三明二中2016-2017高三文科半期考 答案

三明二中2016-2017学年第一学期阶段（2）考试
高三文科数学答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． BCAD,CDAC,BACA
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．8
14．8 15． 62 16．）（2ln 12+
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵2
2
2cos ()a bc A b c -=+，
又根据余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，.........1 ∴2
2
2
2
2cos 2cos 2b c bc A bc A b bc c +--=++， ........2 化简得4cos 2bc A bc -=可得1
cos 2
A =-， .............4 ∵0A π<<，∴23
A π
=
..............6 （Ⅱ）∵1sin sin =+C B ，∴1)3
sin(sin =-+B B π
， (7)
∴1sin 3
cos cos 3sin sin =-+B B B π
π
， ..............8 ∴1sin 3
cos cos 3sin
=+B B π
π
，.............9 ∴1)3
sin(=+
π
B ， (10)
又∵B 为三角形内角，故6
B C π
==,所以2==c b ， (11)
所以3sin 2
1
==
∆A bc S ABC . .............12 18．（本小题满分12分）
解：(1)由题设知，a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝8，
a 4＝1
(舍去)．.............4 由a 4＝a 1q 3，得公比q ＝2，. (5)
故a n ＝a 1q n －
1＝2n －
1 (6)
(2)S n ＝
a 1
－q n
1－q
＝2n －1， (7)
又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1
S n ＋1， (9)
所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－1
2n ＋1－1 (12)
19．（本小题满分12分）
（I ）证明：由于四边形ABCD 为平行四边形，所以O 为AC 的中点； (1)
连接PO ，∵PA=PC ，∴AC ⊥PO ﹣﹣﹣2
∵平面PBD ⊥平面PAC ，又∵平面PBD∩平面PAC=PO ，AC ⊂平面PAC ，.............3 ∴AC ⊥面PBD ，. (4)
∴AC ⊥PB ﹣﹣﹣﹣﹣5
又∵PB ⊥BD ，且AC∩BD=O，AC 、BD ⊂面ABCD ，∴PB ⊥面ABCD ﹣﹣﹣﹣﹣6
（II ）解：由（I ）知AC ⊥面PBD ，所以AC ⊥BD ，可知底面ABCD 为菱形； (7)
设AB=BC=a ，又因为∠BAD=60°，所以BD=a ，
因为△PAC 为正三角形，所以﹣﹣﹣﹣﹣8
由（I ）知PB ⊥BC ，从而△PBC 为直角三角形，∴
﹣﹣﹣﹣﹣9
解得：a=1 (10)
所以、CD=1、
所以
取CD 的中点E ，连接PE ，可知PE ⊥CD ，
， (11)
所以
(12)
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意可得F 1（0，c ），F 2（0，﹣c ），
c 2=a 2﹣b 2，DF 2⊥F 1F 2，令y=c ，可得x =±
， 可得|DF 2|=
，
(1)
△F 1F 2D 的面积为S=|F 1F 2||DF 2|=2c =2，①将e=
代入①解得b=2， (2)
由e=，可得e 2
=1﹣=，可得a=2，c=2，
(3)
即有椭圆E 的方程为14
82
2
=+x y (4)
由D 的纵坐标为﹣2，抛物线的准线方程为y=﹣2，
即有抛物线C 的方程为x 2=8y ； (6)
（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），
由y=x 2
，可得y′=x ，
(7)
PA ：y ﹣y 1=x 1（x ﹣x 1），将P （t ，﹣2）代入可得﹣2﹣y 1=x 1（t ﹣x 1），
以及y 1=x 12，可得y 1=tx 1+2，
同理可得y 2=tx 2+2，
即有直线AB 的方程为y=tx+2，
(8)
将直线AB 的方程代入椭圆方程，可得（32+t 2）x 2+16tx ﹣64=0， 判别式为△=256t 2
+256（32+t 2
）＞0，
x 3+x 4=﹣
，x 3x 4=
，
(9)
即有=x 3x 4+y 3y 4=（1+）x 3x 4+（x 3+x 4）+4
==
﹣8， (11)
由点O 在圆外，可得
＞0，
即为﹣8＞0，解得﹣2＜t ＜2
． (12)
21．(本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设()()()ln 3(0)h x f x g x x ex x =-=-+>， (1)
则11
()()e h x e x x x e '=
-=--， .............2 当1
0x e <<时，()0h x '>，此时函数()h x 为增函数； (3)
当1
x e
>时，()0h x '<，此时函数()h x 为减函数．
所以max 1
()()1131h x h e
==--+=，为所求． (5)
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与函数()ln f x x =切于点00(,ln )x x ，则其斜率0
1k x =
， 故切线000
1
:ln ()l y x x x x -=
-， .............6 将点1(,)11
e A e e --代入直线l 方程得：
00011ln ()11
e
x x e x e -=---，即0011ln 10e x e x -+-=，.............7 设11()ln 1(0)e v x x x e x -=
+->，则22111()()1e e e
v x x ex x ex e --'=-=--，.............8 当01e
x e <<-时，()0v x '<，函数()v x 为增函数；
当1
e
x e >-时，()0v x '>，函数()v x 为减函数． (9)
故方程()0v x =至多有两个实根，
又(1)()0v v e ==，所以方程()0v x =的两个实根为1和e ，.............10 故(1,0),(,1)P Q e ，.............11 所以11,11k b e e
=
=--为所求.............12 22. （本小题满分10分）
解：（1）依题意曲线C 的普通方程为
19
362
2=+y x ．.............2 ∵θρθρsin ,cos ==y x ，
∴曲线C 的极坐标方程为θ
θρ2
22
sin 4cos 36
+=
． (4)
（说明：方程写成2222cos 4sin 36ρθρθ+=同样得分）
（2）由椭圆的对称性,设点,A B 的极坐标分别为），（θρ1,），（2
2π
θρ+
,其中[2
π
θ∈0，） (5)
则
12×OA OB ρρ⋅=｜｜｜｜……6分
5
72
2sin 4
9
436
cos sin 9436
3cos 16
sin 316
22222≥
+=
+=
+⋅
+=
θθ
θθ
θ
.............9 当且仅当2sin 2=1θ即4πθ=，｜｜｜｜OB OA ⋅取到最小值5
72． (10)。