数形结合与函数零点问题
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用高考压轴题：导数题型及解题方法一、切线问题题型1：求曲线y=f(x)在x=x处的切线方程。
方法：f'(x)为在x=x处的切线的斜率。
题型2：过点(a,b)的直线与曲线y=f(x)的相切问题。
方法：设曲线y=f(x)的切点(x,f(x))，由(x-a)f'(x)=f(x)-b求出x，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条。
例题：已知函数f(x)=x-3x。
1）求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；（答案：9x-y-16=0）2）若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。
提示：设曲线y=f(x)上的切点(x,f(x))，建立x,f(x)的等式关系。
将问题转化为关于x,m的方程有三个不同实数根问题。
答案：m的范围是(-3,-2)）练1：已知曲线y=x-3x。
1）求过点(1,-3)与曲线y=x-3x相切的直线方程。
（答案：3x+y=0或15x-4y-27=0）2）证明：过点(-2,5)与曲线y=x-3x相切的直线有三条。
题型3：求两个曲线y=f(x)、y=g(x)的公切线。
方法：设曲线y=f(x)、y=g(x)的切点分别为(x1,f(x1))、(x2,g(x2))，建立x1,x2的等式关系，(x2-x1)f'(x1)=g(x2)-f(x1)，(x2-x1)f'(x2)=g(x2)-f(x1)；求出x1,x2，进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例题：求曲线y=x与曲线y=2elnx的公切线方程。
（答案：2ex-y-e=0）练1：求曲线y=x与曲线y=-(x-1)的公切线方程。
（答案：2x-y-1=0或y=0）2.设函数f(x)=p(x-2)-2lnx，g(x)=x，直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于(1,0)，求实数p的值。
函数的零点个数问题-含答案
【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步. 三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a 的符号； （2）对称轴2bx a=-的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二 图像法使用情景一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.学科@网【例2】（2017全国高考新课标I理科数学）已知函数2()(2)x xf x ae a e x=+--.（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求a的取值范围.(2) ①若0,a≤由（1）知()f x至多有一个零点.②若0a>，由（1）知当lnx a=-时，()f x取得最小值，1(ln)1lnf a aa-=-+.（i）当1a=时，(ln)f a-=0，故()f x只有一个零点.（ii）当(1,)a∈+∞时，由于11ln aa-+>0，即(ln)0f a->，故()f x没有零点.（iii）当0,1a∈（）时，11ln0aa-+<，即(ln)0f a-<.422(2)(2)2220,f ae a e e----=+-+>-+>故()f x在(,ln)a-∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln,()n n n nn n f n e ae a n e n naa f xa>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a∈（）时，要先判断(,ln)a-∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln)0f a-<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f ae a e e----=+-+>-+>要说明(2)0f->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae--+.(3) 当0,1a∈（）时，要判断(ln,)a-+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； (2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3) 当a 取正实数时，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.方法三 方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x =,重新构造方程()()g x h x =,再画函数(),()y g x y h x ==的图像分析解答.【例4】函数()lg cos f x x x =-的零点有 （ ） A ．4 个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个【点评】（1）本题主要考察零点的个数，但是方程f(x)lg cos 0x x =-=也不好解，直接研究函数的单调性不是很方便，所以先令()lg cos 0f x x x =-=,可化为lg cos x x =,再在同一直角坐标系下画出lg y x =和cos y x =的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln ,1,02f x x m xg x x m x m =-=-+>． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲：函数零点个数问题的求解方法参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1)2，15(,12+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--，5(1)+∞；【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是(),m+∞, 单调递减区间是()0,m；（2）1．学科@网【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x的定义域为()()()()0,,'x m x mf xx+-+∞=．当0x m<<时，()'0f x<,函数()f x单调递减，当x m>时，()'0f x>函数()f x单调递增，综上，函数()f x的单调递增区间是(),m+∞, 单调递减区间是()0,m．（2）令()()()()211ln,02F x f x g x x m x m x x=-=-++->,问题等价于求函数()F x的零点个数，()()()1'x x mF xx--=-,当1m=时，()'0F x≤，函数()F x为减函数，F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。
函数有三个零点与导数
函数有三个零点与导数解:∵f(x)=12x 2-4x+3lnx+m,∴234())3134(x x x x f x x x x x-+--'=-+==（）, ∴f(x)在(0,1)上就是增函数,在(1,3)上就是减函数,在(3,+∞)上就是增函数;∴x=1就是f(x)的极大值点,x=3就是f(x)的极小值点。
又f(1)=12-4+m=m-72,f(3)=92-12+3ln3+m=m+3ln3-152,0 lim lim x x f x f x +→∞→=-∞=+∞（），（）, ∴函数f(x)=12x 2-4x+3lnx+m 有且只有三个不同的零点,等价于f(1)=12-4+m=m-72＞0且f(3)=92-12+3ln3+m=m+3ln3-152＜0,∴72＜m ＜152-3ln3.∴m 的取值范围为(72,152).3.(2016•东湖区月考)已知函数f(x)=x 2-(a+2)x+alnx,其中常数a ＞0.(1)当a ＞2时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)当a=4时,若函数y=f(x)-m 有三个不同的零点,求m 的取值范围.本题第(2)问可以改为:(3)当a=4时,若函数y=f(x)-m 有且只有一个零点,求m 的取值范围.(4)当a=4时,若函数y=f(x)-m 有两个不同的零点,求m 的取值范围.(此问无解) 解:(1)由f(x)=x 2-(a+2)x+alnx 可知,函数的定义域为{x|x ＞0},且()()()2()2212)22(x a x a a x a x f x x a x x x-++--'-++＝＝＝,∵a ＞2,∴2a ＞1. 当0＜x ＜1或x ＞2a 时,f ′(x)＞0;当1＜x ＜2a 时,f ′(x)＜0, ∴f(x)的单调递增区间为(0,1),(2a ,+∞). (2)当a=4时,()21()()2x x f x x --'＝.当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表: x(0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞) f′(x)+ 0 - 0 + f(x) 单调递增 f(x)取极大值 单调递减 f(x)取极小值 单调递增∴f (x )极大值＝f (1)＝12−6×1+4ln 1＝−5,f (x )极小值＝f (2)＝22−6×2+4ln 2＝4ln 2−8.函数f(x)的图象大致如下:∴若函数y=f(x)-m 有三个不同的零点,则m ∈(4ln2-8,-5).4.已知a＞0,函数f(x)=ax2-2ax+2lnx,g(x)=f(x)-2x. (Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)讨论g(x)的单调性;(Ⅲ)当a＞1时,若函数h(x)=g(x)+5+1a有三个不同的零点,求实数a的取值范围.5.(2015•连云港三模)函数f(x)=a x -x 2(a ＞1)有三个不同的零点,则实数a 的取值范围就是 . 解:先画草图大致分析一下:令y=a x (a ＞1),y=x 2,在同一坐标系中画出它们的图象,当x ＜0时,显然它们的图象,有一个交点,即f(x)=a x -x 2(a ＞1)有一个零点。
高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解
高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
数形结合巧运用,零点分布妙化解--浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究
解题探索数形结合巧运用，零点分布妙化解一浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究张程燕(山东省济南中学，250001)一元二次函数是中学数学中最基本、最重要的 函数之一，也是高考考查的重要内容之一，是高考的 高频考点.高中数学教学中一元二次函数的零点分 布问题即初中数学教学中一元二次方程根的分布问 题，是二次函数部分的重点知识与内容，既是学生学 习的重点，也是学习的难点，因此对二次函数零点分 布问题的解题教学研究十分必要.目前，高中生对二 次函数零点分布问题的解题方法偏重于借助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，能够解决的零 点分布问题有限且易出错，解题方法尚不够系统和 完善，针对这一学情，结合高中所学的零点存在定理 以及数形结合这一重要的数学思想方法，笔者将系 统地分析一元二次函数的零点分布问题，力求将解 题方法系统化、模式化、巧妙化，从而提高数学解题 教学的效率和质量，优化学生的思维品质，发展学生 的数学核心素养.1熟悉知识背景，理解方法本质学生对同一类数学题的解答与掌握，需要的不 仅仅是理解并掌握这类题目的解题方法与技巧，更 需要知晓题目所涉及的知识背景.从知识背景出发， 联系解题所需要的数学知识和方法，将知识与方法 有机融合在一起，构建起数学解题模型，既加深了学 生对数学知识的熟悉程度，也有助于学生理解数学 方法的本质，从而达到学以致用、举一反三的学习效 果，这也是数学解题教学的期望所在.本文所涉及的 数学知识与方法如下所述：1.函数零点存在定理:如果函数y =/(%)在区 间[a ，]上的图像是一^条连续不断的曲线，且有/ (a )/() <0,那么函数y =/()在区间（a ，)内至少 有一个零点，即存在c e (a ，)，使得/(C) = 0，这个c 也就是方程/() =0的解[1].特别地，对于一次函数y = h +&(�)和二次 函数y = a / +心+c (a #0)而言，若/(幻在区间（a ， 6)上满足零点存在定理，则在（a ，)上有且仅有一个零点.2.数形结合的思想方法——从四个方面将二次函数图像与代数不等式之间建立联系:①开口方向， ②对称轴，③判别式4，④特殊点函数值的符号.2探究典型例题，把握解题方法数学解题教学是数学教师根据教学需要选择合 适的试题，以学生的学情为起点，以自身的解题经 历、经验和研究为基础，通过师生间对话交互，促进 学生深度思考，优化学生思维品质的教学活动[2].本文选取四道典型例题，从思路分析、解答过程和 方法指导三个方面对二次函数零点分布问题进行解题 教学探究，全方位、多角度的对例题进行剖析，帮助学 生理解问题本质、建立解题模型以及掌握解题方法.例1如果方程尤2 + (^i -1)) +爪2 -2=0的两个 实根一个小于1，另一个大于1，求实数m 的取值范围.思路分析：（1)方程尤2 + (爪-1)尤+爪2-2=0根的分布问题0函数/(%) =%2 + (m - 1)% +m 2 -2的零点分布问题，完成方程的根与函数零点的转化；(2) 函数/() =% + (m -1)%+m 2 - 2 开口上，其与％轴的交点一个在1的左侧、一个在1的右 侧，易画出草图，熟悉题设，理清思路；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面二次函数图像与代数不等式之间建立联系：开口向 上是确定的;对称轴可以在1的左侧、右侧或者对称 轴为1;判别式4 = ( m - 1)2 - 4 ( m - 2 ) > 0;特殊 点函数值/(1) <0.解题过程1法一:数形结合由已知可列方程组:• 62•r 4 = (m -1)2 - A i m 1 - 2 ) >0, |/( 1) =1 + m — 1 + m 2 —2 <0.r 3m 2 + 2m -9 <0, m 2 + m - 2 <0.1 +2 槡 -1 +2 槡----;---< m <---------,33-2 < m < 1.%，^2满足0<% < 1<%2 <6,求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0,4)，其 与X 轴有两个交点％，2满足0<%<1<% <6,易 画出草图，熟悉题设，理清思路；(2)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程：-2 < m < 1. m e ( - ，1）方法指导：因为/(X )开口向上，所以X —± ^ 时，/(X )— + (即/( -) >0，/( + ) >0),再有/(1) <0,则在区间（-^ ,1)和（1，+1)上都满足 零点存在定理，所以在两个区间都各有一个零点，从而满足题意.