边缘分布函数和边缘分布密度

山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
解 根据联合密度函数的性质，有




1 f ( x，y )dxdy k x ydydx k 1 0 x 8
1 1
所以 k 8 X的边缘密度函数 f X ( x) f ( x，y)dy 1 2 当0≤x≤1时， f X ( x) 8xydy 4x(1 x )
xi x
FY(y) = F(+∞ ,y) =
yj y
p
i 1
j 1
xi x
ij

yjy
p
.j
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概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
例1 已知随机向量（X，Y）的联合分布如下表，求 关于X 和Y 的边缘分布。 Y 你只要把每列的概率 -1 0 2 相加放在该列的最下面，X 0 0. 1 0. 2 0 把每行的概率相加放在 0. 3 0. 05 0. 1 该行的最右面，就大功 1 2 0. 15 0 0. 1 告成了。 把第一行和最后一行 Y -1 0 2 pi. 拿出来就是X的分布；把 X 第一列和最后一列拿出 0 0. 1 0. 2 0 0. 3 来就是Y的分布。 1 0. 3 0. 05 0. 1 0. 45 边缘分布pi.和p.j分别 2 0. 15 0 0. 1 0. 25 是联合分布表中第i行和 p.j 0. 55 0. 25 0. 2 第j列各联合概率之和．
i 1

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1. 离散型二维随机向量的边缘分布 设 (X, Y) 的联合分布列为 pij = P{X=xi ,Y=yj}, 则 (X, Y) 的边缘分布列为
pi. P{ X xi } pi
j 1
p. j P{Y y j } pi



i 1
pi. 1
pi. P{ X xi } pij ,
j 1
p. j P{Y y j } pij
( i = 1,2, …)
例如 p1. P{ X x1} p1 j ,
j 1

( j =1,2, …)
p.2 P{Y y2 } pi 2
u2 2
令t
v u 1 p
2
,
1 f X ( x) e 2 1 fY ( y ) 1 2 2

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1 e 2
t2 2
1 dt e 2 1

( x 1 ) 2
2 2 1
类似地有
e

( y 2 )2
2 2 2
可见 X~ N(μ1,σ12 ) , Y~ N(μ2,σ22 ).
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主讲人：程述汉 苏本堂
1. 离散型二维随机向量的边缘分布
X
Y
y1 p11 p21
y2
… yj
…
P{X=xi} p1. p2.
x1 x2
p12 … p1j … p22 … p2j …
xi P{Y=yj}
pi1 p.1
pi2 … pij … … … p.2 … p.j …
f ( x, y )dx
f X ( x)


f ( x, y)dy
fY ( y )


通常分别称上式为二维随机变量关于X和Y的边缘密度函 数或边缘密度。
例2 设随机变量（X，Y）的密度函数为 kxy, 0 x y 1 f ( x, y) 0, 其他 试求参数k的值及X和Y的边缘密度。
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§3.2 边 缘 分 布
3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度
3.2.2 随机变量的独立性
3.2.3 条件分布
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主讲人：程述汉 苏本堂
3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度 设(X, Y)的联合分布函数F(x, y)则 X 和 Y 的边缘分 布函数 FX(x) , FY(y) 分别为:
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2. 二维连续型随机变量边缘概率密度函数
设连续型随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为 f(x,y) 由于 FX ( x) P{ X x} P{ X x, Y } 所以
[

x



f ( x, y)dy]dx
FX ( x) P{X x} FY ( y ) P{Y y} P{X x, Y } P{ X , Y y} F ( x,) F (, y)
lim F ( x, y )
y
lim F ( x, y)
x
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1 2 2 f X ( x) f ( x, y)dy exp{ ( u 2 u v )}dv 2 2(1 ) 21 1 2
1 2 1 e
u2 2
1



(v u ) 2 exp{ }dv 2 2 2(1 ) 2 1 1
i 1

( i =1,2, …)
( j = 1,2, …) Y y1 y2 · · ·yj · · · p.j p.1 p.2 · · ·p.j · · ·
即
X x1 x2 · · ·xi · · · pi. P1. p2. · · ·pi. · · ·
(X, Y) 的边缘分布函数为： FX(x) = F(x,+∞) = p i j pi.
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3.2.2 随 机 变 量 的 独 立 性
x
当0>x或x>1时, f X ( x) 0
故
4 x(1 x) 2 ， 0 x 1 f X ( x) 其它 0，
同理可得
4 y 3， 0 y 1 f Y ( y) 0， 其它
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例3 设(X，Y)服从N(μ1， σ12； μ2，σ22；ρ)， 求边缘密度。 x 1 y 2 ,v , 则有 解 令 u 1 2