《导数的概念及其计算》综合练习
导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)
导数的概念及运算一，导数的概念1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成00000()()()()()limlim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆()2求平均变化率x x f x x f xy ∆-∆+=∆∆)()(；()3取极限，得导数y '=()f x '=xyx ∆∆→∆0lim3.导数的几何意义：导数0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 处的瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为()()()y f x f x x x -='-4.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '1．用导数的定义求下列函数的导数：()1 2()y f x x==；()2 24()y f x x ==2．()1已知000(2)()lim13x f x x f x x→--=△△△，求0()f x '()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim1x f f x x →-+=-二，导数的四则计算常用的导数公式及求导法则： （1）公式①0'=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-=④1')(-=n n nx x ⑤a a a x x ln )('=⑥x x e e =')(⑦a x x a ln 1)(log '= ⑧xx 1)(ln '=⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（xx 2'sin 1)cot -=（2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±， )()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=)()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -= 2，复合函数的求导法则：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为'''xuxy y u =⋅.题型1， 导数的四则计算 1，求下列函数的导数：()1 ln x y e x =⋅ ()2 11x x e y e +=-()3sin 1cos x y x=+ ()4()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅()532x x x y e e =⋅-+ ()6()()33421y x x x =-⋅-2，求导数 （1）()324y x x=- （2）sin x y x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+三，复合函数的导数 链式法则若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则xy '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则xy '=)()()(x v u f ψϕ'''说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
高考数学必考点专项第7练 导数的概念及其运算(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)
高考数学必考点专项第7练导数的概念及其运算一、单选题1. 质点运动规律23s t =+，则在时间[3,3]t +∆中，相应的平均速度等于( ) A. 6t +∆B. 96t t+∆+∆ C. 3t +∆ D. 9t +∆2. 设()f x 是可导函数，且000()(2)lim2x f x f x x x∆→-+∆=∆，则0()f x '= ( )A. 12B. 1-C. 0D. 2-3. 设，，，…，，则( )A. sin xB. sin x -C. cos xD. cos x -4. 曲线2()ln 1x f x e x x =-+在点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为( )A.21e - B.4eC.21e + D.41e + 5. 下列求导运算正确的是( )A. 2313(ln )x x x x+'=+B. 2()2x x x e xe '=C. (3cos 2)3(ln 3cos 22sin 2)x x x x x '=⋅-D. 211(ln )22ln 2log x x +'=+6. 设函数的导函数为，则图象大致是( )A.B.C.D.7. 已知正数a ，b 满足4a b +=，则曲线()ln xf x x b=+在点(,())a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为 ( )A. [,)4π+∞B. 5[,)412ππC. [,)42ππD. [,)43ππ8. 对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数3211()233g x x x x =-+-，则(2019)(2020)(2021)(2022)(g g g g -+-++= )A. 0B. 1C. 2D. 49. 若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e a b <<二、多选题10. 已知函数()f x 的定义域为R ，且在R 上可导，其导函数记为().f x '下列命题正确的有( )()g xA. 若函数()f x 是奇函数，则()f x '是偶函数B. 若函数()f x '是偶函数，则()f x 是奇函数C. 若函数()f x 是周期函数，则()f x '也是周期函数D. 若函数()f x '是周期函数，则()f x 也是周期函数三、填空题11. 曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为_____________________12. 在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是__________.13. 已知函数()()sin cos 23f x f x x π='，其中()f x '为()f x 的导函数，则()2f π=__________.14. 定义方程的实数根0x 叫做函数的“新驻点”．设，则在上的“新驻点”为_________15. 已知函数，若方程()f x kx =恰有两个实数解，则实数k 的取值范围为__________.16. 已知函数，函数()f x 的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是__________.17. 已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，也是曲线ln y x m =+的切线，则实数k =__________，实数m =__________. 四、解答题()()f x f x ='()f x ()f x18. 已知函数32()39 1.f x x x x =-+++(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 在点(2,(2))f --处的切线方程．19. 已知函数1()ln ln .x f x ae x a -=-+(1)当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若()1f x ，求a 的取值范围.答案和解析1.【答案】A解：平均速度为22(3)3(33)633t v t t ++-+==++-，故选.A2.【答案】B解：由题得：0000020()(2)(2)()lim2lim 22x x f x f x x f x x f x x x∆→∆→-+∆+∆-=-=∆∆，即02()2f x -'=，得0() 1.f x '=- 故选.B3.【答案】D解：根据题意，，，，，，则有，，…，所以，则.故选.D4.【答案】A解：()2ln xf x e x x x '=--， 故(1)1f e '=-，(1)1f e =+，故切线方程是：(1)(1)(1)y e e x -+=--， 即(1)2y e x =-+，令0x =，解得：2y =，令0y =，解得：21x e =--， 故围成的三角形的面积1222211S e e =⨯⨯=--， 故选：.A5.【答案】C解：2313(ln )x x x x+'=-，A 错误； 22()2x x x x e xe x e '=+，B 错误；(3cos 2)3ln 3cos 223sin 23(ln 3cos 22sin 2)x x x x x x x x x '=-⨯=⋅-，C 正确；211(ln )2ln 2log x x +'=，D 错误． 故选：.C6.【答案】D解：因为4()cos f x x x =--，所以3()sin 4f x x x '=-，所以3()sin 4g x x x =-， 所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称， 而函数为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误. 故选：.D7.【答案】C解：()ln xf x x b=+，11()f x x b∴'=+，而正数a ，b 满足4a b +=， 1111111()()()(2)(22)1444b a f a a b a b a b a b ∴'=+=++=+++=， 当且仅当2a b ==取等号成立，∴曲线()ln xf x x b=+在(,())a f a 处的切线的斜率1k ，又倾斜角范围为[0,),π ∴曲线()ln x f x x b =+在(,())a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为[,),42ππ 故选.C8.【答案】D解：3211()233g x x x x =-+-，2()22g x x x '=-+，()22g x x ''=-， 令()0g x ''=，得1x =， 又3211(1)1121133g =⨯-+⨯-=， 所以()g x 的对称中心为(1,1)，所以(2)()2g x g x -+=， 所以(2019)(2020)(2021)(2022)[(2019)(2021)][(2020)(2022)]g g g g g g g g -+-++=-++-+224=+=，故选：.D9.【答案】D解：设切点为根据两点之间斜率和导数的几何意义，易知000x x e b e x a-=-，整理得：00000x x xe b x e ae --+=有两解，令()x x x g x e b xe ae =--+，()()x g x a x e '=-，易知()g x 最大值为().g a即，解得b a e >，又因为当x 趋近正无穷时()0g x <，当x 趋近负无穷时，()g x 趋近0b -<，则0.b > 综上，a 0b e << 故选.D10.【答案】AC解：A 中，若函数()f x 是奇函数， 则，则()f x '是偶函数，故A 正确；B 中，令()sin 1f x x =+，不是奇函数，但是偶函数，故B 错误；C 中，若函数()f x 是周期函数， 则，则()f x '也是周期函数，故C 正确. D 中，令，不是周期函数，但是周期函数，故D 错误；故选.AC11.【答案】2210x y π+-+=解：已知2sin cos y x x =+，2cos sin y x x ∴'=-，，∴曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为：12()y x π+=--，即2210.x y π+-+= 故答案为2210x y π+-+=12.【答案】4解：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-，解得000).x x > ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4.= 故答案为：4.13.【答案】0解：因为()()[(sin )cos 2sin (cos 2)]3f x f x x x x π'=''+'()(cos cos 22sin sin 2)3f x x x x π='-，所以227()()(coscos2sin sin )()33333343f f f πππππππ'='-=-'， 所以()03f π'=，所以()0f x =，所以()02f π=，故答案为0.14.【答案】4π 解：()sin ()cos f x x f x x =∴'=，令()()f x f x ='，即cos sin x x =，得tan 1x =，，解得4x π=，所以，函数()y f x =在上的“新驻点”为.4π 故答案为：.4π 15.【答案】解：函数，方程()f x kx =恰有两个实数解，∴函数()f x 的图象与函数y kx =恰有2个交点.作出函数()f x 和y kx =的图象，如图所示：当直线y kx =与ln y x =相切时，设切点为00(,ln )x x ， 切线斜率为01k x =， 所以切线方程为0001ln ()y x x x x -=-， 根据切线方程过原点，可得0ln 1x =，所以0x e =，1k e=， 结合图象可知，实数k 的取值范围为，故答案为16.【答案】解：由题意，，则， 所以点和点，12,x x AM BN k e k e =-=， 所以12121,0x x e ex x -⋅=-+=， 所以， 所以，(0,1)同理，所以故答案为：17.【答案】e2解：对于x y e =，设切点为(,)nn e ， 因为x y e '=，故切线斜率n k e =，故切线方程为()n n y e e x n -=-，由已知得切线过(0,0)， 所以()n n e e n -=-，故1n =，所以.k e =对于ln y x m =+，设切点为(,ln )c c m +，且其导函数为1y x '=， 因为直线y ex =也是曲线ln y x m =+的切线，得1|.x c y e c='== 所以1c e =，所以切点为1(,1)e，代入ln y x m =+得11ln m e =+， 所以 2.m =故答案为：e ；2.18.【答案】解：(1)函数32()391f x x x x =-+++的导数为 2()369f x x x '=-++，令()0f x '<，解得1x <-，或3x >，可得函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；2(2)()369f x x x '=-++，可得()f x 在点(2,(2))f --处的切线斜率为3412915k =-⨯-+=-，切点为(2,3)-，即有()f x 在点(2,(2))f --处的切线方程为315(2)y x -=-+， 即为15270.x y ++=19.【答案】解：(1)当a e =，()ln 1x f x e x =-+，1(),(1)1,(1)1x f x e k f e f e x'=-='=-=+， 所以切线方程为：1(1)(1)y e e x --=--，即(1)2y e x =-+，所以切线在y 轴上的截距为2，在x 轴上的截距为21-e， 所以三角形的面积1222.211S e e =⨯⨯=-- 1ln 1(2)()ln ln ln ln x a x f x ae x a e x a -+-=-+=-+，要使()1f x ，只需ln 1ln ln 1a x e x a +--+，即ln 1ln -1ln a x e a x +-+，即ln 1ln ln -1+ln ln a x x e a x x x e x +-++=+，令()x g x e x =+，，()g x 单调递增，故只需(ln 1)(ln )g a x g x +-，因为()g x 为增函数，只需证ln 1ln a x x +-，即ln ln 1a x x +-，设()ln 1h x x x =+-，11()1x h x x x-'=-=， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， max ()(1)0h x h ==，所以ln 0a ，1a ，即a 的取值范围为[1,).+∞。
最新导数的概念与计算练习题带答案
