第四章质点系的平衡B
大学物理复习第四章知识点总结
大学物理复习第四章知识点总结大学物理复习第四章知识点总结一．静电场：1.真空中的静电场库仑定律→电场强度→电场线→电通量→真空中的高斯定理qq⑴库仑定律公式：Fk122err适用范围：真空中静止的两个点电荷F⑵电场强度定义式：Eqo⑶电场线：是引入描述电场强度分布的曲线。
曲线上任一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线疏密表示场强的大小。
静电场电场线性质:电场线起于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远，不闭合，在没有电荷的地方不中断，任意两条电场线不相交。
⑷电通量：通过任一闭合曲面S的电通量为eSdS方向为外法线方向1EdS⑸真空中的高斯定理：eSoEdSqi1int只能适用于高度对称性的问题：球对称、轴对称、面对称应用举例：球对称：0均匀带电的球面EQ4r20(rR)(rR)均匀带电的球体Qr40R3EQ240r(rR)(rR)轴对称：无限长均匀带电线E2or0(rR)无限长均匀带电圆柱面E(rR)20r面对称：无限大均匀带电平面EE⑹安培环路定理：dl0l2o★重点：电场强度、电势的计算电场强度的计算方法：①点电荷场强公式+场强叠加原理②高斯定理电势的计算方法：①电势的定义式②点电荷电势公式+电势叠加原理电势的定义式：UAAPEdl(UP0)B电势差的定义式：UABUAUBA电势能：WpqoPP0EdlEdl(WP00)2.有导体存在时的静电场导体静电平衡条件→导体静电平衡时电荷分布→空腔导体静电平衡时电荷分布⑴导体静电平衡条件:Ⅰ.导体内部处处场强为零,即为等势体。
Ⅱ.导体表面紧邻处的电场强度垂直于导体表面，即导体表面是等势面⑵导体静电平衡时电荷分布:在导体的表面⑶空腔导体静电平衡时电荷分布:Ⅰ.空腔无电荷时的分布：只分布在导体外表面上。
Ⅱ.空腔有电荷时的分布(空腔本身不带电，内部放一个带电量为q的点电荷)：静电平衡时，空腔内表面带-q电荷，空腔外表面带+q。
3.有电介质存在时的静电场⑴电场中放入相对介电常量为r电介质，电介质中的场强为：E⑵有电介质存在时的高斯定理：SDdSq0,intE0r各项同性的均匀介质D0rE⑶电容器内充满相对介电常量为r的电介质后，电容为CrC0★重点：静电场的能量计算①电容：②孤立导体的电容C4R电容器的电容公式C0QQUUU举例：平行板电容器C圆柱形电容器C4oR1R2os球形电容器CR2R1d2oLR2ln()R1Q211QUC(U)2③电容器储能公式We2C22④静电场的能量公式WewedVE2dVVV12二.静磁场：1.真空中的静磁场磁感应强度→磁感应线→磁通量→磁场的高斯定理⑴磁感应强度：大小BF方向：小磁针的N极指向的方向qvsin⑵磁感应线：是引入描述磁感应强度分布的曲线。
第四章动量定理与动量守恒定律
第四章动量定理与动量守恒定律第四章动量定理与动量守恒定律基本内容本章重点是掌握动量、冲量概念及其物理规律，并掌握这些规律的应⽤条件和⽅法。
本章难点是所研究的系统的划分和选取、守恒定律条件和审核、综合性⼒学问题的分析求解。
教学⽬的1. 掌握动量定理和动量守恒定律，并能分析、解决简单的⼒学问题。
2. 掌握运⽤守恒定律分析问题的思想和⽅法，能分析简单系统在平⾯内运动的⼒学问题。
3 理解质⼼的概念和质⼼运动定律。
4-1 质点和质点系的动量定理⼀、冲量质点的动量定理动量是描写物体机械运动状态的物理量。
在⽇常⽣活中,⼈们站在树下,抬头看见⼀⽚树叶落下即将砸到头顶,⼀定会满不在乎地敢于承当,⽽看到⼀颗⽯⼦飞来,⼀定会望⽽⽣畏地急忙躲开。
⼤家也知道,即使在钉⼦上⾯放上⼀个质量很⼤的物体,也很难把钉⼦压进⽊头⾥去。
可是,挥动⼩榔头敲钉⼦,就⽐较容易把钉⼦打进去。
这些现象都与动量概念有关。
可见，动量是描述⼀定运动状态下物体“运动量”的概念，⽐速度更能全⾯、确切地反映物体的运动状态，为状态量。
⽜顿在所著的<<⾃然哲学的数学原理>>⼀书中,把动量定义为质点的质量m 和其速度v 的乘积,即(1)它是⼀个⽮量，其⼤⼩为|m v |=mv ，⽅向为速度的⽅向。
在国际单位制中，动量的单位是千克⽶/秒。
符号是。
由⽜顿第⼆定律tm t d )(d d d v p F ==得)(d d d v p F m t ==上式的积分为1212 d )(21v v p p F m m t t t t-=-=? （4-1）式中1v 和1P 是质点在时刻1t 的速度和动量，2v 和2P 是质点在时刻2t 的速度和动量。
tF 为⼒对时间的积分，称为⼒的冲量，⽤符号I 表⽰。
式（3-1）的物理意义是：在给定时间间隔内，外⼒作⽤在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。
这就是质点的动量定理。
