第六讲 尾数和余数
尾数和余数
积的规律是：9×9×9×9… …×9 9 1 9 1 ……
61÷2=30 … … 1。说明“91”要重复出现30次 还余1个数,这个数应该是循环节中第一个数9。
探究规律、利用规律、解决问题
（6）23×23×23×…… ×23积的尾数是多少? 2004个23
寻找规律：23×23×23×23…… ×23
3 、 9、 7、 1、 3 ...... 它的周期是（ 3、9、7、1… … ）
2004÷4=501正好整除，4个因数一段正好分 完，说明尾数是循环节中最后一个数字1。
探究规律、利用规律、解决问题
【小结】解决这类问题的关键是寻找规律，确定周
期性数字的第一个数和最后一个数，并数出周期性
数字是由几位数组成的。余数是几就是循环节中的
（3） 81×81×81……×81积的尾数是几？
20个81 （4）4×4×4×… …×4×4积的个位数是几? 60个4 积的规律是:4×4×4×4… …×4×4… … 60÷2=30 4 6 4 6 · · · 正好整除，所以尾数应是循环节中最后一位6
探究规律、利用规律、解决问题
（5）9×9×9×… …×9积的个位数是几?
尾数和余数
探究规律、利用规律、解决问题
在有些积或商中的数字有规律的出现，我们可以利用 这个规律解决有关的数字问题。如： (1)125×125×125×……×125积的尾数是几?
200个
(2) (21×26)×(21×26)×……×(21×26) 积的尾数是几？ 200个(21×26)
探究规律、利用规律、解决问题
第几个数字。整除是循环节中最后一个数。
（7） 3÷7商的小数点后面第2005个数字是几?
0. 4 2 8 5 7 1 4 7 3. 0 商是一个循环小数，循环周期是 6位数， 2 8 即4，2， ，5，7，1这六个数字在商中依次 280 1 4 不断重复出现。。 6 0 5 6 4 0 3 5 ÷6=334……1 2005 5 0 所以3÷7商的小数点后面第 2005个数字是4 4 9 1 0 7 3 0 2 8
尾数和余数问题
25×25×…×25- 18×18×…×18的个位数字是几？
2001个
2001个
• 熟能生巧： • 1、2、3、4、5
例5 444……4÷6，当商是整数时，余数是几？
100个4
4÷6＝□……4
100÷3＝33……1
44÷6＝7……2 444÷6＝74……0 4444÷6＝740……4 …… 3个4一个周期
余数是：
4
几个数的和、差、积除以一 个数所得的余数，和这几个数分 别除以这个数，所得的余数的和、 差、积的余数是相等的。
• 甲数除以11余7，乙数除以11余5 • （1）甲数与乙数的和除以11余几？ • （2）甲数与乙数的差除以11余几？ • （3）甲数与乙数的积除以11余几？
一个自然数的末位数字称为
自然数的尾数，如：
1285的尾数是5， 89747的尾数是7， 的尾数是0。
1、一位数的尾数是它本身。 例：
0的尾数是0 3的尾数为3， 9的尾数是9。
2、两数和的尾数，等于两个数尾数之和的尾 数.
如84＋95=179，两数和的尾数是9，正好 是84和 95的尾数4与5的和，即4＋5=9。
6、★规律：几个自然数的和、差、积的尾数 等于这几个自然数的个位数的和、差、积的尾 数。
例1⑴125×125×125×……×125 积的尾数是
几？
100个125
答案：
只要研究个位相乘的情况： 5
不管是多少个5相乘，个位总是5。9 9×9末尾是1 9×9×9末尾是9 9×9×9×9末尾是1 9×9×9×9×9末尾是9 ······ 200÷2=100 200个9相乘积的末尾是1.