导数概念与计算1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．02．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ）A ．(0,0)B ．(1,1)C ．(0,1)D ．(1,0)3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln24．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．1e5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等于（ ）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________．8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1()2ln f x ax x x=--（2）2()1xe f x ax =+（3）21()ln(1)2f x x ax x =--+（4）cos sin y x x x =-（5）1cos xy xe-=（6）11x x e y e +=-10．已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：当1x >-时，11ln(1)1x x x -≤+≤+．11．设函数()bf x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．12．设函数2()x x f x x e xe =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当[2,2]x ∈-时，不等式()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围．导数作业1答案——导数概念与计算1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．0选B ．2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ）A ．(0,0)B ．(1,1)C ．(0,1)D ．(1,0)解：由题意知，函数f （x ）＝x 4－x 在点P 处的切线的斜率等于3，即f ′（x 0）＝4x 30－1＝3，∴x 0＝1，将其代入f （x ）中可得P （1,0）． 选D ．3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln2解：f （x ）的定义域为（0，＋∞）， f ′（x ）＝ln x ＋1，由f ′（x 0）＝2， 即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 选B ．4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．1e解：∵y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 选A ．5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等于（ ）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -解：∵f 0（x ）＝sin x ，f 1（x ）＝cos x ，f 2（x ）＝－sin x ，f 3（x ）＝－cos x ，f 4（x ）＝sin x ，… ∴f n （x ）＝f n ＋4（x ），故f 2 012（x ）＝f 0（x ）＝sin x ， ∴f 2 013（x ）＝f ′2 012（x ）＝cos x . 选C ．6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e解：由f （x ）＝2xf ′（1）＋ln x ，得f ′（x ）＝2f ′（1）＋1x ，∴f ′（1）＝2f ′（1）＋1，则f ′（1）＝－1. 选B ．7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________．解：由y ＝ln x 得，y ′＝1x ，∴y ′|x ＝1＝1，∴曲线y ＝ln x 在与x 轴交点（1,0）处的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 解：y ′＝e x ，设切点的坐标为（x 0，y 0）则y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1.因此切点的坐标为（1，e ），切线的斜率为e.9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1()2ln f x ax x x=-- （2）2()1xe f x ax =+（3）21()ln(1)2f x x ax x =--+（4）cos sin y x x x =-∵y ＝x cos x －sin x ，∴y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . （5）1cos x y xe -=∵y ＝x e 1－cos x，∴y ′＝e 1－cos x＋x e 1－cos x（sin x ）＝（1＋x sin x ）e 1－cos x.（6）11x x e y e +=-y ＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1∴y ′＝－2e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2. 10．已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：当1x >-时，11ln(1)1x x x -≤+≤+． 解：（1）函数f （x ）的定义域为（－1，＋∞）． f ′（x ）＝1x ＋1－1＝－x x ＋1f ′（x ）与f （x ）随x 变化情况如下：f ′（x ） ＋0 －f （x ）因此f （x ）的递增区间为（－1,0），递减区间为（0，＋∞）． （2）证明 由（1） 知f （x ）≤f （0）． 即ln （x ＋1）≤x设h （x ）＝ln （x ＋1）＋1x ＋1－1h ′（x ）＝1x ＋1－1x ＋12＝x x ＋12可判断出h （x ）在（－1,0）上递减，在（0，＋∞）上递增．因此h （x ）≥h （0）即ln （x ＋1）≥1－1x ＋1.所以当x >－1时1－1x ＋1≤ln （x ＋1）≤x .11．设函数()bf x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．（1）解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′（x ）＝a ＋bx 2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f （x ）＝x －3x .（2）证明 设P （x 0，y 0）为曲线上任一点，由f ′（x ）＝1＋3x 2知，曲线在点P （x 0，y 0）处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20（x －x 0），即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20（x －x 0）． 令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为（2x 0,2x 0）．所以点P （x 0，y 0）处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f （x ）上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.12．设函数2()x x f x x e xe =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当[2,2]x ∈-时，不等式()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围． 解 （1）函数f （x ）的定义域为（－ ∞，＋∞）， f ′（x ）＝2x ＋e x －（e x ＋x e x ）＝x （2－e x ），（2）由（1）可知因为，(0)1f =，(2)4241f e e e =+-=-< 所以，2min ()(2)4f x f e ==- 故24m e <-．。
高中数学《导数的概念及其运算》练习题
§3.1 导数的概念及运算1．下列求导运算正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．(2021·安徽江南十校联考)曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝03．(2020·广元模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋cos x ，则其导函数f ′(x )的图象大致是( )4．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 5.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2)6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x7．已知函数y ＝f (x )的图象在x ＝2处的切线方程是y ＝3x ＋1，则f (2)＋f ′(2)＝ .8．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ . 9．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为________，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈________.10．(2021·山东省实验中学四校联考)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是 ．11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．12．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．13．(2020·青岛模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x14．已知函数f (x )＝x ＋a 2x，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1,0)点的切线，则a 的取值范围是 ．15．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为 ． 16．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．§3.2 导数与函数的单调性课时精练1．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．f (x )＝sin 2xB ．g (x )＝x 3－xC ．h (x )＝x e xD ．m (x )＝－x ＋ln x3．(2020·甘肃静宁一中模拟)已知函数f (x )＝x 2＋a x ，若函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞)4．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x －2x ，a ＝f (－π)，b ＝f (2e )，c ＝f (ln 2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >a >cD ．c >b >a5．(多选)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值可以是( )A ．－3B ．－1C ．0D ．26．(多选)若函数 g (x )＝e x f (x )(e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数不具有M 性质的为( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝x7．函数y ＝2ln x －3x 2的单调递增区间为________．8．若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．9．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 10．(2020·济南质检)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．11．函数f (x )＝(x 2＋ax ＋b )e －x ，若f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为6x －y －5＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．12．讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．13．(多选)若0<x 1<x 2<1，则( )A ．x 1＋ln x 2>x 2＋ln x 1B ．x 1＋ln x 2<x 2＋ln x 1C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x xx x < 14．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为____________．15．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1x <2f (1)的解集为________． 16．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t ,3)上总不是单调函数，求实数m 的取值范围．§3.3 导数与函数的极值、最值课时精练1．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝02．函数y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是( ) A.1e B.2e 2 C ．0 D.12e3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 24．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.1635．(多选)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则以下命题错误的是( )A ．－3是函数y ＝f (x )的极值点B ．－1是函数y ＝f (x )的最小值点C ．y ＝f (x )在区间(－3,1)上单调递增D ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率小于零6．(多选)(2021·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e2，则t 的最小值为2 7．函数f (x )＝2x －ln x 的最小值为________．8．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有两个极值点，则实数c 的取值范围为______________．9．已知函数f (x )＝sin x －13x ，x ∈[0，π]，cos x 0＝13，x 0∈[0，π]． ①f (x )的最大值为f (x 0)； ②f (x )的最小值为f (x 0)；③f (x )在[0，x 0]上是减函数； ④f (x 0)为f (x )的极大值．那么上面命题中真命题的序号是________．10．已知不等式e x －1≥kx ＋ln x 对于任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，则k 的最大值为________．11．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．12．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间(0，e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数)．13．已知函数f (x )＝x ＋2sin x ，x ∈[0,2π]，则f (x )的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤4π3－3，2π3＋3 B.⎣⎡⎦⎤0，4π3－3 C.⎣⎡⎦⎤2π3＋3，2π D ．[0,2π]14．(2020·邢台模拟)若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．15．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值范围是__________．16．(2019·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围．高考专题突破一 高考中的导数综合问题第1课时 利用导数研究恒(能)成立问题1．设函数f (x )＝ln x ＋a x(a 为常数)．(1)讨论函数f (x )的单调性； (2)不等式f (x )≥1在x ∈(0,1]上恒成立，求实数a 的取值范围．2．已知函数f (x )＝x ln x (x >0)．(1)求函数f (x )的极值；(2)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≤－x 2＋mx －32成立，求实数m 的最小值．3．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x －ln x ，g (x )＝x 2＋x ＋2a ＋1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)当x ∈[1，e]时，f (x )<g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．4．已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x . (1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a <1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)<g (x 2)成立，求a 的取值范围．5．(2020·衡水中学检测)设函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若对任意a ∈(4,5)及任意x 1，x 2∈[1,2]，恒有a －12m ＋ln 2>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围．第2课时利用导函数研究函数的零点1．已知函数f(x)＝e x(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e.(1)求a，b的值；(2)若函数g(x)＝f(x)－3e x－m有两个零点，求实数m的取值范围．2．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．3．已知函数f(x)＝e x＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．4．(2020·潍坊检测)已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R.(1)证明：ln x≤x－1；(2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数．5．已知函数f(x)＝e x＋1－kx－2k(其中e是自然对数的底数，k∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当函数f(x)有两个零点x1，x2时，证明x1＋x2>－2.第3课时利用导数证明不等式1．(2021·莆田模拟)已知函数f(x)＝x e x－1－ax＋1，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线l的斜率为3e－2.(1)求a的值及切线l的方程；(2)证明：f(x)≥0.2．(2021·沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.3．已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－e x＋2e x≤0.4．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)证明：e x －e 2ln x >0恒成立．5．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2.。
导数练习题(含答案)
