442变式专题与角平分线有关的角度计算问题
微专题(六) 与角平分线有关的四种基本模型 课件(共19张PPT) 2024年中考数学总复习专题突破
5
.所以
6
= 4 =
10
.
3
10
【答案】
3
图34
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型四 角平分线+轴对称
构造
复习讲义
全等三角形
6.如图6，在 △ 中， ∠ = 108∘ ， = ，
图6
平分 ∠ ，交 于点 .求证： = + .
B. 2 + 3
C. 2 + 3
D.3
图2
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型二 角平分线+角平分线的垂线
复习讲义
构造
等腰三角形
3.如图3，在 △ 中， < ， 平分
∠ ， ⊥ 于点 ，连接 .若 △ 的
面积为4，求 △ 的面积．
复习讲义
学习至此，请完成微专题练习（六） （第267页）
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
微专题练习（六）
与角平分线有关的四种基本模型
模型一 角平分线+边的垂线
构造
双垂直
1.如图1， 平分 ∠ ， ⊥ 于点 ，
△ = 8 ， = 2 ， = 4 ，则 的长是
= 8 ，所以 = 10 .所以 : : = : : = 3: 4: 5 .设
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
= = 3 ，则 = = 4 ， = 5 .因为 = 10 ，所以
3 + 5 + 4 = 10 .所以 =
三角形中两角平分线夹角的计算方法
三角形中两角平分线夹角的计算方法在学习“三角形”这一章时，遇到了三角形中（内、外）角平分线的夹角计算问题，在解决这类问题时，我发现了三角形（内、外）角平分线的夹角的度数总与三角形的一个内角有关。
例：如图1，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D。
求∠BDC的度数。
解答本题时，利用三角形角平分线的定义及三角形内角和定理，经过推理，我发现了∠BDC与∠A之间存在一定的数量关系。
解答过程如下：由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB可知，∠DBC=∠ABC,∠DCB= ∠ACB.又根据三角形内角和为180°可知∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)=90°+ ∠A=90°+ ×60°=120°通过以上问题的解答，我发现了这样一个结论：三角形的两内角平分线的夹角的度数等于90°加上第三个内角的度数的一半。
我把这个结论告诉了老师，老师笑着点点头说：“不错，你能发现这点太棒了！老师还想考考你，如果把两个内角的平分线变为两个外角的平分线，你还能有新的发现吗？”如图２,在△ABC中，外角∠EBC、∠BCF的平分线交于点D。
此时∠BDC 又与哪个角有关系呢？是否也与∠A有关呢？经过我的探索，我得出了这样的结论：∠BDC=90°- ∠A.推理过程如下：由BD、CD分别平分∠EBC、∠BCF可得,∠DBC= ∠EBC,∠DCB= ∠BCF,由三角形内角和定理及推论可知,∠DBC + ∠DCB=∠EBC+ ∠BCF,=(∠A+∠ACB)+(∠A+∠ABC),=(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC),=(180°+∠A),=90°+ ∠A.所以∠BDC=180°-(∠DBC + ∠DCB),=180°-(90°+ ∠A)=90°- ∠A我兴奋地跑到老师的办公室，向老师说出了我的发现：三角形的两个外角的平分线的夹角的度数等于90°减去第三个内角的一半。
专训2 巧用角平分线的有关计算
专训2巧用角平分线的有关计算
名师点金：角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据，因此解这类题要从角平分线找角的数量关系，利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和、差关系求解．
角平分线间的夹角问题(分类讨论思想)
1．已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON 的度数．
巧用角平分线解决折叠问题(折叠法)
2．如图，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后把BE折过去，使之落在A′B所在直线上，折痕为BD，那么两折痕BC与BD间的夹角是多少度？
(第2题)
巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问题
(方程思想)
3．如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．
(第3题)
巧用角平分线解决角的推理问题(转化思想)
4．如图，已知OD，OE，OF分别为∠AOB，∠AOC，∠BOC的平分线，∠DOE和∠COF 有怎样的关系？说明理由．
(第4题)。
巧借三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题
三角形边长的求解 方法
三角形边长求解的 步骤
三角形边长求解的 实例
三角形内外角平分线夹角模型的应 用场景
三角形内切圆半径的几何意义
添加标题
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三角形内切圆半径的求解方法
添加标题
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三角形内切圆半径在解题中的应用
三角形内外角平分 线夹角模型的解题 思路
确定三角形内外角平分 线的位置是解题的关键 步骤，可以通过作图或 逻辑推理来确定。
三角形内外角平分线夹角与三角形其他角的关系 三角形内外角平分线夹角的定理和证明 三角形内外角平分线夹角的性质定理及其应用 三角形内外角平分线夹角与三角形面积的关系
确定三角形内外角平分线夹角 的位置和性质
利用三角形内外角平分线夹角 进行角度计算
利用三角形内外角平分线夹角 解决几何问题
三角形内外角平分线夹角的特 殊性质和定理
该模型的应用范围广泛，不仅适用于三角形，还可以拓展到多边形等领域。
掌握三角形内外角平分线夹角模型有助于提高学生的几何思维能力，为进一步学习其他几何知 识打下基础。
在实际生活中，三角形内外角平分线夹角模型的应用也十分广泛，涉及到建筑设计、工程测量 等多个领域。
感谢您的观看
汇报人：XX
在解题过程中，需要利 用三角形内外角平分线 的性质，如平行线性质、 角平分线性质等。
确定三角形内外角平分线 的位置有助于进一步推导 和证明其他相关结论，如 三角形内角和定理、外角 定理等。
在实际应用中，确定三角 形内外角平分线的位置可 以帮助解决一些实际问题， 如测量、几何作图等。
定义：三角形内外角平分线夹角为α，利用性质建立方程
三角形面积计算 案例：一个三角 形的三边长分别 为5cm、6cm和 7cm，求其面积
三角形角平分线经典例题讲解
三角形角平分线经典例题讲解今天咱们聊聊三角形的角平分线，这个东西可真有趣。
大家都知道，三角形有三个角，对吧？而角平分线就是把其中一个角分成两个相等的角。
想象一下，一个小朋友在划分他的糖果，想让每一部分都一样，生怕一边多一颗，一边少一颗。
角平分线就是这么一个公正的“糖果分配者”。
说到这，大家有没有想过，三角形的角平分线跟其他线段有什么不同呢？它不仅仅是个直线，它还有许多有趣的性质。
角平分线的定义可不是随便说说的。
它是从一个顶点出发，直达对边，确保两个角完全相等。
想想看，如果你在画图，随便一条线怎么能做到这点呢？得用心！在我们生活中，很多地方都能看到角平分线的影子，想象一下，那些精致的甜品店，做蛋糕时的对称美，都是在追求这种“公平”的理念。
真是妙不可言。
大家知道吗？角平分线还有个酷炫的性质，就是它把对边分成的两部分，有个奇妙的比例关系。
这可不是开玩笑，跟数学中的“比”有关系哦，具体说就是：角平分线把对边分成的两段长度，跟这条线的两条边的长度成比例。
听起来可能有点复杂，咱们举个简单的例子吧。
假设有一个三角形ABC，角A是个大角，咱们把它的角平分线叫做AD。
AD把BC分成了两部分，BD和DC。
这个时候，AD的长度和AB、AC的长度之间就有了某种美丽的平衡。
就像一位和蔼可亲的老师在课堂上把学生分成了两组，确保每组都有足够的成员，让每个孩子都能参与进来。
真是温馨的一幕呢。
角平分线的性质不仅让人觉得公平，还能在一些复杂的问题中帮我们解决难题。
数学题目就像过家家的游戏，难免会有点混乱。
这时，找到角平分线，就好比找到了一根指路明灯，让我们能顺利地走出迷雾。
大家都想过，怎么利用角平分线解决实际问题吗？比如在地理上，角平分线可以帮助我们划分区域，确保每个区域都被合理地利用。
说到这，我就想到了一个经典的应用题。
有一天，小明跟小红在讨论一个三角形的面积，争论得不可开交。
小明说，他觉得从一个顶点画条角平分线，把对边分成两段，面积也分成两个比例，结果小红立刻不服气，开始反驳。
【期末专项】苏科版七年级数学上册期末复习专题 与角平分线有关的动角问题
与角平分线有关的动角问题1．如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使120BOC ∠=︒．将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一直角边OM 在射线OB 上，另一直角边ON 在直线AB 的下方．(1)将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使边OM 在BOC ∠的内部，且恰好平分BOC ∠．问：此时直线ON 是否平分AOC ∠？请说明理由．(2)将图1中的三角板绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n 秒时，直线ON 恰好平分AOC ∠，则n 的值为______（点接写结果）(3)若图1中的三角板绕点O 旋转至图3，使ON 在AOC ∠的内部时，AOM NOC ∠-∠的度数是多少？ 2．如图1：已知OB ⊥OD ，OA ⊥OC ，∠COD ＝40°，若射线OA 绕O 点以每秒30°的速度顺时针旋转，射线OC 绕O 点每秒10°的速度逆时针旋转，两条射线同时旋转，当一条射线与射线OD 重合时，停止运动．(1)开始旋转前，∠AOB ＝ ．(2)若射线OB 也绕O 点以每秒20°的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与射线OD 重合时，停止运动．当三条射线中其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线时，求旋转的时间．(3)【实际应用】从今天上午6时整开始到上午7时整结束的运动过程中，经过多少分钟时针与分针所形成的钝角等于120°（直接写出所有可能结果）．3．已知直线AB 和CD 交于点O ，∠AOC ＝α，∠BOE ＝90°，OF 平分∠AOD ．（1）当α＝30°时，则∠EOC ＝_________°；∠FOD ＝_________°．（2）当α＝60°时，射线OE ′从OE 开始以12°/秒的速度绕点O 逆时针转动，同时射线OF ′从OF 开始以8°/秒的速度绕点O 顺时针转动，当射线OE ′转动一周时射线OF ′也停止转动，求经过多少秒射线OE ′与射线OF ′第一次重合？（3）在（2）的条件下，射线OE ′在转动一周的过程中，当∠E ′OF ′＝90°时，请直接写出射线OE ′转动的时间为_________秒．4．若A 、O 、B 三点共线，40BOC ∠=︒，将一个三角板的直角顶点放在点O 处（注：90DOE ∠=︒，30EDO ∠=︒）．(1)如图1，使三角板的长直角边OD 在射线OB 上，则COE ∠=____________°；(2)将图1中的三角板DOE 绕点O 以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时14COD AOE ∠=∠，求运动时间t 的值； (3)将图2中的三角板DOE 再绕点O 以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过t 秒后，直线OC 恰好平分DOE ∠，求t 的值．5．【阅读理解】射线OC 是∠AOB 内部的一条射线，若∠AOC ＝12∠BOC ，则称射线OC 是射线OA 在∠AOB 内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB ＝75°，∠AOC ＝25°，则∠AOC ＝12∠BOC ，所以射线OC 是射线OA 在∠AOB 内的一条“友好线”．【解决问题】(1)在图1中，若作∠BOC 的平分线OD ，则射线OD （填“是”或“不是”）射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”；(2)如图2，∠AOB 的度数为n ，射线OM 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”，ON 平分∠AOB ，则∠MON 的度数为 （用含n 的代数式表示）；(3)如图3，射线OB 先从与射线OA 重合的位置出发，绕点O 以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC 也从与射线OA 重合的位置出发，绕点O 以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC 与射线OA 的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC 运动时间为多少秒时，射线OA ，OB ，OC 中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？