

第一是把原子核与核外内层电子考虑成一个整体——离子实使原子中的多体问题简化为离子实与外层电子的问题。

考虑到离子实的质量比较大离子运动速度相对慢位移相对小在讨论电子问题时可以认为离子是固定在瞬时的位置上这样多种粒子的问题就简化成多电子问题第二是忽略电子之间的相互作用理想电子气多电子问题简化为单电子问题每个电子是在固定的离子势场和其它电子的平均场中运动第三步的简化是认为所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场电子在固体中将受到周期性势场的作用。

在本章的讨论中我们做了独立电子近似。

电子在晶体中所受到的周期场可用一个函数Vr来表示称为有效单电子势函数。

周期性势场Vr应该具有布喇菲格子的周期性即VrRVr其中R为布喇菲格矢。

a电子可以在整个晶体中运动称为共公有化电子。

由于a的数量级为10-8cm势场Vr的周期与索末菲自由电子气模型中的电子德布罗意波长相当因此周期势场对电子运动的影响应在量子力学中考虑。

我们考虑单电子薛定谔方程其中势函数Vr具有布喇菲格子的周期性。

在独立电子近似中每个电子都遵循具有周期势场的单电子薛定谔方程这样的电子称为布洛赫电子。

2固体能带论的两个基本假设是什么布洛赫定理一个在周期场中运动的电子的波函数应具有哪些基本特点在量子力学建立以后布洛赫F.Bloch和布里渊Brillouin等人就致力于研究周期场中电子的运动问题。

他们的工作为晶体中电子的能带理论奠定了基础。

布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子波函数的特点。

能带理论的认识

能带理论的认识能带理论的认识罗照明 1302042026摘要：在形成分⼦时，原⼦轨道构成具有分⽴能级的分⼦轨道。

晶体是由⼤量的原⼦有序堆积⽽成的。

由原⼦轨道所构成的分⼦轨道的数量⾮常之⼤，以⾄于可以将所形成的分⼦轨道的能级看成是准连续的，即形成了能带。

引⾔：能带理论[1]是研究固体中电⼦运动的⼀个主要理论基础。

在⼆⼗世纪⼆⼗年代末和三⼗年代初期，在量⼦⼒学运动规律确定以后，它是在⽤量⼦⼒学研究⾦属电导理论的过程中开展起来的。

最初的成就在于定性地阐明了晶体中电⼦运动的普遍性的特点。

例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、⾮导体的区别；晶体中电⼦的平均⾃由程为什么会远⼤于原⼦的间距等。

在这个时候半导体开始在技术上应⽤，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。

后来由于电⼦计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。

到⽬前，计算材料能带结构的⽅法有:近⾃由电⼦近似法、包络函数法(平⾯波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原⼦轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、 K.P ⽅法[12]。

⼈们⽤这些⽅法对量⼦阱[2， 8， 9，10]。

量⼦线[11，12，13]、量⼦点结构[16， 17]的材料进⾏了计算和分析，并取得了较好计算结果。

使得对这些结构的器件的设计有所依据。

并对⼀些器件的特性进⾏了合理的解释。

固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电⼦状态分为导带与价带，⼆者⼜以中间的禁带(带隙)分隔开。

从半导体的能带理论出发引出了⾮常重要的空⽳的概念，半导体中电⼦或光电⼦效应最直接地由导带底和价带顶的电⼦、空⽳⾏为所决定，由此提出的P-N 结及其理论⼰成为当今微电⼦发展的物理依据。

半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge 与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k 空间的位置也不同，GaAs,InP 等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中⼼位置，称为直接带隙材料，此结构电⼦-空⽳的带间复合⼏率很⼤，并以辐射光⼦的形态释放能量，由此引导⼈们研制了⾼效率的发光⼆极管和半导体激光器，在光电⼦及光⼦集成技术的发展中，其重要性可与微电⼦技术中的晶体管相⽐拟。

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