导数概念及其几何意义、导数的运算一、选择题：1 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于A193B103C163D1332 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A3B-3C 5D -53 函数2y x a a =+2（）(x-)的导数为 A222()x a -B223()x a +C223()x a -D 222()x a +4 曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A19B 29C 13D 235 已知二次函数2y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 A3B52C 2 D326 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B()2(1)f x x =-C2()2(1)f x x =-D ()1f x x =-7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x'+=+B21(log )ln 2x x '=C3(3)3log x x e '=⋅D 2(cos )2sin x x x x '=-8 曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A6π B 34π C 4π D 3π9 曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A34y x =-B32y x =-+C43y x =-+ D 45y x =-10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为11 一质点的运动方程为253s t =-，则在一段时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为 A36t ∆+B36t -∆+C36t ∆- D 36t -∆-12 曲线()ln(21)f x x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是ABCD 013 过曲线32y x x =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-，则切点0P 的坐标为 A (0,1)(1,0)-或B(1,4)(1,0)--或C(1,4)(0,2)---或D (2,8)(1,0)或14 点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 A[0,]2πB3[0,)[,)24πππ C 3[,)4ππ D 3(,]24ππ二、填空题15 设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等实根，且()22f x x '=+，则()y f x =的表达式是______________16 函数2sin x y x=的导数为_________________________________17 已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=_________ 18 已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则k 的最大值为___________________________ 三、解答题19 求下列函数的导数（1）1sin 1cos x y x-=+ (2) 52sin x x y x +=(3) y = (4) tan y x x =⋅ 20 已知曲线21:C y x =与22:(2)C y x =--，直线l 与12,C C 都相切，求直线l 的方程21 设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --= （1）求()f x 的解析式（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值。
导数的概念及运算专题练习(含参考答案)
数学 导数的概念及运算1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝03．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．84．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．45．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．22D ．36．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．7．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－23．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．4．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【参考答案】1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C ．因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C ．由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7.所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14.又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B ．由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1B ．2C ．22D ．3解析：选B ．因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 6．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．解析：由题意知，y ′＝2x ，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2，故所求切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2. 答案：y ＝2x －27．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：19．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， 所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D.因为f ′(x )＝1x ，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2. 3．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：44．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② －2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)． 所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.④ 将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4. 6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0， 所以3a －6－6a ＝0， 所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线， 则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)． 因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
导数的概念及运算随堂练习(含答案)
导数的概念及运算基础巩固强化1.(文)(2011·青岛质检)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln22 D ．ln2[答案] B[解析] f ′(x )＝1＋ln x ，∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2， ∴ln x 0＝1，∴x 0＝e ，故选B.(理)已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 [答案] D[解析] 由条件知，y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率f ′(1)＝12，又点(1，f (1))在切线x －2y ＋1＝0上，∴f (1)＝1，∴f (1)＋2f ′(1)＝1＋2×12＝2.2．(文)(2011·广东省东莞市模拟)已知曲线y ＝18x 2的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．4B ．3C ．2 D.12 [答案] C[解析] 由条件知，k ＝y ′＝14x ＝12，∴x ＝2.(理)(2012·乌鲁木齐地区二诊)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1[答案] B[解析] 设切点(a ，－12a ＋ln a )，y ′＝－12＋1x ，∴－12＋1a ＝12，a ＝1，故切点(1，－12)在直线y ＝12x ＋b 上，有－12＝12＋b ，∴b ＝－1.3．(文)(2011·皖南八校联考)直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2,3)，则b 的值为( )A ．－3B ．9C ．－15D ．－7 [答案] C[解析] 将点(2,3)分别代入曲线y ＝x 3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3,2k ＋b ＝3.又k ＝y ′|x ＝2＝(3x 2－3)|x ＝2＝9， ∴b ＝3－2k ＝3－18＝－15.(理)(2011·广东华南师大附中测试)曲线y ＝2x 2在点P (1，2)处的切线方程是( )A ．4x －y －2＝0B ．4x ＋y －2＝0C ．4x ＋y ＋2＝0D ．4x －y ＋2＝0 [答案] A[解析] ∵k ＝y ′|x ＝1＝4x |x ＝1＝4，∴切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.4．已知y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，当y ′＝2时，x 等于( )A.π3 B.23π C.π4 D.π6[答案] C[解析] y ′＝(tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ＝2，∴cos 2x ＝12，∴cos x ＝±22，∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x ＝π4.5．(文)(2011·山东淄博一中期末)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1 B.19 C.13 D.23[答案] B[解析] ∵y ′＝x 2＋1，∴k ＝2，切线方程y －43＝2(x －1)，即6x－3y －2＝0，令x ＝0得y ＝－23，令y ＝0得x ＝13，∴S ＝12×13×23＝19.(理)(2012·烟台调研)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．－12 D.12[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝(x －1)－(x ＋1)(x －1)2＝－2(x －1)2，∴f ′(3)＝－12，由条件知，－12×(－a )＝－1， ∴a ＝－2.6．(文)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215 [答案] C[解析] f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ， 所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.(理)(2013·辽宁大连二十四中上学期期中考试)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导函数f ′(x )的最大值为3，则f (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6 C ．x ＝π3 D ．x ＝π2[答案] A[解析] f ′(x )＝ωcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最大值为3， 即ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6－1.由3x ＋π6＝π2＋k π得，x ＝π9＋k π3 (k ∈Z )． 故A 正确．7．设θ为曲线y ＝x 3＋3x 2＋ax ＋2的切线的倾斜角，且所有θ组成的集合为[π4，π2)，则实数a 的值为________．[答案] 4[解析] 设切线的斜率为k ， 则k ＝y ′＝3x 2＋6x ＋a ， 又∵k ＝tan θ，θ∈[π4，π2)， ∴k ∈[1，＋∞)． 又k ＝3(x ＋1)2＋a －3，∴当x ＝－1时，k 取最小值为a －3＝1. ∴a ＝4.8．(文)(2011·北京模拟)已知函数f (x )＝3x 3＋2x 2－1在区间(m,0)上总有f ′(x )≤0成立，则m 的取值范围为________．[答案] [－49，0)[解析] ∵f ′(x )＝9x 2＋4x ≤0在(m,0)上恒成立，且f ′(x )＝0的两根为x 1＝0，x 2＝－49，∴－49≤m <0.(理)设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．[答案] y ＝－3x[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)， 又∵f ′(x )为偶函数，∴f ′(－x )＝f ′(x )， 即3x 2－2ax ＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3) 对任意x ∈R 都成立，∴a ＝0， ∴f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3，∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－3x .9．(2011·济南模拟)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 点(1,1)在曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)上，点(1,1)为切点，y ′＝(n ＋1)x n ，故切线的斜率为k ＝n ＋1，曲线在点(1,1)处的切线方程y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得切点的横坐标为x n ＝n n ＋1，故a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg(x 1x 2…x 99)＝lg(12×23×…×99100)＝lg 1100＝－2.10．(文)设函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P ，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －4＝0. 若函数在x ＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.[解析] ∵y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴的交点为P (0，d )， 又曲线在点P 处的切线方程为y ＝12x －4，P 点坐标适合方程，从而d ＝－4；又切线斜率k ＝12，故在x ＝0处的导数y ′|x ＝0＝12而y ′|x ＝0＝c ，从而c ＝12；又函数在x ＝2处取得极值0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ′|x ＝2＝0，f (2)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋4b ＋12＝0，8a ＋4b ＋20＝0.解得a ＝2，b ＝－9，所以所求函数解析式为y ＝2x 3－9x 2＋12x －4. (理)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12. (1)求a 、b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． [解析] (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋bx .又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以⎩⎨⎧f ′(1)＝0，f (1)＝12，即⎩⎨⎧2a ＋b ＝0，a ＝12，可得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)， 且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(1，＋∞)．能力拓展提升11.(2013·辽宁省沈阳四校期中联考)若函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.π4B.π6 C.5π6 D.3π4[答案] D[解析] y ′＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∵0<x <2，∴－1≤y ′<0，由题意知－1≤tan α<0，∴3π4≤α<π，故选D.12．(2011·广东省汕头市四校联考)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1} [答案] D[解析] 令φ(x )＝f (x )－x 2－12，则φ′(x )＝f ′(x )－12<0，∴φ(x )在R 上是减函数， ∵φ(1)＝f (1)－12－12＝1－1＝0，∴φ(x )＝f (x )－x 2－12<0的解集为{x |x >1}，选D.13．(文)二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a (x ＋b 2a )2－b 24a ，顶点(－b 2a ，－b 24a )在第三象限，故选C.(理)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝x cos x ，∴f ′(x )＝cos x －x sin x ， ∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，排除C ； ∵f ′(0)＝1，排除D ；由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2<0，f ′(2π)＝1>0，排除B ，故选A. 14．