6．如图1，直线m 与直线n 相交于点O ，A 、B 两点同时从点O 出发，点A 以每秒x 个单位长度沿直线n 向左运动，点B 以每秒y 个单位长度沿直线m 向上运动．(1)若运动1s 时，点B 比点A 多运动1个单位；运动2s 时，点B 与点A 运动的路程和为6个单位，则x =_________，y =_________．(2)如图2，当直线m 与直线n 垂直时，设BAO ∠和ABO ∠的角平分线相交于点P ．在点A 、B 在运动的过程中，APB ∠的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出主要过程）；若发生变化，请说明理由．(3)如图3，将（2）中的直线n 不动，直线m 绕点O 按顺时针方向旋转()090αα<<，其他条件不变． （i ）用含有α的式子表示APB ∠的度数_________．（ii ）如果再分别作ABO 的两个外角BAC ∠，ABD ∠的角平分线相交于点Q ，并延长BP 、QA 交于点M ．则下列结论正确的是_________（填序号）．①APB ∠与Q ∠互补；②M Q ∠-∠为定值；③APB M ∠-∠为定值；④Q ∠与M ∠互余．7．【阅读理解】射线OC 是∠AOB 内部的一条射线，若∠COA ＝12∠BOC ，则称射线OC 是射线OA 在∠AOB 内的一条“友好线”．如图1，∠AOB ＝60°，∠AOC ＝20°，则∠AOC ＝12∠BOC ，所以射线OC 是射线OA 在∠AOB 内的一条“友好线”．【解决问题】（1）在图1中，若作∠BOC 的平分线OD ，则射线OD 射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，∠AOB 的度数为n ，射线OM 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”，ON 平分∠AOB ，则∠MON 的度数为 ；（用含n 的代数式表示）（3）如图3，射线OB 从与射线OA 重合的位置出发，绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC 从与射线OA 的反向延长线重合的位置出发，绕点O 以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC 与射线OA 重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA 、OB 、OC 中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？8．如图①，直线AB ､CD 相交于点O ，射线OE CD ⊥，垂足为点O ，过点O 作射线OF 使130BOF ∠=︒．（1）将图①中的直线CD 绕点O 逆时针旋转至图②，OE 在BOF ∠的内部，当OE 平分BOF ∠时，OC 是否平分AOF ∠，请说明理由；（2）将图①中的直线CD 绕点O 逆时针旋转至图③，OD 在的内部，探究AOE ∠与DOF ∠之间的数量关系，并说明理由；（3）若20BOE ∠=︒，将图①中的直线CD 绕点O 按每秒5°的速度逆时针旋转度α度（0180α︒<<︒），设旋转的时间为t 秒，当AOC ∠与EOF ∠互余时，求t 的值．9．[阅读]材料1：如图1，在透明纸上画一个角，把这个角对折，使角的两边重合，再展平纸片，折痕把这个角分成两个相等的角．我们称这条折痕所在直线l 平分这个角．材料2：如图2中，三角板OAB 绕点O 顺时针旋转60°到三角板OCD 的位置，这时，三角板的边OA 、OB 绕点O 顺时针旋转60°到OC 、OD 的位置；如图3中，三角板OAB 绕点 O 逆时针旋转90°到三角板OCD 的位置，这时，三角板的边OA 、OB 绕点O 逆时针旋转90°到OC 、OD 的位置．[问题解决]（1）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图3的方式摆放（顶点A 、C 重合）．现在将三角板OCD 固定不动，从起始位置（图4）开始，将三角板OAB 绕点O 顺时针匀速转动一周，转动速度为每秒5°．设三角板OAB 转动的时间为t 秒．①当三角板OAB 转动到图5的位置时，它的一边OA 平分∠COD ，求t 的值；②当三角板OAB 的一边OB 所在直线平分∠COD 时，t ＝ 秒；（直接写出结果）（2）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图6的方式摆放（顶点A 、O 、C 在一条直线上）．在三角板OAB 绕点O 以每秒5°的速度顺时针匀速转动的同时，三角板OCD 绕点O 以每秒3°的速度逆时针匀速转动，当三角板OAB 转动一周时停止转动，此时三角板 OCD 也停止转动．两块三角板同时从起始位置（图6）开始转动，设三角板OAB 转动的时间为t 秒．当三角板OAB 的一边OB 所在直线平分∠COD 时，t ＝ 秒．（直接写出结果）10．定义：在同一平两内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．如图为一量角器的平面示意图，O 为量角器的中心．作射线OA ，OB ，OC ，并将其所对应的量角器外圈刻度分别记为a ︒，b ︒，m ︒．（1）若射线OA ，OB ，OC 为“共生三线”，且OC 为AOB ∠的角平分线．①如图1，0a =，80b =，则m =______；②当40a =，150b =时，请在图2中作出射线OA ，OB ，OC ，并直接写出m 的值；③根据①②的经验，得m =______（用含a ，b 的代数式表示）．（2）如图3，0a =，60b m ==．在0︒刻度线所在直线上方区域内，将OA ，OB ，OC 按逆时针方向绕点O 同时旋转，旋转速度分别为每秒12︒，6︒，8︒，若旋转t 秒后得到的射线OA '，OB '，OC '为“共生三线”，求t 的值．11．已知射线OC 在AOB ∠的内部，射线OE 平分AOC ∠，射线OF 平分COB ∠．（1）如图1，若120,32AOB AOC ∠=︒∠=︒，则EOF ∠=__________度；（2）若,AOB AOC αβ∠=∠=，①如图2，若射线OC 在AOB ∠的内部绕点O 旋转，求EOF ∠的度数；②若射线OC 在AOB ∠的外部绕点O 旋转（旋转中AOC ∠、BOC ∠均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究EOF ∠的大小，直接写出EOF ∠的度数．12．已知：AOD 160∠=︒，OB 、OM 、ON ，是AOD ∠ 内的射线．（1）如图 1，若 OM 平分 AOB ∠， ON 平分BOD ∠．当射线OB 绕点O 在AOD ∠ 内旋转时，MON ∠= 度．（2）OC 也是AOD ∠内的射线，如图2，若BOC 20∠=︒ ，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，当射线OB 绕点O 在AOC ∠内旋转时，求MON ∠的大小．（3）在（2）的条件下，当射线OB 从边OA 开始绕O 点以每秒2︒的速度逆时针旋转t 秒，如图3，若AOM DON 23∠∠=：：，求t 的值．答案与解析1．如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使120BOC ∠=︒．将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一直角边OM 在射线OB 上，另一直角边ON 在直线AB 的下方．(1)将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使边OM 在BOC ∠的内部，且恰好平分BOC ∠．问：此时直线ON 是否平分AOC ∠？请说明理由．(2)将图1中的三角板绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n 秒时，直线ON 恰好平分AOC ∠，则n 的值为______（点接写结果）(3)若图1中的三角板绕点O 旋转至图3，使ON 在AOC ∠的内部时，AOM NOC ∠-∠的度数是多少？ 【答案】(1)平分，理由见解析(2)10或40(3)30°【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；（2）由∠BOC ＝120°可得∠AOC ＝60°，则∠BON ＝30°，即旋转60°或240°时ON 平分∠AOC ，据此求解；（3）因为∠MON ＝90°，∠AOC ＝60°，所以∠AOM ＝90°﹣∠AON 、∠NOC ＝60°﹣∠AON ，然后作差即可．（1）解：（1）直线ON 平分∠AOC ．理由：设ON 的反向延长线为OD ，∵OM 平分∠BOC ，∴∠MOC ＝∠MOB ，又∵OM ⊥ON ，∴∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝∠BON，又∵∠AOD＝∠BON（对顶角相等），∴∠COD＝∠AOD，∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC；（2），解：由（1）得，∠BOM＝60°时，直线ON恰好平分AOC即旋转60°时，ON平分∠AOC，再旋转180°即旋转240°时，ON平分∠AOC，由题意得，6n＝60°或6n＝240°，∴n＝10或40；故答案为：10或40；（3）解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．2．如图1：已知OB⊥OD，OA⊥OC，∠COD＝40°，若射线OA绕O点以每秒30°的速度顺时针旋转，射线OC绕O点每秒10°的速度逆时针旋转，两条射线同时旋转，当一条射线与射线OD重合时，停止运动．(1)开始旋转前，∠AOB＝．(2)若射线OB也绕O点以每秒20°的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与射线OD 重合时，停止运动．当三条射线中其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线时，求旋转的时间．(3)【实际应用】从今天上午6时整开始到上午7时整结束的运动过程中，经过多少分钟时针与分针所形成的钝角等于120°（直接写出所有可能结果）．∠∠=AOB∴∠=AOD3．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．4．若A 、O 、B 三点共线，40BOC ∠=︒，将一个三角板的直角顶点放在点O 处（注：90DOE ∠=︒，30EDO ∠=︒）．(1)如图1，使三角板的长直角边OD 在射线OB 上，则COE ∠=____________°；(2)将图1中的三角板DOE 绕点O 以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时14COD AOE ∠=∠，求运动时间t 的值； (3)将图2中的三角板DOE 再绕点O 以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过t 秒后，直线OC 恰好平分DOE ∠，求t 的值．5．【阅读理解】∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝12∠BOC，所以射线OC是射线一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝12OA在∠AOB内的一条“友好线”．【解决问题】(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD（填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB 内的一条“友好线”；(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为（用含n的代数式表示）；(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？当射线111⑤如图，∠16．如图1，直线m与直线n相交于点O，A、B两点同时从点O出发，点A以每秒x个单位长度沿直线n向左运动，点B以每秒y个单位长度沿直线m向上运动．(1)若运动1s 时，点B 比点A 多运动1个单位；运动2s 时，点B 与点A 运动的路程和为6个单位，则x =_________，y =_________．(2)如图2，当直线m 与直线n 垂直时，设BAO ∠和ABO ∠的角平分线相交于点P ．在点A 、B 在运动的过程中，APB ∠的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出主要过程）；若发生变化，请说明理由．(3)如图3，将（2）中的直线n 不动，直线m 绕点O 按顺时针方向旋转()090αα<<，其他条件不变． （i ）用含有α的式子表示APB ∠的度数_________．（ii ）如果再分别作ABO 的两个外角BAC ∠，ABD ∠的角平分线相交于点Q ，并延长BP 、QA 交于点M ．