式（3-1）是质点动量定理的⽮量表达式，在直⾓坐标系中，其分量式为-==-==-==z z y x 2x x 12 12 1 d d d 212121mv mv t F I mv y mv t F I mv mv t F I z t t z y t t y t t x （4-2）动量定理在碰撞、打击等情形中特别有⽤．两物体碰撞时互相作⽤的⼒称为冲⼒．冲⼒的特点是作⽤时间极短，⽽⼒的⼤⼩变化则极⼤，这就是所谓⼒的脉冲。
普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第四章 动能和势能
第4章动能和势能习题解答4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。
绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg ，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s 的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。
分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg ，所以，人对传送带做功的功率为：N = fv = mgv = 50×9.8×2 = 9.8×102（瓦）4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为l l k l k f ,321+=表示弹簧的伸长量，k 1为正，⑴研究当k 2＞0、k 2<0和k 2=0时弹簧的劲度df/dl 有何不同；⑵求出将弹簧由l 1拉长至l 2时弹簧对外界所做的功。
解：弹簧的劲度df/dl=k 1+3k 2l 2. k 2=0时，df/dl =k 1，与弹簧的伸长量 无关；当k 2>0时，弹簧的劲度随弹簧 伸长量的增加而增大；k 2<0时，弹簧 的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。
在以上三种情况中，劲度df/dl 与弹簧伸长量l 的关系如图所示。
))](([)()()(2122212222112141422412122121321321212121l l l l k k l l k l l k dll k ldl k dl l k l k A l l l l l l -++-=----=--=+-=⎰⎰⎰4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F 向下拉绳，证明力F 对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。
证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r 1,θ1变为r 2,θ2，由于忽略绳的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=FFT F r r r r r r rT A A r r T r r F A r r T drTTdrdr FA =∴-=-=-==-==⎰⎰⎰),()()(2121211221214.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h 的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tg α=0.02，所受阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？解：设卡车匀速上坡时，速率为v, 牵引力为F, 功率为N,由质点平衡方程有，F = (0.04+sin α)mg ，∴N = Fv = (0.04+sin α)mgv设卡车匀速下坡时，速率为v ’,牵引力为F',功率为N', 由质点平衡方程有 F'+ mg sin α= 0.04mg, F'=(0.04-sin α)mg, ∴N'= (0.04-sin α)mgv'.令N'= N, 即（0.04+sin α）mgv = (0.04-sin α)mgv'，可求得：v'= v(0.04+sin α)/(0.04-sin α). 利用三角函数关系式，可求得： sin α≈tg α=0.02 ,∴v'=3v =3×15×103/602 m/s = 12.5m/s.4.3.1质量为m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N ，木块在A 点时具有向右的速率v 0=6m/s ，求力T 将木块从A 拉至B 点时的速度。
第四章 动量定理与动量守恒定律
v dpi v v (e) v (i) = Fi = Fi + Fi dt
m1
v ex Fi
v in m i m2 Fi
求和, 求和 有
合外力 合内力
v v (e) v (i) dpi d v ∑ dt = dt ∑ pi = ∑Fi + ∑Fi
因为内力成对出现, 上式可写为: 因为内力成对出现 上式可写为
I x = ∫ Fxdt = mvx mvx0
