高一【数学(人教A版)】函数的奇偶性-课后练习

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2021新教材人教版高中数学A版必修第一册模块练习题--3.2.2 奇偶性

3.2.2奇偶性基础过关练题组一函数奇偶性的概念及其图象特征1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于()A.-1B.1C.0D.22.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是()A.(a,-f(a))B.(-a,-f(a))C.(-a,-f(-a))D.(a,f(-a))3.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()4.(2020北京通州高一上期末)能说明“若f(x)是奇函数,则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)=.5.(1)如图①,给出奇函数y=f(x)的部分图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值;(2)如图②,给出偶函数y=f(x)的部分图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.题组二函数奇偶性的判定6.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数7.(2019四川雅安中学高一上第一次月考)下列函数中是偶函数,且在区间(0,1)上为增函数的是( ) A.y=|x| B .y=3-x C.y=1xD.y=-x 2+4 8.若函数f(x)={1,x >0,-1,x <0,则f(x)( )A.是偶函数B.是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数 9.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=√x 2-1+√1-x 2;(2)f(x)=2x 2+2x x+1;(3)f(x)={x(1-x)(x <0),x(1+x)(x >0).题组三函数奇偶性的综合运用10.已知函数f(x)=mx 2+nx+2m+n 是偶函数,其定义域为[m+1,-2n+2],则( )A.m=0,n=0B.m=-3,n=0C.m=1,n=0D.m=3,n=011.(2020广西柳州二中高一上月考)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ∈(-∞,0)时,f(x)=2x 3+x 2,则f(2)=( ) A.20 B.12 C.-20 D.-1212.(2020广东珠海高一上期末学业质量检测,)已知函数f(x)为R 上的奇函数,且在(-∞,0)上是增函数, f(5)=0,则xf(x)>0的解集是 .13.已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x 2+ax,且f(3)=6,则a 的值为 .14.(2020广东湛江一中高一上期中)已知f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x 3+x 2+1,则f(1)+g(1)= . 15.(2019天津南开高一上期末)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,当x ≥0时, f(x)=x 2-2x.(1)求函数f(x)的解析式,并画出函数f(x)的图象;(2)根据图象写出f(x)的单调区间和值域.能力提升练题组一函数奇偶性的概念及其图象特征1.()已知y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有4个交点,则方程f(x)=0的所有实数根之和是()A.4B.2C.1D.02.(多选)()若f(x)为R上的奇函数,则下列四个说法正确的是()A.f(x)+f(-x)=0B.f(x)-f(-x)=2f(x)C.f(x)·f(-x)<0D.f(x)=-1f(-x)3.()f(x)是定义在R上的奇函数,其在[0,+∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象;(2)解不等式xf(x)>0.题组二函数奇偶性的判定4.(2020黑龙江哈三中高一上第一次阶段性验收,)下列函数是偶函数的是()A.f(x)=x3-1x B.f(x)=√1-x2|x-2|-2C.f(x)=(x-1)√1+x1-xD.f(x)=|2x+5|+|2x-5|5.()已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)不恒等于零,则F(x)为()A.奇函数B.偶函数C.奇函数或偶函数D.非奇非偶函数6.()已知f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x,y都成立,则函数f(x)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数,也是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数7.(多选)()设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.|f(x)|g(x)是奇函数B.f(x)|g(x)|是奇函数C.f(x)+|g(x)|是偶函数D.|f(x)|+g(x)是偶函数题组三函数奇偶性的综合运用8.(2020河北承德一中高一上月考,)若偶函数f(x)在(-∞,-1]上单调递增,则()A.f(-32)<f(-1)<f(2)B.f(-1)<f(-32)<f(2)C.f(2)<f(-1)<f(-32)D.f(2)<f(-32)<f(-1)9.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,2]D.[1,3]10.(2020河南郑州高一上期末,)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)恒成立,且f(1)=1,则f(3)+f(4)+f(5)的值为(深度解析)A.-1B.1C.2D.011.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数,且f(x)+g(x)=x2-1x+1-2,则f(2)=()A.-23B.73C.-3D.11312.(2019四川成都高一上期末调研,)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时, f(x)={-x,0≤x ≤1,-1,1<x <2,x -3,x ≥2.若对任意的x ∈R,不等式f(x)>f(x-√2a)恒成立,则实数a 的取值范围是 . 13.(2019天津河西高一上期末,)(1)若奇函数f(x)是定义在R 上的增函数,求不等式f(2x-1)+f(3)<0的解集;(2)若f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,求不等式f(2x-1)-f(-3)<0的解集.14.