则下列结论正确的是_________（填序号）．①APB ∠与Q ∠互补；②M Q ∠-∠为定值；③APB M ∠-∠为定值；④Q ∠与M ∠互余．7．【阅读理解】∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝12∠BOC，所以射线OC是射线一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝12OA在∠AOB内的一条“友好线”．【解决问题】（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为；（用含n的代数式表示）（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？8．如图①，直线AB ､CD 相交于点O ，射线OE CD ⊥，垂足为点O ，过点O 作射线OF 使130BOF ∠=︒．（1）将图①中的直线CD 绕点O 逆时针旋转至图②，OE 在BOF ∠的内部，当OE 平分BOF ∠时，OC 是否平分AOF ∠，请说明理由；（2）将图①中的直线CD 绕点O 逆时针旋转至图③，OD 在的内部，探究AOE ∠与DOF ∠之间的数量关系，并说明理由；（3）若20BOE ∠=︒，将图①中的直线CD 绕点O 按每秒5°的速度逆时针旋转度α度（0180α︒<<︒），设旋转的时间为t 秒，当AOC ∠与EOF ∠互余时，求t 的值．【答案】（1）OC 平分AOF ∠，理由见解析；（2）40AOE DOF ∠=∠+︒，理由见解析；（3）17t =或35t =时，AOC ∠与EOF ∠互余．【分析】（1）根据平分线的定义可得65FOE BOE ∠=∠=︒，根据OE CD ⊥，可得25FOC ∠=︒，从而得到25AOC ∠=︒，所以可得结论；（2）设DOF ∠为β︒，根据130BOF ∠=︒可得50AOD β∠=︒-︒，根据OE CD ⊥可得40AOE β∠=+︒，从而得到AOE ∠与DOF ∠之间的数量关系；（3）根据题意可知150EOF ∠=︒，因为OE CD ⊥，所以可得70BOC ∠=︒，可求出110AOC ∠=︒，根据“直线CD 绕点O 按每秒5°的速度逆时针旋转”可得出1105(022)AOC t t ∠=︒-<≤，()51102236AOC t t ∠=-︒<<，1505(030)EOF t t ∠=︒-<≤，()51503036EOF t t ∠=-︒<<，然后分情况进行讨论：①022t <≤时，90AOC EOF ∠+∠=︒②2230t <≤时，90AOC EOF ∠+∠=︒③3036t <<时，90AOC EOF ∠+∠=︒，从而得出结果．【详解】解：（1）OC 平分AOF ∠，理由如下：∵130BOF ∠=︒且OE 平分BOF ∠ ∴65FOE BOE ∠=∠=︒ ∵OE CD ⊥ ∴90EOC ∠=︒∴906525FOC ∠=︒-︒=︒∴1801801302525AOC BOF FOC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∴AOC FOC ∠=∠ 即OC 平分AOF ∠（2）40AOE DOF ∠=∠+︒，理由如下：设DOF ∠为β︒，则180********AOD BOF DOF ββ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒-︒ ∵OE CD ⊥ ∴90EOD ∠=︒∴9040AOE AOD β∠=︒-∠=+︒ 即40AOE DOF ∠=∠+︒（3）∵20BOE ∠=︒且130BOF ∠=︒ ∴150EOF ∠=︒ 又∵OE CD ⊥ ∴70BOC ∠=︒ ∴110AOC ∠=︒∵直线CD 绕点O 按每秒5°的速度逆时针旋转 ∴①022t <≤时，1105,1505AOC t EOF t ∠=︒-∠=︒- 若AOC ∠与EOF ∠互余，则1105150590t t -+-= 解得17t =②2230t <≤时，5110,1505AOC t EOF t ∠=-︒∠=︒- 若AOC ∠与EOF ∠互余，则5110150590t t -+-= 此时无解③3036t <<时，5110,5150AOC t EOF t ∠=-︒∠=-︒ 若AOC ∠与EOF ∠互余，则5110515090t t -+-= 解得35t =综上所述，17t =或35t =时，AOC ∠与EOF ∠互余．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线有关的计算，余角相关计算．关键是认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系． 9．[阅读]材料1：如图1，在透明纸上画一个角，把这个角对折，使角的两边重合，再展平纸片，折痕把这个角分成两个相等的角．我们称这条折痕所在直线l 平分这个角．材料2：如图2中，三角板OAB 绕点O 顺时针旋转60°到三角板OCD 的位置，这时，三角板的边OA 、OB 绕点O 顺时针旋转60°到OC 、OD 的位置；如图3中，三角板OAB 绕点 O 逆时针旋转90°到三角板OCD 的位置，这时，三角板的边OA 、OB 绕点O 逆时针旋转90°到OC 、OD 的位置．[问题解决]（1）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图3的方式摆放（顶点A 、C 重合）．现在将三角板OCD 固定不动，从起始位置（图4）开始，将三角板OAB 绕点O 顺时针匀速转动一周，转动速度为每秒5°．设三角板OAB 转动的时间为t 秒．①当三角板OAB 转动到图5的位置时，它的一边OA 平分∠COD ，求t 的值； ②当三角板OAB 的一边OB 所在直线平分∠COD 时，t ＝ 秒；（直接写出结果）（2）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图6的方式摆放（顶点A、O、C在一条直线上）．在三角板OAB绕点O以每秒5°的速度顺时针匀速转动的同时，三角板OCD绕点O以每秒3°的速度逆时针匀速转动，当三角板OAB转动一周时停止转动，此时三角板OCD也停止转动．两块三角板同时从起始位置（图6）开始转动，设三角板OAB转动的时间为t秒．当三角板OAB的一边OB所在直线平分∠COD时，t＝秒．（直接写出结果）【答案】（1）①t的值是6；②60；（2）15或37.5．【分析】（1）①可知∠DOC=60°，根据平分和三角板OAB转动的速度可得t的值；②根据角平分先和三角板OAB转动的速度可得t的值；（2）分线段OB平分∠DOC和直线OB平分∠DOC两种情况，分情况讨论即可．【详解】解：（1）①由三角板可知∠DOC＝60°，∵三角板OAB绕点O顺时针匀速转动一周，转动速度为每秒5°，∴t秒后，∠AOC＝5t．当OA平分∠DOC时，∠AOC＝30°，∴5t＝30°，解得t＝6．答：t的值是6．②∵OB平分∠DOC时，∴∠BOC＝30°，∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∴5t＝360°﹣60°＝300°，解得t＝60．故答案为：60．（2）设三角板OAB和三角板OCD旋转后分别为三角板OA′B′和三角板OC′D′，①线段OB平分∠DOC时，如图：∠AOA′＝5t，∠COC′＝3t，∵∠B′OC′＝30°，∴∠A′OC′＝60°，∴5t+3t+60°＝180°，解得t＝15；②直线OB平分∠DOC时，如图：∠AOA′＝5t，∠COC′＝3t，∠AOA′＝90°∵∠B′OC′＝30°，∴∠A′OC′＝90°+30°＝120°，∴5t+3t﹣120°＝180°，解得t＝37.5；故答案为：15或37.5．【点睛】本题考查旋转和折叠，角度的计算，掌握角平分线并会分类讨论是解题关键．10．定义：在同一平两内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．如图为一量角器的平面示意图，O 为量角器的中心．作射线OA ，OB ，OC ，并将其所对应的量角器外圈刻度分别记为a ︒，b ︒，m ︒．（1）若射线OA ，OB ，OC 为“共生三线”，且OC 为AOB ∠的角平分线． ①如图1，0a =，80b =，则m =______；②当40a =，150b =时，请在图2中作出射线OA ，OB ，OC ，并直接写出m 的值； ③根据①②的经验，得m =______（用含a ，b 的代数式表示）．（2）如图3，0a =，60b m ==．在0︒刻度线所在直线上方区域内，将OA ，OB ，OC 按逆时针方向绕点O 同时旋转，旋转速度分别为每秒12︒，6︒，8︒，若旋转t 秒后得到的射线OA '，OB '，OC '为“共生三线”，求t 的值．11．已知射线OC 在AOB ∠的内部，射线OE 平分AOC ∠，射线OF 平分COB ∠．（1）如图1，若120,32AOB AOC ∠=︒∠=︒，则EOF ∠=__________度；（2）若,AOB AOC αβ∠=∠=，①如图2，若射线OC 在AOB ∠的内部绕点O 旋转，求EOF ∠的度数；②若射线OC 在AOB ∠的外部绕点O 旋转（旋转中AOC ∠、BOC ∠均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究EOF ∠的大小，直接写出EOF ∠的度数．12．已知：AOD 160∠=︒，OB 、OM 、ON ，是AOD ∠ 内的射线．（1）如图 1，若 OM 平分 AOB ∠， ON 平分BOD ∠．当射线OB 绕点O 在AOD ∠ 内旋转时，MON ∠= 度．（2）OC 也是AOD ∠内的射线，如图2，若BOC 20∠=︒ ，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，当射线OB 绕点O 在AOC ∠内旋转时，求MON ∠的大小．（3）在（2）的条件下，当射线OB 从边OA 开始绕O 点以每秒2︒的速度逆时针旋转t 秒，如图3，若AOM DON 23∠∠=：：，求t 的值．。
中考数学第一轮总复习微专题与中点有关的问题、与角平分线有关的问题课件全文
结论：PB=PA,Rt△AOP≌Rt△BOP.
微专题 与角平分线有关的问题
方法应用 1.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7， DE=2，AB=4，则AC的长为___3____. 2.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若 CD=1，则AC的长为___2_+_1__.
如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP交OM于点A. 方法4 遇三角形一边上的垂线过这条边的中点时，可考虑用垂直平分线的性质
如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，BD＝12，则EF的长 结论：CD= AB. 方法1 遇中点找中点，构造三角形中位线 方法3 作角平分线的垂线构造等腰三角形 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________. 反之，已知OQ=PQ，OC是∠AOB的平分线，可得PQ∥OB. 方法1 遇中点找中点，构造三角形中位线 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________. DC，则∠BAC的度数为________. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为________. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，ED垂直BC. 反之，已知OE=OD，OC是∠AOB的平分线，可得DE∥OC. 结论：OD=OE,△ODE为等腰三角形； 结论：△AOB为等腰三角形，OP是△AOB的高线、中线，Rt△AOP≌Rt△BOP. 如图，P是∠MON的平分线上一点，PA⊥OM于点A.
如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，BD＝12，则EF的长
2024年七年级数学上册第二章几何图形的初步认识复习题及答案解析微探究小专题4与角平分线有关的计算
°−°
所以∠ BMA1＋∠ CMD1＝
＝75°.
所以∠ BMC ＝∠ BMA1＋∠1＋∠ CMD1＝30°＋75°＝105°.
思路点拨
此题主要考查折叠的性质，角平分线的性质，将∠ BMA1＋∠ CMD1
看成一个整体求解，运用了整体思想.
(2)受兴趣小组的启发，智慧小组将一个直角三角尺中60°角的顶点放
在点 O 处(如图3)，即当∠ COD ＝60°时，请你求出∠ MOC ＋∠ DON
的度数；
数学思考：(3)请你在图1中，求∠ MOC ＋∠ DON 的度数(用含有α的式
第二章
几何图形的初步认识
微探究小专题4
与角平分线有关的计算
微探究小专题4
类型1
与角平分线有关的计算
与角的和差倍分有关的计算
1. 如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ，∠ DOE ＝90°， OF 平分
∠ BOD ，∠ AOE ＝24°，则∠ DOF 的度数是(
A. 24°
B. 33°
1
2
B
)
所以∠ BOD ＝ ∠ AOB ＝15°.
因为∠ BOC ＝50°，
所以∠ DOC ＝∠ BOC －∠ BOD ＝35°.
综上所述，∠ DOC 的度数为35°或65°.