(2011·朝阳区统考)若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，0)[解析] 由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0⇒a ＝－13x 3(x >0)⇒a ∈(－∞，0)．15．(文)已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程． [解析] y ＝13x 3＋43，则y ′＝x 2. (1)由题意可知点P (2,4)为切点， y ′|x ＝2＝22＝4，所以曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)由题意可知点P (2,4)不一定为切点，故设切点为(x 0，13x 30＋43)，y ′|x ＝x 0＝x 20，曲线过点P (2,4)的切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)， 所以4－(13x 30＋43)＝x 20(2－x 0)，x 30－3x 20＋4＝0⇔(x 30＋1)－3(x 20－1)＝0⇔(x 0＋1)(x 20－4x 0＋4)＝0.解得x 0＝－1或x 0＝2，即切点为(－1,1)或(2,4)．所以曲线过点P (2,4)的切线方程为x －y ＋2＝0和4x －y －4＝0. (理)设函数f (x )＝ax ＋bx 的图象在点M (3，f (3))处的切线方程为2x －3y ＋23＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)证明曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解析] (1)因为切点在切线上，所以将点M 坐标代入切线方程解得f (3)＝433. ∵f (x )＝ax ＋b x ，∴f ′(x )＝a －bx 2，根据题意，得关于a ，b 的方程组⎩⎨⎧a －b 3＝23，3a ＋b 3＝433，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.所以f (x )的解析式为f (x )＝x ＋1x . (2)由f ′(x )＝1－1x 2(x ≠0)， 令f ′(x )<0，解得－1<x <0或0<x <1. 所以f (x )的单调递减区间为(－1,0)，(0,1)． (3)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1－1x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(1－1x 20)(x －x 0)，即y －(x 0＋1x 0)＝(1－1x 20)(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝2x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，2x 0)．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0|2x 0|＝2.16．(文)已知函数f (x )＝x 3－(a ＋b )x 2＋abx ，(0<a <b )． (1)若函数f (x )在点(1,0)处的切线的倾斜角为3π4，求a 、b 的值； (2)在(1)的条件下，求f (x )在区间[0,3]上的最值； (3)设f (x )在x ＝s 与x ＝t 处取得极值，其中s <t ， 求证：0<s <a <t <b .[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，tan 3π4＝－1.由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0f ′(1)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－(a ＋b )＋ab ＝03－2(a ＋b )＋ab ＝－1，解得a ＝1，b ＝2或a ＝2，b ＝1， 因为a <b ，所以a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，f ′(x )＝3x 2－6x ＋2， 令f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0，解得x 1＝1－33，x 2＝1＋33.在区间[0,3]上，x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(3)证明：f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，依据题意知s ，t 为二次方程f ′(x )＝0的两根． ∵f ′(0)＝ab >0，f ′(a )＝a 2－ab ＝a (a －b )<0， f ′(b )＝b 2－ab ＝b (b －a )>0，∴f ′(x )＝0在区间(0，a )与(a ，b )内分别有一个根．∵s <t ，∴0<s <a <t <b .(理)已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x ) (x >0)．[解析] (1)设y ＝f (x )与y ＝g (x )(x >0)的公共点为(x 0，y 0)，∴x 0>0. ∵f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x ，由题意f (x 0)＝g (x 0)，且f ′(x 0)＝g ′(x 0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0＋2a ＝3a 2x 0，由x 0＋2a ＝3a 2x 0得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．则有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a . 令h (a )＝52a 2－3a 2ln a (a >0)， 则h ′(a )＝2a (1－3ln a )． 由h ′(a )>0得，0<a <e 13， 由h ′(a )<0得，a >e 13.故h (a )在(0，e 13)为增函数，在(e 13，＋∞)上为减函数， ∴h (a )在a ＝e 13时取最大值h (e 13)＝32e 23.即b 的最大值为32e 23.(2)设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)， 则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x ＝(x －a )(x ＋3a )x (x >0)． 故F (x )在(0，a )为减函数，在(a ，＋∞)为增函数，于是函数F (x )在(0，＋∞)上的最小值是F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0.故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0， 即当x >0时，f (x )≥g (x )．1．(2011·安徽省“江南十校”高三联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[答案] B[解析] f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2，故选B.2．(2011·茂名一模)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14 C ．2D ．－12[答案] A[解析] ∵f (x )＝g (x )＋x 2，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2，由条件知，g ′(1)＝2，∴f ′(1)＝4，故选A.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2[答案] A[解析] ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．(2011·湖南湘西联考)下列图象中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13 B ．－13 C.53 D ．－53[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∵a ≠0， ∴其图象为最右侧的一个．由f ′(0)＝a 2－1＝0，得a ＝±1. 由导函数f ′(x )的图象可知，a <0， 故a ＝－1，f (－1)＝－13－1＋1＝－13.5．(2011·广东省佛山市测试)设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )[答案] C[解析] 因为f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＝[f (x )g (x )]′，所以[f (x )g (x )]′<0，所以函数y ＝f (x )g (x )在给定区间上是减函数，故选C.6．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．α>β>γB ．β>α>γC ．γ>α>βD ．β>γ>α[答案] C[解析] 由g (x )＝g ′(x )得，x ＝1，∴α＝1，由h (x )＝h ′(x )得，ln(x ＋1)＝1x ＋1，故知1<x ＋1<2，∴0<x <1，即0<β<1，由φ(x )＝φ′(x )得，x 3－1＝3x 2，∴x 2(x －3)＝1， ∴x >3，故γ>3，∴γ>α>β.[点评] 对于ln(x ＋1)＝1x ＋1，假如0<x ＋1<1，则ln(x ＋1)<0，1x ＋1>1矛盾；假如x ＋1≥2，则1x ＋1≤12，即ln(x ＋1)≤12，∴x ＋1≤e ，∴x ≤e －1与x ≥1矛盾．7．(2012·衡水质量检测)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(b －1)x ＋c (a >0)，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋1.(1)求b 、c 的值；(2)若过点(0,3)可作曲线g (x )＝f (x )－x 的三条不同切线，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵f ′(x )＝x 2－ax ＋(b －1)， 又f (0)＝1，f ′(0)＝1. ∴b ＝2，c ＝1.(2)设过(0,3)与曲线g (x )＝f (x )－x 相切的直线为l ，切点的坐标为(t ，g (t ))，又g (x )＝13x 3－12ax 2＋1，g ′(x )＝x 2－ax ，则切线l 的方程为y －(13t 3－12at 2＋1)＝(t 2－at )(x －t )． 又直线l 过点(0,3)，∴3－13t 3＋12at 2－1＝－t 3＋at 2，即23t 3－a 2t 2＋2＝0， 又过点(0,3)可作曲线g (x )＝f (x )－x 的三条不同切线． 等价于方程23t 3－a 2t 2＋2＝0有三个相异实根． 令h (t )＝23t 3－a 2t 2＋2，h ′(t )＝2t 2－at ＝t ·(2t －a )． ∵a >0，∴t ，h ′(t )，h (t )的变化情况如下表：当且仅当2－a324<0，即a>23 6.∴a的取值范围是(236，＋∞)．。
导数的概念与计算练习题带答案(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】导数概念与计算1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1-B ．2-C ．2D ．02．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（） A ．(0,0) B ．(1,1)C ．(0,1)D ．(1,0)3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln24．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．1e5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等于（ ） A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e -B ．1-C ．1D ．e7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________．9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1()2ln f x ax x x=--（2）2()1xe f x ax =+（3）21()ln(1)2f x x ax x =--+（4）cos sin y x x x =-（5）1cos xy xe-=（6）11x x e y e +=-10．已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：当1x >-时，11ln(1)1x x x -≤+≤+．11．设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．12．设函数2=+-．f x x e xe()x x（Ⅰ）求()f x的单调区间；（Ⅱ）若当[2,2]>恒成立，求实数m的取值f x mx∈-时，不等式()范围．导数作业1答案——导数概念与计算1．若函数42f x ax bx c=++，满足'(1)2()f-=（）f=，则'(1)A．1-B．2-C．2 D．0选B．2．已知点P在曲线4=-上，曲线在点P处的切线平行于直线f x x x()-=，则点P的坐标为（）x y30A．(0,0)B．(1,1)C．(0,1)D．(1,0)解：由题意知，函数f（x）＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′（x0）＝4x30－1＝3，∴x0＝1，将其代入f（x）中可得P（1,0）．选D．3．已知()ln=，若0'()2f x x xf x=，则0x=（）D．ln2A．2e B．e C．ln22解：f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝ln x＋1，由f′（x）＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.选B．4．曲线x=在点(0,1)y eA处的切线斜率为（）A．1 B．2 C．e D．1e解：∵y′＝e x，故所求切线斜率k＝e x|x＝0＝e0＝1.选A．5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等于（ ） A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -解：∵f 0（x ）＝sin x ，f 1（x ）＝cos x ，f 2（x ）＝－sin x ，f 3（x ）＝－cos x ，f 4（x ）＝sin x ，…∴f n （x ）＝f n ＋4（x ），故f 2 012（x ）＝f 0（x ）＝sin x ， ∴f 2 013（x ）＝f ′2 012（x ）＝cos x . 选C ．6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e -B ．1-C ．1D ．e解：由f （x ）＝2xf ′（1）＋ln x ，得f ′（x ）＝2f ′（1）＋1x，∴f ′（1）＝2f ′（1）＋1，则f ′（1）＝－1. 选B ．7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 解：由y ＝ln x 得，y ′＝1x，∴y ′|x ＝1＝1，∴曲线y ＝ln x 在与x轴交点（1,0）处的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________．解：y ′＝e x，设切点的坐标为（x 0，y 0）则y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1.因此切点的坐标为（1，e ），切线的斜率为e.9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式：（1）1()2ln f x ax x x=--（2）2()1xe f x ax =+（3）21()ln(1)2f x x ax x =--+（4）cos sin y x x x =- ∵y ＝x cos x －sin x ，∴y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . （5）1cos x y xe -= ∵y ＝x e 1－cos x ，∴y ′＝e 1－cos x ＋x e 1－cos x （sin x ）＝（1＋x sin x ）e 1－cos x .（6）11x x e y e +=-y ＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1∴y ′＝－2e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2. 10．已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：当1x >-时，11ln(1)1x x x -≤+≤+． 解：（1）函数f （x ）的定义域为（－1，＋∞）．f ′（x ）＝1x ＋1－1＝－xx ＋1f ′（x ）与f （x ）随x 变化情况如下：x （－1,0） 0 （0，＋∞） f ′（x ） ＋－f （x ）因此f （x ）的递增区间为（－1,0），递减区间为（0，＋∞）． （2）证明 由（1） 知f （x ）≤f （0）． 即ln （x ＋1）≤x设h （x ）＝ln （x ＋1）＋1x ＋1－1h ′（x ）＝1x ＋1－1x ＋12＝x x ＋12可判断出h （x ）在（－1,0）上递减，在（0，＋∞）上递增． 因此h （x ）≥h （0）即ln （x ＋1）≥1－1x ＋1.所以当x >－1时1－1x ＋1≤ln（x ＋1）≤x .11．设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．（1）解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′（x ）＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f （x ）＝x －3x.（2）证明 设P （x 0，y 0）为曲线上任一点，由f ′（x ）＝1＋3x2知，曲线在点P （x 0，y 0）处的切线方程为y－y 0＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋3x 20（x －x 0）， 即y －⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋3x 20（x －x 0）． 令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为（2x 0,2x 0）．所以点P （x 0，y 0）处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f （x ）上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.12．设函数2()x x f x x e xe =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当[2,2]x ∈-时，不等式()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围．解 （1）函数f （x ）的定义域为（－ ∞，＋∞），f ′（x ）＝2x ＋e x －（e x ＋x e x ）＝x （2－e x ），(0,ln 2)(,0)-∞(ln 2,)+∞（2）由（1）可知(0)1f =222(2)4241f e e e =+-=-<【最新整理，下载后即可编辑】 所以，2min ()(2)4f x f e ==- 故24m e <-．。
