大学物理第3章 动量与角动量PPT课件
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第3章_动量与角动量
m a/2
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
第三章动量与角动量.ppt
● 讨论：
1）质点系动量定理微分形式
F mac
t2
F外dt P P0
(F dP ) dt
积分形式
t1
2) 质心处的质点（质点系总质量）代替质点系整体的平动
3）若 F 0 vc不变
质心速度不变就是动量守恒（同义语）
4) F mac
意义：质心的加速度决定于质点系所受的合外力.
牛顿第二定律的最初表达式 F dp d(mv) dt dt
冲量: 力的时间积累
过程量. 方向：速度变化的方向；单位：Ns ;
变力的冲量 I FiΔti
i
若力连续变化 I t2 Fdt t1
动量: p＝mv （状态量, 矢量）
大小：mv 单位：kgm/s
方向：速度的方向
二、质点的动量定理 (theorem of momemtum)
设物体受外力 F , 考虑 dt 时间内力的积累:
由 F dp dt
Fdt dp (微分形式)
对上式积分得 t2-t1 时间内力的积累：
t2 F (t)dt t1
p2 dp
p1
p2
p1
动量定理
I
t2 F (t )dt
t1
p2
p1
(积分形式)
合外力对质点在一段时间内的冲量等于此过程始末状态质 点动量的增量.
以火箭本身作为研究对象，以F表示喷出气体对火箭的推力， 则由牛顿第二定律，有
F M dv dt
Mdv udM udm
F
dm u
dt
可见火箭发动机的推力与燃料燃烧速率及 喷出气体的相对速度成正比.
3-动量与角动量.ppt
y
h
o
l
x
dm dS (l x )h d S y d x (l x ) ta n d x dx l M S lh / 2
y
y
h
xc
M l2 hl2 h 2 1 2 3 xc l l l M 3 3
xdm
0
l
v2
v1
60o
因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动 量改变，基本上由打击力的冲量决定。 重力、阻
力的冲量可以忽略。
mv2
60o
mg t
mv1
打击力冲量 F t
F t m v m v 2 1
F t m v m v
2 1
F t
30o 60o m=140g
o
rc
【思考】写出上式的分量形式
x y z
c
N
m m
N
i 1
i
x
i
c
m m
N
i 1
i
y
利用分量形式很容 易求得一些几何形 状对称和结构均匀 物体的质心位矢，
i
m m
c
i 1
i
z
i
例如：均匀直棒、 均匀圆盘、均匀球 体等 其质心就在几何对 称中心上
fi
m
i
由N个质点构成的系统
i ,j 1 , 2 , , N
ri
1、内力和外力
fji 内力： fij 外力：fi , fj
惯性系 o
rj
fij f ji m j
第动量与角动量课件
证角动量守恒定律的正确性。
04
第动量与角动量的应用
第动量与角动量在日常生活中的应用
体育活动
在投掷、击打、跑步等体育活动 中，动量和角动量起着关键作用 ，例如棒球运动员利用角动量原
理转动身体来增加投球速度。
舞蹈和杂技
舞者可以利用角动量来保持旋转， 杂技演员可以利用动量和角动量完 成高难度动作。
交通工具
一个封闭系统，在没有外力矩作用的 情况下，其角动量保持不变。
作用在物体上的力矩，使物体产生旋 转运动。
角动量
一个物体绕某点旋转的动量，等于物 体质量、速度和旋转半径的乘积。
角动量守恒定律的适用范围
适用于封闭系统
角动量守恒定律仅适用于系统边界不随时间变化的封闭系统。
适用于无外力矩作用的情况
只有在没有外力矩作用的情况下，角动量才能保持守恒。
骑自行车、滑冰和驾驶汽车时，动 量和角动量影响平衡和运动轨迹， 例如转弯时自行车利用角动量保持 稳定。
第动量与角动量在科学研究中的应用
物理实验
在研究碰撞、摩擦、旋转等物理 现象时，动量和角动量是重要的 物理量，帮助科学家理解和描述
自然界的运动规律。
天文学
行星和卫星的运动中涉及到角动 量守恒，有助于科学家研究天体
第动量守恒定律的适用范围
01
第动量守恒定律适用于 宏观低速的物理系统， 如物体、质点等。
02
第动量守恒定律不适用 于微观高速的物理系统 ，如原子、粒子等。
03
第动量守恒定律适用于 不受外力作用的封闭系 统，如弹性碰撞、非弹 性碰撞等。
04
第动量守恒定律不适用 于受到外力作用的开放 系统，如摩擦力、重力 等。
运动规律和宇宙演化。
水务工程大学物理第三章动量和角动量.ppt
y
桌面部分质量为 m2=( l - y) 受力分析如图右
y
m1g