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微探究小专题4
与角平分线有关的计算
4. 在同一平面内，若∠ BOA ＝50°，∠ BOC ＝30°， OM 平分
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角平分线专题训练题
角平分线专题训练题1. 已知三角形ABC，角A的角平分线交BC边于点D，角B 的角平分线交AC边于点E。
若AD=DE，求证角A=2角B。
证明：由角平分线的定义，有∠DAB=∠EAC，且∠DAE=∠EAD。
在△ADE中，由角度和定理可得∠DAE+∠DEA+∠EDA=180°，即∠DAE+∠DEA+∠EAD=180°。
由已知条件AD=DE，可得∠DEA=∠EAD，代入上式得2∠DAE+∠EAD=180°，即3∠DAE=180°，解得∠DAE=60°。
同理，在△DBE中，由角度和定理可得∠EBD+∠BED+∠DEB=180°，即∠EBD+∠BED+∠EDA=180°。
由已知条件AD=DE，可得∠DEA=∠EDA，代入上式得∠EBD+2∠DEA=180°，即∠EBD+2∠DAE=180°，代入∠DAE=60°，得∠EBD+120°=180°，即∠EBD=60°。
又因为∠DAB=∠DBE，且∠DAE=∠EBD，所以，由三角形内角和定理可得∠ABD+∠DBE+∠DAE=180°。
代入∠DAE=60°，得∠ABD+60°+60°=180°，即∠ABD=60°。
所以，角A=∠DAB+∠DAD+∠DAE=∠DAB+∠ABD+∠DAE=∠DBE+∠EBD+∠DAE=∠EDC+∠CDE+∠EAD=∠EDC+∠CDE+∠A DA=∠ADC+∠CDA+∠ADA=2∠ADC。
角B=∠ABD+∠DBE+∠BED=∠ABD+∠DBE+∠EDC=∠ABD+∠DBE+∠DCE=∠ADG+∠DGE+∠DCE=∠ADE+∠DEC+∠D CE=∠DAE+∠EDA+∠DCE=∠DAE+∠EDA+∠EDA=2∠DA E。
所以，角A=2∠ADC，角B=2∠DAE，结合前面的推导可知角A=2角B。
三角形的角平分线计算方法
三角形的角平分线计算方法三角形是几何学中最基本的形状之一，而角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，利用角平分线可以解决许多问题，如求角的大小、判断角的性质等。
下面将介绍三角形的角平分线的计算方法。
一、角平分线的定义和性质在三角形ABC中，若角BAD是角BAC的角平分线，则点D在边BC上，且满足以下两个性质：1. 角BAD等于角DAC，即∠BAD = ∠DAC；2. BD与DC的比值等于AB与AC的比值，即BD/DC = AB/AC。
二、角平分线的计算方法1. 已知两边长和夹角大小若已知三角形ABC的两边AB、AC的长度以及夹角BAC的大小，我们可以通过以下步骤计算出角平分线：步骤一：使用三角函数计算出角BAC的正弦值、余弦值或正切值。
步骤二：根据角BAC的正弦、余弦或正切值，计算出角BAD的正弦、余弦或正切值。
步骤三：利用已知两边AB、AC和计算得到的角BAD的正弦、余弦或正切值，使用三角函数的定义计算出角平分线BD和DC的长度。
2. 已知两边长度和角平分线的比值若已知三角形ABC的两边AB、AC的长度以及角平分线BD与DC 的比值，我们可以通过以下步骤计算出角平分线：步骤一：利用已知的BD/DC比值和边AB、AC的长度，建立一个方程。
步骤二：解方程得到BD和DC的长度，即可计算出角平分线的长度。
三、实例应用例1：已知三角形ABC，AB = 5cm，AC = 8cm，角BAC = 60°，求角平分线BD和DC的长度。
解：根据给定条件，我们可以进行如下计算：步骤一：计算角BAC的正弦值、余弦值或正切值：sin∠BAC = AB/AC = 5/8 ≈ 0.625步骤二：计算角BAD的正弦值、余弦值或正切值：sin∠BAD = sin(∠BA C/2) = sin(60°/2) = sin30° ≈ 0.5步骤三：利用已知的角BAD的正弦、余弦或正切值和边AB、AC 的长度，计算角平分线BD和DC的长度：根据sin∠BAD = BD/AB，得到BD = sin∠BAD * AB = 0.5 * 5 = 2.5cm因为BD + DC = BC = AC - AB = 8 - 5 = 3cm，所以DC = BC - BD =3 - 2.5 = 0.5cm因此，角平分线BD的长度为2.5cm，角平分线DC的长度为0.5cm。
小专题 与三角形的角平分线有关的角度计算(选做)
如文档对你有用，请下载支持！小专题(一) 与三角形的角平分线有关的角度计算模型1 两个内角平分线的夹角方法归纳：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于90°加上第三角度数的一半．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线相交于点O ，则∠BOC ＝90°＋12∠A. 1．如图，点O 是△ABC 的∠ABC 与∠ACB 两个角的平分线的交点，若∠BOC ＝118°，则∠A 的角度是________°.2．如图所示，在△ABC 中，BO 、CO 是角平分线．(1)∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°，求∠BOC 的度数，并说明理由；(2)题(1)中，如将“∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°”改为“∠A ＝70°”，求∠BOC 的度数；(3)若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数．模型2 一个内角平分线与一个外角平分线的夹角方法归纳：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于第三角度数的一半．如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACE ，则∠BDC ＝12∠A. 3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，∠A ＝50°，则∠D＝________．4．如图，在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x ，y 轴上的两个动点，∠BAO 的平分线与∠ABO 的外角平分线相交于点C ，在A ，B 的运动过程中，∠C 的度数是一个定值，这个定值为________．5．(达州中考改编)如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2 014BC 和∠A 2 014CD 的平分线交于点A 2 015，求∠A 2 015的度数．6．如图，在△ABC 中，P 点是∠BCE 和∠CBF 的角平分线的交点，若∠A ＝60°，则∠P ＝________．7．一个三角形的三条外角平分线围成的三角形一定是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”) 模型4 角平分线与高线的夹角方法归纳：三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角度数之差的一半．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝12(∠B －∠C)．(其中∠B ＞∠C) 8．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠EAD ＝10°，AD ⊥BC 于D ，AE 是∠BAC 的平分线，则∠C 的度数为________．9．如图，△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠B ＝40°，∠C ＝70°，F 为射线AE 上一点(不与E 点重合)，且FD ⊥BC.(1)若点F 与点A 重合，如图1，求∠EFD 的度数；(2)若点F 在线段AE 上(不与点A 重合)，如图2，求∠EFD 的度数；(3)若点F 在△ABC 外部，如图3，此时∠EFD 的度数会变化吗？是多少？10．如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，∠B ＝20°，∠C ＝60°.(1)求∠CAD 、∠AEC 和∠EAD 的度数；(2)若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当∠B ＝30°，∠C ＝60°时，则∠EAD ＝________；当∠B ＝50°，∠C ＝60°时，则∠EAD ＝________；当∠B ＝60°，∠C ＝60°时，则∠EAD ＝________；当∠B ＝70°，∠C ＝60°时，则∠EAD ＝________.(3)若∠B 和∠C 的度数改为用字母α和β来表示，你能找到∠EAD 与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．。
2024年初中数学《角度计算的经典模型》及答案解析
角度计算的经典模型(八大题型)【题型01：双垂直模型】【题型02：A字模型】【题型03：8字模型】【题型04：飞镖模型】【题型05：风筝模型】【题型06：两内角角平分线模型】【题型07：两外角角平分线模型】【题型08：内外角平分线模型】【题型01：双垂直模型】【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.1.AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C=50°，求∠BHD．2.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数．3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E是AC边上一点，BE与AD交于点F，若∠ABC=45°，∠BAC=75°，∠BFD=60°，求∠BEC的度数．【题型02：A字模型】图1【条件】图1中三种情况【结论】∠1=∠2【证明】略图2【结论】∠1+∠2=∠3+∠4【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°∴∠1+∠2=∠3+∠4图3【结论】∠1+∠2=180°+∠A【证明】∠1+∠2=(∠AED+∠A)+(∠ADE+∠A)=180°+∠A4.探索归纳：(1)如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=．(2)如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=．(3)如图2，根据(1)与(2)的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是．(4)如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．5.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E．若∠A=70°，∠BDC=100°，则∠BED的度数为()A.120°B.130°C.140°D.150°6.如图，已知：AD∥EF，∠CAD+∠DEF=180°．(1)证明：AC∥DE；(2)若AC平分∠BAD，∠ADC=35°，∠ACD=∠ADE+45°．求∠G的度数．7.在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C DE，对折叠后产生的夹角进行探究：(1)如图(1)把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；(2)如图(2)把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；(3)如图(3)把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．【题型03：8字模型】【条件】AE、BD相交于点C【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.8.(1)已知：如图(1)的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D．(2)如图(2)，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°．求∠P的度数．(3)如图(3)，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是；(4)如图(4)，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是．9.如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=()A.240°B.280°C.360°D.540°10.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=．11.如图，已知AB∥CD,∠B=∠D，CD与AE相交于F．(1)求证：AD∥BC；(2)若∠B=50°，AE平分∠BAD，求∠DFE的度数．12.已知：如图，FE∥OC,AC和BD相交于点O，F是OD上一点，且∠1=∠A．(1)求证：AB∥DC；(2)若∠B=30°,∠1=65°，求∠OFE的度数．13.如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°．(1)若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；(2)若∠C=38°，求∠P的度数．【题型04：飞镖模型】图1图2图3【条件】四边形ABPC如图1所示【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.14.探究与发现：如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图(1)观察“规形图(1)”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=40°，则∠ABX+∠ACX=°．②如图(3)，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数．15.一个零件的形状如图，按要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，检验工人量得∠CDB=148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．16.附加题：如图，试说明：①∠BDC>∠A；②∠BDC=∠B+∠C+∠A．如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？17.如图，△ABC中，∠A=30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D=40°，则∠C为()A.20°B.15°C.30°D.25°18.如图，点E在BC上，ED⊥AC于F，交BA的延长线于D，已知∠D=30°，∠C=20°，则∠B的度数是()A.20°B.30°C.40°D.50°19.如图，已知在△ABC中，∠A=40°，现将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=( )．A.90°B.60°C.50°D.40°20.如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【题型05：风筝模型】21.如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．(1)如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为(只填序号)，并说明理由；①∠DAE=∠1②∠DAE=2∠1③∠1=2∠DAE(2)如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．22.如图，在△ABC中，∠C=40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是()A.40°B.80°C.90°D.140°23.将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．(1)如果A′落在四边形BCDE的内部(如图1)，∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．(2)如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是．(3)如果A′落在四边形BCDE的外部(如图2)，这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．【题型06：两内角角平分线模型】双内角平分线模型【条件】BP 、CP 分别为∠ABC 、∠ACB 的角平分线.【结论】∠P =90°+12∠A .24.