高等数学 复旦大学出版社 课后习题答案

1. 解: (1)相等.

因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;

x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.

(2)相等.

因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.

(3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.

2. 解: (1)要使函数有意义,必须

400x x -≥⎧⎨

≠⎩ 即

40x x ≤⎧⎨

≠⎩

所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞.

(2)要使函数有意义,必须

30lg(1)010x x x +≥⎧⎪

-≠⎨⎪->⎩ 即

301x x x ≥-⎧⎪

≠⎨⎪<⎩

所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).

(3)要使函数有意义,必须

210x -≠ 即 1x ≠±

所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞.

(4)要使函数有意义,必须

12sin 1x -≤≤ 即 11sin 22x -≤≤

即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π

66k x k +≤≤+,(k 为整数).

也即ππππ

66k x k -+≤≤+ (k 为整数).

所以函数的定义域是ππ

[π,π]

66k k -++, k 为整数.

3.解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1

x 可以是不为零的任意实数,此

时,

1sin

x 可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 4. 解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-=

=+--1111().111x x f x x x --==++ 5.解: 1,

1101,01(1).

(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤<⎧⎧-==⎨⎨-+≤-≤≤≤⎩⎩

6.解: ()

ln (())2

2,g x x x f g x ==

(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅

()2(())22,

(())()ln ()ln ln(ln ).x

f x f f x

g g x g x g x x x x x ====

7. 证:由

3

21y x =-

解得x =

故函数3

()21f x x =-

的反函数是

)y x =

∈R ,

这与

()g x =数,所以

3

()21f x x =-

和()g x =

.

8. 解: (1)由

11x y x -=

+解得11y x y -=+, 所以函数11x y x -=+的反函数为1(1)1x y x x -=≠-+.

(2)由ln(2)1y x =++得1

e 2y x -=-,

所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为

1

e 2()x y x -=-∈ R . (3)由25

3x y +=解得31

(log 5)2x y =

-

所以,函数25

3x y +=的反函数为31

(log 5)(0)2y x x =-> .

(4)由

3

1cos y x =+

得cos x =又[0,π]x ∈,

故x =又由1cos 1x -≤≤得3

01cos 2x ≤+≤,

即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数3

1cos ,[0,π]y x x =+∈的反函

数为(02)y x =≤≤.

9. 解

: (1)

()()f x f x -===

()f x ∴=.

(2)

222222()e e sin()e e sin (e e sin )()x x x x x x f x x x x f x ----=-+-=-+=--+=-

∴函数22e e sin x x

y x -=-+是奇函数.

10. 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有2

01x

x ≤+,当0x >时,有

2

1

122x x x x ≤=+,

故(,),x ∀∈-∞+∞有

12y ≤.即函数21x y x =

+有上界. 又因为函数

21x y x =

+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数

21x y x =

+有界.

又由

121212122222

1212()(1)

11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=

-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而 当12x x >且121x x >时,12y y <.

故函数

21x

y x =

+在定义域内不单调.

(2)函数的定义域为(0,+∞),

10,0M x ∀>∃>且12;e 0M x M x >∃>>,使2ln x M >. 取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>,

所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<

故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增.

11. 解: (1)124

(1)y x =+是由12

4

,1y u u x ==+复合而成. (2)2sin (12)y x =+是由2

,sin ,12y u u v v x ===+复合而成.

(3)5

12(110

)x y -=+是由152

,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.

(4)

1

1arcsin 2y x =

+是由1

,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成. 12.证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ∀∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.

(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ∀∈-∞+∞,

有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=- 故()()f x f x --为奇函数.

13.解: 设年销售批数为x , 则准备费为103x ;

又每批有产品610x 件,库存数为6

102x 件,库存费为6100.052x ⨯元.

设总费用为,则63

100.05102y x x ⨯=+

. 14. 解: 当x 能被20整除,即[]20

20x x =时,邮资0.802025x x y =⨯=

; 当x 不能被20整除时,即[

]2020x x ≠

时,由题意知邮资0.80120x y ⎡⎤=⨯+⎢⎥⎣⎦.

综上所述有

,02000;2520

200.80,02000.

1202020x x

x x y x x x x ⎧⎡⎤<≤=⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨

⎡⎤⎡⎤⎪⨯<≤≠+⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎩且且