图论练习题2009(学生练习)

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图论练习题

一、基本题

1、设G是由5个顶点构成的完全图,则从G中删去()边可以得到树。

A.6 B.5 C.8 D.4

2、下面哪几种图不一定是树()。

A.无回路的连通图

B.有n个结点,n-1条边的连通图

C.对每对结点间都有通路的图

D.连通但删去任意一条边则不连通的图。

3、5阶无向完全图的边数为()。

A.5 B.10 C.15 D.20

4、把平面分成x个区域,每两个区域都相邻,问x最大为()

A.6 B.4 C.5 D.3

5、设图G有n个结点,m条边,且G中每个结点的度数不是k,就是k+1,则G中度数为k的节点数是()

A.n/2 B.n(n+1) C.nk-2m D.n(k+1)-2m 6、设G=为有向图,则有()。

A.E⊆V x V B.E⊄V x V C.V x V⊂E D.V x V=E

7、图G1和G2的结点和边分别存在一一对应关系是G1和G2同构的()。

A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8、设G=为有向图,V={a,b,c,d,e,f},E={,,,,}是()。A.强连通图B.单向连通图C.弱连通图D.不连通图

9、无向图G中的边e是G的割边(桥)的充分必要条件是()。

A.e是重边B.e不是重边

C.e不包含在G的任一简单回路中D.e不包含在G的某一简单回路中

10、在有n个结点的连通图中,其边数()

A.最多有n-1条B.至少有n-1条C.最多有n条D.至少有n条

11.设无向简单图的顶点个数为n,则该图最多有()条边。

A.n-1 B.n(n-1)/2 C. n(n+1)/2 D.n2

12.要连通具有n个顶点的有向图,至少需要()条边。

A.n-l B.n C.n+l D.2n

13.n个结点的完全有向图含有边的数目()。

A.n*n B.n(n+1) C.n/2 D.n*(n-l)

14.一个有n个结点的图,最少有()个连通分量。

A.0 B.1 C.n-1 D.n

15.一个有n个结点的图,最多有()个连通分量。

A.0 B.1 C.n-1 D.n

16.在一个无向图中,所有顶点的度数之和等于所有边数()倍。

A.1/2 B.2 C.1 D.4

17.在一个有向图中,所有顶点的入度之和等于所有顶点出度之和的()倍。

A.1/2 B.2 C.1 D.4

18、连通图G是一棵树,当且仅当G中()

A.有些边不是割边B.所有边都是割边

C.无割边集D.每条边都不是割边

19.4个顶点的完全图G,其生成树个数是()。

A.4 B.8 C.16 D.64

20、设有33盏灯,拟公用一个电源,则至少需有5插头的接线板数()。

A.7 B.8 C.9 D.14

二、应用题

题1:(1996年全国数学联赛)

有n(n 6)个人聚会,已知每个人至少认识其中的[n/2]个人,而对任意的[n/2]个人,或者其中有两个人相互认识,或者余下的n-[n/2]个人中有两个人相互认识。证明这n个人中必有3个人互相认识。注:[n/2]表示不超过n/2的最大整数。

题2:已知图的结点集V={a,b,c,d}以及图G和图D的边集合分别为:

E(G)={(a,a), (a,b), (b,c), (a,c)}

E(D)={, , , , }

试作图G和图D,写出各结点的度数,回答图G、图D是简单图还是多重图?

题3:设简单连通无向图G有12条边,G中有2个1度结点,2个2度结点,3个4度结点,其余结点度数为3.求G中有多少个结点.试作一个满足该条件的简单无向图.

题4:设简单连通无向图G有9条边,G中有4个3度结点,2个1度结点,其余结点度数为2.求G中有多少个结点.

题5:两个图同构有下列必要条件:

(1)结点数相同;

(2)边数相同;

(3)度数相同的结点数相同.

但它们不是两个图同构的充分条件,下图中(a)和(b)满足上述三个条件,但这两个图并不同构,请说明理由。

题6:三名商人各带一随从乘船过河,一只小船只能容纳2人,由他们自己划行。随从们密约,在河的任一案,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人手中,商人们怎样安排每次乘船方案才能安全渡河?

题7 在平面上有n 个点S ={x 1,x 2,……,x n },其中任两个点之间的距离至少是1,证明在这n 个点中距离为1的点对数不超过3n 。

题8 n 个点由若干线段连接着。已知每一点与另外任何一点都有道路相连通。而任何两点都没有两种不同的道路。证明:线段总数为n -1。

题9:设无向图G 有12条边,已知G 中度数为3的节点个数为6个,其余结点的度数均小于3,问G 中至少有多少边?

题10:若图G 是不连通的,则G 的补图G 是连通的。

题11:当且仅当G 的一条边e 不包含在G 的回路中,e 才是G 的割边(桥)。

题12:n 个城市由k 条公路网络连接(一条公路定义为两个城市间的一条道路,它们之间不能通过任何中间城市),证明:如果有 k>2

1(n-1)(n-2) 则人们总能通过连接城市的公路在任何城市间旅行。

题13:判断下图是否能一笔画出,并说明理由。

图(a ) 图(b )

题14:构造一个欧拉图,其结点数n 与边数m 满足下列条件

(1)、n ,m 的奇偶性一样的简单图。

(2)、n ,m 的奇偶性相反的简单图。

如果不可能,请说明原因。

题15:设G 是一个具有n 个结点的简单无向图,n 3,设G 的结点表示n 个人,G 的边表示他们间的友好关系,若两个结点杯一条边连接,当且仅当对应的人是朋友。

(1)、结点的度数能做怎样的解释?

(2)、G 是连通图能做怎样的解释?

(3)、假定任意两个人合起来认识所留下的n-2个人,证明n 个人能站成一排,使得中间每个人两旁站着自己的朋友,而两端的两个人,他们每个人旁边只站着他的一个朋友。

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