圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结
圆锥曲线所有知识点和二级结论
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。
它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。
下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。
在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。
在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。
二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。
2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。
3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。
三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。
2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。
四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。
2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。
3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。
(完整版)圆锥曲线的定义、方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
最全圆锥曲线知识点总结
最全圆锥曲线知识点总结的定义是指平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1+PF2=2a>F1F2），那么这个动点P的轨迹就是椭圆。
这两个定点被称为椭圆的焦点，两焦点的距离被称为椭圆的焦距。
注意：如果PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹是线段F1F2；如果PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。
2）对于椭圆，如果焦点在x轴上，那么它的参数方程是x=acosθ，y=bsinθ（其中θ为参数），如果焦点在y轴上，那么它的参数方程是y=acosθ，x=bsinθ。
如果椭圆的标准方程是x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），那么它的范围是−a≤x≤a,−b≤y≤b，焦点是两个点(±c,0)，对称中心是(0,0)，顶点是(±a,0)和(0,±b)，长轴长为2a，短轴长为2b，离心率为e=c/a，椭圆即为0<e<1的情况。
3）关于直线与椭圆的位置关系，如果点P(x,y)在椭圆外，那么a2+b2>1；如果点P(x,y)在椭圆上，那么a2+b2=1；如果点P(x,y)在椭圆内，那么a2+b2<1.4）焦点三角形是指椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形。
5）弦长公式是指如果直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1、x2分别为A、B的横坐标，那么AB=√[1+k2(x1−x2)2]。
如果y1、y2分别为A、B的纵坐标，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
如果弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
6）圆锥曲线的中点弦问题可以用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中，以P(x,b2x,y)为中点的弦所在直线的斜率k=−a2y。
1.已知椭圆 $m x^2 + n y^2 = 1$ 与直线 $x+y=1$ 相交于$A,B$ 两点，点 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $AB=2\sqrt{2}$，求椭圆的方程，若 $OC$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$，求 $m,n$ 的值。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线，是由平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
圆锥曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、基本概念1. 定义：圆锥曲线是平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
2. 定点：圆锥曲线的两个定点分别称为焦点。
3. 对称轴：通过两个焦点并垂直于准线的直线称为对称轴。
4. 准线：通过两个焦点的直线段称为准线。
二、椭圆1. 定义：椭圆是圆锥曲线的一种，其离心率小于1，且焦点不重合的曲线。
2. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
3. 性质：椭圆具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：椭圆在天文学、建筑学和电子等领域应用广泛。
三、双曲线1. 定义：双曲线是圆锥曲线的一种，其离心率大于1的曲线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。
3. 性质：双曲线具有渐近线和切线性质，且有两个分支。
4. 应用：双曲线在物理学、天文学和通信等领域有重要应用。
四、抛物线1. 定义：抛物线是圆锥曲线的一种，其离心率等于1的曲线。
