图论练习题2009(学生练习)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图论练习题
一、基本题
1、设G是由5个顶点构成的完全图，则从G中删去（）边可以得到树。
A．6 B．5 C．8 D．4
2、下面哪几种图不一定是树（）。
A．无回路的连通图
B．有n个结点，n-1条边的连通图
C．对每对结点间都有通路的图
D．连通但删去任意一条边则不连通的图。
3、5阶无向完全图的边数为（）。
A．5 B．10 C．15 D．20
4、把平面分成x个区域，每两个区域都相邻，问x最大为（）
A．6 B．4 C．5 D．3
5、设图G有n个结点，m条边，且G中每个结点的度数不是k，就是k+1，则G中度数为k的节点数是（）
A．n/2 B．n(n+1) C．nk-2m D．n(k+1)-2m 6、设G=
A．E⊆V x V B．E⊄V x V C．V x V⊂E D．V x V=E
7、图G1和G2的结点和边分别存在一一对应关系是G1和G2同构的（）。
A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8、设G=
9、无向图G中的边e是G的割边（桥）的充分必要条件是（）。
A．e是重边B．e不是重边
C．e不包含在G的任一简单回路中D．e不包含在G的某一简单回路中
10、在有n个结点的连通图中，其边数（）
A．最多有n-1条B．至少有n-1条C．最多有n条D．至少有n条
11．设无向简单图的顶点个数为n，则该图最多有（）条边。
A．n-1 B．n(n-1)/2 C． n(n+1)/2 D．n2
12．要连通具有n个顶点的有向图，至少需要（）条边。
A．n-l B．n C．n+l D．2n
13．n个结点的完全有向图含有边的数目（）。
A．n*n Ｂ．n（n＋１） C．n／2 D．n*（n－l）
14．一个有n个结点的图，最少有（）个连通分量。
A．0 B．1 C．n-1 D．n
15．一个有n个结点的图，最多有（）个连通分量。
A．0 B．1 C．n-1 D．n
16．在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（）倍。
A．1/2 B．2 C．1 D．4
17．在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点出度之和的（）倍。
A．1/2 B．2 C．1 D．4
18、连通图G是一棵树，当且仅当G中（）
A．有些边不是割边B．所有边都是割边
C．无割边集D．每条边都不是割边
19．4个顶点的完全图G，其生成树个数是（）。
A．4 B．8 C．16 D．64
20、设有33盏灯，拟公用一个电源，则至少需有5插头的接线板数（）。
A．7 B．8 C．9 D．14
二、应用题
题1：（1996年全国数学联赛）
有n（n 6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n/2]个人，而对任意的[n/2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n-[n/2]个人中有两个人相互认识。证明这n个人中必有3个人互相认识。注：[n/2]表示不超过n/2的最大整数。
题2：已知图的结点集V={a,b,c,d}以及图G和图D的边集合分别为：
E(G)={(a,a), (a,b), (b,c), (a,c)}
E(D)={
试作图G和图D，写出各结点的度数，回答图G、图D是简单图还是多重图？
题3：设简单连通无向图G有12条边，G中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．
题4：设简单连通无向图G有9条边，G中有4个3度结点，2个1度结点，其余结点度数为2．求G中有多少个结点．
题5：两个图同构有下列必要条件：
（1）结点数相同；
（2）边数相同；
（3）度数相同的结点数相同.
但它们不是两个图同构的充分条件，下图中(a)和(b)满足上述三个条件，但这两个图并不同构，请说明理由。
题6：三名商人各带一随从乘船过河，一只小船只能容纳2人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一案，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人手中，商人们怎样安排每次乘船方案才能安全渡河？
题7 在平面上有n 个点S ＝{x 1,x 2,……,x n }，其中任两个点之间的距离至少是1，证明在这n 个点中距离为1的点对数不超过3n 。
题8 n 个点由若干线段连接着。已知每一点与另外任何一点都有道路相连通。而任何两点都没有两种不同的道路。证明：线段总数为n -1。
题9：设无向图G 有12条边，已知G 中度数为3的节点个数为6个，其余结点的度数均小于3，问G 中至少有多少边？
题10：若图G 是不连通的，则G 的补图G 是连通的。
题11：当且仅当G 的一条边e 不包含在G 的回路中，e 才是G 的割边（桥）。
题12：n 个城市由k 条公路网络连接（一条公路定义为两个城市间的一条道路，它们之间不能通过任何中间城市），证明：如果有 k>2
1(n-1)(n-2) 则人们总能通过连接城市的公路在任何城市间旅行。
题13：判断下图是否能一笔画出，并说明理由。
图（a ） 图（b ）
题14：构造一个欧拉图，其结点数n 与边数m 满足下列条件
（1）、n ，m 的奇偶性一样的简单图。
（2）、n ，m 的奇偶性相反的简单图。
如果不可能，请说明原因。
题15：设G 是一个具有n 个结点的简单无向图，n 3，设G 的结点表示n 个人，G 的边表示他们间的友好关系，若两个结点杯一条边连接，当且仅当对应的人是朋友。
（1）、结点的度数能做怎样的解释？
（2）、G 是连通图能做怎样的解释？
（3）、假定任意两个人合起来认识所留下的n-2个人，证明n 个人能站成一排，使得中间每个人两旁站着自己的朋友，而两端的两个人，他们每个人旁边只站着他的一个朋友。