杨辉三角中的一些秘密(浙江省优质课一等奖)
_杨辉三角中的一些秘密_教学设计_陈碧文
……
1 2 r n-1 C0 Cn n Cn Cn … Cn … C n n
r n-2 n-1 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Cn0 - 1 Cn1 - 1 Cn2 - 1 … Crn - 1 Cn - 1 … C n - 1 Cn - 1
（2 ）
】 导学案中已经为学生准备了两个杨辉 【 设计意图 三角，一个用数字表示，一个用组合数表示 . 笔者要 求学生从数字表示的杨辉三角中寻找规律，从组合数 表示的杨辉三角中总结规律，并加以证明 . 这体现了 “观察—归纳—猜想—证明”的数学研究理念，并且通 过小组合作的方式，既能降低探究的难度，也能培养 学生的合作意识，提高学生的学习兴趣. 4. 小组展示，分享所得 杨辉三角的性质. 角度 1： （1 ）杨辉三角中每一行数的平方和都是杨 辉三角中的数.
取其中的 xn 项，
2 2 2 （C0 （C1 （Cn ） ］ ·xn， 等式左边 =［ n） + n） + … + n
等式右边 = C2nn xn. 由于等式2 （C1 （Cn 即 （C0 n） + n） + … + n） = C2n .
（2 ）杨辉三角每一行数字错一位叠加就得到 11 的
图1 图2
而二项式系数都可以写成组合数 . 从而我们就可以把 杨辉三角写成以下的形式，其中第 n 行第 r 个数可以
1 写成 an，r = Crn 如图 4 ） . -1 （
什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形 就是数阵. 今天这节课，我们就一起来研究一下数阵 . 当然， 对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体. 所以， 我们从一个特殊的三角数阵开始. 大家认识这个数阵 （ 如图 3 ） 吗？在古代，我们 称它为“开方作法本源图” . 而在现代，它还有另外一 个名字— ——杨辉三角.
1.杨辉三角中的秘密2.赵爽弦图中的不等式性质的再探究
课堂实录1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密浙江省宁波市正始中学陈碧文人教版选修2-3第一章第三节课题：1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密授课教师姓名及学校：陈碧文正始中学一：引经据典，步入新课师：(展示图片)今天这节课，我们从一幅图画开始，大家认识这两个图案吗？这是我们华夏传说中的河图、洛书。
“河出图，洛出书，圣人则之”，伏羲根据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州。
由此可以说河图、洛书是我们华夏文化的起源。
可你们知道吗，河图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。
什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵。
今天这节课，我们就一起来研究一下数阵。
当然，对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体。
所以，我们从一个特殊的三角数阵开始。
大家认识这个数阵吗？(生:杨辉三角)在古代，我们称它为“开方作法本源图”。
而在现代，它还有另外一个名字——杨辉三角。
杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色：北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数（垛积术）；牛顿用它算微积分；华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。
那么，我们又能从杨辉三角中探寻到哪些秘密呢？让我们一起来研究一下。
二：复习回顾，总结已知师：杨辉三角在我们学习二项式系数的性质时已经有所接触。
那么,我们已经学习过杨辉三角的哪些性质呢？我请一位同学来回答一下。
学生1：杨辉三角中每一个数都是二项式系数。
贾宪在他的《开方作法本源图》中写道：“左衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉”。
用今天的话来讲，就是说杨辉三角中的每一个数都是二项式系数，而二项式系数都可以写成组合数。
从而我们就可以把杨辉三角写成以下的形式，其中第n 行第r 个数可以写成11,--=r n r n C a ：这对我们今天的研究非常重要。
师：还有吗？学生1：杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和。
师：非常好！杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和，用组合数表示就是：r n r n r n C C C =+---111，这个结论最早是由南宋时期的杨辉所发现的，所以称之为杨辉恒等式。
杨辉三角中的一些秘密(浙江省优质课一等奖)
Cnr 1-1Cnr1- Cnr 杨辉恒等式 8
第 1行 1 第 2行 1 1 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
0 n
藏 ( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b . C .n r a . n r b r . C .n n 1 . a n 1 C b n n b n
