高中数学-抽象函数的周期与对称轴
抽象函数的对称性常用结论
抽象函数的对称性常用结论知识与方法1.轴对称：如果函数()y f x =满足122x x a +=，就有()()12f x f x =，则()f x 的图象关于直线x a =对称.记法：自变量关于a 对称，函数值相等.例如，()()2f x f x +=-表示()f x 关于1x =对称，()()f m x f n x +=-表示()f x 关于2m n x +=对称.2.中心对称：若函数()y f x =满足122x x a +=，就有()()122f x f x b +=，则()f x 关于点(),a b 对称.记法：自变量关于a 对称，函数值关于b 对称.例如，()()112f x f x ++-=表示()f x 关于()1,1对称，()()f m x f n x a ++-=表示()f x 关于,22m n a +⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.3.常用结论（视频中有推导这些结论）：（1）如果函数()f x 有两条对称轴，则()f x 一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.（2）如果函数()f x 有一条对称轴，一个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.（3）如果函数()f x 有在同一水平线上的两个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.典型例题【例1】已知函数()y f x =满足()()20f x f x --=()x ∈R ，且在[)1,+∞上为增函数，则（）A.()()()112f f f ->> B.()()()121f f f >>-C.()()()121f f f ->> D.()()()211f f f >->【解析】()()()()()202f x f x f x f x f x --=⇒=-⇒的图象关于直线1x =对称，所以()()13f f -=，因为123<<，且()f x 在[)1,+∞上为增函数，所以()()()123f f f <<，从而()()()121f f f ->>【答案】C【例2】己知函数()f x 满足()()2f x f x =-()x ∈R ，若函数()1y x f x =--共有3个不同的零点1x 、2x 、3x ，则123x x x ++=_________.【解析】()()()2f x f x f x =-⇒的图象关于1x =对称，()()101x f x x f x --=⇒-=，由于1y x =-的图象也关于1x =对称，故它们的交点关于1x =对称，设123x x x <<，则必有1312x x +=且21x =，故1233x x x ++=.【答案】3【例3】已知函数()f x 满足()()22f x f x -=-()x ∈R ，若()()104f f -+=，则()()23f f +=_______.【解析】()()()()2222f x f x f x f x -=-⇒-+=，分别取3x =和2x =得：()()()()132022f f f f ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相加得：()()()()13024f f f f -+++=，又()()104f f -+=，所以()()230f f +=.【答案】0【例4】偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，若()33f =，则()1f -=_______.【解析】由题意，()f x 周期为4，故()()133f f -==.【答案】3【反思】对称轴+对称轴=周期，周期为对称轴之间距离的2倍.【例5】（2018·新课标Ⅱ卷）若()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =，则()()()1250f f f +++ =（）A.50- B.0 C.2 D.50【解析】因为()f x 是奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()11f x f x +=--，故()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 是以4为周期的周期函数，故()()()3112f f f =-=-=-，在()()11f x f x -=+中取1x =-知()()200f f ==，又()()400f f ==，所以()()()()()123420200f f f f +++=++-+=，故()()()1250f f f +++ ()()()()()()()()145845484950f f f f f f f f =+++++++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()4950122f f f f =+=+=.【答案】C【反思】对称轴+对称中心=周期，周期为二者之间距离的4倍，熟悉这一结论，可直接得出本题()f x 的周期为4.【例6】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x ++-=，当[]1,0x ∈-时，()f x x =，则92f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=_______.【解析】由题意，()f x 有对称中心()0,0和()1,0，故其周期为2，所以91112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】12【反思】若()f x 有位于同一水平线上的两个对称中心，则()f x 为周期函数，周期为二者之间距离的2倍.强化训练1.已知函数()y f x =满足()()40f x f x +--=()x ∈R ，且()f x 在[)2,+∞上为减函数，则（）A.()()()22log 3log 5.13f f f >> B.()()()22log 5.1log 33f f f >>C.()()()22log 5.13log 3f f f >> D.()()()22log 33log 5.1f f f >>【解析】()()()40f x f x f x +--=⇒的图象关于2x =对称，结合()f x 在[)2,+∞上为减函数知当自变量与2的距离越大时，函数值越小，如图，而22234log 32log log 43-==，225.1log 5.12log 4-=，321-=，所以225.14log log 143<<，故()()()223log 3log 5.1f f f <<.【答案】B2.函数()y f x =满足()()2f x f x =-，且当[)1,x ∈+∞时，()1122x x f x e e x --=--+，则（）A.()()()121f f f <<- B.()()()211f f f <-<C.()()()121f f f -<< D.()()()112f f f -<<【解析】()()()()213f x f x f f =-⇒-=，当1x ≥时，()11220x x f x e e --'=+-≥-=，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，故()()()()1231f f f f <<=-.【答案】A3.已知函数()f x 满足()()20f x f x ---+=()x ∈R ，若函数()22y x x f x =+-共有3个零点1x ，2x ，3x ，则123x x x ++=________.【解析】()()()()()202f x f x f x f x f x ---+=⇒-=-+⇒的图象关于1x =-对称，()()22202x x f x x x f x +-=⇔+=，而22y x x =+的图象也关于1x =-对称，故它们的交点也关于1x =-对称，所以1233x x x ++=-.。