如图1，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动(不与点O 重合)，AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，BC 延长线交OM 于点G ．(1)若∠MON =60°，则∠ACG =；(直接写出答案)(2)若∠MON =n °，求出∠ACG 的度数；(用含n 的代数式表示)(3)如图2，若∠MON =80°，过点C 作CF ∥OA 交AB 于点F ，求∠BGO 与∠ACF 的数量关系．25.如图，BE 平分∠ABD ，CF 平分∠ACD ，BE 与CF 交于点G ，若∠BDC =140°，∠BGC =100°，则∠A =()A.80°B.75°C.60°D.45°26.如图，在△ABC 中，已知∠A =70°，∠ABC 、∠ACB 的平分线OB 、OC 相交于点O ，则∠BOC 的度数为．27.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．(1)若∠ABC+∠ACB=130°，求∠BPC的度数．(2)当∠A为多少度时，∠BPC=3∠A？【题型07：两外角角平分线模型】双外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.【结论】∠P=90°-12∠A.28.如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．(1)如果∠A=70°，求∠BPC的度数；(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．29.如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．30.如图，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．31.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，BO的延长线交外角∠ACD的角平分线于点E．以下结论：①∠1=2∠2；②∠BOC=3∠2；③∠BOC=90°+∠2；④∠BOC=90°+∠1．其中正确的结论有(填序号)．32.如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得A2；⋯；∠A2019BC与∠A2019CD的平分线相交于点A2020，得∠A2020，则∠A2020=．33.【初步认识】(1)如图1，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，若∠A=80°，则∠M=°．【变式探究】(2)已知ABCD为四边形，E为边AB延长线上一点，如图2，∠ADC=110°，∠BCD=120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠F=°．【继续探索】(3)已知ABCD为四边形，E为边AB延长线上一点，如图3，∠ADC=α，∠BCD=β，且α+β>180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，求∠F与α、β之间的数量关系，并说明理由；【终极挑战】(4)如果将(3)中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，且两平分线所在的直线交于点F，那么∠F与α、β又有怎样的数量关系？请直接写出结论．(不用说明理由)角度计算的经典模型(八大题型)【题型01：双垂直模型】【题型02：A字模型】【题型03：8字模型】【题型04：飞镖模型】【题型05：风筝模型】【题型06：两内角角平分线模型】【题型07：两外角角平分线模型】【题型08：内外角平分线模型】【题型01：双垂直模型】【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.1.AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C=50°，求∠BHD．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠BHD+∠HBD=90°，∵BE是△ABC的高，∴∠HBD+∠C=90°，∴∠BHD=∠C，∵∠C=50°，∴∠BHD=50°．2.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数．【答案】110°【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质．先根据三角形的内角和定理得到∠ACB 的度数，然后根据角平分线的定义得到∠ECD 的值，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠BAC =80°，∠B =60°，∴∠ACB =180°-∠CAB =∠B =180°-80°-60°=40°，∵CF 是∠ACB 的平分线，∴∠ECD =12∠ACD =12×40°=20°，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADC =90°，∴∠AEC =∠ADC +∠ECD =90°+20°=110°．3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 边上一点，BE 与AD 交于点F ，若∠ABC =45°，∠BAC =75°，∠BFD =60°，求∠BEC 的度数．【答案】90°【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出∠C ，然后求出∠DBF ，进而得出答案．【详解】∵∠ABC =45°,∠BAC =75°，∴∠C =180°-45°-75°=60°．∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =90°．∵∠BFD =60°，∴∠DBF =90°-60°=30°，∴∠BEC =180°-∠EBC -∠C =180°-60°-30°=90°．【题型02：A 字模型】图1【条件】图1中三种情况【结论】∠1=∠2【证明】略图2【结论】∠1+∠2=∠3+∠4【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°∴∠1+∠2=∠3+∠4图3【结论】∠1+∠2=180°+∠A【证明】∠1+∠2=(∠AED+∠A)+(∠ADE+∠A)=180°+∠A4.探索归纳：(1)如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=270°．(2)如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=220°．(3)如图2，根据(1)与(2)的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是180°+∠A．(4)如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2=360°-(∠A+∠B)=360°-90°=270°．∴∠1+∠2等于270°．故答案为：270°；(2)∠1+∠2=180°+40°=220°，故答案是：220°；(3)∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A；故答案为：180°+∠A；(4)∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF)又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A．5.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E．若∠A=70°，∠BDC=100°，则∠BED的度数为()A.120°B.130°C.140°D.150°【答案】A【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识．求出∠EBD，∠EDB，再利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵∠A+∠ABD=∠BDC，∠A=70°，∠BDC=100°，∴∠ABD=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，又∵DE∥BC，∴∠BDE=∠CBD=30°，∴∠BED=180°-∠ABD-∠BDE=120°．故选：A．6.如图，已知：AD∥EF，∠CAD+∠DEF=180°．(1)证明：AC∥DE；(2)若AC平分∠BAD，∠ADC=35°，∠ACD=∠ADE+45°．求∠G的度数．【答案】(1)见解析(2)∠G=50°【分析】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．(1)由平行线的性质可得∠DEF+∠ADG=180°,由∠CAD+∠DEF=180°可得∠CAD=∠ADG,即可证明；(2)首先利用已知条件可以去求出∠BAC=∠ADE=50°，然后利用三角形的外角求出∠BDG,解答即可．【详解】(1)证明：∵AD∥EF，∴∠DEF+∠ADG=180°．∵∠CAD+∠DEF=180°．∴∠CAD=∠ADG．∴AC∥DE；(2)解：∵AC是∠BAD的平分线，且AC∥DE，∴∠BAC=∠CAD，∠CAD=∠ADE，∴∠BAC=∠ADE，∵∠ACD=∠ADE+45°，∠ACD=∠B+∠BAC，∴∠B=45°，∵∠ADC=35°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADC=180°-45°-35°=100°．∵AC是∠BAD的平分线，∠BAD=50°，∴∠CAD=∠ADE=12∴∠G=∠BAD-∠ADE=100°-50°=50°．7.在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C DE，对折叠后产生的夹角进行探究：(1)如图(1)把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；(2)如图(2)把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；(3)如图(3)把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．【答案】(1)60°(2)50°(3)∠2-∠1=2∠C【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质．(1)根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求出答案；(2)连接DG，将∠ADG+∠AGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；(3)将∠2看作180°-2∠CED，∠1看作2∠CDE-180°，再根据三角形内角和定理求解，即可解题．【详解】(1)解：由折叠性质可知：∠CDC =2∠CDE，∠CEC =2∠CED，∵∠C=30°，∴∠1+∠2=180°-2∠CDE+180°-2∠CED=360°-2∠CDE+∠CED=360°-2180°-∠C=2∠C=60°；(2)解：连接DG，∵∠A=80°，∴∠1+∠2=180°-∠C -∠ADG+∠AGD=180°-30°-180°-80°=50°；(3)解：∠2-∠1=180°【题型03：8字模型】【条件】AE、BD相交于点C【结论】∠A +∠B =∠D +∠E .8.(1)已知：如图(1)的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A +∠B =∠C +∠D ．(2)如图(2)，AP ，CP 分别平分∠BAD ，∠BCD ，若∠ABC =36°，∠ADC =16°．求∠P 的度数．(3)如图(3)，直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的数量关系是；(4)如图(4)，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的数量关系是．【答案】(1)见解析；(2)26°；(3)∠P =90°+12∠B +∠D ；(4)∠P =180°-12∠B +∠D 【分析】(1)根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；(2)设∠BAP =∠P AD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，x +∠ABC =y +∠P x +∠P =y +∠ADC 解方程即可得到答案；(3)根据直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，得到∠P AB =∠P AD =12∠BAD ，∠PCB =∠PCE =12∠PCD 从而可以得到180°-2∠P AB +∠PCB +∠D =∠B ，再根据∠P +∠P AD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D 得到∠P -∠B =∠P AD +∠PCB =∠P AB +∠PCB 即可求解；(4)连接PB ，PD ,求得∠APC +∠ABC +∠PCB +∠P AB =360°，∠APC +∠ADC +∠PCD +∠P AD =360°，再根据∠PCE +∠PCD =180°，∠P AB +∠P AF =180°，∠FAP =∠P AO ，∠PCE =∠PCB ，即可求解．【详解】解：(1)如图.∵∠A +∠B +∠AOB =180°，∠C +∠D +∠COD =180°，∴∠A +∠B +∠AOB =∠C +∠D +∠COD ．∵∠AOB =∠COD ，∴∠A +∠B =∠C +∠D ；(2)如图.∵AP ，CP 分别平分∠BAD ，∠BCD ，设∠BAP =∠P AD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，则有x +∠ABC =y +∠P x +∠P =y +∠ADC ，∴∠ABC -∠P =∠P -∠ADC ，∴∠P =12∠ABC +∠ADC =1236°+16° =26°(3)如图.∵直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠P AB =∠P AD =12∠BAD ，∠PCB =∠PCE =12∠BCE ，∴2∠P AB +∠B =180°-2∠PCB +∠D ，∴180°-2∠P AB +∠PCB +∠D =∠B∵∠P +∠P AD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D∴∠P +∠P AD -∠BAD -∠B =∠PCD -∠BCD∴∠P -∠P AB -∠B =∠PCB ,∴∠P -∠B =∠P AB +∠PCB∴180°-2∠P -∠B +∠D =∠B ，即∠P =90°+12∠B +∠D ．(4)连接PB ，PD∵直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠FAP =∠P AO ，∠PCE =∠PCB ，∵∠APB +∠PBA +∠P AB =180°，∠PCB +∠PBC +∠BPC =180°∴∠APC +∠ABC +∠PCB +∠P AB =360°同理得到：∠APC +∠ADC +∠PCD +∠P AD =360°∴2∠APC +∠ABC +∠ADC +∠PCB +∠P AB +∠PCD +∠P AD =720°∴2∠APC +∠ABC +∠ADC +∠PCE +∠P AB +∠PCD +∠P AF =720°∵∠PCE +∠PCD =180°，∠P AB +∠P AF =180°∴2∠APC +∠ABC +∠ADC =360°，∴∠APC =180°-12∠ABC +∠ADC 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9.如图，∠1=60°，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =()A.240°B.280°C.360°D.540°【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B 与∠C 的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A +∠E ，∠2=∠F +∠D ，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选A．【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．10.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=．