高三数学思想方法策略专题(6)——数学解题方法之特殊证法

得的假设条件得以应用，从而突破了难关。以下只要目标明确，分析变
形即可
例6．（2004年辽宁卷）已知函数，设，，，证明。 证明：（1）当时，由题设，又， 所以成立。
当时，。
而，
所以，不等式也成立。 （2）假设时，不等式成立，而，的对称轴是，则f(x)在上是增函 数。 由 得 即 注意到结论右边的目标式，凑式变形，有 可见时，不等式也成立。 由（1）和（2）知，时，恒成立。 点评：上述证明中，把数列值的大小变化与函数值的大小联系起 来，再用函数的单调性渡过关卡，充分体现了数列与函数的紧密关系。 实际上，数列就是函数的特例。 另外，上面第一步中，验证后，又验证，是为了能够对假设应用上 函数的单调性，而之后的变形，只要明确目标式，就顺理成章了。 题型4：放缩法在证明不等式中的妙用
(i)n＝1时已知结论成立． (ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝， 当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝， 故n＝k＋1时结论也成立． 综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立。 于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝， 又n＝1时，a1＝＝，所以｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3， …。 点评：本题看起来与函数并无关系，但推证时，，利用性质，才使
证明2：取AD的中点M，连结PM，QM.因为P－ABCD与Q－ABCD都 是正四棱锥，所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM。
Q B C P A D O M
又平面PQM，所以PQ⊥AD。 同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD。 点评：空间几何体内的点线面的位置关系的认识是解题的关键，同 时我们学习过的定理、定义要能够巧妙的应用好。
2．反证法 反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明 方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法的实 质：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲， 反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的 已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定 理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成 立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从 否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可 以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。 应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成 立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出 矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反 证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么 只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论 的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原 结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证， 此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比 较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成 解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、 代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
题型3：数学归纳法 例5．（06全国II）设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx
－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…，（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ） ｛an｝的通项公式。
解析：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝． 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－， 于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝． (Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0， Sn2－2Sn＋1－anSn＝0． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ① 由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝。 由①可得S3＝。 由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…。 下面用数学归纳法证明这个结论．
一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形 式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或
者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命 题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分 干脆。
3．数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方 法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论 证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步 是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递 推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际 上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺 一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n且n∈N） 结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的， 属于完全归纳。
B
证明：假设AC⊥平面SOB，∵ 直线SO在平面SOB内，∴ AC⊥SO；
∵ SO⊥底面圆O，∴ SO⊥AB，∴ SO⊥平面SAB，∴平面SAB∥底面圆
O，
这显然出现矛盾，所以假设不成立。即AC与平面SOB不垂直。
点评：否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共
面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。
预测高考的趋势为：题型、题量以及出题点还和往年一样，基本保 持不变；
三．例题点评
题型1：定义法
例1．（06湖南卷）如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分 别为1和2,AB=4，证明PQ⊥平面ABCD。
Q B C P A D
证明1：连结AC、BD，设.由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所 以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上， 所以PQ⊥平面ABCD。
问题（譬如证明数列是否为等差或等比数列，这类题目要应用好定义和 性质公式，技巧性很强）、也可能是复合不等式知识的或单纯等式形式 的与自然数有关的结论的证明问题（解题思路是可能应用数学归纳法或 放缩法）；
（3）解析几何中的解答题经常与平面几何图形相结合，经常判断 一些位置关系，此类题目的证明多要结合几何特征，应用好代数关系式 说明；
4．不等式的证明方法 （1）比较法是证明不等式最基本、最常用、最重要的方法之一。 它包括“作差法”与“作商法”，比差法的理论依据是 比商法的理论依据是a，b∈R＋，那么 判断a，b的大小，当a，b∈R时，可以通过判断a－b与0的大小来完 成。当a，b∈R＋时，可以通过判断与1的大小来完成。 比较法这种方法其本质就在于单独讨论“a，b”不等式难以证明时， 就“a－b，”整体讨论，使问题迁移“环境”，给问题带来新的结构。对a －b，变形后与0，1的比较提供可能，这种变形后的式子结构“a －b，”能够和“0，1”比较大小是比较法的精髓。 作差法中，对差“a－b”的变形方法通常有通分、配方（非负数）、 因式分解、二次函数的判别式等。 作商法的一般步骤是，求商 变形 判断与1的大小。 方法的选择：若不等式两边含有相同的项，或者作差以后能进行 因式分解；能用配方法，能写成分式判断其符号，可使用作差法。 若不等式两边是指数形式，能使分子、分母变形得到相同结果的不
例2．（06福建卷）已知数列满足 （I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式； （II）若 数列满足证明是等差数列。 解析：（I）证明： 是以为首项，2为公比的等比数列。 （II）解：由（I）得 （III）证明： ① ② ②－①，得即③ ④ ④－③，得 即是等差数列。 点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查如何根据数 列的概念判断结论。 题型2：反证法 例3．设是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数 列。 证明：假设是等比数列，则有。 又设的公比分别是p、q， 即
高三数学思想、方法、策略专题 —数学解题方法之特殊证法
一．知识探究：
1．定义法 所谓定义法，就是直接用数学定义解决问题。数学中的定理、公式、 性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻 辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。 定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的 事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。 用定义法解题，是最直接的方法。
欲证B为真 只需证B1为真 只需证B2为真 ………… 只需证A为真， 今已知A为真，故B必真 其逻辑关系是 （4）放缩法 在证明不等式A＞B时，可以构造出数学式C，使A＞C，且C＞B， 则A＞B得证。其中数学式C常常通过将A缩小或将B放大而构成，它的依 据是不等式的传递性，这种证明方法叫做放缩法，用放缩法证明不等 式，在高中数学中占有一定的比重。
，即
，这与题Hale Waihona Puke 的公比不相等矛盾，故数列不是等比数列。
点评：本题证明推出的结果是与题设矛盾。
例4．如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是
S
底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂
直。
C
分析：结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑
使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再 A
O
肯定“不垂直”。
（i） n＝1时，3式显然成立， （ii） 设n＝k时，3式成立， 即1－（） 则当n＝k＋1时， 〔1－（）〕（） ＝1－（）－＋（） 1－（＋）即当n＝k＋1时，3式也成立。 故对一切nN，3式都成立。
利用3得，1－（）＝1－＝1－ 故2式成立，从而结论成立。 点评：有效的放缩可把要证明的问题简化，可起到事半功倍的效 果，但这类问题技巧性比较强。 例8．（1）已知△ABC的三边长为a、b、c，求证： 证明：由， 及余弦定理有：， ∴ ，同理可得：， ∴。 （2）设a，b，c，d都是正数，ab＋bc＋ca＝1，证明：。 证明：，