抽象函数的周期性和对称性
抽象函数是一种数学概念，它是一种无限维的函数，用于描述某种连续变化的关系。
抽象函数可以具有周期性和对称性。
周期性是指函数在一段时间内重复出现的性质。
抽象函数可以具有周期性，这意味着在一个固定的时间段内，函数的值会重复出现。
对称性是指函数的形状是对称的。
抽象函数可以具有对称性，这意味着函数的形状具有对称性，即函数的左半部分与右半部分形状相似。
抽象函数的周期性和对称性可以帮助我们了解函数的性质，并为我们的数学建模和解决问题提供帮助。
抽象函数的周期性与对称性(精)
抽象函数的周期性与对称性(精)抽象函数的周期性和对称性问题可以通过恒等式简单判断。
如果函数满足f(x+a)=f(-x+a)，那么它是偶函数，对称轴为x=a，周期为T=2a。
如果函数满足f(x+a)=-f(-x+a)，那么它是奇函数，对称中心为(a,0)。
如果函数满足f(a-x)=f(b+x)，那么它的对称轴为x=(a+b)/2，周期为T=|b-a|。
如果函数满足f(x+a)=-f(x-a)，那么它的对称中心为(a,0)，周期为T=2a。
需要注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别，对称轴或对称中心的位置可以通过对应法则求得。
例如，对于已知定义在实数集上的奇函数f(x)，满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为-1.又如，如果函数f(x)对于任意实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于x=1对称。
练1：如果函数y=f(x+1)是偶函数，则y=f(x)的图像关于x=1对称。
练2：如果函数y=f(x)满足11f(x+3)=-f(x)，且f(3)=1，则f(2010)=-1/2.23、已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，且当x>2时，f(x)=2x-3，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 2f(3)+f(1)+f(5)=2(2×3-3)+2×1-3+2×5-3= 8.4、已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当-1≤x≤1时，f(x)=x。
要求求出f(7.5)的值。
由奇函数的定义可知，f(5.5)=f(-5.5)，即f(7.5)=f(-7.5)。
又因为f(x+4)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)，所以f(x+4k)=f(x)，其中k为整数。
故f(-7.5)=f(-7.5+4×2)=f(0)=-f(0)，即f(0)=0.又f(1)+f(-1)=0，所以f(1)=-f(-1)。
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[例 3] 设 f (x) 是定义在 R 上的函数， x R 均有 f (x) f (x 2) 0 当 1 x 1 时 f (x) 2x 1，求当1 x 3 时， f (x) 的解析式。
解：由 x R 有 f (x) f (x 2) 得T 4
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由①②得： f [x (a b)] f [x (b a)]
∴ f [x (a b)] f [x (b a)] ∴ T 2 b a
4. 若 f (a x) f (b x) 则 f (x) 图象的对称轴为 x a b 2
f ( )
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论直线Ax By ^0成轴对称;2Ax By C =0成轴对称。
9, y_2B(A X + B 罗C))= o 关于直线③ F (x, y) = 0与F (x _经A 二二2 A 2 B 2Ax ? By ? C =0成轴对称。
、函数对称性的几个重要结论(一)函数y = f(x)图象本身的对称性(自身对称)若f(x a^_f(x b)，则f(x)具有周期性；若f (a ?x)=：「f(b -x)，则f (x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a+x) = f(b —x) u y = f(x)图象关于直线 x =l a Z x LL (b _x) =a ￡b 对称2 2推论1: f (a ? x) = f (a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论2、f (x) = f (2a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论3、f(-x)二f (2a ? x) ：= y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称2、 f(a+x) + f (b —x) =2c 二y=f(x)的图象关于点(兰匕c)对称2推论 1、f (a ? x) ? f (a -x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f (x) ? f (2a - x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f (-x) ? f(2a ? x) =2b = y = f(x)的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y =f(x)与y = f(-x)图象关于Y 轴对称2、奇函数y =f(x)与y 二-f(-x)图象关于原点对称函数3、函数y = f (x)与y - - f (x)图象关于X 轴对称4、互为反函数y 二f (x)与函数y 二f'(x)图象关于直线y =x 对称② 函数…(x)与一2驚￥。
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。
一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。
2、 函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。
特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。
二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
抽象函数周期性对称性相关定理全总结
抽象函数周期与对称轴的相关结论抽象函数的周期与对称轴重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题f (x) f (x b a)b a令 x x 代入 f (a x) f (b2a ba b 、x)则 f(x) f(x)22令 x b —a x 代入 f (a x) f (b x) 2则 f (a b2【几个重要的结论】三、具体内容 1.若 f(x) f(x T)则f(x)的周期为T 。
2.若f(xa)f (x b)则f (x)的周期为T3.若 f(x a) f(xb)则 f(x)的周期T 2b a 。
证：f(x) f(x b a) 4.右证： f(xa b) f(x) 由①②得:x (a b) f x (ba)x (ab)(b a)2bf (a x) f (bx)则f (x)图象的对称轴为a b要证原结论成立只需证 f(a b x) 2a b。
2 fU x) 2 5.若f (a x) f(b x)则 f(x)的图象,b,0为对称中心。