【答案】900°【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【详解】解：连EF，GI，如图∵6边形ABCDEFK的内角和=(6-2)×180°=720°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720°-(∠1+∠2)，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+(∠1+∠2)=720°，∵∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠H=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F∠H+(∠3+∠4)=900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F(∠3+∠4)+∠5+∠6+∠H=720°+180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=900°，故答案为：900°．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3的整数)．11.如图，已知AB∥CD,∠B=∠D，CD与AE相交于F．(1)求证：AD∥BC；(2)若∠B=50°，AE平分∠BAD，求∠DFE的度数．【答案】(1)见解析；(2)115°．【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算：(1)AB∥CD，得到∠B=∠DCE，推出∠D=∠DCE，即可得证；(2)平行线的性质求出∠BAD的度数，角平分线求出∠DAE=65°，再利用三角形的外角求解即可．【详解】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE，∵∠B=∠D，∴∠D=∠DCE，∴AD∥BC，(2)∵AD∥BC，∴∠BAD=180°-∠B=180°-50°=130°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=65°，∵∠D=∠B=50°，∴∠DFE=∠D+∠EAD=50°+65°=115°．12.已知：如图，FE∥OC,AC和BD相交于点O，F是OD上一点，且∠1=∠A．(1)求证：AB∥DC；(2)若∠B=30°,∠1=65°，求∠OFE的度数．【答案】(1)见解析(2)95°【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角的性质的应用：(1)根据平行线的性质和已知得出∠A=∠C，根据平行线的判定推出即可；(2)根据平行线的性质求出∠D，根据三角形的外角性质推出即可．【详解】(1)证明：∵FE∥OC，∴∠1=∠C，∵∠1=∠A，∴∠A=∠C，∴AB∥DC；(2)解：∵AB∥DC，∴∠D=∠B，∵∠B=30°，∴∠D=30°，∵∠OFE是△DEF的外角，∴∠OFE=∠D+∠2，∵∠1=65°，∴∠OFE=30°+65°=95°．13.如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°．(1)若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；(2)若∠C=38°，求∠P的度数．【答案】(1)72°；(2)40°．【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠ADP=12∠ADC，然后利用三角形外角的性质即可得解；(2)根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【详解】解：(1)∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=12∠ADC，∵∠ADC=60°，∴∠ADP=30°，∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；(2)∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12(38°+42°)=40°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．【题型04：飞镖模型】图1图2图3【条件】四边形ABPC如图1所示【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.14.探究与发现：如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图(1)观察“规形图(1)”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=40°，则∠ABX+∠ACX=50°．②如图(3)，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)如图(1)，∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，理由是：过点A、D作射线AF，∵∠FDC=∠DAC+∠C，∠BDF=∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；(2)①如图(2)，∵∠X=90°，由(1)知：∠A+∠ABX+∠ACX=∠X=90°，∵∠A=40°，∴∠ABX+∠ACX=50°，故答案为：50；②如图(3)，∵∠A=40°，∠DBE=130°，∴∠ADE+∠AEB=130°-40°=90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC=12∠ADB，∠AEC=12∠AEB，∴∠ADC+∠AEC=12∠ADB+∠AEB=45°，∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85°．15.一个零件的形状如图，按要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，检验工人量得∠CDB=148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，延长CD交AB于E，∵∠A=90°，∠C=21°，∴∠1=∠A+∠C=90°+21°=111°，∵∠B=32°，∴∠BDC=∠B+∠1=32°+111°=143°．又∵∠BDC=148°，∴这个零件不合格．16.附加题：如图，试说明：①∠BDC>∠A；②∠BDC=∠B+∠C+∠A．如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？【答案】见试题解答内容【解答】解：①延长BD交AC于E，则∠BDC>∠DEC，而∠DEC>∠A，所以∠BDC>∠A；②由∠BDC=∠C+∠DEC，而∠DEC=∠A+∠B，所以∠BDC=∠A+∠B+∠C．如果点D在线段BC的另一侧，如图所示：结论：①∠BDC与∠A无法比较大小；②∠BDC=360°-(∠A+∠B+∠C)，17.如图，△ABC中，∠A=30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D=40°，则∠C为()A.20°B.15°C.30°D.25°【答案】A【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠D=40°，∴∠ABD=180°-∠D-∠DEB=50°，∵∠ABD=∠A+∠C，∠A=30°，∴∠C=∠ABD-∠A=50°-30°=20°．故选：A．18.如图，点E在BC上，ED⊥AC于F，交BA的延长线于D，已知∠D=30°，∠C=20°，则∠B的度数是()A.20°B.30°C.40°D.50°【答案】C【解答】解：∵ED⊥AC，∠D=30°，∠C=20°，又∵∠DEC=∠B+∠D，∴∠C+∠DEC=∠C+∠D+∠B=90°，∴∠B=40°．故选：C．19.如图，已知在△ABC中，∠A=40°，现将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=( )．A.90°B.60°C.50°D.40°【答案】C【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴∠ABD+∠ACD=40°-90°=50°故选C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．20.如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．【题型05：风筝模型】21.如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．(1)如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为③(只填序号)，并说明理由；①∠DAE=∠1②∠DAE=2∠1③∠1=2∠DAE(2)如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．【答案】(1)③，理由详见解答过程．(2)∠1+∠2=2∠DAE．【解答】解：(1)由题意得：∠DAE=∠DA′E．∵∠1=∠EAD+∠EA′D=2∠DAE．故答案为：③．(2)∠1+∠2=2∠DAE，理由如下：如图2，连接AA′．由题意知：∠EAD=∠EA′D．∵∠1=∠A′AE+∠AA′E，∠2=∠A′AD+∠AA′D，∴∠1+∠2=∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D=∠EAD+∠EA′D=2∠EAD．22.如图，在△ABC中，∠C=40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是()A.40°B.80°C.90°D.140°【答案】B【解答】解：由折叠的性质得：∠D=∠C=40°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D，则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+80°，则∠1-∠2=80°．故选：B．23.将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．(1)如果A′落在四边形BCDE的内部(如图1)，∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．(2)如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是2∠A=∠2．(3)如果A′落在四边形BCDE的外部(如图2)，这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)图1中，2∠A=∠1+∠2，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠1+∠2=180°+180°-2(∠AED+∠ADE)，∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A；(2)2∠A=∠2，如图∠2=∠A+∠EA′D=2∠A，故答案为：2∠A=∠2；(3)如图2，2∠A=∠2-∠1，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠A=∠A′，∵∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，∴∠2=∠A+∠A′+∠1，即2∠A=∠2-∠1．【题型06：两内角角平分线模型】双内角平分线模型【条件】BP 、CP 分别为∠ABC 、∠ACB 的角平分线.【结论】∠P =90°+12∠A .24.如图1，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动(不与点O 重合)，AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，BC 延长线交OM 于点G ．(1)若∠MON =60°，则∠ACG =；(直接写出答案)(2)若∠MON =n °，求出∠ACG 的度数；(用含n 的代数式表示)(3)如图2，若∠MON =80°，过点C 作CF ∥OA 交AB 于点F ，求∠BGO 与∠ACF 的数量关系．【答案】(1)60°；(2)90°-12n °；(3)∠BGO -∠ACF =50°【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠BAO +∠ABO ，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；(2)仿照(1)的解法解答；(3)根据平行线的性质得到∠ACF =∠CAG ，根据(2)的结论解答．【详解】解：(1)∵∠MON =60°，∴∠BAO +∠ABO =120°，∵AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∴∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ，∴∠CBA +∠CAB =12(∠ABO +∠BAO )=60°，∴∠ACG =∠CBA +∠CAB =60°，故答案为：60°；(2)∵∠MON =n °，∴∠BAO +∠ABO =180°-n °，∵AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∴∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ，∴∠CBA+∠CAB=12(∠ABO+∠BAO)=90°-12n°，∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-12n°；(3)∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAG，∴∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG，由(2)得：∠ACG=90°-12×80°=50°．∴∠BGO-∠ACF=50°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．25.如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=100°，则∠A=()A.80°B.75°C.60°D.45°【答案】C【分析】连接BC,先求解∠DBC+∠DCB,再求解∠GBC+∠GCB,可得∠GBD+∠GCD,再利用角平分线的定义可得：∠ABD+∠ACD,从而可得：∠ABC+∠ACB,再利用三角形的内角和定理可得∠A的大小.【详解】解：连接BC,∵∠BDC=140°,∴∠DBC+∠DCB=180°-140°=40°,∵∠BGC=100°,∴∠GBC+∠GCB=180°-100°=80°,∴∠GBD+∠GCD=∠GBC+∠GCB-∠DBC-∠DCB=40°,∵BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=80°,∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=80°+40°=120°,∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=60°.故选：C.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.26.如图，在△ABC中，已知∠A=70°，∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于点O，则∠BOC的度数为．【答案】125°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC +∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠OBC +∠OCB ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.【详解】在△ABC 中,∠ABC +∠ACB =180°-∠A =180°-70°=110°，∵∠ABC 与∠ACB 的角平分线BO ,CO 相交于点O ，∴∠OBC +∠OCB =12∠ABC +∠ACB =12×110°=55°，在△BOC 中,∠BOC =180°-(∠OBC +∠OCB )=180°-55°=125°，故答案为:125°.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键.27.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ．(1)若∠ABC +∠ACB =130°，求∠BPC 的度数．(2)当∠A 为多少度时，∠BPC =3∠A ？【答案】(1)115°；(2)∠A =36°【分析】(1)根据角平分线的定义，求得∠PBC ，∠PCB ，再根据三角形内角和定理即可求得∠BPC ；(2)根据(1)的方法求得∠BPC ，再结合条件∠BPC =3∠A ，解方程即可求得∠A ．