m2g
O
N
y
y
m1g
m2g
系统所受合外力为 F外= m1g + m2g + N = m1g
在无限小时间间隔dt内, F外的冲量为F外dt. 由质点系的动量定理 Fdt = m1gdt = ygdt = dp 在时刻t,链条下垂长度为y, 下落速度为v,它的动量为
m2r2
mn rnห้องสมุดไป่ตู้
m1 m2 mn
mi ri M
质心位置的分量式：
xc
mi xi mi
yc
mi yi mi
zc
mi zi mi
连续体的质心位置： rc rdm / M
dm 的质量元坐标为 ( x , y , z )
分量式：
t
F1
f12 )dt
p1
p10
m2 : f21, F2
t0 (F2 f21)dt p2 p20
两式相加
t
(
t0
F1
F2
f12 f21
f12
f21)dt ( p1 p2 ) ( p10 p20)
t1
t2
t
冲量的几何意义：冲量 Ix 在数值上等于
F
x
~t
图线与坐标轴所围的面积。
二、质点的动量定理
根据牛顿第二定律
F dP dt
----动量定理的微分形式
如果力的作用时间从 t0 t，质点动量从 p0 p
第3章 动量与角动量
dp燃
E
例题 如图所示,设炮车以仰角发射一炮弹，炮车和炮弹的质 量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度V。 v 炮车与地面间的摩擦力不计。
M
m
解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上 的外力有重力 G 和地面支持力 N ，而且 G N ， 在发射过程中G N 并不成立（想一想为什么？）， 系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守 E 恒。
Fx
t
冲量可表为
I x Fx t
§3-1 冲量与动量定理
t
E
质点系——多个质点组成的系统。（质点的集合）
质点系的总动量——每个质点动量的矢量和。即
p
i 1
N
pi
i 1
N
mi vi
设第 i 个质点受外力为 Fi ，受质点系其他质点的合力， 即内力为 f i , j f i ,1 f i , 2 f i ,i 1 f i ,i 1 f i , N
v M dm
v+dv M dm t+dt 时刻 x
t 时刻
由动量守恒定律
t 时刻 总动量
Mv (M dm)(v dv) dm(v u) Mv Mdv udm dmdv
t+dt 时刻 总动量
E
Mdv udm 0
dm dM
Mdv udM 0
第三章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum
E
本章主要内容
§3-1冲量与动量定理
§3-2动量守恒定律 §3-3火箭飞行原理
大学物理教学资料——动量与角动量-PPT课件
m2 gh N mg t
y
N
1200 N t 1 s 时 , N 600 600 t 0 . 1 s 时 , N 600 6000 6600 N
m g
例：一枚静止的炸弹在水平面内爆炸，炸成三块，第 一块质量为m,速度v1=800m/s，向西；第二块质量为 m，速度v2=600m/s,向南；第三块质量为2m，求：第 三块弹片的速度大小和方向。
元冲量 元增量
若力作用了 t2 - t1一段时间,则有
t 1 2
t 2 I F d t p p t ot al 1
合力的冲量 （过程量） 动量增量 （始末状态量）
动量定理 （积分形式）
三、求冲量的两种方法
t2 是变力，不能轻易地移到积分外。 （1）I Fdt F
t1
I x Fxdt
t2
对 F 矢量积分，把 F 分成三个分量。
p1
I y Fy dt
IZ Fz dt
t1
t1
I
p2
t2
t1 t2
z
p1
t2
F t
P P （2）I 2 1
2 2 2 I Ix Iy Iz
x
0 t1
y
一个过程量等于始末两个状态量之差。 冲量是矢量, 冲量的方向一般不同于初、 末 动量的方向，而是动量 增量的方向。
记作
质点系动量定理 F d t d P 外
（微分形式）
F d t d P 外
质点系动量定理 或 d t P P 外 2 1 （积分形式） F
t2 t 1
“质点系总动量的增量等于该质点系所受的 合外力的冲量” 注意:内力不影响质点系的总动量！ 但内力可影响质点系内某些质点的动量。 质点系动量定理是牛III的必然推论。
y
N
1200 N t 1 s 时 , N 600 600 t 0 . 1 s 时 , N 600 6000 6600 N
m g
例：一枚静止的炸弹在水平面内爆炸，炸成三块，第 一块质量为m,速度v1=800m/s，向西；第二块质量为 m，速度v2=600m/s,向南；第三块质量为2m，求：第 三块弹片的速度大小和方向。