t0 t
t
I y = ∫ Fydt = mvy mvy0
t0 t
I z = ∫ Fzdt = mvz mvz0
t0
May 31, 2010 Page #
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大学物理学
第四章 第四章动量定理与动量守恒定律
(3) 在碰撞或冲击问题中 牛顿定律无法直接应用 而动 在碰撞或冲击问题中, 牛顿定律无法直接应用, 量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果. 量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果 (4) 动量定理仅适用于惯性系 且与惯性系的选择无关 动量定理仅适用于惯性系, 且与惯性系的选择无关. 如图, 锤从高度为h 例 如图 一重锤从高度为 =1.5m的地方由 的地方由 静止下落, 静止下落,锤与被加工的工件的碰撞后的 末速度为零. 若打击时间分别为10 末速度为零 若打击时间分别为 -1s, 10-2s, 10-3s, 10-4s,试计算这几种情形下平均冲力 , 与重力的比值. 与重力的比值 如图坐标系, 设重锤质量为m 解: 取如图坐标系 设重锤质量为 . 重锤初速度
10-1s 6.5 10-2s 56
Page #
由此解得
计算结果如下
t
第四章 第一节 虚位移与虚功的概念
虚位移可以是线位移也可以是角位移 在稳定约束的条件下，在 dt时间内发生的微小实位移必是所 有可能的虚位移中的一种。 4．机构中一组虚位移之间的关系 (l)几何法:作图给出机构的微小运动，直接按几何关系，确定 各有关虚位移之间的联系。 (2)变分法(解析法)：选定一个适当的自变量，给出各有关点的 坐标方程，再求其变分；各变分之间的比例，即为各虚位移之 间的比例关系。 (3)运动学法(虚速度法):计算各有关点的虚速度；各虚速度之 比即为各虚位移之比。
Hale Waihona Puke djjlds
M(x, y) y
例(P104例4-2)试求曲柄连杆机构中A、B两点虚位移之间的关系。 90º j+y) -( r O
dsA
A
l
j
y
dsB
B A、B二点的虚位移和在连杆AB的轴线上的投影必定相等， 否则就会破坏连杆长度不变的约束条件。
dsAcos[90º j+y)] = dsBcosy -( dsA sin(j+y)= dsB cosy
第一节 虚位移与虚功的概念
y O y=0 dr x
O
x dj
z
f(x,y,z)=0 drM M(x,y,z) y O
j
y
l
drM
M(x, y) x2 + y2 = l2
x f(x,y,z)=0
2．虚位移:某一瞬时，质点系为所有约束所允许的任何无限小 的位移称为虚位移(也称可能位移) f(x,y,z)=0 drM y
dr
O x
x
z
M(x,y,z) y O
O
j
y drM
dj
l
M(x, y)
x
A r dj dsA O l
第四章刚体和刚体系统的平衡
（4-2）
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4.1 质点系和刚体的平衡条件
根据牛顿第三定律，质点系内力总是成对出现，相互作用，具有大小
相等、方向相反、作用在同一条直线上的性质。因此，每对内力的矢
量和其对任意点的力矩之和均等于零。故式（4-2）可化为
m
FRi = 0 ，m来自MO (FRi ) = 0
（4-3）
同一直线的力，弹簧两端会开始背向远离，直到其内部产生的弹性力
和施加的力相等，才能停下来、停止伸长。在此例中，在弹簧停止伸
长之前，作用在它上面的力系是符合式（4-4）的，但弹簧仍然在运
动，不平衡。在弹簧停止伸长之后，处于平衡状态，同时，其上作用
的外力系也符合式（4-4）。
对于具体的问题而言，条件中的外力包括主动力及约束力。
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4.2 刚体的平衡方程
4.2.1 一般空间力系作用下刚体的平衡方程
由上文的讨论得知，刚体平衡的充要条件是作用在刚体上的外力系的 主矢及外力对任一点的主矩都为零，写成矢量方程组是式（4-4），
在工程中，为了方便应用，可以利用矢量投影定理，将其投影在三个
互相垂直的坐标轴上，得到6个标量形式的平衡方程：
处于平衡。
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4.1 质点系和刚体的平衡条件
4.1.2 质点系的平衡条件
质点系平衡，指质点系中每一个质点均处于平衡状态。即质点系中所
有的质点都相对参考系全都处于静止状态，或全都处于匀速运动状态。 下文来研究处于平衡状态的质点系上外力F1，F2，…，Fn间的关系。
我们知道，作用于质点系中每个质点上的力可以分为外力和内力两种，
第四章 刚体和刚体系统的平衡