【详解】(1)∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACB ，∴∠PBC =12∠ABC ,∠PCB =12∠ACB ，∵∠ABC +∠ACB =130°，∴∠PBC +∠PCB =12(∠ABC +∠ACB )=65°，∴∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-65°=115°，(2)∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACB ，∴∠PBC =12∠ABC ,∠PCB =12∠ACB ，∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)，∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴∠PBC+∠PCB=90°-12∠A，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-90°-12∠A=90°+12∠A∵∠BPC=3∠A∴3∠A=90°+12∠A，∴∠A=36°．【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．【题型07：两外角角平分线模型】双外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.【结论】∠P=90°-12∠A.28.如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．(1)如果∠A=70°，求∠BPC的度数；(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．【答案】(1)125°(2)∠Q=90°-12∠A(3)∠A的度数是45°或60°或120°或135°【分析】(1)在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得出∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根据三角形内角和定理求出即可；(2)根据三角形外角性质得出∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，根据角平分线的定义得出QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，求出∠QBC+∠QCB=90°+12∠A，根据三角形内角和定理求出即可；(3)根据角平分线的定义得出∠ACF=2∠BCF，∠ABC=2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF=∠EBC+∠E，求出∠A=2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ=3∠E=90°，②∠EBQ=3∠Q，③∠Q=3∠E，④∠E=3∠Q，再求出答案即可【详解】(1)∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=55°，∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=125°；(2)∵∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，∴∠QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，∴∠QBC+∠QCB=12(∠MBC+∠NCB)=12(180°+∠A)=90°+12∠A，∴∠Q=180°-(∠QBC+∠QCB)=180°-90°+12∠A=90°-12∠A；(3)∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠BCF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠BC+2∠E，∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=12∠A，∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC=12(∠ABC+∠A+∠ACB) =90°，如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：①∠EBQ=3∠E=90°，则∠E=30°，∠A=2∠E=60°；②∠EBQ=3∠Q，则∠Q=30°，∠E=60°，∠A=2∠E=120°；③∠Q=3∠E，则∠E=22.5°，∠A=2∠E=45°；④∠E=3∠Q，则∠E=67.5°，∠A=2∠E=135°，综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键．29.如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°-(∠BAC+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=12(∠DAC+∠ACF)=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．30.如图，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∴∠OBC=12(∠A+∠ACB)，∠OCB=12(∠A+∠ABC)，∴∠OBC +∠OCB =12(∠A +∠ACB +∠ABC +∠A )，∵∠A +∠ACB +∠ABC =180°，∴∠OBC +∠OCB =90°+12∠A ，在△OBC 中，∠BOC =180°-(∠OBC +∠OCB )=180°-(90°+12∠A )=90°-12∠A ，∵∠A =40°，∴∠BOC =90°-12×40°=90°-20°=70°．【题型08：内外角平分线模型】内外角平分线模型【条件】BP 、CP 分别为∠ABC 、∠ACE 的角平分线【结论】∠P =12∠A 【典例8】(1)如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求证：∠P =90°+12∠A ；(2)如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)证明过程见解答；(2)∠P =12∠A ．【解答】(1)证明：∵A +∠ABC +∠ACB =180°，∴∠ABC +∠ACB =180°-∠A ，∵BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，∴∠PCB =12∠ACB ，∠PBC =12∠ABC ，∴∠P =180°-(∠PCB +∠PBC )=180°-12(∠ACB +∠ABC )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A ；(2)猜想：∠P=12∠A证明：∵∠ACE=∠A+∠ABC，∴∠A=∠ACE-∠ABC，∵∠PCE=∠P+∠PBC，∴∠P=∠PCE-∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，∴∠P=12∠ACE-12∠ABC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A．31.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，BO的延长线交外角∠ACD的角平分线于点E．以下结论：①∠1=2∠2；②∠BOC=3∠2；③∠BOC=90°+∠2；④∠BOC=90°+∠1．其中正确的结论有(填序号)．【答案】①③/③①【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1=2∠2，∠BOC=90°+12∠1，∠BOC=90°+∠2，即可得出答案．【详解】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2=∠DCE-∠DBE=12∠ACD-∠ABC=12∠1，即∠1=2∠2，故①正确；∵BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC=180°-∠OBC+∠OCB=180°-12∠ABC+∠ACB=180°-12180°-∠1=90°+12∠1，故④错误；∵CO平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12ACD，∴∠OCE =12∠ACB +∠ACD =12×180°=90°，∵∠BOC 是△COE 的外角，∴∠BOC =∠OCE +∠2=90°+∠2，故②错误、③正确；综上，正确的有①③．故答案为：①③．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．32.如图，在△ABC 中，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得A 2；⋯；∠A 2019BC 与∠A 2019CD 的平分线相交于点A 2020，得∠A 2020，则∠A 2020=．【答案】α22020【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得∠A 1=12∠A ，同理得∠A 2=12∠A 1=α22；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1∴∠A 1=180°-12∠ABC -∠ACB -12∠ACD ∵∠ACD =∠A +∠ABC∴∠A 1=180°-∠ABC -∠ACB -12∠A ∵∠A +∠ABC +∠ACB =180°∴∠A 1=12∠A 同理，得∠A 2=12∠A 1=12×12∠A =α22；∠A 3=12∠A 2=12×12×12∠A =α23；∠A 4=12∠A 3=12×12×12×12∠A =α24；⋯∠A n =12∠A n -1=α2n ∴∠A 2020=α22020故答案为：α22020．【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．33.【初步认识】(1)如图1，BM 平分∠ABC ，CM 平分外角∠ACD ，若∠A =80°，则∠M =°．【变式探究】(2)已知ABCD 为四边形，E 为边AB 延长线上一点，如图2，∠ADC =110°，∠BCD =120°，∠DAB 和∠CBE 的平分线交于点F ，则∠F =°．【继续探索】(3)已知ABCD 为四边形，E 为边AB 延长线上一点，如图3，∠ADC =α，∠BCD =β，且α+β>180°，∠DAB 和∠CBE 的平分线交于点F ，求∠F 与α、β之间的数量关系，并说明理由；【终极挑战】(4)如果将(3)中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB 和∠CBE 的平分线，且两平分线所在的直线交于点F ，那么∠F 与α、β又有怎样的数量关系？请直接写出结论．(不用说明理由)【答案】(1)40；(2)25；(3)∠F =12α+12β-90°，理由见解析；(4)∠F =90°-12α-12β【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是：(1)利用角平分线定义和三角形外交的性质可探究出∠M =12∠A ，即可求解；(2)延长AD 、BC 相交于G ，先求出∠G 的度数，然后同(1)得出∠F =12∠G ，即可求解；(3)类似(2)探究即可；(4)延长DA ，CB 相交于G ，延长BA ，先求出∠G =180°-α-β，再判断AF 平分∠NAG ，FB 平分∠ABG ，然后同(1)得出∠F =12∠G ，即可求解．【详解】解：∵BM 平分∠ABC ，CM 平分外角∠ACD ，∴∠MBC =12∠ABC ，∠MCD =12∠ACD ，∵∠A =∠ACD -∠ABC ，∠M =∠MCD -∠MBD ，∴∠M =12∠ACD -12∠ABC =12∠A ，∵∠A =80°，∴∠M =40°，故答案为：40；(2)延长AD 、BC 相交于G ，∵∠ADC =110°，∠BCD =120°，∴∠GDC =70°，∠GCD =60°，∴∠G =50°，同(1)可证∠F =12∠G ，∴∠F =25°，故答案为：25；(3)∠F =12α+12β-90°理由：延长AD 、BC 相交于G ，∵∠ADC =α，∠BCD =β，。
三角形角平分线模型求角度
模型建构，指的是将我们平时看起来比较复杂的问题，通过模型建构，得到一些通用的结论，多进行这样的模型积累，不仅能够丰富我们的解题思路，还可以提高我们的做题准确率与速度。
解题tips ：记忆积累常见模型与对应结论今天小编就分享几个角平分线的模型，一起来看看你属于什么段位吧。
青铜------三角形角平分线模型模型一：双内角平分线模型如图，在ABC Δ中，BP 、CP 分别平分∠ABC 、∠ACB.结论：∠P=90°+A 21∠证明：不妨设∠ABP=∠CBP=α，∠ACP=∠BCP=β，则∠A+2（∠α+∠β）=180°①∠P+（∠α+∠β）=180° ②②-2⨯①得：2∠P -∠A=180°∴∠P=90°+A 21∠模型二：一内一外角平分线模型如图，在ABC Δ中，BP 、CP 分别平分∠ABC 、∠ACD结论：∠P=A 21∠证明：不妨设∠ABP=∠CBP=α，∠ACP=∠DCP=β， 则∠A+2α=2β，∠P+α=β，可得：∠A=2（β-α），∠P=β-α，∴∠P=A 21∠模型三：两外角平分线模型如图，在ABC Δ中，BP 平分外角∠CBD ，CP 平分外角∠BCE 结论：∠P=90°-A 21∠证明：不妨设∠CBP=∠DBP=α，∠BCP=∠ECP=β， 则∠ABC=180°-2α，∠ACB=180°-2β，可得：A ∠+（180°-2α）+（180°-2β）=180°① ∠P+（α+β）=180°②①+②2⨯得：2∠P+A ∠=180°∴∠P=90°-A 21∠王者------n 等分线（拓展延伸）拓展模型一：内角n 等分线如图，1BP 、2BP 是∠ABC 的两条三等分线，1CP 、2CP 是∠ACB 的两条三等分线。
结论：A 3260p 1∠+︒=∠，A 31120p 2∠+︒=∠证明方法和上面题相似，结论可有如下规律：（1）当BP 为角平分线时，∠P=90°+A 21∠，变形得：∠P=A 2118021∠+︒⨯ （2）当1BP 、2BP 是三等分线时，A 3260P 1∠+︒=∠变形得：A 3218031P 1∠+︒⨯=∠ A 31120P 2∠+︒=∠变形得：A 3118032P 2∠+︒⨯=∠ （3）推广到一般情况：当1BP 、2BP 、 1-n BP 是n 等分线时，A 11801P 1∠-+︒•=∠n n n A 21802P 2∠-+︒•=∠nn nA 11801P 1-n ∠+︒•-=∠nn n 拓展模型二：一内一外n 等分线如图，1BP 、2BP 是∠ABC 的两条三等分线，1CP 、2CP 是外角∠ACD 的两条三等分线 结论：A 32p 1∠=∠，A 31p 2∠=∠证明方法和前面类似结论推广到n 等分情况：A 1P 1∠-=∠n n A 2P 2∠-=∠n n A 1P 1-n ∠=∠n拓展模型三：两外角n 等分线如图，1BP 、2BP 是外角∠CBD 的两条三等分线，1CP 、2CP 是外角∠BCE 的两条三等分线 结论：A 31120p 1∠-︒=∠，A 3260p 2∠-︒=∠推广到一般情况：结论：A 11801P 1-n ∠--︒•=∠nn n ，如图可得显然有些情况并不符合，有可能会存在 0A 11801P 1-n <∠--︒•=∠n n n 那样就不存在了。
初一数学上册培优训练题
