含参数导数问题分类讨论

含参数导数的解题策略

导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳． 一、分离参数，转化为最值策略

在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出

()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转

化为函数求最值．

例1、已知函数x x x f ln )(=.（Ⅰ）求)(x f 的最小值； （Ⅱ）若对所有1≥x 都有,1)(-≥ax x f 求实数a 的取值范围.

二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略

求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论．

例2.已知a 是实数，函数))(2

a x x

x f -=（. （Ⅰ）若3)1(='f ,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 在区间[0，2]上的最大值．

三、导函数为0是否存在，分类讨论策略

求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令△=0，求分点，从而引起讨论．

例3、已知函数，，讨论在定义域上的单调性．

四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略

求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间．所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论．

例4、已知0>m ，讨论函数x

e m x m mx x

f 6

3)1(3)(2++++=的单调性．

练习

求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。 一、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的

实根是否落在定义域内，从而引起讨论。

二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根

也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 三、

1．08广东（理） 设k R ∈

，函数1

,11(),()(),1x x f x F x f x kx x R x ⎧<⎪

-==-∈⎨⎪≥⎩

，

试讨论函数()F x 的单调性。

2． (08浙江理)已知a 是实数，函数(

))f x x a =-

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。

（i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-。

3（07天津理）已知函数()()22

211

ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()

2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

4（07高考山东理改编）设函数()()2

ln 1f x x b x =++，其中0b ≠，求函数()f x 的极值

点。

含参数导数的解题策略

例1、解：（Ⅰ）略． （Ⅱ）∵ 对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ， ∴ 对所有1≥x 都有1ln -≥ax x x ，即.1

ln x

x a +≤ 记),0(,1

ln )(>+

=x x x x g 只需 .)(min x g a ≤ 令,01

1)('2=-=x x x g 解得.1=x

.100)(',10)('<<⇔<>⇔>x x g x x g

∴ 当1=x 时，)(x g 取最小值.1)1(=g ∴ .1≤a 即a 的取值范围是{}

.1≤a a 例2. 解：（I ）略．

（II ）令'()0f x =，解得1220,3

a

x x ==． 当

203a

≤，即0≤a 时，()f x 在[0，2]上单调递增，从而max (2)84f f a ==-． 当223

a ≥时，即3≥a 时，()f x 在[0，2]上单调递减，从而max (0)0f f ==．

当2023a <

<，即03a <<，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上单调递增，从而 max

84,0 2.

0,2 3.

a a f a -<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩ 综上所述，max

84, 2.0, 2.

a a f a -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 例3、 解：由已知得22()21,(0)a x x a

f x x x x x

-+'=-+=

>， （1）当180a ∆=-≤，1

8a ≥时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上为增函数． （2）当180a ∆=->，1

8

a <时，

1)1

08

a <<

时，

11022->>，()f x

在11[22+