第一节 质点系和刚体的平衡条件 第二节 刚体的平衡方程 第三节 刚体平衡问题 第四节 静定刚体系统的平衡问题 第五节 钢化原理 第六节 摩擦及考虑摩擦时的平衡问题 总结与讨论 习题
复旦大学大学物理力学课件Ch4_part_I-1
W Ek
力对空间的累积作用 标量 惯性系 内力作功不一定为零 合外力为零， 作功不一定为零
I P
力对时间的累积作用 矢量 惯性系 内力冲量为零 合外力为零， 总的冲量一定为零
动量守恒定律
t2 n n F外力dt mi vi mi vi 0 P t1 i 1 i 1
t
动量定理的成立条件——惯性系。
利用动量定理计算平均冲力
F (t2 t1 ) Fdt
I Fdt ＝P mv 2 - mv1
P F＝ t
•应用： 利用冲力： 增大冲力，减小作用时间 ——冲床 避免冲力： 减小冲力，增大作用时间 ——轮船靠岸时的缓冲
力的效果 力的瞬时效果 牛顿定律是动量定理 关系 的微分形式 适用对象 质点 适用范围 惯性系 解题分析 必须研究质点在每时 刻的运动情况
力对时间的积累效果 动量定理是牛顿定律的 积分形式 质点、质点系 惯性系 只需研究质点（系）始 末两状态的变化
动能定理和动量定理的比较
动能定理 动量定理 都是从牛顿定律推出
一、冲量
1, 若质点受恒力的作用， I ＝Ft 在t 时间内所受的冲量为：
2, 若质点受变力的作用， 在t1t2 时间内所受的冲量为：
t
F
F
I ＝ Fn tn
t2 t1
t 1 t 2 t1
F (t )
t n t2
积分形式
t2 I ＝ Fdt
dp dv dM F M u dt dt dt
y h h v1
v2
1 2 h v1t ' gt ' 2
t 1s
'
高中物理力学平衡系统教案
高中物理力学平衡系统教案我们需要明确教学目标。
本教案的核心目标是使学生能够掌握力学平衡系统的基本原理和方法，包括力的合成与分解、杠杆原理以及物体的稳定性等。
通过这些知识点的学习，学生应能在理论和实践层面上分析并解决相关的物理问题。
接下来是教学内容的设计。
教案应该从力学平衡的基本概念入手，逐步深入到各种类型的平衡条件。
例如，可以从简单的质点平衡开始，引导学生理解当物体所受外力的合力为零且力矩也为零时，物体处于静态平衡状态。
随后，引入刚体的平衡，讨论杠杆原理及其在日常生活中的应用。
还应包括对不稳定平衡和稳定平衡的分析，以及如何通过改变物体的支撑点来调整其稳定性。
教学方法的选择也是教案设计中的重要环节。
为了提高教学效果，教案应结合多种教学方法，如讲授、讨论、实验和案例分析等。
讲授用于传授基础知识，讨论可以激发学生的思考，实验有助于学生观察和验证理论知识，而案例分析则能让学生将所学知识应用于实际情境中。
在教学过程中，教师应当注重培养学生的实践能力。
为此，教案中应包含一系列精心设计的实验活动。
例如，可以设计一个测量不同形状物体稳定角的实验，让学生亲手操作并记录数据，然后引导他们分析和讨论实验结果。
通过这样的实践活动，学生不仅能够加深对力学平衡的理解，还能培养他们的观察力和实验技能。
评估方式也是教案不可或缺的一部分。
为了全面评价学生的学习成果，教案应包含形成性和总结性评估。
形成性评估可以通过课堂提问、作业和小测验等方式进行，而总结性评估则可以通过期末考试或项目作业来实现。
这些评估方式不仅能够帮助教师了解学生的学习进度，还能够激励学生积极参与学习过程。
教案还应该提供一些拓展资源，如相关的书籍、视频和在线课程等，以便学生在课外进行深入学习。
这些资源可以帮助学生巩固课堂上学到的知识，同时也能够满足那些对物理有更深层次兴趣的学生的需求。
分析力学--第4章-力学的变分原理
显然求此泛函的极小值就是求所用的最小时间 t,，也就是 求出函数中的哪一个函数表示的曲线是最速降线。
另外：在某一曲面上指定的两点之间，求出长度最短曲 线问题（短程线问题）；求长度一定的封闭线所围面积 为最大的问题（等周问题）等，都是变分问题。
.
（2）变分的概念
变分分等时变分和全变分两种，全变分又称非等时变分。 我们只研究等时变分。
第四章 力学的变分原理
1.变分法简介 2.哈密顿原理 3.力学原理 . 方程之间的联系（了解 ） 4.哈密顿原理应用举例 5.高斯最小拘束原理（了解） 6.拉格朗日最小作用量原理（了解）
.
力学原理：
不需经过证明，在实践中靠归纳得出的力学的最基 本最普遍的规律。
力学原理分为两大类：
不变分原理和变分原理；
数表示为
y f (x) （0≤x≤xb）
由机械能守恒定律，质点M的速度为
2gy
在dt 时间间隔内，质点M走过的弧长为
d s (d)x 2(d)y 21y'2dx
则质点M 从点A降落到点B所用时间为
t sB ds xB 1y'2dx
0 0 . 2gy
上式时间t是用定积分（函数的集合）来表示的，这 种关系即泛函，其数值取决于式中未知函数 y= f(x)和
（2）泛函的概念
给定一个由任何对象组成的集合D，这里所说的任
何对象可以是数、数组、点、线、面，也可以是函数或
某系统的状态等。设集合D中的元素用 x 表示，如果对
于集合中的每一个元素 x 对应一个数 y，则称 y 是x的泛
函，记为
y=F .(x).
