八年级数学预科资料
初中数学复习(暑假预科用)
初中基础复习一分式方程1解方程：．2解方程：． 二解方程组1解方程组：2已知关于x ，y 的二元一次方程y=kx+b 的解有和．（1）求k ，b 的值．（2）当x=2时，y 的值． （3）当x 为何值时，y=3？三一元二次方程1已知关于x 的方程（2k+1）x 2－kx+3=0，当k______时，•方程为一元二次方程，• 当k______时，方程为一元一次方程，其根为______． 2关于x 方程（m+3）x27m -+（m －3）x+2=0是一元二次方程，则m 的值为________．3如果x x 12、是方程x x 2310-+=的两个根，那么1112x x +的值等于________ 4如果x x 12、是方程x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=____________。
5已知一元二次方程x x 2350--=的两根分别为x x 12、，那么x x 1222+的值是____。
6若方程（x －2）2=a －4有实数根，则a 的取值范围是________ 7用适当方法解下列方程y 2+2y-3=0 4x 2+x-5=0．B ．AC ．D ．四不等式与不等式组1把不等式x ＋2＞4的解表示在数轴上，正确的是（ ）2不等式组⎩⎨⎧>≤-62,31x x 的解集为（ ）A ．x ＞3B ．x≤4C ．3＜x ＜4D ．3＜x≤43若不等式组0,122x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则a 的取值范围是（ ）A ．1a >-B ．1a -≥C ．1a ≤D ．1a < 4关于x 的不等式组12x m x m >->+⎧⎨⎩的解集是1x >-，则m = ．5已知关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨->⎩≥，只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ．五一次函数1下列函数中，y 是x 的一次函数的是（ ） A ．y=-3x+5 B ．y=-3x 2 C ．y=1xD ．2一次函数y=kx+b 满足x=0时，y=-1；x=1时，y=1，则这个一次函数是（ •） A．y=2x+1 B ．y=-2x+1 C ．y=2x-1 D ．y=-2x-13已知函数y=（k-1）x+k 2-1，当k________时，它是一次函数，当k=_______•时，它是正比例函数． 4下列一次函数中，y 随x 值的增大而减小的（ ）A ．y=2x+1B ．y=3-4xC ．．y=（5-2）x5已知一次函数y=mx+│m+1│的图象与y 轴交于（0，3），且y 随x•值的增大而增大，则m 的值为（） A ．2 B ．-4 C ．-2或-4 D ．2或-4 6已知一次函数y=mx-（m-2）过原点，则m 的值为（ ） A ．m>2 B ．m<2 C ．m=2 D ．不能确定7如图1，该直线是某个一次函数的图象，•则此函数的解析式为_________．8如图2，线段AB 的解析式为____________． 9已知点（a ，b ）、（c ，d ）都在直线y=2x+1上，且a>c ，则b 与d 的大小关系是（ • ） A ．b>d B ．b=d C ．b<d D ．b ≥d10已知自变量为x 的一次函数y=a （x-b ）的图象经过第二、三、四象限，则（ • ） A ．a>0，b<0 B ．a<0，b>0 C ．a<0，b<0 D ．a>0，b>011如图所示的图象中，不可能是关于x 的一次函数y=mx-（m-3）的图象的是（ ）六反比例函数1若反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象一定经过点（ ）． A 、（2，－1） B 、（－21，2） C 、（－2，－1） D 、（21，2）2一次函数y ＝kx －k ，y 随x 的增大而减小，那么反比例函数y ＝xk满足（ ）．A 、当x ＞0时，y ＞0B 、在每个象限内，y 随x 的增大而减小C 、图象分布在第一、三象限D 、图象分布在第二、四象限 3若A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （－1，y 3）三点都在函数y ＝－x1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）． A 、y 1＞y 2＞y 3 B 、y 1＜y 2＜y 3 C 、y 1＝y 2＝y 3 D 、y 1＜y 3＜y 2 4如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝xk的图象交于M 、N 两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．七二次函数1当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数 2当____m =时，函数()2221m m y m m x--=+是关于x 的二次函数3若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿. 4（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；5抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小. 6将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 . 7抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有 最 值 . 8函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到. 9抛物线942++=x x y 的对称轴是 .10抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 . 11将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿. 12二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ） A 、22 B 、23 C 、32 D 、3313已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）14已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 . 15二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ） A 、0,0>∆>a B 、0,0<∆>a C 、0,0>∆<a D 、0,0<∆<a16若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（ ）A 、x ＝－3B 、x ＝－2C 、x ＝－1D 、x ＝117如图：（1） 求该抛物线的解析式；（2） 根据图象回答：当x 为何范围时，该函数值大于0.。