2. 方程：抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
3. 性质：抛物线具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学等领域有广泛应用。
五、圆1. 定义：圆是圆锥曲线的一种，其离心率等于0的曲线。
2. 方程：圆的标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径长度。
3. 性质：圆具有对称性、切线性质和切圆定理等。
4. 应用：圆在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
总结：圆锥曲线是解析几何的重要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是代数几何中重要的一部分，它由平面和一个定点的两条曲线组成。
在数学的发展历史中，圆锥曲线的研究经历了漫长的时期，涉及到众多的数学家和学者的努力。
本文将对圆锥曲线的基本概念、性质、分类以及应用等知识点进行总结。
一、圆锥曲线的基本概念1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由平面与一个定点和这个定点到平面上任意一点的连线组成的图形。
2. 圆锥曲线的基本元素圆锥曲线由定点称为焦点和一条固定的直线称为准线组成。
3. 圆锥曲线的标准方程圆锥曲线可以用一般的二次方程表示，即 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数。
4. 圆锥曲线的焦点和准线焦点是定点到平面上各点的距离与准线到这些点距离之比的极限值。
准线是过焦点且垂直于对称轴的直线。
二、圆锥曲线的性质1. 直线和圆的特例直线是当离心率为1的圆锥曲线，圆是离心率为0的圆锥曲线。
2. 焦准属性圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与到准线的距离之比始终为常数，这就是焦准属性。
3. 长轴和短轴圆锥曲线的焦点和准线确定了两条互相垂直的轴线，这两条轴线分别称为长轴和短轴。
4. 离心率圆锥曲线的离心率是一个反映离心程度的量，离心率为0时曲线为圆，离心率为1时曲线为直线。
5. 对称性圆锥曲线具有平移和对称性，即曲线在对称轴两侧具有相同的形状。
三、圆锥曲线的分类1. 椭圆圆锥曲线的离心率小于1，且大于0，形状近似于椭圆的曲线称为椭圆。
2. 抛物线圆锥曲线的离心率等于1，形状类似于抛物线的曲线称为抛物线。
3. 双曲线圆锥曲线的离心率大于1，形状类似于双曲线的曲线称为双曲线。
四、圆锥曲线的应用1. 天文学圆锥曲线在天文学中有广泛的应用，例如行星和彗星的轨道可以用圆锥曲线描述。
2. 工程学在工程学中，圆锥曲线被用于设计天桥、隧道、公路弯道等工程项目。
3. 经济学圆锥曲线在经济学中有重要的应用，例如需求曲线和供给曲线可以用圆锥曲线表示。
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
高中数学第八章圆锥曲线知识点
高中数学第八章圆锥曲线知识点第八章圆锥曲线是高中数学的一个重要章节，本章内容涵盖了圆锥曲线的基本定义、性质和相关的解题方法。
在本文档中，我们将详细介绍圆锥曲线的相关知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、圆锥曲线的基本定义1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一个动点（在直线上移动）确定的几何图形。
根据焦点的位置和直线与曲线的交点情况，圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种情况。
2. 椭圆的定义椭圆是平面上与两个固定点的距离之和等于常数的点（焦点），构成的几何图形。
3. 双曲线的定义双曲线是平面上与两个固定点的距离之差等于常数的点（焦点），构成的几何图形。
4. 抛物线的定义抛物线是平面上与一个固定点的距离等于另一个固定点到直线的距离，构成的几何图形。
二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质椭圆的离心率小于1，焦点在椭圆的内部。
椭圆有两个主轴，相互垂直，长度分别为2a和2b，其中2a是椭圆的长轴，2b是椭圆的短轴。
椭圆的面积为πab。
2. 双曲线的性质双曲线的离心率大于1，焦点在双曲线的外部。
双曲线有两个虚轴和两条实轴，相互垂直。
双曲线的面积无限大。
3. 抛物线的性质抛物线的离心率等于1，焦点在抛物线的内部。
抛物线有一个对称轴，与焦点和顶点的距离相等。
抛物线的面积为2/3 × a × h，其中a是焦点到顶点的距离，h是对称轴的长度。
三、圆锥曲线的解题方法1. 椭圆的解题方法（1）求解椭圆的标准方程，确定椭圆的中心、长轴和短轴；（2）求解椭圆的焦点和离心率；（3）利用椭圆的性质解题，例如求点到椭圆的距离或求椭圆上一点的坐标。
2. 双曲线的解题方法（1）求解双曲线的标准方程，确定双曲线的中心、虚轴和实轴；（2）求解双曲线的焦点和离心率；（3）利用双曲线的性质解题，例如求点到双曲线的距离或求双曲线上一点的坐标。
3. 抛物线的解题方法（1）求解抛物线的标准方程，确定抛物线的顶点、对称轴和焦点；（2）利用抛物线的性质解题，例如求点到抛物线的距离或求抛物线上一点的坐标。
圆锥曲线知识点整理
圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是解析几何中的重要内容，它是由圆(或椭圆、双曲线、抛物线)在一个平面上的投影形成的一类曲线。
在数学和物理学等领域，圆锥曲线有着广泛的应用。
下面将对圆锥曲线的相关知识点进行整理和说明。
一、圆锥曲线的定义及基本概念1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是平面上的一条曲线，它是由一个固定点(焦点)和一个固定直线(准线)所确定的点的集合。
2. 圆锥曲线的焦点和准线：焦点是确定圆锥曲线形状的重要参数，准线是直线，在圆锥曲线的定义中起着重要作用。
3. 圆锥曲线的形状：圆锥曲线有四种形状，分别是圆、椭圆、双曲线和抛物线。
它们的形状由焦点、准线和离心率等参数确定。