有时泛函可以看做是函数，函数也可看做是泛数。 譬如，如果集合D中的元素是数 x ，则泛函y=F (x)可
大学物理第四章
二、平动和转动
1、平动 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直
线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫 平动（translation）。
平动时，刚体内各质点在任一时 刻具有相同的速度和加速度。
刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的 运动，如质心。
可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
如：车轮的滚动。
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3、刚体的定轴转动 定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴作
不同半径的圆周运动。
在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但 在相同时间内转过的角度相同，称为角位移，它可 以用来描述整个刚体的转动。
作定轴转动时，刚体内各点具 有相同的角量，包括角位移、角速 度和角加速度。但不同位置的质点 具有不同的线量，包括位移、速度 和加速度。
直角坐标系中，采用用 、 ，如图所示：
最后，刚体绕定轴转动时，需
要一个坐标来描述，选定参考方 z
向后，转动位置用表示。
p
总的说来，刚体共有6个自由
度，其中3个平动自由度，3个转 动自由度。
y
物体有几个自由度，它
o
的运动定律可归结为几个
独立的方程。
x
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§4-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 一、力矩
v r
返回 退出
三、定轴转动定律
对刚体中任一质量元
mi
受外力 Fi 和内力 fi
应用牛顿第二定律，可得：
F ifi m ia i
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
F isii n fisi i n m ia it m ir i
F ir isiin fir isiin m ir i2
4_3质心 质心运动定理
系统动量守恒 , 即
pN
2 12 ν
1
pe + p ν + p N = 0
又因为
pν
pe ⊥ pν
∴ pN = ( p + p )
2 e
22
代入数据计算得
p N = 1 .36 × 10
kg m s
pe α = arctan = 61.9° pν
第四章动量定理与动量守恒定律 4 – 3 质心 质心运动定理
第四章动量定理与动量守恒定律 4 – 3 质心 质心运动定理
令:
为质点的总
质量, 并令 则有
m = ∑mi
d2rc m 2 = F(e) dt
rc
∑m r =
m
i i
质心运动方程
rc 质心 我们把前式定义的位置矢量 的矢端处的几何点C, 称为质点系的质量中心, 简称质心. 1) 离散分布的质点系的质心位置(直角坐标
第四章动量定理与动量守恒定律 4 – 3 质心 质心运动定理 两体问题 质量分别为m1和m2的两个相互作用的质点组成的 质量分别为 质点系, 就是所谓两体问题 两体问题. 质点系 就是所谓两体问题 两质点在惯性系K 两质点在惯性系 中速度分别是 v 和 v , 在质心 1 2 系C中速度是 v1′ 和 v2′ , 于是两质点的相对速度 u为: 中速度是 由于是质心系. u = v1 v2 = v1 v2 由于是质心系 ′ ′ 两式联立, m v1 + m2v2 = 0 两式联立 解得 1 m2u mu ′ ′ 1 v1 = , v2 = m + m2 m + m2 1 1
系)
rc → xc
∑m x , y = ∑m y , z = ∑m z =
大学物理第四章课后答案
υ2 l
9. 解： m 下降到斜面瞬间满足机械能守恒： 1 则 mgh = mυ 0 2 2 M 与 m 碰撞后无机械能损失： 1 1 1 mυ 0 2 = Mυ 2 + mυ ′ 2 2 2 2 水平方向 M 与 m 组成的系统动量守恒， 总动量 为 0， Mυ = m υ ′ 解得： υ = 2m 2 gh M ( M + m)
如图所示在一铅直面内有一光滑的轨道左边是一个上升的曲线右边是足够长的水平直线两者平滑连接现有b两个质点b在水平轨道上静止a在曲线部分高h处由静止滑下与b发生完全弹性碰撞碰后a仍可返回上升到曲线轨道某处并再度滑下已知ab两质点的质量a分别为和
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第四章 动量定理
一、 填空 1. 2. 3. 4. 是表示力在空间上累积作用的物理量， 是表示力在时间上累 积作用的物理量。 质点动量定理的微分形式是 。 质点动量定理的积分形式是 。 对于质点系来说，内力 （ “改变”或“不改变” ）质点系中各个质点 的动量，但 （ “改变”或“不改变” ）质点系的总动量。 若质点系沿某坐标方向所受的合外力为零，则 守恒。 如果两物体碰撞过程中，动能完全没有损失，这种碰撞称为 ，否则 就称为 ；如果碰撞后两物体以相同的速度运动，这种碰撞称 为 。 ， 其中 υ10 ,υ1 是某一物
-1-
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上，如图所示。求链条下落在地面的长度为 l 瞬时，地面所受链条的作用力的大 小。 4. 质量为 M 的人，手里拿着一个质量为 m 的物体，此人以与地平面成 α 角的速 度 υ0 向前方跳起，当他达到最高点时，将物体以相对速度 µ 水平向后抛出，由 于物体的抛出，人跳的距离增加多少？假设空气阻力不计。 5. 速度为 υ0 的物体甲和一个质量为甲的 2 倍的静止物体乙作对心碰撞，碰撞后 1 甲物体以 υ 0 的速度沿原路径弹回，求： 3 （1）乙物体碰撞后的速度，问这碰撞是完全弹性碰撞吗？ （2） 如果碰撞是完全非弹性碰撞， 碰撞后两物体的速度为多大？动能损失多少？ 6. 如图所示，质量为 m 的物体从斜面上高度为 h 的 A 点处由静止开始下滑，滑至水平段 B 点 停止，今有一质量 m 的子弹射入物体中，使物 体恰好能返回到斜面上的 A 点处。求子弹的速 度（ AB 段摩擦因数为恒量） 。 7. 如图所示，劲度系数 k = 100 N m 的弹簧， 一 段固 定于 O 点， 另一端 与一 质量 为
