对数函数中的复合函数问题
复合函数练习题附答案
复合函数练习题附答案21、已知函数f的定义域为[0,1]，求函数f的定义域。
析：由已知，x?[0,1],故x?[?1,1]。
所以所求定义域为[?1,1]2、已知函数f的定义域为[?3,3]，求f的定义域析：由已知x的范围为[?1,1],那么3?2x的范围为[1,5],从而f 的定义域为[1,5]3、已知函数y?f的定义域为，求f的定义域。
由f 的定义域可知f的定义域为,则求f的定义域应满足析：132x?1?,解得x??224、设f?x??lg2?x?x??2?，则ff??的定义域为?x?2??x?A. ??4,00,4?B. ??4,?11,4?C. ??2,?11,2?D. ??4,?22,4??x?0，即?0,得?2?x?2.那么由题意应有2?x析：?-2?x??4?x?4??2,解得?,综上x??,选B?2x??1或x?12??2x?5．函数y＝log1的单调递减区间是2A． B．C． D．析：本题考查复合函数的单调性，根据同增异减。
对于对数型复合函数，应先求定义域，即x2?3x?2?0,得定义域为?.由于外函数是以0?1?1为底，故为减函数。
则求y的减区间，只需要求内函数的增23区间。
内函数为t?x2?3x?2，其对称轴为x?,在函数y的定义域内，t在上2为增函数，所以选择B6．找出下列函数的单调区间.y?a?x2?3x?2；解析：此题为指数型复合函数，考查同增异减。
令t??x2?3x?2,则y?at,t??x2?3x?2。
由于a?1,则外函数为增函数，由同增异减可知，t的增区间即为y的增区间。
而内函数t的333,即t在上位增函数，在上位减函数，从而函22233数y的增区间为，减区间为22对称轴为x?y?2x2?2x?3.解：设t??x2?2x?3，则y?2t.因?x2?2x?3?0,得?1?x?3.由?x2?2x?3对称轴为x?1.即内函数t的增区间为[?1,1],减区间为[1,3]。
人教版高中数学必修1--第四章指数函数、对数函数有关的复合函数问题 4
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第四章 指数函数与对数函数
知识点三 对数函数在实际问题中的应用 某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不 超过 10 万元时，按销售利润的 15%进行奖励；当销售利润超过 10 万 元时，若超出 A 万元，则超出部分按 2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为 y(单位：万元)，销售利润为 x(单元：万元). (1)写出奖金 y 关于销售利润 x 的解析式； (2)如果业务员老江获得 5.5 万元的奖金，那么他的销售利润是多 少万元？
强弱等级 L/dB
10
m
பைடு நூலகம்
求 a 和 m 的值．
很嘈杂 的马路 1×10－3
90
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第四章 指数函数与对数函数
解：将 I0＝1×10－12 W/m2，I＝1×10－11 W/m2 代入 L＝a lg
I I0
，
得 10＝alg
1×10－11 1×10－12
＝a lg 10＝a，即 a＝10，m＝10lg
解：由题意知(x－3)(x＋3)>0， 解得 x<－3 或 x>3， ∴函数 y＝loga(x－3)(x＋3)的定义域为(－∞，－3)∪(3，＋∞).
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第四章 指数函数与对数函数
求含对数式的函数定义域的关键是真数大于 0，底数大于 0 且不 为 1.如需对函数式变形，须注意真数底数的取值范围是否改变．
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第四章 指数函数与对数函数
角度 2
求对数函数的解析式
3
已知函数
f(x)是对数函数，且
f
对数型复合函数的单调区间解答题(3)
1．已知20.5()log ()f x x mx m =--．(1)若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 在区间上是增函数，求实数m 的取值范围． 答案：(1)0m ≥或4m ≤-；解答：(1)∵()f x 值域为R ，令2()g x x mx m =--，则()g x 取遍所有的正数，240,0m m m ∴∆=+≥∴≥或4m ≤-；(2)2．已知函数9()log (91)()xf x kx k R =++∈是偶函数.(1)求k 的值；(2)的图象与()f x 的图象有且只有一个公共点，求a 的取值范围.答案： (2){3}(1,)-+∞.解答：令3x t =，则(0,)t ∈+∞，有且只有一个正实根t ，当10a -≠时，若0∆=，则3a =-或 时，根20t =-<，舍去.3a =-时，根为 若0∆>，则120t t <，解得1a >， 从而所求a 的范围是{3}(1,)-+∞.考点：函数的奇偶性，换元法，一元二次方程根的分布．3. (1)求m 的值，并求f (x)的定义域； (2)判断函数)(x f 的单调性，不需要证明；(3)是否存在实数λ,使得不等式若存在,求出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由. 答案： (1))1,1(-；(2))(x f 在定义域内单调递增；(3)解答：(1)为奇函数，)()(x f x f -=-∴在定义域内恒成立，111-==-=∴m m m （舍去），即或，故函数的定义域是)1,1(-； ，任取1121<<<-x x ，∵1121<<<-x x ，0)()(21<-x u x u ，∴)(lg )(lg 21x u x u >，),()(21x f x f <∴即)(x f 在定义域内单调递增；由(1)，(2)知当θ=0时成立； sinθ=t,4(1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)当时，求函数的最小值；(3)是否存在非负实数m 、n,的定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，若存在，求出、的值；若不存在，则说明理由．答案：(3)2,0==n m ．2(2)g mx x m ++R m []1,1x ∈-[]2()2()3y f x af x =-+)(a h m n解答：令 ,当,的定义域为，不成立； 当，R ，∴，解得，综上所述，，对称轴为，当 时，a t =时，()2min 3a y a h -==； 当2>a 时，2=t 时，()a y a h 47min -==．由题意，知⎩⎨⎧==n n m m 2222解得⎩⎨⎧==20n m ，∴存在2,0==n m ，使得函数的定义域为，值域为．m x mx u ++=22时0=m x u 2=），（∞+0时0≠m ⎩⎨⎧<-=∆>04402m m 1>m 1>m ]1,1[-∈x a t =]2,0[]4,0[5(0>a ，1≠a )． (1)当1>a 时，讨论()f x 的奇偶性，并证明函数()f x 在()1,+∞上为单调递减； (2)当(),2∈-x n a 时，是否存在实数a 和n ，使得函数()f x 的值域为()1,+∞，若存在，求出实数a 与n 的值，若不存在，说明理由． 答案：(1)奇函数，证明见解答：；解答：(1)()f x 的定义域为{}|11x x x ><-或关于原点对称， ，∴()f x 为奇函数， 法1：当1a >时，设121x x <<，则()(()(1111x x +-又1a >，，()()12f x f x ∴>，∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数 法2：当1a >时，设121x x <<，令，所以12log log a a t t >，∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数 (2)，(),2∈-x n a①当1a >时，要使()f x 的值域为(1,)+∞，则须(,)t a ∈+∞，②当01a <<时，(0,)t a ∈，则，当(),2∈-x n a 时，函数()f x 的值域为()1,+∞．6．已知函数()2log 1f x x =-的定义域为[]1,16，函数()()()222g x f x af x =++⎡⎤⎣⎦． (1)求函数()y g x =的定义域； (2)求函数()y g x =的最小值；(3)若函数()y g x =的图象恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围． 答案： (1)[]1,4；(2)()2min3-,12,1133,1a a g x a a a a a ≥⎧⎪=-++-<<⎨⎪+≤-⎩； (3)()1,3a ∈-． 解答：(1)2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，14x ∴≤≤，即函数()y g x =的定义域为[]1,4． (2)()()()()222222log 22log 3g x f x af x x a x a =++=+--+⎡⎤⎣⎦．令[]2log ,0,2t x t =∈，则()()22222212y t a t a t a a a =+--+=---++⎡⎤⎣⎦．当1a ≥时，y 在[]0,2上是增函数，所有min 0,3t y a ==-； 当-11a <<时，y 在[]0,1a -上是减函数，[]1,2a -上是增函数，所有2min 1,2t a y a a =-=-++；当1a ≤-时，y 在[]0,2上是减函数，所有min 2,33t y a ==+．综上，()2min3-,12,1133,1a a g x a a a a a ≥⎧⎪=-++-<<⎨⎪+≤-⎩． (3)由题知，()0g x >恒成立，即()min 0g x >()min 0g x >． 当1a ≥时， min 30,13y a a =->∴≤<；当-11a <<时， 2min 20,11y a a a =-++>∴-<<；当1a ≤-时， min 330,y a a =+>∴无解 综上，()1,3a ∈-．7．已知函数)0(1)1()(2>++=-a a x g x 的图象恒过定点A ，且点A 又在函数(1)求实数a 的值； (2)(3)的图象与直线b y 2=有两个不同的交点时，求b 的取值范围． 答案：(1)1a =；解答：(1)函数()g x 的图像恒过定点A ，A 点的坐标为(2，2)，又因为A 点在()f x 上，图象与直线b y 2=021b << ，故b 的取值范围为8．已知函数2()log (1)f x x =+，当点(,)x y 在函数()y f x =的图象上运动时，函数()y g x =(的图象上运动． (1)求函数()y g x =的解析式； (2)求函数()()()F x f x g x =-的零点．(3)函数()F x 在(0,1)x ∈上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值；若没有请说明理由． 答案：解答：解得0x =或1x =，∴函数()F x 的零点0x =或1x =； (3)设31m x =+，由(0,1)x ∈得(1,4)m ∈，函数在(1,2]上递减，在[2,4)上递增，当2m =时有最小值4，无最大值，∴t 有最小值∴函数()F x 在(0,1)x ∈内有最小值9 (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若对于任意的[)()()1,,1x f x a x ∈+∞≥-恒成立，求a 的范围． 答案：(1)()f x 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增； (2)2a ≤． 解答：， ()f x 在()1,+∞上递增；()()'0,1f x 在递增,()()()()''120,0,1f x f f x <=-<在上递减，所以()f x 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增．(2) ()()()()()()1,1ln ,11ln 10x f x x x f x a x x x a x ≥=+≥-⇔+--≥由(1)知,()()'1,g x +∞在上递增,()()''12g x g a ≥=- 若20,2a a -≥≤即,()()[)'01,g x g x ≥+∞，在上递增,()()10,g x g ∴≥=所以不等式成立2a >若,存在()()001,,'0x g x ∈+∞=使得,当0[1,)x x ∈时,综上所述，2a ≤．10(1)当4=a 时，求函数)(x f 的定义域；(2)若对任意的R x ∈，都有2)(≥x f 成立，求实数a 的取值范围． 答案：(1){}11|>-<x x x 或；解答： (1)，即2-<x，即1>x 综上所述，函数()x f 的定义域为{}11|>-<x x x 或 (2)11(1)(2)若关于x 的不等式()()2520f x ax f x a -++++<对任意实数[]2,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．答案： (1)7m =；解答：(1)由()f x 是奇函数得：()()f x f x -=-，所以 即227m =，7m =±； 得定义域为()7,7-．∴7m =． 是增函数，∴()f x 在()7,7-是增函数．又()f x 为奇函数，∴()()252f x ax f x a -->+，∴27257x a x ax -<+<--<对任意实数 []2,3x ∈恒成立；对于225x a x ax +<--，即()252x x a x -->+，20x +>，∴(23x ≤≤)， 设2t x =+，则2x t =-，且45t ≤≤，对于72x a -<+，()2h x x a =+在[]2,3上递增，∴()()min 2227h x h a ==+>-，则对于257x ax --<，即()2F 120x x ax =--<，∴()()F 2280F 3330a a =--<⎧⎪⎨=--<⎪⎩，则1a >-； 综上，a 的取值范围是 12．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x的一个上界．已知函数(1)若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，求函数()g x 在区间(3)若函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 答案： (1)1a =-； (2)[3,)+∞； (3)[7,3]-．解答：(1)因为函数()g x 为奇函数， 所以()()g x g x -=-，即 ，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-．(2)由(1)，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增，上的值域为[3,1]--，所以|()|3g x ≤，故函数()g x 在区间上的所有上界构成集合为[3,)+∞．(3)由题意知，|()|5f x ≤在[0,)+∞上恒成立， ，得1t ≥． 易知()P t 在[1,)+∞上递增，设121t t ≤<， 所以()h t 在[1,)+∞上递减， ()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)7h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)3p =， 所以实数a 的取值范围为[7,3]-．。