导数及其应用综合练习(含详解答案)
第1课 导数的概念及运算一、热身训练1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873741234-+-=，那么速度为零的时刻是 ____________．2．已知)1()('23f x x x f +=, 则=)2('f ____________． 3．已知),(,cos 1sin ππ-∈+=x xxy ,则当2'=y 时,=x ____________．4．已知a x x a x f =)(,则=)1('f ____________．5．已知函数f （x ）在x =1处的导数为3,则f （x ）的解析式可能为____________． （1）f （x ）=（x －1）2+3（x －1） （2）f （x ）=2（x －1） （3）f （x ）=2（x －1）2 （4）f （x ）=x －16．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为____________． 7．过点（0，－4）与曲线y ＝x 3＋x －2相切的直线方程是____________．8．已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a , b , c 值。
二、范例导析例1． 电流强度是单位时间内通过导体的电量的大小。
从时刻0t =开始的t 秒内，通过导体的电量（单位：库仑）可由公式223q t t =+表示。
（1） 求第5秒内时的电流强度；（2） 什么时刻电流强度达到63安培（即库仑/秒）？例2．下列函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y = ③()(cos sin )x f x e x x =⋅+例3． 如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程．例3变式．求曲线32y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程。
(完整版)导数的概念及其几何意义同步练习题(学生版)
导数的概念及其几何意义同步练习题一、选择题1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆ 3. 函数y =f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0+⊿x 时，函数值的改变量⊿y 为（ ）A.f (x 0+⊿x )B.f (x 0)+⊿xC. f (x 0)•⊿xD. f (x 0+⊿x )- f (x 0)4.已知函数y =f (x )=2x 2-1的图像上一点（1,1）及邻近一点（1+⊿x ，1+⊿y ），则等于（ ） A.4 B.4x C.4+2⊿x D.4+2(⊿x )2 5. 一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A. 3Δt ＋6B. －3Δt ＋6C. 3Δt －6D. －3Δt －66.若函数y =f (x )在x 0处可导，则000()()lim h f x h f x h的值（ ） A.与x 0，h 有关 B.仅与x 0有关，而与h 无关 C. 仅与h 有关，而与x 0无关 D. 与x 0，h 都无关7. 函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是（ ） A.2 B.1 C.0 D.-18.设函数f (x )=，则()()lim x a f x f a x a等于( ) A.1a B.2a C.21a D.21a 9. 下列各式中正确的是( )A. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x －Δx )－f (x 0)ΔxB. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )＋f (x 0)ΔxC. f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)ΔxD. f ′(x )＝li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx10. 设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( ) A. f ′(1) B. 不存在 C. 13f ′(1) D. 以上都不对 11. 设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( )A. 2B. －2C. 3D. 不确定12. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( ) A. 194 B. 174 C. 154 D. 13413.曲线y=2x 2+1在点P （-1,3）处的切线方程是（ ）A.y =-4x -1B.y =-4x -7C.y =4x -1D.y =4x -714.过点（-1,2）且与曲线y =3x 2-4x +2在点M （1,1）处的切线平行的直线方程是（ ）A.y =2x -1B.y =2x +1C.y =2x +4 D .y =2x -415. 下面四个命题：①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线；②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在；③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在；④曲线的切线和曲线有且只有一个公共点．其中，真命题个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 316. 函数y ＝f (x )的导函数f ′(x 0)图像如图所示，则在y ＝f (x )的图像上A 、B 的对应点附近，有( )A. A 处下降，B 处上升B. A 处上升，B 处下降C. A 处下降，B 处下降D. A 处上升，B 处上升17. 曲线y ＝2x 2上有一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( )A.4B. 16C. 8D. 218. 曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )A. y ＝3x －4B. y ＝－3x ＋2C. y ＝－4x ＋3D. y ＝4x －5 19.一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δx →0 Δs Δt为( ) A ．在t 时刻该物体的瞬时速度 B ．当时间为Δt 时物体的瞬时速度C ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度D ．以上说法均错误20. (2012·宝鸡检测)已知函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2处的导数为f ′(2)＝11，则( )A ．f ′(2)是函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2时对应的函数值B ．f ′(2)是曲线f (x )＝x 3－x 在点x ＝2处的割线斜率C ．f ′(2)是函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2时的平均变化率D ．f ′(2)是曲线f (x )＝x 3－x 在点x ＝2处的切线的斜率21.已知函数y ＝f (x )的图像如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定22.(2012·上饶检测)函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( )A ．2B ．3C ．6D ．1223.设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－324.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1 25．已知曲线y ＝x 24的一条切线斜率为12，则切点的横坐标为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．426．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是 ( ) A ．at 0 B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0 二、填空题27. 在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx为__ __． 28. 若质点M 按规律s ＝2t 2－2运动，则在一小段时间[2,2＋Δt ]内，相应的平均速度_ ．29.已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__ __． 30．曲线y ＝f (x )＝2x －x 3在点(1，1)处的切线方程为________．31.函数y ＝x 2在x ＝________处的导数值等于其函数值．32. (2012·南昌调研)若一物体的运动方程为s ＝3t 2＋2，求此物体在t ＝1时的瞬时速度是 .33．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是___ _．34.函数f (x )=3x 2-4x 在x =-1处的导数是 .三、解答题35. 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (3)求当x 1＝4，且Δx ＝0.01时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx；36. 已知自由落体的运动方程为s ＝12gt 2，求： (1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度；(2)落体在t 0时的瞬时速度；(3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s 这段时间内的平均速度；(4)落体在t ＝2 s 时的瞬时速度．37. 求等边双曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率，并写出切线方程．38. 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角．39．已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值．40. (2012·榆林调研)已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83。
导数的概念与运算小测验(含答案)
导数的概念与运算小测验（含答案）一、选择题1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－e B ．1 C ．－1D ．e2．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.⎝⎛⎭⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(2,3)3．(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是( )4．已知曲线f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值范围为( ) A ．(3，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫3，72 C.⎝⎛⎦⎤－∞，72 D ．(0,3)5．已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x >0，若a ＝12f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝ln 12·f (ln 12)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <a <b二、填空题6．函数y ＝ln 2xx的极小值为________．7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大(毛利润＝销售收入－进货支出)．8．对任意实数x 均有e 2x －(a －3)e x ＋4－3a >0，则实数a 的取值范围为________________．9．若函数f (x )＝x ln x ＋x 2＋ax ＋2有零点，则a 的取值范围是____________． 三、解答题10．已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x.(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求证：当x ∈(0,1)时，f (x )>2⎝⎛⎭⎫x ＋x33； (3)设实数k 使得f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33对x ∈(0,1)恒成立，求k 的最大值．答案精析1．C [∵函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，把x ＝1代入f ′(x )可得f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，故选C.] 2．C [由函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，得0<b <1，f (1)＝0， 从而－2<a <－1.因为g (x )＝ln x ＋f ′(x )在其定义域内单调递增，g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12＋1＋a <0， g (1)＝ln 1＋2＋a ＝2＋a >0，所以函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝⎛⎭⎫12，1.故选C.]3．A [因为f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，所以f ′(x )＝12x －sin x ，其为奇函数， 且f ′⎝⎛⎭⎫π6<0.故选A.]4．B [f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1的导数为f ′(x )＝2x 2－2x ＋a .由题意可得2x 2－2x ＋a ＝3，即2x 2－2x ＋a －3＝0有两个不相等的正实数根，则Δ＝4－8(a －3)>0，x 1＋x 2＝1>0，x 1x 2＝12(a －3)>0，解得3<a <72.故选B.]5．A [设h (x )＝xf (x )，∴h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )． ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴h (x )是定义在R 上的偶函数． 当x >0时，h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0， ∴函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵a ＝12f ⎝⎛⎭⎫12＝h ⎝⎛⎭⎫12，b ＝－2f (－2)＝2f (2)＝h (2)，c ＝ln 12·f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝h ⎝⎛⎭⎫ln 12＝h (－ln 2)＝h (ln 2)．又∵2>ln 2>12，∴b >c >a .故选A.]6．0解析 函数的定义域为(0，＋∞)．令y ＝f (x )，f ′(x )＝2ln x －ln 2x x 2＝－ln x ln x －2x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝e 2. f ′(x )与f (x )随x 的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，e 2) e 2 (e 2，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )4e 2故当x ＝1时，函数y ＝ln xx 取到极小值0.7．30解析 由题意知，毛利润＝销售收入－进货支出，设该商品的毛利润为L (p )，则 L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20) ＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700. 令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0.所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值． 8．(－∞，43]解析 e 2x －(a －3)e x ＋4－3a >0⇔(e x ＋3)a <e 2x ＋3e x ＋4⇔a <e 2x ＋3e x ＋4e x＋3， 令t ＝e x，则a <e 2x ＋3e x ＋4e x ＋3⇔a <t 2＋3t ＋4t ＋3(t >0)，令h (t )＝t 2＋3t ＋4t ＋3＝t ＋4t ＋3(t >0)，h ′(t )＝1－4t ＋32，因为t >0，所以h ′(t )>0，即当t >0时，h (t )>h (0)＝43，所以a ≤43，即实数a 的取值范围为(－∞，43]．9．{a |a ≤－3}解析 由题意知f (x )＝x ln x ＋x 2＋ax ＋2＝0在(0，＋∞)上有零点， 即－a ＝ln x ＋x ＋2x在(0，＋∞)上有实根，令φ(x )＝ln x ＋x ＋2x ，则φ′(x )＝1x ＋1－2x 2＝x 2＋x －2x 2＝1x2(x ＋2)(x －1)，易知，φ(x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以，－a ≥φ(x )min ＝φ(1)＝3， 所以a ≤－3.10．