第4章 冲量与动量
o
EP EP弹 mgx 1 2 kx k x x0 mgx 2 由已知条件 mg k x0
∴
EP
1 2
kx
2
若势能取在平衡位 置，则总势能以弹性 势能的单一形式出现。
21
第四章 冲量和动量
N
v'
y
v地x v 'cos u
由x方向动量守恒：
u
O
mg
x
m ( v ' cos u ) M u 0
u m v ' co s M m
第四章 冲量和动量 11
例 在恒星系中，两个质量分别为 m1 和 m2 的星球，原来为静 止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到 相距为 r 时。 求 它们之间的相对速率为多少？ 解 由动量守恒，机械能守恒
I
2 4
2 2
20
kgm s
tan
4 2
2
第四章 冲量和动量
5
例 一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后， 以同样速率反弹，接触时间仅0.019s. 求 对地平均冲力? 解 篮球到达地面的速率
v 2 gh 2 9.8 2 6.3 m/s
F F(max)
mv1 mv 2 0
1 2 m1v1
2
m1
m2
v1
v2
1 2
m2v 2 G
2
m1m2 r
O
0
v 2 m1 2G 2G
x
解得
v1 m2
2G ( m1 m2 ) r
( m1 m2 ) r 2G
理论力学B第四章稳定性
1 V = k(r − l0 )2 2
V =−
γMm
r
§4-7、质点系在势力场中平衡的稳定性 二、势力场的特性
WA →A =WA →A →A=WA →A +WA →A
1 2 1 0 2 1 0 0
2
=WA →A −WA →A =V1 −V2
1 0 2 0
(x, y, z) →(x + dx, y + dy, z + dz)
§4-7、质点系在势力场中平衡的稳定性 一、势力场及势能
力 场(force field):质点 系)受力完全由其所在位置决 field):质点(系 受力完全由其所在位置决 定。场力 势力场( 势力场(potential force field)或保守力场(conservative force 或保守力场( field) ：场力做功与质点经过的路径无关。 场力做功与质点经过的路径无关。 有势力(保守力) 有势力(保守力)，保守系统
θ = 00orθ = 53.80
d 2V >0 2 dq
3、讨论平衡位置的稳定性 、
2
dV mgl 2 cosθ = kl (cosθ − cos 2θ ) − 2 dθ 2
θ = 00不稳定 θ = 53.80稳定
小结
1. 力的功 δW = F • dr = F • vdt 几种常见力的功 质点系内力的功 2. 约束及其分类 3. 自由度与广义坐标 4. 虚位移与虚功 5. 理想约束 摩擦力的功 等效力系的功定理
k
l
θ mg
k
l
解：k = 1 θ θ=00系统的势能为零 1、给出系统的势能函数V 、给出系统的势能函数
θ mg
1 2 1 = k(l − l cosθ ) − mg(l − l cosθ ) 2 2 2、确定系统的平衡位置 、
【大学物理】第四章 动量 动量守恒定律
o f
dv mg F k Av m dt v t mdv mg F k Av dt 0 0
m mg-F-k Av ln t kA mg F mg F k Av e mg F
kA t m
v
vm
t
kA t mg F m 1 e v kA
质心的运动 ~ 质点 质量 M 受力 F外
位于 rc
其运动与系统 内质点相互作 用无关
11
小结
质点
质点系
p mv dp F dt p pi Mvc dp F外 dt
i
v c F ma F外 Mac
基本方法：用质心作为物体（质点系）的代表， 描述质点系整体的平动。
f kmv
求： 轨道方程
解： 先建立 x，y 方向的运动微分方程， 受力情况如图：
y
dv x k mvx m dt k mvy mg m dv y dt
v0 f m
o
mg
17
x
dv x k mvx m dt k mvy mg m
用积分法求解
19
以地面为参考系, 列 M 的运动方程：
受力情况如图：
M
y Q
aM
x
Mg
N N
Fx N sin MaM Fy Q Mg N cos 0
(1) (2)
aM 0 , M不是惯性系。
20
以地面为参考系, 列 m 的运动方程： 由相对运动加速度关系， y
r2
rc
C
质心位矢是各质点 位矢的加权平均
§4.3 质点和质点系动能定理
1 1W1 ( L l ) 0 mv 2 2
( 2)
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结束
第四章 动能和势能
L m0v 2 / 2[2 (m0 m) 1m]g
l v 2 / 21 g L
2.用质点系运动定理求解
视卡车与木箱为一质点系
A外 2 (m0 m) gL
A内 1mgl
L
上页
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返回
结束
第四章 动能和势能 [解] 1.用质点动能定理求解
FN
FN2
F
Ff
受力分析如图，只有力 Ff , Ff 和 F 做功
根据质点动能定理得
1 [ 1W1 2 (W1 W )] L 0 m0 v 2 2 (1)
W
FN1
W1
Ff
a 1 2 mv mgb k ( x a )dx b 2 1 k (b a ) 2 mgb
b x
2 1 k 2 2 v （b a） 2 gb m
上页 下页
返回
结束
第四章 动能和势能
§4.3.2质点系内力的功
1.内力的功 以两质点系m1 和m2 为例 一对内力元功之和： z
与过程无关. 而功与过程有关.