元冲量 元增量
若力作用了 t2 - t1一段时间,则有
t 1 2
t 2 I F d t p p t ot al 1
合力的冲量 （过程量） 动量增量 （始末状态量）
动量定理 （积分形式）
三、求冲量的两种方法
t2 是变力，不能轻易地移到积分外。 （1）I Fdt F
t1
I x Fxdt
t2
对 F 矢量积分，把 F 分成三个分量。
p1
I y Fy dt
IZ Fz dt
t1
t1
I
p2
t2
t1 t2
z
p1
t2
F t
P P （2）I 2 1
2 2 2 I Ix Iy Iz
x
0 t1
y
一个过程量等于始末两个状态量之差。 冲量是矢量, 冲量的方向一般不同于初、 末 动量的方向，而是动量 增量的方向。
记作
质点系动量定理 F d t d P 外
（微分形式）
F d t d P 外
质点系动量定理 或 d t P P 外 2 1 （积分形式） F
t2 t 1
“质点系总动量的增量等于该质点系所受的 合外力的冲量” 注意:内力不影响质点系的总动量！ 但内力可影响质点系内某些质点的动量。 质点系动量定理是牛III的必然推论。
第3章动量与角动量.ppt
udM
0
( dm dM ) 质量比
v
M
dv u
dM
v0
M0 M
v v0
u ln
M0 M
u ln N
提高火箭速度的途径有二：
对应的措施是：
第一条是提高火箭喷气速度u
选优质燃料
第二条是加大火箭质量比
采取多级火箭
M0/终M速度为：v u1 ln N1 u2 ln N2 u3 ln N3
角动量定理
r M
v dL
dt
质点所受合外力矩 = 质点角动量对时间的变化率
r M
和
Lv都是相对惯性系中同一定点定义的。
积分形式：
t2 t1
M
dt
L2
L1
t2 Mdt —冲量矩，力矩的时间积累。
t1
§3.7 角动量守恒定律
M
0
L
常矢量
若对惯性系某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则 此质点对该固定点的角动量矢量保持不变，即角动量的大小 和方向都保持不变。
m
rv
r sin
2m
1 2
rv
r sin
2m
S
const
t
t
t
所以，面速度为常数
讨论
1）角动量守恒定律的条件 M 0
2）动量守恒与角动量守恒是相互独立的定律 动量不守恒
如行星运动 角动量守恒
3）有心力: 力始终过某一点。
M 0 角动量守恒
o
F
行星在速度和有心力所组成的平面内运动
课件：第3章 动量与角动量
3-3 一质点做匀速率圆周运动时，（ C ）。 （A）它的动量不变，对圆心的角动量也不变； （B）它的动量不变，对圆心的角动量不断改变； （C）它的动量不断改变，对圆心的角动量不变； （D）它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。
解：略
3-4 如图所示，质量为m的小球自高为y0处沿水平方向以速
bt
。
（2）开始时，若B的动量为-p0，则pB2 =
-p0+bt
。
解：物体A和B这一系统的动量守恒。一维情况下用标量即可 pA pB Const
pB Const pA Const p0 bt
（1） 由题设，t 0, pB 0
Const p0
pB bt
（2） 由题设，t 0, pB p0
)(
m1 m1 m2
v)2
m1 m1 m2
(1 2
m1v2 )
3-7 两个相互作用的物体A和B，无摩擦地在一条水平直线上
运动。物体A的动量是时间的函数，表示式是pA = p0- bt，式 中，p0、b分别为正常数，t为时间。在下列两种情况下，写 出物体B的动量作为时间的函数表示式：
（1）开始时，若B静止，则pB1 =
（A）动能不变，动量改变； （B）动量不变，动能改变；
R O
（C）角动量不变，动量不变；
（D）角动量改变，动量改变；
（E）角动量不变，动能、动量都改变；
解：小物体只受重力、桌面对它的支持力及绳的拉力。前二者平 衡掉了，且这对力的作用点相同，故对小物体无力矩。绳的拉力 始终指向圆心，对小物体的力矩在任何时刻都为零。故，小物体 在运动过程中受的总力矩时时刻刻均为零，因而其角动量守恒； 拉力对小物体做了功，故由动能定理小物体的动能有改变；拉力 对时间的积分不为零，由动量定理，这一积分值恰为小物体动量 的增量，也即，小物体的动量有改变。
大学物理课件第3章 动量与角动量
§3.3 动量守恒定律 质点系所受合外力为零， Σ 时间改变，即
Fi = 0 总动量不随
N P pi 常矢量
i 1
1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；
2. 合外力沿某一方向为零；
p i
i
const .
