2016数模选修——灰色预测与灰色关联度分析解析

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专业 1 2 0 3 1 1

5．求最值
minmin x0 (k ) xi ( k ) min(0,1,0,1,0,0) 0
i 1 k 1 n m
maxmax x0 ( k ) xi ( k ) max(7,6,5,6,6,5) 7
i 1 k 1
n
m

＝0.5 取计算，得 6．依据（12－5）式，
X 0 , X1 ,
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常用的无量纲化方法有均值化法（见（ 12 － 3 ） 式）、初值化法（见（12－4）式）和
xx s
标准化变换等．
xi k
xi k 1 xi k m k 1
m
(12 3)
xi k xi k xi 1 i 0,1,
{ x0 } {9, 9, 9, 9, 8, 9, 9}

4．计算
编号 1 2 3 4 5 6
x0 (k ) xi (k )
外语 0 1 2 1 3 0 教学 量 1 2 0 1 3 4
， 见下表
科研 2 4 3 1 0 2 论文 3 1 2 4 0 2 著作 7 6 5 6 6 5 出勤 0 1 2 3 1 1
受的方法．

基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来 判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之 间关联度就越大，反之就越小。
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应用举例
问题：对该地区总收入影响较直接的是养猪业还是养 兔业？
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14
灰色关联分析法的步骤


利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是： 1 ．根据评价目的确定评价指标体系，收集评 价数据。

客观世界中的事物往往现象复杂，因素繁多。我
们往往需要对系统进行因素分析，这些因素中哪
些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需
要发展，哪些需要抑制，哪些是潜在的，哪些是
明显的。一般来讲，这些都是我们极为关心的问 题。事实上，因素间关联性如何、关联程度如何 量化等问题是系统分析的关键和起点。
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因素分析的基本方法过去主要采取回归分析、方差
0 0.5 7 0 0.5 7 1 (1) 0.778， 1 (2) 1.000 1 0.5 7 0 0.5 7 1 (3)＝0.778， 1 (4)＝0.636， 1 (5)＝0.467， 1 (6)＝0.333
1 (7)＝1. 000，
映射 频率统计 典型分布 内涵 历史统计规律 大样本
映射 截集 隶属度可知 外延 认知表达 凭经验
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灰色系统、白色系统和黑色系统
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。 • 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的联 系来加以观测研究。 • 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知的，系统内各因素间有不确 定的关系。

x0 (1) , x0 2 , , x0 m X0
T
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3．对指标数据进行无量纲化
无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：
x0 1 x0 2 , Xn x0 m x1 2 x1 m x1 1 xn 1 xn 2 xn m
灰色系统理论及应用
灰色系统 灰色关联度分析 灰色预测
1
灰色系统理论简介

著名学者邓聚龙教授于20世纪70年代末、80年代 初提出； 诞生标志：邓教授第一篇灰色系统论文 “ The Control Problems of Grey Systems”，发表于北 荷兰出版公司期刊 System & Control Letter, 1982, No.5。
6、灰性不灭原理： “信息不完全”是绝对的。
6
灰色系统理论的主要内容

灰色系统理论经过 20 多年的发展，已基本 建立起了一门新兴学科的结构体系，其主 要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理 论体系、以灰色关联空间为依托的分析体 系、以灰色序列生成为基础的方法体系， 以灰色模型（GM）为核心的模型体系。以 系统分析、评估、建模、预测、决策、控 制、优化为主体的技术体系。

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存在的问题及解决方法
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《灰色预测与决策模型研究》 党耀国 刘思峰等著 科学出版社 本书中提及了一些其它的灰色关联度，如绝对 关联度，相对关联度等 等，并且针对各自的适 用范围进行了讨论。
所以如果是在数学建模的过程中，我们可以根 据实际的需要，确定我们的关联度的计算公式。
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生成数
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将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处理 称为生成. 客观世界尽管复杂,表述其行为的数据可能是 杂乱无章的,然而它必然是有序的,都存在着某种内 在规律,不过这些规律被纷繁复杂的现象所掩盖,人 们很难直接从原始数据中找到某种内在的规律.对原 始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现 内在规律. 常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成, 均值生成,级比生成等.
i 1 k 1 n m