因此，判别式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0可省略不解，解答过程十分简单.解题过程1 :法一（简化）：数形结合 由已知得:/(1) <0....1 + m - 1 + m 2 - 2 < 0. ... m 2 + m - 2 < 0..-2 < m < 1. .m e (-2,1).我们再来看一下第二种解题方法/昔助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，来解决二次函 数零点分布问题.解题过程2:法二:韦达定理4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0,xt - 1 )(%2 - 1) <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，%1%2 _ (xt +X 2 ) +1 <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，一2) -（1 一 m ) +1 <0.由已知，得{.{.{3m 2 + 2m -9<0，m 2 + m - <01 +2 槡 -1+2 槡...|-^^<m < ^3^，-2 < m < 1..- 2 < m < 1. .m e (-2,1).方法指导:韦达定理使用的前提是一元二次方 程的两根存在，即判别式4^0.因此在利用判别式 和韦达定理解决二次函数的零点分布问题时，判别 式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0不可以省略，必须 要求解.显然，在解决二次函数零点分布问题时，利 用韦达定理解题比利用数形结合解题计算量要大. 也就是说，数形结合方法解决零点分布问题更简易、 更巧妙、更通用.例2已知函数/(X ) =X 2 -2ax +4有两个零点由已知可列方程组：,/(0) =4>0， |/(1)=5-2a <0，...1/(6) =40 -12a >0.a >10a < —5 10 5 10.T <a <T .a E (T ’y ).方法指导：因为/(X )开口向上，且由图像可得， /(0) >0，(1) <0，(6) >0,则在区间(0,1)和(1,6)上 都满足零点存在定理，所以在区间(0，1 )和（1，）上各 有一个零点，满足题意“/(X )两个零点X i ，2且0 <X 1 < 1 <X 2 <6”，故而有关对称轴0 <a <6和判别式4 = (-2a )2 -4 x 1 x 4的不等式可省略.例3已知函数/(X ) =X 2 - 2aX +4有两个零点，且都大于1，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0，4 )，且 两个零点X 1，2都大于1，易画出草图，熟悉题设，理 清思路；()利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系解题过程：• 63•由已知可列方程组：/(1) =5 -2a >0, a >1,轴=—2a2x 1=a > 1a <52,，4 =4a 2 - 16 >0. La >2 或 a <-2.2 < a <52a g5)•方法指导：因为/()开口向上，所以/( - 〇〇) > 0，/( + 〇〇 ) > 0，且由图像可得/(1) > 0，但仅仅凭借 特殊点函数值/(1) >0并不能满足零点存在定理， 这就需要其它三个方面加以限制，即开口方向、对称轴-冬>1和4>0.La例4函数/(*) =a *2 -*-1在区间（0,1)内恰有一个零点，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口方向不确定，过定点 (0，_1)；()首项系数含参且在(0，1)内恰有一个零点， 满足条件的草图有很多，因此需要分类讨论，而分类 讨论的依据可以是首项系数的符号.亦或者，我们可 以利用前面的解题思路，按照端点函数值/(0)/( 1) 的符号来讨论；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程:分类讨论法一:按首项系数分类讨论(1) 若a =0,则/() = -*-1为一次函数，令/(*) =0,得 *= -1.此时/(*)只有*=-1这一个零点，在区间（0, 1)内无零点.(2)若 a >0,则/(*) = a *2 - * - 1 为一兀二次函数，开口向上，过定点（0, -1).由已知可列方程组：f (0) = ―1:0, .a >2.[/(1) =a - 2 >0.(3)若 a <0,则/(*) =a *2-*-1 为一兀二次 函数，开口向下，过定点（0, -1).由已知可列方程组：a <0，1 a <0,0 <^<1， ,、2a 或{ A =1 + 4a >0，4=1 +4a =0, |/(1) =a 一 2>0./(1) =a -2<0a <0，、a <2a <0，或a >a >2••.均无解.综上所述：的取值范围为(2，+ ^ )•方法指导:与例1例2、例3 —样，需要画出函 数草图，从开口方向、对称轴、判别式A 和特殊点函 数值的符号四个方面建立起函数图像与不等式之间 的关系.但由于函数首项系数含参，具有不确定性， 因此依据首项系数的符号进行分类讨论，进而求解 参数的范围.需要说明的是:在情形（2)中，二次函 数/(*) =a *2 -* - 1区间（0,1)上满足零点存在定 理，则在(0，1 )上有且仅有一个零点.法二:按特殊点函数值符号分类讨论：()当/(0)/(1) <0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 >0,即 a >2 时；此时满足零点存在定理，二次函数/(*) =a *2 -* -1在区间(0，）内必恰有一-零点.(2)当/(0)/(1) >0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 <0,即 a <2 时；由图可列方程组得:• 64•a<0,0 <2a<1,A-4a+1=0,/(0) = -1 <0,/(1) =a-2<0.a<0,a无解.、a<2.()当/(0)/() =0,由/(0) = -1，得/(1) -a -2=0,即a=2 时；v/(x) =ax2-x-1=22-x-1= (2+1) (-1)，...令/(x) =(2x+1)(x- 1) =0.得 X1 =-+送（0，1)，2 =1 送（0，1).■■■/(x) =ax2-X-1在区间（0，1)内没有零点..a=2不符合题意，舍去.综上所述：的取值范围为(2，+ 1X1 ).方法指导：1)当/(0)/() <0时，满足函数零 点存在定理，则对于二次函数而言在区间（0，1)有 且只有一个零点，满足题意；⑵当/(0)/(1) >0时，函数/(X)端点值同号，不满足零点存在定理，所以结合图像，还得添加其它 三个条件:开口方向、对称轴、判别式A;(3)当/(0)/(1)=0时，可直接求得a=2，此时 函数解析式确定，直接求出零点的值，再判断零点是 否在区间（0，1)内即可.通过对比按首项系数分类讨论和按特殊点函数 值符号（即是否满足零点存在定理）分类讨论两种 方法，我们发现:虽同为利用数形结合与分类讨论的 数学思想方法解题，但显然方法二比方法一简单许 多，再次验证了函数零点存在定理在零点分布问题 求解中的优势所在.3研究零点分布，归纳解题结论通过对典型例题的深度探究，我们发现:二次函 数的零点分布问题，可以从开口方向、对称轴、判别 式和特殊点函数值符号四个方面找寻二次函数图像 与代数不等式之间的关系，从而建立起数学解题模型.我们还发现，当特殊点的函数值符号异号时，即在某区间上函数满足零点存在定理时，那就只需要 列特殊点函数值符号的不等式即可，其它三个不等 式不用列也无需解；当不满足零点存在定理时，就需 要其它三个方面的不等式加以限制，此时不能省略.因此，从四个方面将二次函数图像与代数不等式之 间建立联系，利用数形结合解决二次函数的零点分 布问题时，要注意四个方面研究的顺序性，优先考虑 特殊点函数值的符号情况，若满足零点存在定理，则可简化解题步骤，巧妙解决二次函数的零点分布问 题.此外，对于需要分类讨论的二次函数零点存在问 题，以/( a)/( 6 )的符号为切入点展开分类讨论，显然思路比较清晰，便于求解.数形结合巧运用，零点分布妙化解.利用一个简单的数学知识——零点存在定理和一个常用的数学 思想方法——数形结合，把二次函数零点分布问题 的解题方法系统化、直观化和形象化，在题目的诸多变化中找到了数学解题的“不变性”，达到“以不变 应万变”的解题教学效果，从而能够促进学生的深 度思考，提升学生的解题能力，优化学生的数学思维 品质，发展学生的数学核心素养.(说明：本文中出现的函数图像，都是在假设存 在的前提下依据题意画出的草图，并不代表此函数 图像一定存在.尤其在涉及分类讨论求参数范围时，满足条件的函数图像是否真实存在取决于解题的结果是否有解.）参考文献：[1] 中学数学课程教材研究开发中心.普通中教科书数学必修第一册（2019年A版）[M].北 京:人民教育出版社，2019.[2] 安学保.讲在学生需要处，讲在思维深处——例谈高中数学解题教学中的问题驱动[J].中学数学教学参考，2019,（22) :54 -57.[3] 江春莲，胡玲.基于APOS理论和R M I原的二次函数图象平移教学实验研究[J].数学教育学报，2020,29(6) ：2 -39.[4] 葛丽婷，旆梦媛，于国文.基于UbD理论单元教学设计——以平面解析几何为例[J].数学 教育学报，2020,29(5) :5 -31.• 65•。
函数零点的题型总结
函数零点的题型总结例题及解析考点一函数零点存在性定理的应用【例1】已知函数f(x)=(12)x-13x,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是( )(A)(0,13) (B)(13,12)(C)(12,23) (D)(23,1)解析:f(0)=1>0,f(13)=(12)13-(13)13>0,F(12)=(12)12-(12)13<0,f(13)f(12)<0,所以函数f(x)在区间(13,12)内必有零点,选B.【跟踪训练1】已知函数f(x)=2x-log3x,在下列区间中包含f(x)零点的是( )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:由题意,函数f(x)=2x-log3x为单调递减函数,且f(2)= 22-log32=1-log32>0,f(3)= 23-log33=-13<0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)=2x-log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C.【教师备用巩固训练1】设函数f(x)=ln (x+1)+a(x2-x),若f(x)在区间(0,+∞)上无零点,则实数a的取值范围是( )(A)[0,1] (B)[-1,0](C)[0,2] (D)[-1,1]解析:f(1)=ln 2>0,当a=-1时,f(2)=ln 3-2<0,所以f(x)在(1,2)上至少有一个零点,舍去B,D;当a=2时,f(12)=ln 32-12<0,所以f(x)在(12,1)上至少有一个零点,舍去C.因此选A.考点二函数零点的个数考查角度1:由函数解析式确定零点个数【例2】 (1)函数f(x)=xcos(x2-2x-3)在区间[-1,4]上的零点个数为( )(A)5 (B)4 (C)3 (D)2(2)已知f(x)=2xx +x-2x,则y=f(x)的零点个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:(1)由题意可知x=0或cos(x2-2x-3)=0,又x∈[-1,4],所以x2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,5],当cos(x2-2x-3)=0时,x2-2x-3=kπ+π2,k ∈Z,在相应的范围内,k只有-1,0,1三个值可取,所以总共有4个零点,故选B.解析:(2)令2xx +x-2x=0,化简得2|x|=2-x2,画出y=2|x|,y=2-x2的图象,由图可知,图象有两个交点,即函数 f(x)有两个零点.故选C.考查角度2:根据函数零点个数确定参数范围 【例3】 (1)已知函数f(x)= 24,1,ln 1,1,x x a x x x ⎧-+⎪⎨+≥⎪⎩＜若方程f(x)=2有两个解,则实数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,2) (B)(-∞,2] (C)(-∞,5) (D)(-∞,5] (2)已知函数f(x)= 3,2,1e ,20x xa x x a x x ⎧--≤-⎪⎪+⎨⎪--⎪⎩＜＜恰有3个零点,则实数a 的取值范围为( )(A)(-1e ,-13) (B)(-1e ,-21e) (C)[-23,-21e ) (D)[-23,-13)解析:(1)可知x ≥1时,f(x)=2必有一解,x=e,所以只需x<1时f(x)=2有一解即可,即x 2-4x+a=2有解,设g(x)=x 2-4x+a-2,由于该函数的对称轴为直线x=2,故只需g(1)=-3+a-2<0,即a<5,故实数a 的取值范围是(-∞,5).选C. 解析:(2)-1x x +-3a=-111x x +-+-3a=1x x +-1-3a,在(-∞,-2]上单调递减.若a≥0,则e x -a x在(-2,0)上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故a<0.故需f(x)当x ≤-2时,-1-3a>0,a<-13,且121-+-1-3a ≤0,a ≥-23,使得第一段有一个零点,故a ∈[-23,-13).对于第二段,e x -a x=e xx a x -,故需g(x)=xe x -a 在区间(-2,0)有两个零点,g ′(x)=(x+1)e x ,故g(x)在(-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增,所以(2)0,(1)0,(0)0,g g g -⎧⎪-⎨⎪⎩＞＜＞解得-22e >a>-1e.综上所述,a ∈(-1e ,-13).故选A.【题组通关】1.若函数f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为( C ) (A)(0,4) (B)(0,+∞)(C)(3,4) (D)(3,+∞)解析:如图,若f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a ∈(3,4),故选C.2.已知偶函数f(x)= 4log,04,(8),48,x x f x x ⎧≤⎪⎨-⎪⎩＜＜＜且f(x-8)=f(x),则函数F(x)=f(x)-12x在区间[-2 018,2 018]的零点个数为( A )(A)2 020 (B)2 016 (C)1 010 (D)1 008解析:依题意,当4<x<8时,f(x)=f(8-x)对称轴为直线x=4,由f(x-8)=f(x)可知,函数f(x)的周期T=8. 令F(x)=0,可得f(x)=12x,求函数F(x)=f(x)-12x的零点个数,即求偶函数f(x)与函数y=12x图象交点个数,当0<x<8时,函数f(x)与函数y=12x图象有4个交点,2 018=252×8+2由f(2)=|log 42|=12>212=14知, 当0<x<2时函数f(x)与函数y=12x图象有2个交点.故函数F(x)的零点个数为(252×4+2)×2=2 020, 故选A.3.已知函数f(x)= 31,1,,1,x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同零点,则k 的取值范围是 . 