3、两个数差的尾数，等于两个数尾数 之差，当尾数不够减时被减数的尾数 加10再减。如：324-225
尾数和余数
【尾数和余数】人的目标是走得远，飞得更高。
自然数的末尾的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
【王牌例题1】写出除333后余3的全部两位数。
【思路导航】因为333=330+3，把330分解质因数：330=2×3×5×11,所以符合题目要求的两位数有2×5=10，2×11=22，3×5=15，3×11=33，5×11=55，2×3×5=30，2×3×11=66，加上11一共有8个两位数。
【第一层】1.317除以一个两位数后余数是2，符合条件的两位数有哪些？NO.1遵从你内心的热情选择做对你有意义并且能让你快乐的事情，不要只是为了轻松而选择，或选择只是别人认为你应该做的事。
【思路导航】（1）一个9的积个位数字是9；两个9相乘，积的个位数字是1；三个9相乘，积的个位数字是9，以此类推，个位数字按“9,1”两个数字不断重复，那么共有51/2=25......1，共有25个循环，余1。
则最后的个位数字应该是9。
(2)小数乘法运算，开始不考虑小数点，所以在此也不考虑小数点。
一个3的积，个位数字是3；两个3相乘，积的个位数是9；三个3相乘，积的个位数字是7；四个3相乘，积的个位数字是1。
以此类推，个位数字按“3,9,7,1”重复出现。
那么共有204/4=51个循环，最后一个尾数是1。
1001个25相乘，因为无论多少个5相乘，尾数都是5。
所以前后两部分相乘，尾数应是1X5=5（1）一个9的积个位数字是9；两个9相乘，积的个位数字是1；三个9相乘，积的个位数字是9，以此类推，个位数字按“9,1”两个数字不断重复，那么共有51/2=25......1，共有25个循环，余1。
则最后的个位数字应该是9。
(2)小数乘法运算，开始不考虑小数点，所以在此也不考虑小数点。
一个3的积，个位数字是3；两个3相乘，积的个位数是9；三个3相乘，积的个位数字是7；四个3相乘，积的个位数字是1。
【三毛优学教育】数学公开课-尾数与余数
【例题3】 444 …4 ÷6 ,当商是整数时,余数是多少?
100个4
【优学导航】 从竖式中可以看出:每3个4组成的数被6整除
把100个4组成的数划分3个4一组，共分成100÷3=33组余1 即有33组还多1个4，这多下来的4除以6后，余数应该还是4 所以该数444…4÷6，；商是整数时，余数是4。
例题4】 有一数列，前两个数是3和4，从第3个数开始，每 一个数都是前两个数的和，这一列数中第2001个数 除以4，余数是多少？
【3M导航】 我们列出下表，从这列数除以4的余数中寻找规律。 数列 3 余数 3 4 0 7 3 11 18 29 47 76 123 199 322 521 ... 3 2 1 3 0 3 3 2 1 ...