证：a方法一：要证原结论成立只需证 f(-x)x)方法二：设f (x)它的图象为P(x °, y o ) 则P 关于点 -—,0的对称点2P (a b x °, y o )f (a b X 。
) a (b X 。
) f b (b X 。
)f(x 。
)••• f(x 。
) y o••• f (a b X 。
)y o一、 教学内容 二、 教学重、难证：x) f 号 x)(一)函数图象本身的对称性( 自身对称)1、函数y f(x)满足f(T x) f(T x) (T为常数)的充要条件是y f (x)的图象关于直线x T对称。
2、函数y f(x)满足f(x) f(2T x)(T为常数)的充要条件是y f (x)的图象关于直线x T对称。
3、函数y f (x)满足f (a x) f (b x)的充要条件是y f (x)图象关于直线x - b对称。
高中数学 抽象函数的周期与对称轴
智愛高中數學 抽象函数的周期与对称轴一. 内容：抽象函数的周期与对称轴二. 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。
三. 具体内容1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。
2. 若)()(x b f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -= 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=3. )()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ①令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+-∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴a b T -=2 4. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2ba x +=证：要证原结论成立，只需证)2()2(x b a f x b a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则 )2()2(x b a f x b a f -+=++ 5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2(b a +为对称中心。
证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 令2a b x x -+=代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为CC y x P ∈∀),(00则P 关于点)0,2(b a +的对称点),(00y x b a P --+')()]([)]([)(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+ ∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C P ∈'【典型例题】[例1] 对于)(x f y =，R x ∈有下列命题。
抽象函数周期性对称性相关定理全总结
抽象函数周期与对称轴的相关结论一、教学内容 抽象函数的周期与对称轴二、教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题三、具体内容1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。
2. 若)()(b x f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -=。
证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=3. 若)()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2。
证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ①令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得： [][])()(a b x f b a x f -+-=-+-∴[][])()(a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=24. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2b a x +=。
证：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+=++ 5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以⎪⎭⎫⎝⎛+0,2b a 为对称中心。
证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为CC y x P ∈∀),(00 则P 关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2b a 的对称点),(00'y x b a P --+‘[][])()()()(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C '∈P【几个重要的结论】（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。
抽象函数奇偶性对称性周期性和三角函数常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值，特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于/(x)定义域内的每一个X,都存在非零常数7,使得/(x+T) = 7。
)恒成立，则称函数/*)具有周期性，7叫做/(x)的一个周期，则ZT (&£Z,Zw())也是/(幻的周期，所有周期中的最小正数叫了(元)的最小正周期。
分段函数的周期：设y = /(尢)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:y =/(x),XE[a,b\T = h-a o把丁 = /(x)沿x轴平移KT = KS-〃)个单位即按向量。
=(左7,0)平移，即得= /(x)在其他周期的图像:y = f{x-kT),x^ [kT+a,kT+h] o/(x) xe[a,b]f(x-kT)xe[kT + a,kT4-b]2、奇偶函数:设y = /(x)，x £ [a,h^x G [-"一司U [a,b]①若/(-x) = 一/(x),贝I称y = /(x)为奇函数；②若/(-x) = /(%)则称y = /5)为偶函数。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：(1)中心对称即点对称：①点A(x, y)与3(2〃 - x,2b - y)关于点(。
,〃)对称；②点A(a -x,b- y)与倒。
+ x力+ y)关于(。
,〃)对称；③函数y = f(x)^2b -y = /(2q-x)关于点(〃,b)成中心对称；④函数y = /(4-工)与/? + 丁 = /(4 + X)关于点(4,/?)成中心对称;⑤函数/(羽丁)= 0与尸(24-工,20-丁)= 0关于点(4/)成中心对称。
抽象函数的奇偶性、周期性和对称性
抽象函数的奇偶性、周期性和对称性一、奇偶性1、奇函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么 函数()f x 就叫做奇函数。