解析:作出f(x)=31,1,,1x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的函数图象如图所示.方程f(x)=k 有两个不同零点,即y=k 和f(x)= 31,1,1x x x x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的图象有两个交点,由图可得k 的取值范围是(0,1). 答案:(0,1)【教师备用 巩固训练2】 已知函数f(x)=32233,2,4(56),2,x x x x x x ⎧-+⎪⎨--+≥⎪⎩＜则函数f(f(x))的零点个数为( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析:画出函数的图象,如图所示,令f(x)=t,因为f(f(x))=0则f(t)=0,由图象可知,f(t)=0有四个解,分别为t 1=2,t 2=3,-1<t 3<0,1<t 4<2, 由图象可知,当t 1=2时,f(x)=2有两个根,即函数f(f(x))有2个零点; 由图象可知,当t 2=3时,f(x)=3有一个根,即函数f(f(x))有1个零点;由图象可知,当-1<t 3<0时,f(x)=t 有三个根,即函数f(f(x))有3个零点;由图象可知,当1<t 4<2时,f(x)=t 有两个根,即函数f(f(x))有2个零点;综上所述,函数f(f(x))有8个零点. 考点三 函数零点的性质考查角度1:求零点的代数式的取值或取值范围 【例4】 (1)已知函数f(x)=122log ,022,0,x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点x 1,x 2,x 3,x 4,且满足:x 1<x 2<x 3<x 4,则43x x -2213232x x x x +的取值范围是( )(A)(2,+∞) (B)(174,25716] (C)[2,174) (D)[2,+∞) (2)已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数,且满足f(12+x)=f(32-x),当x ∈[-1,0]时,f(x)=-x.若函数F(x)=f(x)+412x x +-,则在区间[-9,10]上的所有零点之和为 . 解析:(1)f(x)=122log ,0,22,0x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞=122log ,0,(11,0x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞）， 由二次函数的对称性可得x 1+x 2=-2,由12log x 3=-12log x 4可得x 3x 4=1,函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点,等价于y=f(x)的图象与y=b 的图象有四个不同的交点,画出y=f(x)的图象与y=b 的图象,由图可得1<b ≤2,所以1<12log x 3≤2⇒x 3∈[14,12),所以43x x -2123()2x x x +=43x x +23x =231x+23x , 令t=23x ∈[116,14), 所以1t +t ∈(174,25716],故选B. 解析:(2)因为满足f(12+x)=f(32-x), 所以f(x)=f(2-x), 又因函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(2+x),即f(x)=f(2+x),所以T=2,令F(x)=0,f(x)=421x x +-,即求f(x)与y=421x x +-交点横坐标之和.y=421x x +-=12+9221x -, 作出图象如图所示.由图象可知有10个交点,并且关于(12,12)中心对称, 所以其和为102=5. 答案:(1)B (2)5考查角度2:隐性零点的性质 【例5】已知函数f(x)= ln(1),0,11,0,2x x x x +⎧⎪⎨+≤⎪⎩＞若m<n,且f(m)=f(n),则n-m 的取值范围为( )(A)[3-2ln 2,2) (B)[3-2ln 2,2] (C)[e-1,2) (D)[e-1,2]解析:作出函数f(x)的图象,如图所示,若m<n,且f(m)=f(n),则当ln(x+1)=1时,得x+1=e,即x=e-1, 则满足0<n ≤e-1, -2<m ≤0,则ln(n+1)=12m+1,即m=2ln(n+1)-2,则n-m=n+2-2ln(n+1), 设h(n)=n+2-2ln(n+1),0<n ≤e-1,则h ′(n)=1-21n +=11n n -+, 当h ′(n)>0,解得1<n ≤e-1,当h ′(n)<0,解得0<n<1,当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2-2ln(1+1)=3-2ln 2,当n=0时,h(0)=2-2ln 1=2;当n=e-1时,h(e-1)=e-1+2-2ln(e-1+1)=e-1<2,所以3-2ln 2≤h(n)<2,即n-m的取值范围是[3-2ln 2,2),故选A.【题组通关】1.已知a>1,方程12e x+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则21x+22x+2x1x2的取值范围为( A ) (A)(1,+∞) (B)(0,+∞)(C)(12,+∞) (D)(12,1)解析:方程12e x+x-a=0的根,即y=12e x与y=a-x图象交点的横坐标,方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x与y=a-x图象交点的横坐标, 而y=12e x与y=ln 2x的图象关于直线y=x对称,如图所示.所以x1+x2=a,所以21x +22x +2x 1x 2=(x 1+x 2)2=a 2,又a>1,所以21x +22x +2x 1x 2>1,故选A2.已知函数f(x)= 42log ,04,1025,4,x x x x x ⎧≤⎪⎨-+⎪⎩＜＞若a,b,c,d 是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd 的取值范围是( A ) (A)(24,25) (B)(18,24) (C)(21,24) (D)(18,25)解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.考点四 函数零点的应用【例6】 (1)已知α,β分别满足α·e α=e 2,β(ln β-2)=e 4,则αβ的值为( )(A)e (B)e 2 (C)e 3 (D)e 4 (2)已知f(x)=9x-t ·3x,g(x)=2121x x -+,若存在实数a,b 同时满足g(a)+g(b)=0和f(a)+f(b)=0,则实数t 的取值范围是 . 解析:(1)因为α·e α=e 2,所以e α=2e α, 因为β(ln β-2)=e 4,所以ln β-2=4e β,所以ln β-ln e 2=4e β,所以ln 2e β=4e β=22e e β. 所以α,2e β分别是方程ex=2e x ,ln x=2e x的根,因为点(α,2e α)与点(2e β,4e β)关于直线y=x 对称, 所以α=4e β,所以αβ=e 4.故选D.解析:(2)因为g(-x)=2121x x ---+=1212xx-+=-2121x x -+=-g(x),所以函数g(x)为奇函数, 又g(a)+g(b)=0,所以a=-b. 所以f(a)+f(b)=f(a)+f(-a)=0有解, 即9a -t ·3a +9-a -t ·3-a =0有解, 即t=9933a a aa--++有解.令m=3a+3-a(m ≥2),则9933a aa a--++=22m m-=m-2m ,因为ϕ(m)=m-2m 在[2,+∞)上单调递增,所以ϕ(m)≥ϕ(2)=1.所以t ≥1.故实数t 的取值范围是[1,+∞). 答案:(1)D 答案:(2)[1,+∞)【跟踪训练2】函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D 内是单调函数;②存在[a,b]⊆D 使得f(x)在[a,b]上的值域为[2a ,2b ],则称函数f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=log m (m x +2t)(其中m>0,且m ≠1)是“成功函数”,则实数t 的取值范围为( ) (A)(0,+∞) (B)(-∞,18] (C)[18,14) (D)(0,18] 解析:无论m>1还是0<m<1,f(x)=log m (m x +2t)都是R 上的单调增函数,故应有(),2(),2a f a b f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则问题可转化为求f(x)=2x ,即f(x)=log m (m x +2t)=2x,即m x+2t=12x m在R上有两个不相等的实数根的问题,令λ=12x m (λ>0),则m x+2t=12x m可化为2t=λ-λ2=-(λ-12)2+14,结合图形可得t∈(0,18].故选D.。
高中函数零点问题精选题型
零点问题与数形结合题型一、直接做图1 函数 ()1|1|f x x =--‖ 的图像与直线 y k = 有且仅有四个不同的交点, 则实数 k 的取值范围是_________2 已知函数 ()22x f x =- 与 y b = 有两个交点, 则实数 b 的取值范围是_________3 已知函数 ||()2||,x f x x =+ 若关于 x 的方程 ()f x k = 有两个不同的实根, 则实数k 的取值范围是_________.已知函数 ()|lg |,f x x = 若 0a b << 且 ()(),f a f b = 则 2a b + 的范围是_________4 设函 21,0(),1,0x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩ 若函数 ()a f x = 有两个实根 ()1212,,x x x x < 则 12x x + 的取值范围是_________5 若关于 x 的不等式 23344a x xb -+ 的解集恰好是 [a, b],则 a b +=_________6 关于 x 的不等式 201x px q ++ 的解集为 [3,4], 则 p q +=_________7 已知函数 22,||3(),6,||3x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩ 若 0,m n << 且 ()(),f m f n = 则 2n m +的取值范围是_________题型二、变形后做图1 直线 1y = 与曲线 2||y x x a =-+ 有 4 个交点, 则 a 的取值范围 是_________2 若关于 x 的方程 2||2x kx x =+ 有 4 个不同的实数解, 则实数 k 的范围为_________3 已知函数 21(),()32f x x h x =+= 解关于 x 的方程 433log (1)24f x ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦22log ()log (4)h a x h x ---。
2024届高考数学二轮复习专题《运用数形结合思想探究函数零点问题》
2024届高考数学二轮复习专题《运用数形结合思想探究函数零点问题》运用数形结合思想探究函数零点问题函数是数学中常见的一个概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
在学习函数的过程中，我们经常会遇到求函数的零点的问题。
函数的零点是指函数在哪些自变量取值下，其对应的因变量为0。
求解函数的零点在数学中具有重要的意义，不仅可以帮助我们分析数学问题，还可以在实际应用中发挥作用。
为了更好地探究函数零点问题，我们可以借助数形结合思想。
数形结合思想是数学的一种思维方式，通过将问题抽象为几何图形的形式，结合几何图形的性质来解决问题。
以简单的一元一次函数为例，我们考虑函数f(x)=ax+b，其中a和b为常数。
究竟什么样的条件下，函数f(x)的零点存在呢？我们可以通过数形结合思想进行探究。
首先，我们可以画出函数y=ax+b的图像。
这是一条直线，a决定了直线的斜率，b决定了直线在y轴上的截距。
我们可以从图像中直观地看出，当直线与x轴相交时，函数就有零点存在。
接下来，我们将函数的零点问题转化为几何问题。
我们可以将直线y=ax+b与x轴相交的点A与原点O连线，得到一条线段AO。
由于原点O的坐标为(0,0)，所以点O可以看作是函数的零点。
通过几何分析，我们可以得到结论：当直线y=ax+b与x轴相交时，线段AO的长度就是零点的解。
而线段AO的长度可以通过两点之间的距离来计算，即0点到直线y=ax+b所对应的点A的距离，通常记为d。
根据直线到原点的距离公式，我们可以得到d的计算方法：d=，b，/√(a²+1)。
这个公式告诉我们，0点到直线y=ax+b所对应的点A的距离取决于a和b的值。
当a=0时，直线平行于x轴，不存在与x轴的交点，也就是函数不存在零点。
当a≠0时，直线与x轴相交于一点，也就是函数存在唯一的零点。
通过数形结合思想的探究，我们从几何的角度解释了函数零点的问题，并得到了函数零点存在的条件和计算零点的方法。
这种思考方式不仅能够加深对函数的理解，还可以培养我们的几何思维能力。
函数零点的题型总结
【题组通关】
1.已知a>1,方程 ex+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则 + +2x1x2的取值范围为( A )
(A)(1,+∞)(B)(0,+∞)
(C)( ,+∞)(D)( ,1)
解析:方程 ex+x-a=0的根,即y= ex与y=a-x图象交点的横坐标,
方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x与y=a-x图象交点的横坐标,
(A)(24,25)(B)(18,24)
(C)(21,24)(D)(18,25)
解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.
考点四 函数零点的应用
【例6】 (1)已知α,β分别满足α·eα=e2,β(ln β-2)=e4,则αβ的值为( )
所以函数f(x)在区间( , )内必有零点,选B.
利用方程根的存在性定理判断函数零点所在区间的步骤:①先移项使方程右边为零,再令方程左边为函数 f(x);②求区间(a,b)两端点的函数值f(a),f(b);③若函数在该区间上连续且f(a)·f(b)<0,则方程在该区间内必有根.
数形结合解决函数的零点问题
数形结合 解决函数的零点问题
复习旧知
结论：函数的零点就是方程f(x)=0的
实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标。
等价关系：
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
判断函数零点个数的 3 种方法
一、 f (x) k 型函数的零点问题
的个3 数.
由图像可知有8个交点.
y
2
1 y=
x1
因为两函数图像都
x)
1
y = sin(2∙π∙x)
关于点 (1, 0) 对称,
所以交点的横坐标
2
o
2
1
4
x 6之和为8 8. 10
2
二、f (x) g(x) 型函数的零点问题
经验总结： 1.分离成两个函数求交点的问题. 2.注意分离的两个函数应尽可能的 是熟悉、常见的函数.
二、f (x) g(x)型函数的零点问题
例3 (2018年新课标Ⅰ)
已知函数 ex , x 0,
f (x)
, g(x) f (x) x a.
ln x, x 0.
