二次函数知识结构图
二次函数知识点
一、二次函数的概念1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
三、二次函数图像的画法--------五点作图法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
四、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
23.()2y a x h=-的性质：左加右减。
4.()2y a x h k=-+的性质：y=3(x+4)2(x-2)2y=3x222-325、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，的性质2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上 a <0时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=ab2-c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ） 3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。
二次函数基础知识
特别地，二次函数（以下称函数） y=ax^2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于 x的一元二次方程（以下称方程）， 即 ax^2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交 点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横 坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax²;，y=a(x-h)²;，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中， a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴 如下表： 解析式 顶点坐标 对 称 轴 y=ax^2 (0，0) x=0 y=ax^2+K (0，K) x=0 y=a(x-h)^2 (h，0) x=h y=a(x-h)^2+k (h， k) x=h y=ax^2+bx+c (-b/2a，4ac-b²/4a) x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h 个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向上 移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向下移 动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2-k的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个 单位可得到y=a(x+h)^2+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个 单位可得到y=a(x+h)^2-k的图象；在向上或向下。向左或向右平移 抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。 因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般 式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线 的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便 。
二次函数知识点 二次函数图像与性质
二次函数图像与性质〖知识要点〗 1.二次函数定义一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
定义域是全体实数，图像是抛物线。
2y ax bx c =++是二次函数的“一般式”。
特点：① 自变量x 最高次数是2，② a ≠0 ③ 整式2. 二次函数的基本形式：2y ax =（0a ≠）的图像性质：a 越大抛物线的开口越小考点一：二次函数定义例1.（1）圆的半径是xcm ，圆的面积为ycm²，写出y 与x 之间的函数关系式；（2）用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，写出场地面积y(m ²)与矩形一边长x(m)之间的关系式例2. （1）下列函数中，是二次函数的是 .①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =222(2)2x x --；⑧y=－5x.(2)若y=（m ＋1）x562--m m 是二次函数，则m=（ ）A ．7B ．—1C ．－1或7D ．以上都不对(3)函数)1(432-=x y 的自变量x 的取值范围是 ； (4)已知二次函数3)12()1(2+++-=x m x m y ，当x=1时，y=3，则其表达式为 ；（5）已知二次函数8-10-2x xy +=，当x=________________时,函数值y 为1.考点二：2y ax =（0a ≠）的图像性质例3.作二次函数2x 2y =的图像观察图象,你发现了:例4.（1） 函数y=-x 2的图像是一条______线,开口向_______,对称轴是______, 顶点是________, 顶点是图像最_____点,表示函数在这点取得最_____值。
函数y=x 2 的图像的开口方向________,对称轴________,顶点_______.（2）．关于213y x =，2y x =，y=-3x 2的图像，开口最大的是 ．例5已知抛物线y=ax 2经过点A （-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B （-1，- 4）是否在此抛物线 ；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.例6已知二次函数mm m +=2xy （1）当m 取何值时它的图象开口向上。
二次函数全章知识梳理
二次函数全章知识梳理1. 二次函数一般形式：形如2y ax bx c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）2. 图象：二次函数的图象是一条抛物线3. 方向：（由a 的符号决定） （开口大小，由|a |决定） （1）0a > 开口向上，有最小值； 0a < 开口向下，有最大值． （2）|a |越大，开口越小 ；|a |越小，开口越大4. 对称轴：2b x a =-/122x x x += 5. 顶点坐标： 24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭即：()2y a x h k =-+，其中(),h k 是抛物线的顶点坐标． 抛物线平移规律：上加下减，左加右减．抛物线顶点的横坐标是对称轴()x h =，顶点的纵坐标是最值()y k =. 6. b 符号对对称轴的影响：（1）对称轴在y 轴的左侧，a 、b 同号（2）对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号（即左同右异中间0） （3）对称轴是y 轴，0b =7. c 的符号决定抛物线与y 轴的交点位置： （1）0c > 与y 轴交点在x 轴的上方（即在y 轴的正半轴） （2）0c < 与y 轴交点在x 轴的下方（即在y 轴的负半轴） （3）0c =抛物线经过原点8. 抛物线与x 轴的交点个数由∆决定：（即联系一元二次方程）： （1）0∆> 与x 轴有2个交点（2）0∆= 与x 轴有1个交点 （24b ac ∆=-） （3）0∆<没有交点（4）当0∆<，且0a >时，抛物线图象全部在x 轴上方 （5）当0∆<，且0a <时，抛物线图象全部在x 轴下方9. 常用特殊符号的确定：（1）2a b +与0看对称轴2ba-与1比较大小（注意a 的符号）2a b -与0 看对称轴2ba-与1-比较大小（看对称轴是在1-的左边还是右边） （2）24b ac -与0 看抛物线与x 轴交点个数a b c ++与0 看1x =时y 的值（赋值法） a b c -+与0看1x =-时y 的值42a b c ++与0 看2x =时y 的值10. 抛物线的性质：（1）0a >时，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大（2）0a <时，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小11. 确定解析式：（待定系数法）（1）一般式：2y ax bx c =++（代入三个点坐标或三对x ，y 的对应值，求a ，b ，c 的值） （2）顶点式：()2y a x h k =-+（代入顶点坐标(),h k 和另一点的坐标，求a 的值）（3）交点式：()()12y a x x x x =--（代入交点坐标()()12,0,,0x x 及另一点坐标，求a 值） 注：情况（3）是在有根的情况下． 12. 二次三项式与一元二次方程的区别： 如方程22480x x --=可变形为2240x x --=；但将二次三项式分解因式时，就只能()22248224x x x x --=--13. 二次函数与图形的变换：关键：最好用顶点式，确定变化后新的顶点坐标及a 值 （1）平移：二次函数的图象经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a 的值不变，只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式. （2）轴对称：此图形变换包括关于x 轴对称和关于y 轴对称两种方式a ：二次函数图象关于x 轴对称的图象，其形状不变，但开口方向相反，因此a 值为原来的相反数．顶点位置改变，只要根据关于x 轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标即可．b ：二次函数图象关于y 轴对称的图象，其形状和开口方向都不变，因此a 值不变．但是顶点位置会改变，只要根据关于y 轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标即可． （3）旋转：主要是指以二次函数图象的顶点为旋转中心，旋转角为180︒的图象变换不会改变二次函数的图象形状，开口方向相反，因此a 值会为原来的相反数，但顶点的坐标不变．14. 二次函数的应用：（1）利润问题：建立利润与价格之间的函数关系式，求出顶点坐标，即为“最大利润”公式如下：xx yyOOa ：单件利润=售价-进价b ：总利润=单件利润⨯销售量=（售价-进价）⨯销售量=总销售额-总成本（2）几何面积问题：一般先运用几何图形的面积，三角形相似，对应线段成比例等性质写出图形面积y 与边长x 之间的二次函数关系式，再求出这个函数关系式的顶点坐标，即可求“最大面积”． 公式如下：a ：矩形面积=长⨯宽b ：梯形面积=()2+⨯上底下底高c ：平行四边形面积=边⨯边上的高d ：菱形面积=两对角线乘积的一半e ：正方形面积=边长⨯边长f ：三角形面积=2⨯底高（3）数学建模问题：建立平面直角坐标系，把实际问题中的数据用数对形式在直角坐标系中描出点，进而用二次函数的图象，解决实际问题．注：建立平面直角坐标系时，应尽可能地将已知的数对放在坐标轴上或作为顶点． （4）动点问题：关键根据题意求静止时的线段长． a ：找起点，终点b ：求线段的长（起点与动点的线段=动点的速度⨯动点的时间）c ：用含有未知数的代数式表示线段的长 （5）与一次函数、反比例函数结合： a ：求两函数交点坐标，联立方程组即可b ：已知一个点同时在两函数上，那么这个点符合两个函数的解析式，其中一个函数已知，一个函数解析式中有未知数，代入即可求未知数，得出函数解析式 （6）与锐角三角函数结合：构造含有此锐角的直角三角形求解问题 15. 二次函数的最值问题：一般地，因为抛物线2y ax bx c =++的顶点是最高（低）点，所以当2bx a =-时，二次函数2y ax bx c =++有最大（小）值244ac ba-.16. 一次函数图象的位置关系：（1）两个一次函数111y k x b =+与222y k x b =+的图象互相平行：12k k = （2）两个一次函数111y k x b =+与222y k x b =+的图象互相垂直：121k k ⋅=-。
第二章 一元二次函数、方程和不等式(单元解读课件)
2.利用不等式的性质证明不等式注意事项 1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题 一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中 灵活准确地加以应用. 2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
能说明基本不等式的几何解释;能借助二次函数图象，说明二次函数与一元 二次方程、不等式的联系;能根据二次函数二次项系数和一元二次方程的根 画出二次函数图象，能够借助函数图象，求解一元二次不等式.