》者 贾皆 宪廉
杨辉三角中,第n行第r个数为
an,r
Cr1 n1
7
1
11
121
13 31
146 41
1 5 10 10 5 1
方衺 作乃
1
1C860 728C261156C35672.0..3.C5..5..663..21.C.28647
C1
8
5
61
C
6 6
法 本 源 图
,
隅
算C
中
n1 0C1 n0Cn 1 1C n1 Cn 11 n 2 n1CC -C -1C nn 22 C1-n2..-.1...............n .r. .C1 .1 .-...n r .Cn.r.-.1n .1rnC .r1 C-C .nr.-..1.. ...C ...n n C 1 n n 2 - n1 n-C11 2C 1 nC nC1 n0C1
“杨` 辉三角”
中的一些秘密
宁波市正始中学 陈碧文
1
《
《探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密》PPT课件(部级优课)
3 数学文化，拓展视野 谢 尔 宾 斯 基
谢 尔 宾 斯 基 三 角 形
埃 菲 尔 铁 塔
分形几何 奇异、美丽、 超乎想象！
4 课堂小结，升华“点睛”
斜看 三角形数 四面体数 高阶等差数列 斐波那契数列
贾宪
本
课
小
C
m n
C nm n
组合数对称性
结
杨横看 辉
2的幂、11的幂
杨辉三角
朱世杰
Cnm
成林处处云,抽笋年年玉。
调清金石怨,吟苦鬼神悲。
天风乍起争韵,池一水相涵更五绿。 十
十 天下只五应我爱一,世间惟有君知。
却寻庚信小员中一,闲对数六竿心自足十五。
二
十
自从十五都尉别六苏句,便一到司空送白辞。
3 数学文化，拓展视野
（动手操作）：如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数 分别标出，并保留全部的奇数，会出现什么现象？
对称性：Cnm
C nm n
递推性： Cnm
C m1 n 1
Cm n 1
1
C10 C11
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C30
C
1 3
C32
C33
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C
1 5
C52 C53
C
4 5
C
5 5
C 60
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
2 善于观察，发现“秘密”
杨辉三角中的一些秘密——数学课本“探索与发现”的进一步探索
周刊
杨辉三角中的一些秘密
数学课本 探索与发现 的进一步探索 杨海跃
杨辉三角出发 , 探索它的精妙绝伦的性质 . 用研究与总结来揭开它神秘的面纱 . 关键词 : 三角的秘密 ; 杨辉三角 ; 数学探索 摘㊀要: 作为中国数学史上重要的发现 , 杨辉三角带我们领略数字的奥秘 , 为我 们 打 开 二 项 式 系 数 的 大 门 . 现 在 , 让我们从
１ n－ １ n－ １ n－ １ n － 则 Cn ＋Cn＋１ ＋ ������ ＋Cn＋m－２ ＝ Cn＋m－１ n－ １ ＋C n
所以 k ＝ m ＋１ 时成立 . ＋Cn＋m－１ ＝ Cn＋m ＝ Cn＋mห้องสมุดไป่ตู้１＋１ ,
n－ １ n n
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������
) 边的一列就是它的一阶差数 列 . 并 且 从 右 向 左 第 n( n ȡ０
Cn ＋ ������ ＋Cn＋ Cn ＋ ������ ＋Cn＋ Cn＋１ ＋ ������ k－ ２ ＝C n＋ k－ ２ ＝C n＋ １＋
１
０ １ ０ ㊁n ㊁ ������Ck , 列, 可表示为Cn １ C n－ １ k 所以它们的前k 项和C n－ １＋ － ＋
全国高中数学青教师展评课：杨辉三角中的一些秘密课件(浙江宁波正始中学陈碧文)
1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
…….
111111111 1 … 123456789… 1 3 6 10 15 21 28 36 … 1 4 10 20 35 56 84 … 1 5 15 35 70 126 … 1 6 21 56 126 … 1 7 28 84 … 1 8 36 … 19… 1… …
1 1C860 728C2611563C5672.0.3..5C.5.636.2..1..2.C8647 8C1651 C66
法 本 源 图
,
隅算中Cn10C1nC0Cn11n1CCnC1-1n2n1-CC1 nn22-C1 .rnCr.-.1Cn1.rn-r.1..C.....nr.-1.....C.nnC-1nnC2n1n-112C1nn1Cn01Cn0
藏 (a b)n Cn0an Cn1an1b... Cnr anrbr ... Cnn1abn1 Cnnbn
》者 贾皆 宪廉
杨辉三角中,第n行第r个数为
an,r
C r1 n1
1
11
121
13 31
146 41
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
左 衺 乃 积 《数
,
贾宪
1C1405C143101CC0312410C162C11133100CC11442211CC531121CC12432C33C每 式 以44 一系写杨个数成数，组辉都都合三是可数角二都中项可的
“杨辉三角”中的一些秘密公开课教案教学设计课件案例试卷
均为 n，（2）表中的递推关系类似杨辉
三角，则第
n
行（n≥2）第
2
个数
n2
n 2
2
.