若 g(x) 存在2个零点,则 a 的取值范围(
A.[－1,0)
B.[0,＋∞)
C.[－1,＋∞)
D.[1,＋∞)
例 4 (2018·山西质量检测)
已知 f(x)＝2|lxn＋x1|， ，xx≤>00，，
则方程 f[f(x)]＝3 的
根的个数是( C )
A．3 B．4 C．5 D．6
经验总结： 1.先分离出内外层函数，分别作出内外 层函数的图像，借助图像来求解. 2.注意：遵循“由外到内”的顺序，一层 层拆解直到求出x的值。
高中数学求零点个数例题
高中数学求零点个数例题①解方程：通过解方程 f(x)=0 得到零点；②数形结合：这是经常用到的分析方法，特别是选填题中得到广泛应用；③零点存在定理：用零点存在定理来确定某区间是否有零点，这是解答题中的重要方法；④求零点个数：求零点个数时，就要判断每个单调区间，同时还要判断个单调区间的零点存在性.而具体解答题的过程中，我们也会遇到函数较复杂，先将复杂问题转化为简单问题，再选择合适的方法来求零点.我们来看一个具体的例子.【例1】（2018全国2卷文数21-2）已知函数f(x)=\frac{1}{3}x^3-a(x^2+x+1)，证明： f(x) 只有一个零点.【分析】 f(x) 是一个含参的三次函数，貌似是一个三次函数求零点个数问题，但是带着参数问题就变复杂了，所以这个时候可以转化一下，分离参数为求： a=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)} 的解个数问题.进一步转化为函数g(x)=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)}-a的零点个数问题.【解析】因为 x^2+x+1>0 恒成立.所以 f(x) 零点个数等价于函数函数g(x)=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)}-a的零点个数问题.先判断 g(x) 单调性，用导数法：g'(x)=\frac{3x^2(x^2+x+1)-x^3(2x+1)}{3(x^2+x+1)^2}=\frac{x^2(x^2+2x+3)}{3(x^2+x+ 1)^2}\geq0 ,当且仅当 x=0 时 g'(x)=0 ,g(x) 单调递增.所以 g(x) 至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点.又因为 f(3a+1)=\frac{1}{3}>0 , f(3a-1)=-6a^2+2a-\frac{1}{3}=-6(a-\frac{1}{6})^2-\frac{1}{6}<0 ,所以 f(x) 恰有一个零点.【小结】分离参数读者们应该还好理解，为什么要选择f(3a+1),f(3a-1) 就是一脸懵了.这属于找点的内容（内点定理），我们后面专门花章节来讲解这个内容.我们还是先理解零点存在定理的应用.本节我们重点讲解求零点个数问题的求法，近年高考也是热点题型，也是我们零点问题将面临的重点问题.【例2】（2019全国2卷理数20-1改编）已知函数f(x)=lnx-\frac{x+1}{x-1} ,求 f(x) 的零点个数.【分析】求零点个数问题，我们要求函数的单调区间，然后判断每一个单调区间的零点存在性.【解析】 f(x) 定义域为 (0,1)\cup(1,+\infty) ，而f(x)=lnx-1-\frac{2}{x-1} ,由和差法： y=lnx 和 y=-\frac{1}{x-1} 在(0,1)\cup(1,+\infty)上都是单调递增了，所以 f(x) 在(0,1)\cup(1,+\infty)单调递增；在 (0,1) 上 f(x) 单调递增，当 \frac{1}{3}<x<1 时，f(x)>f(\frac{1}{3})=\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-1-ln3>\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-3=0 ，当 0<x<\frac{1}{e^2} 时，f(x)<f(\frac{1}{e^2})=\frac{2}{1-\frac{1}{e^2}}-3<\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-3=0 ，由零点存在定理和单调性， f(x) 在 (0,1) 有唯一零点，在 (1,+\infty) 上 f(x) 单调递增，当 1<x<3 时， f(x)<f(3)=ln3-2<0 ,当 x>e^2 时， f(x)>f(e^2)=1-\frac{2}{e^2-1}>1-\frac{2}{3-1}=0 ,所以 f(x) 在 (1,+\infty)有唯一零点.综上， f(x) 在定义域上有两个零点.【例3】（2019全国1卷文数20-1改编）已知函数h(x)=cosx+xsinx-1 ,证明： h(x) 在区间 (0,\pi) 存在唯一零点.【分析】让我确定零点个数，需要结合单调区间和零点存在定理来证明.【解析】给定了定义域区间为 (0,\pi) ,用导数法判断单调性： h'(x)=xcosx ，判正负区间： h'(x) 正负区间同 y=cosx ，易知在(0,\frac{\pi}{2}) 上 h'(x)>0,h(x) 单调递增；在(\frac{\pi}{2},\pi) 上， h'(x)<0,h(x) 单调递减.而 h(0)=0,h(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}-1>0，h(\pi)=-2<0 ,由零点存在定理和单调性，所以在(0,\frac{\pi}{2})上 h(x) 无零点，在 (\frac{\pi}{2},\pi) 上有唯一零点.得证.【例4】（2015全国1卷文书21-1）设函数 f(x)=e^{2x}-alnx .讨论 f(x) 的导函数 f'(x) 零点的个数.【分析】先求出 f'(x) 及定义域，通过判断 f'(x) 单调性和零点存在性来确定零点个数.【解析】 f'(x)=2e^{2x}-\frac{a}{x}(x>0) .①当 a\leq0 时，显然 f'(x)>0 恒成立，无零点.②当 a>0 时，判断 f'(x) 的单调性，用和差法：y=2e^{2x},y=-\frac{a}{x} 都是在 (0,+\infty) 上的单调递增函数，所以 f'(x) 单调递增.当 x>max(1,\frac{a}{2e^2}) 时， f'(x)>2e^2-2e^2=0 ,当 x<min(1,\frac{a}{2e^2}) 时， f'(x)<2e^2-2e^2=0 ,所以此时 f'(x) 有唯一零点，综上，当 a\leq0 ， f'(x) 无零点，当 a>0 时，有唯一零点.【例5】（2015广东理数19-2）设 a>1 ，函数f(x)=(1+x^2)e^x-a .证明 :f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上仅有一个零点.【分析】还是求零点个数问题，用单调性+存在性来求解.【解析】 f(x) 的单调性，用求导法：f'(x)=e^x(x+1)^2\geq0 ，当且仅当 x=-1 时， f'(x)=0 ，所以 f(x) 是定义域上的单调递增函数.当 x>lna 时， f(x)>f(lna)>0 .当 -\sqrt{e-1}<x<-1 时，f(x)<\frac{e}{e}-a<0 ,由零点存在性定理及单调性，得证：:f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上仅有一个零点.【总结】通过上面五题，是否明白求解零点个数问题的基本方法，如果遇到复杂函数，分参转化为新函数的零点个数问题不失为一种思路；具体求解过程，先判断函数的单调性，再确定每个单调区间函数的零点存在性.但是对于开区间上零点的存在，往往很难通过取点来确定函数值的符号，我们也不容易用极限的思想来解释。
高一数学重点：零点问题的解题方法
谈函数与方程(零点问题)的解题方法——解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．(3)几个等价关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y ＝0(即x轴)有交点．推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数210对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．(2015·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0，1) B．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，∴函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x的零点，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln 2－1＜0，f (2)＝ln 3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1，2)．【答案】B3．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．【解析】求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2．【答案】24．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定理知f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内．【答案】A5．(2014·高考湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}【解析】令x ＜0，则－x ＞0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x ．求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解．当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x ＜0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7．【答案】D确定函数f (x )零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0．若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【解析】因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．【答案】C2．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( )。
高考常考题- 函数的零点问题(含解析)
函数的零点问题一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为 例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，)则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．例3、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞例5、（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-例6、【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞例7、【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0例8、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数2(4),53()(2),3x x f x f x x ⎧+-≤<-=⎨-≥-⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有9个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1111,,4664⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1111,,3553⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,64⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭例9、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数()()2,22,2,x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为A ．23- B ．12-C ．34-D ．1-二、达标训练1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ） A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,22、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知,a b ∈R ，函数(),0(),0x x a e ax x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A ．1,0a b >>B ．1,0a b ><C ．1,0a b <>D ．1,0a b <<4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a=-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ） A ．12BC ．2e D5、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．6、【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．7、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数()222,01,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为__________.一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
热点2-4 函数的图象与函数的零点10大题型(解析版)
热点2-4 函数的图象与函数的零点10大题型函数图象问题依旧以考查图象识别为重点和热点，难度中档，也可能考查利用函数图象解函数不等式等。
函数的零点问题一般以选择题与填空题的形式出现，有时候也会结合导数在解答题中考查，此时难度偏大。
一、函数图象辨识的方法步骤图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）；4、判断单调性：可取特殊值判断单调性.二、作函数图象的一般方法1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．4、如何制定图象变换的策略（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换；②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换．例如：()=+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤．31y f x()2=-+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标y f x的为平移变换．（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求；②横坐标的多次变换中，每次变换只有x发生相应变化．三、零点个数的判断方法1、直接法：直接求零点，令()0=f x，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间[],a b上是连续不断的曲线，且()()0f a f b，⋅<结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.3、图象法：（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数()f x的f x的图象，函数()图象与x轴交点的个数就是函数()f x的零点个数；（2）两个函数图象：将函数()g x的差，根据f x拆成两个函数()h x和()()()()f x的零点个数就是函数()y h x和=f x h xg x，则函数()=⇔=()y g x的图象的交点个数=4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数四、已知零点个数求参数范围的方法1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．【题型1 函数图象的画法与图象变换】【例1】（2022秋·甘肃白银·高三校考阶段练习）作出下列函数图象（1）12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）()2log 1y x =+【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】（1）因为1()2xy f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以11()()22xxf x f x -⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数为偶函数，关于y 轴对称，因此只需要画0x >时的函数图形即可，11()==22xxf x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用对称性即可得解.（2）将函数 2log y x = 的图象向左平移 1个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去, 即可得到函数()2log 1y x =+ 的图象,如图所示.【变式1-1】（2022秋·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）为了得到函数()2ln e y x =的图象，可将函数ln y x =的图象（ ）A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2e 倍B ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21e C ．向下平移两个单位长度 D ．向上平移两个单位长度 【答案】BD【解析】()22ln e ln e ln ln 2y x x x ===++,可将函数ln y x =的图象向上平移两个单位长度得到ln 2y x =+， 可将函数ln y x =的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21e 得到()2ln e y x =.故选：BD【变式1-2】（2022秋·重庆·高三统考阶段练习）已知函数()f x 的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（ ）A ．()1f x -B ．()2f x --C ．()1f x --D ．()1f x -- 【答案】C【解析】由图知，将()f x 的图象关于y 轴对称后再向下平移1个单位即得图2，又将()f x 的图象关于y 轴对称后可得函数()y f x =-， 再向下平移1个单位，可得()1y f x =--所以解析式为()1y f x =--，故选：C.【变式1-3】（2022秋·北京·高三首都师范大学附属中学校考阶段练习）函数12xy -=的图像可看作是把函数2xy =经过以下哪种变换得到（ ）A ．把函数2x y =向右平移一个单位B ．先把函数2x y =的图像关于x 轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位C ．先把函数2x y =的图像关于y 轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位D ．