能将比较两个代数式大小的问题转化为两个代数式的差与0比大小的问题， 能将解方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0) 的问题转化为研究函数 y ax2 bx c ，当 自变量为何值时，函数值 y=0的问题，能将解不等式 ax2 bx c＞0 的问题 转化为研究函数 y ax2 bx c ，当自变量在什么范围时，函数值 y>0的 问题
人教A版2019必修第一册
第二章 一元二次函数、 方程和不等式单元解读
一:本章知识结构图
二： 单元目标
1.能够理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 2.能够掌握基本不等式，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 3.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现 实意义 4.能够借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 5.能够借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的 解集 6.能够从函数的观点认识方程和不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数 的重要性.体会数学的整体性. 7.能够在本章的学习中，重点提升逻辑推理、数学运算和数学建模素养
6.利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的 “拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体 可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应 凑出定和或定积；
二次函数知识点及其应用的总结
二次函数知识点总结知识结构框图一、二次函数的概念形如c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数，其中x ，是自变量，a b c 、、分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二、二次函数的一般表达式1、 一般式：c bx ax y ++=2（，，为常数，）；2、顶点式：k h x a y +-=2)(（，，为常数，）其中；二次函数知识点总结二次函数的概念二次函数的表达形式一般式顶点式双根式二次函数的图像特点及性质开口方向对称轴函数图像的变化特点最值二次函数系数与图像的关系二次函数与二次方程的关系二次函数中几个常见的函数二次函数平移变换0a ≠b c ，a b c 0a ≠a h k 0a ≠2424b ac b h k a a-=-=，3、 双根式：21212()()(0,,=)y a x x x x a x x ax bx c x =--≠++其中是y 与轴交点的横坐标二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.三、二次函数的图像性质(轴对称图形)1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为， 顶点坐标为．当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大；当时，有最小值．2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值． 四、二次函数的图像与各项系数之间的关系1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大． 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．x x 240b ac -≥2y ax bx c =++0a >2bx a=-2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2bx a<-y x 2b x a >-y x 2bx a =-y 244ac b a -0a <2bx a =-2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2b x a <-y x 2b x a >-y x 2bx a=-y 244ac b a-a 2y ax bx c =++a 0a ≠0a >a a 0a <a a a a a2. 一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在的前提下， 当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧． ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧． 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置． 总结：3. 常数项⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．五、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图像与轴的交点个数：① 当时，图像与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根． 和的一半恰好是对称轴的横坐标.② 当时，图像与轴只有一个交点；③ 当时，图像与轴没有交点.当时，图像落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图像落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 2. 抛物线的图像与轴一定相交，交点坐标为，；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图像与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；b a b 0a >0b >02ba-<y 0b =02ba-=y 0b <02ba->y 0a <0b >02ba->y 0b =02ba-=y 0b <02ba-<y a b c 0c >y x y 0c =y y 00c <y x y c y a b c ，，x 20ax bx c ++=2y ax bx c =++0y =x 240b ac ∆=->x ()()1200A x B x ，，，12()x x ≠12x x ，()200ax bx c a ++=≠12x x ，0∆=x 0∆<x 1'0a >x x 0y >2'0a <x x 0y <2y ax bx c =++y (0)c x⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。
人教版初中数学第二十二章二次函数知识点
第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1．二次函数的概念：一般地，形如y ax 2bx c （a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．a 02.二次函数 y ax 2 bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．22.1.2 二次函数y ax 2的图象和性质1. 二次函数基本形式：y ax 2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x a0向上0 ，0y轴x0时，y有最小值 0．的增大而减小；x0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x a0向下0 ，0y轴x0时，y有最大值 0．的增大而增大；例 1．若抛物线y=ax2经过 P（ 1，﹣ 2），则它也经过()A ．（ 2，1） B．（﹣ 1， 2） C．（ 1， 2） D．（﹣ 1，﹣ 2）【答案】【解析】试题解析：∵抛物线y=ax 2经过点 P（ 1， -2），∴x=-1 时的函数值也是 -2，即它也经过点（ -1， -2）．故选 D．考点：二次函数图象上点的坐标特征．例 2．若点 (2，-1) 在抛物线y ax2上，那么，当x=2 时， y=_________【答案】 -1【解析】试题分析：先把 (2， -1)直接代入yax2即可得到解析式，再把x=2 代入即可 .由题意得 4a 1 ，a 1，则 y1x 2，44当 x 2 时，y 14 1. 4考点：本题考查的是二次函数点评：解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式.2. y ax 2 c 的性质：上加下减 .a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时，y随x的增大而增大；x0 时，y随a0向上0 ，c y轴x 的增大而减小；x 0 时，y有最小值c．x0 时，y随x的增大而减小；x 0 时，y a0向下0 ，c y 轴x 0 时，y有最大值c．随 x 的增大而增大；例 1．若抛物线 y=ax 2+c 经过点 P （ l，－ 2），则它也经过（）A．P1（－ 1，－ 2 ） B ．P2（－ l， 2 ）C． P3（ l ， 2）D． P4（ 2， 1）【答案】 A【解析】试题分析：因为抛物线y=ax2 +c 经过点 P （ l ，－ 2），且对称轴是y 轴，所以点 P （ l ，－ 2）的对称点是（－1，－2），所以 P1（－ 1，－ 2）在抛物线上，故选： A.考点：抛物线的性质 .例 2．已知函数 y=ax+b 经过（ 1， 3），（ 0，﹣ 2），则 a﹣ b=（）A．﹣ 1B．﹣ 3C． 3D． 7【答案】 D．【解析】试题分析：∵函数y=ax+b 经过（ 1， 3），（0，﹣ 2），a b 3a5∴，解得b ．b22∴ a﹣ b=5+2=7 ．故选 D．考点： 1．直线上点的坐标与方程的关系；2．求代数式的值．例 3．两条直线 y1＝ ax＋b 与 y2＝ bx＋ a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的()【答案】无正确答案【解析】分析：首先根据两个一次函数的图象，分别考虑a，b 的值，看看是否矛盾即可．解： A 、由 y1的图象可知， a＜ 0， b＜ 0；由 y2的图象可知， a>0，b<0 ，两结论矛盾，故错误；B、由 y1的图象可知， a＞0， b＞ 0；由 y2的图象可知， a＞ 0， b<0 ，两结论相矛盾，故错误；C、由 y1的图象可知， a>0，b<0；由 y2的图象可知， a＜ 0， b＜ 0，两结论相矛盾，故错误；D、由 y1的图象可知， a＞0， b＞ 0；由 y2的图象可知， a<0， b<0 ，两结论相矛盾，故错误．故无正确答案．点评：此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当 k＞ 0， b＞ 0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限；②当 k＞ 0， b＜ 0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限；③当 k＜ 0， b＞ 0 时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限；④当 k＜ 0， b＜ 0 时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限．