3. 只适用于惯性系； 4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。
M r F
力
M F d F r sin
提问:力矩为0的情况?
力矩
Lrp
动量
N m 矢量性: r F
单位:
三、角动量定理
pr p v pr F Lr 角动量定理： r F M (力矩)
q
v
V
v sinq
v cosq V
解：设车相对地面的反冲速度为V，方向水平向左 炮弹相对地面的速度水平分量为 v cosq V mv cosq 水平方向动量守恒 m(v cosq V ) MV 0 解得V
炮弹相对地面的速度竖直分量为 v sinq
m M
v sinq tg v cosq V
t2
mg
3秒时物是否被拉起？
F cos f 0 N F sin mg 0 f N t1 1.9 s
I x 0.62 Kgm / s
t1
F
x
dt 1.12t (cos sin ) mg dt
3
I x mvx 0 0.62Kgm / s
6
h
v
0
N =
m 2gh
τ
m 工件
mg
第3章：动量与角动量.ppt
解：以竖直悬挂的链条和 桌面上的链条为一系统，
m2
O
建立如图坐标，则：
F ex m1g yg
m1
y
由质点系动量定理得：
F exdt dp
y
F exdt dp
又 dp d(yv)
ygdt d(yv)
则
yg dyv
dt
两边同乘以 yd y 则：
y2gdy ydy dyv yv dyv
dt
g y y 2 d y yv yv dyv
0
0
m2
O
m1
y
y
1 gy3 1 yv2
32
v
2
gy
1 2
3
3.2 动量守恒定理
质点系动量定理：I t t0
Fiexdt
pi
pi0
动量守恒定律
若质点系所受的合外力为零：Fex Fiex 0
速率和角度弹回来。设碰撞时间为 0.05s。求此时间
内钢板所受到的平均F冲力 。
解：建立如图坐标系，由动量定理
Fxt mv2x mv1x
mvcos (mvcos)
x
mv1
2mv cos Fyt mv2y mv1y
m v2
mvsinα mvsin 0
p0 p
0 0
t2
t1
(F1
F12 )dt
m1v1
m1v10
t2
t1
(F2
F21 )dt
m2v2
m2
O
建立如图坐标，则：
F ex m1g yg
m1
y
由质点系动量定理得：
F exdt dp
y
F exdt dp
又 dp d(yv)
ygdt d(yv)
则
yg dyv
dt
两边同乘以 yd y 则：
y2gdy ydy dyv yv dyv
dt
g y y 2 d y yv yv dyv
0
0
m2
O
m1
y
y
1 gy3 1 yv2
32
v
2
gy
1 2
3
3.2 动量守恒定理
质点系动量定理：I t t0
Fiexdt
pi
pi0
动量守恒定律
若质点系所受的合外力为零：Fex Fiex 0
速率和角度弹回来。设碰撞时间为 0.05s。求此时间
内钢板所受到的平均F冲力 。
解：建立如图坐标系，由动量定理
Fxt mv2x mv1x
mvcos (mvcos)
x
mv1
2mv cos Fyt mv2y mv1y
m v2
mvsinα mvsin 0
p0 p
0 0
t2
t1
(F1
F12 )dt
m1v1
m1v10
t2
t1
(F2
F21 )dt
m2v2
动量与角动量.ppt
dt
(1) 只有外力可改变系统的总动量
(2) 内力可改变系统内单个质点的动量 ——质点的 动量重新分配，对总动量无影响。
注意
内力不改变质点系的动量
初始速度 vg0 vb0 0 mb 2mg
推开后速度 vg 2vb 且方向相反
则 则
p0 p
0 0
推开前后系统动量不变 p p0
例: 一个人站在平板车上掷铅球两次，相对于车的出手
速度均为v，仰角均为，第一次平板车固定，第二
次平板车可在水平面无摩擦运动，己知人和车的总
质量为M,球的质量为m,问两次射程之比为?