0126初二预科数学第二节 直角三角形(一)
0126初二预科数学第二节 直角三角形（一）【学习目标】1、 了解勾股定理及其逆定理的证明方法。
2、 结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点：勾股定理及其逆定理。
难点：结合具体例子了解逆命题的概念。
【学习过程】模块一 预习反馈一、学习准备1、直角三角形：有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。
2、边的关系：直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。
角的关系：直角三角形的两个锐角_________。
3、有两个角___________的三角形是直角三角形。
4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的________。
5、阅读教材：第2节《直角三角形》二、教材精读6、用两种不同的方法表示右图梯形的面积。
解：①S 1= （上底+下底）×高= ②S 2= 。
因为S 1= S 2，所以 。
归纳：勾股定理：直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。
7、已知：如图，在△ABC ，AB 2+AC 2=BC 2，求证：△ABC 是直角三角形。
证明：作出Rt △A ’B ’C ’，使∠A=90°，A ’B ’=AB ，A ’C ’=AC ，则B ’C ’2=_____________（勾股定理）∵AB 2+AC 2=BC 2 ，A ’B ’=AB ，A ’C ’=AC ，∴BC 2= B ’C ’2∴BC=_______∴在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∴∠A=∠A ’=90°(全等三角形的对应角相等)≌△A ’B ’C ’ (______)因此，△ABC 是直角三角形。
21归纳：1、勾股定理的逆定理：∵AB 2+AC 2=BC 2，，∴∠___=90°（△ABC 是直角三角形）2、互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的______和______分别是另一个命题的______和_______，那么这两个命题称为__________，其中一个命题称为另一个命题的__________。
八年级上预科第一讲
一：勾股定理正定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即：a2+b2＝c2）
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主 要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC 中， C 90 ，则 c2 a2 b2 ）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
A．4 B． C． D．
14．适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（ ） ①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45°； ③a=7，b=24，c=23；④∠A=38°，∠B=52°． A．1 个B．2 个C．3 个 D．4 个
3
方法三：
S梯形
1 2
(a
b)
(a
b)
，
S梯形
2SADE
S ABE
2
1 ab 2
1c 2
2
，化简
得证
三：勾股数
1
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2 b2 c2 中， a ， b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
二、勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一： 4S
S正方形EFGH
八年级上预科第二讲
11．如图 4 是一长方形公园，如果某人从 景点 A 走到 景点 C，则至少要走___ __米．
图4
图5
12．一个等腰直角三角形的面积是 8，则它的直角边长为______．
13．如图 5，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积 S1、S2、S 3 之 间的关系是______．
三、解答 题
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
课堂练习
1．下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是 Rt△的是（ ）
A、a=1.5，b=2,c=3
B、a=7,b=24,c=25
C、a=6,b=8,c=10
A、60∶13 B、5∶12
C、12∶13
1
D、60∶169
5．如果 Rt△的两直角边长分别为 n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）
A、2n
B、n+1
C、n2－1
D、n2+1
6．已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a+b=14cm，c=10cm，则 Rt△ABC 的面积是（ ）