(2020安徽师大附中高一上月考,)已知函数f(x)=ax+b1+x 2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f (12)=25.(1)求函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解关于实数t 的不等式f(t-1)+f(t)<0.15.(2020山东菏泽高一上期末联考,)已知函数f(x)=x 2+2a-3x是奇函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)在(0,√p)上单调递增,试求p的最大值.16.()设函数f(x)=x2-2|x-a|+3,x∈R.(1)王鹏同学认为,无论a取何值,f(x)都不可能是奇函数.你同意他的观点吗?请说明你的理由;(2)若f(x)是偶函数,求a的值;(3)在(2)的情况下,画出y=f(x)的图象并指出其单调递增区间.深度解析答案全解全析基础过关练1.A因为该奇函数的定义域为{-1,2,a,b},且奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b中一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1,故选A.2.B∵f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a),∴点(-a,-f(a))在函数y=f(x)的图象上.3.B选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.(答案不唯一)4.答案1x,答案不唯一.解析举出x=0不在定义域内的奇函数即可,如f(x)=1x5.解析(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象,如图①所示,易知f(3)=-2.(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象,如图②所示,易知f(1)>f(3).6.B∵x∈(-a,a),其定义域关于原点对称,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)是偶函数.7.A选项A中,函数y=|x|为偶函数,且在区间(0,1)上为增函数,故A符合题意;选项B中,函数y=3-x为非奇非偶函数,且在区间(0,1)上为减函数,故B不符合题意;选项C中,函数y=1为奇函数,且在区间(0,1)上为减x函数,故C不符合题意;选项D中,函数y=-x2+4为偶函数,在区间(0,1)上为减函数,故D不符合题意.8.B作出函数f(x)的图象,如图所示,可以看出该图象关于原点对称,故f(x)为奇函数.9.解析(1)依题意得x2-1≥0,且1-x2≥0,即x=±1,因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0.∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.(3)易得函数f(x)的定义域是D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.10.B由f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数,得n=0.又函数的定义域为[m+1,-2n+2],所以m+1=2n-2,则m=-3.11.B由题意得f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.12.答案(-∞,-5)∪(5,+∞)解析∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,f(5)=0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(-5)=0.可大致用图象表示:∵xf(x)>0等价于x与f(x)同号,且均不为0,∴结合图象知解集是(-∞,-5)∪(5,+∞).13.答案5解析因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a×(-3)=-6,解得a=5.14.答案1解析由题意可得f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.15.解析(1)∵x≥0时,f(x)=x2-2x,∴当x<0时,-x>0,∴f(-x)=x2+2x,∴f(-x)=f(x)=x 2+2x. 故函数f(x)的解析式为 f(x)={x 2-2x,x ≥0,x 2+2x,x <0,函数f(x)的图象如图所示.(2)由(1)中函数的图象可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,0],[1,+∞);单调递减区间为(-∞,-1],[0,1].函数f(x)的值域为[-1,+∞).能力提升练1.D 因为y=f(x)是偶函数,所以y=f(x)的图象关于y 轴对称,所以f(x)=0的所有实数根之和为0.2.AB ∵f(x)在R 上为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故A 正确; f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故B 正确;当x=0时,f(x)·f(-x)=0,故C 不正确;当x=0时,f(x)f(-x)的分母为0,无意义,故D 不正确.3.解析 (1)根据奇函数的图象关于原点对称,可得f(x)的图象如图所示.(2)xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号,且均不为0.结合图象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).4.D 在选项A 中,f(x)=x 3-1x(x ≠0), f(-x)=-x 3+1x,f(-x)=-f(x),是奇函数;在选项B 中,f(x)=√1-x 2|x -2|-2=√1-x 2-x(-1≤x ≤1,x ≠0),f(-x)=√1-x 2x, f(-x)=-f(x),是奇函数;在选项C 中,f(x)=(x-1)·√1+x 1-x(-1≤x<1),是非奇非偶函数;在选项D中,f(x)=|2x+5|+|2x-5|(x ∈R), f(-x)=|-2x+5|+|-2x-5|=|2x+5|+|2x-5|, f(x)=f(-x),是偶函数,故选D.5.B 依题意得F(x)的定义域为R,且F(-x)=(-x 3+2x)f(-x)=(x 3-2x)f(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,故选B. 6.A 令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0), 所以f(0)=0.