二、圆锥曲线的方程及性质1. 圆的方程：圆的方程可以用一般式表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)表示圆心的坐标，r表示半径。
2. 椭圆的方程：椭圆的方程可以用标准方程表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)表示椭圆中心的坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
3. 双曲线的方程：双曲线的方程可以用标准方程表示为(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1，或(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=-1。
其中(h,k)表示双曲线中心的坐标，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
4. 抛物线的方程：抛物线的方程可以用标准方程表示为y²=4ax，其中a表示抛物线的焦点到准线的距离。
5. 圆锥曲线的性质：圆锥曲线具有许多重要的性质，如对称性、离心率、焦点与准线的关系等。
这些性质对于理解和分析圆锥曲线的形状起着重要作用。
三、圆锥曲线在实际应用中的意义1. 圆锥曲线在物理学中的应用：在物理学中，圆锥曲线被广泛应用于描述物体的运动轨迹、电场和磁场分布等问题。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是平面上的一类重要的几何曲线，由易知，它们具有各种各样的性质和特点，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
下面将对圆锥曲线的基本概念、方程及其性质进行简要总结。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面和圆锥交于一条封闭曲线形成的曲线。
根据圆锥和平面的位置关系，可以分为椭圆、抛物线和双曲线三类。
（一）椭圆当切割平面与圆锥的两部分相交时，形成椭圆。
椭圆有两个焦点，与这两个焦点的距离之和是常数。
椭圆的方程常用标准方程表示为：(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴长度。
（二）抛物线当切割平面与圆锥的一部分相交时，形成抛物线。
抛物线是一条对称曲线，其开口方向由切割平面的位置决定。
抛物线的方程常用标准方程表示为：y = ax²，其中a为常数。
（三）双曲线当切割平面与圆锥的两部分不相交时，形成双曲线。
双曲线有两个焦点，与这两个焦点的距离之差是常数。
双曲线的方程常用标准方程表示为：(x/a)² - (y/b)² = 1，其中a和b分别表示双曲线的长轴和短轴长度。
二、圆锥曲线的方程（一）椭圆的一般方程椭圆的一般方程为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数。
（二）抛物线的一般方程抛物线的一般方程为：Ay² + Bx + C = 0，其中A、B和C为常数。
（三）双曲线的一般方程双曲线的一般方程为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数，且B² - 4AC > 0。
三、圆锥曲线的性质（一）椭圆的性质1. 椭圆是一个闭合曲线，对称于x轴和y轴。
2. 椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴平行。
3. 椭圆有两个焦点，对称于椭圆的长轴上。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是二维平面上的几何图形，由直角圆锥与一个平面相交而产生。
它在数学、物理、工程和计算机图形等领域具有广泛的应用。
本文将对圆锥曲线的基本概念、方程、性质和应用进行总结。
一、基本概念1. 定义：圆锥曲线可以分为三种类型，即椭圆、抛物线和双曲线。
它们的定义分别是：- 椭圆：平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
- 抛物线：平面上到一个定点的距离等于定直线的距离的点的集合。
- 双曲线：平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的集合。
2. 方程形式：圆锥曲线可以以各种形式的方程表示。
常见的方程形式包括标准方程、参数方程和极坐标方程。
二、椭圆1. 基本性质：椭圆是一个闭合的曲线，两个焦点之间的距离是常数，而离心率小于1。
椭圆对称于两个坐标轴，并且具有两个主轴和两个焦点。
2. 椭圆的方程：椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是两个半轴的长度。
3. 参数方程：椭圆的参数方程是x = h + a*cos(t)，y = k + b*sin(t)，其中t是参数的角度。
4. 极坐标方程：椭圆的极坐标方程是r = (a*b) / sqrt((b*cos(t))² + (a*sin(t))²)，其中r是极径，t是极角。
5. 应用：椭圆在日常生活中有多种应用，例如天体运动的轨道、水平仪和椭圆形浴缸等。
三、抛物线1. 基本性质：抛物线是一个开放的曲线，焦点和直线称为准线。
抛物线对称于准线，并且具有一个顶点。
2. 抛物线的方程：抛物线的标准方程是y = a*x² + b*x + c，其中a、b和c是常数。
3. 参数方程：抛物线的参数方程是x = t，y = a*t² + b*t + c，其中t是参数。
4. 极坐标方程：抛物线没有显式的极坐标方程。
5. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学中有多种应用，例如抛物线反射器、天体运动的近似模型和喷泉水流的轨迹等。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是解析几何中的重要内容，由平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到。
在高中数学课程中，学习圆锥曲线是必不可少的。