A、24cm2
3
14．如图 6，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点 C 偏离了想要 达 到的 B 点 140 米，（即 BC=140 米），其结果是他在水中实际游了 500 米（即 AC=500 米），求该河 AB 处的宽度． 1 5．如图 7，根据图上条件，求矩形 ABCD 的面积．
16．如图 8，一艘轮船以 16 海里 /时的速度离开港口 O，向东南方向 航行，另一艘船在 同样同时同地以 12 海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口半小时分别到达 A、 B，求 A、B 两点的距离? 17． 为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在 如图 9 所示 AB 所在的直线上建一 图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点 C 和 D 处．CA⊥AB 于 A，DB⊥AB 于 B， 已知 A B=25 km，CA=15km，DB=10km，试问：阅览室 E 应建在距 A 多少㎞处，才能 使它到 C、D 两所学校的距离相等？ 18．下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③m2+n2，m2﹣n2，2mn（m，n 均为正整数，m＞n）；④a2，a2+1，a2+2．其中一定能构成直角三角形的三边长 是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 29．如图，韩彬同学从家（记作 A）出发向北偏东 30°的方向行走了 4000 米到 达超市（记作 B），然后再从超市出发向南偏东 60°的方向行走 3000 米到达卢 飞同学家（记作 C），则韩彬家到卢飞家的距离为（ ）
初二预科班数学讲义(打印稿)
复习部分一元一次方程的应用思维训练学习目标：1、巩固一元一次方程的解法2、通过列方程解数字问题，调配问题培养学生的思维能力学习重点：通过列方程解数字问题，调配问题培养学生的思维学习难点：寻找题中的数量关系学习过程：导入新课：前面我们已经体会到方程是刻画现实数量关系的重要工具，通过列方程可以帮我们解决许多的现实问题，今天我们进一步来学习一元一次方程的应用，感受方程的作用，数学的价值。
例题讲解：例1：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的新数就比原数大63，求原来的两位数。
例2：三个连续奇数的和为39，求这三个奇数。
思路点拨：例1：要弄清楚数的表示方法：一个三位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数为100c+10b+a。
设原来的两位数个位上的数为x，则十位上的数为（11-x）,则原来的两位数表示为10（11-x）+X,那么新两位数表示为(10x+11-x)所以10x+11-x-63=10(11-x)+X，解方程得x=9,则原来的两位数为29.例2：两个连续奇数，较大的比较小的大2，偶数是2n表示，奇数用2n+1或2n-1表示。
三个连续奇数设中间的奇数为（2n+1）,则另外两个为(2n+3),(2n-1),所以（2n+1）+（2n+3）+（2n-！）=39解这个方程的n= 6，那么这三个连续奇数为11，13,15.2、展示例3、例4例3：某车间有26个工人，每人平均每天可加工螺栓120个或螺母180个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓配两个螺母），应如何分配加工螺栓和螺母的工人？例4：学校组织植树的活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树的人数的2倍，应调往甲、乙处各多少人？思路点拨：例3：注意配套的比例关系，一个螺栓配两个螺母，说明为使每天加工的螺栓和螺母配套，生产的螺母的数量要是螺栓的数量的2倍。
八年级上册预科班讲义
八年级上册预科班讲义第一讲：三角形全等知识点一：1. 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等（2）全等三角形的对应角相等2. 全等三角形的判定定理：（1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为“边边边定理”符号表示为：SSS （2）两边和两边所夹的角对应相等的两个三角形全等，简记为“边角边定理”符号表示为：SAS（3）两角和两角所夹的边对应相等的两个三角形全等，简记为“角边角定理”符号表示为：ASA（4）两角和其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等，简记为“角角边定理”符号表示为：AAS（5）直角三角形全等的判定定理：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等，简记为：斜边直角边定理符号表示为：HL定理练习1、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。
求证：BF=CF练习2、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
FDC BAMFEC BA练习3、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。
求证：AF=DE 。
练习4、已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。
练习5、已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB =5 ,求AD的长度FE D C BAC练习6、如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