又因为f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故选A. 7.BD A 中,令h(x)=|f(x)|g(x),则h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|·g(x)=h(x),∴A 中函数是偶函数,A 错误;B 中,令h(x)=f(x)|g(x)|,则h(-x)=f(-x)·|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h(x),∴B 中函数是奇函数,B 正确;C 中,由f(x)是奇函数,可得f(-x)=-f(x),由g(x)是偶函数,可得g(-x)=g(x),由f(-x)+|g(-x)|=-f(x)+|g(x)|知C 错误;D 中,由|f(-x)|+g(-x)=|-f(x)|+g(x)=|f(x)|+g(x),知D 正确.故选BD.8.D 由f(x)是偶函数且在(-∞,-1]上单调递增,得f(x)在[1,+∞)上单调递减, f (-32)=f (32),f(-1)=f(1),又因为2>32>1,所以f(2)<f (32)<f(1),即f(2)<f (-32)<f(-1),故选D. 9.C 因为f(x)为奇函数,且f(1)=-1,所以f(-1)=1, 所以-1≤f(x-1)≤1等价于f(1)≤f(x-1)≤f(-1).由函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,可得-1≤x-1≤1,解得0≤x ≤2. 故选C.10.D ∵f(x)是R 上的奇函数, f(1)=1, ∴f(-1)=-f(1)=-1, f(0)=0.依题意得f(3)=f(-1+4)=-f(1)=-1,f(4)=f(0+4)=f(0)=0,f(5)=f(1+4)=f(1)=1. 因此, f(3)+f(4)+f(5)=-1+0+1=0,故选D.陷阱提示在有关奇函数f(x)的求值问题中,要注意当f(x)在x=0处有意义时, f(0)=0这个特殊情况,否则可能会出现已知条件不足,导致问题解决不了的情况. 11.A ∵f(x)+g(x)=x 2-1x+1-2①,∴f(-x)+g(-x)=(-x)2-1-x+1-2=x 2-1-x+1-2,又∵函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数, ∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), ∴f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=x 2-1-x+1-2②, 联立①②消去g(x),得f(x)=-12x+2+1-2x+2,∴f(2)=-12×2+2+1-2×2+2=-23.故选A.12.答案 (3√2,+∞)解析由已知条件画出函数f(x)的图象(图中实线部分),若对任意的x ∈R,不等式 f(x)>f(x-√2a)恒成立,则函数f(x)的图象始终在函数f(x-√2a)的图象的上方.当a<0时,将函数f(x)的图象向左平移,不能满足题意,故a>0,将函数f(x)图象向右平移时的临界情况是当D 点与B 点重合,且临界情况不满足题意,由图可知,向右平移的√2a 个单位长度应大于6,即√2a>6,解得a>3√2,故答案为(3√2,+∞).13.解析 (1)由题知f(x)为奇函数,且在R 上是增函数,则f(2x-1)+f(3)<0⇒f(2x-1)<-f(3)⇒f(2x-1)<f(-3)⇒2x-1<-3,解得x<-1,即不等式的解集为(-∞,-1).(2)由题知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数, 则f(2x-1)-f(-3)<0⇒f(2x-1)<f(3)⇒f(|2x-1|)<f(3)⇒|2x-1|<3,解得-1<x<2, 即不等式的解集为(-1,2). 14.解析 (1)因为函数f(x)=ax+b 1+x 2是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,得b=0. 又知f (12)=25,所以12a 1+14=25,解得a=1,所以f(x)=x1+x 2.(2)证明:∀x 1,x 2∈(-1,1),且x 1<x 2,则f(x 2)-f(x 1)=x 21+x 22-x 11+x 12=(x 2-x 1)(1-x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22),由于-1<x 1<x 2<1,所以-1<x 1x 2<1,即1-x 1x 2>0, 所以(x 2-x 1)(1-x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)>0,即f(x 2)-f(x 1)>0,所以f(x)在(-1,1)上是增函数.(3)因为f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x),所以f(t-1)+f(t)<0等价于f(t-1)<-f(t)=f(-t),即f(t-1)<f(-t), 又由(2)知f(x)在(-1,1)上是增函数,所以{-1<t -1<1,-1<-t <1,t -1<-t,解得0<t<12,即原不等式的解集为{t |0<t <12}.15.解析 (1)因为函数f(x)=x 2+2a -3x是奇函数,所以f(x)=-f(-x),即x 2+2a -3x=-x 2+2a+3x,化简得a=0, 所以f(x)=x 2+2-3x.(2)f(x)=x 2+2-3x =-13(x 2+2x)=-13·(x +2x ),任取x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,则Δf(x)Δx=f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1=-13(x 2+2x 2)-[-13(x 1+2x 1)]x 2-x 1=-13(x 2-x 1+2x 2-2x 1)x 2-x 1=-13·(x 2-x 1)(1-2x 1x 2)x 2-x 1=-13·x 1x 2-2x 1x 2.因为x 1,x 2∈(0,+∞),所以x 1x 2>0. 当x 1,x 2∈(0,√2]时,x 1x 2-2<0,从而Δf(x)Δx>0;当x 1,x 2∈[√2,+∞)时,x 1x 2-2>0,从而Δf(x)Δx<0.因此f(x)在(0,√2]上是增函数, f(x)在[√2,+∞)上是减函数.由题知f(x)在(0,√p]上单调递增,所以√p的最大值为√2,即p的最大值为2.16.解析(1)我同意王鹏同学的观点.理由如下:假设f(x)是奇函数,则由f(a)=a2+3,f(-a)=a2-4|a|+3,可得f(a)+f(-a)=0,即a2-2|a|+3=0,显然a2-2|a|+3=0无解,∴f(x)不可能是奇函数.(2)若f(x)为偶函数,则有f(a)=f(-a),即a2+3=a2-4|a|+3,解得a=0.经验证,此时f(x)=x2-2|x|+3是偶函数.(3)由(2)知f(x)=x2-2|x|+3,其图象如图所示,由图可得,其单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞).解题模板利用奇偶性确定函数解析式中参数的值时,选择题、填空题中可用特殊值法简化运算;解答题中要结合定义写出完整的解题过程,若用特殊值法得到参数的值仍需要进一步证明.。