22.1.3 二次函数y a x h2k 的图象和性质左加右减 .a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质h，0x h 时，y随x的增大而增大；x h 时，ya0向上X=hx h 时，y有最小值 0 ．随 x 的增大而减小；a0h，0x h 时，y随x的增大而减小；x h 时，y向下X=hx h 时，y有最大值 0 ．随 x 的增大而增大；2y a x hk 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质h，k x h 时，y随x的增大而增大；x h 时，ya0向上X=hx h 时，y有最小值 k ．随 x 的增大而减小；h，k x h 时，y随x的增大而减小；x h 时，ya0向下X=hx h 时，y有最大值 k ．随 x 的增大而增大；例 1．将二次函数y=x2﹣ 2x﹣ 3化成 y= （ x﹣ h）2+k 形式，则 h+k 结果为（）A．﹣ 5 B．5C． 3D．﹣3【答案】 D．【解析】试题分析： y=x 2-2x-3= （ x2-2x+1 ） -1-3= （ x-1）2-4．则h=1 ，k=-4 ，∴ h+k=-3 ．故选 D．考点 : 二次函数的三种形式．例2．把二次函数 y=x2+6x+4 配方成 y=a（ x-h）2+k 的形式，得 y=___ ，它的顶点坐标是 ___．【答案】（ x+3）2-5，（ -3， -5）【解析】试题分析： y= x2 +6x+4= ( x + 3)2-5 ，则顶点坐标为（－3，－ 5）．考点：二次函数的顶点式．3y 1 x23x4配方成y a x k2＋h的形式，并写出它的图象的顶点坐标、对称轴.例．把二次函数2＝（－）【答案】y=顶点坐标（3，-），对称轴方程x＝ 3【解析】试题分析： y= x2﹣ 3x+4=（x﹣3）2﹣，则顶点坐标（ 3，﹣），对称轴方程 x=3 ，考点：二次函数的图像及性质1、二次函数图象的平移（ 1）平移步骤：方法一：（ 1）将抛物线解析式转化成顶点式2h ，k ；y a x hk ，确定其顶点坐标 （2）保持抛物线 y ax 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 ( k<0)】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0) 【或左 ( h<0)】 向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】 向右 (h>0) 【或左 ( h<0) 】平移 |k| 个单位平移 |k|个单位平移 |k| 个单位向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2+k（ 2）平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字 “左加右减，上加下减 ”．方法二：（ 1） yax 2 bx c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移m 个单位， yax 2 bxc 变成yax 2 bx cm （或 y ax 2 bx c m ）2 y ax2 bxc沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y ax2bx c变成（ ）ya( x m)2b(x m) c （或ya( x m) 2 b( x m) c ）例 1．将二次函数 y ＝ x 2 的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为()A ． y ＝ x 2－ 1B ． y ＝ x 2＋ 1C ． y ＝(x －1) 2D ． y ＝ (x ＋ 1)2【答案】 A【解析】直接根据上加下减的原则进行解答即可，将二次函数y ＝x 2 的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为： y ＝ x 2－ 1.故选 A.例 2．将二次函数y=x 2 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移2 个单位后，所得图象的函数表达式是2B ． y=(x+1) 2+2A ． y=(x – 1)+22D ． y=(x+1) 2–2C ． y=(x – 1)– 2【答案】 A ．【解析】试题分析：原抛物线的顶点为（ 0，0），向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为y= （ x﹣ h）2+k ，代入得 y= （ x﹣ 1）2+2．故选 A．考点：二次函数图象与几何变换．例 3．将二次函数y x2的图象如何平移可得到y x 2 4 x 3 的图象（）A ．向右平移 2 个单位，向上平移一个单位B．向右平移 2 个单位，向下平移一个单位C．向左平移 2 个单位，向下平移一个单位D．向左平移 2 个单位，向上平移一个单位【答案】 C【解析】 y x24x 3 ( x 2) 21，根据二次函数的平移性质得：向左平移 2 个单位，向下平移一个单位.故选C.例 4．已知点 P（﹣ 1，m）在二次函数y=x 2﹣1 的图象上，则m 的值为；平移此二次函数的图象，使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为．【答案】 0， y=x 2﹣ 2x．【解析】∵点 P（﹣ 1， m）在二次函数y=x2﹣1 的图象上，∴（﹣ 1）2﹣ 1=m，解得 m=0，平移方法为向右平移 1 个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣ 1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（ x﹣ 1）2﹣1=x 2﹣ 2x，即y=x 2﹣ 2x．故答案为： 0， y=x 2﹣ 2x．2、二次函数y a x2k 与 y ax2bx c 的比较h从解析式上看，y a x h 2ax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即k 与 y2b2b，k4ac b2y a x b4ac，其中 h．2a4a2a4a3、二次函数y ax2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式y a(x h)2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0，c 、以及 0 ，c 关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0 ，x2，0 （若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.4、二次函数y ax2bx c 的性质b ，4ac 21. 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b，顶点坐标为b．2a2a4a当 x b时， y 随x的增大而减小；当x b时， y 随x的增大而增大；当x b时， y 有最小值2a 2 a 2 a4ac b2．4a2b时， y 随x的增2. 当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b．当x2a2a4a2a大而增大；当x b时， y 随x的增大而减小；当xb时， y 有最大值4acb2．2a2a4a例 1．当 a < 0 时，方程 ax2+bx+c=0 无实数根，则二次函数y=ax2 +bx+c 的图像一定在（）A 、 x 轴上方B、 x 轴下方C、 y 轴右侧D、 y 轴左侧【答案】 B【解析】试题分析：∵方程 ax2+bx+c=0 无实数根，∴ b2 +4ac<0，即函数图形与 x 轴没有交点又∵a < 0，∴二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像一定在 x 轴下方故选 B．考点：二次函数的性质例 2．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图，则a、 b、 c 满足（）A、 a＜ 0， b＜ 0，c＞ 0 C、 a＜ 0， b＞ 0， c＞ 0B、a＜ 0， b＜0， c＜ 0 D 、a＞ 0， b＜0， c＞ 0【答案】 A 【解析】试题分析：由于开口向下可以判断a＜ 0，由与 y 轴交于正半轴得到c＞ 0，又由于对称轴x=-b＜0，可以得到b＜2a0，所以可以找到结果．试题解析：根据二次函数图象的性质，∵开口向下，∴a＜ 0，∵与 y 轴交于正半轴，∴c＞ 0，又∵对称轴x=-b＜0，2a∴b＜ 0，所以 A 正确．考点：二次函数图象与系数的关系．例 3．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，其对称轴 x= ﹣ 1，给出下列结果：①b2＞ 4ac；② abc＞ 0；③ 2a+b=0；④ a+b+c＞ 0；⑤ a﹣ b+c＜ 0，则正确的结论是（）A. ①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤【答案】D【解析】试题分析：根据抛物线与x 轴有两个交点，可得△=b2﹣ 4ac＞ 0，即b2＞ 4ac，故①正确；根据抛物线对称轴为x= ﹣b＜ 0，与y 轴交于负半轴，因此可知ab＞ 0， c＜ 0， abc＜ 0，故②错误；根据抛物线对称轴为x= ﹣2ab=﹣ 1，∴ 2a﹣b=0 ，故③错误；2a当x=1 时， y＞ 0，即 a+b+c＞ 0，故④正确；当x= ﹣ 1 时，y＜0，即 a﹣ b+c＜0，故⑤正确；正确的是①④⑤．故选 D．考点：二次函数图象与系数的关系例 4．如果二次函数y＝ ax2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，那么（）A． a＜ 0， b＞ 0，c＞ 0 B． a＞ 0， b＜ 0， c＞ 0 C． a＞ 0， b＞ 0， c＜ 0 D． a＞ 0， b＜ 0，c＜ 0 【答案】 D【解析】试题分析：因为抛物线开口向上，所以a＞ 0，又对称轴在y 轴右侧，所以b＞0，所以b＜0，又因为抛物线与y 2a轴的交点在x 轴下方，所以c＜0，所以 a＞ 0， b＜ 0， c＜ 0，故选： D．考点：抛物线的性质．例 5．已知抛物线y=ax2 +bx+c 与 x 轴的公共点是（﹣ 4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线．【答案】 x=-1．【解析】试题分析：因为点（-4，0）和（ 2， 0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=x1x2求解即可．2试题解析：∵抛物线与x 轴的交点为（-4，0），（ 2， 0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x=考点：抛物线与x 轴的交点．4221，即x=-1．5、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y2bx c （a， b ，c为常数， a0 ）；ax2.顶点式： y a( x2k （a， h ， k 为常数， a0 ）；h)3.两根式： y a( x x1)( x x2 ) （ a 0 ， x1， x2是抛物线与x轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b24ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .6、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a二次函数y ax2bx c中，a作为二次项系数，显然a0 ．