复合函数的几个重要问题例析
合函数的单调性．
例 ４ 已 知 函 数 ｙ＝ｌｏｇ（ａ ｘ２－ ｋｘ－ ｋ）（ ０＜ａ＜１） 在 区
间（ － ∞， １－ " ３ ） 上是增函数， 求实数 ｋ 的范围． 分析 条件中的函数由对数函数与二次函数
复合而成的， 其中对数函数是单调递减函数， 根据复
合函数的复 合 规 律 知 要 使 条 件 中 的 函 数 ｙ＝ｌｏｇ（ａ ｘ２－ ｋｘ－ ｋ） 是增函数， 则应使二次函数为减函数 ， 由 此 建
（
）
Ａ．（ｆ １） ＜（ｆ ５ ） ＜（ｆ ７ ） ２２
Ｂ．（ｆ ７ ） ＜（ｆ １） ＜（ｆ ５ ）
２
２
Ｃ．（ｆ ７ ） ＜（ｆ ５ ） ＜（ｆ １） ２２
Ｄ．（ｆ ５ ） ＜（ｆ １） ＜（ｆ ７ ）
２
２
解析 此题是复合函数奇偶性的运用， 由函数
（ｆ ｘ＋２） 是 偶 函 数 ， 得 （ｆ ｘ＋２） ＝（ｆ － ｘ＋２） ， 所 以 函 数 ｙ＝
３
３
由ｙ＝（ １ ） ｕ 和 ｕ＝ｘ２－ ２ｘ 复 合 而 成 的 ， 其 中 ｙ＝（ １ ） ｕ
３
３
是单调递减函数， 故 （ｆ ｘ） ＝（ １ ） ｘ２－２ｘ 的 单 调 递 减 区 间 ３
是二次函数 ｕ＝ｘ２－ ２ｘ 的单调递增区间， 由于 ｕ＝ｘ２－ ２ｘ
在（ １， ＋∞） 是单调递增函数， 故函数 （ｆ ｘ） ＝（ １ ） ｘ２－２ｘ 的 ３
者
专
答案 （ － ∞， － ２） ．
业Ｓ
４．复 合 函 数 的 周 期 性
精心策划
函数 ｕ＝ｇ（ ｘ） 是集合 Ｒ 上的周期函数， ｕ∈Ｍ， （ｆ ｕ） 高 在 Ｍ 上有定义， 则 复 合 函 数 ｙ＝［ｆ ｇ（ ｘ） ］ 也 是 Ｒ 上 的 考
对数函数常见题型(解析版)
4.4 对数函数1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(1)由于指数函数y＝a x中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝log a x中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数非奇非偶函数3.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．4．对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.对于对数型复合函数y＝log a f(x)来说，函数y＝log a f(x)可看成是y＝log a u与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．5．对数型复合函数的值域对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．题型一 对数函数的判断例1、（1）给出下列函数：①223log y x =；①3log (1)y x =-；①(1)log x y x +=；①log e y x =.其中是对数函数的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解:（1）①①不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ； ①不是对数函数，因为对数的底数不是常数；①是对数函数．（2）由题可知：函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数所以23201a a a -+=⇒=或2a =，又0a >且1a ≠所以2a = 跟踪练习1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；①y ＝log a x (a ①R )；①y ＝log 8x ；①y ＝ln x ；①y ＝log x (x ＋2)；①y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数，故①①为对数函数，所以共有2个. 2．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①log 2x y =；①()log a y x a =∈R ；①8log y x =；①ln y x =；①()log 2x y x =+；①42log y x =；①()2log 1y x =+. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【解析】由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数； 由于①中底数a ∈R 不能保证0a >，且1a ≠，∴①不是对数函数； 由于①①的真数分别为()2x +，()1x +，∴①①也不是对数函数； 由于①中4log x 的系数为2，∴①也不是对数函数； 只有①①符合对数函数的定义.3．（全国高一课时练习）若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，a =_________.【解析】由对数函数的定义可知，245001a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得5a =．题型二 对数函数的解析式或函数值例2（1）（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x（2）（全国高一课前预习）设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）. A ．2B ．2-C ．12-D ．12【解析】（1）设函数解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)．由于对数函数的图像过点M (125，3)， 所以3＝log a 125，得a ＝5.所以对数函数的解析式为y ＝log 5x . （2）因为()log a f x x =（0a >且1a ≠），1(2)2f =，所以1(2)log 22a f ==，即122a =，解得4a =， 所以4()log f x x =，所以4111log 222f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.跟踪练习1．若某对数函数的图象过点()4,2，则该对数函数的解析式为（ ） A ．2log y x =B ．42log y x =C ．2log y x =或42log y x =D ．不确定【解析】设函数为()log 0,1a y x a a =>≠，依题可知，2log 4a =，解得2a =，所以该对数函数的解析式为2log y x =．2．若函数()()lo 1g a f x x =+(0,1)a a >≠的图像过点(7,3)，则a 的值为（ ） A 2B ．2C ．22D ．12【解析】由题, ()373log 182a a a +⇒=⇒==.题型三 对数函数的定义域例3（1）函数()ln 14x f x x-=-的定义域为（ ）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4（2）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（ ） A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．[3,9]（3）若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1 B ．－1 C ．2D ．无法确定【解析】（1）对于函数()ln 14x f x x -=-1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 14x f x x-=-的定义域为()1,4.（2）由[]1,1x ∈-，得1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3,9x ⎤∈⎦． （3）函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-. 跟踪练习1．函数()00.5log 21y x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使函数有意义，只需()0.5log 210x -≠，即210211x x ->⎧⎨-≠⎩，解得112x <<或1x >． 2．函数3()log (21)1xf x x x =--的定义域是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1,)+∞D ．1(,1)2【解析】由已知得1021>0x x ->⎧⎨-⎩，解得112x <<，所以函数()f x 的定义域为112⎛⎫⎪⎝⎭， 3．若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]，【解析】因为函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，所以112x ≤+≤，所以1lg 2x ≤≤， 解得：10100x ≤≤，所以(lg )f x 的定义域为[10 100]，. 4.求下列函数的定义域 （1）2112y x x=+-- （2）函数221()x f x --=（3）20()(54)lg(43)x f x x x =+-+ 【解析】（1）若要使函数有意义，则22010x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩，解得1≥x 或1x ≤-且2x ≠±，所以该函数的定义域为][)()(,2)(2,11,22,-∞-⋃--⋃⋃+∞；（2）若要使函数有意义，则2210log (1)010x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩，解得3x ≥，所以该函数的定义域为[)3,+∞；（3）若要使函数有意义，则lg(43)0430540x x x +≠⎧⎪+>⎨⎪-≠⎩，解得34x >-且12x ≠-，45x ≠，所以该函数的定义域为31144,,,42255⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.题型四 对数函数的定点例4函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--【解析】令271x +=，3x =-，则2y =-，即函数图象过定点()3,2--． 跟踪练习1．函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（ ） A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1-【解析】对于函数()()log 310,1a y x a a =->≠，令311x -=，可得23x =，则log 10a y ==， 因此，函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.2．函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0- B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,0【解析】() log 1a y x =-，则当11x -=，即2x =时，0y =是与a 的值无关的定值，故函数()log 1a y x =-的图形必过的点是()20,.3．（湖北高一开学考试）已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ ) A ．2-B ．2C ．1D ．1-【解析】函数()log 32a y a =-+中，令31x -=，解得4x =，此时log 122a y =+=；所以函数y 的图象恒过定点()4,2P ，又点P 在幂函数()my f x x ==的图象上，所以42m =，解得0.5m =；所以()0.5f x x =，所以()()()()lg 4lg 25lg 425lg101f f f f +=⋅==⎡⎤⎣⎦．题型五 对数函数的值域（最值）例5（1）已知184x ≤≤，则函数2()log f x x =的值域是 。
对数函数中的复合函数问题
对数函数中的复合函数问题 教学目的：通过一些例题的讲解，对对数函数的性质、图象及与二次函数的复合函数问题进行复习，使学生加深对函数的认识，能够对一些有难度的题进行分析解决。
教学难点：复合函数中定义域、值域以及单调性的求解。
教学过程：先复习对数函数以及性质。
下面我们来做几道例题。
我们在遇到的一些问题中往往对数函数不是单独出现的，它总是和其他函数同时出现，特别是二次函数。
那么如何来解决这类比较复杂的问题呢？把对数函数和二次函数结合起来，最常见的就是复合函数。
下面就先来看这么一道题 例1的单调递增区间是（ ）。
A. B. C. D.分析：由于以1/2为底的对数函数是一个单调减函数，所以要求该函数的单调递增区间，也就是要求该二次函数的单调递减区间。
下面我们就把问题转化为解决二次函数的问题。
对于该二次函数进行配方49)21(222-+=-+x x x ，我们可以很容易看出是一个开口向上的抛物线，则其在x 小于－1/2时为单调递减，x 大于－1/2时为单调递增。
那么该题是否到此为止了呢？其实在此对于上面的二次函数是有范围的，也就是说即x<-2或x>1综上所述，我们应该选择A 。
一般化：对于类似与上面这题的复合函数的单调区间是怎样的．该二次函数图象为一开口向上的抛物线。
抛物线与x 轴有两个交点 抛物线与x 轴只有一个交点 抛物线与x 轴没有交点利用几何画板作图探究并验证：（略）例2若函数的值域为一切实数,求实数的取值范围。