【例题2】 （1）125×125×125×……×125的积的尾数是多少？
100个25
【3M导航】 因为个位5乘以5，积的个位仍是5 所以，不管多少个125相乘，个位还是5。
（2）9×9×9×……×9的积的尾数是多少？
51个9
【3M导航】 积的尾数以“9、1”两个数字在不断重复出现。 因为51÷2=25……1，余数是1 51个9的相乘积的个位是9 。
尾数与余数
（公开课）
知识要点
•
• 自然数末位的数字称为自然数的尾数
• 被除数减去商与除数积的差叫做余数 • 尾数和余数在运算时是有规律可寻的
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例题实练
【例题1】写出除213后余3的全部两位数。
【3M导航】 因为213=210＋3，把210分解质因数：210=2×3×5×7 所以，符合题目要求的两位数有： 2×5=10 2×7=14 3×5=15 3×7=21 5×7=35 2×3×5=30 2×3×7=42 2×5×7=70 一共有8个两位数。
尾数和余数
自然数的尾数：自然数末位的数字除213后余3的全部两位数。 213➗➗=⬜+3
1，写出除109后余4的全部两位数。 2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的 两位数有哪些？
例题2 （1）125×125×125×……×125[100个125] 积的尾数是几？ （2）（21×26）×（21×26）×……× （21×26）[100个（21×26）]积的尾数是 几？
1，21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是 几？ 2，1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾 数是几？
例题3 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数 是几？ （2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数 是几？
1，24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数 是多少？ 2，1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？
例题4 把1/7化成小数，那么小数点后面 第100位上的数字是多少？
1，把1/11化成小数，求小数点后面第 2001位上的数字。 2，5/7写成循环小数后，小数点后第50个 数字是几？
第6周 尾数和余数
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
第6周尾数和余数专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题1 写出除213后余3的全部两位数。
分析因为213=210＋3，把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共有7个两位数。
练习一1，写出除109后余4的全部两位数。
2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？3，写出除1290后余3的全部三位数。
例题2 （1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？分析（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5；（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。
因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。
练习二1，21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？2，1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？3，（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？例题3 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？分析（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。
五年级奥数尾数和余数.docx
第 6 讲尾数和余数一、知要点自然数末位的数字称自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的差叫做余数。
尾数和余数在运算是有律可的，利用种律能解决一些看起来无从下手的。
二、精精【例 1】写出除 213 后余 3 的全部两位数【思路航】因 213=210＋ 3. 把 210 分解因数： 210=2× 3× 5× 7，所以，符号目要求的两位数有 2×5=10，2× 7=14，3× 5=15，3× 7=21.5 × 7=35，2× 3× 5=30，2× 3×7=42. 一共有 7 个两位数。
1：1.写出除 109 后余 4 的全部两位数。
2.178 除以一个两位数后余数是3. 适合条件的两位数有哪些？3.写出除 1290 后余 3 的全部三位数。
【例 2】（ 1） 125× 125×125×⋯⋯× 125[100 个 125] 的尾数是几？（ 2）（ 21× 26）×（ 21× 26）×⋯⋯×（ 21× 26）[100 个（ 21× 26） ] 的尾数是几？【思路航】（ 1）因个位 5 乘 5，的个位仍然是 5，所以不管多少个 125 相乘，个位是5；（ 2）每个括号里21 乘 26 的个位是就行了。
因个位 6 乘 6，的个位仍然是6，我只要分析100 个 6 相乘，的尾数是几6，所以不管多少个（21×26）乘，的个位是6。
2：1.21 ×21× 21×⋯⋯× 21[50 个 21] 的尾数是几？2.1.5 × 1.5 ×1.5 ×⋯⋯× 1.5[200 个 1.5] 的尾数是几？3.（ 12× 63）×（ 12× 63）×（ 12×63）×⋯⋯×（ 12× 63） [1000 个（ 12× 63） ]的尾数是几？【例 3】（ 1） 4×4× 4×⋯× 4[50 个 4] 的个位数是几？（ 2） 9×9× 9×⋯× 9[51 个 9] 的个位数是几？【思路航】（ 1）我先列前几个 4 的，看看个位数在怎化， 1 个 4 个位就是4；4× 4 的个位是 6；4×4× 4 的个位是 4；4×4× 4× 4 的个位是 6⋯⋯由此可，的尾数以“ 4， 6”两个数字在不断重复出。
尾数和余数
第十二讲 尾数与余数【故事小家园】有一天，森林里面来了一群特殊的“客人”。
它们长相很特别，动物们都很奇怪，要求他们一一介绍自己。
第一个走出来一个瘦子，它说：“我是1，像支铅笔细又长”。
接着又走出一个说：“我是2，像只小鸭水上飘。
”第三个说“我是3，像只耳朵听声音。
”“我是4，像面小旗随风飘。
”“我是5，像支衣钩挂衣帽。
”“我是6，像棵豆芽咧嘴笑。
”“我是7，像把镰刀割青草。