人教版高中数学必修一《函数的奇偶性》精选习题(含答案解析)

人教版高中数学必修一《函数的奇偶性》精选习题（含答案解析）一、选择题1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数2．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(x)·f(－x)≤0D.f(x)f(－x)＝－13．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．其中正确的命题个数是()A．1B．2C．3D．44．函数f(x)＝1x－x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称5．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a等于()A．1B．0C．－1D．－26．若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则下列说法不正确．．．的是() A．y＝f(x)图象关于直线x＝1对称B．y＝f(x＋1)图象关于y轴对称C ．必有f (1＋x )＝f (－1－x )成立D ．必有f (1＋x )＝f (1－x )成立题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．偶函数y ＝f (x )的定义域为[t －4，t ]，则t ＝________________________________.8．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集是________．9．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且对于任意实数x 都有f (x ＋4)＝f (x )，又f (1)＝4，那么f [f (7)]＝________.三、解答题10．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3，x ∈R ；(2)f (x )＝5x 4－4x 2＋7，x ∈[－3,3]；(3)f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|；(4)f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2， x >0，0，x ＝0，x 2－1，x <0.11．已知奇函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x (x >0)0(x ＝0)x 2＋mx (x <0).(1)求实数m 的值，并在给出的直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，试确定a 的取值范围．能力提升12．y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (72)的大小关系是____________________________．13．已知函数f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足f (ab )＝af (b )＋bf (a )．(1)求f (0)，f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性．参考答案与解析1．B[F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．] 2．D[∵f(－x)＝－f(x)，A、B显然正确，因为f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C正确．当x＝0时，由题意知f(0)＝0，故D错误．]3．A[函数y＝1x2是偶函数，但不与y轴相交，故①错；函数y＝1x是奇函数，但不过原点，故②错；函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．]4．C[∵x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x，都有f(－x)＝－1x＋x＝－f(x)，∴该函数f(x)＝1x－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．]5．C[∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，即(－1＋1)(－1＋a)＝2(1＋a)，∴a＝－1.]6．C[由题意，y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)的图象关于y轴对称，故B 正确；y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即得函数y＝f(x)的图象，故A正确；可令g(x)＝f(x＋1)，由题意g(－x)＝g(x)，即f(－x＋1)＝f(x＋1)，故D正确，所以选C.]7．2解析偶函数的定义域应当关于原点对称，故t－4＝－t，得t＝2.8．(－2,0)∪(2,5]解析由题意知，函数f(x)在[－5,0]的图象与在[0,5]上的图象关于原点对称．画出f(x)在[－5,0]上的图象，观察可得答案．9．0解析∵f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－4，∴f [f (7)]＝f (－4)＝－f (4)＝－f (0＋4)＝－f (0)＝0.10．解 (1)f (－x )＝3＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)∵x ∈[－3,3]，f (－x )＝5(－x )4－4(－x )2＋7＝5x 4－4x 2＋7＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)f (－x )＝|－2x －1|－|－2x ＋1|＝－(|2x －1|－|2x ＋1|)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(4)当x >0时，f (x )＝1－x 2，此时－x <0，∴f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1，∴f (－x )＝－f (x )；当x <0时f (x )＝x 2－1，此时－x >0，f (－x )＝1－(－x )2＝1－x 2，∴f (－x )＝－f (x )；当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)＝0.综上，对x ∈R ，总有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数．11．解 (1)当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ，∴f (x )＝x 2＋2x ，∴m ＝2.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x x >00x ＝0x 2＋2x x <0，由图象可知，f (x )在[－1,1]上单调递增，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，只需⎩⎨⎧a －2>－1a －2≤1，解得1<a ≤3.12．f (72)<f (1)<f (52)解析因y ＝f (x ＋2)是偶函数，f (x ＋2)的图象向右平移2个单位即得f (x )的图象．所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又因f (x )在(0,2)上是增函数，所以f (x )在(2,4)上是减函数，且f (1)＝f (3)，由于72>3>52，∴f (72)<f (3)<f (52)，即f (72)<f (1)<f (52)．13．解 (1)令a ＝b ＝0，f (0)＝0＋0＝0；令a ＝b ＝1，f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )是奇函数．因为f (－x )＝f ((－1)·x )＝－f (x )＋xf (－1)，而0＝f (1)＝f ((－1)×(－1))＝－f (－1)－f (－1)，∴f (－1)＝0，∴f (－x )＝－f (x )＋0＝－f (x )，即f (x )为奇函数．。

高考数学(人教a版,理科)题库：函数的奇偶性与周期性(含答案)

第3讲函数的奇偶性与周期性一、选择题1．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )．A ．3B ．1C ．－1D ．－3 解析由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1，f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案 D2．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B. 答案 B3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3B ．f (sin 1)<f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6D ．f (cos 2)>f (sin 2)解析当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，由f (x )＝f (x ＋2)＝f (x ＋4)＝2－|x ＋4－4|＝2－|x |，显然当x ∈[－1,0]时，f (x )为增函数；当x ∈[0,1]时，f (x )为减函数，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32>12，又f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3. 答案 A4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析当x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x －1<0，故f (x )为R 上的增函数．答案 C5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x－1，则f (－5.5)的值为( )A ．2B ．－1C ．－12 D ．1解析 f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1. 答案 D6．设函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )．A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数解析显然D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确．若x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数．∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )．则D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误．答案 C 二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0. 答案 08．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析因为y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，所以当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案－19．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)10．设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．解析 ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4， ∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－72＋⎝⎛⎭⎪⎫－92＝－8.答案－8三、解答题11．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．(1)求f(1)，f(－1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y ＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．12．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．(2)解任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.13.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．解析(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2) 当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.14．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12在[0,2 014]上的所有x的个数．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当0≤x≤1时，f(x)＝12x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝12(－x)＝－12x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－12x，即f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1≤x≤1)．又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝12(x－2)．又∵f(x)是以4为周期的周期函数∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝12(x－2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1. ∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154. 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )， ∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。

3.2.2 第1课时奇偶性的概念(分层练习)高一数学新教材配套练习(人教A版必修第一册)