⑴当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵当 a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴在 a0 的前提下，当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b0，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a⑵在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0时，b0，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴x b0 ，概括的说就是“左同右在 y 轴左边则ab 0，在 y 轴的右侧则ab2a异”总结：3.常数项 c⑴当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．7、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于 x 轴对称y2bx c 关于x轴对称后，得到的解析式是y2bx c ；ax axy a x h 2y a x h2 k 关于x轴对称后，得到的解析式是k ；2.关于 y 轴对称y ax2bx c 关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；y a x h 2y a x h2 k 关于y轴对称后，得到的解析式是k ；3.关于原点对称y ax2bx c 关于原点对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；y a x h2y a x h2 k 关于原点对称后，得到的解析式是k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180 °）y ax2bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2bx c b2；2ay a x h 2y a x h2 k 关于顶点对称后，得到的解析式是k ．5. 关于点m，n 对称y a x 22k hk 关于点m，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m2n根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．22.2 二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2bx c 0 是二次函数y ax2bx c 当函数值y 0 时的特殊情况.图象与 x 轴的交点个数：① 当b 24ac 0 时，图象与x 轴交于两点1，02，0( x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程A x，B xax 2bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离 AB x2 x1b24ac .a②当0 时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0时，图象与 x 轴没有交点.1'当 a0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0 ；2'当 a0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 ．2. 抛物线 y2bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为 (0 ， c) ；ax3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y2c 中a， b ，c的符号，或由二次函数中 a ，b， c 的符号判断图象ax bx的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2ax bx c(a 0) 本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x 轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0抛物线与x 轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点0抛物线与x 轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根 .交点例．已知函数 y3x2 6 x k （k 为常数）的图象经过点A（．，y1），B（1．1， y2），10 8C（2，y3），则有（）A ．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y2【答案】 C【解析】试题分析：因为函数y3x26x k 的对称轴是 x b6 1 ，且抛物线开口向上，所以可以画出函数图2a6象的草图，观察图象可得：y3＞y1＞y2，故选：C．考点：二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点．例 2．已知二次函数y=x 2＋ 2mx ＋ 2，当 x＞ 2 时， y 的值随 x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是.【答案】 m≥-2．【解析】试题分析：根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于 2 列式计算即可得解．试题解析：抛物线的对称轴为直线x=- 2m=-m ，2 1∵当 x＞ 2 时， y 的值随 x 值的增大而增大，∴-m≤2，解得 m≥-2．考点：二次函数的性质．例 3．函数y x2bx c 的图象经过点（1， 2），则 b-c 的值为．【答案】 1【解析】试题分析：把点（1， 2）代入y x2bx c ，得：1 b c 2 ，所以 b c 1 .考点：函数图象上的点.例4．已知抛物线 y=ax2+bx+3 的对称轴是直线 x=1 ．（ 1）求证： 2a+b=0；（ 2）若关于 x 的方程 ax2+bx ﹣ 8=0 的一个根为 4，求方程的另一个根．【答案】（ 1）见解析；（ 2） x=－ 2【解析】试题分析：直接利用对称轴公式代入求出即可；根据（ 1）中所求，再将 x=4 代入方程求出 a， b 的值，进而解方程得出即可．试题解析：（ 1）证明：∵对称轴是直线x=1= ﹣b，∴ b=－2a∴ 2a+b=0；2a（2）∵ ax2+bx﹣ 8=0 的一个根为 4，∴ 16a+4b﹣ 8=0 ，∵ b= ﹣ 2a，∴ 16a﹣ 8a﹣ 8=0 ，解得： a=1，则 b=﹣ 2，∴ a x2 +bx ﹣ 8=0 为：x2﹣ 2x ﹣ 8=0，则（ x﹣ 4）（ x+2 ） =0，解得：x1 =4，x2 =﹣ 2，故方程的另一个根为：﹣2．考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点例 5．已知函数y x2bx1的图象经过点（3， 2）．（ 1）求这个函数的解析式；（ 2）当x 0时，求使y 2 的x的取值范围．【答案】（ 1）y x22x1；（2）x 3 ．【解析】试题分析：（ 1）把（ 3， 2）代入函数解析式求出 b 的值，即可确定出解析式；（ 2）利用二次函数的性质求出满足题意x 的范围即可．试题解析：（ 1）∵函数y x2bx 1的图象经过点（3， 2），∴9 3b1 2 ，解得： b 2 ，则函数解析式为： y x22x1；（ 2）当x 3时，y 2 ，根据二次函数性质当x 3时， y2，则当 x0时，使 y 2的x的取值范围是x 3．考点：待定系数法求二次函数解析式．22.3 实际问题与二次函数例 1．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图象可能是（）【答案】 C【解析】试题分析： A 、对于一次函数 a＜ 0，对于二次函数 a＞ 0，则不正确； B 、对于一次函数 b＜ 0，对于二次函数 b＞ 0，则不正确； C、正确； D、对于一次函数 b＜ 0，对于二次函数 b＞ 0，则不正确．考点：函数图象例 2．学生校服原来每套的售价是100 元，后经连续两次降价，现在的售价是81 元，则平均每次降价的百分数是（）A．9%B．8．5%C． 9．5% D ．10%【答案】D．【解析】试题分析：设平均每次降价的百分数是x，根据等量关系“校服原来每套的售价是100 元×（ 1-下降率）2=每套校服现在的售价是81 元”，列出方程100（ 1-x）2 = 81元，解得x 即可，故答案选 D ．考点：一元二次方程的应用．。
二次函数知识点
二次函数（知识点）1. 二次函数的概念：一般地，如果y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)，其中二次项中x 的次数必须是2并且二次项的系数不能为0，那么这样的函数y 叫做x 的二次函数.2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图象及画法二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是对称轴平行于y 轴(或是y 轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a 相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同. 一 用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x 轴的交点、与y 轴的交点. 二 用平移法画图象由于a 相同的抛物线y=ax 2+bx+c 的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax 2的图象平移得到a 值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k 的形式，确定其顶点(h ，k)，然后做出二次函数y=ax 2的图象.将抛物线y=ax 2平移，使其顶点平移到(h ，k).3.（1）函数y=ax 2(a ≠0)的图象与性质：a 的符号图象开口方向 顶点坐标 对称轴增减性最大(小)值a>0向上(0，0)y 轴或说直线x=0 x>0时，y 随x 增大而增大 x<0时，y 随x 增大而减小当x=0时，y 最小=0a<0向下(0，0)y 轴或说直线x=0 x>0时，y 随x 增大而减小 x<0时，y 随x 增大而增大当x=0时，y 最大=0顶点是坐标原点(0,0)，对称轴是y 轴或直线x=0的抛物线的解析式形式为220)0(ax x a y =+-=）（0≠a（2）函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象及其性质:a 的符号图象开口方向 顶点坐标对称轴 增减性 最大(小)值 a>0向上(0，c)y 轴或说 直线x=0x>0时，y 随x 增大而增大 x<0时，y 随x 增大而减小 当x=0时， y 最小=ca<0向下(0，c)y 轴或说 直线x=0x>0时，y 随x 增大而减小 x<0时，y 随x 增大而增大当x=0时， y 最大=c顶点在y 轴上其坐标为（0，c ），对称轴是y 轴或直线x=0的抛物线的解析式形式为y=a （x-0）2+c=ax 2+c （3）抛物线y=ax 2与y=ax 2±c 之间的关系是：形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，而顶点位置和抛物线的位置不同． （4）抛物线之间的平移规律：抛物线y=ax 2向上平移c 个单位可以得到抛物线 y=ax 2+c ；抛物线y=ax 2向下平移c 个单位可以得到抛物线 y=ax 2-c ；4.（1）二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像的性质二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是（a b ac a b 44,22--），对称轴是直线x=ab 2-函数 二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0) 图象a>0a<0性质 (1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，顶点（a b ac a b 44,22--）有最低点，存在最小值，对称轴为x=a b 2-，当x=a b 2-，y 最小值=ab ac 442-。
