2021届高考数学核按钮【新高考广东版】3.1 函数的概念及其表示

第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ

1.函数的概念与性质

(1)了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域．

(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

(3)了解简单的分段函数，并能简单应用．

(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义．

(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质．

2.指数函数

(1)了解指数函数模型的实际背景．

(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．

(3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．

(4)知道指数函数是一类重要的函数模型．

3.对数函数

(1)理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

(2)了解对数函数的概念，了解对数函数的单调性，了解对数函数图象通过的特殊点．

(3)知道对数函数是一类重要的函数模型．

(4)知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，且a≠1)．

4.幂函数

(1)了解幂函数的概念．

(2)结合函数y＝x，y＝

1

x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律．

5.函数与方程

(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

(2)结合具体连续函数及其图象的特点，能够用二分法求相应方程的近似解．

6.函数模型及其应用

(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等不同函数类型增长的含义．

(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．

3.1函数的概念及其表示

1.函数的概念

一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的．

2.函数的表示方法

(1)解析法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法．

(2)图象法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法．

(3)列表法：就是来表示两个变量之间的对应关系的方法．

3.构成函数的三要素

(1)函数的三要素是：，，

.

(2)两个函数相等：如果两个函数的相同，并且完全一致，则称这两个函数相等．

4.分段函数

若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．

5.补充几个常用概念

常数函数：也称常值函数，即值域是只含一个元素的集合的函数．

有界函数、无界函数：值域是有界集的函数称为有界函数，否则称为无界函数．

抽象函数：没有给出具体解析式的一类函数．

复合函数：指按一定次序把有限个函数合成得到的函数．一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做复合函数y＝f(g(x))的内层函数，u称为中间变量．函数的复合是研究函数的一种工具．一方面它提供了构造各式各样新函数的方法；另一方面，为研究复杂的函数，常将它们看成一些简单函数的复合．

代数函数、超越函数：如果函数与其自变量的关系能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示，就称这样的函数为代数函数，否则称为超越函数．

函数方程：未知量是函数的方程称为函数方程．使函数方程中的等号能够成立的函数，叫做这一函数方程的解．

自查自纠

1．唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域

2．(1)数学表达式(2)图象(3)列出表格

3．(1)定义域对应关系值域(2)定义域对应关系

1．(2019·湖南雅礼中学月考)下列函数为同一函数的是()

A.y＝x2－2x和y＝t2－2t

B.y＝x0和y＝1

C.y＝（x＋1）2和y＝x＋1

D.y＝lg x2和y＝2lg x

解：对于A，y＝x2－2x和y＝t2－2t的定义域都是R，对应关系也相同，所以是同一函数；对于B，y＝x0的定义域是{x|x≠0}，而y＝1的定义域是R，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于C，y＝（x＋1）2＝|x＋1|和y＝x＋1的定义域都是R，但对应关系不相同，所以不是同一函数；对于D，y＝lg x2的定义域是{x|x≠0}，而y＝2lg x 的定义域是{x|x>0}，两函数的定义域不同，所以不是同一函数．故选A.

2.函数y＝1

log2x－2的定义域为() A.(0，4) B.(4，＋∞)

C.(0，4)∪(4，＋∞)

D.(0，＋∞)

解：由题意得log2x－2≠0且x>0，解得x∈(0，4)∪(4，＋∞)．故选C.

3.(2018·河南商丘第二次模拟)设函数f(x)＝⎩

⎨

⎧x2－1，x≥2，

log2x，0＜x＜2，

若f(m)＝3，则实数m的值为

()

A.－2

B.8

C.1

D.2

解：当m≥2时，由m2－1＝3，得m2＝4，解得m＝2；

当0

综上所述，m＝2.故选D.

4．函数f(x)＝

x－1

x＋1

的值域为________．解：由题意得f(x)＝

x－1

x＋1

＝1－2

x＋1

，因为x ≥0，所以0<

2

x＋1

≤2，所以－2≤－

2

x＋1

<0，所

以－1≤1－2

x＋1

<1，故所求函数的值域为[－1，1)．故填[－1，1)．

5．(2018·定远县期末)已知函数f(x)＝⎩

⎨

⎧9，x≥3，

－x2＋6x，x<3，

则不等式f(x2－2x)

解：当x<3时，f(x)＝－x2＋6x，在(－∞，3)上单调递增，故f(x)<9.由f(x2－2x)

⎩⎪

⎨

⎪⎧x2－2x<3x－4，

3x－4<3

或

⎩⎪

⎨

⎪⎧x2－2x<3，

3x－4≥3，

解得1

3

或7

3≤x<3，即有解集为(1，3)．故填(1，3)．

类型一求函数的定义域

例1(1)(2019·合肥八中期中)函数f(x)＝ln（x＋3）

1－2x

的定义域是()

A.(－3，0)

B.(－3，0]

C.(－∞，－3)∪(0，＋∞)

D.(－∞，－3)∪(－3，0)