”“我是8，像支麻花拧一道。
”“我是9，像把勺子能盛饭。
”“我是0，像个鸡蛋做蛋糕。
”他们刚介绍完了，小鹿又问道”你们中间谁最大？谁最小呢？”9站出来，很骄傲地说“我是9，我最大。
” 0耷拉着脑袋说“我最小。
”“对，就是这个表示什么都没有的0。
”9用冷淡的口气说道。
9刚说完，动物们和它的数字兄弟都笑了。
0更加不好意思了，动物们看到0这么没有用，都不愿意和它一起玩。
它们在一起唱呀！跳呀！非常开心。
突然一只大象不小心掉进一个洞里面，洞很深，又很黑，大象在里面挣扎了很久，用了很大的力气总想爬上来，它爬呀爬累得满头大汗，腿也挂破了，鲜血直流。
可是，怎么也爬不上来，它只好在里面大声喊“救命呀！救命呀！”动物们听到了，就纷纷跑到洞口边，想把大象救出来。
数字1到9也来帮忙了。
他们组成最大的数字987654321，显示了最大的力量，费了九牛二虎之力，也没有把大象拉上来。
这个时候，只听见后面有一个微弱的声音说道“我也来试试。
”它们一看是0，就勉强的同意它也来帮忙。
它们重新组成数字9876543210，它们的力量一下子就增大10倍。
哈哈……，一下子就把大象拉上来了。
动物们都很感谢数字兄弟，同时也为冷落了0感到愧疚，它们都来到0的身边，愿意和0做朋友。
数字兄弟也开始重视0了，愿意和它一起玩耍。
从此以后，0再也不自卑了，它觉得自己还是很有用的。
【探索者之旅】【例1】（1）200125125125125......125⨯⨯⨯⨯14444444444244444444443个积的尾数是几？（2）2001116111611161116)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 144444444424444444443个（）（）（）（积的尾数是几？ 解析：（1）因为个位5乘以5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5。
第6讲 尾数和余数
第6讲尾数和余数一、知识要点自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
二、精讲精练【例题1】写出除213后余3的全部两位数。
【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42.一共有7个两位数。
练习1：1.写出除109后余4的全部两位数。
2.178除以一个两位数后余数是3.适合条件的两位数有哪些？【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5；（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。
因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。
练习2：1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。
五年级奥数举一反三第6讲 尾数和余数含答案
第6讲尾数和余数一、专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
二、精讲例题例题1写出除213后余3的全部两位数。
练习一1.写出除109后余4的全部两位数。
2.178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？3.写出除1290后余3的全部三位数。
例题2（1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？练习二1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？例题3（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？练习三1．24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？2．1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？3．94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？例题4把化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？练习四1.把化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。
小学五年级奥数举一反三第六周尾数和余数讲解学习共22页文档共24页PPT
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
6 余数和尾数
（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？
【练习】 24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是 多少？
意想不到的答案
1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？
奥数网题库
94×94×94×…×94—49×49×…×49 [102个94] [101个49] 差的个位是多少？
【例题4】 把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上 的数字是多少？
【练习】 把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上 的数字。
2008年西城区竞赛题
有一串数：5、8、13、21、34、55、89……， 其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个 数的和。在这串数中，第1000个数被3除后所个5]÷13，当商 是整数时，余数是几？
【练习】 1，444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数 是几？
2，当商是整数时，余数各是几？ （1）666…6÷4[100个6] （2）444…4÷74[200个4] （3）888…8÷7[200个8] （4）111…1÷7[50个1]
数学好玩
一个长方形，画一条线，让长方形剩下5个角， 4个角，3个角，2个角，1个角，0个角？
自然数末位的数字称为自然数的尾数；除 法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。 尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用 这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
【例题1】 写出除213后余3的全部两位数
数学好玩
一个长方形，画一条线，让长方形剩下5个角， 4个角，3个角，2个角，1个角，0个角？
【练习】 写出除109后余4的全部两位数。
【迎春杯赛题】 178除以一个两位数后余数是3，适合条件 的两位数有哪些？
【例题2】 （1）125×125×125×……×125 [100个25]积的尾数是几？