先把函数2x y =的图像关于y 轴对称，然后把所得函数图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 【答案】D【解析】选项A ：函数2xy =向右平移一个单位得到12x y -=；选项B ：先把函数2xy =的图像关于x 轴对称得到2x y =-，然后向左平移一个单位得到12x y +=-；选项C ：先把函数2xy =的图像关于y 轴对称得到2xy -=，然后向左平移一个单位得到(1)122x x y -+--==；选项D ：先把函数2xy =的图像关于y 轴对称得到2xy -=，然后把各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到1222x xy --=⨯=；故选：D【变式1-4】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且在()2,+∞单调递增，()40f =，()4g x x =，则函数()()2y f x g x =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()()22f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线2x =对称，则()2f x +的图象关于直线0x =即y 轴对称，()2f x +是偶函数，()4g x x =为偶函数，图象关于y 轴对称，所以()()2y f x g x =+是偶函数，图象关于y 轴对称，排除AD 选项.()()()()4222200f f f f =+=-==，由于()f x 在()2,+∞上递增，在(),2-∞上递减， 所以()f x 有且仅有2个零点：0和4，另外有()30f <，所以()2f x +有且仅有2个零点：2-和2，()g x 有唯一零点：0， 所以()()2y f x g x =+有且仅有3个零点：2-、0和2. 当1x =时，()110g =>，()()()()121310y f g f g =+⋅=⋅<， 从而排除C 选项，故B 选项正确.故选：B【变式1-5】（2022秋·北京海淀·高三统考期中）已知函数()f x ．甲同学将()f x 的图象向上平移1个单位长度，得到图象1C ；乙同学将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到图象2C ．若1C 与2C 恰好重合，则下列给出的()f x 中符合题意的是（ ）A ．()12log f x x = B ．()2log f x x = C ．()2x f x =D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【解析】对于A ，()112:1log 1C f x x +=+，()211112222:2log 2log log 2log 1C f x x x x ==+=-，A 错误；对于B ，()12:1log 1C f x x +=+，()22222:2log 2log log 2log 1C f x x x x ==+=+，B 正确；对于C ，()1:121x C f x +=+，()22:224x xC f x ==，C 错误；对于D ，()11:112x C f x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，()2211:224x xC f x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误.故选：B.【题型2 由复杂函数解析式选择图象】【例2】（2022·四川资阳·统考二模）函数()32cos e ex x x xf x -=+在区间[]2π,2π-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵()()()()332cos 2cos e e e ex xx x x x x xf x f x -----==-=-++， ∴()f x 为奇函数，图象关于原点对称，C 、D 错误；又∵若(]0,2πx ∈时，320,e e 0x xx ->+>，当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，cos 0x >，当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，∴当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x >，当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，A 错误，B 正确；故选：B.【变式2-1】（2022秋·江西·高三九江一中校联考阶段练习）函数()sin 2xf x =的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】注意到()sin 2xf x =过点()0,1，故可排除C ，D 选项.因2xy =在R 上单调递增，sin x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 则由复合函数单调性相关知识点可知，()sin 2xf x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故排除B 选项.故选：A【变式2-2】（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）函数()3sin 3291x x x f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】易得函数定义域为()(),00,-∞⋃+∞，已知函数()3sin 3cos329133x xx xx x f x π-⎛⎫+ ⎪⎝⎭==--，()()()cos 3cos33333x x x x x xf x f x ----===---，∴函数()f x 为奇函数，排除A 选项；当0x +→时，0cos31x <<，31x >，31x -<，则330x x -->， 所以()0f x >，排除C 选项；当x →+∞时，1cos31x -≤≤，3x →+∞，30x -→，则33x x --→+∞， 所以()0f x →，排除D 选项；故选：B.【变式2-3】（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期中）函数()2e2xf x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由()2e 2xf x x=，则其定义域为()()00-∞∞，，+，因为()()()22ee22xxf x f x xx --===-，故函数为偶函数， ()222e ,0e 22e ,02xx x x x f x x x x -⎧>⎪⎪==⎨⎪<⎪⎩，()()()33e 2,02e 2,02x x x x x f x x x x -⎧->⎪⎪=⎨--<'⎪⎪⎩，令()0f x '=，解得2x =±，可得下表：x(),2-∞-2-()2,0-()0,22()2,+∞()f x ' -+-+()f x极小值极小值故选：A.【变式2-4】（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）函数()()ln 0sin ax x f x a x+=在[2π-,2π]上的大致图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【解析】①当0a =时，()ln sin x f x x=，()()ln sin x f x f x x-=-=-，函数()f x 为奇函数，由0x →时()f x →∞，1x =±时()0f x =等性质可知A 选项符合题意； ②当a<0时，令()ln ||,()g x x h x ax ==-，作出两函数的大致图象，由图象可知在(1,0)-内必有一交点，记横坐标为0x ，此时0()0f x =，故排除D 选项；当02πx x -<<时，()()0g x h x ->，00x x <<时，()()0g x h x -<， 若在(0,2π)内无交点，则()()0g x h x -<在(0,2π)恒成立， 则()f x 图象如C 选项所示，故C 选项符合题意；若在(0,2π)内有两交点，同理得B 选项符合题意.故选：ABC.【题型3 根据函数图象选择解析式】【例3】（2022秋·福建南平·高三校考期中）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则下列可能是()f x 的解析式的是（ ）A ．()cos f x x x =+B ．()cos f x x x =-C ．()cos xf x x= D ．()cos xf x x=【答案】B【解析】A. ()010f =>，故错误；B.因为()010f =-<，且()1sin 0f x x '=+≥，则()f x 在R 上递增，故正确；C.()f x 的定义域为{}|0x x ≠关于原点对称， 又 ()()()cos cos x xf x f x x x--===---，则()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故错误；D. ()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭关于原点对称，又()()()cos cos x xf x f x x x---===--，则()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故错误；故选：B【变式3-1】（2022秋·湖北宜昌·高三校联考期中）已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式为（ ）A ．2()e e x x xf x -=+ B ．()3e e x x f x x -+= C ．2()e ex x x f x -=-D ．()2e e x xf x x -+=【答案】D【解析】由题图：()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，排除A ；当333e e e e e e (),()()()x x x x x xf x f x f x x x x ---+++=-==-=--，故3e e ()x xf x x -+=是奇函数，排除B.当()()()()222,e e e e e e x x x x x x x x x f x f x f x ----=-==-=----，故2()e ex x x f x -=-是奇函数，排除C.故选：D【变式3-2】（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．()()2211x f x x x -=- B ．()2211x f x x x -=- C ．()22211x f x x x -=- D ．()()22211x f x x x -=-【答案】B【解析】根据图像可得：所求函数为奇函数，且当()0,1x ∈时，()0f x <；对CD ：定义域关于原点对称，且都有()()f x f x =-，均为偶函数，故错误；对A ：当()0,1x ∈时，()0f x >，故错误；故选：B.【变式3-3】（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知函数()f x 的部分图像如图，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()()e e sin x xf x x -=- B ．()()e e sin x x f x x -=+C ．()()e e cos x x f x x -=-D ．()()e e cos x xf x x -=+【答案】B【解析】由于图像关于原点对称，所以()f x 为奇函数，对于A ：由()()e e sin x xf x x -=-得：()()()()()e e sin e e sin x x x x f x x x f x ---=--=-=，()f x 为偶函数，故可排除A ；对于D ：由()()e e cos x xf x x -=+得：()()()()()e e cos e e cos x x x x f x x x f x ---=+-=+=，()f x 为偶函数，故可排除D ；由图知()f x 图象不经过点π,02⎛⎫⎪⎝⎭，而对于C ：ππ22ππe e cos 022f -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除C ；故选：B【变式3-4】（2022秋·湖北·高三枣阳一中校联考期中）已知函数()sin f x x =，()g cos x x =，()p x x =，则图像为下图的函数可能是（ ）A ．()()2p x y f x =+B ．()()2y g f x x =+C ．()()2p x y f x =+D ．()()2p x y f x =+【答案】D【解析】对于A ，2sin xy x =+该函数为奇函数，由已知图象可得函数y 的图象不关于原点对称，故A 不符合； 对于B ，sin 2cos xy x =+该函数为奇函数，由已知图象可得函数y 的图象不关于原点对称，故B 不符合； 对于C ，2sin x y x=+由于[]sin 1,1x ∈-，所以02sin x y x=≥+，由于已知图象y 的值域中存在负值，故C 不符合； 对于D ，2sin xy x=+不是奇函数，[]sin 1,1x ∈-，所以R y ∈，故D 图象符合.故选：D.【题型4 根据实际问题作函数图象】【例4】（2022·北京·人大附中校考模拟预测）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度()V x （单位：米/分钟）与时间x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”()v x 为无人机在时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()v x 的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意可得，当[0,6]x ∈时，无人机做匀加速运动，40()603V x x =+，“速度差函数”40()3v x x =； 当[6,10]x ∈时，无人机做匀速运动，()140V x =，“速度差函数”()80v x =； 当[10,12]x ∈时，无人机做匀加速运动，()4010V x x =+，“速度差函数”()2010v x x =-+；当[12,15]x ∈时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”()100v x =， 结合选项C 满足“速度差函数”解析式，故选：C.【变式4-1】（2022·四川泸州·统考模拟预测）如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ，故选B ．【变式4-2】（2022秋·安徽合肥·高三校考期中）（多选）水滴进玻璃容器，如图所示（单位时间内进水量相同），则下列选项匹配正确的是（ ）A ．()2a -B ．()3b -C ．()4c -D ．()1d - 【答案】AB【解析】在a 中，容器是圆柱形的，水高度的变化速度应是直线型，与（2）对应，故A 正确；在b 中，容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，与（3）对应，故B正确；在c 中，容器为球型，水高度的变化为快—慢—快，与（1）对应，故C 错误；在d 中，容器上粗下细，水高度的变化为先快后慢，与（4）对应，故D 错误.故选：AB.【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ．在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ；在区间ππ⎛⎫⎪⎝⎭，2上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ，又由当12x x π+=时，有()12()f x f x =-，()f x 的图象关于点(,0)π2对称，排除D ，故选：A【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑A BCD -中,AB ⊥平面BCD ,且BD CD ⊥,AB BD CD ==,点P 在棱AC 上运动,设CP 的长度为x ,若PBD △的面积为()f x ,则()f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】作PQ BC ⊥于点Q ,作QR BD ⊥于点R ,连接到PR ,由已知可得,PQ AB QR CD ∥∥,且AB ⊥平面BCD , 所以PQ ⊥平面BCD ,又BD ⊂平面BCD ,所以PQ BD ⊥,,,,QR BD PQ QR Q PQ QR ⊥=⊂平面PQR ，BD ∴⊥平面PQR ,PR ⊂平面PQR ，BD PR ∴⊥,设1,AB BD CD ===3AC ∴=,133PQ PQ =∴, 33133QR BQ x x QR BC --==∴222332233333x x PR x x ⎛⎫-⎛⎫∴=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故23()22336f x x x =-+其函数图像是关于直线3x 对称的图像且开口上,故选项B,C,D 错误．故选:A ．【题型5 函数零点所在区间问题】【例5】（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）函数()()52lg 21f x x x =--+零点所在的区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4 【答案】C【解析】因为函数()()52lg 21f x x x =--+在1(,)2-+∞上单调递减，所以函数()f x 最多只有一个零点， 因为(0)(1)5(52lg3)5(3lg3)0f f ⋅=--=->，(1)(2)(52lg3)(54lg5)(3lg3)(1lg5)0f f ⋅=----=-->， (2)(3)(52lg3)(56lg7)(3lg3)(1lg7)0f f ⋅=----=---<， (3)(4)(56lg7)(58lg9)(1lg7)(3lg9)0f f ⋅=----=---->，所以函数()()52lg 21f x x x =--+零点所在的区间是()2,3.故选：C【变式5-1】（2022秋·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）函数81()log 3f x x x=-的一个零点所在的区间是（ ）A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，3.5)D ．(3.5，4) 【答案】A【解析】因为函数81log ,3y x y x==-在()0,∞+上单调递增， 所以，81()log 3f x x x =-在()0,∞+上单调递增， 因为()()8811111log 1,2log 23366f f =-=-=-=，()()120f f ⋅<， 所以，函数只有一个零点，且位于()1,2区间内.故选：A ．【变式5-2】（2022秋·辽宁辽阳·高三统考阶段练习）若函数()lg f x a x x =++()110x <<有零点，则a 的取值范围为（ ）A ．()10,1--B ．()1,10C ．()1,11D ．()11,1-- 【答案】D【解析】因为函数y x a =+与lg y x =均在()1,10上单调递增，所以()lg f x a x x =++在()1,10上单调递增.要使函数()lg f x a x x =++()110x <<有零点，则只需要()()10100f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩即可， 即10110a a +<⎧⎨+>⎩，解得111a -<<-.故选：D.【变式5-3】（2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知()23e x f x x =-，函数()f x 的零点从小到大依次为,12i x i =､､，若[),1(i x m m m ∈+∈Z ），请写出所有的m 所组成的集合___________.【答案】{}1,0,3-【解析】()f x 的零点可以转化为函数e x y =和23y x =图象交点的横坐标，图象如右所示，由图可知共三个零点，()1130f --=->e ，()010f =-<，所以在[)1,0-上存在一个零点； ()130f =->e ，则在[)0,1上存在一个零点；()33270f =->e ，()44480f =-<e ，则在[)3,4上存在一个零点；所以{}1,0,3m ∈-.【变式5-4】（2022秋·安徽·高三合肥一六八中学校联考阶段练习）（多选）已知函数()e 1x f x a x b =-+，若()f x 在区间[]1,222a b +（ ）A ．1eB eC ．2eD ．