第四章质点系的平衡B

BUAA
习题：4-1、4-4、4-5
虚位移原理
由 伯 努 利（Bornoulli，1717)提出的 由 拉格朗日（Lagrange，1764)完善的 虚位移原理是静力学的普遍原理，它 给出了质点系平衡的充分和必要条件。 • • •
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什么是虚位移 什么是虚功 什么是虚位移原理的适用条件
r2
F2
2a ( F1 2 aF2 M A ) 0 3 1 M 2 a ( F1 F2 ) 0 A 3
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W F r 0
i 1 i i 1 i i n n
§4-6 虚位移原理
二、虚位移原理的广义坐标形式
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BUAA
约束方程 f z ut 0
实例分析
实位移
z
可能位移
r r
t dt
dr
M
u
r
O
M
r
t
y
x
虚位移
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虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无 限小位移，与时间t的变化无关 ( t 0)。
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F Fx i Fy j Fz k
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y
5
§4-6 虚位移原理
例题: 已知各长为L，重为W，平衡位置如图，杆与铅垂线的 夹角为θ。求维持平衡时所需力F 的大小?
F
W F r 0
i 1 i i 1 i i
n
n

2W
1 2
3
4
ri xi i yi j
Fi Fix i Fiy j
例题：套筒A和小球B的重力分别为W1和W2 ， 求系统对应于坐标yA的广义力。
o
W1

y A
yA x
l
W Qjq j Q1yA Q2
j 1
k
yA 0, 0 W Q1yA
W W1yA W2yA (W1 W2 )yA
W2 B yA
Q1 W1 W2
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问题：广义力的物理含义是什么？
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O x
§4-6 虚位移原理
例：求系统的平衡位置。若已知： l1 l2 l , m1 m2 m, F mg

l1
解：方法一

y
l2
{F x F y } Q q
i 1 ix i iy i j 1 j
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3
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定常约束
真实位移
§4-4 虚位移与虚功
虚位移
dr
δr δr
δr
虚位移有无穷多个 定常约束情况下，实位移是虚位移中的一种
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4
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非定常约束
真实位移
§4-4 虚位移与虚功
虚位移
δr δr
δr
dr
u
‘凝固’
u
虚位移应满足给定瞬时的约束条件，即将约束面在该时刻 虚位移位于给定瞬时约束曲面的切面上 非定常约束情况下，实位移不是虚位移中的一种
如何求
xi yi zi
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k
§4-6 虚位移原理
k k x y xi xi (q1 , , qk ) xi i q j yi i q j zi zi q j j 1 q j j 1 q j j 1 q j ( , , ) y y q q i i k 1 z z (q ,, q ) i i 1 k 例如： x1 l1 sin x2 l1 sin l2 sin O x x1 l1 cos l1 x l cos l cos
一、虚位移原理(virtual work principle)
F
i 1
n
i
ri 0
虚位移原理：具有双侧、理想约束的静止的质点系， 在给 定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所有主动力在系 统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。 证明必要性： 平衡 Fi FNi 0 (i 1,, n)
C2
m3 g
研究AB 杆和滑块B
F 0
x
FNB
B F
FAx F 0 (2)
m2 g
(2) ( L) (1)
FL M 0
14
m3 g
BUAA
a
D
§4-6 虚位移原理
例：结构及其受力如图所示，求A端的约束力偶。
a
F1
a
C
n
M
A B
F r 0
i 1 i i
( F x F y
i 1 ix i iy
n
i
Fizzi ) 0
若质点系有k个自由度，力的作用点的坐标可以表示为：
xi xi (q1 , , qk ) yi yi (q1 , , qk ) z z (q ,, q ) i i 1 k
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2W
2W
2W
x
ri xi i yi j
( Fixxi Fiyyi ) 0
i 1 n
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y
5
§4-6 虚位移原理
解： ( Fix x i Fiy y i ) 0
F

2W
1 2
3
4
2W
2W
2W
x
主动力的作用点：1—4 L yi cos , (i 1,2,3,4) 2 L yi sin 2 Fix 0, Fiy 2W
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F
n
Ni
ri 0 ?
' ' F SA ) r2 F N 1 r2 ( F NB F SB ) r1 ( F NB F SB ) r2 ( F NA
是理想约束
F
i 1
n
Ni
ri 0
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§4-6 虚位移原理
F5x F , F5 y 0
主动力的作用点：5
x5 4 L sin x5 4 L cos
(4WL sin 4FL cos ) 0
( F x F y ) 0
i 1 ix i iy i
n
Qq 0
F W tan
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q 0
[rA ] AB [rB ] AB
3、是无限小的，不是有限位移 4、虚位移不只有一个或一组 { rA , rB } {rA , rB }
2
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§4-4 虚位移与虚功
真实位移 —实际发生的位移，用dr表示，它 同时满足动力学方程、初始条件和约束条件。 可能位移 — 约束允许的位移，用Δr表示，它只 需满足约束条件。 虚位移 —定常约束情况下的可能位移，非定 常情况下假想约束“冻结”时的可能位移， 用r表示。
1
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一、虚位移
rA A r A
90
0
§4-4 虚位移与虚功
•虚位移（virtual displacement)：在给定瞬时 质点(系)为 约束容许 的 任何 微小位移。 r
rA
rB B rB
O
Ar
A
O 虚 位 移 特 点