按照通常的做法，要使函数有意义，必须有：对一切实数x都成立，即其实当时，可以看出可见值域并非为R，说明上述解答有误。
要使函数的值域为R，即要真数取遍所有正数，故二次函数的图象与x轴有交点，所以，得或。
故实数a的取值范围为。
我们在考虑这类复合函数问题的时候，要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的定义域和值域的变化。
以上这两题中的二次函数是作为对数函数的一部分出现的，那么，对数函数作为二次函数的一部分出现时，又该怎样呢？下面来看这几道题：例3若，且，求的最值。
复合函数的知识的总结及例的题目
复合函数问题一、复合函数定义：设y=f<u>的定义域为A,u=g<x>的值域为B,假如A ⊇B,如此y 关于x 函数的y=f ［g<x>］叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：<1>、f x ()的定义域,求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D,即x D ∈,所以f 的作用X 围为D,又f 对g x ()作用,作用X 围不变,所以D x g ∈)(,解得x E ∈,E 为[]f g x ()的定义域.例1.设函数f u ()的定义域为〔0,1〕,如此函数f x (ln )的定义域为_____________. 解析：函数f u ()的定义域为〔0,1〕即u ∈()01，,所以f 的作用X 围为〔0,1〕 又f 对lnx 作用,作用X 围不变,所以01<<ln x 解得x e ∈()1，,故函数f x (ln )的定义域为〔1,e 〕例2. 假如函数f x x ()=+11,如此函数[]f f x ()的定义域为______________. 解析：先求f 的作用X 围,由f x x ()=+11,知x ≠-1即f 的作用X 围为{}x R x ∈≠-|1,又f 对f<x>作用所以f x R f x ()()∈≠-且1,即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111,解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 〔2〕、[]f g x ()的定义域,求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D,即x D ∈,由此得g x E ()∈,所以f 的作用X 围为E,又f 对x 作用,作用X 围不变,所以x E E ∈，为f x ()的定义域.例3. f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，,如此函数f x ()的定义域为_________. 解析：f x ()32-的定义域为[]-12，,即[]x ∈-12，,由此得[]3215-∈-x ， 所以f 的作用X 围为[]-15，,又f 对x 作用,作用X 围不变,所以[]x ∈-15，即函数f x ()的定义域为[]-15，例4. f x x x ()lg 22248-=-,如此函数f x ()的定义域为-------解析：先求f 的作用X 围,由f x x x ()lg 22248-=-,知x x 2280-> 解得x 244->,f 的作用X 围为()4，+∞,又f 对x 作用,作用X 围不变,所以x ∈+∞()4，,即f x ()的定义域为()4，+∞〔3〕、[]f g x ()的定义域,求[]f h x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D,即x D ∈,由此得g x E ()∈,f 的作用X 围为E,又f 对h x ()作用,作用X 围不变,所以h x E ()∈,解得x F ∈,F 为[]f h x ()的定义域.例5. 假如函数f x()2的定义域为[]-11，,如此f x (log )2的定义域为____________.解析：f x()2的定义域为[]-11，,即[]x ∈-11，,由此得2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，f 的作用X 围为122，⎡⎣⎢⎤⎦⎥,又f 对log 2x 作用,所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，,解得[]x ∈24，即f x (log )2的定义域为[]24，评注：函数定义域是自变量x 的取值X 围〔用集合或区间表示〕f 对谁作用,如此谁的X 围是f 的作用X 围,f 的作用对象可以变,但f 的作用X 围不会变.利用这种理念求此类定义域问题会有"得来全不费功夫〞的感觉,值得大家探讨.三、复合函数单调性问题〔1〕引理证明函数))((x g f y =.假如)(x g u =在区间b a ,(〕上是减函数,其值域为<c,d>,又函数)(u f y =在区间<c,d>上是减函数,那么,原复合函数))((x g f y =在区间b a ,(〕上是增函数.证明：在区间b a ,(〕内任取两个数21,x x ,使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(〕上是减函数,所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间<c,d>上是减函数,所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <, 故函数))((x g f y =在区间b a ,(〕上是增函数. 〔2〕．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定.为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为："同向得增,异向得减〞或"同增异减〞. 〔3〕、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ确定函数的定义域；ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =. ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ假如两个函数在对应的区间上的单调性一样〔即都是增函数,或都是减函数〕,如此复合后的函数))((x g f y =为增函数；假如两个函数在对应的区间上的单调性相异〔即一个是增函数,而另一个是减函数〕,如此复合后的函数))((x g f y =为减函数.〔4〕例题演练例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间,并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 如此---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为如此当1>a 时,假如1>x ,∵1232--=x x u 为增函数,∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数. 假如31-<x ,∵1232--=x x u 为减函数.∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数.当10<<a 时,假如1>x ,如此)123(log )(2--=x x x f a 为减函数,假如31-<x ,如此)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.例3、.y=a log <2-xa >在［0,1］上是x 的减函数,求a 的取值X 围. 解：∵a ＞0且a ≠1当a ＞1时,函数t=2-xa >0是减函数由y=a log <2-xa >在［0,1］上x 的减函数,知y=a log t 是增函数, ∴a ＞1由x ∈［0,1］时,2-xa ≥2-a ＞0,得a ＜2, ∴1＜a ＜2当0<a<1时,函数t=2-xa >0是增函数由y=a log <2-xa >在［0,1］上x 的减函数,知y=a log t 是减函数, ∴0<a<1由x ∈［0,1］时,2-xa ≥2-1＞0, ∴0<a<1 综上述,0<a<1或1＜a ＜2例4、函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f 〔a 为负整数〕的图象经过点R m m ∈-),0,2(,设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(<p p 使得)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函数,且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论. ［解析］由0)2(=-m f ,得02)3(2=-+--a m a am , 其中.0,≠∈a R m ∴0≥∆即09232≤--a a , 解得.37213721+≤≤-a ∵a 为负整数,∴.1-=a∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ,即.1)(2+-=x x f 242221)1()]([)(x x x x f f x g +-=++--==, ∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F 假设存在实数)0(<p p ,使得)(x F 满足条件,设21x x <,∴].12)()[()()(2221222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ,当)3,(,21--∞∈x x 时,)(x F 为减函数,∴0)()(21>-x F x F ,∴.012)(,022212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<-<x x ,∴182221>+x x , ∴11612)(2221-->-++-p p x x p ,∴.0116≥--p ①当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F∵02221>-x x ,∴11612)(2221--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p . ②由①、②可知161-=p ,故存在.161-=p 一．指数函数与对数函数．同底的指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数；〔二〕主要方法：1．解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域；2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论； 3．比拟几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差． 〔三〕例题分析：例1．〔1〕假如21a b a >>>,如此log bba,log b a ,log a b 从小到大依次为； 〔2〕假如235x y z ==,且x ,y ,z 都是正数,如此2x ,3y ,5z 从小到大依次为； 〔3〕设0x >,且1x x a b <<〔0a >,0b >〕,如此a 与b 的大小关系是〔〕 〔A 〕1b a <<〔B 〕1a b <<〔C 〕1b a <<〔D 〕1a b <<解：〔1〕由21a b a >>>得b a a <,故log b ba<log b a 1<<log a b ．〔2〕令235x y z t ===,如此1t >,lg lg 2t x =,lg lg 3t y =,lg lg 5tz =,∴2lg 3lg lg (lg9lg8)230lg 2lg3lg 2lg3t t t x y ⋅--=-=>⋅,∴23x y >； 同理可得：250x z -<,∴25x z <,∴325y x z <<．〔3〕取1x =,知选〔B 〕．例2．函数2()1x x f x a x -=++(1)a >,求证：〔1〕函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；〔2〕方程()0f x =没有负数根． 证明：〔1〕设121x x -<<,如此1212121222()()11xx x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++,∵121x x -<<,∴110x +>,210x +>,120x x -<,∴12123()0(1)(1)x x x x -<++； ∵121x x -<<,且1a >,∴12x xa a <,∴120x x a a -<,∴12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； 〔2〕假设0x 是方程()0f x =的负数根,且01x ≠-,如此000201xx a x -+=+,即00000023(1)31111x x x ax x x --+===-+++, ① 当010x -<<时,0011x <+<,∴0331x >+,∴03121x ->+,而由1a >知01x a <, ∴①式不成立；当01x <-时,010x +<,∴0301x <+,∴03111x -<-+,而00x a >, ∴①式不成立．综上所述,方程()0f x =没有负数根．例3．函数()log (1)xa f x a =-〔0a >且1a ≠〕．求证：〔1〕函数()f x 的图象在y 轴的一侧；〔2〕函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．证明：〔1〕由10x a ->得：1x a >,∴当1a >时,0x >,即函数()f x 的定义域为(0,)+∞,此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧； 当01a <<时,0x <,即函数()f x 的定义域为(,0)-∞,此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧． ∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；〔2〕设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点,且12x x <,如此直线AB 的斜率1212y y k x x -=-,1122121log (1)log (1)log 1x x x a a a x a y y a a a --=---=-,当1a >时,由〔1〕知120x x <<,∴121x x a a <<,∴12011x xa a <-<-,∴121011x xa a -<<-,∴120y y -<,又120x x -<,∴0k >； 当01a <<时,由〔1〕知120x x <<,∴121x x a a >>,∴12110x xa a ->->, ∴12111x xa a ->-,∴120y y -<,又120x x -<,∴0k >． ∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．