1 【答案】BCD【解析】设()f x 在区间[]1,2上零点为m ，则e 10m a m b -+=，所以点(),P a b 在直线e 10m x y m --=上，()()222200a b a b OP +-+-，其中О为坐标原点．又()2220e 10ee 11m m mmm OP ⋅-+-≥=-+，记函数()2e m m g m =，[]1,2m ∈，()2222211122e e e e m m m mg m m m'==⎛⎫ -⎪⎝⎭- 因为[]1,2m ∈，所以()g m 在[]1,2m ∈上单调递增 所以()g m 最小值为()11g e=，所以221e a b +≥，故选：BCD.【题型6 函数的零点与零点个数问题】【例6】（2022秋·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）若函数(),R y f x x =∈，满足()()2f x f x +=，且(]1,1x ∈-时，()f x x =，则函数()f x 的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】C【解析】由题意得()f x 的周期为2，作出()y f x =与4log y x =的函数图象，数形结合得共有6个交点，故选：C【变式6-1】（2022·天津河西·统考二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】由(2)()0f x f x -+=知()f x 的图象关于(1,0)对称，由(2)()0f x f x ---=知()f x 的图象关于=1x -对称，作出()f x 与||1()()2x g x =在[3-,3]上的图象：由图可知函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为4．故选：B ．【变式6-2】（2022秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R 只有()()2f x f x +=-，()()()2025,0log ,0f x x g x x x ⎧≥⎪=⎨--<⎪⎩，则方程()()0g x g x --=实数根的个数为（ ）A ．2024B ．2025C ．2026D ．2027 【答案】D【解析】由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[0x ∈，1]时，()f x x =,对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-，得()()()(4)(2)=f x f x f x f x +=-+--=， 所以函数()f x 在[0，)∞+上以4为周期，()()2f x f x +=-, 做出函数()f x 一个周期[0，4]的图象：当0x >时，0x -< ，由()()g x g x =-得：()2025=log f x x - 令2025log 1x -=-，则2025x =，因为202545061=⨯+，而在第一个周期有3个交点，后面每个周期有2个交点，所以共有505231013⨯+=个交点，当0x <时，0x -> ，由()()g x g x =-得：()()2025=log f x x ---,令x t -=，得()2025=log f t t -，由上述可知，()2025=log f t t -有505231013⨯+=个交点，故()()2025=log f x x ---有505231013⨯+=个交点，又0x =时，(0)(0)g g =，所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为210131=2027⨯+．故选：D ．【变式6-3】（2022秋·河北·高三期中）函数21()cos sin 14f x x x x x =+--零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D 【解析】()()()()()2211()cos sin 1cos sin 144f x x x x x x x x x f x -=-+-----=+--=, ()f x ∴是R 上的偶函数，1()cos 2f x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭,①当[]0,2πx ∈时,令()0f x '>,得π03x <<或5π2π3x <≤， 令()0f x '<,得π5π33x <<.()f x ∴在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭和5π,2π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,在π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.()()22π5π5π315π100,0,2ππ0333432f f f f ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫>==⨯-⨯-<=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0π5π,33x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00,()f x f x =∴在[]0,2π上有两个零点.②当(2,)x π∈+∞时,2211()cos sin 1044f x x x x x x x =+--<-<，()f x ∴在()2π,+∞上没有零点，由①②及()f x 是偶函数可得()f x 在R 上有三个零点.故选：D.【变式6-4】（2022秋·江苏南京·高三期末）若函数()f x 的定义域为Z ，且()()()[()()]f x y f x y f x f y f y ++-=+- ，(1)0(0)(2)1f f f -===， ，则曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】由题意函数()f x 的定义域为Z ，且()()()[()()]f x y f x y f x f y f y ++-=+-，(1)0(0)(2)1f f f -===，，令1y =，则[]()(1)(1)()(1)1(1())f x f x f x f f x f f ++-==+-，令1x =，则2(2)(0)(1)f f f +=，即2(1)2f =，令2x =，则(3)(1)(2)(1)f f f f +=，即(3)0f =， 令3x =，则(4)(2)(3)(1)f f f f +=，即(4)1f =-， 令4x =，则(5)(3)(4)(1)f f f f +=，即(5)(1)f f =-，令5x =，则(6)(4)(5)(1)f f f f +=，即2(6)1(1),(6)1f f f -=-∴=-，令6x =，则(7)(5)(6)(1)f f f f +=，即(7)(1)(1),(7)0f f f f -=-∴=， 令7x =，则(8)(6)(7)(1)f f f f +=，即(8)10,(8)1f f -=∴=， 依次类推，可发现此时当Z x ∈，且x 依次取0,1,2,3，时，函数|()|y f x =的值依次为， ，即每四个值为一循环， 此时曲线|()|y f x =与2log y x =的交点为(2,1)； 令=1x -，则(0)(2)(1)(1)0,(2)1f f f f f +-=-=∴-=-， 令2x =-，则(1)(3)(2)(1)(1),(3)(1)f f f f f f f -+-=-=-∴-=-，令3x =-，则2(2)(4)(3)(1)(1),(4)1f f f f f f -+-=-=-∴-=-，令4x =-，则(3)(5)(4)(1)(1),(5)0f f f f f f -+-=-=-∴-=， 令5x =-，则(4)(6)(5)(1)0,(6)1f f f f f -+-=-=∴-=， 令6x =-，则(5)(7)(6)(1)(1),(7)(1)f f f f f f f -+-=-=∴-=，令7x =-，则2(6)(8)(7)(1)(1),(8)1f f f f f f -+-=-=∴-=，依次类推，可发现此时当Z x ∈，且x 依次取1,2,3---，时，函数|()|y f x =的值依次为0,121,0121,0，，，，，， ，即每四个值为一循环， 此时曲线|()|y f x =与2log y x =的交点为(1,0),(2,1)--；故综合上述,曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数为3，故选：B【题型7 根据函数零点个数求参数范围】【例7】（2022秋·广东中山·高三小榄中学校考阶段练习）已知函数()2ln ,045,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，若方程()0f x a -=有4个不同的实数解，则实数a 的取值范围为_________． 【答案】(1,5]【解析】由题知：方程()0f x a -=有4个不同的实数解，即()f x a =有4个不同的实数解．作出()f x 图像（如图所示），即直线y a =与曲线()y f x =有4个公共点． 易知：15a <≤．【变式7-1】（2022秋·新疆喀什·高三新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）已知函数()34,0,0x x x f x lnx x ⎧-≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x x a =+-有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）A ．[)0,1B ．[)0,2C ．(],1-∞D ．(],2-∞ 【答案】B【解析】令()()0g x f x x a =+-=，即()f x x a +=，令()()x f x x ϕ=+，当0x ≤时，()33x x x ϕ=-，()233x x ϕ'=-，令()0x ϕ'>得：1x >或1x <-，结合0x ≤，所以1x <-，令()0x ϕ'<得：11x -<<，结合0x ≤得：10-<≤x ，所以()x ϕ在=1x -处取得极大值，也是最大值，()()max 12x ϕϕ=-=，当x →-∞时，()x ϕ→-∞，且()00ϕ=，当0x >时，()ln x x x ϕ=+，则()110x xϕ'=+>恒成立，()ln x x x ϕ=+单调递增，且当0x →时，()x ϕ→-∞，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，画出()x ϕ的图象，如下图：要想()()g x f x x a =+-有3个零点，则[)0,2a ∈故选：B【变式7-2】（2022·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1x f x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（ ）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,e 1- 【答案】B【解析】∵()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数，故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解， 则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<.故选：B.【变式7-3】（2022秋·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）若函数()2,,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩满足存在t R ∈使()f x t =有两个不同的零点，则a 的取值范围是______． 【答案】()(),00,1-∞⋃【解析】如图所示，画出函数()2,,x x af x x x a ≤⎧=⎨>⎩的图象.结合图象可知，()(),00,1a ∈-∞⋃【变式7-4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】1ln 2,(0,1)3e8⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意函数()f x 恰有3个零点， 即为函数()g x 的图象与直线y m =有3个公共点，当12x ≥时，可得2()(3ln 1)g x x x '=+，令()0g x '=，得131e 2x -=>，当131[,e )2x -∈时，函数()g x 单调递减；当13(e ,)x -∈+∞时，函数()g x 单调递增，所以当13e x -=时，函数()g x 取得极小值，极小值为131e 3e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由11()ln 2028g =-<，作出()g x 的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是1ln 2,(0,1)3e8⎛⎤-- ⎥⎝⎦．【题型8 复合函数的零点问题】【例8】（2022秋·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数()()1ln 1,121,1x x x f x x -⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则函数()()1y f f x =+的零点个数为______. 【答案】2【解析】先由函数画出草图如图，∴函数()f x 的零点为=2x ，令()1=2f x +，得()=1f x ，∴函数()()1y f f x =+的零点个数就是方程()=1f x 解的个数，也就是函数()f x 的图像与直线=1y 交点的个数，由图可知函数()f x 的图像与直线=1y 有两个不同的交点A ，B ，∴()()1y f f x =+的零点个数为2，【变式8-1】（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知函数()||1f x x =-，关于x 的方程2()|()|0f x f x k -+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根． 其中真命题的序号为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 【答案】C【解析】设||1t x =-，则1t-，当1t =-时，0x =,当1t >-时，x 有两解．则原方程等价为2||0t t k -+=，即2211||(||)24k t t t =-+=--+．画出||1t x =-以及211(||)24k t =--+的图象， 由图象可知，（1）当0k <时，1t >，此时方程恰有2个不同的实根； （2）当0k =时，1t =或0=t 或1t =-， 当1t =时，x 有两个不同的解， 当0=t 时，x 有两个不同的解，当1t =-时，x 只有一个解，所以此时共有5个不同的解．（3）当104k <<时，112t -<<-或102t -<<或102t <<或112t <<，此时对应着8个解．（4）当14k =时，12t =-或12t =．此时每个t 对应着两个x ，所以此时共有4个解．综上正确的是①③④．故选：C【变式8-2】（2022秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数()π4sin sin 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，讨论函数()()()()21g x f x m f x m =-++⎡⎤⎣⎦的零点个数． 【答案】（1）πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）答案详见解析 【解析】（1）()134sin sin cos 22x f x x x ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭1cos 23sin 2x x =-+π2sin 216x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 由πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，Z k ∈， 解得ππππ63k x k -+≤≤+，Z k ∈，故()f x 递增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈. （2）π2,π63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ72,π666x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()π2sin 21[0,3]6f x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，画出()f x 在区间π2,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示，令()f x t =，则()()()()211g x t m t m t t m =-++=--，[]0,3t ∈，由()()10t t m --=，结合()f x 图象得：①当1m =时，()0g t ≥，1t =，即()1f x =，此时零点唯一； ②当23m ≤<时，1t =或()1t m f x =⇔=或()f x m =，此时三个零点； ③当3m =时，1t =或t m =⇔()1f x =或()3f x =，此时两个零点； ④当3m >时，1t =或t m =⇔()1f x =或()f x m =（无解），此时只有一个零点；⑤当0m =时，1t =或t m =⇔()1f x =或()0f x =，此时两个零点； ⑥当01m <<，12m <<时，1t =或t m =⇔()1f x =或()f x m =，此时有两个零点；⑦当0m <时，1t =或t m =⇔()1f x =或()f x m =（无解），此时有一个零点；综上所述：当()(){},03,1m ∈-∞⋃+∞⋃时，只有一个零点；[)(){}0,11,23m ∈⋃⋃时，只有两个零点；[]2,3m ∈，有三个零点.【变式8-3】（2022秋·河南焦作·高三统考期中）已知函数()()12,024,24x x f x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-<<⎩，方程()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=（其中0θπ<<）有6个不同的实根，则θ的取值范围是（ ）A ．π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π2π0,,π33⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．50ππ,,66π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．π0,3⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】因为当24x <<时，有()()4f x f x =-，故()f x 在()0,2上图象与在()2,4上的图象关于2x =对称，故()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=在()0,2上有3个不同的实数根. 下面仅在()0,2上讨论()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=的解.因为()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=，故()1f x =或()sin f x θ=， 当()1f x =时，则有：12102x x x ⎧+-=⎪⎨⎪<<⎩，解得x . 因为方程()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=在()0,2上有3个不同的实数根. 故()sin f x θ=在()0,2上有2个不同的实数根且与x 相异，故12sin 02π2x x x θθ⎧+-=⎪⎪<<⎨⎪⎪≠⎩有两个不同的解，整理得到()22sin 1002π2x x x θθ⎧⎪-++=⎪<<⎨⎪⎪≠⎩有两个不同的解.