数学建模 购房问题

A题：购房贷款问题

蒋萍

（08(3)班 08211337）

【摘要】

随着人们生活水平的不断提高，越来越多的人正在购置房产用于居住或进行置业投资。但是购房投资是一项金额较大的投资，要人们一次性支付比较困难。但随着市场经济的发展，向银行贷款购房成了我们买房的主要方式。我们知道，如果向银行贷款就需要直接面对提供担保、偿还借贷的问题，现实生活中人们选择贷款的期数、月还款额时，却往往因为缺乏这方面的知识，而带来一定的盲目性，给自己带来或多或少的经济损失。所以在这个市场经济时代，面对不同的决策方案，正确的决策意味着经济资源的最优配置。

本文就购房贷款问题，展开一系列的讨论。针对购房问题进行全面分析，利用递推数列将实际问题数学化，建立了一个数学模型。利用计算机程序算出结果，不仅求出了各种还款方式的还款金额和利息，而且还指出了等额还款是最优的还款方式。

【关键词】

递推数列贷款额利息贷款期限还款额

1.问题重述

小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%／月。他们采用等额还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。

1. 在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？

2. 在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还

贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？

3. 如果在第6年初，银行的贷款利`率由0.6%／月调到0.8%／月，他们仍然

采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？

4. 小王夫妇认为，随着他们工作经历的增长，家庭收入也会随着增长，因此，

打算采用逐步增加还款额的还款方式来偿还贷款，具体的办法是：如果第1年的每月还款额是1000元的话，那么第2年的每月还款额就是1500元，第3年的每月还款额是2000元，第4年的每月还款额是2500元，以此类推。

在此情况下，如果贷款利率还是0.6%／月，那么，第1年的每月还款额是多少？以后各年的每月还款额又是多少？共计付了多少利息？

5. 在4提出的还款方式下，在贷款满5年后，打算在第6年初一次还清全部

余款，那么，一次的还款额是多少？如果第6年初，银行的贷款利率由0.6%／月调到0.8%／月，从第6年起，以后各年的每月还款额是多少？

6. 综合上述问题，为小王夫妇（实际上是打算贷款购房的人）写一份报告，

帮助他们分析各种方法的利弊，和偿还贷款的计划。

2．问题的提出及分析

从数学角度看，本课题是等比数列知识的一个实际运用，因此在解决这一问题时首先应弄清以下方面的问题；（1）在银行按揭分期付款中，每月的利息按复利计算；（2）付款中每期付款金额相等（3）付款时，本金和每期所付款额在贷款全部付清前随时间推移而不断增值（4）各期所付款额连同到最后一次付款时所产生的利息之和等于本金从购买到最后一次付款时的利息之和。

本文以计算贷款在分期付款时每期应付款决策，并说明数列在分期付款的应用。有些人认为购房付款一次性付清较好，有些认为分期付款比较好，因为有很多人一次支付较高的款额有一定的困难，还有不少开发商在不断改进营销策略，方便人们消费和付款，所以我认为采取分期付款容易被不同阶层的人接受，现对购房分期付款作以下分析，并作出最优的决策方案。

3．模型假设

(1)除去一定的政策原因

(2)在还款过程中，月收入稳定

(3)银行利率保持稳定

4．模型建立与求解

（1）按分期付款中的规定，各期所付的金额连同到最后一次付贷款的利息之和，等于房子售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，所以我们得到如下关系式：

设每月还x元，一共还了n个月，本金为a，利率为b,利息为m元

x+(1+b)x+x(1+b)^2+x(1+b)^3+…+x(1+b)^(n-1)

=a*(1+b)^n

即x[1+（1+b）+(1+b)^2+(1+b)^3+…+(1+b)^(n-1)]

=a*1.006^n

观察上式中括号内，是一个首项为1，公比为（1+b）的等比数列的前n项和。

根据：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)得：

x[(1-(1+b)^n)]/[1-(1+b)]

=a*(1+b)^n

则x=a*(1+b)^n*[(1+b)-1]/[(1+b)^n-1]

利息：m=n*x-a

此时n=240 a=200000 b=0.006

应用计算机程序算出结果：

程序如下：

Option Explicit

Private Sub Command1_Click()

Dim n As Integer, a As Double, b As Single, x As Single, m As Single

n = Val(Text1.Text)

a = Val(Text2.Text)

b = Val(Text3.Text)

x = a * (1 + b) ^ n * ((1 + b) - 1) / ((1 + b) ^ n - 1)

m = n * x - a

Text4.Text = CStr(x)

Text5.Text = CStr(m)

End Sub

所以由运行结果得：

x=1574.699元

m=177927.7元

所以小王夫妇每月的还款额是1574.699元

共计付了利息177927.7元

(2)设第n个月还完x元后还欠银行r元

r=a*(1+b)^n-[1+(1+b)+(1+b)^2+…+(1+b)^(n-1)]x

r=a*(1+b)^n-[(1-(1+b)^n)]/[1-(1+b)]x

此时n=60 x=1574.699 a=200000 b=0.006

应用计算机程序算出结果：

程序如下：

Option Explicit

Private Sub Command1_Click()

Dim n As Integer, a As Double, b As Single, r As Single, x As Single

n = Val(Text1.Text)

a = Val(Text2.Text)

b = Val(Text3.Text)

x = Val(Text4.Text)

r = a * (1 + b) ^ n - ((1 - (1 + b) ^ n)) / (1 - (1 + b)) * x

Text5.Text = CStr(r)

End Sub

所以由运行结果得：

r=173034.9元

故他们在第6年初，应一次付给银行173034.9元，才能将余下全部的贷款还清

(3)由（1）知：x=a*(1+b)^n*[(1+b)-1]/[(1+b)^n-1]

此时b=0.008 n=180 a=173034.9

应用计算机程序算出结果：