（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-；（3）图象特征：奇函数图象关于原点对称。
（这是判断奇函数的直观方法）2、偶函数定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数 ()f x 就叫做偶函数。
（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f =-； （3）图象特征：偶函数图象关于y 轴对称。
（这是判断偶函数的直观方法） 二、周期性周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期，并不是所有周期函数都存在最小正周期。
例如，狄利克雷函数，当x 为有理数时，()f x 取1；当x 为非有理数时，()f x 取0。
（1）如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。
（2）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期的周期函数。
（3）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期的三、对称性1、函数图象本身的对称性（自身对称）题设：函数)(x f y =对定义域内一切x 来说，其中a 为常数，函数)(x f y =满足： （1）)()(x a f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线a x =成轴对称； （2）)()2(x f x a f =-⇔函数)(x f y =的图象关于直线a x =成轴对称；（3）)()(x b f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=成轴对称； （4）)(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称（偶函数）； （5）)(2)2(x f b x a f -=-⇔函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称； （6）)(x f -=—)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点成中心对称（奇函数）；（7）如果函数)(x f y=满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的 常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数；（8）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期（9）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期 的周期函数。
抽象函数奇偶性对称性周期性总结 知识点
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),(Y --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解
高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =；④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =−，则()()()00f f x f x =+−=，∴()()f x f x −=−，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x −>，∴()()()12120f x x f x f x −=+−<，则()()()122f x f x f x <−−=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．例2、（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤−−<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（ ） A ．()3,1−B ．()()3,11,1−−−C ．()(),11,1−∞−− D ．()(),31,−∞−⋃+∞ 【答案】B【解析】由()()121221()[]0f x f x x x x x −−<，得()()11221212()[]0x f x x f x x x x x −−<， 因为121200x x x x −>>，，所以()()11220x f x x f x −<，即()()1122x f x x f x <，设()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递减，而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==，则012x <+<，解得：11x −<<；因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x −=−−==，则()g x 为R 上的偶函数，故()g x 在(,0)−∞上单调递增，()()()()11142g x x f x g +=++>=−，则210x −<+<，解得：31x −<<−；综上，原不等式的解集为(),111)3(,−−−．故选：B ．例4、（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =−，12b f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】 由函数()f x 的图像关于直线1x =对称可得()()31f f =−，结合奇函数的性质可知 ()3a f =−()()()311f f f =−=−−=，()()200c f f ===．由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1−上单调递增， 所以()()1012f f f ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭， 所以b c a <<．故选：C例5、（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x −=−，则方程()11f x x =−在区间[]3,5−上所有解的和为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】A【解析】 解：因为函数()f x 满足()()2f x f x −=，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称， 又函数()f x 为偶函数，所以()()()2−==−f x f x f x ，所以函数()f x 是周期为2的函数， 又1()1g x x =−的图像也关于直线1x =对称， 作出函数()f x 与()g x 在区间[]3,5−上的图像，如图所示：由图可知，函数()f x 与()g x 的图像在区间[]3,5−上有8个交点，且关于直线1x =对称， 所以方程。
高中数学-抽象函数的周期与对称轴
抽象函数的周期与对称轴一. 内容：抽象函数的周期与对称轴二. 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。
三. 具体内容1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。
