-<4、三角形的四心：
外心：外接圆圆心，三边中垂线的交点。 内心：内切圆圆心，三内角角平分线的交点。 垂心：三边高线的交点。 重心：三边中线的交点。
重心的性质：（1）重心是中线的三等分点；G G （2）；
0GA GB GC ++=
（3）若、、，则。11(,)A x y 22(,)B x y 33(,)C x y 123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫
⎪⎝⎭
等腰三角形中顶角角平分线、底边中线、底边高线三线合一。等边三角形四心合一。
5、正弦定理：
（为外接圆的半径）。2sin sin sin a b c
R A B C
===R ABC ∆正弦定理的变形：（1），，；sin sin a b A B =sin sin b c B C =sin sin a c
A C
= （2），，；
sin sin a B b A =sin sin b A a B =sin sin a B
A b
= （3），，；
2sin a R A =2sin b R B =2sin c R C = （4），，；
sin 2a A R =sin 2b B R =sin 2c
C R
= （5）；
::sin :sin :sin a b c A B C = （6）
。2sin sin sin sin a b c a
R A B C A
++==++正弦定理的用途：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边和另两角；（此种情况一定要注意如何
取舍角，利用内角和定理、边角关系进行取舍！）
6、余弦定理：，，2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-222
2cos c a b ab C
=+-或，，。
222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-=222
cos 2a b c C ab
+-=余弦定理的用途：（1）已知三边，求三角；
（2）已知两边及其夹角，求另一边和另两角； （3）判断三角形的形状。
余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
为锐角cos 0C >⇔C ∠⇔222c a b <+为直角cos 0C =⇔C ∠⇔222c a b =+为钝角cos 0C <⇔C ∠⇔222
c a b >+7、三角形内的诱导公式：
sin()sin A B C +=cos()cos A B C +=-tan()tan A B C
+=- sin
cos 22A B C +=cos sin 22
A B C
+=tan
cot 22
A B C
+=8、对任意三角形，都有。ABC sin 0A >9、，
sin sin A B A B a b >⇔>⇔>，sin sin A B A B a b =⇔=⇔=。
sin sin A B A B a b <⇔<⇔<10、若，则或。
sin 2sin 2A B =A B =2
A B π
+=11、sin()0A B A B
-=⇔=12、在中，给定、的正弦或余弦值，则的正弦或余弦有解（即存在）的充要条件是
ABC ∆A B C 。
（也可以用9中的结论来判断）cos cos 0A B +>13、在中，。
ABC ∆tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅14、在中，、、成等差数列。
ABC ∆A B C ⇔60B =
15、为正三角形、、成等差数列且、、成等比数列。
ABC ∆⇔A B C a b c 16、的面积公式：（1）（，，分别为边上的高）ABC ∆111
222a b c S ah bh ch =
==a h b h c h ,,a b c （2）111
sin sin sin 222
S ab C bc A ac B
===
D C
B
A
17、正余弦定理综合：222
sin sin sin2sin sin cos
A B C B C A
=+-
222
sin sin sin2sin sin cos
B A
C A C B
=+-
222
sin sin sin2sin sin cos
C A B A B C
=+-
18、射影定理：cos cos
a b C c B
=+
cos cos
b a C
c A
=+
cos cos
c a B b A
=+
19、角平分线定理：为的角平分线，则
AD ABC
∆
AB BD
AC CD
=
20、的面积公式：（1）（，，分别为边上的高）
ABC
∆
111
222
a b c
S ah bh ch
===
a
h
b
h
c
h,,
a b c
（2）
111
sin sin sin
222
S ab C bc A ac B
===
（3）（为外接圆的半径）
2
2sin sin sin
S R A B C
=R ABC
∆
（4）
4
abc
S
R
=
（5）（其中）
S=
2
a b c
p
++
=
（6）（为内切圆的半径）
1
()
2
S rp r a b c
==++r ABC
∆
21、直角三角形中的结论：（1）两锐角互余，即。
90
A B
+=
（2）角所对的直角边等于斜边的一半。
30
（3）勾股定理：。
222
a b c
+=
（4）斜边上的中线等于斜边的一半，外接圆的圆心为斜边的中点，垂心为直角
顶点。
（5）如图可得：Rt ABC Rt ACD Rt CBD
∆∆∆
∽∽
（6）由（2
2
AC AD AB
=⋅
2
BC BD BA
=⋅
2
CD DA DB
=⋅