同步练习〔二〕同步练习：1、函数)x (f 的定义域为]1,0[,求函数)x (f 2的定义域.答案：]1,1[-2、函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-,求)x (f 的定义域. 答案：]9,3[-3、函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-,求|)1x 2(|f -的定义域.答案：)23,1()0,21(⋃- 4、设()x x x f -+=22lg,如此⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为〔 〕A.()()4,00,4 -B.()()4,11,4 --C.()()2,11,2 --D.()()4,22,4 --解：选C.由202x x +>-得,()f x 的定义域为{}|22x x -<<.故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩,解得()()4,11,4x ∈--.故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4--5、函数)(x f 的定义域为)23,21(-∈x ,求)0)(()()(>+=a ax f ax f x g 的定义域.［解析］由,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-.232,2321,2321,2321a x a ax a a x ax 〔1〕当1=a 时,定义域为}2321|{<<-x x ； 〔2〕当a a 2323>,即10<<a 时,有221a a ->-, 定义域为}232|{a x a x <<-；〔3〕当a a 2323<,即1>a 时,有221aa -<-,定义域为}2321|{ax a x <<-.故当1≥a 时,定义域为}2321|{a x a x <<-；当10<<a 时,定义域为}.232|{a x a x <<-［点评］对于含有参数的函数,求其定义域,必须对字母进展讨论,要注意思考讨论字母的方法. 练习二〔5〕同步练习：1．函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕的单调递减区间是〔 〕A ．〔－∞,1〕B ．〔2,＋∞〕C ．〔－∞,23〕D ．〔23,＋∞〕 解析：先求函数定义域为〔－o ,1〕∪〔2,＋∞〕,令t 〔x 〕＝x 2＋3x ＋2,函数t 〔x 〕在〔－∞,1〕上单调递减,在〔2,＋∞〕上单调递增,根据复合函数同增异减的原如此,函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕在〔2,＋∞〕上单调递减．答案：B2找出如下函数的单调区间.〔1〕)1(232>=++-a a y x x ； 〔2〕.2322++-=x x y答案：<1>在]23,(-∞上是增函数,在),23[+∞上是减函数. 〔2〕单调增区间是]1,1[-,减区间是]3,1[.3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y xa 且的单调性.答案：,1>a 时),0(+∞为增函数,01>>a 时,)0,(-∞为增函数. 4．求函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的定义域、值域和单调区间．解：由μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4＞0,解得x ＞4或x ＜1,所以x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,当x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋,所以函数的值域是R ＋．因为函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕是由y＝31log μ〔x 〕与μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4复合而成,函数y ＝31log μ〔x 〕在其定义域上是单调递减的,函数μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4在〔－∞,25〕上为减函数,在［25,＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域与复合函数单调性,y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的增区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间,即〔－∞,1〕；y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的减区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4为增函数的区间,即〔4,＋∞〕． 变式练习 一、选择题1．函数f 〔x 〕＝)1(log 21－x 的定义域是〔 〕A ．〔1,＋∞〕B ．〔2,＋∞〕C ．〔－∞,2〕D ．]21(， 解析：要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,所以⎪⎩⎪⎨⎧≥0)1(log 0121－＞－x x 解得1＜x ≤2．答案：D2．函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕的单调递减区间是〔 〕A ．〔－∞,1〕B ．〔2,＋∞〕C ．〔－∞,23〕D ．〔23,＋∞〕 解析：先求函数定义域为〔－o ,1〕∪〔2,＋∞〕,令t 〔x 〕＝x 2＋3x ＋2,函数t 〔x 〕在〔－∞,1〕上单调递减,在〔2,＋∞〕上单调递增,根据复合函数同增异减的原如此,函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕在〔2,＋∞〕上单调递减． 答案：B3．假如2lg 〔x －2y 〕＝lg x ＋lg y ,如此xy的值为〔 〕 A ．4B ．1或41 C ．1或4D ．41错解：由2lg 〔x －2y 〕＝lg x ＋lg y ,得〔x －2y 〕2＝xy ,解得x ＝4y 或x ＝y ,如此有x y ＝41或y x ＝1．答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x －2y ＞0,所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ． 答案：D4．假如定义在区间〔－1,0〕内的函数f 〔x 〕＝a 2log 〔x ＋1〕满足f 〔x 〕＞0,如此a 的取值X 围为〔 〕 A ．〔0,21〕B ．〔0,1〕 C ．〔21,＋∞〕D ．〔0,＋∞〕 解析：因为x ∈〔－1,0〕,所以x ＋1∈〔0,1〕．当f 〔x 〕＞0时,根据图象只有0＜2a ＜l,解得0＜a ＜21〔根据本节思维过程中第四条提到的性质〕． 答案：A 5．函数y ＝lg 〔x－12－1〕的图象关于〔 〕 A ．y 轴对称B ．x 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：y ＝lg 〔x －12－1〕＝x x －＋11lg ,所以为奇函数．形如y ＝x x －＋11lg 或y ＝xx －＋11lg 的函数都为奇函数． 答案：C 二、填空题y ＝a log 〔2－ax 〕在［0,1］上是x 的减函数,如此a 的取值X 围是__________．解析：a ＞0且a ≠1⇒μ〔x 〕＝2－ax 是减函数,要使y ＝a log 〔2－ax 〕是减函数,如此a ＞1,又2－ax ＞0⇒a ＜x2〔0＜x ＜1〕⇒a ＜2,所以a ∈〔1,2〕． 答案：a ∈〔1,2〕7．函数f 〔x 〕的图象与g 〔x 〕＝〔31〕x的图象关于直线y ＝x 对称,如此f 〔2x －x 2〕的单调递减区间为______．解析：因为f 〔x 〕与g 〔x 〕互为反函数,所以f 〔x 〕＝31log x如此f 〔2x －x 2〕＝31log 〔2x －x 2〕,令μ〔x 〕＝2x －x 2＞0,解得0＜x ＜2．μ〔x 〕＝2x －x 2在〔0,1〕上单调递增,如此f ［μ〔x 〕］在〔0,1〕上单调递减； μ〔x 〕＝2x －x 2在〔1,2〕上单调递减,如此f ［μ〔x 〕］在［1,2〕上单调递增． 所以f 〔2x －x 2〕的单调递减区间为〔0,1〕． 答案：〔0,1〕8．定义域为R 的偶函数f 〔x 〕在［0,＋∞］上是增函数,且f 〔21〕＝0, 如此不等式f 〔l og 4x 〕＞0的解集是______．解析：因为f 〔x 〕是偶函数,所以f 〔－21〕＝f 〔21〕＝0．又f 〔x 〕在［0,＋∞］上是增函数,所以f 〔x 〕在〔－∞,0〕上是减函数．所以f 〔l og 4x 〕＞0⇒l og 4x ＞21或l og 4x ＜－21．解得x ＞2或0＜x ＜21．答案：x ＞2或0＜x ＜21三、解答题9．求函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的定义域、值域和单调区间．. 解：由μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4＞0,解得x ＞4或x ＜1,所以x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,当x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋,所以函数的值域是R ＋．因为函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕是由y ＝31log μ〔x 〕与μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4复合而成,函数y ＝31log μ〔x 〕在其定义域上是单调递减的,函数μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4在〔－∞,25〕上为减函数,在［25,＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域与复合函数单调性,y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的增区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间,即〔－∞,1〕；y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的减区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4为增函数的区间,即〔4,＋∞〕． 10．设函数f 〔x 〕＝532＋x ＋xx 2323lg ＋－, 〔1〕求函数f 〔x 〕的定义域；〔2〕判断函数f 〔x 〕的单调性,并给出证明；〔3〕函数f 〔x 〕的反函数f －1〔x 〕,问函数y ＝f －1〔x 〕的图象与x 轴有交点?假如有,求出交点坐标；假如无交点,说明理由．解：〔1〕由3x ＋5≠0且x x 2323＋－＞0,解得x ≠－35且－23＜x ＜23．取交集得－23＜x ＜23． 〔2〕令μ〔x 〕＝532＋x ,随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数； x x 2323＋－＝－1＋x236＋随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数． 又y ＝lg x 在定义域内是增函数,根据复合单调性可知,y ＝x x 2323lg ＋－是减函数,所以f 〔x 〕＝532＋x ＋x x 2323lg ＋－是减函数． 〔3〕因为直接求f 〔x 〕的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．设函数f 〔x 〕的反函数f －1〔x 〕与工轴的交点为〔x 0,0〕．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知,f 〔x 〕与y 轴的交点是〔0,x 0〕,将〔0,x 0〕代入f 〔x 〕,解得x 0＝52．所以函数y ＝f －1〔x 〕的图象与x 轴有交点,交点为〔52,0〕.。
对数型复合函数的单调性
对数型复合函数的单调性高考数学左老师2017-08-27 07:31有一类所谓的复合函数问题，尤其令人挠头.示例如下：你听过复合材料，复合型人才，什么叫“复合函数”呢？以本题为例，函数f(x)是对数函数吗？不是，只是有点像.是二次函数吗？也不是.我们无法把它归为学过的基本函数之一.但是，它和我们学过的对数函数、二次函数有部分相似的地方.通俗地讲，u是一座桥梁，或者说是一个中间人，通过它，y和x建立了对应关系.把一个复杂的函数看成由两个简单函数复合而成（本题对数函数和二次函数都是我们熟悉的，方便研究它们的性质），体现了数学的转化与化归思想----即把一个陌生的问题转化为熟悉的问题来处理.下面给出复合函数的高大上的定义.比如，上面这个例子童鞋们比较困惑的可能是内层函数、外层函数、复合函数的自变量、函数值是一样的吗？细心的读者一定会发现：u充当了外层函数的自变量，也充当了内层函数的函数值.为了解决本题，需要说说复合函数的单调性规律，这就是大家熟知的“同增异减”规律.也就是说，如果外层函数和内层函数单调性相同，则原函数单调递增；如果外层函数和内层函数单调性相反，则原函数单调递减.(为表述简洁，单调性的描述没有说“在某某区间上”，童鞋们自己要体会到)我把这个规律概括为“家和万事兴”--------内层、外层都是家庭的成员，不在乎它们自个儿是升迁还是降职，只要意见一致，保持团结，这个家庭就是蒸蒸日上的.回到本题.外层函数是对数函数，单调性由a确定，a与1的大小关系未知，需要分类讨论.内层函数是二次函数，单调性由开口方向、对称轴和定义域共同决定，也需要分类讨论.画出内层函数的草图，研究其为增函数的条件.仅仅这样还是不够的.这里的易错点在于，容易忽略外层函数定义域的要求，即必须保证u>0.再次强调，不要忽略真数部分恒为正数的前提条件.下面讨论0<a<1的情况.答案选B.小结：对数型复合函数单调性处理办法把复合函数拆为常见函数，熟悉常见函数的单调性规律；单调性规律：同增异减，也称为“家和万事兴”；必须确保真数部分始终为正数.。