设()2(2sin )10g x x x θ=-++=，则2(0)0(2)02sin 022(2sin )40g g θθ>⎧⎪>⎪⎪⎨+<<⎪⎪+->⎪⎩，解得10sin 2θ<<，故π5π0,,π66θ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【变式8-4】（2022秋·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知函数()()()2,0,2ln ,0,x x f x g x x x x x ⎧==-⎨>⎩，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m >B ．1mC ．1m <D ．1m 【答案】C【解析】令(),0t g x t =≥，当1m =时，方程为()10f t t +-=，即1f t t ，作出函数()y f t =及1y t =-的图象， 由图象可知方程的根为0=t 或1t =， 即()20x x -=或()21x x -=， 作出函数()()2g x x x =-的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD 错误； 当0m =时，方程为()0f t t +=，即()f t t =-， 由图象可知方程的根01t <<，即()()20,1x x t -=∈， 结合函数()()2g x x x =-的图象，可得方程有四个根， 所有根的和为4，满足题意，故A 错误.故选：C.【题型9 函数零点的大小与范围】【例9】（2022秋·河北保定·高三校联考阶段练习）已知0x >，函数()25xf x x =+-，()24g x x x =+-，()2log 3h x x x =+-的零点分别为a ，b ，c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】因为()25xf x x =+-单调递增,且()()551.6 1.65555(1.6)2 3.42 3.4256454.354240,f =-=-=-<()24250,f =+->由零点的存在性定理可知()f x 有唯一零点a 且1.62a <<;因为()24g x x x =+-在()0+∞，单调递增, 且()211140,(1.6) 1.6 2.4 2.56 2.40g g =+-<=-=->,由零点的存在性定理可知()g x 有唯一零点b 且1 1.6b <<;因为()2log 3h x x x =+-在()0+∞，单调递增，且()21230h =+-=, 由零点的存在性定理可知()h x 有唯一零点2c =，所以b a c <<.故选:C.【变式9-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()222,log 2,32x x f x x g x x x h x x =+=+=+的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a b c >> 【答案】A【解析】由题可得,,a b c 即为2y x =-的图象分别与2xy =，2log y x =，3x y =的交点的横坐标，如图，画出函数图象，由图可得，b c a >>.故选：A.【变式9-2】（2022·全国·模拟预测）已知函数()g x 的定义域为R ，()1g x +为奇函数，()g x 为偶函数，当01x ≤≤时，()()221g x x =--，则方程()11g x x =-，在区间[-5,7]上所有解的和为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4 【答案】B【解析】第一步：判断函数()g x 与11y x =-的图象的特征并作出图象 ∵()1g x +为奇函数，∴()()11g x g x -=-+，即()()2g x g x -=-， ∴()g x 的图象关于点(1,0)对称． 又()()()42222g x g x g x +=++=--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()222g x g x g x ---=-+=---=⎡⎤⎣⎦()()()g x g x g x ---=-=⎡⎤⎣⎦，∴()g x 是周期为4的周期函数，显然，函数11y x =-的图象关于点(1,0)对称，在同一直角坐标系中，分别作出函数()g x 与函数11y x =-的图象如图所示．（画出函数图象，注意“草图不草”）第二步：确定交点个数，进而求解 由可知，函数()g x 与11y x =-的图象在[-5,7]上共有8个交点，且两两关于点(1,0)对称，∴方程()11g x x =-在[-5,7]上所有解的和为428⨯=．故选：B【变式9-3】（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数ln ,0<2,()=ln(4),2<<4,x x f x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩若直线=y m 与()f x 的图像有四个交点，且从左到右四个交点的横坐标依次为1234,,,x x x x ，则()123412++4+=x x x x x x （ ）A ．12B ．16C ．18D ．32 【答案】C【解析】作出函数()f x 的图像如图所示：()f x 的图像关于直线=2x 对称.由图可知：1423+=+=4x x x x ，且12340<<1<<2<<3<<4x x x x .所以341<4<2,0<4<1x x --.由12ln ln x x =可得：12ln ln x x -=，所以121x x =. 同理可得()()34441x x --=，所以()3434=4+15x x x x -.于是()()()1234123412++4+=1+4+15+4+x x x x x x x x x x -()()1423=4++4+14x x x x -=18.故选：C【变式9-4】（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，则（ ） A ．122x x << B ．12111x x += C ．124x x < D ．122322+≥+x x 【答案】ABD【解析】令2()log (1)0f x x m =--=，()1x >则2log (1)x m -=，令2log (1)y x =-，y m =，则函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，即为函数2log (1)y x =-，y m =交点的横坐标， 作图如下图所示：故1212x x <<<，故A 正确；根据题意得()12()0f x f x ==，即2122log (1)log (1)x x -=-， 因为1212x x <<<，所以2122log (1)0,log (1)0x x -<->， 故2122log (1)log (1)0x x -+-=，即212log (1)(1)0x x --=，所以12(1)(1)1x x --=，即()12120x x x x -+=，所以12111x x +=，故B 正确；因为12122x x x x +≥，所以()121212122x x x x x x x x -+≤-，即121220x x x x -≥， 所以124x x ≥，当且仅当12x x =时取等号， 又因1212x x <<<，所以124x x >，故C 错误；()2112121212211223322x xx x x x x x x x ⎛⎫+++=+++ ≥⎪⎝⎭=，当且仅当21122x x x x =，即212x x =时，取等号，故D 正确.故选：ABD.【变式9-5】（2022秋·天津武清·高三校考阶段练习）已知函数()2log ,02{12,22x x f x x x <<=-+≥，如果互不相等的实数,,a b c ，满足()()()f a f b f c ==，则实数abc 的取值范围_____. 【答案】(2,4)【解析】()2log ,0212,22x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，画出函数图象，如图所示：不妨设a b c <<，其中22log log a b -=，故1ab =，且()2,4c ∈，所以abc 的取值范围是(2,4).【题型10 二分法及其应用】【例10】（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）某同学用二分法求函数()237x f x x =+-的零点时，计算出如下结果：()()1.50.33, 1.250.87f f ==-，()()()()1.3750.26, 1.43750.02, 1.40650.13, 1.4220.05f f f f =-==-=-，下列说法正确的有（ ）A ．1.4065是满足精度为0.01的近似值.B ．1.375是满足精度为0.1的近似值C ．1.4375是满足精度为0.01的近似值D ．1.25是满足精度为0.1的近似值 【答案】B【解析】()()1.43750.020, 1.40650.130f f =>=-<，又1.4375 1.40650.0310.01-=>,A 错误；()()1.3750.260, 1.43750.020f f =-<=<，又1.4375 1.3750.0620.1-=<， ∴满足精度为0.1的近似值在()1.375,1.4375内，则B 正确，D 错误；()()1.4220.050, 1.43750.020,1.4375 1.4220.01550.01f f =-<=>-=>，C 错误.故选：B.【变式10-1】（2022·全国·高三专题练习）在用二分法求方程32100x x +-=在(1,2)上的近似解时，构造函数()3210x f x x =+-，依次计算得()150f =-<，()230f =>，()1.50f <，()1.750f >，()1.6250f <，则该近似解所在的区间是（ ）A ．()11.5， B ．()1.51.625， C ．()1.6251.75， D ．()1.752， 【答案】C【解析】根据已知()150f =-<，()1.50f <，()1.6250f <，()1.750f >，()230f =>，根据二分法可知该近似解所在的区间是()1.625,1.75．故选：C.【变式10-2】（2022·全国·高三专题练习）用二分法求如图所示的函数()f x 的零。
考点14函数的零点与方程的解(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型新高考版
考点14函数的零点与方程的解（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．【知识点】1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y ＝f (x )，我们把使 的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f (x )＝0有实数解⇔函数y ＝f (x )有 ⇔函数y ＝f (x )的图象与有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数y ＝f (x )在区间 内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得，这个c也就是方程f (x )＝0的解．2．二分法对于在区间[a ，b ]上图象连续不断且 的函数y ＝f (x )，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f (x )是定义域上的单调函数，则f (x )至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号【核心题型】题型一 函数零点所在区间的判定确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．【例题1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程33log 1xx ×=的两根为1x ，()212x x x <，则A ．101x <<，23x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．124x x +>【变式1】（2023·河北·模拟预测）已知函数()36xf x x =+-有一个零点0x x =，则0x 属于下列哪个区间（ ）A ．1,12æöç÷èøB ．31,2æöç÷èøC ．3,22æöç÷èøD ．52,2æöç÷èø【变式2】（2023·海南·模拟预测）函数()123x f x x -=+-的零点所在的区间是（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3【变式3】（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数()26log f x x x=-零点所在的一个区间 .题型二 函数零点个数的判定求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．【例题2】（2024·天津·二模）已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-，关于()f x 有下面四个说法：①()f x 的图象可由函数()2g x x =的图象向右平行移动π8个单位长度得到；②()f x 在区间ππ,44éù-êúëû上单调递增；③当ππ,62x éùÎêúëû时，()f x的取值范围为；④()f x 在区间[]0,2π上有3个零点．以上四个说法中，正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（2024·湖南·模拟预测）已知函数()f x 满足()()8f x f x +=，()()80f x f x +-=，当[)0,4x Î时，()πln 1sin 4f x x æö=+ç÷èø，则函数()()()3F x f x f x =-在()0,8内的零点个数为A ．3B ．4C ．5D ．6【变式2】．（2024·青海西宁·二模）记()x t 是不小于x 的最小整数,例如()()()1.22,22, 1.31t t t ==-=-,则函数()()128x f x x x t -=--+的零点个数为.【变式3】（2024·北京西城·一模）关于函数()sin cos2f x x x =+，给出下列三个命题：①()f x 是周期函数；②曲线()y f x =关于直线π2x =对称；③()f x 在区间[)0,2π上恰有3个零点．其中真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3题型三 函数零点的应用根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.命题点1 根据零点个数求参数【例题3】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()22e 21e 2x xf x a x a a x =-+++（其中e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A ．a $ÎR ，使函数()f x 恰有1个零点B ．a $ÎR ，使函数()f x 恰有3个零点C ．a "ÎR ，函数()f x 都有零点D ．若函数()f x 有2个零点，则实数a 的取值范围为()e 2,e -【变式1】（2024·安徽黄山·二模）若函数()()14f x k x =--有两个零点，则实数k 的取值范围是.【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）若方程2ln 0ax x -=在()1,+¥上有两个不同的根，则a 的取值范围为（ ）A ．10,2e æöç÷èøB ．1,e æö-¥ç÷èøC ．()1,e D ．(),2-¥【变式3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数()y f x =，其中122()log 2xf x x +=-.(1)求证：()y f x =是奇函数；(2)若关于x 的方程()12()log f x x k =+在区间[3,4]上有解，求实数k 的取值范围.命题点2 根据函数零点的范围求参数【例题4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()()πcos 04f x x w w æö=+>ç÷èø在区间π,π3æöç÷èø上单调递减，且()f x 在区间()0,π上只有1个零点，则w 的取值范围是（ ）A ．10,4æùçúèûB ．13,24æùçúèûC ．13,44æùçúèûD ．15,44æùçúèû【变式1】（2024·四川巴中·一模）若函数()2231f x ax x =+-在区间()1,1-内恰有一个零点，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}|12a a -<<B ．9{|8a a =-或12}a -<<.C ．{|12}a a -££D ．9{|8a a =-或12}a -££.【变式2】（2023·河南·模拟预测）已知函数2()log (1)f x x a =-+在区间(2,3)上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为 .【变式3】（2023·全国·模拟预测）将函数()(0)f x x w w =>的图像向右平移3w p 个单位长度得到函数()g x 的图像．若()g x 在区间π5π,36æöç÷èø内有零点，无极值，则w 的取值范围是 ．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·浙江宁波·一模）已知函数32221()2log ,()log ,()log 2xxf x xg x xh x x x æö=+=-=+ç÷èø的零点分别为,,a b c ，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．b c a>>2．（2023·贵州毕节·模拟预测）若函数()()224424e e x x f x x x a --=-++有唯一零点，则实数=a （ ）A ．2B ．12C ．4D ．13．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数()24xf x =，若存在12x x <，使得()()120f x f x <，则下列结论不正确的是（ ）A ．11<x B ．21x >C ．()f x 在()12,x x 内有零点D ．若()f x 在121,2x x x +æöç÷èø内有零点，则1202x x f +æö>ç÷èø4．（2024·北京海淀·一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ì£ï=í+>ïî，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（ ）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,25．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()ππ2sin 222f x x j j æö=+-<<ç÷èø的图像关于点π,03æöç÷èø中心对称，将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在区间ππ36æö-ç÷èø，上的值域是(]12-，B ．()2sin2g x x=-C ．函数()g x 在π5π1212éù-êúëû，上单调递增D ．函数()g x 在区间[]ππ-，内有3个零点二、多选题6．（2024·甘肃定西·一模）已知函数()()221,42x f x a g x x x a =--=-+-，则（ ）A ．当()g x 有2个零点时，()f x 只有1个零点B ．当()g x 有3个零点时，()f x 只有1个零点C ．当()f x 有2个零点时，()g x 有2个零点D ．当()f x 有2个零点时，()g x 有4个零点7．（2023·安徽马鞍山·三模）已知函数2()()e ln x f x x x x =++的零点为0x ，下列判断正确的是（ ）A ．012x <B ．01ex >C ．00e ln 0x x +<D ．00ln 0x x +<三、填空题8．（2024·重庆·模拟预测）若12πw <£，则关于x 的方程sin x x w =的解的个数是 ．9．（2023·河北·模拟预测）已知1e ln ()2x x xxf x +-=，0x 是该函数的极值点，定义x 表示超过实数x 的最小整数，则()0f x 的值为.四、解答题10．（2023·四川成都·一模）已知函数()2cos sin 1f x ax x x x =-+-.(1)若1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若1a =时，求函数()f x 的零点个数；(3)若对于任意π0,2x éùÎêúëû，()12³-f x a 恒成立，求a 的取值范围.11．