《导数的概念及其计算》综合练习

导数的概念及其运算

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)

1、函数2

1()ln 2

f x x x =-

,则()f x 的导函数'()f x 的奇偶性是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2、若0()2f x '=,则=--→k

x f k x f k 2)

()(lim

000

( )

A.0

B. 1

C. —1

D.2

3、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则l 的方程为( ) A.034=--y x B.034=-+y x C.034=+-y x D.034=++y x

4、曲线423+-=x x y 在点)3,1(处的切线的倾斜角为( ) A.︒30 B.︒45 C.︒60 D.︒120

5、设))(()(,),()(),()(,sin )(112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+ ,则

2010()f x =( )

A.x sin

B. x sin -

C.cos x -

D.cos x

6、曲线)12ln(-=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离是( ) A.5 B.52 C.53 D.0

7、已知函数2log ,0,

()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩ 若'()1f a =,则a =( )

A.2log e 或22log (log )e

B.ln 2

C.2log e

D.2或22log (log )e 8、下列结论不正确的是( )

A.若3y =,则0y '=

B.若3y x =,则1|3x y ='=

C.若y =则

y '= D.若y =

,则y '=9、已知函数3()f x x =的切线的斜率等于3,则切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定

10、已知点P(1,2)是曲线22y x =上一点,则P 处的瞬时变化率为( ) A.2 B.4 C.6 D.2

1 11、曲线n y x =在2x =处的导数为12,则n =( ) A.1 B.

2 C.

3 D.4

12、设a ∈R ,函数()e e x x f x a -=+⋅的导函数是()f x ',且()f x '是奇函数.若曲线()y f x =的一条切线的斜率是

3

2

,则切点的横坐标为 ( ) A.ln 2 B.ln 2- C.ln 22 D.ln 2

2

-

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)

13、已知2()2(1)f x x x f '=+⋅,则=')0(f ________ 14、直线b x y +=

2

1

是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线,则实数=b _________ 15、已知曲线12-=x y 在0x x =点处的切线与曲线31x y -=在0x x =处的切线互相平行,则0x 的值为____________

16、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)

()(2

>-'x

x f x f x (0)x >,则不等式()0f x >的解集是 .

三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)

17、(12分)已知函数))(2ln(2)(2R a x ax x f ∈-+=,设曲线)(x f y =在点

))1(,1(f 处的切线为l ,若l 与圆4

1

:22=

+y x C 相切,求a 的值.

18、(12分)设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<,且()()f x f x '+为奇函数. (1)求ϕ的值;

(2)求()'()f x f x +的最值.

19、(12分)如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行,求切点坐标与切线方程.

20、(12分)已知函数d cx bx x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P ,且在点

))1(,1(--f M 处的切线方程为076=+-y x ,求函数)(x f y =解析式.

21、(12分)设函数x

b

ax x f -

=)(,曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为 01247=--y x .

(1)求)(x f y =的解析式

(2)证明:曲线)(x f y =上任一点处的切线与直线0=x 和直线x y =所围成的三角形面积为定值,并求此定值.

22、(14分)已知关于x 的方程

sin ((0,1))x

k k x

=∈在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,从小到大依次为1234,,,x x x x .

(1)求证:44tan x x =;

(2)是否存在常数k ,使得234,,x x x 成等差数列?若存在求出k 的值,否则说明理由.

参考答案

一、选择题

1.D ()f x 的定义域为(0,)+∞,不关于原点对称.

2.C 原式=00001[()]()1lim ()12()2

k f x k f x f x k -→+--'-

=-=--. 3.A 与直线084=-+y x 垂直的直线l 为04=+-m y x ,即4x y =在某一点的导数为4,而34x y =',所以4x y =在)1,1(处导数为4,过此点的切线为034=+-y x .故选A

4.B 232-='x y ,1=∴k ,倾斜角为︒45

5.D 1()cos f x x =,2()sin f x x =-,3()cos f x x =-,4()sin f x x =,201050242=⨯+, ∴2010()f x =1()cos f x x =.

6.A 由曲线得2

21

y x '=

-,设直线20x y c -+=与曲线切于点00(,)P x y ,则02221

x =-,

∴01x =,00ln(21)0y x =-=,得(1,0)P ,

所求的最短距离为d ==.

7.C 当0a >时,21

'()1log ln 2

f a a e a =

=⇒=; 当0a ≤时,'()2ln 21a f a ==,而021,0ln 21a <≤<<,矛盾! 8.D

9.B 33)(2=='x x f ,解得1±=x ,故有两个切点)1,1(和)1,1(--,所以有两条切线 10.B 4411=='==x x x y 11.C 3,4312212

12=∴⨯==⋅=⋅='-=-=n n x n y n x n x

12.A

'()x x f x e ae -=-,()f x '是奇函数'(0)10f a =-=,∴1a =,有

'()x x f x e e -=-,

设切点为00(,)x y ,则0003'()2x x f x e e -=-=

,得02x e =或01

2

x e =-(舍去),∴0ln 2x =.