第1行 第2行 第3行 第4行
1
an1 an n(n 2)
2 2 an1 an n
34 3
47 7 4
第5行 5 11 14 11 5
第6行 6 16 25 25 16 6
…… …… ……
(n 1)(n 2)
关系吗？
第0行
1
第1行
11
第2行
121
第3行 第4行
1 3 31 1 4 6 41
第5行 第6行
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
…… ……
… … 第n-1行
1
C C 1
2
n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
1
第n行 1
C
1 n
C
2 n
… ……C…nr … …
• • 本节课的学习难点是：根据具体横行、斜
行的数字规律，猜想出一般的结论。
五、学习方法
• 本节课采用的是教师引导探究的探究课类型。使用自主探究 与合作交流相结合的探究方式。
• 探究时采用先思考后小组合作互动的方式，重点在于发现规 律，使学生通过思维碰撞，擦出智慧的火花，达到共同完成 建构知识的目的；也使不同层次的学生都学有所获，让学生 体会再发现再创造的过程，发展学生的创造性思维。
C2 n1
Cn3
当r
3时，C33
C43
C53
C3 n1
Cn4
探究4 （斜看2） ：按照图示的方法写出斜线上的各行数字的和， 仔细观察这些和，你有什么发现？
探索杨辉三角的秘密
什
么
很
头
试
常
变
成
我
自
己
你
部
多
时
完
弄
。
但
戏
候在Biblioteka 这样做时 现 镜 有
场
一
个
就
穿
我
不
想
后
不
好
的
后
和
尔
是
等
我
果
就
戴 。
是 东
得
你
可
希
当
你
真
以 的
■电你是否有这样经历，当 你在做某一项工作 和学习的时候，脑 子里经常会蹦出各 种不同的需求。比 如你想安 心下来看2小时的书，大脑会 蹦出口渴想喝水， 然后喝水的时候自 然的打开电视。。 。。。。，一个小 时过去 了，可能书还没看2页。很多 时候甚至你自己都 没有意思到，你的 大脑不停地超控你 的注意力，你就这 么轻易 的被你的大脑所左右。你已 经不知不觉地变成 了大脑的奴隶。尽 管你在用它思考， 但是你要明白你不 应该隶属 于你的大脑，而应该是你拥 有你的大脑，并且 应该是你可以控制 你的大脑才对。一 切从你意识到你可 以控制你 的大脑的时候，会改变你的 很多东西。比如控 制你的情绪，无论 身处何种境地，都 要明白自己所
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
杨辉三角的规律以及推导公式精编版
杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律关键词杨辉三角幂二项式引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。
我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。
内容1二项式定理与杨辉三角杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+ C(n,n)a^0*b^n因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。
求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。
用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
人教版高中数学选修2-31.3.2杨辉三角中的一些秘密(共24张PPT)
左 衺 乃 积 《数
,
贾宪
1C1405C143101CC0312410C162C11133100CC11442211CC531121CC12432C33C每 式 以44 系写一杨数成个，组数辉都合三都可数角是都中二可的项
——
开右
1C506 C1551 2C052 15C53 6 C154 C55
方衺 作乃
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
....................
1
Cn1-1 Cn2-1
...
Cr 1 n-1
Cnr-1 ...
1 Cn1 Cn2
... Cnr ...