复合函数例题
复合函数例题
复合函数例题是一种涉及到多个函数的问题，通常会要求计算多个函数之间的关系。
这类函数包括多项式、对数函数、指数函数以及三角函数等等，它们都可以用来描述和表示不同的函数关系。
复合函数例题的特点在于，它要求考生计算多个函数的组合，并且这些函数的关系可能也存在很多种变形。
因此，考生在解决复合函数例题时，必须要掌握不同函数之间的关系，熟悉函数的性质、求导和积分的方法，以及如何将多个函数组合起来，并利用相应的知识来解决问题。
举例来说，有一道复合函数例题如下：
已知函数f(x)＝2x⁴+x³-1，求函数g(x)=f(x)+f'(x)的值。
解：
首先用链式法则求出f'(x)的值：
∴f'(x)=8x³ + 3x²
将f'(x)的值代入g(x)中：
∴g(x)=2x⁴+x³-1+8x³+3x²=10x³+4x²-1
即g(x)=10x³+4x²-1
以上就是关于复合函数例题的详细说明。
可以看出，复合函数例题是一种涉及多个函数之间关系的问题，考生
在解决这类问题时，需要掌握函数的性质、求导和积分的方法，以及多个函数之间的组合关系。
只有掌握这些知识，才能有效地解决复合函数例题。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
千里之行，始于足下。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)复合函数是指由两个或多个函数相互作用形成的新函数。
在数学中，复合函数是一种常见的概念，并且在高等数学、线性代数、微积分等多个领域中都有应用。
本文将对复合函数的知识点进行总结，并通过分类讲解一些例题。
一、复合函数的定义：设有函数f和g，对于g的定义域中的每个x，存在f的定义域中的y，使得y=g(x)，则有一个复合函数h(x)=f(g(x))，它的定义域是所有能使得g(x)的值能成为f(x)定义域中的自变量的值的x。
二、复合函数的求解步骤：1. 确定复合函数的形式h(x)=f(g(x))。
2. 确定g(x)的定义域和f(x)的定义域，并找到能使得g(x)的值成为f(x)的自变量的值。
3. 将g(x)的值代入f(x)中，得到新的函数h(x)。
三、复合函数的性质：1. 复合函数的定义域是g(x)的定义域和f(x)的定义域的交集。
2. 复合函数的值域是f(x)的值域的子集。
四、复合函数的例题分类讲解：1. 简单的复合函数求导：例题1：已知f(x)=x²和g(x)=2x+1，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
解析：首先计算g'(x)=2，然后计算f'的导函数f'(x)=2x。
根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=2(2x+1)*2=8x+4。
2. 复合函数中含有指数函数：例题2：已知f(x)=eˣ和g(x)=ln(x)，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
解析：首先计算g'(x)=1/x，然后计算f'的导函数f'(x)=eˣ。
根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=eˣ*(1/x)=eˣ/x。
3. 复合函数中含有三角函数：例题3：已知f(x)=sin(x)和g(x)=x²，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域-【题型分类归纳】高一数学上学期同步讲与练(解析版)
函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域一、复合函数的概念如果函数()=y f t 的定义域为A ，函数()=t g x 的定义域为D ，值域为C ， 则当⊆C A 时，函数()()=y f g x 为()f t 与()g x 在D 上的复合函数， 其中()=t g x 叫做内层函数，()=y f t 叫做外层函数 二、复合函数的单调性1、复合函数单调性的规律：“同增异减”若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数 2、具体判断步骤（1）求出原函数的定义域；（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论. 三、指数型复合函数值域的求法1、形如()=x y f a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域借助换元法：令=x a t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域， 但要注意“新元t ”的范围2、形如()=f x y a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用=y a μ的单调性求出()=f x y a 的值域。
四、对数型复合函数值域的求法1、形如(log )=a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 借助换元法：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域M ， 再利用()=y f t 在M 上的单调性，再求出()=y f t 的值域。
2、形如()log =a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数的值域 借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用log =a y μ的单调性求出()log =a y f x 的值域。
题型一 复合函数的单调性判断【例1】（多选）函数2(65)1()()2x x f x -+-=在下列哪些区间内单调递减（ ）A ．(3),-∞B ．(3,5)C ．(1,3)D ．(2,3) 【答案】ACD【解析】由题意，函数1()2xy =在R 上单调递减，又由函数265y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减， 结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.【变式1-1】求函数21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间___________.【答案】增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【解析】设t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭>0，又22817(4)1y t t t =-+=-+在(0,4]上单调递减，在(4,)+∞上单调递增.令12x⎛⎫ ⎪⎝⎭≤4，得x ≥－2，令12x⎛⎫⎪⎝⎭>4，得x <－2. 而函数t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以函数21181722x xy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-.故答案为：增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【变式1-2】函数()()212log 32f x x x =-+-的单调递减区间为（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由2320x x -+->得：12x <<，即()f x 定义域为()1,2；令232t x x =-+-，则t 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 又12log y t=在()0,∞+上单调递减，()()212log 32f x x x ∴=-+-的单调递减区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【变式1-3】函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．【答案】(2,0]-【解析】由240x ->，得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-， 令24t x =-，则ln y t =，因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数， 所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减， 故答案为：(2,0]-题型二 根据复合函数的单调性求参数【例2】若函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．4a ≤-B ．2a ≤-C ．2a ≥-D ．4a ≥- 【答案】C【解析】依题意函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，15xy =在R 上递减， 2y x ax =+的开口向上，对称轴为2ax =-，根据复合函数单调性同增异减可知，122a a -≤⇒≥-.故选：C【变式2-1】若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.【答案】1m ≤-【解析】由复合函数的同增异减性质可得，221y x mx =+-在[1,1]-上严格单调递减，二次函数开口向上，对称轴为x m =- 所以1m -≥，即1m ≤- 故答案为：1m ≤-【变式2-2】已知f （x ）＝()212log 3x ax a -+在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】](4,4-【解析】二次函数23=-+y x ax a 的对称轴为2=a x ， 由已知，应有22≤a，且满足当x ≥2时y ＝x 2－ax ＋3a >0， 即224230⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩a a a ，解得44-<≤a ．故答案为：](4,4-【变式2-3】若函数()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．3724⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．3724⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】因为()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减， 所以，函数()212log 22y x ax =-+-在312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，且函数值非负， 所以函数222t x ax =-+-在312⎛⎫ ⎪⎝⎭，是单调递增且01t <≤， 故2232332121220a a a ⎧≥⎪⎪⎪⎛⎫-+-≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+-≥⎪⎩，解得3724a ≤≤，故选：C【变式2-4】已知()()2log 3(0a f x x ax a =-+>且1)a ≠，对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】(【解析】因为对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，所以()f x 在(,]2a-∞上单调递减，因为23y x ax =-+在(,]2a-∞上单调递减，由复合函数的单调性知1a >，又由对数函数的定义域知，当(,]2a x ∈-∞时，230x ax -+>恒成立，可得2()3022a a a -⨯+>，解得a -<<综上可得；1a <<a 的取值范围为(.【变式2-5】已知函数()log a f x x =，记()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=⋅+-⎣⎦，若()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()()0,11,2UD ．[)2,+∞【答案】A【解析】()()()()()21log log log 21a a a g x f x f x f x x ⎡⎤=⋅+-=+⎣-⎦， 则()()22lg lg lg 21lg lg lg 2lg lg lg lg lg 1x x g x x a x a a a a ⎛⎫-⎡⎤=+=-- ⎪⎣⎦⎝⎭， 令lg t x =，由1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以[]lg 2,lg 2t ∈-，令()()221lg lg 2lg M t t a t a⎡⎤=--⎣⎦， 因为()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以()M t 在[]lg 2,lg 2t ∈-也是增函数， 所以lg lg 21lg 2lg lg 2lg 22a a -≤-⇒≤-=， 则102a <≤，即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：A.题型三 复合函数的值域求解【例3】函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．[)2,+∞【答案】C【解析】令22t x x =-+，则2(1)11t x =--+≤，因为1()2ty =在R 上单调递减，所以12y ≥，故函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：C【变式3-1】函数113()934x xf x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________.