2. 若)()(x b f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -= 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=3. )()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ① 令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+- ∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=2 4. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2ba x +=证：要证原结论成立，只需证)2()2(x ba f xb a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则 )2()2(x ba f xb a f -+=++5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2(ba +为对称中心。
证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++令2a b x x -+=代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x ba f xb a f -+-=++方法二：设)(x f y =它的图象为CC y x P ∈∀),(00则P 关于点)0,2(b a +的对称点),(00y x b a P --+' )()]([)]([)(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C P ∈'【典型例题】[例1] 对于)(x f y =，R x ∈有下列命题。
复习专题5--抽象函数的奇偶性周期性对称性
复习专题5--抽象函数的奇偶性周期性对称性抽象函数的奇偶性、周期性和对称性是数学中重要的概念，它们用来描述函数的特点和性质。
在本文中，我们将对这些概念进行复习和详细解释。
首先，我们来复习抽象函数的奇偶性。
奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(-x)与f(x)有相反的符号。
奇函数的图像关于原点对称，通常呈现出关于原点对称的特点。
例如，f(x)=x^3是一个奇函数，因为f(-x)=-x^3、对于奇函数，如果其函数图像在原点通过，则其图像也必然经过一些关于原点对称的点。
与奇函数相对的是偶函数。
偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(-x)与f(x)相等。
偶函数的图像关于y轴对称，通常呈现出关于y轴对称的特点。
例如，f(x)=x^2是一个偶函数，因为f(-x)=(-x)^2=x^2、对于偶函数，如果其函数图像在y轴通过，则其图像在整个y轴上对称。
接下来，我们来复习抽象函数的周期性。
周期函数是指满足f(x+T)= f(x)的函数，其中T是一个常数，称为函数的周期，函数定义域内的任意x都满足这个条件。
周期函数的特点是其函数图像在横坐标上以一定的间隔重复出现。
例如，f(x) = sin(x)是一个周期函数，它的周期是2π，即对于任意x，f(x+2π) = sin(x)。
最后，我们来复习抽象函数的对称性。
对称函数是指满足f(x)=f(-x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(x)与f(-x)相等。
对称函数的图像有一个对称轴，即对于任意在对称轴上的点x，其关于对称轴的对称点也属于函数的图像。
例如，f(x)=x^4是一个对称函数，因为f(x)=f(-x)=x^4、对称函数的对称轴可以是y轴、原点或其他直线。
综上所述，奇偶性、周期性和对称性是抽象函数重要的特性。
它们可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像，并在解决问题中起到指导作用。
抽象函数背景下的对称性、周期性以及“类周期性”
图③图①图②抽象函数背景下的对称性、周期性以及“类周期性” 在高中数学的学习中，每个学生都或多或少的遇到过几次类似()()f a x f a x +=-亦或()()f x a f x b +=-+这类关于函数的抽象描述，大多数学生都能够通过积累经验后，认识到前式涉及到函数对称性，后式涉及到函数周期性。
但是大部分学生对于这类抽象表示依然不理解，那么有没有一种较为实在又准确的方式来理解它们并加以记忆呢？一、对称性：1.轴对称（1）. 以()()f x f x =-为引例：关于()()f x f x =-的理解方式和角度非常多，但这里我们统一为：该式子体现的是函数的两个函数值之间的关系，其对应的两个自变量分别为x 和x -。
那么()()f x f x =-可以解读为：互为相反的两个自变量（x 和x -）所对应的函数值相等。
下面我们通过取若干个常数x ，来模拟(),y f x x R =∈的图象分别取12x a =、、()a R ∈，则描点后图象必呈现出如图①所示的对称性：那么就不难理解用()()f x f x =-作为偶函数的定义，即图象关于y 轴呈轴对称。
（2）. 下面按照上述方式对()()11f x f x +=-加以解读首先注意到这两个函数值之间的关系依然是相等关系，而其涉及到的两个自变量分为1x -和1x +。
因为()()1112x x -++=，所以按照数轴上两点的中点坐标公式可得，这两个变化的自变量1x -和1x +始终保持着关于1x =对称的位置关系。
那么()()11f x f x +=-可以解读为：关于1x =对称的两个自变量对应的函数值始终相等。
模拟其图象易得其必呈现出图②的对称性。
且其对称轴1x =是以中点坐标公式的形式产生，非常方便理解和记忆。
（3）. 对于一般的()()f a x f a x +=-，由于()()2a x a x a ++-=，那么按照上述方式可以解读为：关于x a =对称的两个自变量所对应的函数值相等，易得函数()y f x =关于x a =呈轴对称。
浅析抽象函数的对称与周期
浅析抽象函数的对称与周期1 投象函数的对称定理1：定义在R上的函数y=f(x)，对于任意的x∈R，若有f(m+x)=f(n-x)成立（其中m,n为常数），则函数y=f(x)的图象关于直线x=m+n2对称。
定理2：定义在R上的函数y=f(x),对于任给的x∈R.若有f(m+x)=-f(n-x)成立（其中m,n为常数），则函数y=f(x)的图象关于点（m+n2,0)对称.以上定理证明略.推论1：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R，若有f(a+x)=f(a-x)成立（其中a为常数），则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.推论2：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R，若有f(a+x)=-f(a-x)成立（其中a为常数），则函数y=f(x)的图象关于点(a,0）对称.推论3：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R，若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则有f(a+x)=f(a-x).推论4：定义在R上的函数y=f(x),对于任给的x∈R，若函数y=f(x)的图象关于点（a,0)对称，则有f(a+x)=-f(a-x).2 抽象函数的周期周期函数的定义：一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时都有f(x+T)=f(x). 那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.定理3：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R,若有f(m+x)=f(n+x)成立（其中m,n为常数且m≠n)，则函数y=f(x)是周期函数.T=m-n 为函数的一个周期.定理4：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R，若有f(m+x)=-f(n+x)(或f(m+x)=±1f(n+x)成立（其中m,n为常且m≠n)，则函数y=f(x)是周期函数.T=2（m-n)为函数的一个周期.以上定理证明略.推论1：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R,若有f(x+a)=f(x-a)成立（其中a为常数且a≠0)，则函数y=f(x)是周其函数，T=2a为函数的一个周期。