rB
B rB
1、不同瞬时或位置，虚位移不同 2、必须满足约束条件

F2
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a
D
§4-6 虚位移原理
例：结构及其受力如图所示，求A端的约束力偶。
a
F1

a
C
解：固定端A变成固定铰链 约束力偶变为主动力偶
r1
rC
M

r2 2 a
A
MA

rC r2
1 r1 rC 3
BC杆的虚位移为平移
B
F1r1 F2r2 M A 0
O
W F rB
F rA
FR
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90
0

rB B
F
rB rA
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§4-5 理想约束
• 理想约束(ideal constraint)： 质点系中所有约束力
在任何虚位移上所作虚功之和为零的约束。
讨论： 哪些约束是理想约束?
1、光滑固定面和可动铰链支座 2、光滑固定铰链和轴承 3、连接物体的光滑铰链 4、二力杆和不可伸长的柔索
n
F
i 1
n
i
ri 0
Ni
(F F
i 1
i
n i 1
ri Fi
i
) ri 0
i
F r F
i 1 i i i 1
n
n
Ni
ri 0
|| 0
F r
iபைடு நூலகம்
0
FNi
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例：已知 OA=L，求 系统在图示位置平衡 时，力偶矩M与力F 的关系（不计摩擦） 基本步骤：
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l(t)=l0-vt
T δr 0
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虚功为零，实功不一定为零！
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r1
B
§4-5 理想约束
FNB
r2
' F A SA
' FNA
FSB
例题：若斜块A和滑块B之间 （1）：有摩擦； （2）：无摩擦。 则该系统是否是理想约束
FN 1 地面光滑
（1）：有摩擦 是非理想约束 i 1 ' ' FSA ) r2 F N 1 r2 ( F NB FSB ) ( r1 r2 ) ( F NA ( F NB F SB ) r1 FSB r1 0 （2）：无摩擦

2
1
2

y
l2
y1 l1 cos y2 l1 cos l2 cos
m1 g
m2 g
F
y1 l1 sin y2 l1 sin l2 sin
、 是独立的
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BUAA
k
§4-6 虚位移原理
n
xi yi z i Q j ( Fix Fiy Fiz ) Q jq j W q j q j q j i 1 j 1 其中：Qj 称为对应于 q j 的广义力
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M LF
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A
C1 M m1 g m2 g O
§4-6 虚位移原理
90 0
平衡方程的求解方法 研究OA杆
C2

B F
M
O
0
FAx L M 0 (1)
FAy FAx A A
C1 M m1 g O F Ox FOy
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F Ax
FAy
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Q0
Q 4WL sin 4FL cos 0
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W F r 0
i 1 i i 1 i i n n
§4-6 虚位移原理
ri xi i yi j zi k
Fi Fix i Fiy j Fiz k , ri xi i yi j zi k
[ r A ] AB [ rB ] AB
2

rC
1
m1 g
O

rB
B
F
m3 g
r A rB rA rB L
W 0
Fr B M 0
FL M ( FL M ) 0 0 LF M 0
§4-4 虚位移与虚功
二、虚功 • 虚功（virtual work)： W F r
作用于质点(系)上的力在虚位移上所作的功。
r xi yj zk
例：若OA杆的虚位移为 ， OA＝R ，求力F 的虚功。
W Fxx Fyy Fzz
rA A

' FA
F
i 1
n
Ni
ri 0
Ar
A
Foy
O

Fox
FA

FN
B rB
5、刚体在固定面上纯滚动(不计滚阻力偶)
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§4-5 理想约束
以下约束是否为理想约束？
运动光滑曲面约束
变长度单摆
N
P
u
N δr
dr
x

l (t )
r
y
T
A
dr r
N δr 0
§4-6 虚位移原理
A
90 0
C2
C1 M m1 g m2 g O

B F
m3 g
1. 确定系统是否满足原理的应用条件 2. 分析主动力作用点的虚位移 3. 求主动力的虚功之和
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F
i 1
n
i
ri 0
12
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rA
A
§4-6 虚位移原理
rC
M
m2 g
W Q q
j 1 j
k
j
0
对于完整约束：
q j (i 1,2,, k ) 是相互独立的
j
W Q q
j 1 j
k
0
Q j 0, ( j 1, , k )
广义坐标形式的虚位移原理：具有双侧、完整、理想约束 的静止质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是：该质 点系所有的广义力均为零。