Cn2 n-1
1
Cnn1 1
杨辉三角中每一个数均为肩上两数之和
C r1 n-1
Cr n-1
Cnr
杨辉恒等式
第 1行 1 第 2行 1 1 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
再见
宁波市正始中学 陈碧文
藏 (a b)n Cn0an Cn1an1b... Cnranrbr ... Cnn1abn1 Cnnbn
》者 贾皆 宪廉
杨辉三角中,第n行第r个数为
an,r
C r1 n1
1
11
121
13 31
146 41
杨辉三角中的一些秘密(浙江省优质课一等奖)
第 1行 1 第 2行 1 1 贾宪 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
杨辉三角中的一些秘密手算高次方根研究高阶等差级数垛积术研究微积分差分方程无穷级数1010152015213535212856705628368412612684362856705628213535211520151010杨辉三角中的每一个数都是二项式系数都可都可以写成组合数2856705628213535211520151010杨辉三角中每一个数均为肩上两数之和杨辉恒等式10101520152135352128567056283684126126843610101520152135352128567056283684126126843610152128361020355684153570126215612628841213奇偶
奇异、美丽的图案-----超出想象！来自是工艺美术大师的创作吗？
这是数学 的杰作！
斐 波 那 契
1、1、2、3、5、8、13、21、34 、55 、89 …
悄悄的我走了， 正如我悄悄的来； 我翻一翻课本， 让我收获点什么 。
再 见
宁波市正始中学 陈碧文
《 开 方 作 法 本 源 图 》 贾 宪
1 1 0 1 左 杨辉三角中的 1C1 C1 1 衺 02 11 2 1 C2 C 2 C 2 每一个数都是二项 乃 10 3 3 1 2 1 3 积 贾宪 3 10C4 1C 3 42C 3 3C 3 式系数，都可都可 6 1 4 数 C45 104 10 4 5 C1 C 4 C C 1 以写成组合数 4 0 1 2 3 4 5 1C5 6 C 5 205 15 5 6 C1 C 5 15 C C 5 右 0 7 21 35 35 3 21 4 1 2 6 1 6 C 6 C 6 C 6 C 67 C 6 C 6 15 C 衺 1 8 28 56 70 56 .. 乃 .......... 28 8 1 0 1 2 r 0 .......... .......... r 隅 Cn 1 C n-1 2C n-1 ...r C n-1 C n-1 ... n2 n- 2 C n 1 1 1 r C n1 1 C n-1 Cn-1 ... C n-1 C1n-r1 ... C n-1 1 n 1 0 0 算C C 1 2C 2 1 . .. C nrC n... ... C nn1 C 1 Cn 1 . .. n Cn n Cn n n 中 0 1 r n n (a b) n Cn a n Cn a n1b... Cn a nr b r ... Cn 1ab n1 Cn b n 藏 者 r 1 杨辉三角中,第n行第r个数为 an ,r Cn 1 皆 廉
“杨辉三角”中的一些秘密
1 n 2 n r n n1 n
第n行 C C C C C
0 n
C 2
n n
n
(1)第n行数字的和为2 ． 性质1 (2) 前n行(含第0行)所有数的和为2
2、如图，它满足：（1）第 n 行首尾两数 均为 n，（2）表中的递推关系类似杨辉 2 三角， 则第 n 行 （n≥2） 2 个数 第
第1行 第2行 第3行 第4行 第5行
……
n n2 . 2
1
an1 an n(n 2)
2
2
3 4 7 4
an1 an n
3 4 11 5 16 6
7
5 11 14
…… ……
第6行 6 16 25 25
(n 1)(n 2) an 1 a2 2 3 n 1 2
r Cn 3、 （2006 年湖北卷）将杨辉三角中的每一个数
1 都换成分数 n 1C r ，就得到一个如右图所示的 n 分数三角形，称为莱布尼茨三角形. 从莱布尼 茨三角形可以看出 1 1 1 r x r+1 n 1Cn n 1Cn nCnr1 ，其中 x=____.