【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝，2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【变式3-2】已知函数2()421x x f x +=--，[0,2]x ∈则其值域为___________. 【答案】[]5,1--【解析】令2x t =，∵[0,2]x ∈，∴14t ≤≤，∴22()41(2)5f t t t t =--=--， 又()y f t =关于2t =对称，2t ∴=即1x =时，函数取得最小值，即min ()5f x =-，4t =即2x =时，函数取得最大值，即max ()1f x =-， ()[5f x ∴∈-,1]-.【变式3-3】已知函数()()()44log 1log 3f x x x =++-，求()f x 的单调区间及最大值． 【答案】单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3；()max 1=f x【解析】由1030x x +>⎧⎨->⎩得：13x -<<，()f x ∴的定义域为()1,3-；()()()()()224444log 1log 3log 23log 14f x x x x x x ⎡⎤=++-=-++=--+⎣⎦， 令()()214t x x =--+，则()t x 在()1,1-上单调递增，在()1,3上单调递减，又4log y t =在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：()f x 的单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3； 由单调性可知：()()4max 1log 41f x f ===.【变式3-4】已知()222()log 2log 4,[2,4]f x x x x =-+∈．（1）设2log ,[2,4]t x x =∈，求t 的最大值与最小值；（2）求()f x 的值域．【答案】（1）2t =最大，1t =最小；（2）[3，4].【解析】（1）因为函数2log t x =在区间[2，4]上是单调递增的，所以当4x =时，2log 42t ==最大， 当2x =时，2log 21t ==最小．（2）令2log t x =，则()()()222413f x g t t t t ==-+=-+，由（1）得[]1,2t ∈，因为函数()g t 在[]1,2上是单调增函数，所以当1t =，即2x =时，()min 3f x =；当2t =，即4x =时，()max 4f x =， 故()f x 的值域为[]3,4.【变式3-5】已知函数()2421x xf x a =⋅-⋅+，求函数()f x 在[]0,1上的最小值．【答案】()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩【解析】设2x t =，由[0,1]x ∈得[1,2]t ∈，2()()21f x g t t at ==-+，222()212()148a a g t t at t =-+=-+-，当14a ≤，即4a ≤时，min ()(1)3g t g a ==-， 当124a <≤，即48a <≤时，2min ()()148a a g t g ==-， 当，即8a >时，min ()(2)92g t g a ==-， 综上()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩．【变式3-6】已知函数()1423x x f x a +=⋅--，若0a >，求()f x 在区间[]1,2上的最大值()g a ．【答案】()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.【解析】令[]22,4x t =∈，即求()223h t at t =--在区间[]2,4上的最大值．当0a >时，二次函数()223h t at t =--的图象开口向上，对称轴为直线1t a=.①当12a ≤时，即当12a ≥时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递增，则()()41611g a h a ==-； ②当123a<≤时，即当1132a ≤<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因为()247h a =-，()41611h a =-，()()421240h h a -=-≥， 则()()41611g a h a ==-； ③当134a<<时，即当1143a <<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，此时，()()42h h <，则()()247g a h a ==-；④当14a ≥时，即当104a <≤时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递减， 所以，()()247g a h a ==-.综上所述，()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.题型四 根据复合函数的值域求解【例4】若函数()22312ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值是2，则=a （ ）A ．14B ．14-C ．12 D ．12- 【答案】A【解析】由1()2uy =在定义域上递减，要使()f x 有最大值，则223u ax x =-+在定义域上先减后增， 当max ()2f x =，则223u ax x =-+的最小值为1-，所以0131a a>⎧⎪⎨-=-⎪⎩，可得14a =.故选：A【变式4-1】已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a xa t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116， 当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.【变式4-2】已知函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，函数()()22222f x x x g x m -=++⋅的最小值为3-，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．52-C ．2-D ．43【答案】B【解析】因为函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()22log 41log 41x x ax ax -+-=++，所以()()222log 41log 410x x ax -++-+=， 其中()()()()()22222241441441log 41log 41log log log log 424141414x x x x x x x x x x x x x ---+⋅+⋅++-+=====+++⋅， 所以220ax x +=，解得1a =-，所以()()2log 41x f x x =+-，所以()()2log 414122222x x x f x x x x +--+===+， 故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-．令22x x t -+=，则2t ≥，故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-等价于()()222h t t mt t =+-≥的最小值为3-， 等价于()2? 22223m h m ⎧-≤⎪⎨⎪=+=-⎩或22? 22324m m m h ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得52m =-．故A ，C ，D 错误.故选：B ．【变式4-3】函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值， 则a 的取值范围是______． 【答案】22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】令()2234a t x ax x =++，则外函数为()lg f t t =， 因为lg y t =在定义域上单调递增，要使函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值， 即()2234a t x ax x =++的值域能够取到0，且不恒小于等于0，当0a =时()23t x x =，符合题意，当0a <时()2234a t x ax x =++开口向下， 只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯> ⎪⎝⎭，解得2233-<<a ，即203a -<<； 当0a >时()2234a t x ax x =++开口向上， 只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭，解得2233a -≤≤，即203a <≤； 综上可得2233a -<≤，即22,33a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【变式4-4】已知函数()()213log 25f x x mx =-+，若()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围.【答案】(),-∞⋃+∞ 【解析】由()f x 的值域为R ，可得225u x mx =-+能取()0,∞+内的一切值，故函数225u x mx =-+的图象与x 轴有公共点， 所以24200m -≥，解得m ≤m ≥故实数m 的取值范围为(),-∞⋃+∞．。
与对数函数有关的复合函数单调性
与对数函数有关的复合函数单调性1.适用对象分析：明确适用该“微课”资源的教师（学生）应具备和相关联的知识或技能。
从知识储备方面，首先，学生已经学习了对数函数的基本概念、图像及性质，为本节课的进一步学习准备好了必要的知识基础；其次，学生已经学习了指数函数及其性质，已经具备了研究基本初等函数的初步经验，而构造指数函数，利用指数函数性质解决问题的方法也为本节课提供了很好的研究问题的思路。
另外，由于学生初学对数函数，对对数的应用并不是非常得心应手，因此在课堂上需要多给学生思考及动手操作的时间，适当的时候也需要老师加以引导。
2．学习内容分析：明确该“微课”资源的学习内容或知识点，以及该知识点在学科课程知识中的作用与地位。
（1）对数的发明是17世纪数学的重大成果之一，它的重要性在于大大提高了数字计算的速度，直到计算机与计算器普及之前，对数表和对数计算尺还在计算中发挥着重要的作用。
恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始、微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就。
（2）应用广泛：对数是指数的逆运算，对数函数是指数函数的反函数，它们都来源于生产实际，并且有着广泛的应用，如细胞分裂、国民生产总值的预测、利率问题的计算等等。
（3）对数知识是培养学生应用数学意识的良好题材，学习对数要注意抓住指数与对数的关系这一关键，学习对数函数关键是抓住对数函数是指数函数的反函数这一要领。
同时要结合实际问题引入，通过实际问题的求解，培养运用对数知识解决实际问题的能力。
3．教学目标分析：明确该“微课”资源的教学目的或作用，能帮助教师和学生解决教与学中的什么问题，达到什么目标二、教学目标的确定1、教学重、难点教学重点：对数函数单调性应用教学难点：构造对数函数解决问题2、教学目标：知识与技能进一步理解对数函数性质，利用对数函数的单调性解决比较对数值大小、解不等式等问题;过程与方法通过对数函数性质的应用，感受数形结合与函数思想方法的作用;情感态度价值观通过对对数函数底数的探究,领悟事物从量变到质变的规律.培养学生用辩证的观点，观察问题、分析问题、解决问题的能力．三、教学方法与手段的选择为了实现本节课的教学目标，突出教学重点，突破难点，结合教学内容和学生情况以及我自己的授课特点，采用两端式和启发探究式相结合的教学方法。
对数型复合函数
并求函数的最小值
单调增区间：[0,1) 单调减区间：(-1,0]
最小值：ymin=0
变式训练.求函数 y log2 (1 x2 ) 的单调 区间，并求函数的最大值
单调增区间：(-1,0] 单调减区间：[0,1)
最大值：ymax=0
练习
练习.确定函数 y log1 (x2 2x) 的单调
2
性，并求函数的值域
值域：[0,+∞)
单调增区间：[1,2) 单调减区间：(0,1]
三.例题分析
例2.已知函数
x 1 y log2 x 1
（求其定义域，
（2判断函数的奇偶性，并求函数的单调性
定义域（-∞，-1）∪（1,+∞) 奇偶性：奇函数 单调减区间：（-∞，-1）与（1,+∞) 无单调增区间
小结：
1.复合函数的定义； 2.求复合函数的单调性的方法和步骤；
口诀：同增异减 注意：定义域优先原则。
(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性； (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都
增或都减），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一增
一减），则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数。 概括为一句口诀：“同增异减”。
三.例题分析
例1.求函数 y log1 (1 x2) 的单调区间，
对数型复合函数
学习目标
1.了解对数型复合函数； 2.会求对数型复合函数的有关 性质：定义域、值域、单调性 和奇偶性。
一.复习
1.函数y=f[g(x)]称为函数y=f(u)及u=g(x) 的复合函数
2.复合函数单调性判断方法：同增异减。
3.判断复合函数y=f[g(x)]的单调性的步骤：
二次函数与对数函数的复合问题
二次函数与对数函数的复合问题二次函数与对数函数的复合问题涉及到两个不同类型的数学函数的组合运算。
在本文中，将探讨这种组合的性质、解决方法以及相关的数学应用。
1. 二次函数的基本性质首先，我们来了解一下二次函数的基本性质。
二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
它的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线。
2. 对数函数的基本性质接下来，我们来了解一下对数函数的基本性质。