抽象函数周期性、对称性、奇偶性
抽象函数周期性、对称性、奇偶性综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.一、基本定义1、定义1：（周期函数）对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么，函数()f x 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点仍在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =的图象关于点P （或直线l ）对称.3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点在函数()y g x =的图象上；反过来，函数()y g x =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点也在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =与()y g x =的图象关于点P （或直线l ）对称.二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明1、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=-恒成立，则函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数；2、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=-恒成立，则函数)(x f y =的图象关于直线2a bx +=对称；3、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=--恒成立，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b +对称；4、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=--恒成立，则函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数；5、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称；6、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 略证：1、 ()f x a b ++[()]f x b a =++[()]()f x b b f x =+-=，∴函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数.2、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2a b x +=对称.3、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2a b +的对称点为00(,)Q a b x y +--， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =---=-=-∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b+对称. 4、 (22)[(2)]f x a b f x a b a ++=+++[(2)]()f x a b b f x a b =-++-=-++[()]{[()]}()f x b a f x b b f x =-++=--+-=,∴函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数.5、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -=的对称点为00(,)Q b a x y --， 000[()]()f b b a x f a x y ---=+=∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称.6、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---， 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=-∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论1、若函数)(x f y =满足()()f x f x =-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；函数)(x f y =和函数()y f x =-的图象也关于y 轴对称.2、若函数)(x f y =满足()()f x f x =--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称；函数)(x f y =和函数()y f x =--的图象也关于原点对称.3、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；而函数()y f x a =-和函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称.4、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称.而函数()y f x a =-和函数()y f a x =--的图象关于点(,0)a 对称.5、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +=-，则函数)(x f y =的图象关于直线m x =对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =+的图象关于y 轴对称.6、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +-=-，则函数)(x f y =的图象关于点)0,(m 对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =-+的图象关于原点对称.7、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =-，则函数)(x f y =的图象关于直线x b =对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =-的图象也关于直线x b =对称.8、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =--，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)b 对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =--的图象也关于点(,0)b 对称.9、若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=-，则函数)(x f y =是以2T m =为周期的周期函数；若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=--，则函数)(x f y =是以4T m =为周期的周期函数.