杨辉三角与弹子游戏杨辉三角与弹子游戏在游艺场可以看到如图的弹子游戏小球向容器内跌落碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落如是一直下跌最终小球落入底层根据具体区域获得奖品
“杨辉三角”中的一些秘 密
杨辉
二项式（a+b）n展开 式的二项式系数，当 n依次取1，2， 3．．．时，列出的 一张表，叫做二项式 系数表，因它形如三 角形，南宋的杨辉对 其有过深入研究，所 以我们又称它为杨辉 三角．
浙教版数学七年级下册 第3章 阅读材料 杨辉三角与两数和的乘方 一等奖创新教案_1
浙教版数学七年级下册第3章阅读材料杨辉三角与两数和的乘方一等奖创新教案杨辉三角与两数和的乘方【学情分析】《杨辉三角与两数和的乘方》是教材中安排的一篇阅读材料，是在学习了整式乘法的基础上进行，是对整式乘法的拓展，为今后学习二项式的展开式奠定基础.通过本节探究杨辉三角规律的教学，既能构建完整知识框架，又能多方位提高学生数学素养. 平时，在数学竞赛中时常有的公式应用，也曾看到中考把杨辉三角作为考点.对此，本节内容体现出：既是整式乘法的整合和补充，又是学生知识缺陷的弥补.【教学目标】知识与技能1. 了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角中隐含的基本规律，以拓宽整式乘法；2. 通过研究杨辉三角的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力和发展数学方法（如赋值法等）.在小组讨论、探索过程中初步培养合作意识，发展创造性思维能力；3. 运用杨辉三角的数学规律解决一些与之相关的中考题和实际问题。
过程与方法1. 通过“求和”等活动，让学生充分感受知识的产生和发展过程，让学生始终处于积极思维状态之中；2.通过探究杨辉三角规律等活动，让学生亲历发现事物特征和规律，激发学习兴趣，引发自行学习的内在动机。
情感、态度与价值观1. 创造性使用阅读材料，使之探究化、价值化，从中不仅扩展了学生的知识，培养了学生学数学的兴趣，而且展现了数学的科学价值和人文价值；2. 通过杨辉三角数学史的介绍，增强学生民族自豪感，【教学重难点】教学重点：杨辉三角的发现、理解和初步应用.教学难点：对赋值法验证理解。
【教法学法】本学段的学生具有对与自己的直观经验相冲突的现象和对有挑战性任务感兴趣的特点，也初步具备个体和群体参与“探究性问题”、“开放性问题”活动的能力，并结合本节内容的特点，采用探究式学习方式.对于学生在探究过程中出现不全面、易出错等问题，教师给予即时的引导、点拨和激励评价.对新知学习都力求从学生实际出发，以他们熟悉或感兴趣的问题情景引入主题，展开数学探究【教学过程】一：创设情境，引发思考引入：若今天是星期一，再过8 天后是星期几？怎么算？生1：星期二，将问题转化为求“后的余数”是1.变式;8改为生：星期二，将问题转化为求“后的余数”是1，生2：（此方法学生若未提及，教师给予讲解）.变式2：改为生：星期二，将问题转化为求“后的余数”是1.变式3：改为生：猜想星期二。
浅谈杨辉三角的奥秘及应用
浅谈杨辉三角的奥秘及应用摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。
关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂0 引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形,称做“开方做法本源”,现在简称为“杨辉三角"，它是杨辉的一大重要研究成果。
随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。
1 杨辉三角与数字11的幂的关系我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。
后来我受到一位老师的启发,并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切.假设y=11n当n=0时: y=1；当n=1时： y=11；当n=2时：y=121；当n=3时：y=1331；当n=4时: y=14641；以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n≥5时的情况，如下：当n=5时: 1 4 6 4 1⨯ 1 11 4 6 4 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1当n=6时： 1 5 10 10 5 1⨯ 1 11 5 10 10 5 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……由上可知:11的n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等(证明还有待证明)即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。
如下图：1 (110) 1 1 (111）1 2 1 (112）1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 （114)1 5 10 10 5 1 （115）1 6 15 20 15 6 1 （116) ……其实这个关系我们早就学习过了,只是用另一种方式表达而已。
2022年高中数学新人教版A版精品教案《探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密》
探究数学秘密，发现数学之美——“杨辉三角〞中的一些秘密一、教材背景分析1．教材的地位和作用“杨辉三角〞是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，鼓励学生的民族自豪感。
2．学情分析本节课面对的是高二年级的学生,这个年龄段的学生思维活泼,求知欲强,但在思维习惯上还有待教师引导。
通过之前的学习学生已经掌握了分类加法计数原理和分步乘法计数原理,理解了排列、组合的概念,掌握了二项式定理和二项展开式的性质。
同时对于数形结合、类比、转化的数学思想方法也有了初步的认识。
对于本节探究与发现的研究性学习,可以激发学生学习热情,提高课堂效率,使知识得到螺旋式的稳固与提高。
而对于加强学生自身对于数学的应用意识及实际问题的分析能力方面,还有待于教师的指导帮助。
学生根据教师提供的情境,采用观察、分析、抽象、概括等方式探索知识,归纳知识。
通过创设情境疑问,引导学生开展独立思考、主动探究、合作交流,探求解决问题的方法。
鼓励学生创新思考,加强数学实践,培养学生的理性思维,同时注重培养学生良好的数学学习习惯。
3．教学重点与难点重点:掌握二项式展开式的性质,理解二项展开式的系数与杨辉三角之间的联系。
