高中数学黄金解题模板专题 立体几何中的探索问题(解析版)

【高考地位】

探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．

【方法点评】

方法一 直接法

使用情景：立体几何中的探索问题

解题模板：第一步 首先假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；

第二步 然后运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决；

第三步 得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果

要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．.

例1．如图甲， O e 的直径2AB =，圆上两点C 、D 在直径AB 的两侧，使C 4

π

∠AB =

，

D 3

π

∠AB =

．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为C B 的中点，

E 为AO 的中点．根据图乙解答下列各题：

（1）求证：C D B ⊥E ；

（2）在BD 弧上是否存在一点G ，使得FG//平面CD A ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．

思路分析：（1）利用等边三角形的性质可得DE ⊥AO ，再利用面面垂直的性质定理即可得到DE ⊥平面ABC ，进而得出结论．

（2）要满足FG ∥平面ACD ，可过直线FG 做一平面使其与平面ACD 平行，找到所做平面与BD 弧的交点．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定和直线与平面平行的判定. 这类探索性题型通常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用下列二种方法：⑴通过各种探索尝试给出条件;⑵找出命题成立的必要条件，也证明充分性．

【变式演练1】如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =．

（Ⅰ）求棱锥C ADE -的体积； （Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；

（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ，使//AF 平面BCE ？若存在，求出EF ED

的值；若不存在，

说明理由．

（Ⅲ）结论：在线段DE上存在一点F，且

1

3 EF

ED

=，使//

AF平面BCE．

解：设F为线段DE上一点，且

1

3

EF

ED

=，过点F作//

FM CD交CE于M，则

1

=

3

FM CD．因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以//

CD AB．又因为3

CD AB

=所以MF AB

=，//

FM AB，所以四边形ABMF是平行四边形，则//

AF BM．又因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以//

AF平面BCE．

【变式演练2】如图，在四棱锥P ABCD

-中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．

F

D

C

P

E

（1）求证：//

AB EF；

（2）若PA AD

=，且平面PAD⊥平面ABCD，试证明AF⊥平面PCD；

（3）在（2）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM⊥平面PCD?（直接给出结论，不需要说明理由）

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析．

【解析】

方法二 空间向量法

使用情景：立体几何中的探索问题

解题模板：第一步 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；

第二步 然后运用空间向量将立体几何问题转化为空间向量问题并进行计算、求解；

第三步 得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果

要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．.

例2. 如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，且

2,1AB BP AD AE ====，,AE AB ⊥且AE ∥BP ．

（Ⅰ）设点M 为棱PD 中点，求证：EM ∥平面ABCD ；

（Ⅱ）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于2

5

？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．

思路分析：（Ⅰ）方法一：以B 为原点，,,BA BP BC u u u v u u u vu u u u v

分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角

坐标系，求出平面ABCD 的一个法向量，由此证得结果；方法二：连结,AC BD ，其交点记

为O ，连结MO ，EM ，由中位线定理可得1

2

OM PB P ，从而证得四边形AEMO 是平行四边

形，进而由平行四边形的性质可使问题得证；（Ⅱ）先求出平面PCD 的一个法向量，然后由此利用向量法求出线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为

2

5

．

（方法二）由三视图知，,,BA BP BC 两两垂直．连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ，EM ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点，所以OM ∥PB ，且1

2

OM PB =

． 又因为AE ∥PB ，且1

2

AE PB =，所以AE ∥OM ，且AE =OM ．所以四边形AEMO 是平行四边形，

所以EM ∥AO ，因为EM ⊄平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ．