江苏省盐城中学2021届下学期高三一模数学模拟练习一

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江苏省盐城市2021届新高考数学一模考试卷含解析

江苏省盐城市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D 【解析】【分析】【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.2．已知定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（） A ．168 B ．249C ．411D ．561【答案】C 【解析】【分析】先确定解析式求出(2019)f 的函数值，然后判断出方程()()2019f x f =的最小实根的范围结合此时的5()3f x x =-，通过计算即可得到答案.【详解】当1x ≥时，()()33f x f x =，所以22()3()3()33x x f x f f ===L 3()3n n x f =，故当 +133n n x ≤≤时，[1,3]3n x ∈，所以()13,233(12)33,23n n nn n nx x x f x x x +⎧-≥⋅=--=⎨-<⋅⎩，而 672019[3,3]∈，所以662019(2019)3(12)3f =--=732109168-=，又当13x ≤≤时， ()f x 的极大值为1，所以当+133n n x ≤≤时，()f x 的极大值为3n ，设方程()168f x =的最小实根为t ，45168[3,3]∈，则56533(3,)2t +∈，即(243,468)t ∈，此时5()3f x x =-令5()3168f x x =-=，得243168411t =+=，所以最小实根为411. 故选：C. 【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题. 3．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+ D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+【答案】D 【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，a b a b -≥+.故本题答案为D. 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1【答案】A 【解析】【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 5．已知i 为虚数单位，若复数12i12iz +=+-，则z = A ．9i 5+B ．1i -C ．1i +D ．i -【答案】B 【解析】【分析】【详解】因为212i (12i)(2i)2i 4i 2i 1111i 2i (2i)(2i)5z ++++++=+=+=+=+--+，所以1i z =-，故选B ． 6．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2212x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（）A．⎛ ⎝⎭B．⎛ ⎝⎭⎝UC．2⎛ ⎝ D．22⎛⎛- ⎝⎭⎝U 【答案】D 【解析】【分析】设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，可得0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，联立直线l 与椭圆C 方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【详解】显然直线0x =不满足条件，故可设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2212860k x kx +++=，Q ()226424120k k ∆=-+>，∴解得2k >或2k <-，∴122812k x x k +=-+，122612x x k =+， Q 02POQ π<∠<，∴0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，∴()()1212121222OP OQ x x y y x x kx kx ⋅=+=+++u u u r u u u r()()21212124kx xk x x =++++()222222611610240121212k k k k k k+-=-+=>+++， ∴解得k <<∴直线l 的斜率k 的取值范围为k ⎛∈ ⎝⎭⎝U . 故选：D. 【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-【答案】C 【解析】【分析】在等比数列中，由11n n a a S qq-⋅=-即可表示之间的关系.【详解】由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112n nn n a a q a a q S -⋅-===---故选：C 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.8．已知函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（） A ．123x x x <，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，数形结合，即得解.【详解】函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点，即为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，作出y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的图象，如图所示，可知231x x x << 故选：C 【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.9．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】求得()f x 的导函数()'fx ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围. 【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-，要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =，则()2221x x m x ++=+，令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t+在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离1d =<，1>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径．即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外．故选：B【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题．11．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D【解析】【分析】根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假．【详解】在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的；在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：⨯=>，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；13.7%39.6%9.52%3%⨯=<，所以不在D中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%39.6%22.176%41%能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多．故选：D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆2，则双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．3【答案】B 【解析】【分析】根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论. 【详解】由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为by x a=，所以，00by x a=，又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即22200x y c +=，解得0x a =，0y b =，所以，12201223PF F S c y c b ∆=⋅⋅=⋅=，即3c =，即()22243c c a =-，所以，双曲线的离心率为2e =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省盐城中学2021届高三8月期初调研数学试题(PDF版)

D. (−∞, −1] ∪ [0, 1]
√ 8. 己知点 P(m, n) 是函数 y = −x2 − 2x 图像上的动点. 则 |4m + 3n − 21| 的最小值是
()
A. 25
B. 21
C. 20
D. 4
二. 多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
9. 己知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn = 2an − 2. 若存在两项 am，an，使得 aman = 64. 则下列结论正确的是 ( )
A. 双曲线的离心率为 5 3
C. △PF1F2 的面积为 36
B.
双曲线的新近线为
y
=
±
4 5
x
D. 点 P 到该双曲线左焦点的距离是 18
三. 填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分，共 20 分．
C1 B1
F
C B
()
13. 已知 (x + 1)10 = a1 + a2x + a3x2 + · · · + a11x10. 若数列 a1, a2, a3, · · · , ak(1 ⩽ k ⩽ 11, k ∈ Z) 是一个单调通增数列，则
A. 数列 {an} 为等比数列
B. 数列 {an} 为等差数列
C. m + n 为定值
ß™
D. 设数列 {bn} 的前 n 项和为 Tn, bn = log2 an，则数列
Tn n
为等差数列
10. 将函数 f(x) = sin
π 2x +
3
的图象向右平移 π 个单位长度得到 y = g(x) 的图象. 则下列判断正确的是 2

江苏省盐城市第一高级中学2021年高三数学理模拟试卷含解析

江苏省盐城市第一高级中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果执行如图的框图，运行的结果为A．B．3 C．D．4参考答案：B2. 已知数列为等差数列，且，，则（）A．45 B．43 C． 40 D．42参考答案：D，3. 若关于x，y的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A． B．或C． D．或参考答案：A 4. 定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B略5. 点P是曲线y=x2一1nx上任意一点，则点P到直线y=x－2的距离的最小值是A．1 B． C．2 D．2参考答案：6. 函数y=sin(2x+)的图象可以由函数y=cos2x的图象经过（）A．向右平移个单位长度得到B．向右平移个单位长度得到C．向左平移个单位长度得到D．向左平移个单位长度得到参考答案：【分析】根据函数图象的伸缩变换法则和平移变换法则，易得变换方式．【解答】解：函数y=cos2x的周期为π，向右平移四分之一个周期，即，可得函数y=sin2x的图象，在向左平移个单位，可得函数的图象，综上可得：函数的图象可以由函数y=cos2x的图象经过向右平移个单位长度得到，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数图象的变换，难度中档．7. 设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A． f（x）的图象过点（0，） B．f（x）的图象在[，]上递减C． f（x）的最大值为A D．f（x）的一个对称中心是点（，0）参考答案：D考点：三角函数的最值；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：由周期公式可先求ω，根据函数对称轴处取得函数最值，由函数的图象关于直线x=对称，可得sin（?+）=±1，代入可得?=，根据三角函数的性质逐个检验选项．解答：解：T=π，∴ω=2．∵图象关于直线x=对称，sin（φ+×2）=±1即×2+φ=+kπ，k∈Z又∵﹣＜φ＜，∴φ=∴f（x）=Asin（2x+）．再用检验法逐项验证．故选D点评：本题考查了三角函数的性质：周期公式的应用；三角函数对称轴的性质，正弦函数在对称轴处取得最值．8. 已知，则是的（）。

江苏省盐城市2021届新高考数学一月模拟试卷含解析

江苏省盐城市2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数x，y满足约束条件202201x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21yzx-=+的最小值为A．23-B．54-C．43-D．12-【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数21yzx-=+的几何意义为动点(),M x y到定点()1,2D-的斜率，利用数形结合即可得到z的最小值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数21yzx-=+的几何意义为动点(),M x y到定点()1,2D-的斜率，当M位于11,2A⎛⎫-⎪⎝⎭时，此时DA的斜率最小，此时1252114minz--==-+．故选B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．2．已知函数()23sin22cos1f x x x=-+，将()f x的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x=的图象，若()()129g x g x⋅=，则12x x-的值可能为（）A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式与辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数()y g x =的解析式为()2sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得函数()y g x =的值域为[]1,3-，结合条件()()129g x g x ⋅=，可得出()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，于是得出12x x -为函数()y g x =最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项. 【详解】函数()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，易知函数()y g x =的值域为[]1,3-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值，由()4262x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈；其中1x 、2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==．故选C ．【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=r u u u v u u u v u u u v ，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记i iSSλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（） A ．－1B ．1C ．32-D ．32【答案】D 【解析】【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312SS S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果.【详解】如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，所以12312S S S S ==+，由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=，当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立，所以0PE PF +=u u u r u u u r r，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=u u u r u u u r u u u r ，2PA PC PF +=u uu r u u u r u u u r ，将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r，所以11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，又已知0PA xPB yPC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可得12x y ==，从而132122x y +=+=. 故选：D 【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.4．数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．1021B ．2021C ．919D ．1819【答案】A 【解析】分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知1112n n a a +-=，进而可知121n a n =-，利用裂项相消法求和即可．详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴1112n na a +-=，又∵31a =5， ∴()3112n 32n 1n a a =+-=-，即121n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫=-=- ⎪-+⎝⎭，∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111111110112335192122121L ⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.5．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =U （） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞【答案】C 【解析】∵集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<， ∴A B ⋃= (],2-∞点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.6．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b a c <>>>，所以c b a <<.【详解】12()111e e x x xf x e -==-++Q 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.7．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列通项公式推导出λ131819dd-=+，由d ∈[1，2]，能求出实数λ取最大值．【详解】∵数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15， ∴1+3d+λ（1+9d ）+1+15d ＝15，解得λ1318d19d-=+，∵d ∈[1，2]，λ1318d 19d -==-+21519d++是减函数，∴d ＝1时，实数λ取最大值为λ13181192-==-+．故选D ．【点睛】本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤ 【答案】B 【解析】【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式．【详解】因为该程序图是计算11111246810++++值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．9．若平面向量,,a b c r r r，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=r r r r r r r ，则||c b -r r 的最大值为（）A ．523B ．523C ．2133D ．2133【答案】C 【解析】【分析】可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值. 【详解】由题意可得：()(2)c b c a b a b -=-++-r r r r r r r，2222|2|(2)||4||444164452a b a b a b a b -=-=+⋅-⋅=+⨯-⨯=r r r rr r r r Q|2|a b ∴-=r r2222||()[()(2)]|()(2)|c b c b c a b a b c a b a b ∴-=-=-++-=-++-r r r r r r r r r r r r r r22|||2|2|||2|cos ,2c a b a b c a b a b c a b a b =-++-+⋅-+⋅-⋅<-++>r r r r r r r r r r r r r r r3522cos ,2c a b a b =++<-++>r r r r r55cos ,2c a b a b =+<-++>r r r r r55+…2555223+=+⨯=Q ，故选：C 【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.10．下列命题为真命题的个数是（）（其中π，e 为无理数）32>；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】【分析】对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数()2ln ,03f x x x =->，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到()()f f e π>，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数()ln ,0f x e x x x =->，利用导数求得函数的最大值为()0f e =，进而得到()30f <，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于①中，由239,() 2.2524e ===，可得 2.25e >，根据不等式的性质，32>成立，所以是正确的；对于②中，设函数()2ln ,03f x x x =->，则()10f x x'=>，所以函数为单调递增函数，因为e π>，则()()ff e π>又由()221ln 10333f e e =-=-=>，所以()0f π>，即2ln 3π>，所以②不正确；对于③中，设函数()ln ,0f x e x x x =->，则()1e e xf x x x-'=-=，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当x e =时，函数取得最大值，最大值为()ln 0f e e e e =-=，所以()3ln330f e =-<，即ln33e <，即3ln 3e<，所以是正确的. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.11．已知向量(1,0)a =r ，b =r ，则与2a b -r r共线的单位向量为( )A ．1,22⎛- ⎝⎭B ．1,22⎛- ⎝⎭C ．21⎫-⎪⎪⎝⎭或21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎝⎭或12⎛- ⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题意得，(2=1a b -r r 设与2a b -r r共线的单位向量为(),x y ，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出,x y 即可得出答案. 【详解】因为(1,0)a =r ，b =r ，则()22,0a =r，所以(2=1a b -r r，设与2a b -r r共线的单位向量为(),x y ，则221y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以与2a b -r r共线的单位向量为1,2⎛ ⎝⎭或12⎛- ⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.12．已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（） A ．b c a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小. 【详解】因为331log log 2<=，所以12a <. 因为3＞e ，所以ln3ln 1b e =>=，因为00.991>->-，2xy =为增函数，所以0.991221c -=<< 所以b c a ＞＞，故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省盐城市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷含解析

江苏省盐城市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-，若()a c b -⊥，则n 等于（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】【分析】先求出(1,4)a c n -=-，再由()a c b -⊥，利用向量数量积等于0，从而求得n . 【详解】由题可知(1,4)a c n -=-，因为()a c b -⊥，所以有()12240n -⨯+⨯=，得5n =，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.2．数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．1021B ．2021C ．919D ．1819【答案】A 【解析】分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知1112n n a a +-=，进而可知121n a n =-，利用裂项相消法求和即可．详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴1112n n a a +-=，又∵31a =5，∴()3112n 32n 1n a a =+-=-，即121n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫=-=- ⎪-+⎝⎭， ∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2） n k n++()1n k n k=+-；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.3．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=（）A ．16B ．14C ．12D ．8【答案】B 【解析】【分析】取AM 中点O ，可确定0AM ON ⋅=；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得2AM ，利用()AM AN AM AO ON ⋅=⋅+可求得结果.【详解】取AM 中点O ，连接ON ，AN NM =，ON AM ∴⊥，即0AM ON ⋅=.60DAB ∠=，120ADM ∴∠=，()22222cos 416828AM DM DADM DA DM DA ADM ∴=-=+-⋅∠=++=，则()21142AM AN AM AO ON AM AO AM ON AM ⋅=⋅+=⋅+⋅==. 故选：B . 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.4．已知复数z 满足i z11=-，则z =（） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+iD ．1122i --【答案】B 【解析】【分析】利用复数的代数运算法则化简即可得到结论. 【详解】由i z11=-，得()()11111111222i i z i i i i ++====+--+，所以，1122z i =-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.5．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π【答案】D 【解析】【分析】根据底面为等边三角形，取BC 中点M ，可证明BC ⊥平面PAM ，从而BC PM ⊥，即可证明三棱锥P ABC -为正三棱锥.取底面等边ABC ∆的重心为O '，可求得P 到平面ABC 的距离，画出几何关系，设球心为O ，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积. 【详解】设M 为BC 中点，ABC ∆是等边三角形，所以AM BC ⊥，又因为PA BC ⊥，且PAAM A =，所以BC ⊥平面PAM ，则BC PM ⊥，由三线合一性质可知,PB PA PC ==所以三棱锥P ABC -为正三棱锥，AB =PA PB PC === 设底面等边ABC ∆的重心为O '，可得226433AO AM'==⨯=，2220162PO PA AO'=-'=-=，所以三棱锥P ABC-的外接球球心在面ABC下方，设为O，如下图所示：由球的性质可知，PO⊥平面ABC，且,,P O O'在同一直线上，设球的半径为R，在Rt AOO∆'中，222AO AO OO='+'，即()22162R R=+-，解得5R=，所以三棱锥P ABC-的外接球表面积为24425100S Rπππ==⨯=，故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.6．已知n S是等差数列{}n a的前n项和，若201820202019S S S<<，设12n n n nb a a a++=，则数列1nb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和nT取最大值时n的值为( )A．2020 B．20l9 C．2018 D．2017【答案】B【解析】【分析】根据题意计算20190a>，2020a<，20192020a a+>，计算20181b<，20191b>，2018201911b b+>，得到答案.【详解】nS是等差数列{}n a的前n项和，若201820202019S S S<<，故20190a >，20200a <，201920200a a +>，12n n n n b a a a ++=，故1211n n n n a a b a ++=，当2017n ≤时，10n b >，2018201820192020110a a a b =<，2019201920202021110a a a b =>， 2019202020182019201820192020201920202021201820192020202111110b a a a a a a a a a a a a b ++=+=>，当2020n ≥时，10nb <，故前2019项和最大. 故选：B . 【点睛】本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 7．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】【详解】由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±，因为1()ln ||1x f x x --==+1ln ||()1xf x x+-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除选项B ；又(1.1)ln 211f =>，(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C ，故选D ．8．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（） A ．48 B ．60C ．72D ．120【答案】A 【解析】【分析】对数字2分类讨论，结合数字135，，中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论【详解】数字2出现在第2位时，数字135，，中相邻的数字出现在第34，位或者45，位，共有22232212C A A =个数字2出现在第4位时，同理也有12个数字2出现在第3位时，数字135，，中相邻的数字出现在第12，位或者45，位，共有1222232224C C A A =个故满足条件的不同的五位数的个数是48个故选A 【点睛】本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题。

江苏省盐城中学2021届高三下学期全真模拟数学试卷及参考答案

盐城中学2021届高三全仿真模拟考试数学一、单项选择题：1.已知集合{}2320A x x x =-+≥，(){}321B x log x =+<,则A B ⋂=( )A ．{}12x x x 或≤≥ B ．{}21x x -<<C ．{}1x x <D ．∅2. i 为虚数单位，1sin cos55z i ππ=+，222cossin 55z i ππ=+，则12z z =（） A. 1B. 2C.2D.23. 设1e ，2e 是两个不共线的平面向量，若1232a e e =-，12b e ke =+，且a 与b 共线，则实数k 的值为（） A. 12-B.12C. 23-D.234．把5名志愿者分配到三个不同的社区，每个社区至少有一个志愿者，其中甲社区恰有1名志愿者的分法有（） A ．14种B ．35种C ．70种D ．100种5. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程，比如在表达式11111+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得152x =，类似上述过程及方法.77++的值为（）A.131+ B.291+ C. 7D. 226.已知随机变量()2~,N ξμσ，有下列四个命题：甲：()()112P a a P a a ξξ<<+<+<<+ 乙：()0.5P a ξ>=丙：()P a ξ≤=0.5丁：()()12P a P a ξξ<->>+ 如果只有一个假命题，则该命题为（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7.已知函数()f x 的大致图象如下，下列答案中e 为自然对数的底数，则函数()f x 的解析式可能为（） A ．()x exx f =B ．()x ex x f 1+=C ．()x x e e x f --=2D ．()xx x x e e e e x f ---+=8.已知函数()211ln x f x k x k x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)2,k ∈+∞，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y ，使曲线()y f x =在,M N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为（） A ．4,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．8,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．4,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．8,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多项选择题：9.下列命题为真命题的是（）A.若0>>b a ，则22bc ac >B.若0<>C ．若0>>b a ，且0<c ，则22b c a c >D ．若b a >，则b a 11<10.从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A ．2个球都是红球的概率为16 B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为1211.已知2()12cos ()(0)3f x x πωω=-+＞，下面结论正确的是（）A ．若()()1,121-==x f x f ，且12x x -的最小值为π，则2=ωB ．存在()3,1∈ω，使得()x f 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称 C ．若()x f 在[]π2,0上恰有7个零点，则ω的取值范围是4147[,)2424D ．若()x f 在[,]64ππ-上单调递增，则ω的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛32,012.在长方体1111ABCD A BC D -中，32=AB ，12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（） A. 对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥B. 对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥C. 当1AR AC ⊥时，1AR D R ⊥ D. 当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若215S S =，8332a a +=，则16S = . 14.已知函数()x x f sin =，若对任意R x ∈都有()()0=++m x f x f ，则常数m 的一个取值为 .15.()()612++x x 的展开式中，3x 项的系数为；所有项系数的和为 .16.已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点F 到其准线的距离为4，圆()12:22=+-y x M ，过F 的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ，P ，Q ，B 四点，则BQ AP 4+的最小值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(10分)已知数列{}n a 各项均为正数，满足11a =，22112()n n n n a a a a ++=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记11++=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. (12分)在cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin2A Cb A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,满足________________，且4=+c a ，32=b 求ABC ∆的面积.19. (12分)在如图所示的圆柱21O O 中，AB 为圆1O 的直径，D C ,是弧AB 的两个三等分点，GB FC EA ,,都是圆柱21O O 的母线．（1）求证：//1FO 平面ADE ；（2）设1=BC ，已知直线AF 与平面ACB 所成的角为︒30，求二面角C FB A --的余弦值．20. (12分)近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共95份有效问卷，40名男性中有10名不愿意接种疫苗，55名女性中有5名不愿意接种疫苗．愿意接种不愿意接种合计男女合计为是否愿意接种疫苗与性别有关?（2）从不愿意接种的15份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：有3份身体原因不能接种；有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种；有4份担心疫苗的有效性；有6份担心疫苗的安全性．求从这15份问卷中随机选出2份，在已知至少有一份担心疫苗安全性的条件下，另一份是担心疫苗有效性的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k >0.050 0.010 0.005 k3.8416.6357.87921. (12分)已知抛物线D 的顶点是椭圆13422=+y x 的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．（1）求抛物线D 的方程；（2）已知动直线l 过点()0,4p ，交抛物线D 于A 、B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．22. (12分)已知0a >，函数()ln xf x x=，1g x ax ．（1）当a 为何值时，直线()y g x =是曲线()y f x =的切线；（2）是否存在实数a ，使得()()g x a f ax ≥⋅恒成立？若存在，求实数a 的取值集合；若不存在，请说明理由．盐城中学2021届高三全仿真模拟考试数学试卷参考答案一、单项选择题： 01-08 BACCBADB二、多项选择题：9.BC 10.ACD. 11.BCD 12. ABD三、填空题：13. 16014.π（答案不唯一，只要是(21)k π+即可） 15 55，192 16. 13,四、解答题：17.（1）由题意，得()22112n n n n a a a a ++-=+，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++-=+，又数列{}n a 的各项均为正数，即10n n a a ++≠，则12n n a a +-=， ∴{}n a 的公差为2，而11a =，故21n a n =-．（2）由（1）知n b ===，∴()()()()12131537521212n n S b b b n n ⎡⎤=+++=-+-+-+++--⎣⎦12=． 18.cos sin )sin sin B CA CB -=. 由sin sin()sin cos cos sin A BC B C B C =+=+，得sinsin sin B C C B =. 由0C π<<，得sin 0C ≠. 所以sin B B =. 又cos 0B ≠所以tan B =又0B π<<，得23B π=. 由余弦定理及b =22222cos 3a c ac π=+-，即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△142=⨯=【解析2】在横线上填写“22cos a c b C +=”.解：由22cos a c b C +=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C ++=. 又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以有2cos sin sin 0B C C +=. 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠. 从而有1cos 2B =-.又(0,)B π∈，所以23B π= 由余弦定理及23b =，得2222(23)2cos 3a c ac π=+- 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =. 所以113sin 43222ABCSac B ==⨯⨯=. 【解析3】在横线上填写“sin 3sin2A Cb A a +=” 解：由正弦定理，得sin sin 3sin sin 2BB A A π-=. 由0A π<<，得sin A θ≠，所以sin 3cos 2BB =由二倍角公式，得2sin cos 3cos 222B B B=.由022B π<<，得cos 02B ≠，所以3sin 22B =.所以23B π=，即23B π=. 由余弦定理及23b =，得2222(23)2cos 3a c ac π=+-. 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△13422=⨯⨯3=.19．【解答】（1）证明：连接O 1C ，O 1D ，因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以∠AO 1D ＝∠DO 1C ＝∠CO 6B ＝60°，所以O 1A ＝AD ＝DC ＝CO 1，所以四边形ADCO 1是平行四边形．因为EA ，FC 都是圆柱O 1O 2的母线，所以EA ∥FC ．所以平面FCO 8∥平面ADE ，因为FC 是圆柱O 1O 2的母线，所以FC ⊥平面ACB ，所以∠FAC 为直线AF 与平面ACB 所成的角，即∠FAC ＝30°．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，BC ＝1，所以，因为AC ⊥BC ，AC ⊥FC ，BC ∩FC ＝C ，BC 、FC ⊂平面FBC ，所以AC ⊥平面FBC ，在△FBC 内，作CH ⊥FB 于点H ，连接AH ．又AH ⊂平面ACH ，所以FB ⊥AH ，所以∠AHC 是二面角A ﹣FB ﹣C 的平面角．在Rt △ACH 中，，故二面角A ﹣FB ﹣C 的余弦值为．（）愿意接种不愿意接种合计男 30 10 40 女 50 5 55 合计801595()()()()()()22953055010 4.408 3.84140558015n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯＞有0095的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关．（2）设事件A 为至少有一份担心疫苗安全性，事件B 为另一份担心疫苗有效性，则()2921523135C P A C =-=,()1164215835C C P AB C ==, 所以()()()8835|232335P AB P B A P A ===. 21.（1）由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px （p ＞0）．椭圆22143x y +=中a 2﹣b 2＝4﹣3＝1，得c ＝1，∴抛物线的焦点为（1，0）， ∴2p=1，∴p ＝2，∴抛物线D 的方程为y 2＝4x ．（2）设存在直线m ：x ＝a 满足题意，则圆心11422x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，，过M 作直线x ＝a 的垂线，垂足为E ，设直线m 与圆M 的一个交点为G ，可得：|EG |2＝|MG |2﹣|ME |2，即|EG |2＝|MA |2﹣|ME |2()22112144()42x y x a -++=-- ()()()22112211441444x x y a x a --+=+++-()()2211114434x x a x a a x a a =-++-=-+-当a ＝3时，|EG |2＝3，此时直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值23因此存在直线m ：x ＝3满足题意 22.【解析】（1）因为()ln x f x x =，所以()'21ln x f x x -=，若直线()y g x =是曲线()y f x =的切线，设切点为000ln x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，此时切线方程为()00002ln 1ln x x y x x x x --=-，又()y g x =恒过()01-，，所以()200000ln 1ln 10x x x x x ---=-，即002ln +10x x -=，令()2ln +1h x x x =-，则()12ln1+110h =-=，且()h x 在()0+∞，上单调递增，所以方程002ln +10x x -=有唯一的解01x =，所以()'021l 11(1)n1f x a f '-====，所以当1a =时，直线()y g x =是曲线()y f x =的切线；（2）假设存在实数a ，使得()()g x a f ax ≥⋅恒成立，即()2ln 0a x x x a --≥恒成立.令()()2ln F x a x ax x =--，则2'21()ax x F x x--=，令2()21G x ax x =--，又0a >，则180a ∆=+>，所以()0G x =有两个不等根1x ，2x ，12102x x a=-<，不妨设120x x <<.所以()F x 在2(0,)x 上递减，在()2,x +∞上递增.所以22222()ln()0F x ax x ax =--≥成立. 因为2222()210G x ax x =--=，所以22212x ax x +=，所以()222211()ln 022x x F x F x x -+≥=-≥．令111()ln ln 2ln(1)222x x x H x x x x -+-=-=+-+，(1)(2)()2(1)x x H x x x '-+=-+，所以'()H x 在(0,1)有'()>0H x ，在(1,)+∞上有'()0H x <，所以()H x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减.所以()(1)0H x H ≤=.又()222211ln 022x x F x x -+=-≥，所以()20F x =，21x =. 代入22212x ax x +=，得1a =，所以存在实数a ，使得()()g x a f ax ≥⋅恒成立，此时1a =．。

盐城中学2021年高三数学一模模拟练习一

盐城中学2020-2021学年度高三一模数学模拟练习一 2021.02.18一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{}02x x <<，B ＝104x xx ⎧-⎫≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A B ＝（） A ．(0，1] B ．(0，1) C ．(0，4) D ．(0，4]2．复数z 满足z (1＋i)＝1﹣i ，则z 的虚部等于( )A ．﹣iB ．﹣1C ．0D ．13．设随机变量)1,(~μξN ，函数2()2f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，则P(0＜ξ≤1)＝（）附：若),(~2σμξN ，则P (μσ-＜X ≤μσ+)≈0.6826，P (2μσ-＜X ≤2μσ+)≈0.9544．A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.34134．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A ．1()1f x x =-B ．1()1f x x =- C ．21()1f x x =- D ．21()1f x x =+5． 2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO 或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（） A ．36种 B ．48种 C ．72种 D ．144种6．若函数()f x 满足：对定义域内任意的1x ，2x (1x ≠2x )，有1212()()2()2x x f x f x f ++>，则称函数()f x具有H 性质．则下列函数中不具有H 性质的是（）A ．1()()2x f x =B ．()ln f x x =C 2()(0)f x x x =≥D ．()tan (0)2f x x x π=≤<7．如图，已知F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，连接AF 2，BF 2，在△ABF 2中，sin2ABF 2∠＝14，2AB BF =，则双曲线C 的离心率为（） A ．3 B ．2 C ．3 D ．28．已知函数()(1)e x f x a x x =+-，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是（）A ．[12e -，334e )B ．[334e ，223e )C ．[223e ，12e )D ．[12e ，12)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分. 9．设a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，则（）A ．ab 的最大值为18B ．224a b +的最小值为12C ．12a b+的最小值为8 D ．24a b +的最小值为2210．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（） A ．数列{}n a 为等比数列 B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}1n a +为等比数列D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---11．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，且A(4p ，a )，3AF 2=.下列结论正确的是（）A ．p ＝4B ．2a =±C ．BF ＝3D ．△AOB 的面积为3212．已知函数()sin cos (sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（）A ．()f x 在(0，4π)上单调递增 B ．()f x 周期函数，且周期为2π C ．直线x ＝4π是()f x 的对称轴 D ．函数()()1g x f x =+在(﹣π，π)上有且仅有一个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．定义在实数集R 上的可导函数()f x 满足：(1)1f =，()20f x x '+>，其中()f x '是()f x 的导数，写出满足上述条件的一个函数．14．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BE EC =，CD 2CF =，则AE AF +=____________.315．A ，B ，C ，D 为球面上四点，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，以MN 为直径的球称为AB ，CD 的“伴随球”，若三棱锥A —BCD 的四个顶点在表面积为64π的球面上，它的两条边AB ，CD 的长度分别为27和43，则AB ，CD 的伴随球的体积的取值范围是16．如图所示，在平面直角坐标系中，250,Q ⎫⎛-⎪ ⎪⎝⎭，()3,0L -，圆Q 过坐标原点O ，圆L 与圆Q 外切.则（1）圆L 的半径等于__________；（2）已知过点L 和抛物线()220x py p =>焦点的直线与抛物线交于A ，B ，且3OA OB ⋅=-，则p =______．四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(3b ﹣c sinA)sinC ＝c (1﹣cosAcosC)．（1）求B 的值；（2）在①S △ABC ＝93，②A ＝4π，③a ＝2c 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若b ＝3，，求△ABC 的周长．18．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =-⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．如图，在四棱锥S —ABCD 中，侧面SCD 为钝角三角形且垂直于底面ABCD ，底面为直角梯形，且∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝12BC ，CD ＝SD ，点M 是SA 的中点．（1）求证：BD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60°，求SD 与平面MBD 所成角的正弦值．20．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974 年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为333⨯⨯的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒.（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y(秒) 与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：现用y ax=+作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒(精确到1) ? 参考数据（其中1iizx =）.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90︒，记顶面白色色块的个数为X，求X的分布列及数学期望()E X.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点A(2，3)，右顶点为B ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作两条直线分别交椭圆于点M ，N ，满足直线AM ，AN 的斜率之和为﹣3，求点B 到直线MN 距离的最大值．22．已知函数()(0)ln axf x a x=>．（1）当函数()f x 在1ex =处的切线斜率为﹣2时，求()f x 的单调减区间；（2）当x ＞1时，ln()e ln x x xa f x x≥⋅，求a 的取值范围．盐城中学2020-2021学年度高三一模数学模拟练习一答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9.【答案】ABD 10.【答案】 BD 11.【答案】BCD 12.【答案】BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13.【答案】2()2f x x x =-+ 14.【答案】3 15.【答案】[6π，1256π]16.【答案】 (1). (2). 2四、解答题：17. 【解析】（1）因为)cos cos 1(sin )sin 3(C A c C A c b -=-，可得0)cos(sin 3=-++c C A c C b ，即C B B C sin )cos sin 3(sin =-，因为),0(π∈C ，0sin ≠C 所以1)6sin(2cos sin 3=-=-πB B B ，即21)6sin(=-πB ，因为π<+c a ，解得6=+c a ，因此△ABC 的周长为9=++c b a ；若选择条件②4π=A ，在△ABC 中，由正弦定理可得3sin3sin sin sin π===CcB b A a 32=所以64sin32==πa ，2623)43sin(32+=+=ππc 所以△ABC 的周长为266323262336++=+++=++c b a ；若选择条件③c a 2=，由余弦定理可得21293cos 22=-+=ac c a π，所以222294c c c =-+，即32=c ，解得3=c ，32=a ，因此△ABC 的周长为333+=++c b a ．18. 【解析】（1）因为2n S n =所以)2()1(21≥-=-n n S n所以121-=-=-n S S a n n n )2(≥n ，当1=n 时，111==S a 适合上式，所以12-=n a n （2）若选①：因为2221)12()12(8)(8+-==+n n n a a n b n n n 22)12(1)12(1+--=n n所以222222)12(1)12(1...51313111+--++-+-=n n T n 若选②：因为nn n n n a b 2)12(2-=⋅=所以nn n n n T 2)12(2)32(...252321132⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=- 则14322)12(2)32(...2523212+⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T两式相减可得：121322)2(212822)12(22....22222+++⋅----+=⋅--⋅++⨯+⨯+=-n n n n n n n T12)32(6+⋅---=n n所以12)32(6+⋅-+=n n n T若选③：2)1(n b n n ⋅-= ，当n 为偶数时，])1([...)34()12()1(...4321222222222222--++-+-=+---+-+-=n n n n T n 2)1(2)123(212...73+=-+=-+++=n n n nn 当n 为奇数时，2)1(2)1(221+-=--=-=-n n n n n n T T n n 综上：2)1()1(+⋅-=n n T n n19. 【解析】（1）取BC 的中点E ，连接DE ，设AB ＝a ，则AD ＝a ，BC ＝2a ，BE ＝12BC ＝a ，∵∠ABC ＝90°，AD ∥BE ，AD ＝BE ，∴四边形ABED 是正方形，∴BD，DE ⊥BC ，DE ＝CE ＝a ， ∴a CD 2=，∴222BC CD BD =+，故BD ⊥CD ，∵平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD 平面ABCD ＝CD ，BD ⊂平面ABCD ，且BD ⊥CD ，∴BD ⊥平面SCD ；（2）过S 作SN ⊥CD ，交CD 延长线于N ，∵平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD 平面ABCD ＝CD ，SN ⊂平面SCD ，SN ⊥CD ， ∴SN ⊥平面ABCD ，∴∠SDN 为直线SD 与底面ABCD 所成的角，故∠SDN ＝60°， ∵SD ＝CD，∴DN ＝a 22，SN ＝26a ，以D 为原点，以DB ，DC ，及平面ABCD 的过点D 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D —xyz ，如图所示，则)0,0,2(a B ，)0,0,0(D ，)0,22,22(a a A -，)26,22,0(a a S - ∵M 是SA 的中点，)46,22,42(a a a M -∴ ∴)26,22,0(a a -=，)0,0,2(a =，)46,22,42(a a a DM -= 设平面MBD 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DB n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=046224202az ay ax ax ，令z ＝2可得)2,3,0(=n ， ∴14212726,cos =⨯=>=<a a， ∴SD 与平面MBD 所成角的正弦值为1421,cos |>=<．20. 【解析】（1）由题意可知：50721243032459999=++++++=y ，10055.05555.05037.075.18477712271^==⨯⨯-=--=∑∑==i i i ii zz yx yz b ，所以1337.010050=⨯-=-=z b y a ，因此y 关于x 的回归方程为xy 10013+=，所以最终每天魔方还原的平均速度y 约为13秒；（2）由题意可知：X 的可能取值为3，4，6，9，P （X ＝3）＝916614=⨯A ，P （X ＝4）92662`4=⨯=A ，P （X ＝6）9566)1(14121214=⨯++=A A A A ，P （X ＝9）91661212=⨯=A A ，所以X 的分布列为：数学期望为999969493)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E21【解析】（1）由题222224122491b c a a c b a c a b ⎧⎪+==⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪+=⎪⎩ 所以C 的标准方程为1121622=+y x （2）若直线MN 斜率不存在，设),(),,(0000y x N y x M -，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---+--=+0432323112160000002020y x x y x y y x ，此时N M ,重合，舍去. 若直线MN 斜率存在，设),(),,(2211y x N y x M t kx y MN ，：+=，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 1121622得04848)34(222=-+++t ktx x k ，所以21212228448,,04343kt t x x x x k k -+=-=∆>++ , 由题323232211-=--+--x y x y ，即323232211-=--++--+x t kx x t kx 化简得.0244))(92()32(2121=+-+--++t x x k t x x k因此.0244)348)(92(34484)32(222=+-+---++-+t k kt k t k t k 化简得0686822=---++t k t kt k 即0)24)(32(=++-+t k t k若032=-+t k ，则32+-=k t ，直线MN 过点)3,2(A ，舍去，所以024=++t k ，即24--=k t ，因此直线MN 过点)2,4(-P .又点)0,4(B ，所以点B 到直线MN 距离最大值即2=BP ,此时2-=y MN ：，符合题意.所以点B 到直线MN 距离最大值为222【解析】（1）()ln ax f x x=定义域为()()0,11,+∞．因为()''ln ax f x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以()f x 在1x e=处的切线斜率为2a -．所以1a =．所以()ln x f x x =，()''ln x f x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭()'0f x =，则x e =（2）由题()lnln x xx a f x e x ≥⋅对任意),1(+∞∈x 恒成立所以ln ln x ae x a ≥-对任意),1(+∞∈x 恒成立法一：所以()ln ln ln a x ea x x x +++≥+对任意),1(+∞∈x 恒成立所以()ln ln ln ln a x x e a x e x +++≥+对任意),1(+∞∈x 恒成立令()x g x e x =+ 则()()ln ln g a x g x +≥对任意),1(+∞∈x 恒成立因为()'10xg x e =+>，所以()g x 在R 上单调增所以ln ln a x x +≥对任意),1(+∞∈x 恒成立，所以()()max ln ln 1a x x x ≥->令()()ln 1h x x x x =->，因为()'1110x g x x x-=-=< 所以()g x 在(1,)+∞上单调递减，所以()()11g x g <=-所以ln 1a ≥-即1a e ≥法二：设)1(ln ln )(>+-=x a x ae x h x ，则01)(''1)('2>+=-=x ae x h x ae x h x x ，，所以)('x h 在),1(+∞单调递增，又1)1('-=ae h 若ea 1≥，则0)1('≥h ，所以0)('≥x h 恒成立，所以)('x h 在),1(+∞单调递增，又011ln )1(=-≥+=a ae h ，所以0)(≥x h 恒成立，符合题意. 若ea 10<<，则011ln )1(=-<+=a ae h ，不符合题意，舍去. 综上所述，e a 1≥.。

2021届江苏省盐城市滨海中学高三下学期高考模拟数学试题(解析版)

2021届江苏省盐城市滨海中学高三下学期高考模拟数学试题一、单选题1．已知集合A ={x |(x +1)(x -2)≤0}，B ={x ，则A ∩B =（） A ．[-1，0] B ．[0，1]C ．(0，2]D ．[0，2]【答案】D【分析】求解不等式化简集合A 、B ，然后直接利用交集运算得答案．【详解】解：(1)(2)0x x +-，12x ∴-，[]1,2A ∴=-，2<，04x ∴<，[)0,4B ∴=，[]0,2AB ∴=．故选：D ． 2．若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．1 B ．0C ．－12D ．－1【答案】D【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 【详解】设z ＝bi ，b ∈R 且b ≠0，则11iai++＝bi ，得到1＋i ＝－ab ＋bi ， ∴1＝－ab ，且1＝b ，解得a ＝－1. 故选：D.【点睛】本题考查复数的运算和纯虚数的概念.3．在8202111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为（） A ．2021 B ．28C ．28-D ．56-【答案】B【分析】利用二项式定理求出8202111x x ⎡⎤⎛⎫+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦、20211rx x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式，令20222r k -=，即可得出展开式中的2x 的系数.【详解】88202120211111x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的展开式的通项公式为202181rrC x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⋅20211rx x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为2022(1)k r k r kr C x ---⋅，08k r ≤≤≤ 令20222r k -=，可得2,0r k == 故展开式中的2x 的系数为2282(1)28C C -⋅= 故选：B【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由88202120211111x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦利用二项式定理进行求解. 4．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（）． A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【详解】试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ．【解析】比较大小5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级.现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m 个（m 为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是 A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】B【详解】分析：先根据等差数列列关于m 以及首项的不定方程，根据正整数解确定m 可能取法，最后根据古典概型概率公式求结果. 详解：设首项为1a ，因为和为80，所以11115+5480822a m m a ⨯⨯⨯=∴=-因为*1m a N ∈，，所以111111124681012147654321a a a a a a a m m m m m m m =======⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨=======⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩或或或或或或因此“公”恰好分得30个橘子的概率是17，选B.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.6．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为θ，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）．A ．75B ．17C ．7-D ．210-【答案】B【分析】由已知条件可得每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2、斜边的长度为10，设直角三角形的较大直角边为a ，另一直角边为2a -，勾股定理求出a 即可得直角三角形三边长，求出tan θ，代入两角和的正切公式即可得解.【详解】解：根据题意，每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2、斜边的长度为10，故设直角三角形较大直角边为a ，则另一直角边为2a -，所以()222100a a +-=，解方程得：8a =，∴4sin 5θ=，3cos 5θ=，则4tan 3θ=，∴πtan 11tan 41tan 7θθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭．故选：B.【点睛】本题考查知识的迁移应用，解题的关键在于根据题意，发现每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2、斜边的长度为10，进而列式计算，考查运算求解能力，是中档题.7．已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -->>的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，1F 关于直线l 的对称点1F '在以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为（） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】C【分析】根据对称性可得11221OF OF OF F F c ='=='=，可得02160F OF ∠'=，011120FOF ∠'=，渐近线的倾斜角为060，即可得3ba=，即可求离心率．【详解】解：如图，根据对称性可得11221OF OF OF F F c ''====， ∴2160F OF '∠=︒，11120FOF '∠=︒，所以渐近线的倾斜角为60°，3ba=，则双曲线C 的离心率为2212b a+=. 故选:C.【点睛】本题考查了双曲线的性质、离心率，考查转化能力．8．在三棱锥A BCD -中，5,2,2AC AD AB CD BC BD ====棱锥的外接球的半径为（） A ．2105B ．2103C ．253D ．25【答案】A【分析】若E 为CD 的中点，由题意推出CD ⊥面ABE 且CE DE =，即可知三棱锥A BCD -外接球的球心O 必在平面ABE 内，且△ABE 为等腰三角形，过A 作AH BE ⊥于H ，过O 作OF AH ⊥于F ，由正余弦定理求AH ，由OA OD R ==为棱锥外接球半径，结合勾股定理求出R 即可.【详解】由2,2CD BC BD ===，有222BC BD CD +=，即△CBD 为等腰直角三角形且90CBD ∠=︒，若E 为CD 的中点，O 为三棱锥A BCD -外接球的球心，连接,AE BE ，又5AC AD ==，∴,AE CD BE CD ⊥⊥，又BE AE E =，即知：CD ⊥面ABE 且CE DE =，∴三棱锥A BCD -外接球的球心O 必在平面ABE 内，又由上知：1,2BE AB AE ===，故2227cos 28AB AE BE BAE AB AE +-∠==⋅，即15sin BAE ∠=，过A 作AH BE ⊥于H ，过O 作OF AH ⊥于F ，由11sin 22AH BE AB AE BAE ⋅⋅=⋅⋅⋅∠，得15AH =，122BE EH OF ===，若三棱锥A BCD -外接球半径为R ，OE FH x ==， ∴2222151()()24OA AH FH OF x =-+=-+，22221OD OE DE x =+=+，又OA OD R ==，∴x =，故R =. 故选：A.【点睛】关键点点睛：首先由线面垂直且棱被平面平分，可确定球心的位置，再由正余弦定理求线段长，根据所得线段与外接球半径及其它线段的几何关系，求半径即可.二、多选题9．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若142318,12a a a a +=+=，则下列说法正确的是（）A ．2qB ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和的最大值为1 D ．数列{}2n S +是等比数列【答案】AD【分析】利用等比数列通项公式求解1a ，q ，进而求得lg n a ，n S ，2n S +，从而判断各选项．【详解】由等比数列通项公式得31412231(1)18()12a a a q a a a q q ⎧+=⋅+=⎨+=⋅+=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩，或11612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，又公比q 为整数，故122a q =⎧⎨=⎩，112n n n a q a -=⋅=，故A 选项正确； lg lg2lg2n n a n ==，故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故B 选项错误；数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项和公比为12的等比数列，故前n 项和为111221111212nn n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-< ⎪⎝⎭-，故C 选项错误；122n n S ++=，故{}2n S +为等比数列，即D 选项正确；故选：AD ．【点睛】本题的解题关键在于结合等比数列的通项公式求得基本量．10．已知2a b >，则（） A ．23b b a <- B ．3322a b a b ab +>+ C ．ab a b >+ D ．12112ab a b+>+ 【答案】BC【分析】根据不等式的性质，逐一判断即可．【详解】解：2a b >，A 错误，比如3a =，2b =，43>不成立；B ，()3322222()()()()0a b a b aba ab b a b a b a b +-+=---=-+>成立；C ，由1(1)(1)(1)1011b ab a b a b b b a b a b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--=--=--+> ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 成立， D ，1211(2)(2)022a b ab a b ab--+--=，故D 不成立，故选:BC .【点睛】本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等． 11．下列图象中，函数()xf x x a=+的图象可能是（） A ． B ． C ．D ．【答案】CD【分析】对()f x 分离常数可得：()1af x x a=-+，转化为反比例函数的形式，利用函数图像的变换可判断选项. 【详解】解：()1x af x x a x a==-++，则()1f x ≠，故排除AB ；当0a >时，图像关于(),1a -对称，且当x a >-时，()f x 在(),+a -∞上单调递增，则D 有可能；当0a <时，图像关于(),1a -对称，且当x a >-时，()f x 在(),+a -∞上单调递减，则C 有可能；故选：CD.【点睛】关键点点睛：()bf x x a=+，分母决定定义域，分子决定单调性；当0b >时，在各自区间单调递减；当0b <时，在各自区间单调递增.12．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足()01()12f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（）A ．01()12f x +=- B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在()0,303上的零点个数最少为202个【答案】AC【分析】由题意知()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，有01()12f x +=-且23πω=，进而可判断A 、B 、C 的正误，又[0,303]上共有101个周期，最多有203个零点，最少有202个零点，进而可知()0,303零点个数最少个数，即知D 的正误.【详解】由()01()12f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，∴()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，即01()12f x +=-，002(1)()3x x πωϕωϕω++-+==， ∴()f x 的最小正周期为23T πω==，故A 、C 正确，B 错误；在[0,303]上共有101个周期，若每个周期有两个零点时，共有202个零点，此时区间端点不为零点；若每个周期有三个零点时，共有203个零点，此时区间端点为零点； ∴()0,303上零点个数最少为201个，即每个周期有三个零点时，去掉区间的两个端点，故D 错误. 故选：AC.【点睛】关键点点睛：由条件推出()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，可确定01()2f x +及最小正周期，再由正弦函数的性质判断()0,303上零点个数，进而确定最少有多少个零点.三、填空题13．已知向量a b 、满足()1,2,1a b ==，且()00a b λλ+=<b +=______.【答案】【分析】设(),a x y =，由已知条件求出5b a =2b b +=，可直接求出.【详解】设(),a x y =，∵向量a b 、满足()1,2,1a b ==，且()00a b λλ+=<， ∴()()(),2,12,10a b x y x y λλλλ+=+=++=∴12010x y λλ=+=⎨⎪+=⎪⎩，即22211λλ--⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：λ=又0,=λλ<∴∵0a b λ+=，即0b +=22=2=221b b b +=+故答案为：【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单． 14．已知函数()f x 满足()()1f x f x =-+，当()0,1x ∈时，函数()3xf x =，则()13log 4f =______．【答案】94【分析】由()f x 满足()()1f x f x =-+，得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()1f x f x =-+，所以()()()()()2+1+1+1f x f x f x f x f x +==-=--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()()2f x f x =+，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，又由()0,1x ∈时，函数()3xf x =，且()()1f x f x =-+，则()13log 4f =()()3339log 4log 42log 4f f f ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭39log 4934==.故答案为：94．【点睛】方法点睛：函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.15．已知直线4(0,0)mx ny m n +=>>为圆()()22125x y -+-=的对称轴，则24m n +取得最小值时的m 值为______.【答案】2【分析】由直线为圆的对称轴得24m n +=，结合目标式可化为162444mnn n +=+，应用基本不等式求最小值，并确定等号成立的条件即可求m 的值. 【详解】由题设，圆心为(1,2)，且在4(0,0)mx ny m n +=>>上， ∴24m n +=，即42m n =-，∴1624484m n n n +=+≥=当且仅当1n =时等号成立，此时，422m n =-=. 故答案为：2. 16．对任意的1(,)x m ∈-+∞，不等式21mx n e x m +-≥恒成立，则nm的最小值为______. 【答案】22e-【分析】根据不等式恒成立，构造2()(0)mx n f x e x m +=-≠，有2()21mx n f x me +'=-，利用二阶导数研究()'f x 单调性，再讨论0m <、0m >时()f x 的单调性，进而确定()f x 在1(,)x m ∈-+∞上的最小值及对应m 、n 的关系式，将nm与所得关系式转化为直线与曲线相切的问题，求nm的最小值即可.【详解】令2()(0)mx n f x e x m +=-≠，则2()21mx n f x me +'=-，即22()40mx n f x m e +''=>，∴()'f x 单调递增，∴当0m <时，()0f x '<，即()f x 在1(,)x m∈-+∞上递减，而当x →+∞时，()f x →-∞，故不满足1()f x m≥；当0m >时，若()0f x '=得212mx n em +=，即ln(2)2n m x m+=-， ∴ln(2)2n m x m +<-时，()0f x '<，即()f x 递减；当ln(2)2n m x m+>-时，()0f x '>，即()f x 递增；若令n k m =，即nm k=，则：①当1ln(2)2n m m m +->-，即ln(2)2n m +>，2min 111()()n f x f e m m m-=-=+>恒成立；∴22n e m ->情况下n m 最小，即直线n m k =与曲线2()2n e g n -=相切，而2()2ne g n -'=-，∴01()g n k '=时，0022022n n n e e ---=，有01n =-，302e m =，则0302n m e =-；当1ln(2)2n m m m+-≤-，即ln(2)2n m +≤，min ln(2)1ln(2)1()()22n m n m f x f m m m+++=-=≥，得ln(2)1n m +≥，∴1222n n e e m --≤≤情况下n m 最小，即直线n m k =与曲线1()2ne g n -=相切，而1()2ne g n -'=-， ∴01()g n k '=时，0011022n n n e e ---=，有01n =-，202e m =，则0202n m e =-；∴综上：2322e e -<-，即nm 的最小值为22e -. 故答案为：22e -. 【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立，利用导数、分类讨论的方法判断()f x 单调性，并构造函数结合导数确定目标代数式中参数的关系，由所得条件中代数式的几何含义求最小值四、解答题17．如图，在ABC ∆中，4C π=，角B 的平分线BD 交AC 于点D ，设CBD θ∠=，其中1tan 2θ=．（1）求sin A ；（2）若28CA CB ⋅=，求AB 的长．【答案】（1）210；（2）5. 【分析】（1）根据tan θ求出sin θ和cos θ的值，利用角平分线和二倍角公式求出cos ABC ∠，即可求出sin A ；（2）根据正弦定理求出AC ，BC 的关系，利用向量的夹角公式求出AC ，可得BC ，正弦定理可得答案【详解】解：（1）由CBD θ∠=，且1tan 2θ=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，221sin cos ,sin cos 2θθθθ=+∴=22215cos cos cos 144θθθ+==， ∴cos sin 55θθ==，则4sin ABC sin 22sin cos 2555θθθ∠==== 243cos ABC 2cos 12155θ∴∠=-=⨯-=22234sin sin 2sin 2224455A πππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+=+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7210；（2）由正弦定理，得sin sin BC ACA ABC =∠，即472510BC AC=，72BC AC 8∴=，又2||||282CA CB CB CA ⋅=⋅=，||||282CB CA ∴⋅=，由上两式解得AC 42=，又由sin sin AB ACC ABC=∠，得4252AB AC=，解得5AB =【点睛】本题考查了二倍角公式和正弦定理的灵活运用和计算能力，是中档题． 18．如图，在直角梯形ABCD 中，AB //DC ，∠ABC =90°，AB =2DC =2BC ，E 为AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，使得点A 到点P 位置，且PE ⊥EB ，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点(与点B ，C 不重合).（1）求证：平面EMN ⊥平面PBC ；（2）是否存在点N ，使得二面角B ﹣EN ﹣M 的余弦值66？若存在，确定N 点位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，N 为BC 的中点.【分析】（1）根据题意，先证明EM ⊥平面PBC ，再利用面面垂直的判定定理，证明结论；（2）以E 为原点，EB ，ED ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设PE =EB =2，设N (2，m ，0)，求出平面EMN 的法向量，利用夹角公式求出m ，得到结论. 【详解】解：（1）证明：由PE ⊥EB ，PE ⊥ED ，EB ∩ED =E ，所以PE ⊥平面EBCD ，又BC ⊂平面EBCD ，故PE ⊥BC ，又BC ⊥BE ，故BC ⊥平面PEB ，EM ⊂平面PEB ，故EM ⊥BC ，又等腰三角形PEB ，EM ⊥PB ， BC ∩PB =B ，故EM ⊥平面PBC ， EM ⊂平面EMN ，故平面EMN ⊥平面PBC ；（2）假设存在点N ，使得二面角B ﹣EN ﹣M 的余弦值66. 以E 为原点，EB ED EP ，，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设PE =EB =2，设N (2，m ，0)，B (2，0，0)，D (0，2，0)， P (0，0，2)，C (2，2，0)，M (1，0，1)，(1,0,1)EM =，(2,0,0)EB =，(2,,0)EN m =，设平面EMN 的法向量为(,,)p x y z =，由.0.20m EM x z m EN x my ⎧=+=⎨=+=⎩，令x m =，得(,2,)p m m =--，平面BEN 的一个法向量为(001)n =，，，故()()222006cos ,2001p n mp n p nm m ⋅+-===⨯+-+-⨯++ 解得：m =1，故存在N 为BC 的中点.【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．19．近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评 100 30 130对车辆状况不满意40 30合计14060200（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据：2()P K k ≥0.150 0.1000.050 0.025 0.010 0.005 0.001k2.0723.841 5.0246.6357.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1) 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.(2)分布列见解析；EX =1.8（元）.【详解】试题分析：（1）由题意求得2K 的值，然后即可确定结论；（2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可．试题解析（1）由22⨯列联表的数据，有()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++ ()2200300012001406070130-=⨯⨯⨯220018146713⨯=⨯⨯⨯ 54008.4810.828637=≈<. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.（2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为310.X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，4.∵()239010100P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()121P X C == 13321010⨯=， ()122P X C==2131375102100⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，()123P X C == 111255⨯=， ()2114525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为：X 的数学期望为1210100EX =⨯+⨯ 34 1.8525+⨯+⨯=（元）. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，122n n S +=-，数列{}n b 满足：12b =，326b b -=，数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设()11nnnnc a b -=+，数列{}n c 的前n 项和为n T ．若对于任意n *∈N 均有k n T T ≤，求正整数k 的值．【答案】（1）2nn a =；()1n b n n =+；（2）1.【分析】（1）根据11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，由题中条件，即可求出{}n a 的通项公式；根据等差数列的通项公式，先求出n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，即可得出{}n b 的通项公式；（2）先由（1）得到()1121nn c n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法和分组求和的方法，求出n T ，讨论n 为奇数和n 为偶数，分别求出n T 最值或范围，即可得出结果. 【详解】（1）由题意知122n n S +=-，12a =，2n ≥时，12n n n n a S S -=-=；显然12a =也满足上式，故2nn a =；因为12b =，数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则32112213b b b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即3223b b =+，由3232623b b b b -=⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得23612b b =⎧⎨=⎩，所以等差数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为121b =，公差为21121b b -=，因此()211nb n n n=+-=+，所以()1n b n n =+；（2）由（1）可得：()111112121n nn c n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以1112211111111223112nnT n n ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+-+-++- ⎪ ⎪⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ 1111121113213231nnn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+-=⨯-+-⎢⎥ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦； ①当n 为奇数时，21113132nn T n ⎛⎫=--⨯ ⎪+⎝⎭，又n T 随n 增加而增加，此时()1min 0n T T ==．②当n 为偶数时，11213231nn T n ⎛⎫=⨯+- ⎪+⎝⎭，令()2131f n n =-+，则()()123f n f ≥=， ∴当n 为偶数时，恒有0n T >．综合①②可知()1min 0n T T ==，∴满足题意的1k =．【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列；（2）无理型1n k nkn n k+-=++；（3）指数型()11nn n a a a a +-=-；（4）对数型11log log log n aa n a n na a a a ++=-. 21．如图，已知()1,2M 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，过点()2,2D -的直线与抛物线C 交于AB 两点（AB 两点异于M ），记直线AM ，BM 的料率分别为1k ，2k（1）求12k k 的值（2）记AMD ，BMD 的面积分别为1S ，2S ，当[]11,2k ∈，求12S S 的取值范围【答案】（1）124k k =-（2）[]1,4【分析】（1）将点代入抛物线得到24y x =，设直线AB 方程为()22x m y =++，联立方程得到124y y m +=，()1288y y m =-+，计算得到答案.（2）[]122,4y +∈，()2111222124AD y y s s BD y ++===+，计算得到答案. 【详解】（1）将()1,2M 代入抛物线2:2C y px =方程，得2p =，所以抛物线方程为24y x =，设直线AB 方程为()22x m y =++，代入抛物线方程，得24880y my m ---=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，()1288y y m =-+，()()()1212122212121212122222161641122241144y y y y k k y y x x y y y y y y ----=⋅=-===---+++++--，所以124k k =-. （2）由（1）知[]1141,22k y =∈+，所以[]122,4y +∈， 2242k y =+，即1244422y y ⋅=-++，所以()[]211122211,424AD y y s s BD y ++===∈+. 【点睛】本题考查了抛物线中的斜率定值问题，面积问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.22．已知函数()()2ln xf x xe ax a x a =--∈R ．（1）若2a e =，求函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()0,1x ∈时，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()f x 单调递增；（2）()2,e +∞.【分析】（1）当2a e =时，()()()21x x xe e f x x+-'=，进而令()xg x xe e =-，易得函数()g x 在()0,∞+上单调递增，又()10g =，故()0,1x ∈时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，进而得函数的单调区间；（2）求导得()()()12x x xe a f x x+-'=，进而分类讨论求解. 当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 单调递增，最多只有一个零点，当0a >时，令()()20xg x xe a x =-≥，研究得函数()g x 单调递增，且又()00g <，()0g a >，故存在()00,x a ∈，使得()00g x =，即002x ax e =，函数()f x 的减区间为()00,x ，增区间为()0,x +∞．进而得()0ln02af x a a =-<，解不等式得2a e >，再结合函数值的分布即可得答案. 【详解】解：（1）2a e =，()()()()()212221212xxx x xe e e e f x x e e x e x x x +-⎛⎫'=+--=+-=⎪⎝⎭，设()xg x xe e =-，()()'10xg x x e =+>在()0,∞+上恒成立，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，又()10g =，故()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间()0,1单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间()1,+∞单调递增．所以当()0,1x ∈时，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()f x 单调递增；（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+．由()()()()()122112xx x x xe a a a f x x e a x e x x x +-⎛⎫'=+--=+-= ⎪⎝⎭．①当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 单调递增，最多只有一个零点； ②当0a >时，令()()20xg x xe a x =-≥．由()()210xg x x e '=+>，可知函数()g x 单调递增，又()00g a =-<，()()2210a ag a ae a a e =-=->，可得存在()00,x a ∈，使得()00g x =，有002x ax e=，可知函数()f x 的减区间为()00,x ，增区间为()0,x +∞．若函数()f x 有两个零点，必有()()()0000000002ln ln ln ln02x x af x x e ax a x a a x x a a x e a a =--=-+=-=-<，得2a e >．又由()()21ln 0aa a aa aa ae a f e ae a e a e e---->--=-=>．令()ln h x x x =-，有()111x h x x x-'=-=，令()0h x '>，可得1x >，故函数()h x 的增区间为()1,+∞，减区间为()0,1，有()()11h x h ≥=．当ln x a >时，x e a >，第 21 页共 21 页 ()()()2ln ln ln 0x f x x e a a x ax a x a x x a =-->-=-≥>．可得此时函数()f x 有两个零点．由上可知，若函数()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围是()2,e +∞．【点睛】本题第二问解题的关键在于根据题意分类讨论，当0a >时，令()()20x g x xe a x =-≥，研究得函数()g x 单调递增，通过虚设函数零点得：存在()00,x a ∈，使得()00g x =得002x a x e =，从而达到判断函数单调性的目的，进而得()0ln 02a f x a a =-<，解不等式得2a e >，最后结合函数值的分布即可求解.考查分析处理问题的能力，运算求解能力，是难题.。

江苏省南京市、盐城市2021届高三数学第一次模拟考试(1月)试题.doc

南京市、盐城市2021届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则 U A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅= ▲ ． 3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ．4．命题“R θ∀∈，cos sin 1θθ+>”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．6．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是9，且110=xy ，则此样本的方差是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ▲ ．00 101 S I While S S S I I I End For Print I←←≤←+←+(第5题图)8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则21a a 的值为 ▲ ． 9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11P ABB A -的体积分别为1V 与2V ，则21V V = ▲ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+（0,02πωϕ><<）的图象与y 3， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ▲ ． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+，则cos BAC ∠的值为 ▲ .12．若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ． 13．已知集合{(,)16}P x y x x y y =+=，集合12{(,)}Q x y kx b y kx b =+≤≤+，若P Q ⊆1221b b k -+的最小值为 ▲ ．14．若对任意实数]1,(-∞∈x ，都有1122≤+-ax x e x成立，则实数a 的值为 ▲ . 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 已知ABC ∆满足sin()2cos 6B B π+=．（1）若6cos 3C =，3AC =，求AB ；（2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱1CC 上的一点．（1）若1AC //平面PBD ，求PCPC 1的值；（2）求证：P A BD 1⊥．(第16题图)17．(本小题满分14分)如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P 与Q ，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在O 上，点P 、Q 在O 的一条直径上，P 、Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与O 内切．（1）求圆形铁皮P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮P 与Q 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)(第17题图)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点00(,)P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，01x =，0y e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）延长12,PF PF 分别交椭圆C 于点,A B （,A B 不重合），设11AF F P λ=，22BF F P μ=，求λμ+的最小值．(第18题图)19．(本小题满分16分)定义:若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为 “()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“()2M 数列”，是否存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<?若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ;若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)若函数()x xf x e ae mx -=--()m R ∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围；（3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围．南京市、盐城市2021届高三年级第一次模拟考试y数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．2 7．238．3 9．2310．7 11．3 12．10 13．4 14．12- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+，移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分又由6cos 3C =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ……………………………4分故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ，又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分（2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………………10分又1AC CC C =，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ，所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面，所以A 1P 面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………………14分17．解：（1）设P 半径为r ，则)2(4r AB -=，所以P的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分（2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π，所以()0f x '>在定义域上恒成立，故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分答：P 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分18.解：（1）由当2PF x⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-，解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………………4分（2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩，代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=，化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--，当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,1y =，故01212y y m -=+，则1201(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=，代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--，当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，∴322174141b b q b b --===--，∴111n nn n b b b b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=，故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=.方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分 ∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+12222121n n n --=++++=-，当1n =时上式也成立，故21n n b =-， ……………………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-，由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn n n ------+--==+<---，∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立，所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ，化简可得0)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ………………………………………………3分（2）法一：由（1）可得mx e e x f xx --=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-，其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <，故可知函数mx ee xf xx--=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增，在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值，所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f xx--=-)(，令m ee xf xg xx-+='=-)()(，则xx xxe e e e x g 1)(2-=-='-，故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ，又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是优质资料\word 可编辑11 / 1111 ),2(+∞. ………………………………………………9分（3）由0x 满足m e e x x =+-00，代入mx ee xf x x --=-)(，消去m 可得00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=， ……………………………………11分构造函数x x e x e x x h -+--=)1()1()(，所以)()(x x e e x x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--x xx x ee e e ，所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中eh 2)1(-=， ……13分则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥，故10≤x ，由m e e x x =+-00，设x x e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，x x e e y -+=在]1,0(上递增，故e e m 1+≤，综上，m 的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………………16分。

江苏省南京盐城市2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题含解析

江苏省南京、盐城市2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题(含解析)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．若1i 2i a +-为实数,其中i 为虚数单位，则实数a 的值为A ．2B ．12-C ．12D ．﹣22．已知函数2lg(2)y x x =--+的定义域为集合M,函数y ＝sin x 的值域为N,则M N ＝A ．B ．（﹣2,1］C ．［﹣1，1）D ．[﹣1,1］3．函数532()ln xf x x=在其定义域上的图象大致为4．一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次．学生甲说:丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一;学生丁说：甲第二．若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．化简sin 2(6π﹣α）﹣sin 2（3π＋α)可得A ．cos(2α＋3π）B ．﹣sin （2α＋6π） C ．cos （2α﹣3π） D ．sin(2α﹣6π)6．某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查,随机抽取了200人进行调查统计得下方的2×2列联表．则根据列联表可知A ．有95％的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系B ．没有95％的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系C ．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系D ．有97。

5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人"没有关系参考公式:独立性检验统计量22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d=+++．下面的临界值表供参考：P(20x χ≥） 0。

15 0。

10 0。

05 0。

025 0.010 0.005 0。

0010x2.072 2。

7063.841 5。

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江苏省盐城中学2020-2021学年度高三一模数学模拟练习一 2021.02.18注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{}02x x <<，B ＝104x xx ⎧-⎫≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A B ＝（） A ．(0，1] B ．(0，1) C ．(0，4) D ．(0，4]2．复数z 满足z (1＋i)＝1﹣i ，则z 的虚部等于( )A ．﹣iB ．﹣1C ．0D ．13．设随机变量)1,(~μξN ，函数2()2f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，则P(0＜ξ≤1)＝（）附：若),(~2σμξN ，则P (μσ-＜X ≤μσ+)≈0.6826，P (2μσ-＜X ≤2μσ+)≈0.9544．A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.34134．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A ．1()1f x x =- B ．1()1f x x =- C ．21()1f x x =- D ．21()1f x x =+5． 2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO 或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（） A ．36种 B ．48种 C ．72种 D ．144种6．若函数()f x 满足：对定义域内任意的1x ，2x (1x ≠2x )，有1212()()2()2x x f x f x f ++>，则称函数()f x 具有H 性质．则下列函数中不具有H 性质的是（）A ．1()()2x f x =B ．()ln f x x =C 2()(0)f x x x =≥D ．()tan (0)2f x x x π=≤<7．如图，已知F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，连接AF 2，BF 2，在△ABF 2中，sin 2ABF 2∠＝14，2AB BF =，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．2C ．3D ．28．已知函数()(1)e x f x a x x =+-，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是（）A ．[12e -，334e )B ．[334e ，223e )C ．[223e ，12e )D ．[12e ，12)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9．设a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，则（）A ．ab 的最大值为18B ．224a b +的最小值为12C ．12a b+的最小值为8 D ．24a b +的最小值为2210．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（） A ．数列{}n a 为等比数列 B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}1n a +为等比数列D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---11．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，且A(4p ，a )，3AF 2=.下列结论正确的是（）A ．p ＝4B ．2a =±C ．BF ＝3D ．△AOB 的面积为3212．已知函数()sin cos (sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（）A ．()f x 在(0，4π)上单调递增 B ．()f x 周期函数，且周期为2π C ．直线x ＝4π是()f x 的对称轴 D ．函数()()1g x f x =+在(﹣π，π)上有且仅有一个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．定义在实数集R 上的可导函数()f x 满足：(1)1f =，()20f x x '+>，其中()f x '是()f x 的导数，写出满足上述条件的一个函数．14．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BE EC =，CD 2CF =，则AE AF +=____________.315．A ，B ，C ，D 为球面上四点，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，以MN 为直径的球称为AB ，CD 的“伴随球”，若三棱锥A —BCD 的四个顶点在表面积为64π的球面上，它的两条边AB ，CD 的长度分别为27和43，则AB ，CD 的伴随球的体积的取值范围是16．如图所示，在平面直角坐标系中，250,5Q ⎫⎛-⎪ ⎪⎝⎭，()3,0L -，圆Q 过坐标原点O ，圆L 与圆Q 外切.则（1）圆L 的半径等于__________；（2）已知过点L 和抛物线()220x py p =>焦点的直线与抛物线交于A ，B ，且3OA OB ⋅=-，则p =______．四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(3b ﹣c sinA)sinC ＝c (1﹣cosAcosC)．（1）求B 的值；（2）在①S △ABC ＝93，②A ＝4π，③a ＝2c 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若b ＝3，，求△ABC 的周长．18．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =-⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．如图，在四棱锥S —ABCD 中，侧面SCD 为钝角三角形且垂直于底面ABCD ，底面为直角梯形，且∠ABC＝90°，AB ＝AD ＝12BC ，CD ＝SD ，点M 是SA 的中点．（1）求证：BD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60°，求SD 与平面MBD 所成角的正弦值．20．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974 年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为333⨯⨯的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒.（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y (秒) 与训练天数x (天)有关，经统计得到如下数据：x （天）1 2 3 4 5 67y （秒）99 99 4532 302421现用y a x=+作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y 约为多少秒(精确到1) ? 参考数据（其中1i iz x =） 71i ii z y =∑z72217i i zz =-⨯∑184.50.370.55.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90︒，记顶面白色色块的个数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点A(2，3)，右顶点为B ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作两条直线分别交椭圆于点M ，N ，满足直线AM ，AN 的斜率之和为﹣3，求点B 到直线MN 距离的最大值．22．已知函数()(0)ln axf x a x=>．（1）当函数()f x 在1ex =处的切线斜率为﹣2时，求()f x 的单调减区间；（2）当x ＞1时，ln()e ln x x xa f x x≥⋅，求a 的取值范围．盐城中学2020-2021学年度高三一模数学模拟练习一答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9.【答案】ABD 10.【答案】 BD 11.【答案】BCD 12.【答案】BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13.【答案】2()2f x x x =-+ 14.【答案】315.【答案】[6π，1256π] 16.【答案】(1). (2). 2四、解答题：17. 【解析】（1）因为)cos cos 1(sin )sin 3(C A c C A c b -=-，可得0)cos(sin 3=-++c C A c C b ，即C B B C sin )cos sin 3(sin =-，因为),0(π∈C ，0sin ≠C 所以1)6sin(2cos sin 3=-=-πB B B ，即21)6sin(=-πB ，因为π<+c a ，解得6=+c a ，因此△ABC 的周长为9=++c b a ；若选择条件②4π=A ，在△ABC 中，由正弦定理可得3sin3sin sin sin π===CcB b A a 32=所以64sin 32==πa ，2623)43sin(32+=+=ππc所以△ABC 的周长为266323262336++=+++=++c b a ；若选择条件③c a 2=，由余弦定理可得21293cos 22=-+=ac c a π，所以222294c c c =-+，即32=c ，解得3=c ，32=a ，因此△ABC 的周长为333+=++c b a ．18. 【解析】（1）因为2n S n =所以)2()1(21≥-=-n n S n所以121-=-=-n S S a n n n )2(≥n ，当1=n 时，111==S a 适合上式，所以12-=n a n（2）若选①：因为2221)12()12(8)(8+-==+n n n a a n b n n n 22)12(1)12(1+--=n n 所以222222)12(1)12(1...51313111+--++-+-=n n T n若选②：因为nn n n n a b 2)12(2-=⋅=所以nn n n n T 2)12(2)32(...252321132⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=-则14322)12(2)32(...2523212+⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T两式相减可得：121322)2(212822)12(22....22222+++⋅----+=⋅--⋅++⨯+⨯+=-n n n n n n n T12)32(6+⋅---=n n所以12)32(6+⋅-+=n n n T若选③：2)1(n b n n ⋅-= ，当n 为偶数时，])1([...)34()12()1(...4321222222222222--++-+-=+---+-+-=n n n n T n 2)1(2)123(212...73+=-+=-+++=n n n nn 当n 为奇数时，2)1(2)1(221+-=--=-=-n n n n n n T T n n 综上：2)1()1(+⋅-=n n T n n19. 【解析】（1）取BC 的中点E ，连接DE ，设AB ＝a ，则AD ＝a ，BC ＝2a ，BE ＝12BC ＝a ，∵∠ABC ＝90°，AD ∥BE ，AD ＝BE ，∴四边形ABED 是正方形，∴BD，DE ⊥BC ，DE ＝CE ＝a ，∴a CD 2=，∴222BC CD BD =+，故BD ⊥CD ，∵平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD 平面ABCD ＝CD ，BD ⊂平面ABCD ，且BD ⊥CD ，∴BD ⊥平面SCD ；（2）过S 作SN ⊥CD ，交CD 延长线于N ，∵平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD 平面ABCD ＝CD ，SN ⊂平面SCD ，SN ⊥CD ， ∴SN ⊥平面ABCD ，∴∠SDN 为直线SD 与底面ABCD 所成的角，故∠SDN ＝60°， ∵SD ＝CD，∴DN ＝a 22，SN ＝26a ，以D 为原点，以DB ，DC ，及平面ABCD 的过点D 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D —xyz ，如图所示，则)0,0,2(a B ，)0,0,0(D ，)0,22,22(a a A -，)26,22,0(a a S - ∵M 是SA 的中点，)46,22,42(a a a M -∴ ∴)26,22,0(a a -=，)0,0,2(a =，)46,22,42(a a a DM -= 设平面MBD 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0DM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=046224202az ay ax ax ，令z ＝2可得)2,3,0(=， ∴14212726||||,cos =⨯=>=<a aDS n DS n ， ∴SD 与平面MBD 所成角的正弦值为1421,cos |>=<．20. 【解析】（1）由题意可知：50721243032459999=++++++=y ，10055.05555.05037.075.18477712271^==⨯⨯-=--=∑∑==i i i ii zz yx yz b ，所以1337.010050=⨯-=-=z b y a ，因此y 关于x 的回归方程为xy 10013+=，所以最终每天魔方还原的平均速度y 约为13秒；（2）由题意可知：X 的可能取值为3，4，6，9，P （X ＝3）＝916614=⨯A ，P （X ＝4）92662`4=⨯=A ，P （X ＝6）9566)1(14121214=⨯++=A A A A ，P （X ＝9）91661212=⨯=A A ，所以X 的分布列为：数学期望为999969493)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E21【解析】（1）由题222224122491b c a a c b a c a b ⎧⎪+==⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪+=⎪⎩ 所以C 的标准方程为1121622=+y x （2）若直线MN 斜率不存在，设),(),,(0000y x N y x M -，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---+--=+0432323112160000002020y x x y x y y x ，此时N M ,重合，舍去. 若直线MN 斜率存在，设),(),,(2211y x N y x M t kx y MN ，：+=，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 1121622得04848)34(222=-+++t ktx x k ，所以21212228448,,04343kt t x x x x k k -+=-=∆>++ , 由题323232211-=--+--x y x y ，即323232211-=--++--+x t kx x t kx 化简得.0244))(92()32(2121=+-+--++t x x k t x x k因此.0244)348)(92(34484)32(222=+-+---++-+t k ktk t k t k 化简得0686822=---++t k t kt k 即0)24)(32(=++-+t k t k 若032=-+t k ，则32+-=k t ，直线MN 过点)3,2(A ，舍去，所以024=++t k ，即24--=k t ，因此直线MN 过点)2,4(-P . 又点)0,4(B ，所以点B 到直线MN 距离最大值即2=BP , 此时2-=y MN ：，符合题意.所以点B 到直线MN 距离最大值为2 )．因为．所以1a =． 21．令('f x （2）由题()lnln x xa f x e x≥⋅对任意),1(+∞∈x 恒成立所以ln ln xae x a ≥-对任意),1(+∞∈x 恒成立法一：所以()ln ln ln a xe a x x x +++≥+对任意),1(+∞∈x 恒成立所以()ln ln ln ln a xx ea x e x +++≥+对任意),1(+∞∈x 恒成立令()xg x e x =+ 则()()ln ln g a x g x +≥对任意),1(+∞∈x 恒成立因为()'10xg x e =+>，所以()g x 在R 上单调增所以ln ln a x x +≥对任意),1(+∞∈x 恒成立，所以()()max ln ln 1a x x x ≥->令()()ln 1h x x x x =->，因为()'1110x g x x x-=-=< 所以()g x 在(1,)+∞上单调递减，所以()()11g x g <=-所以ln 1a ≥-即1a e≥法二：设)1(ln ln )(>+-=x a x ae x h x，则01)(''1)('2>+=-=x ae x h xae x h x x ，，所以)('x h 在),1(+∞单调递增，又1)1('-=ae h若ea 1≥，则0)1('≥h ，所以0)('≥x h 恒成立，所以)('x h 在),1(+∞单调递增，又011ln )1(=-≥+=a ae h ，所以0)(≥x h 恒成立，符合题意.若ea 10<<，则011ln )1(=-<+=a ae h ，不符合题意，舍去.综上所述，ea 1≥.。