线性代数试题及答案.

线性代数（试卷一)

一、 填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。

2． 若

122

21

12

11

=a a a a ,则=1

6

030322211211

a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA

B =-1。

4. 若A 为n m ⨯矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是

＿＿＿__＿_＿_

5. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_

＿2__＿__＿____＿． ６. 设Ａ为三阶可逆阵,⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=-1230120011

A

，则=*A ７。若Ａ为n m ⨯矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是

８．已知五阶行列式1

23453

2011

11111

2

1403

54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T

-的模（范数)______________

。 1０。若()T

k 11=α与()T

121-=β正交,则=k

二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r =

B.s r ≤

C.r s ≤ ﻩ D ．r s <

2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)

Ａ.8ﻩ B.8- Ｃ．

34ﻩﻩ Ｄ.3

4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ )

Ａ．)()(A R B R ≤

Ｂ．)()(A R B R <

C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥

４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则

()

*

kA 等于_____。c

)(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A

5。 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____.

)(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B

)(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+

三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分）

１。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2

12

2

2-n

n 2

222

．

2．设A 为三阶矩阵,*

A 为A 的伴随矩阵，且2

1=

A ，求*

A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆

111211120A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

４. 讨论λ为何值时,非齐次线性方程组2123123123

1x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪

++=⎨⎪++=⎩

① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。

５.求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解.

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=+++=+++5

221322431

43214321x x x x x x x x x x x ６。已知向量组()T 32011=α、()T

53112=α、()T

13113

-=α、()T 94214=α、

()T

52115=α,求此向量组的一个最大无关组,并把其余向量用该最大无关组线性表示.

7。 求矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量．

四、证明题(本题总计10分）

设η为b AX =()0≠b 的一个解，12

,n r ξξξ-为对应齐次线性方程组0=AX 的基础解系，

证明12

,,n r ξξξη-线性无关.

(答案一)

一、填空题(本题总计20分,每小题2分)

１~15；2、３；３、CA ;4、()n b A R A R ==),(；5、2;6、⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛123012001;7、()n A R <;８、0;9、3;1０、１.。二、

选择题(本题总计1０分，每小题2分1、D ；2、A;３、Ｄ;４、C;5、B 三、计算题(本题总计6０分,１—3每小题8分,4—7他每小题9分)

1、

解:D

)

,,4,3(2n i r r i =-00021 00022 00122 030

22

-n 2

00

22-n —－——--３分

1

22r r -00001 0

0022 -0

0122 - 0

3022--n 20

22--n

-——--——6分

)!2(2)2()3(21)2(1--=-⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯=n n n -——-——－--—8分

（此题的方法不唯一,可以酌情给分。)

解：(1)⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112412131121111111111

2A AB -—－—--１分

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222222222

602222464⎪

⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=420004242——--－-５分 (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1711116102395113111311

2

2B A ⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-------=16128711

3084—－—-－-——8分 ３。 设A 为三阶矩阵，*

A 为A 的伴随矩阵,且21=

A ,求*A A 2)3(1--. 因*

A A=E E 2

1=A ,故411=

=-n A *A ３分**

A A A

211==-A 5分 27164

1

34342322)3(3

1

-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=--****

A A A A A 8分

４、解:⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛---=100111010011001001),(E A 1

31

2r r r r ++⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---10111001101000100

1--—３分 23r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---112100011010001001)1()1()1(321-÷-÷-÷r r r ⎪

⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛------11210001101000

1001-——6分

故⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛------=-11201100

11A ——-—-——８分 (利用*-=A A A 11

公式求得结果也正确。

）