难点:通过探究杨辉三角的规律,初步体验数学中“合情推理〞、“归纳假设〞等研究问题的数学方法。
二、教学目标新课标指出教学目标应表达学生学会知识与技能的过程,也要同时表达学生学会学习形成正确价值观的过程。
结合本节课的教学内容,制定如下教学目标:1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律〞的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感。
2．掌握二项式展开式的性质,理解二项展开式的系数与杨辉三角之间的联系。
3．通过探究杨辉三角的规律,初步体验数学中“合情推理〞、“归纳假设〞等研究问题的数学方法。
4．采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情。
杨辉三角 获奖教学设计
杨辉三角
简单的说一下就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方，这样系数就是1,2,1这就是三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了
这就是杨辉三角，也叫三角
他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。
如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式（在此就不做说明了）依次下去
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：
1 n=0
1 1 n=1
1 2 1 n=2
1 3 3 1 n=3
1 4 6 4 1 n=4
1 5 10 10 5 1 n=5
1 6 15 20 15 6 1 n=6
…………………………………………………………
杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。
其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。
中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。
杨辉，字谦光，时期人。
在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。
而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。
具体的用杨辉三角的简史：北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。
元朝数学家在《》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。
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1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 .......... .......... 1 2 r r n 1 C n-1 C n-1 ... C n-1 C n-1 ... C n- 2 1 1 1 1 2 r n 1 1 Cn Cn . .. C n ... Cn 1
《 开 方 作 法 本 源 图 》 贾 宪
1 1 0 1 左 杨辉三角中的 1C1 C1 1 衺 02 11 2 1 C2 C 2 C 2 每一个数都是二项 乃 10 3 3 1 2 1 3 积 贾宪 3 10C4 1C 3 42C 3 3C 3 式系数，都可都可 6 1 4 数 C45 104 10 4 5 C1 C 4 C C 1 以写成组合数 4 0 1 2 3 4 5 1C5 6 C 5 205 15 5 6 C1 C 5 15 C C 5 右 0 7 21 35 35 3 21 4 1 2 6 1 6 C 6 C 6 C 6 C 67 C 6 C 6 15 C 衺 1 8 28 56 70 56 .. 乃 .......... 28 8 1 0 1 2 r 0 .......... .......... r 隅 Cn 1 C n-1 2C n-1 ...r C n-1 C n-1 ... n2 n- 2 C n 1 1 1 r C n1 1 C n-1 Cn-1 ... C n-1 C1n-r1 ... C n-1 1 n 1 0 0 算C C 1 2C 2 1 . .. C nrC n... ... C nn1 C 1 Cn 1 . .. n Cn n Cn n n 中 0 1 r n n (a b) n Cn a n Cn a n1b... Cn a nr b r ... Cn 1ab n1 Cn b n 藏 者 r 1 杨辉三角中,第n行第r个数为 an ,r Cn 1 皆 廉
奇异、美丽的图案-----超出想象！
是工艺美术大师的创作吗？
这是数学 的杰作！
斐 波 那 契
1、1、2、3、5、8、13、21、34 、55 、89 …
悄悄的我走了， 正如我悄悄的来； 我翻一翻课本， 让我收获点什么 。
再 见
宁波市正始中学 陈碧文
杨辉三角中每一个数均为肩上两数之和
r 1 n-1
C
C
r n-1
C
r n
杨辉恒等式
第 1行 1 第 2行 1 1 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1 ……
“杨辉三角”
中的一些秘密
`
宁波市正始中学 陈碧文
圣 人 则 之
河 出 系 图 辞 洛 上 出 》 书
·
《 易
图 形 ，将 就数 是字 数按 阵一 定 顺 序 排 列 成阶等差级数（垛积术）
艾 萨 克 牛 顿 朱世杰
研究微积分
·
差分方程、无穷级数
1 3 6 10 15 21 28 36 …
1 1 1 1 1 1 1 4 5 6 7 8 9 … 10 15 21 28 36 … 20 35 56 84 … 35 70 126 … 56 126 … 84 … …
…
奇偶:第1,2,4,8,16…这些行即2k（k是自然数）行的各个数 字均为奇数， 第2k+1行除两端的1之外都是偶数。
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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1 4 1 10 5 1 20 15 6 1 35 35 21 7 1 56 70 56 28 8 1 84 126126 84 36 9 …….
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第 1行 1 第 2行 1 1 贾宪 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1