对数函数的一般形式为：f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为正实数。
对数函数的图像是一条渐近于y轴的曲线，且有一定的增长特点。
3. 二次函数与对数函数的复合现在，我们将考虑将二次函数与对数函数进行复合运算。
假设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，对数函数为g(x) = loga(x)，则复合函数可以表示为h(x) = g(f(x))。
即先将x代入二次函数中得到y，再将y代入对数函数中得到z。
4. 求解复合函数的性质与特点为了求解复合函数h(x) = g(f(x))的性质与特点，我们可以分别考察二次函数f(x)和对数函数g(x)的性质，并将其组合应用于复合函数h(x)。
- 当二次函数f(x)为开口朝上的抛物线时，复合函数h(x)的定义域为实数集，值域为正实数集。
- 当二次函数f(x)为开口朝下的抛物线时，复合函数h(x)的定义域有一定的限制，即要求f(x)的取值范围在对数函数g(x)的定义域内，并且值域为正实数集。
- 当二次函数f(x)在某区间上单调递增（或递减）时，复合函数h(x)也具有相应的单调性。
- 当二次函数f(x)与对数函数g(x)的零点（即函数f(x)与g(x)的交点）存在时，复合函数h(x)也具有相应的零点。
5. 数学应用二次函数与对数函数的复合问题在实际生活和工作中有着广泛的应用。
以下列举几个例子：- 投射问题：在物理学中，抛射物体的运动轨迹可以用二次函数描述，而空气阻力常数又可以用对数函数表示。
log-a函数运算法则
log-a函数运算法则在数学中，对数函数是指以一些正数为底的指数函数的反函数。
对数函数的运算法则是指对数函数进行数学运算时所遵循的规则，它包括对数函数的运算规律和对数运算的性质。
以下是对数函数的运算法则：1. 对数函数的复合函数关系：对于任意的正数a、b和任意的x，有loga[loga(x)] = x。
也就是说，先使用一个底数为a的对数函数处理x，然后再使用以a为底的对数函数处理结果，得到原始的x。
2. 对数函数的乘法法则：对任意的正数a、b和任意的x，有loga(x * b) = loga(x) + loga(b)。
也就是说，对数函数的底数不变，对两个数的乘积取对数等于对两个数分别取对数再相加。
3. 对数函数的除法法则：对任意的正数a、b和任意的x，有loga(x / b) = loga(x) - loga(b)。
也就是说，对数函数的底数不变，对两个数的商取对数等于对两个数分别取对数再相减。
4. 对数函数的幂法法则：对于任意的正数a、b和任意的x，有loga(b^x) = x * loga(b)。
也就是说，对数函数的底数不变，对一个数的幂次取对数等于对该数取对数后再乘以指数。
5. 对数函数的换底公式：对于任意的正数a、b和n，有loga(b) = logn(b) / logn(a)。
也就是说，对数函数的底数可以先换成其他底数，然后再计算对应的对数。
6. 对数函数的特殊值：loga(1) = 0，其中a大于0且不等于1、这是因为任何数的以自身为底的对数等于17.对数函数的性质：对数函数的图像是递增的，随着自变量的增大，函数值也增大。
这些对数函数运算法则是在数学中对对数函数进行运算和推导所使用的基本法则。
对数函数的数学性质和运算法则可以帮助我们在计算和解决实际问题时更灵活地使用对数函数，并简化计算过程。
对数型复合函数相关问题
令 =_x001A_2−_x001B__x001A_−1_x001B_ >0 ∴ _x001A_2−_x001B__x001A_−1_x001B_>0 _x001A_−1_x001B_<0<2
=_x001A_2−_x001B__x001A_−1_x001B_
令 =−1 (4<<28)
−3<<−1
=_x001A__x001A_log_x001B__x001A_1_x001B_3_x001B__x001B__x001B__x001A_−1_x001B_ (4<<28) _x001B_
1，先求出函数定义域
01
1−_x001B__x001A_+3_x001B_><<1
定义域
内函数
外函数
复合函数
=_x001A__x001A_log_x001B__x001A_1_x001B_2_x001B__x001B__x001B_(−_x001A__x001B_2_x001B_+4)_x001B_
定义域
内函数
外函数
复合函数
=_x001A__x001A_log_x001B_3_x001B__x001B_(−_x001A__x001B_2_x001B_+4+5)_x001B_
在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
当 x＞1 时，y＞0当 0＜x ＜1 时， y＜0
当 x＞1 时，y＜0当 0＜x＜1 时，y＞0
复合函数值域求解
复合函数单调性求解
）
01
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02
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对数函数中的复合函数问题
对数函数中的复合函数问题教学目的：通过一些例题的讲解，对对数函数的性质、图象及与二次函数的复合函数问题进行复习，使学生加深对函数的认识，能够对一些有难度的题进行分析解决。
教学难点：复合函数中定义域、值域以及单调性的求解。
教学过程：先复习对数函数以及性质。
下面我们来做几道例题。
我们在遇到的一些问题中往往对数函数不是单独出现的，它总是和其他函数同时出现，特别是二次函数。
那么如何来解决这类比较复杂的问题呢？把对数函数和二次函数结合起来，最常见的就是复合函数。
下面就先来看这么一道题例1的单调递增区间是（）。
A. B. C. D.分析：由于以1/2为底的对数函数是一个单调减函数，所以要求该函数的单调递增区间，也就是要求该二次函数的单调递减区间。
下面我们就把问题转化为解决二次函数的问题。
对于该二次函数进行配方，我们可以很容易看出是一个开口向上的抛物线，则其在x小于－1/2时为单调递减，x大于－1/2时为单调递增。
那么该题是否到此为止了呢？其实在此对于上面的二次函数是有范围的，也就是说即x<-2或x>1综上所述，我们应该选择A。
一般化：对于类似与上面这题的复合函数的单调区间是怎样的．该二次函数图象为一开口向上的抛物线。
抛物线与x轴有两个交点抛物线与x轴只有一个交点抛物线与x轴没有交点利用几何画板作图探究并验证：（略）例2若函数的值域为一切实数,求实数的取值范围。
按照通常的做法，要使函数有意义，必须有：对一切实数x都成立，即其实当时，可以看出可见值域并非为R，说明上述解答有误。
要使函数的值域为R，即要真数取遍所有正数，故二次函数的图象与x轴有交点，所以，得或。
故实数a的取值范围为。
我们在考虑这类复合函数问题的时候，要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的定义域和值域的变化。
以上这两题中的二次函数是作为对数函数的一部分出现的，那么，对数函数作为二次函数的一部分出现时，又该怎样呢？下面来看这几道题：例3若，且，求的最值。
对数函数与相关复合函数
考点1：对数的性质1．对数的概念一般地，如果b a N =(0a >，且1)a ≠，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a2．对数恒等式与对数的性质对数恒等式：log a N a N =．对数log a N （0a >且1a ≠）具有下列性质： ⑴ 零和负数没有对数，即0N >； ⑵ 1的对数为零，即log 10a =；⑶ 底的对数等于1，即log 1a a =．3．常用对数与自然对数：对数log a N （0a >且1a ≠）， ⑴ 当10a =时，叫做常用对数，记做lg N ；⑵ 当e a =时，叫做自然对数，记做ln N ．e 为无理数，e 2.71828≈．对数式与指数式的关系及相互转换底数(a >0且a ≠1)对数真数幂指数log a N=bN>0a b =N利用对数式与指数式这一关系，可以把指数与对数进行互化，从而使问题顺利地得到解决，求某些对数值就可把它转化为指数问题．求下列各式中的x暑假知识回顾知识点睛6.1对数与对数运算第6讲 对数函数与相关复合函数⑴82log 3x =-；⑵3log 274x =；⑶25log (log )0x =；⑷3log (lg )1x =【解析】 ⑴14；⑵81；⑶5；⑷1000．【例1】 ⑴在对数式(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或2a <B ．25a <<C ．23a <<或35a <<D ．34a << ⑵若()()()()()()234342423log log log log log log log log log 0x y z ===，则x y z ++=（ ）A ．50B ．58C ．89D ．111⑶ ①设2log 3x =，则332222x xx x---=-_______；②设log 2a m =，log 3a n =，则2m n a +=_______． 【解析】 ⑴C ；⑵C ；⑶ ①199；②12；考点2：对数的运算1．对数的运算性质：如果0a >，且100a M N ≠>>，，，那么： ⑴ log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和）推广1212log ()log log log a k a a a k N N N N N N ⋅⋅⋅=+++．⑵ log log log a a a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶ log log ()a a M M ααα=∈R （正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数）2．换底公式：log log log a b a NN b=（010a b a b N >≠>，，，，）．换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的．【教师备案】换底公式的一个重要应用：log log 1m n n m ⋅=；还有一个比较常用的变形公式是：lg lg log log lg lg m n na m ab n b nb b a m a m===．暑假知识回顾知识点睛经典精讲1．下列各等式中，正确运用对数运算性质的是（ ）A．()22lg (lg )lg 0x x y x =+> B．(()22lg (lg )lg 2lg 0x x y z x =++>C．(()2lg 2lg lg 2lg 0x x y z x =+-> D．(()21lg 2lg lg lg 02x x y z x =++>【解析】 D2．求下列各对数值⑴41log 8；⑵13log ； ⑶522log 253log 648ln1+-【解析】⑴32-；⑵32-；⑶22．3．已知ln2a =，ln3b =，那么3log 2用含a ，b 的代数式表示为（ ）A ．a b -B ．abC ．abD ．a b + 【解析】 C4．若a 、0b >，且a 、1b ≠，log log a b b a =，则（ ）A ．a b =B ．1a b =C ．a b =或1a b= D ．a 、b 为一切非1的正数【解析】C【例2】 ⑴求下列各值 ①221log 36log 32-； ②22(lg5)lg 2lg 25(lg 2)+⋅+； ③222lg5lg8lg5lg20lg 23++⋅+；④23lg 3lg 955lg81lg 27++-⑵按照要求填空① 已知lg2a =，lg3b =，则12log 15=______（用a ，b 表示）． ②计算：5757log log 91log log 3=⋅_______．【解析】 ⑴ ①1；② 1；③3；④ 115；⑵ ①12b a a b -++．②32-；经典精讲6.2对数函数1．对数函数：我们把函数log (0a y x a =>且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0)+∞，，值域为实数集R ．2．对数函数的图象和性质：函数logy x =（且）的图象特征和性质．【说明】对数函数log a y x =的底a 越大，函数图象在x 轴上方部分越偏居右侧，如图所示．考点3：对数函数的图象【例3】 ⑴若函数log ()a y x b =+（0a >，1a ≠）的图象过两点(10)-，和(01)，，则a =______， b =_____．⑵设0a >且1a ≠，函数()()log 211a f x x =-+的图象恒过定点P ，则P 的坐标是（ ）A ．()1,1B ．()1,1-C ．()11-，D ．()11--，⑶在同一坐标系中画出函数log a y x =，x y a =，y x a =+的图象，可能正确的是（ ）经典精讲知识点睛【解析】 ⑴22，．⑵ A ； ⑶ D ；考点4：对数值的大小比较⑴ 若两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数1a >为增函数；01a <<为减函数）比较． ⑵ 若两对数的底数不同而真数相同，如1log m y x =与2log n y x =的比较（0m >，1m ≠，0n >，1n ≠）． ① 当1n m >>时，当1x >时，12y y >；当01x <<时，12y y <． ② 当01m n <<<时，当1x >时，12y y >；当01x <<时，12y y <．⑶1．比较大小（填“>”，“<”或“=”）．① 20131log 2012____20131log 2011； ② 0.1log 2012____0.1log 2013；③ 1.5log 2013____2log 2013； ④ 0.51log 2013____0.81log 2013．【解析】 ①<；②>；③>；④<．2．若ln πa =，lg6b =，0.2log 8c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 【解析】 A ．经典精讲暑假知识回顾知识点睛B ACD【例4】 ⑴（2012北京西城高三一模理6）若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确的是（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c b a << D ．b c a <<⑵若01a b <<<，则在log log b a a b a b b a ，，，这四个数中最大的一个是_________． ⑶① 若log 0.8log 1.3a a >，则a 的取值范围为_______；② 若log 4log πa a >，则a 的取值范围为__________；③ 若0.50.5log log 3a >，则a 的取值范围为__________；④ 若3log 14a <，则a 的取值范围为_________．