(3)动能定理只适用于惯性系. (4) 动能定理对于物体运动所能提供的信息比牛 顿运动定律少.
上页
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返回
结束
第四章 动能和势能 [例题1]如图,物块质量m置于粗糙水平面上,用橡皮绳系于 墙上,橡皮绳原长a，拉伸时相当于劲度系数为k的弹簧,现 将物块向后拉伸至橡皮绳长为b后再由静止释放.求物块击 墙的速度.物块与水平面间的摩擦系数为.. [解] 弹力只存在于ba 过程， x 摩擦力始终存在， m O a 由动能定理有： ( v0= 0 )
第四章 角动量守恒定律
vdt
r
dS
1
r vdt
2
rv2恒矢量
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一.角动量
lrm vrP
大小 rm ： svin
方向：右手法则
单位k： gm 2/s v
r
O
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二.力矩 (moment)
F
M rF
M
r
大小rF： sin
O
方向：右手法则
L1 0
开始爬行后两只猴子相对于地面的速
率分别为 v1和v2
ddL Lt2 MR 1 (v m 1 k 1 m m R 2)2 g v 2 k k m R
O
m1g m2 g
现在你正浏览到当前第二十九页，共三十三页。
若m1m2,
dL 0 dt
L2 0
L 2 R 1 v 1 k m R 2 v 2 k m
vm
v0
rm b
现在你正浏览到当前第十七页，共三十三页。
vm
v0
rm b
解：粒子的运动是在金原子核对它的有心力的作用下 进行的，所以它对金原子核所在的位置是角动量守恒的 ，同时，由粒子和金原子核所组成的系统机械能也是守恒
的。
根据角动量守恒有： v0bvmrm
现在你正浏览到当前第十八页，共三十三页。
一、刚体的平动和转动
A
A
1. 刚体的平动
连接刚体中任意两点的
B
A
线段在运动中始终保持平行
B
。
特点:
刚体上所有点的 运动轨迹 、 rB、 v、a都 相同,
可用质点运动来描述。
现在你正浏览到当前第三十一页，共三十三页。
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W Q q
j 1 j
k
j
0
对于完整约束：
q j (i 1,2,, k ) 是相互独立的
j
W Q q
j 1 j
k
0
Q j 0, ( j 1, , k )
广义坐标形式的虚位移原理：具有双侧、完整、理想约束 的静止质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是：该质 点系所有的广义力均为零。
§4-6 虚位移原理
A
90 0
C2
C1 M m1 g m2 g O
B F
m3 g
1. 确定系统是否满足原理的应用条件 2. 分析主动力作用点的虚位移 3. 求主动力的虚功之和
2014-10-14
F
i 1
n
i
ri 0
12
BUAA
rA
A
§4-6 虚位移原理
rC
M
m2 g
2014-10-14 5
BUAA
约束方程 f z ut 0
Hale Waihona Puke 实例分析实位移z
可能位移
r r
t dt
dr
M
u
r
O
M
r
t
y
x
虚位移
2014-10-14
虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无 限小位移，与时间t的变化无关 ( t 0)。
6
BUAA
F Fx i Fy j Fz k
2014-10-14
Q0
Q 4WL sin 4FL cos 0
BUAA
W F r 0
i 1 i i 1 i i n n
§4-6 虚位移原理
ri xi i yi j zi k
Fi Fix i Fiy j Fiz k , ri xi i yi j zi k
( F x F y
i 1 ix i iy
n
i
Fizzi ) 0
若质点系有k个自由度，力的作用点的坐标可以表示为：
xi xi (q1 , , qk ) yi yi (q1 , , qk ) z z (q ,, q ) i i 1 k
2014-10-14
2014-10-14
3
BUAA
定常约束
真实位移
§4-4 虚位移与虚功
虚位移
dr
δr δr
δr
虚位移有无穷多个 定常约束情况下，实位移是虚位移中的一种
2014-10-14
4
BUAA
非定常约束
真实位移
§4-4 虚位移与虚功
虚位移
δr δr
δr
dr
u
‘凝固’
u
虚位移应满足给定瞬时的约束条件，即将约束面在该时刻 虚位移位于给定瞬时约束曲面的切面上 非定常约束情况下，实位移不是虚位移中的一种
2W
2W
2W
x
ri xi i yi j
( Fixxi Fiyyi ) 0
i 1 n
2014-10-14
18
BUAA
y
5
§4-6 虚位移原理
解： ( Fix x i Fiy y i ) 0
F
2W
1 2
3
4
2W
2W
2W
x