本文将对圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用进行总结。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线就是平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到的曲线，在平面上的图像可以呈现出不同的形状。
二、圆锥曲线的基本方程1. 双曲线：双曲线的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。
2. 椭圆：椭圆的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。
3. 抛物线：抛物线的基本方程为：$y^2=2px$。
其中，p为抛物线的焦距。
三、圆锥曲线的性质1. 双曲线的性质：双曲线的两个分支镜像对称于原点，焦点到曲线的距离之差为常数。
双曲线还具有渐近线，即曲线趋近于两根直线。
2. 椭圆的性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且焦点到任意点的距离之和为常数。
此外，椭圆也具有主轴、短轴和焦距等重要概念。
3. 抛物线的性质：抛物线的焦点位于抛物线的顶点上，且焦点到抛物线上任意点的距离等于焦点到该点的法线距离。
四、圆锥曲线的应用1. 双曲线的应用：双曲线在电磁学中有广泛的应用，例如电磁波的传播、天线的辐射以及电磁场分布等方面。
2. 椭圆的应用：椭圆在力学、天文学和导航等领域有着重要的应用。
例如椭圆轨道运动的物体、天体运动规律的研究以及导航系统中的卫星轨道等。
3. 抛物线的应用：抛物线在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如自由落体运动、射击运动以及卫星的发射轨道等。
综上所述，圆锥曲线是解析几何中的重要内容，通过本文的总结，我们了解了圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用。
在学习过程中，我们需要深入理解每个曲线的特点和应用领域，为解决实际问题提供有力的数学工具。
希望本文对你对圆锥曲线的学习有所帮助。
圆锥曲线知识点 总结
圆锥曲线知识点总结1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是指平面内由圆锥截面形成的曲线。
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线、抛物线等类型。
它们的定义方式如下：- 圆：如果平面内的一条曲线上到定点的距离恒定，那么这条曲线就是一个圆。
- 椭圆：平面内的一条曲线上到两个定点的距离之和恒定，这条曲线就是椭圆。
- 双曲线：平面内的一条曲线上到两个定点的距离之差恒定，这条曲线就是双曲线。
- 抛物线：平面内的一条曲线上到定点的距离等于到直线的距离，这条曲线就是抛物线。
2. 圆锥曲线的基本性质圆锥曲线具有一些共同的基本性质，对于不同的类型曲线具有不同的特点：- 对称性：圆锥曲线可能具有对称轴，可以对称于直线、坐标轴、原点或其他特定点。
- 过焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与到焦距的距离之和始终是一个固定值。
- 直径性质：圆锥曲线可能有两个焦点，双曲线、椭圆和抛物线有两个焦点，而圆只有一个焦点。
- 渐近线性质：双曲线和椭圆的曲线可能有渐近线，这些渐近线与曲线的某些特定方向趋近的直线。
3. 圆锥曲线的参数方程圆锥曲线可以用参数方程来表示。
参数方程是指用参数来表示一个函数或曲线的方程。
对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，它们的参数方程可以表示为：- 椭圆：x=a*cos(t) ，y=b*sin(t) 0≤t≤2π- 双曲线：x=a*cosh(t) ， y=b*sinh(t) -∞<t<+∞4. 圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程来表示。
极坐标方程是指用极坐标来表示一个函数或曲线的方程。
对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，它们的极坐标方程可以表示为：- 椭圆：r(t)=a(1-e^2)/(1+e*cos(t))- 双曲线：r(t)=a(1+e*cos(t))5. 圆锥曲线的焦点和直径对于圆锥曲线来说，焦点和直径是它们的重要性质。
焦点是指椭圆、双曲线、抛物线曲线上的两个固定点，直径是指通过焦点的直线。
6. 圆锥曲线的渐近线部分圆锥曲线，如双曲线和椭圆，可能存在渐近线。
圆锥曲线重点知识点总结
圆锥曲线重点知识点总结圆锥曲线是高中数学中一个重要的内容，是解析几何的重点之一。
在学习圆锥曲线时，我们需要掌握一些重要的知识点。
本文将对圆锥曲线的基本概念、方程与性质进行总结。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由切割一个锥体的过程中所得到的曲线。
根据切割方式的不同，圆锥曲线可分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
1. 椭圆：通过一点F（焦点）到平面上任意一点P的距离之和恒定的点集所构成的曲线称为椭圆。
这个常数称为椭圆的焦距，用c表示。
椭圆还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。
2. 双曲线：通过一点F到平面上任意一点P的距离之差恒定的点集所构成的曲线称为双曲线。
这个常数称为双曲线的离心率，用e表示。
双曲线还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。
3. 抛物线：通过平面上任意一点P到一个定点F的距离等于点P到一条直线l的距离的点集所构成的曲线称为抛物线。
二、圆锥曲线的方程在解析几何中，我们常常使用方程描述曲线。
圆锥曲线的方程可以用多种形式表示，例如标准方程、一般方程和参数方程等。
1. 椭圆的方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 （a > b > 0），其中a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。
