厦门大学《应用多元统计分析》习题第02章 多元正态分布的参数估计

思考与练习

2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。

2.2 设随机向量12(,)X X ′=X 服从二元正态分布，写出其联合分布密度函数和1X 、2X 各自的边缘密度函数。

2.3 已知随机向量12(,)X X ′=X 的联合分布密度函数为：

()()()()()()()()()

121122

2

22,d c x a b a x c x a x c f x x b a d c −−+−−−−−2⎡⎤⎣⎦

=

−−

其中，。求：

12,a x b c x d ≤≤≤≤⑴ 随机变量1X 和2X 各自的边缘密度函数、均值与方差。 ⑵ 随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数。 ⑶ 判断1X 和2X 是否相互独立。

2.4 设随机向量12(,,,)p X X X ′=X L 服从正态分布，已知其协差阵为对角阵，证明ΣX 的分量是相互独立的随机变量。

2.5 从某企业全部职工中随机抽取一个容量为6的样本，该样本中各职工的目前工资、受教育年限、初始工资和工作经验资料如下表所示： 职工编号

目前工资 （美元）

受教育年限（年）

初始工资 （美元）

工作经验（月）

1

1 2 3 4 5 6 57,000 40,200 21,450 21,900 45,000 28,350 15 16 12 8 15 8 27,000 18,750 12,000 13,200 21,000 12,000 144 36 381 190 138 26

设职工总体的以上变量服从多元正态分布，根据样本资料求出均值向量和协差阵的最大似然估计。

2.6 均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质？ 2.7 试证多元正态总体的样本均值向量(,)p N μΣ1

~(,

p N n

X μΣ)。 2.8 试证多元正态总体的样本协差阵S 为(,)p N μΣΣ的无偏估计。 2.9 设()1x 、()2x 、…、()n x 是从多元正态总体中独立抽取的一个随机样本，试求样本协差阵的分布。

(,)p N μΣS 2.10 设()i i X n p ×是来自(),p i i N μΣ的数据阵，1,,i k =L ， ⑴ 已知1k ===μμμL 且1k ===ΣΣL Σ，求μ和的估计。 Σ⑵ 已知1k ===ΣΣL Σ，求1,,k μμL 和Σ的估计。

2