主动力的作用点：1—4 L yi cos , (i 1,2,3,4) 2 L yi sin 2 Fix 0, Fiy 2W
r2
F2
2a ( F1 2 aF2 M A ) 0 3 1 M 2 a ( F1 F2 ) 0 A 3
16
2014-10-14
BUAA
W F r 0
i 1 i i 1 i i n n
§4-6 虚位移原理
二、虚位移原理的广义坐标形式
如何求
xi yi zi
20
BUAA
k
§4-6 虚位移原理
k k x y xi xi (q1 , , qk ) xi i q j yi i q j zi zi q j j 1 q j j 1 q j j 1 q j ( , , ) y y q q i i k 1 z z (q ,, q ) i i 1 k 例如： x1 l1 sin x2 l1 sin l2 sin O x x1 l1 cos l1 x l cos l cos
[rA ] AB [rB ] AB
3、是无限小的，不是有限位移 4、虚位移不只有一个或一组 { rA , rB } {rA , rB }
2
2014-10-14
BUAA
§4-4 虚位移与虚功
真实位移 —实际发生的位移，用dr表示，它 同时满足动力学方程、初始条件和约束条件。 可能位移 — 约束允许的位移，用Δr表示，它只 需满足约束条件。 虚位移 —定常约束情况下的可能位移，非定 常情况下假想约束“冻结”时的可能位移， 用r表示。
2014-10-14
l(t)=l0-vt
T δr 0
9
虚功为零，实功不一定为零！
BUAA
r1
B
§4-5 理想约束
FNB
r2
' F A SA
' FNA
FSB
例题：若斜块A和滑块B之间 （1）：有摩擦； （2）：无摩擦。 则该系统是否是理想约束
FN 1 地面光滑
（1）：有摩擦 是非理想约束 i 1 ' ' FSA ) r2 F N 1 r2 ( F NB FSB ) ( r1 r2 ) ( F NA ( F NB F SB ) r1 FSB r1 0 （2）：无摩擦
一、虚位移原理(virtual work principle)
F
i 1
n
i
ri 0
虚位移原理：具有双侧、理想约束的静止的质点系， 在给 定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所有主动力在系 统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。 证明必要性： 平衡 Fi FNi 0 (i 1,, n)
F5x F , F5 y 0
主动力的作用点：5
x5 4 L sin x5 4 L cos
(4WL sin 4FL cos ) 0
( F x F y ) 0
i 1 ix i iy i
n
Qq 0
F W tan
19
q 0
C2
m3 g
研究AB 杆和滑块B
F 0
x
FNB
B F
FAx F 0 (2)
m2 g
(2) ( L) (1)
FL M 0
14
m3 g
BUAA
a
D
§4-6 虚位移原理
例：结构及其受力如图所示，求A端的约束力偶。
a
F1
a
C
n
M
A B
F r 0
i 1 i i
O
W F rB
F rA
FR
2014-10-14
90
0
rB B
F
rB rA
7
BUAA
§4-5 理想约束
• 理想约束(ideal constraint)： 质点系中所有约束力
在任何虚位移上所作虚功之和为零的约束。
讨论： 哪些约束是理想约束?
1、光滑固定面和可动铰链支座 2、光滑固定铰链和轴承 3、连接物体的光滑铰链 4、二力杆和不可伸长的柔索
例题：套筒A和小球B的重力分别为W1和W2 ， 求系统对应于坐标yA的广义力。
o
W1
y A
yA x
l
W Qjq j Q1yA Q2
j 1
k
yA 0, 0 W Q1yA
W W1yA W2yA (W1 W2 )yA
W2 B yA
§4-4 虚位移与虚功
二、虚功 • 虚功（virtual work)： W F r
作用于质点(系)上的力在虚位移上所作的功。
r xi yj zk
例：若OA杆的虚位移为 ， OA＝R ，求力F 的虚功。
W Fxx Fyy Fzz
rA A
BUAA
习题：4-1、4-4、4-5
虚位移原理
由 伯 努 利（Bornoulli，1717)提出的 由 拉格朗日（Lagrange，1764)完善的 虚位移原理是静力学的普遍原理，它 给出了质点系平衡的充分和必要条件。 • • •
2014-10-14
什么是虚位移 什么是虚功 什么是虚位移原理的适用条件
Q1 W1 W2
2014-10-14
问题：广义力的物理含义是什么？
22
BUAA
O x
§4-6 虚位移原理
例：求系统的平衡位置。若已知： l1 l2 l , m1 m2 m, F mg
l1
解：方法一
y
l2
{F x F y } Q q
i 1 ix i iy i j 1 j
F2
2014-10-14 15
BUAA
a
D
§4-6 虚位移原理
例：结构及其受力如图所示，求A端的约束力偶。
a
F1
a
C
解：固定端A变成固定铰链 约束力偶变为主动力偶
r1
rC
M
r2 2 a