3.2.2 第1课时奇偶性的概念基础练巩固新知夯实基础1．对于定义在R 上的函数f (x ),有下面四个结论：①若f (x )是偶函数,则f (－2)＝f (2);②若f (－2)＝f (2),则函数f (x )是偶函数;③若f (－2)≠f (2),则函数f (x )不是偶函数;④若f (－2)＝f (2),则函数f (x )不是奇函数．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．下列函数中,既是偶函数又在(0,＋∞)上单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝－2x3．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝－|x |B ．y ＝2－xC ．y ＝1x 3D ．y ＝－x 2＋8 4．已知函数f (x )为奇函数,且当x >0时,f (x )＝x 2＋1x,则f (－1)等于( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．25．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )6．函数f (x )＝x 3＋ax ,若f (1)＝3,则f (－1)的值为________．7．奇函数f (x )的定义域是(t,2t ＋3),则t ＝________.8．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3,x ∈R ; (2)f (x )＝5x 4－4x 2＋7,x ∈[－3,3];(3)f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|; (4)f (x )＝x 2＋x x ＋1.能力练综合应用核心素养9．已知y ＝f (x ),x ∈(－a ,a ),F (x )＝f (x )＋f (－x ),则F (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数10．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数,则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数11. 已知函数y ＝f (x )为偶函数,其图象与x 轴有四个交点,则方程f (x )＝0的所有实根之和是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．412．已知f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,且f (－1)＋g (1)＝2,f (1)＋g (－1)＝4,则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数,那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－1214．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数,则实数a ＝________.15．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数,则a 等于________．16．已知y ＝f (x )是奇函数,当x <0时,f (x )＝x 2＋ax ,且f (3)＝6,则a 的值为________．17．已知函数f (x )对一切x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数;(2)若f (－3)＝a ,试用a 表示f (12)．【参考答案】1. B 详细解析 ①正确;②错误,仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性,需要满足“任意”;③正确;④错误,反例：f (x )＝0满足条件,该函数既是奇函数,又是偶函数．2. B 详细解析对于函数y ＝|x |＋1,f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1＝f (x ),所以y ＝|x |＋1是偶函数,当x ＞0时,y ＝x＋1,所以在(0,＋∞)上单调递增．故选B.另外函数y ＝x 3不是偶函数,y ＝－x 2＋1在(0,＋∞)上单调递减,y ＝－2x不是偶函数．3. C 详细解析 A 、D 两项,函数均为偶函数,B 项中函数为非奇非偶,而C 项中函数为奇函数．4. A 详细解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.5. B 详细解析选项A 中的图象关于原点或y 轴均不对称,故排除;选项C 、D 中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B 中的图象关于y 轴对称,其表示的函数是偶函数．6. －3 详细解析 ∵x ∈R ,且f (－x )＝－x 3－ax ＝－f (x ),∴f (x )是奇函数．∴f (－1)＝－f (1)＝－3.7. －1 详细解析由奇函数f (x )的定义域关于原点对称,知t ＋2t ＋3＝0,得t ＝－1.8. 解 (1)∵f (－x )＝3＝f (x ),∴f (x )是偶函数．(2)∵x ∈[－3,3],f (－x )＝5(－x )4－4(－x )2＋7＝5x 4－4x 2＋7＝f (x ),∴f (x )是偶函数．(3)∵f (－x )＝|－2x －1|－|－2x ＋1|＝－(|2x －1|－|2x ＋1|)＝－f (x ),∴f (x )是奇函数．(4)由x ＋1≠0,得f (x )的定义域为{x |x ≠－1},不关于原点对称,∴函数f (x )＝x 2＋x x ＋1不具有奇偶性． 9. B 详细解析 F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )．又x ∈(－a ,a )关于原点对称,∴F (x )是偶函数．10. A 详细解析 ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数,∴f (－x )＝f (x ),得b ＝0.∴g (x )＝ax 3＋cx .∴g (－x )＝a (－x )3＋c (－x )＝－g (x ),∴g (x )为奇函数．11. A 详细解析由于偶函数的图象关于y 轴对称,所以偶函数的图象与x 轴的交点也关于y 轴对称,因此,四个交点中,有两个在x 轴的负半轴上,另两个在x 轴的正半轴上,所以四个实根的和为0.12. B 详细解析由题意知f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2,f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4.两式相加,解得g (1)＝3.13. B 详细解析依题意b ＝0,且2a ＝－(a －1),∴a ＝13,则a ＋b ＝13. 14. 0 详细解析 ∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数,∴f (－x )＝f (x ),即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |,∴|－x ＋a |＝|x ＋a |,即|x －a |＝|x ＋a |,∴a ＝0.15. 12 详细解析函数f (x )的定义域为{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－12，且x ≠a .又f (x )为奇函数,定义域应关于原点对称,∴a ＝12. 16. 5 详细解析因为f (x )是奇函数,所以f (－3)＝－f (3)＝－6,所以(－3)2＋a ×(－3)＝－6,解得a ＝5.17. 解 (1)证明：由已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y ),令y ＝－x 得f (0)＝f (x )＋f (－x ),令x ＝y ＝0得f (0)＝2f (0),所以f (0)＝0.所以f (x )＋f (－x )＝0,即f (－x )＝－f (x ),故f (x )是奇函数．(2)因为f(x)为奇函数．所以f(－3)＝－f(3)＝a,所以f(3)＝－a.又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3), 所以f(12)＝－4a.。

3.2.2函数奇偶性(第2课时-函数奇偶性的应用)2022学年高一数学人教A版(2019)必修第一册

例2 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示.
(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)＜0. 解先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图.
(2)解不等式xf(x)＜0.
解 xf(x)＜0即图象上横坐标、纵坐标不同号. 结合图象可知，xf(x)＜0的解集是(-∞ ,－2)∪(2，＋∞).
(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x＜0时，函数f(x)的解析式．
2．已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x＞0 时，f(x)＝x＋3x －4.求函数 f(x)在 R 上的解析式．
3．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x，求函数f(x)，g(x) 的解析式．解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x). 由f(x)＋g(x)＝x＋x2，① 用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－x＋x2.② (①＝x.
奇偶性与单调性的关系 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)利用奇偶性转化到一个单调区间，再利用单调性比较大小．
练习：
1.已知偶函数 f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，f(1)＝0，若 f(2x＋1)≤0，则
x 的取值范围是( )
奇函数的图象关于原点对称
考点一由奇偶性画函数图像一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称.
例 1 定义在[－3，－1]∪[1，3]上的函数 f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．

人教版高中数学必修1 函数奇偶性知识点例题练习试题及其答案

函数奇偶性一、知识点：1.偶函数定义：一般地，如果对于函数f （x ）定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么函数f （x ）就叫做偶函数。

2.奇函数定义：一般地，如果对于函数f （x ）定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么函数f （x ）就叫做奇函数。

3.判断函数奇偶性的步骤:⑴先判断函数f （x ）定义域是否关于原点对称;若函数定义域不关于原点对称,则函数f （x ）为非奇非偶函数; 若函数定义域关于原点对称,再进行第⑵步;⑵若()()x f x f =-或()()0=--x f x f ,则函数f （x ）为偶函数; 若()()x f x f -=-或()()0=+-x f x f ,则函数f （x ）为奇函数。