求证：MB=MC练习7、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF练习8、如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．BC MFEA EB MCFD BEC FA练习9、如图所示，已知，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD ，求证：B E ⊥AC知识点二角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线的判定定理： 到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上练习1、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
2020暑假八年级数学竞赛班预科资料
目录本资料共分四个模块：分别讲述完八年级上册内容与八年级下册前两章，为秋季的学习打下预科基础。
模块一：第一讲整式的乘法第二讲乘法公式第三讲整式的除法与提公因式法第四讲因式分解第五讲数学竞赛中的因式分解应用模块二：第六，七讲分式的运算与分式方程模块三：第八讲变量与函数第九讲正比例函数与一次函数第十讲用函数的观点看方程与不等式模块四：第十一讲勾股定理第十二讲勾股定理的逆定理第十三讲考试与总复习第十四，十五讲全等三角形与一次函数提高练习第一讲 整式的乘法一、课标要求（学习本章节需要达到的目的）1、掌握同底数幂的乘法；2、幂的乘方；3、积的乘方；4、整式的乘法法则及运算规律.教学重点：同底数幂的乘法及幂的乘方、积的乘方运算. 教学难点：整式的乘法. 二、知识疏理知识点1：同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
nm n m a a a +=⋅(m, n 都是正整数)。
例1：计算。
(1)4322⨯ (2)251010⨯(3)54x x ⋅知识点2：幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。
mnn m a a =)((m, n 都是正整数)注意：nm n m a a ≠)(例2：计算。
(1)(32)3(2)(a m )2(3)―(x m )5(4)(a 2)3·a 5知识点3：积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab )n ＝a n b n(n 为正整数)例3：计算。
(1)(ab )4(2)322)(y x -(3))()(2352xy x -⋅(4)322)(ab (5)22110⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛10知识点4：单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例4：计算：知识点5：单项式与多项式相乘的乘法法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
八年级数学下册预科辅导全册资料
(3)
x 1 y 1z 1
5 4 9
2
2 3
例 7.计算 (1) 3a b
2 3
2a b
3 2
6 3 (2) 2a 3a
2a
2
2 3
题型四 利用幂运算求值
例 8 .(1)若 a 0 ， 且a 2， 则a a 3，
例 2 计算 (1) m m
5 11
C. a 6 C. x 3 x m1
(3) (b) (b) (b)
2 3 5
D. a 5 D. x 3m x 3
(4) (b 2)
n 1
(2) a a a
2
5
(2 b) 2 n（ n 为正整数）
例 3.(1) 2 2015 2 2014 的值(
68
51
16
200
3300 的解,则 n 取最小整数的值为_____
版块二
课堂笔记Байду номын сангаас
整式乘法
单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式出现的 字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘多项式:单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 多项式乘多项式;多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式每一项， 再把所得的积相加.
胡说数学系列之初二上预科 大智工作室数学教材研发中心胡路忠１５１１６１５６９４４
第一讲
版块一
课堂笔记
m n
整式乘法
幂运算
同底数幂的乘法:一般地，我们有： a a =_____________（ m、n 为正整数）即:同底数幂相乘，底数不变 当幂的底数为 1 和 a 时，有以下变形:
初二数学预科班课件3
3：如图所示，一块长方形绿地，绿地宽AB为30米， 长AD为50米，绿地中间开辟两条宽度，每条道路宽为 10米，计算道路和绿地部分的面积。
A D
B
C
3：如图所示，一块长方形绿地，绿地宽AB为30米， 长AD为50米，绿地中间开辟三条宽度，每条道路宽为 10米，计算道路和绿地部分的面积。
A D
B
C
A D
B
C
3：如图所示，一块长方形绿地，绿地宽AB为30米， 长AD为50米，绿地中间开辟两条道路，每条道路的宽 为10米，计算绿地部分的面积。
A D
B
C
3：如图所示，一块长方形绿地，绿地宽AB为30米， 长AD为50米，绿地中间开辟两条互相垂直道路，每条 道路的宽为10米，计算道路和绿地部分的面积。
例4:如图，a∥b∥c，直线AC分别交直线a、b、c于 点A、B、C，若a、b之间的距离等于b、c之间的距离， 请问AB与BC会相等吗，说明理由。
A B C
a b c
例4:如图，直线AD∥BC，AB∥CD，利用“平行线 之间的距离处处相等”证明AB=CD。
A D
B M
C
N
这个证明可以概括为：平行线之间的平行线段相等。
平行线之间的距离
王凯
现在刚刚下课，吴昊和米拉两位小朋友非常兴奋的回 家，他们都要去马路对面坐222路公交车，米拉走前门 出的学校，吴昊挤不过别人，走的侧门出学校，他们 同时走到了马路边上，准备过马路，请问，在不犯二 的情况下，他们过马路走过的路是一样的吗？
公交车站 米拉 吴昊 马路 学校
马路
我们来看下面一个问题：两条直线a,b平行，在直线a上 找两点A、D，过点A和点D作直线b的垂线分别交于点 B、C，试猜想AB和CD的关系。
初二预科班数学讲义(打印稿)