专题一 与角平分线有关的角度计算问题1．如图，OB 是AOC ∠的平分线，OD 是COE ∠的平分线.（1）如果40,30AOB DOE ∠=︒∠=︒，那么BOD ∠是多少度？ （2）如果140,30AOE COD ∠=︒∠=︒，那么AOB ∠是多少度？2．如图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若84,68AOD MON ∠=︒∠=︒，求.BOC ∠3．已知AOB ∠及射线OC 、OM 、ON 分别平分AOC ∠、.BOC ∠（1）如图1，若OC 在AOB ∠的外部，试探究MON ∠与AOB ∠的关系.（2）如图2，若OC 在AOB ∠的内部，则MON ∠与AOB ∠有何关系？4．如图1，80,40AOB COD ∠=︒∠=︒，OM 平分BOD ∠，ON 平分.AOC ∠ （1）求MON ∠的度数.（2）将图1中的COD ∠绕点O 旋转至如图2的位置，求此时MON ∠的度数.专题二 角度计算中的动态问题1．已知100,40AOB COD ∠=︒∠=︒，OE 平分AOC ∠，OF 平分BOD ∠.（本题中的角均为大于0︒ 且小于等于180︒的角）（1）如图，当OB 、OC 重合时，求EOF ∠的度数；（2）当COD ∠从如图所示的位置绕点O 顺时针旋转(090)n n ︒<<时，AOE BOF ∠-∠的值是否为定值？若是定值，求出AOE BOF ∠-∠的值；若不是，请说明理由. （3）当COD ∠从如图所示的位置绕点O 顺时针旋转(0180)n n ︒<<时，满足6AOD EOF COD ∠+∠=∠，则n =__________.2．将一副三角板如图1所示的方式摆放，30DCE ∠=︒，现将DCE ∠绕C 点以15/s ︒的速度逆时针旋转，旋转时间为t (s).（1）t 为多少时，CD 恰好平分BCE ∠？请在图2中画图，并说明理由.（2）当68t <<时，CM 平分ACE ∠，CN 平分BCD ∠，求MCN ∠，请在图3中完成. （3）当812t <<时，（2）中的结论是否发生变化？请在图4中完成.专题三数轴上的动点问题1．已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为9，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为2个单位的线段BC在数轴上移动.（1）如图，当线段BC在O、A两点之间移动到某一位置时恰好满足线段AC=OB，求此时b 的值；（2）当线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，若存在12AC OB AB-=，求此时满足条件的b的值；（3）当线段BC在数轴上移动时，满足关系式||||AC OB AB OC-=-，则此时b的取值范围是___________.2．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别为a, b, c，且满足2|24||10|(10)0a b c++++-=，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒.（1）求a, b, c的值；（2）若点P到A点的距离是点P到B点距离的2倍，求点P对应的数；（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由.3．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）当点P以每秒5个单位长度的速度从O点向右运动时，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度向右运动，它们同时出发，几秒后P到点A、点B的距离相等？4．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a, b满足2+++=|2|(3)0.a b a（1）求A、B两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点表示的数；（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）.①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间.专题四 实际问题与一元一次方程1．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费的分段计算的方法：每月用量不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算. 设每月用电x 度. （1）若0100x ≤≤时，电费为 元；若100x 时，电费为 元.（用含x 的式子表示）2．某织布厂现在职工100名，已知每人每天能织布20米，或利用所织的布制衣5件. 制衣一件需布2米，将布直接销售，每米可获利2元；将布制成衣服后销售，每件衣服可获利20元. 若每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素，设安排了a 名工人制衣，回答下列问题： （1）一天中制衣所获得的利润A = 元（用含a 的代数式表示）； （2）一天中织布所获得的利润B= 元（用含a 的代数式表示）；（3）要使一天所获得总利润为6640元，应安排多少工人制衣服，多少工人织布？3．2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩. 甲、乙两单位共102人. 其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人. 经了解，该风景区的门票价如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元.（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？ （2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备在加游玩？ （3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案？通过比较，该如何购买门票才能最省钱？4. 家科院向农民推荐鄂丰I号和鄂丰II号两种新型良好稻谷. 在田间管理和土质相同的条件下，II号稻谷单位面积的产量比I号稻谷低20%，但II号稻谷的米质好，价格比I号高. 已知I 号稻谷国家的收购价是1.6元/千克.（1）当II号稻谷的国家收购价是多少时，在田间管理、土质和面积相同的两块田里分别种植I 号，II号稻谷的收益相同？（2）去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植I号、II号稻谷，且进行了相同的田间管理. 收获后，小王把稻谷全部都卖给国家. 当时II号稻谷的国家收购价定为2.2元/千克，I号稻谷国家的收购价未变，这样小王卖II号稻谷比卖I号稻谷多收入1040元，那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？5．某公司生产一种产品，每件产品成本价是400元，销售价为510元，第一季度销售了5000件.（1）求该产品第一季度的销售总利润是多少元？（销售利润=销售价-成本价）（2）为进一步扩大市场，公司决定降低生产成本，经过市场调研，在降低生产成本后，第二季度这种产品每件销售价降低了4%，销售量比第一季度提高了10%，销售总利润比第一季度提高了20%，该产品每件的成本价降低了多少元？6．为了加强公民的节水意识，北方某市制定了如下收费标准：每户每月的用水量不超过10吨时，水价每吨3元，超过10吨时，超过的部分按每吨5元收费. 小明家九月份用水x吨.（1）试用x的整式表示小明家九月份应该缴纳的收费：（2）据预测“十一”黄金周期间，他家外出旅游，该月用水量将比九月份减少4吨，水费减少1，求x的值.3。
七年级角平分线求角度的题
七年级角平分线求角度的题在学校，大家都知道数学是个让人又爱又恨的科目，尤其是几何，那真是让人抓狂。
不过呢，今天我们要聊的这个话题，角平分线，听起来可能有点枯燥，但我跟你说，真的很有意思！你知道吗，角平分线就是把一个角一分为二，简简单单。
想象一下，你在吃蛋糕，朋友问你要多大块，你说：“来，给我一块正好对称的！”这就是角平分线的精髓了。
说到角平分线，你可能会问，究竟它有什么用呢？哈哈，别急，咱们慢慢来。
想象一下，假如你正在玩一个有趣的游戏，游戏里有个角色需要走一条最短的路径才能到达目标。
角平分线就像那个指路的小精灵，帮你找到最佳路线，绝对是游戏中的“终极攻略”！角平分线在生活中也随处可见，比如说，剪裁衣服的时候，设计师可是得好好量一量，确保左右对称哦。
我们来想象一下，课间休息时，班上的小伙伴们都在讨论数学题，一个小伙伴突然兴奋地说：“你们知道角平分线吗？我刚才看见老师在黑板上画了个角，接着她用直尺把它一分为二！”大家听了，纷纷一脸懵逼。
这时候你可以轻松插嘴：“嘿，角平分线就像是把你的一块美味披萨分给朋友，保证每个人都能吃到同样的美味！”这样一说，瞬间气氛就活跃起来了。
再聊聊如何求角平分线的角度，哎呀，这可不是难事。
咱们要明白一个小道理，角平分线的作用就是把一个角平分成两个相等的角。
如果一个角是60度，嘿嘿，那角平分线就把它分成两个30度的角。
想象一下，这就像是把一根香肠切成两半，每一半都一样长，大家都能满意。
还有一个小秘诀，记得用量角器测量哦，这玩意儿就像是你的好助手，能帮你准确无误地找到那个平分的点。
求角平分线可不仅仅是用量角器简单测量就搞定的。
我们可以用三角函数，比如说正弦、余弦，来深入挖掘一下。
这就像你在做一道数学题，突然发现自己有了一把万能钥匙，可以打开更多的数学大门。
正如那句老话说的，“条条大路通罗马”，不同的方法总能帮助我们找到解决问题的办法。
嘿，你知道吗，数学不光是纸上谈兵，还可以结合实际生活。
角平分线模型题型归纳
角平分线模型题型归纳
角平分线模型题型是指在一道几何题中需要应用角平分线定理进行求解的题型。
通常包括以下几种：
1. 求角平分线长度或比例：已知一个三角形的三边长或两边长和夹角，求角平
分线的长度或两条角平分线的长度比例。
2. 求角平分线与三角形其他线段的关系：已知一个三角形的三边长或两边长和
夹角，求角平分线与三角形其他线段的长度比例或角度关系。
3. 求三角形的角度大小：已知一个三角形的角平分线长度或比例，求三角形角
度大小。
4. 判断三角形相似性：已知两个三角形的一些线段长度比例以及它们的夹角关系，判断它们是否相似。
5. 求平面图形内部角度：已知平面图形中一个角的角平分线长度或比例，求其
他角的度数或角平分线所在直线与其他线段的交点。
这些题型在考试中经常出现，掌握角平分线定理及其应用方法对于解决这些题
型非常关键。
与角平分线有关的角度计算问题
——教案（表一）课题探究与角平分线相关的角度计算和证明问题课时数 1 课型习题课授课教师目标分析课程标准与教学目标知识目标:1、巩固三角形内角和定理和三角形外角的相关性质2、识别复杂几何问题中的基本图形能力目标:体会探究数学问题的基本方法，会用方程思想、整体思想解决相关问题情感态度价值观在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心.教学重点体会探究数学问题的一般方法教学难点从复杂的图形中识别基本图形教材与学情分析（建议从学生基础认知、思维特点、个体差异等角度入手，适时分析学情）1、探究与角平分线有关的角度计算与证明问题，是第二节课，上一课讲授的是三角形中与角平分线有关的角度计算证明问题，本节课在此基础上进行知识的拓展，旨在培养学生的探究意识和学习几何的兴趣。
2、学生已掌握的三角形的内角和，三角形角平分线的定义，平行线的性质和判定等知识。
北京15中——教 案（表二）课题探究与角平分线相关的角度计算和证明问题课时数教 与 学 的 过 程 教学环节教师活动（内容呈现与问题设计）学生活动（各类活动设计和呼应反馈）设计随笔一、 创设情景 复习回顾 已知△ABC1、如图1，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点o ， （1）若∠ABC=40°,∠ACB=60°,则∠BOC= . （2）若∠ABC+∠ACB=106°,则∠BOC= . （3）若∠A=70°，则∠BOC= .猜想：∠A 与∠BOC 之间具有怎样的数量关系呢？2、如图2，若O 是∠ABC 和外角∠ACE 的平分线的交点，那么∠A 与∠O 有怎样数量关系呢？图1 图2二、 新课讲解（1） 如图3，探究∠ADC 和∠B 的角平分线的相交所成的角∠P 与∠A 、∠C 有什么数量关系？（2）如图4， ∠ADC 和∠B 的角平分线的相交所成的角∠P 与∠A 、∠C 有什么数量关系？（3）如图5， 探究，∠ADC 和∠B 的角平分线的相交所成的角∠P 与∠A 、∠C 有什么数量关系？图4 图5复习昨天 学习内容， 巩固有关角平分线基本模型探究三个角之间的关系改变点的位置，三个角的关系的变化情况OCBAOCBAD P D BCA图3PDAC B三、巩固练习、能力提升练习1、已知 四边形ABCD 中，当∠A=∠C=90°时猜想并证明∠ADC ，∠ABC 的角平分线有怎样的位置关系呢？ 如图，当∠A=∠C=90°时，∠ADC 、∠ABC 的角平分线又有怎样的位置关系呢？练习2、如图，△ABC 中，BD 、BE 是∠ABC 三等分线， CD 、CE 是∠ACB 的三等分线，若∠BEC=145° 求∠A 的度数.当 ∠A= ∠C=90° ，探索特殊角下的特殊关系北京15中——教 案（表三）课题授课时间年 月 日课时作业（分层作业、个性化作业） 五、课下作业1、如图，AB 与CD 相交于O ，∠ABC 与∠ADC 的平分线相交于P ， 如果∠A=42°，∠C=38°，那么∠P 的度数为 .2、BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 相交于点G ， 若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A 的度数是 .D AE CB B ACD3、已知：在四边形ABCD 中，∠A+∠C=180°， 两组对边延长后分别交于P ，Q 两点， ∠P ，∠Q 的平分线交于点M ，求证：PM ⊥QMA 班1,2,3题B 班1,2题课后反思（包括教学资源和教学策略选择的有效性、教学过程的生成性问题、师生学习过程的心理体验等）1、 本节课所要体现的内容（1）培养学生的探究几何问题的意识探索是人类认识客观世界过程中最生动，最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，它对培养学生思维的创造性、深刻性、发散性有着独特的要求。
角平分线求角度的题
角平分线求角度的题角平分线求角度的题什么是角平分线？角平分线是指将一个角平分为两个相等的角的线段。
在数学中，我们经常需要根据已知条件求解角平分线所对应的角度。
求解角平分线的步骤要求解角平分线所对应的角度，可以按照以下步骤进行：1.已知条件：首先，我们需要明确已知的条件。
通常，我们知道角的两边长度或者两边与其他线段之间的关系。
2.假设角平分线的两边长度相等：根据角平分线的定义，假设角平分线的两边长度相等，即两边对应的线段长度相等。
3.应用角平分线定理：根据角平分线定理，我们可以得出如下结论：在一个角的两边上，取一点，使之与该角的两边的长度满足两个比例关系，其比值等于这两边的长度之比的平方。
换句话说，如果一条线段将一个角的两边分成两个部分，满足上述比例关系，那么这条线段就是角平分线。
4.根据已知条件求解角度：根据已知条件和角平分线定理，我们可以列出方程或方程组，并解得所要求解的角度。
实例演练：求解一个角平分线所对应的角度作为一个具体实例，我们来解决一个角平分线求角度的题目。
已知角A的两边长度分别为5 cm和12 cm，求解其角平分线所对应的角度。
根据步骤，我们先假设角平分线的两边长度相等，即设角平分线两边的长度均为x cm。
根据角平分线定理，我们可以列出如下等式：5 / x = x / 12通过解方程，我们可以得到：12 * x = x * 512x = 5xx = 0 或 12 = 5很明显，x=0是无意义的，所以我们可以得出x=12。
因此，角平分线所对应的角度为12°。
总结通过以上的实例演练，我们可以看到，求解角平分线所对应的角度并不复杂。
只需要根据角平分线定理，列出方程或方程组，然后解得所要求解的角度。
希望通过本文，大家对角平分线的求解方法有一个更加深入的理解，以便能够更好地应用于实际问题的解决中。
角平分线求角度的题什么是角平分线？角平分线是指将一个角平分为两个相等的角的线段。
在数学中，我们经常需要根据已知条件求解角平分线所对应的角度。
归纳几种三角形角平分线的夹角的计算方法
归纳几种三角形角平分线的夹角的计算方法在复习三角形时，发现由三角形的角平分线构成的角与已知角之间存在一定的等量关系，现归纳如下，与大家探讨。
一、三角形两内角平分线的夹角如图，△ABC中，∠ABC=50，∠ACB=75，点O是△ABC的内心，求∠BOC 的度数。
（人教版九年级上册100页练习1）解：O是内心即三角形三条内角平分线的交点∠CBO=∠ABC=25∠BCO=∠ACB=37.5∠CBO+∠BCO=62.5△BOCxx∠CBO+∠BCO+∠BOC=180∠BOC=180-（∠CBO+∠BCO）=180-62.5=117.5思考：把已知条件∠ABC=50，∠ACB=75变为∠A=55时，按上面思路，虽然不能确定∠ABC和∠ACB的大小，但这两角和是确定的，那么这两角和的一半也是确定的，从而问题可解。
进一步思考，当∠A=M时，求∠BOC的度数。
解：在△ABCxx∵∠A=M∴∠ABC+∠ACB=180-M又∵O△ABC是内心∴BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线∴∠CBO=∠ABC∠BCO=∠ACB∴∠CBO+∠BCO=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180-M）=90-M在△BOC中∠BOC=180-（∠CBO+∠BCO）=180-（90-M）=180-90+M=90+M即：∠BOC=90+M二、三角形内角与外角平分线的夹角如图，在△ABC中，∠A=M，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，求∠的度数。
解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ABC=2∠EBC∠ACD=2∠ECD∠ACD=∠ABC+∠A∠ECD=∠EBC+∠E∴2∠ECD=2∠EBC+2∠E∴∠A=2∠E即：∠E=M三、三角形两外角平分线的夹角如图：在△ABC中，∠B=M,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线相交于点E，求∠E的度数。
解：∵AE平分∠DACCE平分∠ACF∴∠EAC=∠DAC∠ECA=∠ACF∠DAC=∠B+∠ACB∠ACF=∠B+∠BAC∠EAC+∠ECA=∠DAC+∠ACF=（∠DAC+∠ACF）=（∠B+∠ACB+∠B+∠BAC）=（180+∠B）=90+∠B∴∠E=180-（∠EAC+∠ECA）=180-（90+∠B）=90-∠B即：∠E=90-M我们在复习中，经历了大量的练习，像上面这些知识点的考查，更多是以特殊角的形式呈现的，练习中做过去，也很难留下深刻印象，因为没有进行深入的探究，还没有意识到带求和已知之间可能存在定量的关系。