(1)解 因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )， 所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x ，f ′(0)＝2. 又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x . (2)证明 令g (x )＝f (x )－2⎝⎛⎭⎫x ＋x33，则 g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x 41－x 2. 因为g ′(x )>0(0<x <1)，所以g (x )在区间(0,1)上单调递增． 所以g (x )>g (0)＝0，x ∈(0,1)， 即当x ∈(0,1)时，f (x )>2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33. (3)解 由(2)知，当k ≤2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33对x ∈(0,1)恒成立． 当k >2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33，则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－k －21－x 2.所以当0<x <4k －2k时，h ′(x )<0， 因此h (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，4k －2k 上单调递减． 当0<x <4k －2k时，h (x )<h (0)＝0， 即f (x )<k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33. 所以当k >2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33并非对x ∈(0,1)恒成立． 综上可知，k 的最大值为2.B 卷1.设函数f (x )＝ln x ＋(x －a )2－a2，a ∈R .(1)若函数f (x )在[12，2]上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)求函数f (x )的极值点．2．已知函数f (x )＝ln x ＋ax (a >0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)讨论关于x 的方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x －12的实根情况．3．已知函数f(x)＝(x＋1)e－x(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t 的取值范围．4.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝k(x－1)x.(1)当k＝e时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的单调区间和极值；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数k的值．5．已知函数f(x)＝x ln x和g(x)＝m(x2－1)(m∈R)．(1)m＝1时，求方程f(x)＝g(x)的实根；(2)若对任意的x∈(1，＋∞)，函数y＝g(x)的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，求m的取值范围；(3)求证：44×12－1＋4×24×22－1＋…＋4×n4×n 2－1>ln(2n ＋1)(n ∈N *)．答案精析1．解 (1)求导可得f ′(x )＝1x ＋2(x －a )＝2x 2－2ax ＋1x ，x >0.依题意得，在区间[12，2]上，不等式2x 2－2ax ＋1≥0恒成立． 又因为x >0，所以2a ≤(2x ＋1x )min ，所以2a ≤22，即a ≤2(当且仅当x ＝22时等号成立)． 所以实数a 的取值范围为(－∞，2]．(2)因(1)得f ′(x )＝2x 2－2ax ＋1x，x >0，令h (x )＝2x 2－2ax ＋1.①当a ≤0时，可知在(0，＋∞)上h (x )>0恒成立，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，函数f (x )没有极值点．②当a >0时，(i)当Δ≤0，即0<a ≤2时，在(0，＋∞)上h (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≥0，函数f (x )单调递增，函数f (x )没有极值点． (ii)当Δ>0时，即a >2时，当a －a 2－22<x <a ＋a 2－22时，h (x )<0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当0<x <a －a 2－22或x >a ＋a 2－22时，h (x )>0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以当a >2时，x ＝a －a 2－22是函数f (x )的极大值点，x ＝a ＋a 2－22是函数f (x )的极小值点．综上，当a ≤2时，函数f (x )没有极值点； 当a >2时，x ＝a －a 2－22是函数f (x )的极大值点，x ＝a ＋a 2－22是函数f (x )的极小值点． 2．解 (1)f (x )＝ln x ＋a x 的定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2.因为a >0，由f ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)，由f ′(x )<0，得x ∈(0，a )，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (2)由题意，将方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x －12化简得b ＝ln x －12x 2＋12，x ∈(0，＋∞)．令h (x )＝ln x －12x 2－b ＋12，则h ′(x )＝1x －x ＝(1＋x )(1－x )x .当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， 所以h (x )在区间(0,1)上单调递增， 在区间(1，＋∞)上单调递减．所以h (x )在x ＝1处取得极大值，即最大值，最大值为h (1)＝ln 1－12×12－b ＋12＝－b .所以当－b >0，即b <0时，y ＝h (x )的图象与x 轴恰有两个交点， 方程f (x )＝x 3＋2bx ＋a 2x －12有两个实根；当b ＝0时，y ＝h (x )的图象与x 轴恰有一个交点， 方程f (x )＝x 3＋2bx ＋a 2x －12有一个实根；当b >0时，y ＝h (x )的图象与x 轴无交点， 方程f (x )＝x 3＋2bx ＋a 2x －12无实根．3．解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x <0时，f ′(x )>0； 当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增， 在(0，＋∞)上单调递减．(2)假设存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，则2[φ(x )]min <[φ(x )]max .∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋(1－t )x ＋1e x ， ∴φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x＝－(x －t )(x －1)e x. 对于x ∈[0,1]，①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e 2>1. ②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0.③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，则φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减；若x ∈(t,1]，则φ′(x )>0，φ(x )在(t,1]上单调递增，∴2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t <max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，3－t e .(*) 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1e t 在[0,1]上单调递减， 故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e， ∴不等式(*)无解．综上所述，t 的取值范围为(－∞，3－2e)∪⎝⎛⎭⎫3－e 2，＋∞. 4．解 (1)由题意得函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，h (x )＝ln x －k (x －1)x(x >0)，当k ＝e 时，h ′(x )＝1x －e x 2＝x －e x 2， 若0<x <e ，则h ′(x )<0；若x >e ，则h ′(x )>0，所以h (x )是(0，e)上的减函数，是(e ，＋∞)上的增函数，故h (x )极小值＝h (e)＝2－e ，故函数h (x )的减区间为(0，e)，增区间为(e ，＋∞)，极小值为2－e ，无极大值．(2)由(1)知h ′(x )＝1x －k x 2＝x －k x 2， 当k ≤0时，h ′(x )>0对x >0恒成立，所以h (x )是(0，＋∞)上的增函数，注意到h (1)＝0，所以0<x <1时，h (x )<0，不合题意，当k >0时，若0<x <k ，h ′(x )<0；若x >k ，h ′(x )>0，所以h (x )是(0，k )上的减函数，是(k ，＋∞)上的增函数，故只需h (x )min ＝h (k )＝ln k －k ＋1≥0，令μ(x )＝ln x －x ＋1(x >0)，μ′(x )＝1x －1＝1－x x， 当0<x <1时，μ′(x )>0；当x >1时，μ′(x )<0.所以μ(x )是(0,1)上的增函数，是(1，＋∞)上的减函数，故μ(x )≤μ(1)＝0，当且仅当x ＝1时等号成立，所以当且仅当k ＝1时，h (x )≥0成立，即k ＝1为所求．5．(1)解 m ＝1时，f (x )＝g (x )，即x ln x ＝x 2－1，而x >0，所以方程即为ln x －x ＋1x＝0. 令h (x )＝ln x －x ＋1x， 则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－[(x －12)2＋34]x 2<0， 而h (1)＝0，故方程f (x )＝g (x )有唯一的实根x ＝1.(2)解 对于任意的x ∈(1，＋∞)，函数y ＝g (x )的图象总在函数y ＝f (x )图象的上方， 即∀x ∈(1，＋∞)，f (x )<g (x )，即ln x <m (x －1x)， 设F (x )＝ln x －m (x －1x)，即∀x ∈(1，＋∞)，F (x )<0， F ′(x )＝1x －m (1＋1x 2)＝－mx 2＋x －m x 2. ①若m ≤0，则F ′(x )>0，F (x )>F (1)＝0，这与题设F (x )<0矛盾．②若m >0，方程－mx 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1－4m 2，当Δ≤0，即m ≥12时，F ′(x )≤0， ∴F (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴F (x )<F (1)＝0，即不等式成立．当Δ>0，即0<m <12时，方程－mx 2＋x －m ＝0有两个实根， 设两根为x 1，x 2且x 1<x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1m >2，x 1x 2＝1，∴方程有两个正实根且0<x 1<1<x 2.当x ∈(1，x 2)时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，F (x )>F (1)＝0与题设矛盾．综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.(3)证明 由(2)知，当x >1时，m ＝12时，ln x <12(x －1x)成立． 不妨令x ＝2k ＋12k －1>1(k ∈N *)， ∴ln 2k ＋12k －1<12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋12k －1－2k －12k ＋1＝4k 4k 2－1， ln(2k ＋1)－ln(2k －1)<4k 4k 2－1(k ∈N *)， ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ ln 3－ln 1<44×12－1，ln 5－ln 3<4×24×22－1，…ln 2n ＋1－ln 2n －1<4×n 4×n 2－1， n ∈N *累加可得44×12－1＋4×24×22－1＋…＋4×n 4×n 2－1>ln(2n ＋1)(n ∈N *)．。
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导数概念与计算1．若函数 f ( x) ax4bx2 c ，足 f '(1) 2 ， f '(1)（）A ．1B．2C．2D． 02．已知点P在曲 f (x)x4x 上，曲在点P的切平行于直 3 x y0 ，点P的坐（）A ． (0,0)B．(1,1)C．(0,1)D． (1,0)3．已知 f ( x) x ln x ，若 f'(x0 ) 2 ， x0（）A ． e2B． e C． ln 2D．ln224．曲 y e x在点 A(0,1) 的切斜率（）A ． 1B． 2C． e D．1e5． f 0 ( x)sin x ， f1 ( x)f0'( x) ， f 2 ( x)f1 '(x) ，⋯， f n1 ( x)f n '(x) ，n N ，f2013( x)等于（）A ．sin x B．sin x C． cosx D． cosx6．已知函数 f (x) 的函数 f '( x) ，且足 f ( x)2xf'(1) ln x， f '(1)（）A ． e B．1C．1D． e7．曲 y ln x 在与 x 交点的切方程________________ ．8．原点作曲 y e x的切，切点的坐________，切的斜率 ____________．9．求下列函数的数，并尽量把数形因式的或商的形式：（ 1） f (x) ax 1（ 2） f (x)e x2ln x1 ax2 x（ 3） f (x) x1ax2ln(1 x)（ 4） y xcos x sin x2（ 5） y xe1 cos x（ 6） y e x1e x110．已知函数 f ( x) ln( x 1)x ．（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）求证：当 x 1 时，11ln( x 1) x ．x111．设函数 f (x)ax b ，曲线y f (x)在点(2, f (2))处的切线方程为7 x 4 y120 ．x（Ⅰ）求 f ( x)的解析式；（Ⅱ）证明：曲线y f (x)上任一点处的切线与直线x0 和直线y x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．12．设函数 f (x) x2e x xe x．（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）若当x [ 2,2] 时，不等式 f (x) m 恒成立，求实数m 的取值范围．导数作业 1 答案——导数概念与计算1．若函数 f ( x)ax4bx2 c ，足 f '(1) 2 ， f '( 1) （）A ．1B．2C．2D． 0B ．2．已知点P在曲 f (x)x4x 上，曲在点P的切平行于直 3 x y0 ，点P的坐（）A ． (0,0)B． (1,1)C． (0,1)D． (1,0)解：由意知，函数43－1＝ 3，f（ x）＝ x － x 在点 P 的切的斜率等于3，即 f ′（ x0）＝ 4x0∴x0＝1，将其代入 f （ x）中可得 P（1,0）． D ．3．已知 f ( x)x ln x ，若 f '(x0 ) 2 ， x0（）A ． e2B． e C． ln 22解： f（x）的定域（0，＋∞），f′（ x）＝ ln x＋ 1，由 f′（ x0）＝ 2，即ln x0＋ 1＝ 2，解得 x0＝e.D．ln2B ．4．曲 y e x在点 A(0,1) 的切斜率（）A ． 1B． 2C． e 解：∵ y′＝ e x，故所求切斜率k＝ e x|x＝0＝ e0＝ 1.A ．D．1e5． f 0 ( x)sin x ， f1 ( x) f0'( x) ， f 2 ( x)f1 '(x) ，⋯， f n 1 ( x)f n '(x) ，n N ，f2013( x)等于（）A ．sin x B．sin x C． cosx D．cosx解：∵ f0（ x）＝ sin x， f1（ x）＝ cos x，f2（ x）＝－ sin x，f 3（ x）＝－ cos x， f4（ x）＝ sin x，⋯∴f n（ x）＝ f n＋4（ x），故 f2 012（ x）＝ f0（ x）＝ sin x，∴f2 013（ x）＝ f′2012（ x）＝ cos x.C．6．已知函数 f (x) 的函数 f '( x) ，且足 f ( x) 2xf '(1) ln x ， f '(1)（）A ．e B．1C．1D． e解：由 f（ x）＝ 2xf′（ 1）＋ ln x，得 f′（x）＝ 2f′（1）＋1，x∴f ′（ 1）＝ 2f ′（ 1）＋ 1，则 f ′（ 1）＝－ 1.选 B ．7．曲线 y ln x 在与 x 轴交点的切线方程为 ________________ ．解：由 y ＝ ln x 得， y ′＝ 1，∴ y ′|＝x x 1＝ 1，∴曲线 y ＝ln x 在与 x 轴交点（ 1,0）处的切线方程为y ＝x － 1，即 x － y － 1＝ 0.8．过原点作曲线 y e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为 ____________．解：y ′＝ e x，设切点的坐标为 （ x 0，y 0）则y 0＝ ex 0，即 ex 0＝ ex 0，∴ x 0＝ 1.因此切点的坐标为（ 1，x 0 x 0e ），切线的斜率为 e.9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式：1 （ 1） f (x)ax2ln xxe x（2）f (x)1 ax 2（ 3） f (x) x1 ax2 ln(1 x)2 （ 4） y xcos xsin x∵ y ＝xcos x － sin x ，∴ y ′＝ cos x － xsin x － cos x ＝－ xsin x.