解：车固定： 车动：vmE
S1
(v vmM
cos
)t1
vME
v
水平方向： vmE v cos V V 水平方向动量守恒：
（趣称 头上长角 尾部添矩）
动量F 定理ddPt
t2
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
F
力
P
动量
t2
Fdt 力的冲量
t1
M角动d量dLt定理
t2
Mdt ΔL
t1
M 0 L 0
N
rc rimi m rdm m
2、质心的速度
i 1
vC
drc dt
Hale Waihona Puke N mivi
i 1
m
3、质心的动量
Pc
mvc
N mi vi
N
pi
P
i 1
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据推算，撞击的强度相当于4.5吨TNT炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大 小和14层楼深的凹洞。而撞击溅射出的大量彗星尘埃 和气体又将使坦普尔一号彗星熠熠生辉，人们有可能 通过小型天文望远镜目睹这一史无前例的奇异天象。
10
科学家认为，彗星含有太阳系形成早期的冰冻残留 物。他们希望深入彗星内部的研究将使他们能够了解 太阳系形成早期40多亿年前的情况，并加深对太阳系 起源的进一步了解。
天文学家们将组织一场国际规模的观测，以期尽可 能多地收集这次撞击的情况。美国宇航局还计划调整 哈勃、斯皮策和钱德拉太空望远镜，在撞击时和撞击 后锁定“坦普尔一号”进行观测。
美国科学家一再强调，这次撞击不会摧毁彗星或使 彗星偏离其运行轨道进而撞击地球。
11
§ 3.2 质点系的动量定理 一、质点系
由N个质点构成的系统
v u 1 lN n 1 u 2 lN n 2 u 3 lN n 3 19
火箭体对喷射的气体的推力：
dm[v(u)v]udm
dt
dt
喷射的气体对火箭体的推力：
F
u
dm dt
【思考】自由空间火箭质量随时间变化，应用
牛顿定律 d(dm t )vmd dvt vddm t 0，求出
2
能量、动量和角动量是最基本的物理量。 它们的守恒定律是自然界中的基本规律，适 用范围远远超出了牛顿力学。
动量描述平动，角动量描述转动。 力的时间积累（冲量）引起动量的变化； 力矩的时间积累引起角动量的变化。 本章从牛顿力学出发给出动量和角动量的 定义，推导这两个守恒定律，并讨论它们在 牛顿力学中的应用。下一章讨论能量。
3、外力<<内力时，动量近似守恒。例如碰撞 和爆炸。
【演示实验】载摆小车演示动量守恒
15
4、对那些不能用力的概念描述的过程，例如 光子与电子的碰撞、衰变、核反应等过程，
实验表明：只要系统不受外界影响,这 些过程的动量守恒。 5、物理学家对动量守恒定律具有充分信心。 每当出现违反动量守恒的反常现象时，总 是提出新的假设来补救，结果也总是以有 所新发现而胜利告终。
d M ( v u ) ( M d M )v ( d v )18
vf
Mf
dv
u
dM M
,
dv vi
u
Mi
dM M
vf
vi
uln
Mi Mf
设火箭质量比 NMi Mf，火箭增加的速度为
vf vi ulnN
提高速度的途径：
1、提高气体喷射速度u； 2、增大Mi /Mf （受限制），采用多级火箭， 终速度为
【例】在 衰变中，反中微子的发现
Z AX Z A 1Ye-
16
§3.4 火箭飞行原理 “神州”号飞船升空
17
v
( u ) vdv
M t时刻
dm MdM
(t dt)时刻
dmdM
u：dm相对火箭体喷射速度，定值。
质点系选：(M+dM , dm)
设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒：
M d m ( v v u ) ( M d M )v ( d v )
mj
pj
r
o惯性系
j
fj
fij
i,j(i)
i
fiddt i pi,i,
fij
j(i)
0（合内力为零）
fi i
ddt
pi,
i
即
F＝
d P（惯性系）
dt
14
§3.3 动量守恒定律
如果合外力为零，则质点系的总动量不随时
间改变
P pi 常矢量
i
1、只适用于惯性系。
2、若某方向的合外力为零，则沿这方向动量 守恒。
0
tt0
pt tp00
5
【例】质量m=140g的垒球以速率 v = 40m/s沿 水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿 仰角 60o飞出。求棒对垒球的平均打击力。设 棒和球的接触时间为 t =1.2 ms。
v2
60o
v1
6
因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动 量改变，基本上由打击力的冲量决定。重力、阻 力的冲量可以忽略。
程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。
8
【演示实验】逆风行舟
水
F阻
F横