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数()πsin (03)4f x x w w æö=-<<ç÷èø，π8x =是()f x 的零点．(1)求w 的值；(2)求函数π1π828y f x f x æöæö=-++ç÷ç÷èøèø的值域．12．（2023·四川绵阳·模拟预测）函数()()()222f x x m x m =+-+．(1)若()f x 为奇函数，求实数m 的值；(2)已知()f x 仅有两个零点，证明：函数()3y f x =-仅有一个零点．综合提升练一、单选题1．（2023·吉林长春·一模）方程3log 2x x +=的根所在区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．（2023·全国·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ÎR ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如[]2.12=，[]33=，[]1.52-=-，设0x为函数()33log 1f x x x =-+的零点，则[]0x =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．（2023·宁夏银川·三模）函数()22log f x x x m =++在区间()2,4上存在零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),18-¥-B ．(5,)+¥C ．(5,18)D ．()18,5--4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数()()ππ3cos 022f x x w j w j æö=+<-<<ç÷èø，的最小正周期为π，在区间ππ,66æö-ç÷èø上单调递减，且在区间π0,6æöç÷èø上存在零点，则j 的取值范围是（ ）A ．ππ,62æöç÷èøB ．3π,2πæù--çúèûC ．ππ,32éö÷êëøD ．π0,3æùçúèû5．（2023·内蒙古赤峰·二模）记函数()()sin 0,02f x x p w j w j æö=+><<ç÷èø的最小正周期为T .若()f T =，6x p =为()f x 的零点，则w 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．（2024·安徽芜湖·二模）在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，首项11a =，且函数()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，则5S =（ ）A ．26B ．63C ．57D ．257．（2023·四川南充·模拟预测）函数()ln 1f x x x =-的零点为1x ，函数()()e 1e xg x x =--的零点为2x ，则下列结论正确的是（ ）A ．221e ln ex x ×=B ．2111e2x x -+>C ．12ln 1x x -=D ．21121ln x x +£+8．（2024·山西吕梁·模拟预测）用[a ]表示不大于实数a 的最大整数，如[1.68]=1，设12,x x 分别是方程24x x +=及ln(1)4x x +-=的根，则12[]x x += （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数()324f x x x ax =++-有3个不同的零点123,,x x x ,且23122x x x =，则（ ）A ．4a =-B ．()0f x <的解集为()1,2-C ．7y x =-是曲线()y f x =的切线D ．点()1,0-是曲线()y f x =的对称中心10．（2023·河北唐山·模拟预测）已知函数()()()0f x x w +j w >的最小正周期πT <，1π5f æö=ç÷èø，且()f x 在π10x =处取得最大值.下列结论正确的有（ ）A ．sin j =B ．w 的最小值为152C ．若函数()f x 在ππ,204æöç÷èø上存在零点，则w 的最小值为352D ．函数()f x 在13π11π,2015æöç÷èø上一定存在零点11．（2023·江西·模拟预测）已知函数2(e 21)xax x f x -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．对于任意的a ÎR ，存在偶函数()g x ，使得e ()()x y f x g x =+为奇函数B ．若()f x 只有一个零点，则1a =C ．当1a =时，关于x 的方程()f x m =有3个不同的实数根的充要条件为340e m <<D ．对于任意的a ÎR ，()f x 一定存在极值三、填空题12．（2023·广东深圳·一模）定义开区间(),a b 的长度为b a -．经过估算，函数()1312x f x x =-的零点属于开区间 （只要求写出一个符合条件，且长度不超过16的开区间）．13．（2024·河南南阳·一模）已知函数()()232ln 13f x x x a x =-+-+在区间()1,2上有最小值，则整数a 的一个取值可以是．14．（2023·山西阳泉·模拟预测）已知函数()e 2x f x x =+-的零点为1x ，函数()2ln g x x x =--的零点为2x ，给出以下三个结论：①12e e 2e x x +>；②1234x x >；③2112ln ln 0x x x x +<.其中所有正确结论的序号为 .四、解答题15．（2023·全国·模拟预测）已知函数()||f x x a =-.(1)若不等式()()1f x f x m -+£恒成立，求实数m 的最大值；(2)若函数1()()g x f x a=+有零点，求实数a 的取值范围.16．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()ln R f x x x ax a =+Î.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当1a =-时，方程()f x m =有两个解，求参数m 的取值范围.17．（2023·江苏·三模）将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的1w（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．(1)若2w =，求函数()y g x =在区间ππ,44éù-êúëû上的最大值；(2)若函数()y g x =在区间ππ,42æöç÷èø上没有零点，求ω的取值范围．18．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()21321e 2316x af x x x x x -=-+-++．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程．(2)设函数()()2131e 3x g x f x x ax -=-+，若()g x 有两个零点，求实数a 的取值范围．19．（2023·福建福州·模拟预测）设1a >-，函数()()()1ln 11f x x x a x =++-+．(1)判断()f x 的零点个数，并证明你的结论；(2)若0a ³，记()f x 的一个零点为0x ，若11sin x a x +=，求证：10ln 0x x -£．拓展冲刺练一、单选题1．（2024·山西晋城·二模）将函数π()2sin 34f x x æö=+ç÷èø的图象向右平移j （0j >）个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间(0,)j 上恰有两个零点，则j 的取值范围是（ ）A ．5π3π,124éö÷êëøB ．3π13π,412éö÷êëøC ．5π3π,124æùçúèûD ．3π13π,412æùçúèû2．（2024·全国·模拟预测）设函数()πcos 4f x x w æö=+ç÷èø在区间π0,2æöç÷èø上恰有3个零点、2个极值点，则w 的取值范围是（ ）A ．79,22æùçúèûB ．911,22æùçúèûC ．913,22æùçúèûD ．713,22æùçúèû3．（2023·北京·模拟预测）已知函数()e e x xf x -=-，下列命题正确的是（ ）①()f x 是奇函数；②方程()22f x x x =+有且仅有1个实数根；③()f x 在R 上是增函数；④如果对任意()0,x Î+¥，都有()f x kx >，那么k 的最大值为2.A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④4．（2023·四川南充·一模）已知函数2()ln 2f x x m x=-+-（03m <<）有两个不同的零点1x ，2x （12x x <），下列关于1x ，2x 的说法正确的有（ ）个①221e m x x < ②122x m >+ ③121x x >A ．0B ．1C ．2D ．35．（23-24高三下·湖南·阶段练习）设方程22log 1x x ×=的两根为1x ，()212x x x <，则（ ）A ．101x <<，22x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．123x x +>二、多选题6．（2024·江苏扬州·模拟预测）设函数()1cos cos2,02f x x x x w w w w =->，则下列结论正确的是（ ）A ．()()0,1,f x w "Î在ππ,64éù-êúëû上单调递增B ．若1w =且()()122f x f x -=，则12min πx x -=C ．若()1f x =在[]0,π上有且仅有2个不同的解，则w 的取值范围为54,63éö÷êëøD ．存在()0,1w Î，使得()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数7．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()24,0,log 2,0x x x f x x x ì+>ï=íï--<î的图象与直线y a =的交点的横坐标分别为()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则（ ）A ．4a >B ．124x x =C ．344x x =D ．341x a x æö+ç÷èø8．（2023·河南焦作·模拟预测）已知函数()(),0e ln ,0424,4x xx xf x x x f x x ì£ïïï=<£íï->ïïî，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在()*(44e)k k k +ÎN ，上单调递增B ．函数()f x 在()*(4e 44)k k k ++ÎN ，上单调递减C ．若方程()(1)f x a x =<有两个实数根1x ，2x ，则12x a x =D ．当方程()(08)f x bx x =££的实数根最多时，b 的最小值为ln 28三、填空题9．（2024·全国·模拟预测）已知()()4sin sin 1f x x x x =+相邻的两个零点分别为12,x x ，则12cos x x -=.10．（2024·四川成都·三模）若函数()2e x f x kx =-大于0的零点有且只有一个，则实数k 的值为 ．四、解答题11．（2024·全国·模拟预测）已知函数()x f x e =，()a g x x =．(1)当1a =时，求()()f x g x -的最小值；(2)讨论函数()y f x =和()y g x =的图象在(0,)+¥上的交点个数．12．（2024·重庆·模拟预测）已知函数()()()23e ln R ,x f x x a x a x æö=-++Îç÷èø(1)若过点()2,0的直线与曲线()y f x =切于点()()1,1f ，求a 的值；(2)若()f x 有唯一零点，求a 的取值范围．。
2023年高考数学一轮复习课件——利用导数研究函数零点
教师备选
(2022·淄博质检)已知 f(x)＝13x3＋32x2＋2x，f′(x)是 f(x)的导函数. (1)求 f(x)的极值；
因为f′(x)＝x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝－2， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：
x (－∞，－2) －2 (－2，－1) －1 (－1，＋∞)
当x∈(0，e)时，f′(x)<0；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝2.
(2)讨论函数 g(x)＝f′(x)－3x零点的个数.
由题意知 g(x)＝f′(x)－3x＝1x－xm2－3x(x>0)， 令 g(x)＝0，得 m＝－13x3＋x(x>0). 设 φ(x)＝－13x3＋x(x>0)， 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1).
④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点.
综上所述，当 m>23时，函数 g(x)无零点； 当 m＝23或 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个 零点； 当 0<m<23时，函数 g(x)有两个零点.
题型二 利用函数性质研究函数零点
例2 已知函数f(x)＝x－aln x(a>0). (1)求函数f(x)的单调区间；
在(－1，＋∞)上单调递减， 所以φ(x)max＝φ(－1)＝e，且x→－∞时， φ(x)→－∞；x→＋∞时，φ(x)→0，
所以
0<1a<e，解得
1 a>e.
所以 a 的取值范围是1e，＋∞.
教师备选
已知函数f(x)＝xex＋ex. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；
高考数学：数形结合在函数问题
例 2 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2 －|x＋2|.若对任意的x∈[－1，2]，f(x＋a)>f(x)恒成立，则 实数a的取值范围是( D ) A．(0，2) B．(－∞，－6)∪(0，2) C．(－2，0) D．(－2，0)∪(6，＋∞)
【解析】f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)＝2－|x＋2|.根据奇函数的图像关于 原点对称，作出 f(x)的图像，如图所示．
g′(x)＝(2a－1)e2x－2aex＋1＝(ex－1)·[(2a－1)ex－1]，
①若 a>12，令 g′(x)＝0，得极值点 x1＝0，x2＝ln 2a1－1.当 x2>x1＝0，即12<a<1 时，在(x2， ＋∞)上有 g′(x)>0，此时 g(x)在区间(x2，＋∞)上单调递增，并且在该区间上有 g(x)∈(g(x2)， ＋∞)，不合题意；
n－m
的最大值为3＋2
10 .
分考点讲解
与不等式有关的问题
利用函数f(x)和g(x)图像的上下位置关系，可直观地得到不等 式f(x)>g(x)或f(x)<g(x)的解集．
当f(x)的图像在g(x)的图像的上方时，自变量x的范围是不等式 f(x)>g(x)的解集；当f(x)的图像在g(x)的图像的下方时，自变量x 的范围是不等式f(x)<g(x)的解集．
C．[1，＋∞)
D.e12，1e
【解析】由 f(x)＝xln2， （xx≤ ＋01， ），x>0，得 f(x)－1＝xln2－ （1x＋，1x≤ ）0－，1，x>0. 在平面直角坐标系中，画出函数 y＝f(x)－1 与 y＝a(x＋1)的大致图像，如图所示．
数形结合解零点问题(已修改,含答案)
x 4 和 y 4 x的
x
x 4 x 4的 零 点 个 数 为1.
y y= x+4
O
1 y=4-x
x
(图1)
例 2 ： 定 义 函 数 f ( x ) m in { x , x } , 其 中 { x / x 0}
2
2
满 足 函 数 G ( x ) f ( x ) k 有 四 个 零 点 ， 求 k的 范 围 （ 即 图 象 f ( x )与 y k 有 四 个 交 点 ）
0k 1
(二 ） 零 点 所 在 区 间 问 题 例 3 ： 函 数 f ( x ) lg x x 3的 零 点 所 在 区 间 为 （ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D . ( 3 , + )
C
y
）
y=lgx O 1 3 y=-x+3
(图4)
x
若 题 目 改 为 零 点 所 在 区 间 ( n , n 1), n N ， 则 n=?
评 注 ： 数 形 结 合 ， 要 在 结 合 方 面 下 功 夫 ,本 题 不 仅 要 通过图象直观估计，而且还要计算两个函数 值，通过比较其大小进行判断.
（三）零点值问题 例 4 ： 若 函 数 f ( x ) e x 3的 零 点 x1， g ( x ) ln x x 3的 零 点 x 2 ,
2
（1 ） 函 数 f ( x ) 有 四 个 零 点 （ 2 ） 函 数 f ( x )有 三 个 零 点 （3 ） 函 数 f ( x )有 两 个 零 点
0a 1 a 1
a 0或a 1
(一 ) 零 点 个 数 问 题 例1 ： 求 函 数 f
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二.零点所在区间问题
1.（天津理）函数 f x 2x 3x 的零点所在的一个区间
是（ ） A.（-2，-1） B.（-1，0） C.（0，1） D.（1，2）
2. （天津文）函数 f x ex x 2 的零点所在的一个区间
是（ ） A.（-2，-1） B.（-1，0） C.（0，1） D.（1，2）
7. 函数 f(x)＝1－|2x－1|，则方程 f(x)·2x＝1 的实根的个数
是
(C)
A．0
B．1
C．2
D．3
思维启迪 若直接求解方程显然不可能，考虑到方程可转化
为 f(x)＝12x，而函数 y＝f(x)和 y＝12x 的图象又都可以画出， 故可以利用数形结合的方法，通过两个函数图象交点的个数
确定相应方程的根的个数．
三.零点值问题
例.函数f (x) 2cos 2 x 4x x2 所有零点的和等于 A.10 B.12 C.14 D.16
四.由零点求参数范围问题 1.已知函数 f x ex 有2零x 点a，则a的取
值范围是, 2ln 2 2
2.曲线 f (x) x2 与xy=1a有四个交点，则a的 取值范围是
数形结合解决零点问题
数缺形时少直觉，形少数时难入微
“数缺形时少直觉，形少数时难入微”（华罗庚 语）.
数形结合指的是在解决数学问题时，使数的问题， 借助形更直观，而形的问题，借助数更理性.
函数的零点就是函数图象与x轴的交点的横坐标，
数形结合能给零点问题的解决带来极大的方便.
一.零点个数问题
1. 函数f(x)=x2+x-2的零点个数 2. 函数f(x)=x3+x-2的零点个数 3. 函数f(x)=x1/2+x-2的零点个数
解析
方程f(x)·2x＝1可化为f(x)＝
1 2
x，
在同一坐标系下分别画出函数y＝f(x)和
y＝
1 2
x的图象，如图所示．可以发现其
图象有两个交点，因此方程f(x)＝
1 2
x有
两个实数根．
探究提高 一般地，研究一些非常规方程的根的个数以及根 的范围问题，要多考虑利用数形结合法．方程f(x)＝0的根 就是函数y＝f(x)图象与x轴的交点横坐标，方程f(x)＝g(x)的 根就是函数y＝f(x)和y＝g(x)图象的交点横坐标．利用数形 结合法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是我 们熟知的或容易画出的，如果一开始给出的方程中涉及的 函数的图象不容易画出，可以先对方程进行适当的变形， 使得等号两边的函数的图象容易画出时再进行求解．
3.函数f (x) lg x x 3的零点所在区间为（ ） A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+)
y
y=lgx
O4)
若题目改为零点所在区间(n, n 1), n N， 则n=?
评注：数形结合，要在结合方面下功夫,本题不仅要 通过图象直观估计，而且还要计算两个函数 值，通过比较其大小进行判断.
数形结合千般好，隔离分家万事休。
记住： 某些时候千万别得意而“忘形”
呦。
4.（2012北京文）函数f(x)=x1/2-(1/2)x的零点个数为 A.0 B.1 C.4 D.5
5.函数 f x ln x x的2 零4点x个 数4
6.（2010福建文）函数 f x x2 2的x 零3,点x 个0 2 ln x, x 0
数为 A.3 B.2 C.1 D.0