复习部分一元一次方程的应用思维训练学习目标：1、巩固一元一次方程的解法2、通过列方程解数字问题，调配问题培养学生的思维能力学习重点：通过列方程解数字问题，调配问题培养学生的思维学习难点：寻找题中的数量关系学习过程：导入新课：前面我们已经体会到方程是刻画现实数量关系的重要工具，通过列方程可以帮我们解决许多的现实问题，今天我们进一步来学习一元一次方程的应用，感受方程的作用，数学的价值。
例题讲解：例1：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的新数就比原数大63，求原来的两位数。
例2：三个连续奇数的和为39，求这三个奇数。
思路点拨：例1：要弄清楚数的表示方法：一个三位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数为100c+10b+a。
设原来的两位数个位上的数为x，则十位上的数为（11-x）,则原来的两位数表示为10（11-x）+X,那么新两位数表示为(10x+11-x)所以10x+11-x-63=10(11-x)+X，解方程得x=9,则原来的两位数为29.例2：两个连续奇数，较大的比较小的大2，偶数是2n表示，奇数用2n+1或2n-1表示。
三个连续奇数设中间的奇数为（2n+1）,则另外两个为(2n+3),(2n-1),所以（2n+1）+（2n+3）+（2n-！）=39解这个方程的n= 6，那么这三个连续奇数为11，13,15.2、展示例3、例4例3：某车间有26个工人，每人平均每天可加工螺栓120个或螺母180个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓配两个螺母），应如何分配加工螺栓和螺母的工人？例4：学校组织植树的活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树的人数的2倍，应调往甲、乙处各多少人？思路点拨：例3：注意配套的比例关系，一个螺栓配两个螺母，说明为使每天加工的螺栓和螺母配套，生产的螺母的数量要是螺栓的数量的2倍。
暑期班初二数学预科第2讲
年春船山英文学校期中）方程组 xx
y y
2 4
的解是（
）
x 1
A．
y
3
x 3
B．
y
1
x 2 C．y 2
x 2
D．
y
0
变式练习：
1、（2017
年春夏明翰中学期中）方程组 xx
y y
3 1
的解为（
）
A．
x
y
1 2
B．
x y
1 3
C．xy
1 3
D．
x
y
1 3
x y 8 2、（2016 年春夏明翰中学期中）已知三元一次方程组y z 6 ，则x y z （ ）
第
二讲ຫໍສະໝຸດ 第二讲：二元一次方程组学习目标
课前测
1、（2016 春夏明翰中学期中）在 2x-3y=5，3x-y+2z=0，2x=4，5x-y>0 中是二元一次方程的有（
A．1
B．2
C．3
D．4
2、（2017
年春衡阳市逸夫中学第一次月考）已知
x y
m n
，满足方程组 2x x2
y y
5 7
，则
m
n
的值
_______________． 变式练习： 1．（2017 春宜宾县校级期中）二元一次方程 2x+y=5 的正整数解有（ ）
A．一组 B．2 组 C．3 组 D．无数组
2．（2017 春海宁市校级月考）二元一次方程 3a+b=9 的正整数解有（ ） A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组
二、知识回顾
二、知识回顾
二、例题辨析
【考点 1、二元一次方程及二元一次方程组的定义】
八年级预科班数学资料
八年级数学暑假预科资料学习目标：了解数的算术平方根及平方根的概念，并会用符号表示；理解平方与开方之间是互为逆运算的关系，会用计算器求一些正数的算术平方根重点：了解数的算术平方根及平方根的概念，会求某些非负数的平方根，会用根号表示一个数的平方根难点：是非负数以及被开方数a是非负数；正确区分算术平方根与平方根第1课时一.创设情景，导入新课请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为252dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？如果这块画布的面积是212dm？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（引入新课）二.合作交流，归纳概念：讨论：1、什么样的运算是平方运算？2、你还记得1～20之间整数的平方吗？一般地，如果一个正数x的平方为a，即2x a=，那么正数x叫做aa，其中a叫做被开方数(a≥0)另外：0的算术平方根是0注意：被开方数为非负数.探究：怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面积为2的大正方形。
设大正方形的边长为x，则22x=由算术平方根的意义，x=讨论：在哪两个整数之间？思考：你能举些象这样的无限不循环小数吗？三.应用迁移，巩固提高例1.求下列各数的算术平方根⑴100 ⑵4964⑶⑷0 ⑸124点拨：由一个数的算术平方根的定义出发来解决问题思考：－4有算术平方根吗？例2.要使代数式3有意义，则x的取值范围是（）A. 2x ≠B. 2x ≥C. 2x >D. 2x ≤例3. 若()2130x y -++=，求,,x y z 的值。
拓展：已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 2a b c +-的算术平方根 四.课堂跟踪反馈1、 非负数a 的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是________,_____===2、 _____, 0.64-的算术平方根____3、 若x 是49的算术平方根，则x =（ ）A. 7B. －7C. 49D.－494、 7=，则x 的算术平方根是（ ）5、 若()2130x y -++=，求,,x y z 的值。
八上预科一
