高中数学-抽象函数的周期与对称轴

抽象函数的周期与对称轴

一. 内容：抽象函数的周期与对称轴

二. 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。

难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。

三. 具体内容

1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。

2. 若)()(x b f a x f +=+则)(x f 的周期为

a b T -= 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=

3. )()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期

a b T -=2 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ①

令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②

由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+-

∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴

a b T -=2 4. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2b

a x +=

证：要证原结论成立，只需证)2()2(x b a f x b a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则 )2()2(x b a f x b a f -+=++ 5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2(b a +为对称中心。 证：方法一：要证原结论成立只需证

)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 令2a b x x -+=代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为C

C y x P ∈∀),(00则P 关于点)0,2(b a +的对称点),(00y x b a P --+' )()]([)]([)(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+

∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C P ∈'

【典型例题】

[例1] 对于)(x f y =，R x ∈有下列命题。

（1）在同一坐标系下，函数)1(x f y +=与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。

（2）若)1()1(x f x f -=+且)2()2(x f x f +=-均成立，则)(x f 为偶函数。

（3）若)1()1(+=-x f x f 恒成立，则)(x f y =为周期函数。

（4）若)(x f 为单调增函数，则

)(x a f y =（0>a 且1≠a ）也为单调增函数，其中正确的为？

解：（2）（3）

[例2] 若函数

3)()(a x x f +=R x ∈∀有)1()1(x f x f --=+求)2()2(-+f f 。 解：R x ∈∀，)1()1(x f x f --=+知)(x f 的图象关于)0,1(对称

而3)()(a x x f +=的对称中心)0,(a P - ∴ 1-=a

∴ 3)1()(-=x x f 则

26)3(1)2()2(3-=--=-+f f [例3] 设)(x f 是定义在R 上的函数，R x ∈∀均有0)2()(=++x f x f 当11≤<-x 时12)(-=x x f ，求当31≤

解：由R x ∈∀有)2()(+-=x f x f 得4=T

设]3,1(∈x 则]1,1()2(-∈-x

)()2()42()2(x f x f x f x f -=+=+-=-

∴ 52]1)2(2[)2()(+-=---=--=x x x f x f

∴ 31≤

[例4] 已知)(x f 是定义在R 上的函数且满足1)1()(=-+x f x f ，当]1,0[∈x 时有2

)(x x f =则

（1）)(x f 是周期函数且周期为2

（2）当]2,1[∈x 时，22)(x x x f -= （3）4

3)5,2004(=-f 其中正确的是？

解：（1）（2）（3）

[例5] 已知)(x f 满足)2()2(-=+x f x f ，)4()4(x f x f -=+，

当26-≤≤-x 时，c bx x x f ++=2

)(且13)4(-=-f ， 若)3(b f m =，)2(c f n =，)11(f p =求m 、n 、p 的大小关系？

解：由已知得4=T ，对称轴4=x ∴ 4-=x 也为一条对称轴

∴ 42-=-b ∴8=b

由13)4(-=-f ∴

134644-=-c ∴ 3=c ∴

)38(f m =，)23(f n =，)3()11(f f p == ∴ p m n >> [例6] 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,

0[π

∈x 时，x x f sin )(=求)35(πf 的值。 解：233sin )3()3()32()32()3

5(===-==+=πππππππf f f f f [例7] 设)(x f y =定义在R 上，R n m ∈∀，有)()()(n f m f n m f ⋅=+且当0>x 时，1)(0<

（1）求证：1)0(=f 且当0x f

（2）求证：)(x f 在R 上递减。

解： （1）在)()()(n f m f n m f ⋅=+中，令1=m ，0=n 得)0()1()1(f f f = ∵ 1)1(0<

设0-x 令x m =，x n -=代入条件式 有)()()0(x f x f f -=而1)0(=f ∴ 1)(1)(>-=x f x f

（2）设21x x <则012>-x x ∴ 1)(012<-

令1x m =，2x n m =+则12x x n -=代入条件式得)()()(1212x x f x f x f -=