五年级奥数举一反三第6周尾数和余数
五年级奥数举一反三第６周尾数和余数专题简析；自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题1 写出除213后余3的全部两位数。
分析因为213=210＋3，把210分解质因数；210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共有7个两位数。
练习一1，写出除109后余4的全部两位数。
2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？3，写出除1290后余3的全部三位数。
例题2 （1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？分析（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5；（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。
因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。
练习二1，21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？2，1，5×1，5×1，5×……×1，5[200个1，5]积的尾数是几？3，（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？例题3 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？分析（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。
第六讲、数论专题(一)
第六讲、数论专题（一）知识点：1、整除：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或吧，能整除a，记b∣a2、整除的性质：⑴如果a与b都能被c整除，那么a与b的和与差也能被c整除⑵如果a与b的积能整除c，则a与b都能整除c⑶如果a与b都能整除c，且a与b互质，那么a与b的积也能整除c⑷如果a能整除b，b能整除c，那么a能整除c⑸1能整除任意整数，任意非0整数都能整除03、特殊数的整除特征：⑴2,5⑵3,9⑶4,25⑷8,125⑸7,11,13⑹114、约数个数的计算：指数加1的乘积例：24×53的约数个数是（4+1）×（3+1）=20（个）5、最大公因数、最小公倍数表示法：（A，B）最大公因数[A，B] 最小公倍数A×B=（A,B)×[A，B]6、同余：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b模m同余，记a≡b（modm）7、同余的性质⑴若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）⑵若a≡b（modm），c≡d（modm），则a ±c≡b±c（modm），ac≡bd（modm）⑶若ac≡bc（modm）且（c，m）=1，则a≡b（modm）8、特殊数求余⑴尾数判断法：一个数除以2,5的余数，与它的末一位除以2或5的余数相同。
一个数除以4,25的余数，与它的末两位除以4或25的余数相同一个数除以8,125的余数，与它的末三位除以8或125的余数相同⑵数字求和法一个数除以3,9的余数，与它的各位数字之和除以3,9的余数相同⑶奇偶位求差法一个数除以11的余数，与它的“奇位数字和”减去“偶数位数字和”的差除以11的余数相同⑷分段判断法：一个数除以7,11,13的余数，与它从右向左每三位一分段，奇数段的和减去偶数段的和除以7,11,13的余数相同。
例1、将1，2,3...依次写下去组成一个数12345678910111213……，如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被225整除，那么最后写出的自然数时多少？练1、小明和小刚做一个数学游戏，两人在黑板上轮流写下从1开始的连续自然数：1,2,3，......，小明先写然后依次写下去，写在黑板上的数组成了一个多位数1234567891011......两人约定，若有人写到某个自然数时，黑板上的数所组成的多位数第一次为90的倍数，游戏结束，并算此人获胜。
(最新)五年级奥数分册第6周 尾数和余数
第6周尾数和余数专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题1 写出除213后余3的全部两位数。
分析因为213=210＋3，把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共有7个两位数。
练习一1，写出除109后余4的全部两位数。
2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？3，写出除1290后余3的全部三位数。
例题2 （1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？分析（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5；（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。
因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。
练习二1，21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？2，1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？3，（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？例题3 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？分析（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。
(新编)五年级奥数分册第6周 尾数和余数
第6周尾数和余数专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题1 写出除213后余3的全部两位数。
分析因为213=210＋3，把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共有7个两位数。
练习一1，写出除109后余4的全部两位数。
2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？3，写出除1290后余3的全部三位数。
例题2 （1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？分析（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5；（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。
