圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结

椭圆的定义、性质及标准方程

1. 椭圆的定义：

⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。 ②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。 2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：

标准方程

)0(122

22>>=+b a b

y a x 中心在原点，焦点在x 轴上

)0(12

2

22>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上

图形

范围 x a y b ≤≤，

x b y a ≤≤，

顶点

()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，

()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，

对称轴 x 轴、y 轴；

长轴长2a ，短轴长2b ；

焦点在长轴上

x 轴、y 轴；

长轴长2a ，短轴长2b ；

焦点在长轴上

焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F

)0(221>=c c F F

离心率 )10(<<=

e a

c

e )10(<<=

e a

c

e 准线

2

a x c

=±

2

a y c

=±

参数方程与普通方程

22

22

1x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θ

θθ=⎧⎨

=⎩为参数 22

22

1y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θ

θθ

=⎧⎨

=⎩为参数

3. 焦半径公式：

椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得1

1

PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）

， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫

==+=+=+ ⎪⎝

⎭；同理得20PF a ex =-。

简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22

221y x a b +=。有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。

双曲线的定义、方程和性质

知识要点：

1． 定义

（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明：

①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；

若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。 ②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。

（2）第二定义：平面内动点到定点F 的距离与到定直线L 的距离之比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L 叫相应的准线。

3． 几个概念 （1） 等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x ，离心率为2。 （2）

共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴

双曲线，例：12222=-b

y a x 的共轴双曲线是122

22-=-b y a x 。

① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共

轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。

抛物线标准方程与几何性质

一、抛物线定义的理解

平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线。

注：① 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M ；一定点F （即焦点）；一定直线l （即准线）；一定值1（即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离之比1）

② 定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上。若F 在l 上，抛物线退化为过F 且垂直于l 的一条直线

③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当10<e 时，表示双曲线；当1=e 时，表示抛物线。

④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。

二、抛物线标准方程

1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。

2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：()022

>±=p px y ，

()022>±=p py x ，其中：

① 参数p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正值；p 值越大，

张口越大；2

p

等于焦点到抛物线顶点的距离。

②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为x 轴时，方程中的一次项变量就是x ， 若x 的一次项前符号为正，则开口向右，若x 的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y 轴时，方程中的一次项变量就是y ， 当y 的一次项前符号为正，则开口向上，若y 的一次项前符号为负，则开口向下。

三、求抛物线标准方程

求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.

① 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数p ，因此要做到“先定位，再定值”。

注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为ax y =2

或

ay x =2，这样可避免讨论。

② 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。

注：① 焦点的非零坐标是一次项系数的

4

； ② 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，

数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。