八年级上册预科：第一章《勾股定理》(一）勾股定理及其逆定理一、 知识1. 11-19的平方：_______________________________________________________________________________________________________． 2. 勾股定理的验证：CABBACBACabc c ba3. 勾股定理：_______________________________________________________________________________________________________． 4. 勾股定理逆定理：_______________________________________________________________________________________________________．5. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有______________；_____________；________________；________________；_______________；__________________．二、精讲1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形的周长为25C ．斜边长为5D ．三角形的面积为202. 如图，在Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF 长为12cm ，则正方形CDEF 的面积为_________．A B CDEFCB A S 1S 2S 3第2题图 第3题图3. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，分别以BC ，AB ，AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1，S 2，S 3．若S 2=4，S 3=6，则S 1=___________． 4. 如图，已知Rt △ABC 的两直角边长分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为___________．5. （1）等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ，较短的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为214()2ab a b ⨯+-．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2=c 2．图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．图1b D Acc图2b aba ED CB A86C BA第4题图（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形的两直角边长为3和4，则斜边上的高为________． 6. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是_________．DCBAB DES 1A FGS 2S 3C M N第6题图 第7题图7. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC >BC ，分别以AB ，BC ，CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE ，正方形BCMN ，正方形CAFG ，连接EF ，GM ，ND ．设△AEF ，△CGM ，△BND 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列结论正确的是（ ）A ．S 1=S 2=S 3B ．S 1=S 2<S 3C ．S 1=S 3<S 2D ．S 2=S 3<S 18. 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c的面积分别为5和11，则b 的面积为______．9. 如图，从电线杆离地面8m 处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m ，那么需要多长的 钢索？lcba第8题图AB C DE F GH10. 小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处1米．请设法算出旗杆的高度．11. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）A ．0.3，0.4，0.5B ．7，12，15C ．11，60，61D ．9，40，4112. 如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GH D ．AB ，CD ，EF 13. 若三角形的三边长分别是222122221n n n n n ++++，，（n 为正整数），则三角形的最大内角等于_______度．14. 三边长分别是15，36，39的三角形是_______三角形.15. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．71520242571520242571520242525242015716. 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．图2图1A BD CAB CD 1312435勾股定理及其逆定理（随堂测试）1．若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④0.3，0.4，0.5；⑤2n +1，2n ，2n 2+2n +1（n 为正整数）．则其中能构成直角三角形的是_______________．2．如图，在四边形ABCD 中，AD =3，AB =4，BC =12，CD =13，∠BAD =90°． （1）求BD 的长； （2）证明：BD ⊥BC ．BAD C（二）勾股定理的应用◆典例分析如图1，一个梯子AB 长2.5m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，如图2，测得BD 长为0.5m ，求梯子顶端A 下落了多少米．解法指导：直角三角形中，已知一直角边和斜边是勾股定理的重要应用之一．勾股定理：a 2＋b 2＝c 2的各种变式：a 2＝c 2－b 2，b 2＝c 2－a 2．