（ 5） yxe 1 cos x∵ y ＝xe 1－cos x ，∴ y ′＝ e 1－cos x ＋xe 1 －cos x （ sin x ）＝（ 1＋ xsin x ） e 1 －cos x .x1（ 6） yee x 1e x ＋ 12 ∴ y ′＝－ 2x－ 2e xy ＝ x＝ 1＋ xx e＝ x .e － 1e －1 (e － 1)2(e － 1)210．已知函数 f ( x) ln( x 1) x ．（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）求证：当 x1 时， 11 ln( x 1) x ．x1解：（ 1）函数 f （ x ）的定义域为（－ 1，＋ ∞）．1－x f ′（ x ）＝ x ＋1－ 1＝ x ＋ 1f ′（ x ）与 f （ x ）随 x 变化情况如下：x （－ 1,0） 0（ 0，＋ ∞）f ′（ x ） ＋ 0 －f （x ）因此 f （ x ）的递增区间为（－1,0），递减区间为（ 0，＋ ∞）．（2）证明由（ 1） 知 f （ x ） ≤f （ 0）．即 ln （x ＋ 1） ≤x设 h （ x ）＝ ln （x ＋ 1）＋1－ 1x ＋ 1h ′（ x ）＝ 1－1 2＝x 2x ＋ 1x ＋ 1x ＋1可判断出 h （ x ）在（－ 1,0）上递减，在（ 0，＋ ∞）上递增．因此 h （ x ）≥h （ 0）即 ln （ x ＋ 1）≥1－1x ＋ 1.1所以当 x>－ 1 时 1－x ＋ 1≤ ln （ x ＋ 1）≤x.11．设函数 f (x)axb，曲线 y f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7 x 4 y12 0 ．x（Ⅰ）求 f ( x) 的解析式；（Ⅱ）证明：曲线y f (x) 上任一点处的切线与直线x0 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．（1）解方程 7x － 4y － 12＝ 0 可化为 y ＝7x － 3，42a － b ＝ 1，当 x ＝ 2 时， y ＝ 1 .又 f ′（ x ）＝ a ＋ b2 ，于是222x b ＝ 7，a ＋44a ＝1， 3解得故 f （ x ）＝ x － .b ＝ 3.x（2）证明 设 P （x 0 ，y 0）为曲线上任一点，由 f ′（ x ）＝ 1＋ 32知，曲线在点 P （ x 0， y 0 ）处的切线方程为 y － y 0＝ 1＋ 32 （ x －x 0），x x 0即 y － x 0－ 3 ＝ 1＋ 32 （ x － x 0）．xx令 x ＝ 0 得， y ＝－ 6，从而得切线与直线 x ＝ 0 交点坐标为6.x 00，－ x 0令 y ＝ x ，得 y ＝x ＝ 2x 0，从而得切线与直线y ＝ x 的交点坐标为（ 2x 0,2x 0）．所以点 P （ x 0， y 0）处的切线与直线 x ＝ 0， y ＝ x 所围成的三角形面积为162－ x 0 |2x 0|＝ 6.故曲线 y＝ f（ x）上任一点处的切线与直线x＝0 和直线 y＝ x 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6.12．设函数 f (x) x2e x xe x．（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）若当 x[ 2,2]时，不等式 f (x) m 恒成立，求实数 m 的取值范围．解（ 1）函数 f（ x）的定义域为（－∞，＋∞），f′（ x）＝ 2x＋e x－（ e x＋ xe x）＝ x（ 2－e x），x(,0)0(0,ln 2)ln2(ln 2, )f '(x)-0+0-f (x)递减极小递增极大递减所以，递增区间为(0,ln2) ，递减区间为 (,0) 和 (ln 2,) ．（2）由（ 1）可知x2(2,0)0(0,ln 2)ln2(ln 2,2)2f '( x)-0+0-f ( x)递减极小递增极大递减因为， f (0) 1， f (2)4e22e2 4 e21所以， f (x)min f (2)4e2故 m 4 e2．。
2024高考数学习题 导数的概念及运算训练册
考点 导数的运算及几何意义目 录综合基础练综合拔高练2024高考数学习题 导数的概念及运算训练册考点 导数的运算及几何意义B1.(2020课标Ⅰ理,6,5分,易)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为 ( )A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+12.(2019课标Ⅲ,文7,理5,5分,易)已知曲线y=a e x+x ln x在点(1,a e)处的切线方程为y=2x+b,D则 ( )A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1D3.(2021新高考Ⅰ,7,5分,中)若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线,则 ( )A.e b<aB.e a<bC.0<a<e bD.0<b<e a4.(2020课标Ⅲ理,10,5分,易)若直线l 与曲线y = 和圆x 2+y 2= 都相切,则l 的方程为 ( )A.y =2x +1 B.y =2x + C.y = x +1D.y = x + x 1512121212D5.(2021全国甲理,13,5分,易)曲线y = 在点(-1,-3)处的切线方程为 .212x x -+答案y =5x +2x6.(2019天津文,11,5分,易)曲线y=cos x- 在点(0,1)处的切线方程为 .2答案x+2y-2=07.(2018天津文,10,5分,易)已知函数f(x)=e x·ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为 .答案 e8.(2022新高考Ⅱ,14,5分,中)曲线y =ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为 , .答案 y = x ;y =- x (不分先后)1e 1e9.(2022新高考Ⅰ,15,5分,中)若曲线y=(x+a)·e x有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .答案 (-∞,-4)∪(0,+∞)10.(2021新高考Ⅱ,16,5分,中)已知函数f (x )=|e x -1|,x 1<0,x 2>0,函数f (x )的图象在点A (x 1,f (x 1))和点B (x 2, f (x 2))处的两条切线互相垂直,且分别交y 轴于M ,N 两点,则 的取值范围是 .||||AM BN 答案 (0,1)11.(2022全国甲,20,12分,中)已知函数f (x )=x 3-x ,g (x )=x 2+a ,曲线y =f (x )在点(x 1, f (x 1))处的切线也是曲线y =g (x )的切线.(1)若x 1=-1,求a ;(2)求a 的取值范围.解析 解法一:由题意可知f '(x )=3x 2-1, f (x 1)= -x 1,则曲线y =f (x )在点(x 1, f (x 1))处的切线方程为y -( -x 1)=(3 -1)(x -x 1),即y =(3 -1)x -2 ①.因为曲线y =f (x )在点(x 1, f (x 1))处的切线也是曲线y =g (x )的切线,所以 有且仅有一组解,31x 31x 21x 21x 31x 23112(31)2,y x x x y x a ⎧=--⎨=+⎩即方程x 2-(3 -1)x +2 +a =0有两个相等的实数根,从而Δ=(3 -1)2-4(2 +a )=0⇔4a =9 -8 -6 +1.(1)若x 1=-1,则4a =12⇔a =3.(2)4a =9 -8 -6 +1,21x 31x 21x 31x 41x 31x 21x 41x 31x 21x 令h (x )=9x 4-8x 3-6x 2+1,则h '(x )=36x 3-24x 2-12x =12x (x -1)(3x +1),令h '(x )>0,得- <x <0或x >1,令h '(x )<0,得x <- 或0<x <1,所以h (x )在 和(1,+∞)上单调递增,在 和(0,1)上单调递减,又h (1)=-4,h = ,所以h (x )≥-4,所以a ≥-1.解法二:由题意可知f '(x )=3x 2-1, f (x 1)= -x 1,则曲线y =f (x )在点(x 1, f (x 1))处的切线方程为y -( -x 1)=(3 -1)·(x -x 1),即y =(3 -1)x -2 ①,13131,03⎛⎫- ⎪⎝⎭1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭13⎛⎫- ⎪⎝⎭202731x 31x 21x 21x 31x设公切线与曲线y =g (x )的切点为(x 2, +a ),又g '(x 2)=2x 2,则切线可表示为y -( +a )=2x 2(x -x 2),即y =2x 2x - +a ②,因为①②表示同一直线方程,所以 22x 22x 22x 2123212312,2,x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩则(3 -1)2-8 =4a ⇔4a =9 -8 -6 +1.下面同解法一.21x 31x 41x 31x 21x1.(2024届江苏苏州中学月考,4)已知函数f (x )=x 4-3x ,则 =( )A.-2 B.2 C.2e D.-2e 0lim x ∆→f (12x)f (1)x ΔΔ--A2.(2024届陕西榆林中学期中,3)下列求导运算正确的是 ( )A. '=1+ B.(log 2x )'= C.(3x )'=3x ·log 3eD. '= 1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭21x 1ln 2x 2e x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭22e x x x +B3.(2023湖南长沙长郡中学月考,3)已知函数y=f(x)的图象在点P(3, f(3))处的切线方程是y=-2x+7,则f(3)-f '(3)= ( )DA.-2B.2C.-3D.34.(2024届江苏苏州联考期中,3)设f '(x0)为函数f(x)在x0处的导数,则满足f '(1)<f '(2)<f '(3)D的函数f(x)的图象可能是 ( )5.(2023山东济南模拟,3)已知函数f (x )的导函数为f '(x ),且满足f (x )=2xf '(e)+ln x (e 为自然对数的底数),则f '(e)等于 ( )A. B.1C.- D.-11e 1e C6.(2023江苏无锡中学测试,3)已知函数f(x)与g(x)的部分图象如图所示,则 ( )BA.g'(-1)<0<f '(-1)B.0<f '(-1)<g'(-1)C. f '(-1)<0<g'(-1)D. f '(3)>g '(3)7.(2023山东潍坊三模,6)若P 为函数f (x )= e x - x 图象上的一个动点,以P 为切点作曲线y =f (x )的切线,则切线倾斜角的取值范围是 ( )A. B. C. D. ∪ 12320,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭2,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭D8.(多选)(2024届山东菏泽模拟,9)若曲线f(x)=x sin x-1在x=π处的切线与直线ax+2y+1=0BCD互相垂直,则 ( )A. f '(x)=sin x-x cos xB. f '(x)=sin x+x cos xC. f '(π)=-πD.a=- 29.(2024届湖南湘潭期末,13)已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单t位:min)的函数关系可近似表示为y = ,则在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min.答案 1410.(2023天津南开中学模拟,10)已知f '(x)是函数f(x)的导函数,若f(x)=f '(1)ln(x+1)+e x,则f '(0)= .答案 2e+111.(2024届湖南雅礼中学模拟,13)已知曲线y=x2-ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a +2)x+1也相切,则a= .答案 11.(2024届江西联考期中,6)若函数f (x )=cos ωx +a ln|x |+bx 2+c 满足f ' = ,则f ' = ( )A. B.- C. D.- 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭2π2π⎛⎫- ⎪⎝⎭2π2π2π2πB2.(2024届江苏南京一中模拟,6)已知a = ,b =log 23,c =e 2,设曲线y =ln x 3-x 3在x =k ,k >0处的切线斜率为f (k ),则 ( )A. f (c )<f (b )<f (a ) B. f (a )<f (c )<f (b )C. f (c )<f (a )<f (b )D. f (a )<f (b )<f (c )2A3.(2023江西赣抚吉十一校联考,11)若函数f (x )=3x + -3(x >0)的图象与函数g (x )=tx e x 的图象有公切线l ,且直线l 与直线y =- x +2互相垂直,则实数t = ( )A. B.e 2C. 或2 D. 或4 1x121e 1e e 1e e D4.(多选)(2024届湖北武汉校考,9)下列求函数的导数正确的是 ( )A.[ln(2x +1)]'= B.(e 5x -4)'=e 5x -4C.( )'= D. '=-2sin 221x +21x -121x -cos 23x π⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ACD5.(多选)(2023山东滨州模拟,10)若曲线y=(x+a)e2x(e为自然对数的底数)有两条过坐标原点的切线,则a的取值可以是 ( )ADA.-3B.-2C.0D.16.(多选)(2024届江西九江模拟,9)可能把直线y = x +m 作为切线的曲线是 ( )A.y =- B.y =cos xC.y =ln xD.y =e x 321x ACD7.(多选)(2023安徽滁州模拟,9)已知曲线y=f(x)在(0,0)处的切线与曲线y=xf(x)在(2,6)处ACD的切线重合,则 ( )A. f(2)=3B. f '(2)=3C. f '(0)=3D.曲线y=f(x)在(2,3)处的切线方程为y=38.(2024届江苏镇江期中,16)已知函数f(x)=e x的图象与直线y=kx+2k相切,则k= .答案 1e9.(2024届江苏南京外国语中学期末,15)若直线y=kx+b是曲线y=e x-1和y=e x-1的公切线,则实数b的值是 .答案 010.(2024届湖南衡阳八中月考,11)已知a ,b 为正实数,直线y =x -2a 与曲线y =ln(x +b )相切,则 + 的最小值是 .1a 2b答案 811.(2024届广东广州期末,15)已知函数f (x )在R 上满足2f (x )=f (2-x )+x 2+4x -4- ,则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线方程是 .sin x ππ答案 7x -3y -4=012.(2024届山东济南莱芜一中期中,14)若点P是曲线y=ln x-x2上任意一点,则点P到直线l:x+y-4=0距离的最小值为 .答案 2 2。
高三数学第17练导数的概念及其运算练习
高三数学第17练导数的概念及其运算练习一、选择题1．若函数y＝f(x)在x＝a处的导数为A，则li为()A．A B．2AC. D．02．(2016·云南统一检测)函数f(x)＝在点(1，－2)处的切线方程为()A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝03．曲线y＝axcosx＋16在x＝处的切线与直线y＝x＋1平行，则实数a的值为()A．－ B.2πC. D．－π24．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于()A. B．－23C. D ．－或53 5．(2016·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x3－x ＋上的任意一点，则P 点处切线倾斜角α的取值范围为()A.∪B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC.∪D.⎝⎛⎦⎥⎤π2，5π6 6．(2016·昆明模拟)设f0(x)＝sin x ，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn ＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 015(x)等于()A ．sin xB ．－sin xC ．cosxD ．－cosx7．(2017·长沙调研)曲线y ＝x3＋x 在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.B.19C.D.23 8．若函数f(x)＝cosx ＋2xf′，则f 与f 的大小关系是()A ．f ＝fB ．f>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C ．f<fD ．不确定 二、填空题9．(2016·太原一模)函数f(x)＝xex 的图象在点(1，f(1))处的切线方程是____________．10．已知函数f(x)＝－f′(0)ex＋2x ，点P 为曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线l 上的一点，点Q 在曲线y ＝ex 上，则|PQ|的最小值为________．。
导数的概念及运算(试题部分)
D
【五年高考】
考点一
导数的概念及几何意义
1.(2019 课标Ⅲ,6,5 分)已知曲线 y=aex+xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则(
A.a=e,b=-1
B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1
D.a=e-1,b=-1
答案
)
D
2.(2018 课标Ⅰ,5,5 分)设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(
1.(2020 届九师联盟 9 月质量检测,4)函数 f(x)=(x-1)ln(x-1)的图象在点(2,0)处的切线方程为(
A.y=x-2
B.y=2x-4
C.y=-x+2
答案
D.y=-2x+4
A
1
2.(2020 届山西省实验中学第一次月考,9)若函数 f(x)满足 f(x)= x3-f '(1)·x2-x,则 f '(1)的值为(
ABD
三、填空题(每题 5 分,共 20 分)
12.(2020 届北京师范大学附中摸底,11)函数 f(x)=
答案பைடு நூலகம்
ln
的图象在点(1, f(1))处的切线方程为
+1
x-2y-1=0
6/7
.
13.(2020 届山东百师联盟开学摸底大联考,15)设函数 f(x)=x3+ax2+(a+2)x.若 f(x)的图象关于原点(0,0)对称,则曲线
方程为
.
