小波变换和数字图像处理中的应用

•不同a值下分析小波频率范围的变化
•小波变换的时频局部特性：
•频窗 •时窗
8.1.5 连续小波变换
尺度因子 的作用是将基本小波 越大 越宽。
做伸缩，
•小波的位移与伸缩
8.1.5 连续小波变换
•设
，当Fra Baidu bibliotek
满足允许条件时：
称
为一个“基小波”或“母小波”。
小波变换的含义是：
把基本小波(母小波)的函数 作位移后，再在不同尺度下与待 分析信号作内积，就可以得到一个小波序列。
的一组规范正交基，对 的反演式为一展开式：
8.2.2 二进小波及二进小波变换
在连续小波变换中，令参数 取连续值，则有二进小波：
而参数 仍
这时，
的二进小波变换定义为
目录
8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用
8.1.1 傅里叶变换
傅里叶变换：对于时域的常量函数，在频域 将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局 部化性质。
•傅里叶变 换
•反傅里叶变换
8.1.1 傅里叶变换
•时间
•x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);%产生50HZ和300HZ的信号 •f=x+3.5*randn(1,length(t));%在信号中加入白噪声
•8.1.3 小波变换
小波起源：
1984年Morlet提出;1985年Meyer构造出小波;1988年， Daubechies证明了离散小波的存在;1989年，Mallat提出多分 辨分析和二进小波变换的快速算法;1989年Coifman、 Meyer 引入小波包;1990年崔锦泰等构造出样条单正交小波基;1994 年Sweldens提出二代小波－提升格式小波(Lifting Scheme) 。
8.1 从傅里叶变换到小波变换的 时频分析法
•8.1.1 傅里叶变换
Fourier变换一直是信号处理领域中应用最广泛、 效果最好的一种分析手段，是时域到频域互相转化的 工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把对原 函数的研究转化为对其傅里叶变换的研究。但是傅里 叶变换只能提供信号在整个时间域上的频率，不能提 供信号在某个局部时间段上的频率信息。
8.2 小波变换分类
小波函数中
三个变量均为连续变量，称
为连续小波。可以对
三个变量施加不同的离
散化条件，并相应地对小波及小波变换进行分类。
其中，最重要的两种分类：
离散小波及离散小波变换
二进小波及二进小波变换
8.2.1 离散小波变换
如果设定
，则
对于任意函数 ：
，定义相应的离散小波变换为
如果这时 构成空间 于任一函数
相当于使镜头相对于 目标平行移动。
的作用相当于镜头向 目标推进或远离。
•小波变换的粗略解释
•由粗到 精
•多分辨 分析
•品质因数保持不变
•小波变换的时频分析特点：
小波变换的分析特点 (a) 尺度a不同时时域的变化 (b)尺度a不同时频域的变化
小波变换的多分辨分析特性：
•不同a值下小波分析区间的变化
小波定义：
“小”是指在时域具有紧支集或近似紧支集，“波”是指具有正负 交替的波动性，直流分量为0。
小波概念：是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数 。
•波与小波的差异：
•持续宽度相同
•振荡波
8.1.4 小波变换的时频分析
用镜头观察目标 (待分析信号)。
代表镜头所起的作 用(如滤波或卷积)。
小波变换和数字图像处理中 的应用
目录
8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用
连续情况时，小波序列为：
(基本小波的位移与尺度伸缩)
其中 为尺度参量， 为平移参量。
离散的情况，小波序列为 ：
•根据容许条件要求，当ω=0时，为使被积函数是有效值，必
须有
，所以可得到上式的等价条件为：
•此式表明 中不含直流，只含有交流，即具有震荡性，故 称为“波”，为了使 具有局部性，即在有限的区间之外很快 衰减为零，还必须加上一个衰减条件：
8.3 小波变换的多分辨分析特性
多分辨分析是小波分析中最重要的概念之一，它将一个函 数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分，并且多分 辨分析能提供一种构造小波的统一框架，提供函数分解与重构 的快速算法。由理想滤波器引入多分辨率分析的概念：
8.1.2 短时傅里叶变换
基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用 傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间 间隔存在的频率。 STFT的处理方法是对信号施加一个滑动窗(反映滑动 窗的位置)后，再作傅立叶变换。即：
•时限 •频限
8.1.2 短时傅里叶变换
8.1.2 短时傅里叶变换
短时傅里叶变换的分析特点 (a)频率变化的影响 (b) 基本分析单元的特点
•8.1.2 短时傅里叶变换
由于傅立叶变换无法作局部分析，为此，人 们提出了短时傅里叶变换（STFT）的概念，即窗
口傅里叶变换。
短时傅里叶变换将整个时间域分割成一些小 的等时间间隔，然后在每个时间段上用傅里叶分 析，它在一定程度上包含了时间频率信息，但由 于时间间隔不能调整，因而难以检测持续时间很 短、频率很高的脉冲信号的发生时刻。
衰减条件要求小波具有局部性，这种局部性称为“小”，所以称
为小波。
对于任意的函数
的连续小波变换定义为：
逆变换为： 是尺度因子， 反映位移。
8.1.6 连续小波的性质
线性 设：
平移不变性
若
，则
伸缩共变性
如果 的CWT是
则 的CWT是
冗余性(自相似性)
由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的
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8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用