龙骨
F
F横
显示动量定理的矢量性。
V
v1
F纵
m
p1 p
p2
帆
v2
【思考】在逆风行舟实验中，能否顶风前进？ 9
“炮轰”彗星
2005 年 7 月 4 日 ， 美 国 发 射 的 “ 深 度 撞 击 ” 号 （Deep Impact）探测器携带的重372千克的铜头“炮 弹” ，将以每小时3.7万公里的速度与坦普尔一号彗 星（TEMPEL1）的彗核相撞。
3
§ 3.1 冲量与动量定理
力的时间积累称为冲量（impulse）：
dIFdt t
I F(t)dt t0
牛顿第二定律质点的动量定理：
dIF dtdp
t
It0F (t)dtpp0
动量定理常用于碰撞过程。 4
碰撞过程的平均冲击力：
F
y
Fm
F
v0
v
I
0 t0
tt
F
I
tt0
t
Fdt
t
mv2
mg t
60o
mv1
打击力冲量 F t
F tm v2m v1
7
F tm v 2m v 1
F t
mv2
v2v1v
F 2 mv cos 30 t
30o mv1
60o m=140g
2 0 .14 40 cos 30 1 .2 10 3
8 .1 10 3 ( N )
平均打击力约为垒球自重的5900倍！在碰撞过
i
内力可改变各质点的动量，
但合内力为零，对总动量无影
fi
pi
ri
m i fij
f ji
mj
pj
响。应
用
质
点
系
动
量定理来自不必r
o惯性系
j
考虑内力。
fj
13
证明：对第 i 个质点
fijfi
ji
ddt
pi
对质点求和
i j ifijfiddt i pi
fi
pi
ri
m i f ij
f ji
i,j1,2, ,N
1、内力和外力 内力：fijfji 外力：fi , fj
fi
ri
m i f ij
f ji
o惯性系r j
mj fj
2、过程中包括的质点不变
【思考】为什么有上述要求？
12
二、质点系的动量定理
质点系总动量的时间F变＝化dd率Pt 等于所受合外力
F＝ fi
：合外力
i
P＝pi
：总动量
第3章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum
目录
§3.1 冲量 动量定理 §3.2 质点系的动量定理 §3.3 动量守恒定律 §3.4 火箭飞行原理 §3.5 质心 §3.6 质心运动定理 质心参考系 §3.7 质点的角动量 §3.8 角动量守恒定律 §3.9 质点系的角动量定理 §3.10质心参考系中的角动量定理
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科学家认为，彗星含有太阳系形成早期的冰冻残留 物。他们希望深入彗星内部的研究将使他们能够了解 太阳系形成早期40多亿年前的情况，并加深对太阳系 起源的进一步了解。
天文学家们将组织一场国际规模的观测，以期尽可 能多地收集这次撞击的情况。美国宇航局还计划调整 哈勃、斯皮策和钱德拉太空望远镜，在撞击时和撞击 后锁定“坦普尔一号”进行观测。
美国科学家一再强调，这次撞击不会摧毁彗星或使 彗星偏离其运行轨道进而撞击地球。
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§ 3.2 质点系的动量定理 一、质点系
由N个质点构成的系统
v u 1 lN n 1 u 2 lN n 2 u 3 lN n 3 19
火箭体对喷射的气体的推力：
dm[v(u)v]udm
dt
dt
喷射的气体对火箭体的推力：
F
u
dm dt
【思考】自由空间火箭质量随时间变化，应用
牛顿定律 d(dm t )vmd dvt vddm t 0，求出
2
能量、动量和角动量是最基本的物理量。 它们的守恒定律是自然界中的基本规律，适 用范围远远超出了牛顿力学。
动量描述平动，角动量描述转动。 力的时间积累（冲量）引起动量的变化； 力矩的时间积累引起角动量的变化。 本章从牛顿力学出发给出动量和角动量的 定义，推导这两个守恒定律，并讨论它们在 牛顿力学中的应用。下一章讨论能量。
3、外力<<内力时，动量近似守恒。例如碰撞 和爆炸。
【演示实验】载摆小车演示动量守恒
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4、对那些不能用力的概念描述的过程，例如 光子与电子的碰撞、衰变、核反应等过程，
实验表明：只要系统不受外界影响,这 些过程的动量守恒。 5、物理学家对动量守恒定律具有充分信心。 每当出现违反动量守恒的反常现象时，总 是提出新的假设来补救，结果也总是以有 所新发现而胜利告终。
d M ( v u ) ( M d M )v ( d v )18
vf
Mf
dv
u
dM M
,
dv vi
u
Mi
dM M
vf
vi
uln
Mi Mf
设火箭质量比 NMi Mf，火箭增加的速度为
vf vi ulnN
提高速度的途径：
1、提高气体喷射速度u； 2、增大Mi /Mf （受限制），采用多级火箭， 终速度为
【例】在 衰变中，反中微子的发现
Z AX Z A 1Ye-