2. 双曲线的方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （a > 0，b > 0），其中a和b分别代表双曲线的距离焦点的距离和离心率。
3. 抛物线的方程：抛物线的标准方程为y^2 = 2px，其中p为抛物线的焦距。
三、圆锥曲线的性质掌握圆锥曲线的性质对于解析几何的问题求解非常重要。
1. 椭圆的性质：a) 椭圆的离心率满足0<e<1，离心率越小，椭圆越圆。
b) 长半轴和短半轴的长度之间的关系是a>b。
c) 椭圆的离心率e满足等于c/a（其中c代表焦距）。
2. 双曲线的性质：a) 双曲线的离心率满足e>1，离心率越大，双曲线越开口。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学中，圆锥曲线是重要的内容之一。
以下是对圆锥曲线的知识点进行总结：1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个到该点的固定距离之比（离心率）确定的曲线。
2. 椭圆：-定义：椭圆是所有到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。
-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表椭圆的半长轴和半短轴。
-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，离心率满足$0<e<1$。
3. 双曲线：-定义：双曲线是所有到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表双曲线的半长轴和半短轴。
-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$，离心率满足$e>1$。
4. 抛物线：-定义：抛物线是所有到一个焦点的距离等于到直线（准线）的距离的点的集合。
-基本方程：$y^2=4ax$，其中$a$为抛物线的焦点到准线的距离的一半。
5. 圆：-定义：圆是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。
-基本方程：$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$为圆心的坐标，$r$为半径的长度。
6. 圆锥曲线的性质：-焦点和准线：椭圆和双曲线有两个焦点和一条准线，抛物线有一个焦点和一条准线，圆只有一个焦点和没有准线。
-对称性：椭圆和双曲线关于$x$轴、$y$轴对称，抛物线关于$y$轴对称。
-焦点与离心率的关系：椭圆和双曲线的离心率小于1，抛物线的离心率等于1，圆的离心率为0。
-焦点与直径的关系：椭圆和双曲线的焦点在直径上，抛物线的焦点在对称轴上。
7. 焦点和准线的性质：-椭圆和双曲线：对于椭圆和双曲线，焦点到准线的距离等于焦点到曲线上任意点的距离之差的一半。
同时，准线也是曲线的对称轴。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结高中数学圆锥曲线知识点总结一、基本概念1、圆锥曲线：圆锥曲线是由一系列圆及其与它们的共轭切面围成的曲线，也可以看作是由一条曲线以及一个光滑曲面所围成的曲线空间。
2、圆弧：圆弧是曲线上一定角度范围内的闭合曲线，实际中常用于表示圆的片段。
3、渐开线：渐开线是由来自同一个圆的两个圆弧构成的弧线，渐开线的共轭切面是一条直线，而此直线又可在空间上做一个新的圆锥曲线。
二、圆锥曲线的性质1、圆锥曲线的曲线部分是由圆弧和渐开线组成的，曲线上每个点都是圆切弧上的一个点；2、圆锥曲线的表面部分是一个椭圆锥曲面，其参数方程由三个椭圆锥参数函数组成，其积分可以计算出圆锥曲面上的面积；3、点P（x，y，z）在圆锥曲线上，则其有连续的x，y，z三个坐标参数，并且满足圆锥曲线的参数方程；4、圆锥曲线的曲线部分是椭圆锥曲线，并且任一点在曲线上的切线方向都是一致的；5、圆锥曲线的曲线与曲面的连接，是一条中间缝合曲线，即渐开线，渐开线也可以看作是空间曲线上的锥面的交线。
6、圆锥曲线的曲线部分与表面部分的连接，是一条中间缝合曲线，被称为椭圆锥曲线，椭圆锥曲线也是一条空间曲线上的椭圆锥面的交线。
7、圆锥曲线的曲线部分与表面部分之间的交点的曲线，也被称为椭圆锥曲线，它也可以看作是圆锥曲线上的椭圆锥线的交点的曲线。
三、圆锥曲线的应用1、圆锥曲线在建筑学上常用于建造拱顶、圆顶、屋顶等，这些曲线具有很好的象征性；2、圆锥曲线在航空和航天工程上常用于设计飞机、火箭的运动轨迹；3、圆锥曲线在汽车制造上常用于设计汽车的底盘，以实现更好的操控性能；4、圆锥曲线在计算机渲染上常用于设计三维物体，以获得更加逼真的渲染效果；5、圆锥曲线在绘画上常用于创作凹凸有致的曲线，以实现更加自然的线条。
总之，圆锥曲线是一种非常有用的曲线，它在不同领域有着广泛的应用。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结___________________________________1、圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。
若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
Attention：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
（2）（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。
（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。
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椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b +=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质知识要点：1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
（2）第二定义：平面内动点到定点F 的距离与到定直线L 的距离之比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L 叫相应的准线。
