数形结合与函数零点问题

三.零点值问题
例.函数f (x) 2cos 2 x 4x x2 所有零点的和等于 A.10 B.12 C.14 D.16
四.由零点求参数范围问题 1.已知函数 f x ex 有2零x 点a，则a的取
值范围是, 2ln 2 2
2.曲线 f (x) x2 与xy=1a有四个交点，则a的 取值范围是
7. 函数 f(x)＝1－|2x－1|，则方程 f(x)·2x＝1 的实根的个数
是
(C)
A．0
B．1
C．2
D．3
思维启迪 若直接求解方程显然不可能，考虑到方程可转化
为 f(x)＝12x，而函数 y＝f(x)和 y＝12x 的图象又都可以画出， 故可以利用数形结合的方法，通过两个函数图象交点的个数
确定相应方程的根的个数．
数形结合解决零点问题
数缺形时少直觉，形少数时难入微
“数缺形时少直觉，形少数时难入微”（华罗庚 语）.
数形结合指的是在解决数学问题时，使数的问题， 借助形更直观，而形的问题，借助数更理性.
函数的零点就是函数图象与x轴的交点的横坐标，
数形结合能给零点问题的解决带来极大的方便.
一.零点个数问题
1. 函数f(x)=x2+x-2的零点个数 2. 函数f(x)=x3+x-2的零点个数 3. 函数f(x)=x1/2+x-2的零点个数
二.零点所在区间问题
1.（天津理）函数 f x 2x 3x 的零点所在的一个区间
是（ ） A.（-2，-1） B.（-1，0） C.（0，1） D.（1，2）
2. （天津文）函数 f x ex x 2 的零点所在的一个区间
是（ ） A.（-2，-1） B.（-1，0） C.（0，1） D.（1，2）
解析
方程f(x)·2x＝1可化为f(x)＝
1 2
x，
在同一坐标系下分别画出函数y＝f(x)和
y＝来自百度文库
1 2
x的图象，如图所示．可以发现其
图象有两个交点，因此方程f(x)＝
1 2
x有
两个实数根．
探究提高 一般地，研究一些非常规方程的根的个数以及根 的范围问题，要多考虑利用数形结合法．方程f(x)＝0的根 就是函数y＝f(x)图象与x轴的交点横坐标，方程f(x)＝g(x)的 根就是函数y＝f(x)和y＝g(x)图象的交点横坐标．利用数形 结合法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是我 们熟知的或容易画出的，如果一开始给出的方程中涉及的 函数的图象不容易画出，可以先对方程进行适当的变形， 使得等号两边的函数的图象容易画出时再进行求解．
3.函数f (x) lg x x 3的零点所在区间为（ ） A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+)
y
y=lgx
O1 3
x
y=-x+3
(图4)
若题目改为零点所在区间(n, n 1), n N， 则n=?
评注：数形结合，要在结合方面下功夫,本题不仅要 通过图象直观估计，而且还要计算两个函数 值，通过比较其大小进行判断.
数形结合千般好，隔离分家万事休。
记住： 某些时候千万别得意而“忘形”
呦。
4.（2012北京文）函数f(x)=x1/2-(1/2)x的零点个数为 A.0 B.1 C.4 D.5
5.函数 f x ln x x的2 零4点x个 数4
6.（2010福建文）函数 f x x2 2的x 零3,点x 个0 2 ln x, x 0
数为 A.3 B.2 C.1 D.0