4．函数奇偶性的性质：⑴函数f （x ）为偶函数⇔函数f （x ）的图象关于y 轴对称； ⑵函数f （x ）为奇函数⇔函数f （x ）的图象关于原点对称；⑶若函数f （x ）为偶函数，则对于定义域内的任意x ，都有()()x f x f =-； ⑷若函数f （x ）为奇函数，则对于定义域内的任意x ，都有()()x f x f -=- ⑸若函数f （x ）为奇函数且定义域含有0，则有()()00f f -=-即()00=f函数奇偶性练习一、范例精讲例1.下列函数是偶函数的是（）A. 21x y = B. 3x y = C. 2-=x y D. 1-=x y例2.已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数例3.已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④例4.函数)(x f 是R 上的偶函数,且当0>x 时,函数的解析式为.)(12-=xx f 求当0<x 时,函数的解析式.例5.设函数f (x )＝1＋x 21－x 2.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝0.例6.已知，，求.二、对应训练1．若f （x ）为R 上的奇函数，给出下列四个说法：①f （x ）＋f （－x ）＝0 ；②f （x ）－f （－x ）＝2f （x ）；③f （x ）·f （－x ）<0 ④1)()(-=-x f x f . 其中一定正确的有（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2.()x f y =是奇函数，当0>x 时，()(),1+=x x x f 则0<x 时，()=x f （）A.()1+-x xB.()1+-x xC.()1-x xD.()1+x x 3.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x x x f x 2)(,02-=≥，求)(x f 的解析式.4.设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则f (－1)＋f (1)=()A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上结论都不对5.设函数()()216x a f x x ++=+为奇函数，则实数=a ______________6.已知)(x f 是定义在[)2,0-∪(]0,2上的奇函数，当0>x 时，)(x f 的图象如上图所示，那么)(x f 的值域是函数单调性、奇偶性综合练习一、范例精讲例1.设f (x )满足f (－x )＝f (x )，且在[0，＋∞)上为增函数，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)＜f (－2)＜f (3)B ．f (－π)＞f (－2)＞f (3)C ．f (－π)＜f (3)＜f (－2)D ．f (－π)＞f (3)＞f (－2)例2．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)例3.如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ．没有最小值例4.若函数 f （x ）=（K-2）x 2+（K-1）x +3是偶函数，则f （x ）的递减区间是例5.已知函数211)(xx f +=（1）判断)(x f 的奇偶性；（2）确定函数)(x f 在)0,(-∞上是增函数还是减函数？证明你的结论.例6.若f (x )满足f (－x )＝－f (x )，且在(－∞，0)内是增函数，又f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)二、对应训练1.已知奇函数()f x 在区间[]0,5上是增函数，那么下列不等式中成立的是（）()()()()()()()()()()()()43;43;43;34.A f f fB f f fC f f fD f f f ππππ>->>>>>->->-、、、、2.如果偶函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（）A.增函数且最小值是5B.增函数且最大值是5C.减函数且最大值是5D.减函数且最小值是5 3.已知函数f (x )＝－2x ＋m ，其中m 为常数．(1)证明：函数在R 上是减函数；(2)当函数f (x )是奇函数时，求实数m 的值．4.已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求当x <0时，f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间．函数奇偶性练习一、范例精讲例1.下列函数是偶函数的是（ C ）A. 21x y = B. 3x y = C. 2-=x y D. 1-=x y例2.已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（ A ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数例3.已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( D )①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④例4.函数)(x f 是R 上的偶函数,且当0>x 时,函数的解析式为.)(12-=xx f 求当0<x 时,函数的解析式.解析：当0<x 时，-x>0 ,则12--=-x x f )(.∵函数)(x f 是R 上的偶函数 ∴f(-x)=f （x ）∴2()1f x x=--,x<0.例5.设函数f (x )＝1＋x 21－x 2.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝0.解：(1)由解析式知，函数应满足1－x 2≠0，即x ≠±1. ∴函数f (x )的定义域为{x ∈R|x ≠±1}． (2)由(1)知定义域关于原点对称， f (－x )＝1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 21－x 2＝f (x )．∴f (x )为偶函数．(3)证明：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，f (x )＝1＋x 21－x 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝x 2＋1x 2－1＋1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1－x 2＋1x 2－1＝0. 例6.已知，，求.解析：已知中为奇函数，即=中，也即，，得，.二、对应训练1．若f （x ）为R 上的奇函数，给出下列四个说法：①f （x ）＋f （－x ）＝0 ；②f （x ）－f （－x ）＝2f （x ）；③f （x ）·f （－x ）<0 ④1)()(-=-x f x f 。

高一数学函数的奇偶性试题答案及解析

高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【答案】A【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定故选A【考点】函数奇偶性的判断2.若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】为奇函数和为偶函数，由可得，即，，可解得.故选A.【考点】函数的奇偶性.3.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，如图所示，那么不等式f(x)cosx＜0的解集是( ).A．B．C．D．【解析】图1图2如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx图象，要求得的解集，只需转化为在寻找满足如下两个关系的区间即可：，结合图象易知当时，，当时，，当时，，故选B.【考点】奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想.4.已知函数为偶函数，且若函数，则= ．【答案】2014【解析】由函数为偶函数，且得从而，故应填入2014．【考点】函数的奇偶性．5.若函数在其定义域上为奇函数，则实数 .【答案】【解析】小题可采用带特殊值法求得，检验此时在处有定义.【考点】奇函数定义及特殊值法.6.函数的图像大致是（）【答案】A【解析】因为的定义域为且，所以为上的偶函数，该函数的图像关于轴对称，只能是图像A、C选项之一，而，故选A.【考点】1.函数的图像；2.函数的奇偶性.7.已知，，则_ ____．【答案】5【解析】函数，，又为奇函数，所以.【考点】函数奇偶性.8.已知是奇函数，且，则．【解析】令，因为此函数是奇函数，所以。