知识卡片-二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象上点的坐标特征能量储备● 对称性：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象叫做抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，抛物线是轴对称图形，所以二次函数图象上的点关于直线x=-b 2a 对称, 直线x=-b 2a 是抛物线的对称轴.● 顶点：抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点． ● 对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)图象上的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当a>0时，若|x 1－h|<|x 2－h|，则y 1<y 2；当a<0时，若|x 1－h|<|x 2－h|，则y 1>y 2；而对任何a ≠0，若|x 1－h|＝|x 2－h|，则y 1＝y 2.通关宝典★ 基础方法点方法点1：根据二次函数图象上点关于对称轴对称的性质进行函数值大小比较. 例1 点P 1（-1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y=-x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 3＞y 2＞y 1B ．y 3＞y 1=y 2C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1=y 2＞y 3分析 根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（-1，y 1）与（3，y 1）关于对称轴对称，可判断y 1=y 2＞y 3．解：∵y=-x 2+2x+c ，∴对称轴为x=1，P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴y 2＞y 3，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（-1，y 1）与（3，y 1）关于对称轴对称， 故y 1=y 2＞y 3，故选D答案：D ．方法点2：如果抛物线上两点(x 1，m)，(x 2，m)的纵坐标相等，那么这两点关于抛物线的对称轴直线x ＝x 1＋x 22对称.例2 如图所示，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为() A．(2，3)B．(3，2)C．(3，3) D．(4，3)解析：∵ 点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，∴ 点A与点B关于对称轴x＝2对称．又∵ A(0，3)，∴ AB＝4，y B＝y A＝3，∴ 点B的坐标为(4，3)，故选D.答案：D蓄势待发考前攻略该知识点一般与二次函数的性质结合考查，多以选择题和填空题为主，题目难度中等偏下.完胜关卡。
二次函数全章主要知识点梳理
二次函数全章主要知识点梳理一、二次函数的图象和性质（1）二次函数2ax y =的图象和性质a 对函数2ax y =图象的影响a 的符号决定函数2ax y =图象的开口方向,a 的大小决定图象的开口大小:a 的值越大,抛物线开口越小;a 的值越小,抛物线开口越大.（2）二次函数k ax y +=2的图象和性质（3）二次函数()2h x a y -=的图象及性质（4）二次函数()k h x a y +-=2的图象及性质（5）二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质二、二次函数的图象的平移及解析式的变化规律二次函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的规律.（1）二次函数的图象左右平移时,自变量加上（左移）或减去（右移）平移的单位,注意要加小括号;（2）二次函数的图象上下平移时,解析式的后面加上（上移）或减去（下移）平移的单位.例1. 将抛物线2x y =向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得新抛物线对应的函数表达式为【 】（A ）()122++=x y （B ）()122-+=x y（C ）()122+-=x y （D ）()122--=x y例2. 将抛物线2x y =向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为________________. 三、二次函数的图象和性质的应用往往考查的是二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最值以及增减性.考查最多的形式是顶点式()k h x a y +-=2.（1）抛物线()k h x a y +-=2的顶点坐标是()k h ,.（2）抛物线()k h x a y +-=2的对称轴为直线h x =.（3）以对称轴直线h x =为分界线,抛物线一侧上升,一侧下降:上升的一侧表示y 随x 的增大而增大;下降的一侧表示y 随x 的增大而减小.函数图象的升降性反应了y 随x 的变化趋势,即增减性.利用函数的增减性可以比较函数值的大小. 例3. 对于抛物线()31212++-=x y ,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线1=x ;③顶点坐标为()3,1-;④当1>x 时,y 随x 的增大而减小;⑤函数的最大值为3.其中正确结论的个数为【 】（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5例4. 关于二次函数()352+--=x y 的图象与性质,下列结论错误的是【 】（A ）抛物线开口方向向下 （B ）当5=x 时,函数有最大值（C ）抛物线可由函数2x y =的图象经过平移得到 （D ）当5>x 时,y 随x 的增大而减小二次函数c bx ax y ++=2,化为顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,故其顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22,对称轴为直线a bx 2-=. 同学们要特别记住一般式的对称轴公式.例5. 已知二次函数()112+-+=x m x y ,当1>x 时,y 随x 的增大而增大,则m 的取值范围是__________.提示 二次函数的增减性与其图象的开口方向和对称轴有关.在根据函数的增减性确定参数的取值范围时,要先确定函数图象的开口方向和对称轴的位置,必要时可画出函数图象的简图. 四、求二次函数的解析式常考查顶点式、交点式和一般式.在求函数解析式时,如果题目给出了抛物线的解析式（系数待定）,我们直接把点的坐标代入解析式求解即可;如果题目没有给出函数解析式,我们就要先根据题目条件的特点先设出合适的函数解析式,再把点的坐标代入.（1）如果已知抛物线的顶点坐标和另一个点的坐标,我们把函数解析式设为顶点式,即设二次函数的解析式为()k h x a y +-=2.（2）如果已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和第三个点的坐标,我们把函数解析式设为交点式,即设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=.有下面的结论:如果抛物线与x 轴的两个交点分别为()()0,,0,21x x ,那么函数解析式为:()()21x x x x a y --=.（3）如果已知抛物线上三个点的坐标,那么我们把函数解析式设为一般式,即设二次函数的解析式为c bx ax y ++=2.例6. 已知二次函数的图象以()4,1-A 为顶点,且过点()5,2-B ,求该二次函数的解析式.变式. 已知二次函数的图象如图所示,求该二次函数的解析式.例7. 已知二次函数的图象经过()()0,1,0,3--和()3,0-三点,求该二次函数的解析式.变式. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,求该二次函数的解析式.例8. 已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,3-,与y 轴交于点C ,点()3,2--D ,求该抛物线的解析式.五、二次函数的图象与c b a ,,的关系 与二次项系数a 的关系（1）当0>a 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,a 的值越小,开口越大; （2）当0<a 时,抛物线开口向下,a 的值越大,开口越大,a 的值越小,开口越小.总之,a 的值越大,抛物线的开口越小. 与一次项系数b 的关系二次项系数a 和一次项系数b 共同决定了抛物线的对称轴. 若抛物线的对称轴在y 轴的右侧,即02>-=abx ,则b a ,异号;若抛物线的对称轴在y 轴的左侧,即02<-=abx ,则b a ,同号. 总之,b a ,的符号遵循“左同右异”的规律. 特别地,当对称轴是y 轴时,02=-=abx ,此时0=b . 与常数项c 的关系对于二次函数c bx ax y ++=2,当0=x 时,c y =,函数图象与y 轴的交点为()c ,0:（1）当0>c 时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即交于y 轴的正半轴; （2）当0=c 时,抛物线经过坐标原点;（3）当0<c 时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即交于y 轴的负半轴.上述结论反之亦成立.例9. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则【 】yxO（A ）0,0,0<<<c b a （B ）0,0,0><<c b a （C ）0,0,0>><c b a （D ）0,0,0><>c b a 例10. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列结论: ①0<abc ; ②02=+b a ; ③042>-ac b ;④方程02=++c bx ax 的两个实数根 分别为3,121=-=x x ; ⑤024>++c b a .