e
答案
;x-2ey+e2=0
2
考点二
3-1导数的概念及运算高三数学综合练习有答案最全面(精华版)
第三章导数及其应用第1 讲导数的概念及运算基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一，填空题1．设y＝x2e x，就y′＝.解析y′＝2xe x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.答案(2x＋x2)e x2. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满意f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，就f′(1)＝.|精. |品. |可. |编. |辑. |资. |料.1解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1) ＋x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，就f′(1)＝－1.答案－13. 曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是．解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x －y＋1＝0.答案2x－y＋1＝04．(2021 ·苏州调研)已知曲线y＝ln x 的切线过原点，就此切线的斜率为．1解析y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y′＝x，设切点为(x0，ln x0)，就y′|x ＝x0＝1，切线方程为y－ln x0＝1(x－x0)，由于切线过点(0,0)，所以－ln x0 x x01＝－1，解得x0 ＝e，故此切线的斜率为e.1答案e5．如曲线y＝ax2－ln x 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，就a＝.1解析由于y′＝2ax－x，所以y′|x＝1＝2a－1.由于曲线在点(1，a)处的切1线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝2.1答案26．(2021 ·南师附中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2 是曲线y＝f(x)在x＝3 处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，就g′(3)＝.|精.|品.|可.|编.|辑. |资. |料.解析由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－13，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.答案07．(2021 ·苏北四市模拟)设曲线y＝1＋cos xsin x在点π2，1 处的切线与直线x－ay＋1 ＝0 平行，就实数a＝.解析∵y′＝1－1－cos xsin2 x ，∴由条件知a＝－1，∴a＝－1.答案－18．(2021 ·全国Ⅱ卷)如直线y＝kx＋b 是曲线y＝ln x＋2 的切线，也是曲线y＝ln(x ＋1)的切线，就b＝.解析y＝ln x＋2 的切线为：y＝1·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)．x1y＝ln( x＋1)的切线为：y＝1x＋ln(x2＋1)－x2(设切点横坐标为x2)．1＝1，x2＋1 x2＋1x1 ∴ln x x2 ＋1＋1＝ln x x2＋1 －，1 2x2＋11 1解得x1＝2，x2 ＝－2，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.答案1－ln 2二，解答题19. 已知点M 是曲线y＝3－2x2＋3x＋1 上任意一点，曲线在M 处的切线为l，3x求：|精. |品. |可. |编. |辑. |资. |料.(1) 斜率最小的切线方程；(2) 切线l 的倾斜角α的取值范畴．解(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，所以当x＝2 时，y′＝－1，y5＝3，5所以斜率最小的切线过点2，3 ，斜率k＝－1，所以切线方程为3x＋3y－11＝0. (2)由(1)得k≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈0，π3π.2∪4，π10. 已知曲线y＝x3＋x－2 在点P0 处的切线l 1 平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1) 求P0 的坐标；(2) 如直线l⊥l1 ，且l 也过切点P0，求直线l 的方程．解(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.当x＝1 时，y＝0；当x＝－1 时，y＝－4.又∵点P0 在第三象限，∴切点P0 的坐标为(－1，－4)．4 4. (2)∵直线 l ⊥l 1 ，l 1 的斜率为 4，∴直线 l 的斜率为－ 1 ∵l 过切点 P 0，点 P 0 的坐标为 (－1，－ 4)，∴直线 l 的方程为 y ＋ 4＝－ 1(x ＋1)，即 x ＋ 4y ＋17＝0. 才能提升题组 (建议用时： 20 分钟) 11．(2021 ·山东卷改编 )如函数 y ＝f (x)的图象上存在两点， 使得函数的图象在这两 |精.|品.|可.|编.|辑.|资.|料. 点处的切线相互垂直，就称 y ＝f (x)具有 T 性质，以下函数： ① y ＝sin x ；② y ＝ln x ；③ y ＝e x ；④y ＝x 3. 其中具有 T 性质的是 (填序号 )． 解析 如 y ＝ f(x)的图象上存在两点 (x 1， f(x 1 ))， (x 2， f(x 2))，使得函数图象在这两点处的切线相互垂直，就 f ′(x 1) ·f ′(x 2 )＝－ 1.对于①： y ′＝cos x ，如有 cos x 1 ·cos x 2＝－ 1，就当 x 1＝2k π，x 2＝ 2k π＋πk ( ∈Z)时，结论成立；1 1 1对于②： y ′＝x ，如有x 1·x 2＝－ 1，即 x 1x 2＝－ 1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在 x 1， x 2，使得 x 1x 2＝－ 1；对于③： y ′＝ e x ，如有 e x1·e x2＝－ 1，即 e x1＋x2＝－ 1.明显不存在这样的 x 1， x 2；2 2 2 2 2对于④： y ′＝ 3x ，如有 3x 1·3x 2＝－ 1，即 9x 1x 2＝－ 1，明显不存在这样的 x 1， x 2.答案 ①12．(2021 ·合肥模拟改编 )点 P 是曲线 x 2－y － ln x ＝0 上的任意一点， 就点 P 到直线 y ＝ x － 2 的最小距离为 ．＋ ， 2 解析 点 P 是曲线 y ＝ x 2－ln x 上任意一点， 当过点 P 的切线和直线 y ＝ x － 2 平行时，点 P 到直线 y ＝x －2 的距离最小，直线 y ＝x －2 的斜率为 1，令 y ＝x 2－ln x ，1 1 得 y ′ ＝2x － x ＝ 1，解得 x ＝1 或 x ＝－ 2(舍去)， 故曲线 y ＝x 2－ ln x 上和直线 y ＝x －2 平行的切线经过的切点坐标为 (1,1)， 点(1,1)到直线 y ＝x －2 的距离等于 2， ∴点P 到直线 y ＝x －2 的最小距离为 2. |精.答案 2 13. 如函数 f(x)＝1 2－ax ＋ln x 存在垂直于 y 轴的切线，就实数 a 的取值范畴是 |品.x |可.|编.|辑.|资.|料. 解析 ∵f(x)＝ 1 2－ax ＋ ln x ，2x1 ∴f ′(x)＝ x －a ＋ x (x>0)．∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线，∴f ′(x)存在零点，1 1即 x ＋ x － a ＝ 0 有解，∴a ＝ x ＋x ≥2(当且仅当 x ＝1 时取等号 )． 答案 [2，＋∞ )214. 已知函数 f(x)＝ x － x ， g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．如曲线 y ＝f(x)与曲线 y ＝ g(x) 在 x ＝ 1 处的切线斜率相同， 求 a 的值，并判定两条切线是否为同一条直线． 解 依据题意有 f ′(x) ＝1 2 g ′(x)＝－ a x 2 x .曲线 y ＝f(x)在 x ＝1 处的切线斜率为 f ′ (1)＝3，曲线 y ＝g(x)在 x ＝ 1 处的切线斜率为 g ′(1)＝－ a ，所以 f ′(1)＝ g ′ (1)，即 a ＝－ 3.曲线 y ＝f(x)在 x ＝1 处的切线方程为 y － f(1)＝3(x －1)． ．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1 处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.|精.|品.|可.|编.|辑.|资.|料.。
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导数的概念及其运算第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、函数21()ln 2f x x x =-,则()f x 的导函数'()f x 的奇偶性是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2、若0()2f x '=,则=--→kx f k x f k 2)()(lim000( )A.0B. 1C. —1D.23、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则l 的方程为( ) A.034=--y x B.034=-+y x C.034=+-y x D.034=++y x4、曲线423+-=x x y 在点)3,1(处的切线的倾斜角为( ) A.︒30 B.︒45 C.︒60 D.︒1205、设))(()(,),()(),()(,sin )(112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+ ,则2010()f x =( )A.x sinB. x sin -C.cos x -D.cos x6、曲线)12ln(-=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离是( ) A.5 B.52 C.53 D.07、已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩ 若'()1f a =,则a =( )A.2log e 或22log (log )eB.ln 2C.2log eD.2或22log (log )e 8、下列结论不正确的是( )A.若3y =,则0y '=B.若3y x =,则1|3x y ='=C.若y =则y '= D.若y =,则y '=9、已知函数3()f x x =的切线的斜率等于3,则切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定10、已知点P(1,2)是曲线22y x =上一点,则P 处的瞬时变化率为( ) A.2 B.4 C.6 D.21 11、曲线n y x =在2x =处的导数为12,则n =( ) A.1 B.2 C.3 D.412、设a ∈R ,函数()e e x x f x a -=+⋅的导函数是()f x ',且()f x '是奇函数.若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为 ( ) A.ln 2 B.ln 2- C.ln 22 D.ln 22-第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、已知2()2(1)f x x x f '=+⋅,则=')0(f ________ 14、直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线,则实数=b _________ 15、已知曲线12-=x y 在0x x =点处的切线与曲线31x y -=在0x x =处的切线互相平行,则0x 的值为____________16、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)()(2>-'xx f x f x (0)x >,则不等式()0f x >的解集是 .三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)已知函数))(2ln(2)(2R a x ax x f ∈-+=,设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线为l ,若l 与圆41:22=+y x C 相切,求a 的值.18、(12分)设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<,且()()f x f x '+为奇函数. (1)求ϕ的值;(2)求()'()f x f x +的最值.19、(12分)如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行,求切点坐标与切线方程.20、(12分)已知函数d cx bx x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P ,且在点))1(,1(--f M 处的切线方程为076=+-y x ,求函数)(x f y =解析式.21、(12分)设函数xbax x f -=)(,曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为 01247=--y x .(1)求)(x f y =的解析式(2)证明:曲线)(x f y =上任一点处的切线与直线0=x 和直线x y =所围成的三角形面积为定值,并求此定值.22、(14分)已知关于x 的方程sin ((0,1))xk k x=∈在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,从小到大依次为1234,,,x x x x .(1)求证:44tan x x =;(2)是否存在常数k ,使得234,,x x x 成等差数列?若存在求出k 的值,否则说明理由.参考答案一、选择题1.D ()f x 的定义域为(0,)+∞,不关于原点对称.2.C 原式=00001[()]()1lim ()12()2k f x k f x f x k -→+--'-=-=--. 3.A 与直线084=-+y x 垂直的直线l 为04=+-m y x ,即4x y =在某一点的导数为4,而34x y =',所以4x y =在)1,1(处导数为4,过此点的切线为034=+-y x .故选A4.B 232-='x y ,1=∴k ,倾斜角为︒455.D 1()cos f x x =,2()sin f x x =-,3()cos f x x =-,4()sin f x x =,201050242=⨯+, ∴2010()f x =1()cos f x x =.6.A 由曲线得221y x '=-,设直线20x y c -+=与曲线切于点00(,)P x y ,则02221x =-,∴01x =,00ln(21)0y x =-=,得(1,0)P ,所求的最短距离为d ==.7.C 当0a >时,21'()1log ln 2f a a e a ==⇒=; 当0a ≤时,'()2ln 21a f a ==,而021,0ln 21a <≤<<,矛盾! 8.D9.B 33)(2=='x x f ,解得1±=x ,故有两个切点)1,1(和)1,1(--,所以有两条切线 10.B 4411=='==x x x y 11.C 3,431221212=∴⨯==⋅=⋅='-=-=n n x n y n x n x12.A'()x x f x e ae -=-,()f x '是奇函数'(0)10f a =-=,∴1a =,有'()x x f x e e -=-,设切点为00(,)x y ,则0003'()2x x f x e e -=-=,得02x e =或012x e =-(舍去),∴0ln 2x =.二、填空题13.—4 ()22(1)(1)22(1)f x x f f f ''''=+⇒=+,∴(1)2f '=-,有2()4f x x x =-,()24f x x '=-,∴(0)4f '=-.14.12ln - x y 1=',令211=x 得2=x ,故切点为)2ln ,2(,代入直线方程,得b +⨯=2212ln ,所以12ln -=b 15.00x =或023x =- 212,y x y x '=-⇒=3213y x y x '=-⇒=-,∴20023x x =-,解得00x =或023x =-.16.),1()0,1(+∞- 可得()'()f x f x x>,由导数的定义得,当01x <<时,()(1)()1f x f f x x x ->-,又0)1(=f ,()(1)()xf x x f x <-,∴()0f x <;当1x >时, 同理得()0f x <.又)(x f 是奇函数,画出它的图象得()0f x >⇒(1,0)(1,)x ∈-+∞. 三、解答题17.解:依题意有:)2(222)(,)1(<-+='=x x ax x f a f , l ∴的方程为02)1(2=-+--a y x al 与圆相切,811211)1(4|2|2=⇒=+--∴a a a ∴a 的值为118.18.解:(1)()'()f x f x +))ϕϕ=+-+5)6πϕ=++, 又0ϕ<<π,()'()f x f x +是奇函数,∴=ϕ6π.(2)由(1)得()'()f x f x +)=+π=-. ∴()'()f x f x +的最大值为2,最小值为2-. 19.解: 切线与直线34+=x y 平行, 斜率为4 又切线在点0x 的斜率为0320(10)31x x y x x x ''=+-=+∵41320=+x ,∴10±=x ,有⎩⎨⎧-==8100y x ,或⎩⎨⎧-=-=12100y x , ∴切点为)8,1(-或)12,1(--,切线方程为)1(48-=+x y 或)1(412-=+x y , 即124-=x y 或84-=x y .20.解:由f(x)的图象经过)2,0(P ,知2=d ,所以2)(23+++=cx bx x x f.23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ,知07)1(6=+---f , 即6)1(,1)1(=-'=-f f∴326121b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩,即⎩⎨⎧=--=-032c b c b ,解得3-==c b ,故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f 21.解:(1)方程01247=--y x 可化为347-=x y ,当12,2x y ==时;又2)(x b a x f +=',于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-4742122b a b a ,解得⎩⎨⎧==31b a故xx x f 3)(-= (2)证明:设),(00y x P 为曲线上任一点,由231xy +='知曲线在点),(00y x P 处的切线方程为))(31(0200x x x y y -+=-,即))(31()3(02000x x x x x y -+=-- 令0=x ,得06x y -=,从而得切线与直线0=x 的交点坐标为)6,0(0x -; 令x y =,得02x x y ==,从而得切线与直线x y =的交点坐标为)2,2(00x x ; 所以点),(00y x P 处的切线与直线0=x ,x y =所围成的三角形面积为6|2||6|2100=-x x ; 故曲线)(x f y =上任一点处的切线与直线0=x ,x y =所围成的三角形面积为定值,此定值为6.22.解:(1)由原方程得sin (0)x kx x =≠,设函数()sin f x x =,()g x kx =(0)x ≠,它们的图象如图所示:方程得sin (0)x kx x =≠在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,4x 必是函数()g x kx =与()sin f x x =5(2,)2ππ内相切时切点的横坐标,即切点为44(,sin )x x ,()g x kx =是()sin f x x =的切线.由'()cos f x x =,∴4cos k x =,又∵44sin x kx =,于是44tan x x =. (2)由题设知23x x =-,又234,,x x x 成等差数列,得3242x x x =+,∴3413x x =. 由33sin x kx =,得4411sin 33x kx =,即441sin 3sin 3x x =.由题设45(2,)2x π∈π,得425(,)336x ππ∈,∴41sin(32x ∈,有433sin (32x ∈,即43sin (2x ∈,与4sin 1x <矛盾!故不存在常数k 使得234,,x x x 成等差数列.。