因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。
练习二1，21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？2，1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？3，（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？例题3 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？分析（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。
(最新)五年级奥数分册第6周 尾数和余数
第6周尾数和余数专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题1 写出除213后余3的全部两位数。
分析因为213=210＋3，把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共有7个两位数。
练习一1，写出除109后余4的全部两位数。
2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？3，写出除1290后余3的全部三位数。
例题2 （1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？分析（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5；（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。
因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。
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五年级奥数第6周尾数和余数
五年级奥数第６周尾数和余数专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中,被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的,利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题1 写出除213后余3的全部两位数。
分析因为213=210＋3,把210分解质因数：210=2×3×5×7,所以,符号题目要求的两位数有2×5=10,2×7=14,3×5=15,3×7=21,5×7=35,2×3×5=30,2×3×7=42,一共有7个两位数。
练习一1,写出除109后余4的全部两位数。
2,178除以一个两位数后余数是3,适合条件的两位数有哪些?3,写出除1290后余3的全部三位数。
例题2 （1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几?（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几?分析（1）因为个位5乘5,积的个位仍然是5,所以不管多少个125相乘,个位还是5；（2）每个括号里21乘26积的个位是6,我们只要分析100个6相乘,积的尾数是几就行了。
因为个位6乘6,积的个位仍然是6,所以不管多少个（21×26）连乘,积的个位还是6。
练习二1,21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几?2,1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几?3,（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几?例题3 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几?（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几?分析（1）我们先列举前几个4的积,看看个位数在怎样变化,1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见,积的尾数以“4,6”两个数字在不断重复出现。
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第六讲尾数和余数
一，准备题
１，被除数= （）×（）＋（）被除数－余数＝
２，把２１０分解质因数
３，把１／７化成小数
４，２×２×３×５×７能被那些两位数整除？
５，计算２０１０÷６
６，１２３４５６７８９这９和数字分别除以５的余数各是多少？二，例题１
写出除２１３余３的全部两位数。
提示：把２１３写成商×除数＋余数怎么写？
再想商和除数有哪些两位数。
试一试吧
练习题１，写出除１０９后余４的全部两位数。
２，１７８除以一个两位数后余３，适合条件的两位数有哪些？３，写出除１２９０后余３的全部三位数。
三，例题2
（1）125×125×125×。
×125积的尾数是几？
100个125
（2）9 ×9 ×9 ×。
×9 积的个位是几？
51个9
（3）23×23×23×。
×23×18×18×。
18积的个位是几？
2000个23 2001个18
（4）练习题
（1）（21×26）×（21×26）×。
×（21×26）积的尾数是几？
100个（21×26）
（2）0.7×0.7×0.7×。
×0.7×0.6×0.6×0.6×。
×0.6 2002个0.7 2002个0.6
积的尾数是几？
（3）4×4×4×。
×4积的个位是几？
50个4
四．444．。
4÷6当商是整数时余数是几？
100个4
想：每个4除以6的余数有什么规律？（4,2，0）不断重复出现，再想把3个4分为一组100个4里面有多少组？余几？一个4除以6余几？这就是要求的余数。
练习题1, 555。
55÷13当商是整数时余数是几？
2001个5
2 ，当商是整数时余数是几
（1）666。
6÷4 （2）888。
8÷7
50个6 80个8
（3）444．。
4÷74
1000个4 （4）111。
1÷5
1000个1
3，把1／7化成小数，小数点后面100位上的数字是多少？
四，巩固练习题
1，111.······1÷6当商是整数是，余数是几？
----------------
1000个1
2，2008年11月14日是星期五，2009年1月1日是星期几？
3，9×9×9×…×9，100个9相乘的积的个位数字是几？
4，有一列数按432432432……排列，那么前50个数字之和是多少？
5，有一列数，前两个数是3与4，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。
这一列数中第2001个数除以4，余数是几？
6，有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的。
在这一串数中第1991个数被3除余数是几？
7．写出除243后余3的全部两位数。