例11. 已知函数21x y =与函数3212+-=x y 的图象如图所示.若21y y >,则自变量x 的取值范围是____________.yxO二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax对于二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）,如果其图象与x 轴有交点,那么交点的纵坐标等于零,于是交点的横坐标就是对应的一元二次方程02=++c bx ax 的实数根.因此,二次函数的图象与x 轴的相交情况,可以转化为二次方程实数根的情况.而一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式,故我们可以用根的判别式来判断二次函数的图象与x 轴的相交情况,具体如下:（1）当042>-=∆ac b 时,抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与x 轴有两个交点,反过来亦成立,此时一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个不相等的实数根;（2）当042=-=∆ac b 时,抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）,反过来亦成立,此时一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个相等的实数根;（3）当042<-=∆ac b 时,抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与x 轴没有交点,反过来亦成立,此时一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）没有实数根.因此,二次函数02=++=bx ax y 与x 轴有交点的条件是△≥0.例12. 若抛物线42-+-=mx x y 与x 轴的交点只有一个,则m 的值是_______.x100100mO例13. 抛物线442-+-=x x y 与坐标轴的交点个数为【 】 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3例14. 二次函数m x x y -+=2的部分图象如图,则一元二次方02=-+m x x 的解为___________.六、二次函数的最值我们已经知道,把二次函数化为顶点式后,可以很快确定函数的最值以及取得最值的条件:顶点坐标为()k h ,,最值为k ,取得最值的条件为h x =.我们还知道,对于二次函数,当自变量的取值范围为全体实数时,函数的最值在顶点处取得.如果自变量是指定的取值范围,则函数的最值不一定在顶点处取得:当顶点的横坐标在自变量的取值范围之内时,函数的最值在顶点处取得;当顶点的横坐标不在自变量的取值范围之内时,函数的最值并不在顶点处取得,此时,我们应画出自变量取值范围之内的函数图象,结合函数的图象确定其最值以及取得最值的条件.例15. 某商场以50元的价格购进一种商品, 销售中发现这种商品每天的销售量m （件） 与每件的销售价格x （元）满足一次函数关 系,其图象如图所示,则该商场每天销售这种商 品的利润y （元）与每件的销售价格x （元） 之间的函数关系式为___________________.变式1 当=x _________时,该商场每天销售这种商品的利润y （元）最大. 变式2 若规定这种商品的销售价格x （元）不低于80元,且不高于95元,则当=x _________时,该商场每天销售这种商品的利润y （元）最大. 七、二次函数与几何图形的面积例16. 如图所示,已知直线AB 经过x 轴上的点A （2 , 0）,且与抛物线2ax y =相交于B 、C 两点,已知B 点的坐标为（1 , 1）. （1）求直线和抛物线的表达式;（2）如果D 为抛物线上的一点,使得△AOD 与△OBC 的面积相等,求D 点的坐标.yxABCO解:（1）把B （1 , 1）代入2ax y =得:112=⨯a 解之得:1=a ∴2x y =设直线AB 的解析式为b kx y +=把A （2 , 0）、B （1 , 1）分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧=+=+102b k b k 解之得:⎩⎨⎧=-=21b k∴2+-=x y ;（2）解方程组⎩⎨⎧+-==22x y x y 得:⎩⎨⎧=-=4211y x ,⎩⎨⎧==1122y x ∴()4,2-C ∵A （2 , 0） ∴2=OA∴AOB AOC OBC S S S ∆∆∆-=312214221=⨯⨯-⨯⨯=设点D 的纵坐标为m ,则有3221=⨯⨯=∆m S AOD ,3=m 令32==x m ,则3±=x ∴点D 的坐标为()3,3或()3,3-.八、二次函数与一元二次方程之间的关系在本章的学习中,有两种数学思想贯穿始终:数形结合思想以及函数与方程思想.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,令0=y ,则得到与其对应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,研究二次函数的图象与x 轴的相交情况可以转化为研究方程实数解的情况:（1）如果二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,那么一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数解,且交点的横坐标就是方程的实数解.①若二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点,则一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,此时042>-=∆ac b ;如图1、图2所示,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A 、B 两点,那么一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根,这两个实数根等于A 、B 两点的横坐标,即B A x x x x ==21,,此时042>-=∆ac b .②若二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点,则一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,此时042=-=∆ac b .抛物线与x 轴只有一个交点时,该交点就是抛物线的顶点.图 3如图3、图4所示,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点A ,点A 是抛物线的顶点,那么一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根,这两个相等的实数根等于点A 的横坐标,即A x x x ==21,此时042=-=∆ac b .（2）如果二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点,那么一元二次方程()002≠=++a c bx ax 没有实数根,此时042<-=∆ac b .yx图 5O yx图 6O如图5、图6所示,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点,那么一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根,此时042<-=∆ac b .反过来,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的实数解的情况也说明了二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的相交情况.根据ac b 42-=∆的值的符号,在不画图的情况下,可以确定抛物线与x 轴的交点个数.抛物线的对称轴的确定对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,其图象的对称轴公式为直线ab x 2-=. 根据上面的对称轴公式,给出二次函数的一般式,我们可以确定其图象的对称轴.除此之外,还有下面的结论:如果抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点,那么抛物线的对称轴为直线2BA x x x +=.yx图 3O九、二次函数与一元二次不等式之间的关系一元二次不等式()002≠>++a c bx ax 的解集,从“形”的角度看,就是二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方的部分所对应的自变量x 的取值范围:（1）当04,02>-=∆>ac b a 时,如图1所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根,抛物线与x 轴有两个不同的交点A ,B ,那么一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为A x x <或B x x >.图 2（2）当04,02=-=∆>ac b a 时,如图2所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根,抛物线与x 轴只有一个交点（抛物线的顶点在x 轴上）,那么一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为A x x ≠. （3）当04,02<-=∆>ac b a 时,如图3 所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根,抛物线与x 轴没有交点,那么 一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为全体实数.一元二次不等式()002≠<++a c bx ax 的解集,从“形”的角度看,就是二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方的部分所对应的自变量x 的取值范围:（1）当04,02>-=∆>ac b a 时,如图4所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根,抛物线与x 轴有两个不同的交点A ,B ,那么一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为B A x x x <<.图 5（2）当04,02=-=∆>ac b a 时,如图5所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根,抛物线与x 轴只有一个交点（抛物线的顶点在x 轴上）,那么一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为无解（也叫空集）.（3）当04,02<-=∆>ac b a 时,如图6所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根,抛物线与x 轴没有交点,那么一元二次不等式02<++c bx ax 的解集 为无解（也叫空集）.yx图 6O在上面我们分别讨论了当0>a 时,一元二次不等式()002≠>++a c bx ax 和()002≠<++a c bx ax 在不同情形下的解集的情况.