四、函数周期性与对称性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和()x b a b =>对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(,0)()b a b >对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(,0)()b a b ≠对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以4T a b =-为周期的周期函数.略证：1、 [2()]f x a b +-[(2)]f a x a b =++-[(2)]f a x a b =-+-=(2)f b x =-[()]f b b x =+-[()]()f b b x f x =--=，∴函数)(x f y =是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、3同理可证.五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.6、若偶函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.7、若奇函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.8、若奇函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.略证：1、由上述四中的第1点即可得函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数, 又()f x -[()]f a x a =-+[()]f a x a =++(2)f a x =+(2)f a x =-[()]f a a x =+-[()]()f a a x f x =--=∴函数)(x f y =是偶函数.2、3、4同理可证.5、6、7、8可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解.六、其它结论1、若函数()y f x a =+为偶函数，则函数)(x f y =的图象关于直线x a =对称.2、若函数()y f x a =+为奇函数，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)a 对称.注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解. 3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，且方程()0f x =恰有2n 个实根，则这2n 个实根的和为2na .4、定义在R 上的函数)(x f y =满足()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数，则函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 略证；任取x R ∈，令12,x a x x b x =+=-，则12x x a b +=+，12()()f x f x c +=，由中点公式知点11(,())x f x 与点22(,())x f x 关于点(,)22a b c+对称.由x 的任意性，知函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.注：上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.七、知识运用1、（2005·广东 19）设函数()f x 在（-∞，+∞）上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==。
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抽象函数的周期与对称轴一. 内容：抽象函数的周期与对称轴二. 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。
三. 具体内容1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。
2. 若)()(x b f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -= 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=3. )()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ①令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+-∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴a b T -=2 4. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2ba x +=证：要证原结论成立，只需证)2()2(x b a f x b a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则 )2()2(x b a f x b a f -+=++ 5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2(b a +为对称中心。
证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 令2a b x x -+=代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为CC y x P ∈∀),(00则P 关于点)0,2(b a +的对称点),(00y x b a P --+' )()]([)]([)(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C P ∈'【典型例题】[例1] 对于)(x f y =，R x ∈有下列命题。
（1）在同一坐标系下，函数)1(x f y +=与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。
（2）若)1()1(x f x f -=+且)2()2(x f x f +=-均成立，则)(x f 为偶函数。
（3）若)1()1(+=-x f x f 恒成立，则)(x f y =为周期函数。
（4）若)(x f 为单调增函数，则)(x a f y =（0>a 且1≠a ）也为单调增函数，其中正确的为？解：（2）（3）[例2] 若函数3)()(a x x f +=R x ∈∀有)1()1(x f x f --=+求)2()2(-+f f 。
解：R x ∈∀，)1()1(x f x f --=+知)(x f 的图象关于)0,1(对称而3)()(a x x f +=的对称中心)0,(a P - ∴ 1-=a∴ 3)1()(-=x x f 则26)3(1)2()2(3-=--=-+f f [例3] 设)(x f 是定义在R 上的函数，R x ∈∀均有0)2()(=++x f x f 当11≤<-x 时12)(-=x x f ，求当31≤<x 时，)(x f 的解析式。
