线性代数专题强化讲义整套汇总版

a12 ...
a22 ...
... ...
an 2 ...
.
an1 an2 ... ann a1n a2n ... ann
性质二：将行列式的任意两行（或两列）互换位置后，行列式的值改变符号.
推论1：如果行列式中有两行（或两列）元素相同，则行列式的值为 0 .
性质三：将行列式的某一行（或某一列）元素乘以一个常数 k 后，行列式的值变为原来的 k
素的行数按照自然顺序排列，假设此时其列数为 i1, i2 ,..., in ，当 i1, i2 ,..., in 为偶排列时，符号
为正；当 i1, i2 ,..., in 为奇排列时，符号为负，也即：
a11 a12 ... a1n
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n
...
(1) i1,i2 ,...,in a1i1 a2i2 ...anin .
i1 ,i2 ,...,in
an1 an2 ... ann
（2）若行列式中某行（或列）元素全为0，则该行列式的值为0.
二．行列式的性质
性质一：将行列式的行和列互换后，行列式的值不变，即
a11 a12 ... a1n a11 a21 ... an1
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
... ... ...
M ij ai11 ai12 ... ai1 j1 ai1 j1 ... ai1n .
ai11 ai12 ... ai1 j1 ai1 j1 ... ai1n
... ... ... ...
... ... ...
an1
an2 ... an j1
an j1 ... ann
若给余子式加上符号则成为代数余子式，记作 Aij (1)i j M ij . 2．展开定理
... bi 2
... ...
... bin
.
...
... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
an1
an 2
...
ann
an1 an2 ... ann an1 an2 ... ann
推论3：将行列式的某行（或某列）元素的 k 倍加到另一行（或另一列）上，行列式的值不
变.
三．行列式的展开定理
1．余子式与代数余子式 将行列式中元素 aij 所在的行和列划掉之后得到 n 1阶行列式，称之为元素 aij 的余子式，记
作 M ij ，即
a11
a12 ... a1 j1
a1 j1 ... a1n
a21
a22 ... a2 j1
a2 j1 ... a2n
... ... ... ...
【例
1】设
A
0 0
1 0
a 1
0 a
，求
A
.
a
0
0
1
【答案】1 a4
0111 2022 【例 2】计算行列式 3 3 0 3 . 4440
【答案】 72
（二）利用拉普拉斯展开定理
a1 0 0 b1
0 【例 3】计算行列式 0
a2 b2 b3 a3
0 0.
b4 0 0 a4
【答案】 (a1a4 b1b4 )(a2a3 b2b3 )
...
a n 1 3
=
(a j ai ).
:::
: :: :
:
1i jn
a n 1 1
a n 1 2
a n 1 3
...
a n 1 n
1 an
an2
...
a n 1 n
--后减去前或者是大指标减去小指标
题型二 高阶行列式的计算
（一）三角化
1）行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其代数余子式乘积之和，即
A ai1Ai1 ai2 Ai2 ... ain Ain i 1, 2,..., n a1 j A1 j a2 j A2 j ... anj Anj j 1, 2,..., n.
2）行列式某一行（或列）所有元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为0，
2016 经济联考线代 强化讲义整套汇总
一 行列式的基本知识
Ⅰ知识点回顾
一．行列式的定义
a11 a12 ... a1n
n
阶行列式
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
是一种运算法则，它是行列式中所有取自不同行不同列 n 项
an1 an2 ... ann
元素乘积的代数和.
注：
（1）由 n!项组成，其中每一项都是行列式中 n 个不同行不同列元素的乘积，若将这 n 项元
a11 a12 ... a1n a11 a12 ... a1n
a21
a22
... a2n
a21 a22 ... a2n a21 a22 ... a2n
...
... ... ...
...
ai1 bi1 ai2 bi2 ... ain bin ai1
... ai 2
... ... ... ... ain bi1
（三）利用范德蒙行列式
a a2 【例 4】计算行列式 a3 bcd
b b2 b3 acd
c c2 c3 abd
d d2 d3 . abc
【答案】 a b c d b ac ad ac bd bd c
●小结：
a （1） c
b d
ad
bc ；
a11 a12 a13 （2） a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 ；
倍.
推论2：若行列式中某两行（或某两列）元素对应成比例，则该行列式的值为 0 .
性质四：若行列式中某一行（或某一列）的所有元素都可以写成两个元素的和，则该行列式
可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行（或列）分别为对应两个加数，其余行（或
列）的元素与原行列式对应相同，即
a11
a12
... a1n
a31 a32 a33
A （3） 0
CA BC
0 B
A
B
---拉普拉斯展开；
C （4） A
B0 0A
B C
(1)mn
A
B
；
（5）范德蒙行列式
1
1
1 ... 1
1
a1
Hale Waihona Puke Baidu
a12
...
a n 1 1
a1
a2
a3 ... an
1 a2
a22
...
a n 1 2
a12
a22
a32
...
an2 1 a3
a32
即n
aij Akj ai1Ak1 ai2 Ak 2 ... ain Akn 0, (i k )
j 1 n
a ji Ajk a1i A1k a2i A2k ... ani Ank 0, (i k ).
j 1
Ⅱ考点精讲
题型一 低阶行列式的计算
（一）利用展开定理
1 a 0 0