【解析】 ⑴ D⑵ log b a ； ⑶ ①01a <<；②1a >； ③03a <<；④304a <<或1a >．【拓展】若()log 2log 20011a b a b a b <>>≠≠，，，，则下列关系不可能成立的是（ ） A ．1a b >> B ．1a b >> C ．01a b <<< D ．01b a <<<【解析】 D【备选】求不等式2log (583)2x x x -+>的解集．【解析】 不等式的解集为133252⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．【点评】 对于含有参数的两个对数值的大小比较，除了要注意挖掘隐含条件外，还需要对a 进行讨论．不过对于这一类的大小比较问题，并不是底数为参数时，就一定要讨论，而应遵循的原则是：尽量回避讨论，尽量推迟讨论．考点5：对数函数与指数函数的关系⑴ 反函数：当一个函数是一一映射时，可以把一个函数的因变量作为一个新函数的自变量时，而 这个函数的自变量作为新的函数的因变量．我们称这两个函数互为反函数．⑵ 对数函数log a y x =与指数函数x y a =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称．【教师备案】因为对数函数与指数函数密切相关，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处与指数函数相对照．如：指数函数的值域为(0)+∞，，变成了对数函数的定义域；而指数函数的定义域为实数集R ，则变成了对数函数的值域；同底的指数函数与对数函数的图象关于直线y x =对称等．知识点睛1．若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数，且(2)1f =，则()f x =（ ）A ．2log xB ．12x C ．12log x D ．22x -【解析】 A ；2．已知函数x y a b =+的图象过点()14，，其反函数的图象过点()20，，则a = ，b = ． 【解析】 31a b ==，．【例5】 ⑴将2xy =的图象关于直线y x =对称后，再向右平移一个单位所得图象表示的函数的解析 式是（ ）A ．()2log 1y x =+B ．()2log 1y x =-C ．2log 1y x =+D ．2log 1y x =-⑵函数()f x 的图象与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称，则|()|f x 的单调减区间为（ ）A ． (,1)-∞B ． [1,)+∞C ． (0,1]D ． [1,2)⑶若函数2log 2y x =+的反函数定义域为()3+∞，，则此函数的定义域为 ．【解析】 ⑴B ；⑵C ；⑶()2+∞，．考点6：对数函数相关的定义域、值域问题1． ①函数y = ）A ．()3+∞，B ．[)3+∞，C ．(]4-∞，D ．(]04，②函数y 的定义域为 ．③函数=y ___________．【解析】 ① D ；②(1,2]；暑假知识回顾6.3与对数函数相关的复合函数的性质经典精讲暑假知识回顾③[)22log 33--，；2．求下列函数的值域①2log (1)y x =+；②22log (1)y x =+；③121log 1y x =-；④212log (23)y x x =-+； ⑤()2log 31x y =+．【解析】 ①R ；②[)0+∞，；③R ；④(]1-∞-，；⑤(0)+∞，．【例6】 ⑴求函数21124log log 5⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x x 在[]24，上的最值．⑵已知()32log ([19])f x x x =+∈，，求函数22[()]()y f x f x =+的最大值与最小值． ⑶已知函数()()2log 23=-+a f x x x 在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值比最小值大2，求a ．【解析】 ⑴max 10=y ，min 132=y ．⑵ 1x =时，y 有最小值6；3x =时，y 有最大值13．点评：本题易错点容易忽略定义域．⑶；【例7】已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++． ⑴若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； ⑵若()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．【解析】 ⑴ a 的取值范围是(]513⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，．⑵ a 的取值范围是513⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．考点7：与对数函数有关的单调性问题1．函数212()log (1)f x x =+的增区间为___________；减区间为____________．【解析】 (]0-∞，，[0)+∞，；暑假知识回顾经典精讲2．函数22()log (23)f x x x =--的增区间为_____________；减区间为____________．【解析】 (3)+∞，，(1)-∞-，．3．函数212log (32)y x x =+-的增区间为 ，减区间为 ．【解析】 [)13，，(11]-，． 易错点：容易忽略函数的定义域．由2320x x +->解得函数212log (32)y x x =+-的定义域是{}|13x x -<<．函数212log (32)y x x =+-是由对数函数12log y u =和二次函数232u x x =+-复合而成，求其单调区间及值域时，应从232u x x =+-的单调性、值域入手，并结合12log y u=的单调性统筹考虑．【方法总结】解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是注意其定义域；二是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；三是运用复合函数性质来判断其单调性．【例8】 ⑴判断下列函数的单调性：①()222()log 2log =-f x x x②()23()log =-f x x ⑵函数212log (23)y x mx =-+在(1)-∞，上为增函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ⑴①在[)2+∞，上单调递增，在(]02，上单调递减． ②在(]01，上单调递增，在[)1+∞，上单调递减． ⑵ 12m ≤≤．考点8：对数函数的综合问题【例9】 ⑴若定义在()0+∞，的函数()f x 单调递减，且123f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求不等式8(log )2f x >的解集．⑵若函数212log 0()log ()0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，，，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是________．⑶解下列不等式①2log 2log x x >；②()10.50.51log 21log 222x x -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭≤．【解析】 ⑴ {}12x x <<．经典精讲经典精讲⑵ 1a >或10a -<<． ⑶①()10022⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪，．②22[log31log 5]-，．若1x 满足225x x +=，2x 满足222log (1)5x x +-=，求12x x +的值．【解析】 由题意知()111111115322521222x x x x x x --+=⇒+=⇒-+=．22222log (1)5x x +-=2225log (1)2x x ⇒+-=()22231log (1)2x x ⇒-+-=22log (1)223log (1)22x x -⇒-+=．所以22log (1)x -、11x -均满足方程322t t +=．由函数图象法易知322t y y t ==-，有且只有一个交点，所以方程322t t +=有唯一实根．所以221log (1)1x x -=-．所以()2122231(1)(1)log (1)2x x x x -+-=-+-=，即1272x x +=．也可令112211t x t x =-=-，，得到11322t t =-，2223log 2t t =-；2x y =与2log y t =的图象关于y x =对称，故它们与32y x =-的图象的交点（结合图象知，都存在且都唯一）也关于y x =对称，从而关于32y xy x =⎧⎪⎨=-⎪⎩的交点3344⎛⎫⎪⎝⎭，对称，即1232t t +=，从而1237222x x +=+=．【演练1】计算: 21log 32.51log 6.25lg e 2100+++． 【解析】 132．【演练2】已知函数12()2(1)2xx f x f x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，≥，，则函数2(log 3)f 的值为________． 实战演练【解析】 16【演练3】若0m n <<，则下列结论正确的是（ ）．A ．22m n >B ．1122m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．22log log m n > D ．1122log log m n > 【解析】 D【演练4】⑴函数y =的定义域为 ． ⑵ 函数212log (4)y x x =-的值域是（ ）A ．[2)-+∞，B ．RC ．[0)+∞，D ．(04]，【解析】 ⑴()()[)1132-∞---+∞，∪∪，．⑵ A【演练5】已知()1log 1a x f x x+=-（0a >且1a ≠）， ⑴ 求()f x 的定义域；⑵ 求使()0f x >的x 的取值范围．【解析】 ⑴ 定义域为()11-，． ⑵ 当1a >时，所求范围为{}01x x |<<；当01a <<时，所求范围为{}10x x |-<<．【演练6】函数212log (5)y x mx =-+在[)1-+∞，上为减函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 62m -<-≤．（2009福建高一数学竞赛第11题）设[]x 是不超过x 的最大整数，则[][][][]3333log 1log 2log 3log 500++++=＿＿＿＿＿．【解析】 2142记3[log ]x n =（n ∈N ），则3log 1n x n <+≤，133n n x +<≤．若0n =，则0133x <≤，符合条件的整数x 有2个；若1n =，则1233x <≤，符合条件的整数x 有6个；若2n =，则2333x <≤，符合条件的整数x 有18个；若3n =，则3433x <≤，符合条件的整数x 有54个；若4n =，则4533x <≤，符合条件的整数x 有162个；若5n =，则5633x <≤，结合500x ≤知，符合条件的整数x 有258个．∴333[log 1][log 2][log 500]0216218354416252582142+++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 大千世界。
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对数函数中的复合函数问题 教学目的：通过一些例题的讲解，对对数函数的性质、图象及与二次函数的复合函数问题进行复习，使学生加深对函数的认识，能够对一些有难度的题进行分析解决。
教学难点：复合函数中定义域、值域以及单调性的求解。
教学过程：先复习对数函数以及性质。
下面我们来做几道例题。
我们在遇到的一些问题中往往对数函数不是单独出现的，它总是和其他函数同时出现，特别是二次函数。
那么如何来解决这类比较复杂的问题呢？
把对数函数和二次函数结合起来，最常见的就是复合函数。
下面就先来看这么一道题 例1的单调递增区间是（ ）。
A. B. C. D.
分析：由于以1/2为底的对数函数是一个单调减函数，所以要求该函数的单调递增区间，也就是要求该二次函数的单调递减区间。
下面我们就把问题转化为解决二次函数的问题。
对于该二次函数进行配方4
9)21(222-+=-+x x x ，我们可以很容易看出是一个开口向上的抛物线，则其在x 小于－1/2时为单调递减，x 大于－1/2时为单调递增。
那么该题是否到此为止了呢？其实在此对于上面的二次函数是有范围的，也就是说
即x<-2
或x>1综上所述，我们应该选择A 。
一般化：对于类似与上面这题的复合函数
的单调区间是怎样的．该二次函数图象为一开口向上的抛物线。
抛物线与x 轴有两个交点 抛物线与x 轴只有一个交点 抛物线与x 轴没有交点
利用几何画板作图探究并验证：（略）
例2若函数的值域为一切实数,求实数的取值范围。
按照通常的做法，要使函数有意义，必须有：对一切实数x都成立，即其实当时，
可以看出
可见值域并非为R，说明上述解答有误。
要使函数的值域为R，即要真数取遍所有正数，故二次函数的图象与x轴有交点，所以，得或。
故实数a的取值范围为。
我们在考虑这类复合函数问题的时候，要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的定义域和值域的变化。
以上这两题中的二次函数是作为对数函数的一部分出现的，那么，对数函数作为二次函数的一部分出现时，又该怎样呢？下面来看这几道题：
例3若，且，求的最值。
分析：先整理，可得：
而。
这道题要注意对数的计算，通过配方求出最值。
例4若有两个小于1的正根，且，求实数的取值范围。
分析：先化简函数方程。
，
由于形式有点复杂，可作代换，
（）。
由于变量的代换，则其定义域也会随之改变，有：
x<1,则t<0。
利用韦达定理列出一系列的不等式，
在此题中，注意换元后其变量的定义域的变化。
课堂小结：
复合函数中有关定义域、值域的问题。
注意两点：一是复合函数单调性问题；另一个是整个函数的定义域的求解。
含有对数函数的复杂函数，通过换元可转化为二次函数进行解题。
也注意两点：一是对数运算的熟练运用；另一个是二次函数中根的存在性分析。
在解决对数函数问题时，注意隐含的限制条件，对其定义域、值域要细致分析。
教学后记：几何画板的教学辅助应用，能有效化解难点，提高课堂效能。