16
§3.4 火箭飞行原理 “神州”号飞船升空
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v
( u ) vdv
M t时刻
dm MdM
(t dt)时刻
dmdM
u：dm相对火箭体喷射速度，定值。
质点系选：(M+dM , dm)
设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒：
M d m ( v v u ) ( M d M )v ( d v )
mj
pj
r
o惯性系
j
fj
fij
i,j(i)
i
fiddt i pi,i,
fij
j(i)
0（合内力为零）
fi i
ddt
pi,
i
即
F＝
d P（惯性系）
dt
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§3.3 动量守恒定律
如果合外力为零，则质点系的总动量不随时
间改变
P pi 常矢量
i
1、只适用于惯性系。
2、若某方向的合外力为零，则沿这方向动量 守恒。
0
tt0
pt tp00
5
【例】质量m=140g的垒球以速率 v = 40m/s沿 水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿 仰角 60o飞出。求棒对垒球的平均打击力。设 棒和球的接触时间为 t =1.2 ms。
v2
60o
v1
6
因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动 量改变，基本上由打击力的冲量决定。重力、阻 力的冲量可以忽略。
程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。
8
【演示实验】逆风行舟
水
F阻
F横
龙骨
F
F横
显示动量定理的矢量性。
V
v1
F纵
m
p1 p
p2
帆
v2
【思考】在逆风行舟实验中，能否顶风前进？ 9
“炮轰”彗星
2005 年 7 月 4 日 ， 美 国 发 射 的 “ 深 度 撞 击 ” 号 （Deep Impact）探测器携带的重372千克的铜头“炮 弹” ，将以每小时3.7万公里的速度与坦普尔一号彗 星（TEMPEL1）的彗核相撞。
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§ 3.1 冲量与动量定理
力的时间积累称为冲量（impulse）：
dIFdt t
I F(t)dt t0
牛顿第二定律质点的动量定理：
dIF dtdp
t
It0F (t)dtpp0
动量定理常用于碰撞过程。 4
碰撞过程的平均冲击力：
F
y
Fm
F
v0
v
I
0 t0
tt
F
I
tt0
t
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t
mv2
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60o
mv1
打击力冲量 F t
F tm v2m v1
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F tm v 2m v 1
F t
mv2
v2v1v
F 2 mv cos 30 t
30o mv1
60o m=140g
2 0 .14 40 cos 30 1 .2 10 3
8 .1 10 3 ( N )
平均打击力约为垒球自重的5900倍！在碰撞过
i
内力可改变各质点的动量，
但合内力为零，对总动量无影
fi
pi
ri
m i fij
f ji
mj
pj
响。应
用
质
点
系
动
量定理来自不必r
o惯性系
j
考虑内力。
fj
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证明：对第 i 个质点
fijfi
ji
ddt
pi
对质点求和
i j ifijfiddt i pi
fi
pi
ri
m i f ij
f ji
i,j1,2, ,N
1、内力和外力 内力：fijfji 外力：fi , fj
fi
ri
m i f ij
f ji
o惯性系r j
mj fj
2、过程中包括的质点不变
【思考】为什么有上述要求？
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二、质点系的动量定理
质点系总动量的时间F变＝化dd率Pt 等于所受合外力
F＝ fi
：合外力
i
P＝pi
：总动量
第3章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum
目录
§3.1 冲量 动量定理 §3.2 质点系的动量定理 §3.3 动量守恒定律 §3.4 火箭飞行原理 §3.5 质心 §3.6 质心运动定理 质心参考系 §3.7 质点的角动量 §3.8 角动量守恒定律 §3.9 质点系的角动量定理 §3.10质心参考系中的角动量定理