下面,我们继续讨论当0<a 时,一元二次不等式()002≠>++a c bx ax 和()002≠<++a c bx ax 在不同情形下的解集的情况,讨论的结果由同学们完成.（1）当04,02>-=∆<ac b a 时,如图7所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根,抛物线与x 轴有两个不同的交点A ,B ,那么一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为____________.图 7（2）04,02=-=∆<ac b a 时,如图8所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根,抛物线与x 轴只有一个交点（抛物线的顶点在x 轴上）,那么一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为____________.（3）当04,02<-=∆<ac b a 时,如图9所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根,抛物线与x 轴没有交点,那么一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为____________.yx图 9O（4）当04,02>-=∆<ac b a 时,如图10所示,此时一元二次方程02=++c bx ax有两个不相等的实数根,抛物线与x 轴有两个不同的交点A ,B ,那么一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为____________.图 10（5）04,02=-=∆<ac b a 时,如图11所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根,抛物线与x 轴只有一个交点（抛物线的顶点在x 轴上）,那么一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为____________.（6）当04,02<-=∆<ac b a 时,如图12所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根,抛物线与x 轴没有交点,那么一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为____________.yx图 12O可见,在借助于二次函数的图象求解一元二次不等式时,同学们应该学会看图,切不可去死记硬背上面的讨论结果. 作业题1. 已知二次函数的图象如图13所示,则:（1）这个二次函数的表达式是_______________; （2）当=x ________时,3=y ;（3）当x 的取值范围是____________时,0>y .图 13yx图 1431O2. 二次函数322--=x x y 的图象如图14所示,则当函数值0<y 时,x 的取值范围是【 】（A ）1-<x （B ）3>x （C ）31<<-x （D ）1-<x 或3>x3. 在平面直角坐标系中,二次函数x x y 421+-=和一次函数x y 22=的图象如图15所示,那么不等式x x x 242>+-的解集是【 】 （A ）0<x （B ）40<<x （C ）20<<x （D ）42<<x4. 如图16所示,抛物线c ax y +=2与直线n mx y +=交于()()q B p A ,3,,1-两点,则第21页 关于x 的不等式n c mx ax <+-2的解集为【 】（A ）1->x （B ）3<x（C ）31<<-x （D ）3-<x 或1>x yx图 16A BO5. 已知二次函数c bx x y ++-=2与一次函数n mx y +=的图象交于点()4,2-A , ()2,6-B ,则关于x 的方程n mx c bx x +=++-2的解是_________.6. 已知抛物线2x y =与直线32+-=x y 如图所示.（1）求交点A 、B 的坐标;（2）求△AOB 的面积;（3）直接写出不等式322+-<x x 的解集. yxBAO。
二次函数知识点梳理2
二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数2y ax bx c =++图象的画法画草图时应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.四、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-． 五、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成两根式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.六、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 八、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：同步训练：练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大.4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.5、 已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<1 7、已知函数()9232+--=x y .（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .（3） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4） 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？8、已知函数()412-+=x y .（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3） 指出该函数的最值和增减性；（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式；（5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.（6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0.一元二次不等式解法Ⅰ．设置情境问题：①解方程023=+x②作函数023=+=x y 的图像③解不等式023>+x （数形结合分析） 2、例题一（1） 方程062=--x x 的解集为（ ） （2）不等式062>--x x 的解集为（ ） （3）不等式062>--x x 的解集为（ ）问：二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图像与x 轴的位置关系如何？问：>0等的几何意义同步练习1．解下列不等式：（1）02732<+-x x （2）0262≤+--x x（3）01442<++x x （4）0532>+-x x2．若代数式262-+x x 的值恒取非负实数，则实数x 的取值范围是 。
二次函数的图像与性质知识点及练习
第二节二次函数的图像与性质1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2+k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质；2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。
一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 2，y＝2（x-1）2 的图像。
一、二次函数的基本形式1. y ＝ax 2的性质：2. y ＝ax 2＋k 的性质： （k 上加下减）3. y ＝a （x -h ）2的性质：（h 左加右减）4. y ＝a (x －h)2＋k 的性质：5. y ＝ax2+bx+c 的性质：二、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变． 例1、例2、已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．（1）求a 、m 的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而减小； （4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2的顶点构成的三角形的面积． 例3、求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：（1）y=ax 2经过（1，2）；（2）y=ax 2与y=21x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=21x ＋3交于点（2，m ）．例4、试写出抛物线y=3x 2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
《二次函数》知识点梳理
《二次函数》知识点梳理一、二次函数的定义、图像和性质1. 定义：一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零.a的绝对值越大，抛物线的开口越小.2. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：【典型例题】当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值.解析：先求出当k分别取-1，1，2时对应的函数，再根据函数的性质讨论最大值.（1）当k=1时，函数y=-4x+4为一次函数，无最值.（2）当k=2时，函数y=x2-4x+3为二次函数且图象开口向上，无最大值.（3）当k=-1时，函数y=-2x2-4x+6=-2（x+1）2+8为二次函数且图象开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，8），所以当x=-1时，y最大值=8.点评：本题考查一次函数和二次函数的基本性质，熟知函数的性质是求最值的关键.二、二次函数与一元二次方程的关系函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：注意点：二次函数图象与x轴的交点的个数由△=b2-4ac 的值来确定.（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时△=b2-4ac>0（a≠0），则方程有两个不相等实根x1，2=■.（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时△=b2-4ac=0，则方程有两个相等实根x1=x2=-■（3）当二次函数的图象与x轴没有交点，这时△=b2-4ac<0，则方程没有实根.【典型例题】已知：二次函数y=（2m-1）x2-（5m+3）x+3m+5（1）m为何值时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；（2）m为何值时，这两个交点在原点的左右两边；（3）m为何值时，抛物线的对称轴是y轴；（4）m为何值时，二次函数有最大值-■.解析：（1）∵△=[-（5m+3）]2-4（2m-1）（3m+5）=m2+2m+29>0，∴当m≠■时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；（2）据题意，得■<0，则-■<m<■；（3）据题意，得-（5m+3）=0；则m=-■；（4）据题意，得■=-■，化简，得m2-8m+34=0，此方程无实数根，则不存在.