三角形、勾股定理知识点整理

全等三角形、勾股定理教案

从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影

直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项； 推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.即

22

2

90CD AD BD

ACB AC AD AB

CD AB BC BD AB

︒

⎧=⋅⎫∠=⎪⇒=⋅⎬⎨⊥⎭⎪=⋅⎩

四、全等三角形

1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；

2、三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；

3、全等三角形的判定定理：

⑴边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”） ⑵角角边定理：任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”； ⑶角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”） ⑷边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）；

(5)直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）

注意：对应相等意思是：例如三角形ABC 和三角形DEF ，AB 和DE 是对应边，AB=DE ；BC 和EF 是对应边，BC=EF ；AC 和DF 是对应边，AC=DF 角A 和角D 是对应角，角A=角D 角B 和角E 是对应角，角B=角E 角C 和角F 是对应角，角C=角F

这些对应关系都可以从题目给出的三角形XXX 和三角形yyy 中按顺序写好

4、全等变换：只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换；

全等变换包括一下三种：

①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换；

②对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换；

③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换；

同步训练：

1、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC边上的点，BE=DE.试判断：

⑴图中有哪些三角形全等？请说明理由。

⑵图中有哪些角相等？

2、如图1，AD⊥BC，D为BC的中点，则△ABD≌＿＿＿，△ABC是＿＿＿三角形。

A

B C

D

1

A D

B E F C

2

知识点二：

1、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即：。

要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22

c a b =

+，22

b c a =

-，

22

a c

b =-）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为22

1

422S ab c ab c =⨯+=+

大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=

6：勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即2

22a

b c +=中，

a ，

b ，

c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

同步训练：

1、一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?

2、三角形的三边长分别为7、24、25，请问这个三角形是直角三角形吗？

c

b

a H

G F E

D

C

B

A

b

a c

b

a

c c

a

b

c

a

b

3m 4m 20m 11．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．

12.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？

13．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m ，高3m ，长20m ，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

14．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的