高一数学函数的奇偶性训练及答案

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人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课复习(第4课时函数奇偶性的应用)

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第三章函数的概念与性质
利用奇偶性求函数解析式的思路 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内． (2)利用已知区间的解析式代入． (3)利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x)．
栏目导引
第三章函数的概念与性质
1．设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数 f(x)，g(x)的解析式．解：因为 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以 f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由 f(x)＋g(x)＝2x＋x2.① 用－x 代替 x 得 f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以 f(x)－g(x)＝－2x＋x2，② (①＋②)÷2，得 f(x)＝x2. (①－②)÷2，得 g(x)＝2x.
条件当 x1＜x2 时
都有 f(x1)＜f(x2)
都有 f(x1)＞f(x2)
那么就说函数 f(x)在区间 D 上那么就说函数 f(x)在区间 D 上
结论
是增函数
是减函数
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思考 1：增(减)函数定义中的 x1，x2 有什么特征？
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第三章函数的概念与性质
2．(2019·襄阳检测)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，
则满足 f(2x－1)>f13的实数 x 的取值范围是(
)
A.13，23

高中数学第三章函数的概念与性质 3.2.2 奇偶性课时作业(含解析)新人教A版必修第一册-新人教

3.2.2 奇偶性一、选择题1．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝2x 2－3 B ．y ＝x 3C ．y ＝x 2，x ∈[0,1] D．y ＝x解析：对于A ，f (－x )＝2(－x )2－3＝2x 2－3＝f (x )，∴f (x )是偶函数，B ，D 都为奇函数，C 中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.答案：A2．函数f (x )＝1x－x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称解析：∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x－(－x )＝x －1x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图象关于原点对称．答案：C3．如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0解析：由图知f (1)＝12，f (2)＝32，又f (x )为奇函数，所以f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1)＝－32－12＝－2.故选A.答案：A4．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋1(ab ≠0)，若f (2 019)＝k ，则f (－2 019)＝( ) A ．k B ．－k C ．1－k D ．2－k解析：∵f (2 019)＝a ·2 0193＋b ·2 019＋1＝k ，∴a ·2 0193＋b ·2 019＝k －1，则f (－2 019)＝a (－2 019)3＋b ·(－2 019)＋1＝－[a ·2 0193＋b ·2 019]＋1＝2－k .答案：D 二、填空题5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．解析：∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.答案：136．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________．解析：因为f (x )是奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a (－3)＝－6，解得a ＝5.答案：57．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (x )>0的x的集合为____________．解析：由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴x >12或－12<x <0. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －12<x <0或x >12三、解答题8．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3－x 2x －1；(2)f (x )＝x 2－x 3；(3)f (x )＝|x －2|－|x ＋2|； (4)f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R )．解析：(1)∵函数f (x )＝x 3－x 2x －1的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (x )的定义域为R ，是关于原点对称的．∵f (－x )＝(－x )2－(－x )3＝x 2＋x 3，又－f (x )＝－x 2＋x 3， ∴f (－x )既不等于f (x )，也不等于－f (x )．故f (x )＝x 2－x 3既不是奇函数也不是偶函数．(3)方法一(定义法) 函数f (x )＝|x －2|－|x ＋2|的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝|－x －2|－|－x ＋2|＝|x ＋2|－|x －2|＝－(|x －2|－|x ＋2|)＝－f (x )，∴函数f (x )＝|x －2|－|x ＋2|是奇函数．方法二(根据图象进行判断)f (x )＝|x －2|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，x ≥2，－2x ，－2<x <2，4，x ≤－2，画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f (x )是奇函数． (4)当a ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．综上所述，当a ∈R 且a ≠0时，函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数；当a ＝0时，函数f (x )为偶函数．9．已知函数f (x )＝1－2x.(1)若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；(2)试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．解析：(1)由已知g (x )＝f (x )－a 得，g (x )＝1－a －2x，∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即1－a －2(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a －2x ，解得a ＝1.(2)函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数．证明如下：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2) ＝1－2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝2(x 1－x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0，从而2(x 1－x 2)x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数f (x )在(0，＋∞)内是增函数．[尖子生题库]10．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式； (2)画出函数f (x )的图象．解析：(1)①由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0；②当x <0时，－x >0，∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， (x >0)0， (x ＝0)－x 2－2x ， (x <0)(2)图象如图：。

3.2.2函数奇偶性课件高一上学期数学人教A版

3.1.3 函数的奇偶性
思考：以下图片具有什么特征？
（1）y x2
（2）y 1 x
问题1：这两个函数图像有什么共同特征？
函数图像关于y轴对称
x
-3
-2
-1
1
2
3
f(x)=x2 9
4
1
1
4
9
x
-3
-2
-1
1
2
3
f (x) 1
1
x
3
1 2
1
1
1 2
1 3
追问：观察表格，你能发现表格中的数据具有哪些数量关系呢？ f (x) (x)2 x2 f (x) f (x) 1 1 f (x) x x
问题7：通过前面的探究过程，同学们归纳一下奇函数与偶函数有哪些不同的特征？
1. 当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相等，而奇函数的函数值互为相反数；
2. 偶函数的图象关于y轴对称；反过来，图象关于y轴对称的函数是偶函数奇函数的图象关于原点对称；反过来，图象关于原点对称的函数是奇函数
例1:判断下列函数是否具有奇偶性；
思考：如果将上面(2)变为 f (x) x2 1，x 1, 2那么函数还是偶函数吗
不是，2∈D，-2∉D，定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，称这样的函数为非奇非偶函数
问题8：通过上面的解题过程归纳出用定义判断函数奇偶性的解题步骤？
（1）先确定函数定义域，并判断定义域是否关于原点对称；
（2）求f(-x)，找f(-x)与f(x)关系；
（3）作出结论，若f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数；若f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x)，则f(x)是既奇又偶函数；若f(-x)≠-f(x)，且f(-x)≠f(x)，则f(x)是非奇非偶函数。