三、二次函数解析式的求法与一次函数和反比例函数类似，我们也是用待定系数法来求二次函数的关系式，不过我们要注意根据已知条件选择合适的关系式的设法，可分三种情况：（1）设一般式y=ax2+bx+c（a≠0）：如果已知抛物线上三点的坐标或三组x，y的对应值，可设所求二次函数为y=ax2+bx+c（a≠0），将已知条件带入关系式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组的值，求出a，b，c的值，关系式便可得出.（2）设顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0）：如果已知对称轴和最大值（或最小值）或顶点坐标，可设所求二次函数y=a （x-h）2+k（a≠0），将已知条件代入，求出待定系数a，从而求得函数关系式，最后要注意，把关系式化成一般形式.（3）设交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）：如果已知或较容易求得抛物线与x轴的交点坐标（x1，0）和（x2，0）及另一点的坐标或一组x，y的对应值，可设所求函数为y=a （x-x1）（x-x2），将另一点的坐标或一组的x，y对应值代入，求出待定系数a，进而得到函数关系式，最后也要注意将其化为一般形式.【典型例题】已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+■在x=0和x=2时的函数值相等.（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（-3，m），求m和k的值.解析：（1）由题意可知二次函数图象的对称轴为直线x=1，则-■=1，∴t=-■.∴y=-■x2+x+■.（2）∵二次函数图象必经过A点，∴m=-■×（-3）2+（-3）+■=-6.又∵一次函数y=kx+6的图象经过A点，∴-3k+6=-6，∴k=4.四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：第一步，设自变量；第二步，建立函数解析式；第三步，确定自变量取值范围；第四步，根据顶点坐标公式或配方法求出最值（在自变量的取值范围内）.【典型例题】铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90.（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式.（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？解析：（1）y=w?x=（10x+90）x=10x2+90x（x为正整数）（2）设前x个月的利润和等于1620万元，10x2+90x=1620即：x2+9x-162=0得x=■x1=9，x2=-18（舍去），所以前9个月的利润和等于1620万元.。
二次函数重要知识点
二次函数重要知识点
嘿，朋友们！今天咱来聊聊二次函数那些超重要的知识点哈！
先来说说二次函数的图像，那就像抛物线一样，弯弯曲曲的，可有意思啦！比如说，y=x²这个二次函数，它的图像就是一条开口向上的抛物线，就像一个微笑的嘴巴！你能想象出来不？
二次函数的顶点可重要了啊！它决定了这个抛物线的最值呢！比如
y=(x-1)²+2，这个顶点就是(1,2)，这里就是它能达到的最小值啦！这就好比爬山，顶点就是山顶，是个关键位置呀！
还有哦，二次函数的对称轴也不能小瞧！它把图像分成对称的两半呢！像 y=-2(x+3)²这样的，对称轴就是 x=-3 呀！这就好像是一个镜子，两边对称得很呢！
二次函数在生活中的应用那可多了去了！比如说投篮，球的轨迹不就类似二次函数嘛！我们不就能用二次函数的知识去分析球怎么才能投进嘛，多神奇呀！
总之呢，二次函数真的超级重要，大家可得好好掌握呀！
我的观点结论就是：二次函数的这些知识点真的很关键，掌握好了对我们学习和生活都有大帮助呀！。
八年级二次函数的知识点
八年级二次函数的知识点二次函数是初中数学中十分重要的内容之一，它将直线与曲线融合在一起，形成了一种特殊的函数类型。
在学习了初一、初二的函数知识后，学生们逐渐进入到了初中数学的高峰——二次函数的学习中。
本文将从图像、性质、拐点、零点和应用五个方面分别介绍八年级二次函数的知识点。
一、图像二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其标准式为y=ax²+b。
当a>0时，图像开口向上，当a<0时，则开口向下。
二、性质1、对称性二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。
证明如下：设顶点坐标为（h, k），则由二次函数的标准式可得y=a(x-h)²+k。
当x=h±t时，上式中的x分别为h+t和h-t，代入后可得：y-k=a(h+t-h)²=y-k=a(t)²y-k=a(h-t-h)²=y-k=a(-t)²从中可以看出，当t取任意实数时，y-k的值是相等的，因此对于任意的x，都有（x, y）和（2h-x, y）对称。
由此可以得知，二次函数的图像关于直线x=-h对称。
由于二次函数的h坐标为-b/2a，因此可以得知其对称轴方程为x=-b/2a。
2、正负性若a>0，则二次函数是一个上凸的图像，其最低点（即顶点）为（-b/2a, -△/4a）。
若a<0，则二次函数是一个下凸的图像，其最高点（即顶点）为（-b/2a, -△/4a）。
其中，△为一元二次方程中的判别式，△=b²-4ac。
三、拐点二次函数的拐点位于抛物线的顶点处，当二次函数极值不存在时，拐点即为最值点。
拐点处，二次函数的导数为0。
证明如下：对y=ax²+b求导可得y'=2ax，令y’=0，可得x=0。
则当a<0时二次函数开口朝下，有极大值；当a>0时，二次函数开口向上，有极小值。
四、零点二次函数的零点是指函数图像与x轴交点处的横坐标。
二次函数的知识点
二次函数重要知识点1、二次函数的概念：如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
2、二次函数的图像是一条关于ab x 2-=对称的抛物线。
3、二次函数图像的画法：“五点一线”法：顶点、与x 轴的两交点、与y 轴的交点及其对称点4、函数平移规律：上加下减、左加右减（上下移在y 上加减，左右移在x 上加减）5、抛物线的开口大小由a 决定：a 的绝对值越大抛物线的开口越小。
6、当a>0时,对称轴左侧y 随x 的增大而减小，对称轴右侧y 随x 的增大而增大；当a<0时,对称轴左侧y 随x 的增大而增大，对称轴右侧y 随x 的增大而减小。
7、二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，。
顶点：)44,2(2a b ac a b --，对称轴：直线a b x 2-= （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，。
顶点：),(k h ， 对称轴：直线k x =（3）交点式：))((21x x x x a y --=。
抛物线与x 轴的交点)0,(),0,(21x x ， 对称轴：221x x x += 8、最值：函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当ab x 2-=时，a b ac y 442-=最值 9、求一般式顶点坐标或对称轴的方法：（1）配方法：（2）公式法)44,2(2ab ac a b -- 配方：c ab a b x a b x a yc x a b x a y c bx ax y a +-++=−−→−++=−−→−++=])2()2([)(22222配方提取 10、符号问题（1）a 的符号与开口相关（2）b 的符号与a 左同右异（对称轴在y 轴左侧a 、b 同号，对称轴在y 轴右侧a 、b 异号）（3）c 的符号由图像与y 轴的交点位置决定（交与y 轴正半轴c>0, 交与负半轴c<0, 交与原点c=0）（4）∆=ac 4b 2-的符号与抛物线与x 轴的交点个数决定（两个交点∆>0，一个交点∆=0，无交点∆<0）（5）a+b+c 的符号由x=1时对应的抛物线上点的位置确定（6）a-b+c 的符号由x=-1时对应的抛物线上点的位置确定11、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。
二次函数知识点总结初中数学
二次函数y=ax 2(a ≠0)与y=ax 2+c (a ≠0)的图象与性质要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y=ax 2+bx+c （a ≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b =0，则y=ax 2+c ； 若c =0，则y=ax 2+bx ； 若b=c =0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y=ax 2（a ≠0）；②y=ax 2+k （a ≠0）；③y=a(x-h)2（a ≠0）；④y=a(x-h)2+k （a ≠0），其中abh 2-=,a b ac k 442-=；⑤y=ax 2+bx+c （a ≠0）. 要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a =0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）；2. 顶点式：y=a(x-h)2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0）；3. 两根式：))((21x x x x a y --=（a ≠0，x 1，x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标）（或称交点式）.要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.x 240b ac -≥要点二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。
二次函数知识点
二次函数定义一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的最高次数是2。
注意：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。
二次函数的几种表达式：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]把三个点代入式子得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式交点式y=a(x-x)(x-x) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x，0）和B（x，0）,我们可设y=a(x-x)(x-x),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤：X1+x2=-b/a x1·x2=c/ay=ax^2+bx+c=a（x^2+b/ax+c/a）=a[﹙x^2-(x+x2)x+x1x2]. =a(x-x1)(x-x2)重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。
a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。
a的绝对值可以决定开口大小。