两级最小差
与
max max x0 (k ) xi (k )
i 1 k 1
n
m
两级最大差
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6．计算关联系数 由（ 12 － 5 ）式，分别计算每个比较序列与参 考序列对应元素的关联系数．
min min x 0 ( k ) xi ( k ) maxmax x0 ( k ) xi ( k )
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灰色系统的应用范畴 灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： （1）灰色关联分析。 （2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预 测….等等。 （3）灰色决策。 （4）灰色预测控制。 灰色系统理论是人们认识客观系统改造客观系统 的一个新型的理论工具。
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灰色关联分析
9
一、关联分析的背景

其中 m 为指标的个数,
X i xi1 , xi2 , , xim , i 1 , 2 , , n
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2．确定参考数据列 参考数据列应该是一个理想的比较标准， 可以以各指标的最优值 （或最劣值）构 成参考数据列，也可根据评价目的选择 其它参照值．记作
7．计算关联度 对各评价对象（比较序列）分别计算其 个指标与参考序列对应元素的关联系数 的均值，以反映各评价对象与参考序列 的关联关系，并称其为关联度，记为： 1 m r0 i i ( k ) m k 1

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8．如果各指标在综合评价中所起的作用 不同，可对关联系数求加权平均值即

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灰色系统理论的研究对象 “部分信息已知, 部分信息未知”的“小样本、贫 信息”不确定性系统。 灰色系统理论的研究内容 灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预测、灰决 策、灰控制、灰评估、灰数学等。 灰色系统理论的应用领域 农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业 工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、 控制科学等。
10 1 90 60 x 1 80 60
解之得，即80%转化为7．
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4．逐个计算每个被评价对象指标序列（比较 序列）与参考序列对应元素的绝对差值 即 x0 (k ) xi (k ) （ k 1,, m i 1,, n ）n 为被评 价对象的个数）． 5．确定 min min x0 (k ) xi (k )
0.636
1.000 0.778 0.538 0.467
0.467
0.538 0.778 1.000 0.636
0.636
0.538 0.412 0.778 0.538
0.368
0.412 0.368 0.368 0.412
0.778
0.636 0.538 0.778 0.778
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7．分别计算每个人各指标关联系数的均值 （关联序）：
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三种不确定性系统研究方法的比较分析
(灰色系统理论、概率统计、模糊数学) 项目 研究对象 基础集合 灰色系统 贫信息不确定 灰色朦胧集 概率统计 随机不确定 康托集 模糊数学 认知不确定 模糊集
方法依据 途径手段 数据要求 侧重点 目标 特色
信息覆盖 灰序列算子 任意分布 内涵 现实规律 小样本
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同理得出其它各值，见下表
编号
1
i (1)
0.778
i (2)
1.000
i (3)
0.778
i (4)
0.636
i (5)
0.467
i (6) i (7)
0.333 1.000
2
3 4 5 6
0.636
1.000 0.538 0.778 0.778
0.778
0.636 0.778 0.538 1.000
r01 0.778 1.000 0.778 0.636 0.467 0.333 1.000 0.713 7
r02 0.614，r03 0.680，r04 0.599，r05 0.683，r06 0.658
8．如果不考虑各指标权重（认为各指标同 等重要），六个被评价对象由好到劣依次 为1号，5号，3号，6号，2号，4号． 即 r01 r05 r03 r06 r02 r04
i k i k
i (k )
x0 ( k ) xi ( k ) maxmax x0 ( k ) xi ( k )
i k
（ 12 5)
k 1,, m
式中为分辨系数，在（0，1）内取值，若 越小， 关联系数间差异越大，区分能力越强。通常 取0.5