2021学年新教材高中数学3.2.2第1课时函数奇偶性的概念精品练习含解析人教A版必修一

第1课时函数奇偶性的概念必备知识基础练知识点一函数奇偶性的判断 1.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝2－|x |；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝xx －1； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x >0，－2x ＋1，x <0.知识点二奇偶函数的图象2.已知函数y ＝f (x )是偶函数，且图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )A ．4B ．2C ．1D ．03．函数f (x )＝4x3＋x 3的图象( ) A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称知识点三利用函数的奇偶性求值4.若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________；5．若函数f (x )＝x ＋1x ＋a x为奇函数，则a ＝________. 6．已知f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx －8，且f (d )＝10，则f (－d )＝________.关键能力综合练一、选择题1．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝－|x |B ．y ＝2－xC ．y ＝1x3 D ．y ＝－x 2＋8 2．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称3．已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －2，若f (－3)＝10，则f (3)＝( )A ．－8B ．18C ．10D ．－14(1)求证：f (x )是奇函数；(2)若f (－3)＝a ，试用a 表示f (12)．3．2.2 奇偶性第1课时函数奇偶性的概念必备知识基础练1．解析：(1)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(2)∵函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数．(4)f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝1－(－2x )＝1＋2x ＝f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝1＋(－2x )＝1－2x ＝f (x )．综上可知，对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数．2．解析：因为f (x )是偶函数，且图象与x 轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y 轴一定是对称的，故所有实根之和为0.选D.答案：D3．解析：∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－4x3－x 3＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图象关于原点对称．答案：C4．解析：∵函数f (x )在[a －1,2a ]上是偶函数，∴a －1＋2a ＝0，得a ＝13. 又f (－x )＝f (x )，即13x 2－bx ＋1＋b ＝13x 2＋bx ＋1＋b 对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23均成立，∴b ＝0.答案：130 5．解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即－x ＋1－x ＋a －x ＝－x ＋1x ＋a x. 显然x ≠0，整理得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1＝0，得a ＝－1.答案：－16．解析：令g (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ，则g (x )为奇函数．f (d )＝g (d )－8＝10，∴g (d )＝18，f (－d )＝g (－d )－8＝－g (d )－8＝－26.答案：－26 关键能力综合练1．解析：A 、D 两项，函数均为偶函数，B 项中函数为非奇非偶，而C 项中函数为奇函数．答案：C2．解析：∵函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x ＋x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x－x 是奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称，故选C. 答案：C3．解析：由f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －2，得f (x )＋2＝x 5＋ax 3＋bx .令G (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＝f (x )＋2，∵G (－x )＝(－x )5＋a (－x )3＋b (－x )＝－(x 5＋ax 3＋bx )＝－G (x )，∴G (x )是奇函数．∴G (－3)＝－G (3)，即f (－3)＋2＝－f (3)－2，又f (－3)＝10，∴f (3)＝－f (－3)－4＝－10－4＝－14.答案：D4．解析：∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c (c ≠0)是偶函数，∴b ＝0，∴g (x )＝ax 3＋cx ，∴g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数，故选A.答案：A5．解析：F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )．又x ∈(－a ，a )关于原点对称，∴F (x )是偶函数．答案：B6．解析：∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)＝2－2＝0，f (0)＝0＋1＝1.∴f [f (－2)]＝f (0)＝1.故选A.答案：A7．解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )且f (0)＝0，∴f (－2)＝－f (2)＝－5，∴f (－2)＋f (0)＝－5.答案：－58．解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，2－|x ＋2|≠0，解得－2≤x ≤2且x ≠0，∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．∵f (x )＝4－x 22－|x ＋2|＝4－x 2－x ＝－4－x 2x，定义域关于原点对称， ∴f (－x )＝4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．答案：[－2,0)∪(0,2] 奇9．解析：在f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1中，令x ＝－1，得f (－1)－g (－1)＝1，又f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以f (1)＋g (1)＝1.答案：110．解析：(1)f (x )＝1x －1的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数．(2)f (x )＝－3x 2＋1的定义域是R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)f (x )＝1－x ·1＋x |x ＋2|－2的定义域是[－1,0)∪(0,1]，所以f (x )的解析式可化简为f (x )＝1－x ·1＋xx ，满足f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(4)函数的定义域为R .当x >0时，－x <0，则f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1＝f (x )；当x ＝0时，f (－x )＝f (x )＝1；当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝f (x )．综上，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．学科素养升级练1．解析：A 正确；B 错误，仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性，需要满足“任意”；C 正确；D 错误，反例：f (x )＝0满足条件，该函数既是奇函数，又是偶函数．答案：AC2．解析：∵函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．对于选项A ，|f (－x )|－g (－x )＝|f (x )|＋g (x )≠±(|f (x )|－g (x ))，故其不具有奇偶性；对于选项B ，f (－x )－|g (－x )|＝f (x )－|g (x )|，故函数为偶函数；对于选项C ，|f (－x )|＋g (－x )＝|f (x )|－g (x )≠±(|f (x )|＋g (x ))，故其不具有奇偶性；对于选项D ，f (－x )＋|g (－x )|＝f (x )＋|g (x )|，故函数为偶函数．综上，选D.答案：D3．解析：(1)证明：由已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x 得f (0)＝f (x )＋f (－x )，令x ＝y ＝0得f (0)＝2f (0)，所以f (0)＝0.所以f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)因为f (x )为奇函数．所以f (－3)＝－f (3)＝a ，所以f (3)＝－a .又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.。