高数 数项级数收敛性判别法总结论文

华北水利水电学院

高等数学（下）

课程名称：＿数项级数敛散性判别法总结＿＿

专业班级：＿＿＿＿2 0 1 1 0 0 7＿＿＿＿

成员：＿＿张吉 201100713＿＿＿＿

联系方式：＿＿150****5241＿＿

2012年5月23日

数项级数敛散性判别法总结

摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数收敛性判别法有很多，如：等比级数、调和级数的收敛性、比值辨别法、极值辨别法。比较判别法的极限的形成，比较判别法和交错判别法等。

关键词：数项级数 收敛性 判别法 一、数项级数的收敛性

定义２（高等数学 航空工业出版社 ｐ227）。如果 1U n n ∞

=∑

的

部分和数列 []n S 的极限存在，即：lim n →∞

n S =S

则称级数 1

U n n ∞=∑ 收敛 ，S 为级数 1

U n n ∞

=∑ 的和。记为：

1

2

3

1

U ......= S n

n n U U U

U ∞

==++++∑

如果 lim n →∞

n S 不存在，则称级数 1

U n n ∞

=∑ 发散。

二、等比级数的收敛性，总结如下：

等比级数（几何级数） n 0n

aq

∞

=∑

(0)a ≠

当 1q < 时，级数收敛，且和 S = n 0

n

aq

∞

=∑

1a q

=

- 当1q ≥ 时，级数发散。

讨论如下：等比级数 2

+n

a aq a a q q

aq =++ｎ

．．．＋ (0)a ≠ 的收

敛性：

当q ≠１时，部分和 2

+11a a aq a a q

q q

q --++==

-=ｎ１

ｎ

．．．＋（）ｎＳ

因此，当1q <时，lim n →∞

n S 1a

q

=

- 此时，级数收敛。 当 1q ＞ 时， lim n →∞

n S ∞＝ 此时级数发散。 当q 1=- 时，n 为奇数时，n a S = ，n 为偶数时，

0n S =。

故lim n →∞

n S 不存在。此时发散。

当ｑ＝１时，...()

n

a a a na n S =++=→∞→∞ ，故发散。

总结：常用的判别方法，只是用等比级数。 三、证明调和级数的敛散性。（反证法）

例如：证明 11

n n

∞

=∑ 是发散的。 证：假设调和级数 11n n

∞

=∑ 收敛，其和为S ，则2lim ()0

n n n S S →∞

=-=

然而，211111

...=123222n n n n n n n n S S -=

+++>+++

由上可知，

n →∞

时，有 02≥矛盾出现，因而假设不成立，

所以调和级数时发散的。 四、

性质1. 如果级数1

n Un

∞

=∑ 收敛于和S ，则它的各项乘以一

个常数K 所得的级数 1

n KUn

∞

=∑ 也收敛，且和尾 KS 。

性质2. 如果级数 1n Un ∞=∑ 1

n n θ∞

=∑ ，分别收敛于 1S 2S 则级数 1

(n)

n Un θ∞

=+∑ 也收敛，和为 12S S + 。 性质3. （两边夹定理）如果

Un n Wn θ≤≤，且1

n Un ∞=∑ 和 1

n Wn ∞

=∑

都收敛，则 1

n n θ∞

=∑ 也收敛 性质4. 在一个级数中任意去掉，增加或者改变有限项后，级

数的收敛性不会改变，但对于收敛级数，其和将会受到影响。

性质5. 如果级数1

n Un

∞

=∑收敛，则对于级数的项任意加括号后所得到得级数121(...)(1...)n nk nk u u u u u -+++++++仍收敛，且其和不变。

注意！：如果加括号后所得的级数收敛，则不能断定去括号后原来的

级数也收敛。例如：

(11)(11)...

-+-+ 收敛于零，但级数

却是发散的。

根据性质5可以推论出：如果加括号所得的级数发散，则原来的级数也发散，若原来的级数收敛，则加括号的级数仍收敛。

定理1. （级数收敛的必要条件） 如果级数1

n Un

∞

=∑收敛，则它的一

般项Un 趋近于零，即n lim 0

Un →∞

= 推论 ：如果n lim 0

Un →∞

≠（包括极限不存在），则级数 1

n Un

∞

=∑ 发

1111...-+-+

散。

总结 ： 此定理应用广泛。 五、积分判别法

对于P 级数 11

n np ∞

=∑ 有P 为实数，总结如下：当 1P > 时，

级数发散。当

1P ≤ 时，级数收敛。

总结：积分判别法时一种最普遍的方法。

定理[2.1] [高等数学：第三版 科学出版社]

六、比值判别法 已知级数 1

n n a ∞

=∑ （1）若 1lim

1

n n n l a a +→∞

=< ，则级数绝对收敛，从而收敛

（2）若 1lim 1n n n

l a a +→∞

=> ，或 1lim

n n n

a a +→∞

=+∞ 则级数发散

（3）若 1lim

1n n n

l a a

+→∞

== ， 则级数可能收敛，可能发散，需用其他

方法判别其收敛性。 例如：判别 1

31

3

n

n n ∞

=-∑ 的收敛性

解： 由于

1

n 13(1)1

3

U n n +++-=

，

3n 1

=

3

n

n U - ，

1

n 1n

3(1)1

1

lim lim

131

3

U 3

U

3

n n n n

n n ++→∞

→∞

+-==

<-