解：由R x ∈∀有)2()(+-=x f x f 得4=T设]3,1(∈x 则]1,1()2(-∈-x)()2()42()2(x f x f x f x f -=+=+-=-∴ 52]1)2(2[)2()(+-=---=--=x x x f x f∴ 31≤<x 时52)(+-=x x f[例4] 已知)(x f 是定义在R 上的函数且满足1)1()(=-+x f x f ，当]1,0[∈x 时有2)(x x f =则（1）)(x f 是周期函数且周期为2（2）当]2,1[∈x 时，22)(x x x f -= （3）43)5,2004(=-f 其中正确的是？解：（1）（2）（3）[例5] 已知)(x f 满足)2()2(-=+x f x f ，)4()4(x f x f -=+，当26-≤≤-x 时，c bx x x f ++=2)(且13)4(-=-f ， 若)3(b f m =，)2(c f n =，)11(f p =求m 、n 、p 的大小关系？解：由已知得4=T ，对称轴4=x ∴ 4-=x 也为一条对称轴∴ 42-=-b ∴8=b由13)4(-=-f ∴134644-=-c ∴ 3=c ∴)38(f m =，)23(f n =，)3()11(f f p == ∴ p m n >> [例6] 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=求)35(πf 的值。
解：233sin )3()3()32()32()35(===-==+=πππππππf f f f f [例7] 设)(x f y =定义在R 上，R n m ∈∀，有)()()(n f m f n m f ⋅=+且当0>x 时，1)(0<<x f（1）求证：1)0(=f 且当0<x 时，1)(>x f（2）求证：)(x f 在R 上递减。
解： （1）在)()()(n f m f n m f ⋅=+中，令1=m ，0=n 得)0()1()1(f f f = ∵ 1)1(0<<f ∴ 1)0(=f设0<x ，则0>-x 令x m =，x n -=代入条件式 有)()()0(x f x f f -=而1)0(=f ∴ 1)(1)(>-=x f x f（2）设21x x <则012>-x x ∴ 1)(012<-<x x f令1x m =，2x n m =+则12x x n -=代入条件式得)()()(1212x x f x f x f -=即1)()(012<<x f x f ∴ )()(12x f x f < ∴ )(x f 在R 上递减【模拟试题】一. 选择1. 已知)(x f 满足)()3(x f x f =+，R x ∈且)(x f 是奇函数，若2)1(=f 则=)2000(f （ B ） A. 2 B. 2- C. 23+ D. 23-2. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)()4(x f x f =+对任何实数均成立，当20≤≤x 时，x x f =)(，当400398≤≤x 时，=)(x f （ C ）A. 400-xB. 398-xC. x -400D. x -3983. 若函数)sin(3)(ϕω+=x x f ，R x ∈∀都有)6()6(x f x f -=+ππ则)6(πf 等于（ D ）A. 0B. 3C. 3-D. 3或3-4. 函数)223cos(x y -=π是（ C ）A. 周期为π2的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为π的奇函数D. 周期为π4的奇函数5. )2sin(2)(θ+=x x f 的图象关于y 轴对称的充要条件是（ C ） A. 22ππθ+=k B. ππθ+=k 2 C. 2ππθ+=k D. ππθ+=k6. 如果)()(x f x f -=+π且)()(x f x f -=则)(x f 可以是（ D ） A. x 2sin B. x cos C.x sin D. x sin 7. )cos(3)sin(θθ-++=x x y 为偶函数的充要条件是（ B ）A. 32ππθ-=kB. 6ππθ-=kC. 62ππθ±=kD. 6ππθ+=k8. 设)(x f 是R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则=)5.7(f （ B ） A. 0.5 B. 5.0- C. 1.5 D. 5.1-9. 设c bx x x f ++=2)(，t x ∈∀有)2()2(t f t f -=+那么（ A ） A. )4()1()2(f f f << B. )4()2()1(f f f << C. )1()4()2(f f f <<D. )1()2()4(f f f <<10. )(x f y =定义在R 上，则)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（D ）A. 0=y 对称B. 0=x 对称C. 1=y 对称D. 1=x 对称二. 填空1. )(x f 是R 上的奇函数，且)()2(x f x f =+π，则)3()2()(πππf f f ++)2003(πf ++ = 0 。
2. 函数)32sin(π+=x y 的图象的对称轴中最靠近y 轴的是 。
12π=x3. )(x f 为奇函数，且当0>x 时，2)(-=x x x f 则当0<x 时=)(x f 。
2+x x4. 偶函数)(x f 的定义域为R ，且在)0,(-∞上是增函数，则（1）)1()43(2+->-a a f f （2）)1()43(2+-≥-a a f f（3）)1()43(2+-<-a a f f （4）)1()43(2+-≤-a a f f中正确的是 （2） 。
三. 解答题1. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，图象关于1=x 对称，1x ∀、]21,0[2∈x 都有)()()(2121x f x f x x f =+且0)1(>=a f（1）求)21(f 、)41(f （2）证明：)(x f 是周期函数 解：（1）∵ ]21,0[,21∈∀x x 都有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+ ∴ 0)2()2()(≥⋅=x f x f x f ]1,0[∈x ∵ 2)]21([)21()21()2121()1(f f f f f =⋅=+=∵ 21)21(a f =，2)]41([)4141()21(f f f =+=∴ 41)41(a f = （2）由已知)(x f 关于1=x 对称 ∴ )11()(x f x f -+=即)2()(x f x f -=，R x ∈ 又由)(x f 是偶函数知)()(x f x f =-，R x ∈ ∴ )2()(x f x f -=-，R x ∈将上式中x -以x 代换得)2()(+=x f x f ∴ )(x f 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期2. 如果函数)(x f y =的图象关于a x =和)(b a b x <=都对称，证明这个函数满足)(])(2[x f x b a f =+-证：∵ )(x f 关于a x =和b x =对称∴ )2()(x a f x f -=，)2()(x b f x f -=∴ )2()2(x b f x a f -=-令A x b =-2，则A b a x a +-=-)(22 ∴ )(])(2[A f A b a f =+-即)(])(2[x f x b a f =+-3. 已知c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)1()1(t f t f -=+，比较)21(f 与)2(f 的大小。