3． 几个概念 （1） 等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。
等轴双曲线的渐近线为y=±x ，离心率为2。
（2）共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例：12222=-by a x 的共轴双曲线是12222-=-b y a x 。
① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。
但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。
抛物线标准方程与几何性质一、抛物线定义的理解平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线。
注：① 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M ；一定点F （即焦点）；一定直线l （即准线）；一定值1（即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离之比1）② 定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上。
若F 在l 上，抛物线退化为过F 且垂直于l 的一条直线③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当10<<e 时，表示椭圆；当1>e 时，表示双曲线；当1=e 时，表示抛物线。
④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。
二、抛物线标准方程1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。
2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。
抛物线标准方程的四种形式为：()022>±=p px y ，()022>±=p py x ，其中：① 参数p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正值；p 值越大，张口越大；2p等于焦点到抛物线顶点的距离。
②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为x 轴时，方程中的一次项变量就是x ， 若x 的一次项前符号为正，则开口向右，若x 的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y 轴时，方程中的一次项变量就是y ， 当y 的一次项前符号为正，则开口向上，若y 的一次项前符号为负，则开口向下。
三、求抛物线标准方程求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.① 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数p ，因此要做到“先定位，再定值”。
注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为ax y =2或ay x =2，这样可避免讨论。
② 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。
注：① 焦点的非零坐标是一次项系数的4； ② 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。
五、直线与抛物线有关问题1．直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去x 或y 化得形如02=++c bx ax （*）的式子：① 当0=a 时，（*）式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合；② 当0≠a 时，若△＞0⇔（*）式方程有两组不同的实数解⇔ 直线与抛物线相交； 若△=0 ⇔（*）式方程有两组相同的实数解⇔ 直线与抛物线相切；若△＜0⇔（*）式方程无实数解⇔ 直线与抛物线相离.2．直线与抛物线相交的弦长问题① 弦长公式：设直线交抛物线于()()2211,,,y x B y x A ，则B A AB x x k AB -⋅+=21或B A y y k AB -⋅+=211. ② 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理： 抛物线()022>±=p px y 上一点()00,y x M 的焦半径长是20px MF +±=，抛物线()022>±=p py x 上一点()00,y x M 的焦半径长是20p y MF +±=六、抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 为过抛物线()022>±=p px y 焦点的弦，设()()2211,,,y x B y x A ，直线AB 的倾斜角为θ，则① 221221,4p y y p x x -==； ② θ2sin 2pAB =p x x ++=21； ③以AB 为直径的圆与准线相切；④弦两端点与顶点所成三角形的面积θsin 22p S AOB =∆； ⑤pFB FA 211=+ ； ⑥ 焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为900；七、抛物线有关注意事项1．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，采用“设而不求”或“点差法”等方法，能避免求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线与抛物线相交问题时不能忽视0>∆这个条件。
2．解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时，多从抛物线的定义出发，实现抛物线上任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化，并应注意焦点弦的几何性质.。