应牢固掌握，灵活应用．分析：先利用勾股定理求出AC 与CE 的长，则梯子顶端A 下落的距离为AE ＝AC －CF ． 解：●体验中考1、（安徽）长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．图1 图22.（湖北十堰）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0．1米）．（供选用的数据：2≈1．414，3≈1．732）●拓展提高1. 小明想测量教学楼的高度．他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了2 ｍ，当他把绳子的下端拉开6 m后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高为（）.A. 8 mB. 10 mC. 12 mD. 14 m2.如果梯子的底端离建筑物9 ｍ，那么15 ｍ长的梯子可以到达建筑物的高度是（）.A. 10 mB. 11 mC. 12 mD. 13 m3. 直角三角形三边的长分别为3、4、ｘ，则ｘ可能取的值有（）.A. 1个B. 2 个C. 3个D. 无数多个4、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为_________ cm2．5、如图，矩形零件上两孔中心A、B的距离是多少（精确到个位）？随堂检测（应用）1、在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为__________2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）．A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m4、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm5、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（取1.732，结果保留三个有效数字）作业（勾股定理）：1. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）A ．1.5，2，2.5B ．9，12，15C ．7，24，25D ．1，1，22. 若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④11，60，61；⑤22(+)12(+)(+)+1m n m n m n ，，（m ，n 为正整数）．其中能构成直角三角形的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长是________．4. 已知甲、乙两人从同一点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人相距______．5. 如图，分别以直角三角形三边为直径作半圆，三个半圆的面积从小到大依次记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ） A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2< S 3 C ．S 1+S 2=S 3 D ．S 12+S 22=S 32S 1S 2S 37cmDCBAC BA第5题图 第6题图 第3题图6. 如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm7. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积为_________．DCBAFED CB A第7题图 第8题图 8. 如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AE =2，DF =1，则图中共有直角三角形________个．9. 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：b =_______，c =________.bc915102410. 如图，一架长25米的云梯斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米？11. 已知一个三角形的三边长分别是5cm ，12cm ，13cm ，你能算出这个三角形的面积吗？12. 如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ．图2是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾 股定理；（2）假设图1中的直角三角形有若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图并给出证明．B'A'O B A 图2图1acbbccc a。
八年级数学预科资料
前言本内容适合七年级进八年级学生暑假提高使用。
重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，是学生提高数学水平的好资料。
另外，在本次培训中，我们适当安排了实数、整式、函数方面的内容，给学生以学习上的提前量，对培养学生的学习兴趣有一定的帮助。
具体计划如下，以供参考：第一讲全等三角形（一）第二讲全等三角形（二）第三讲轴对称等腰三角形第四讲实数第五讲一次函数第六讲函数的综合应用第七讲不定方程与应用题第八讲整式的运算第九讲因式分解第十讲图论问题第十一讲整除的基本知识第十二讲归纳与枚举第十三讲复习考试第十四讲试卷讲评推理问题第一、二讲全等三角形一、课标要求全等形、能够完全重合的两个图形。
全等三角形、能够完全重合的两个三角形。
1. 全等三角形的判定方法有：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”2. 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。
（2）全等三角形的周长、面积相等。
3. 构造三角形全等常用的基本方法有：“翻折”、“旋转”、“截取”、“倍长中线”，等等。
基础练习：1、如图，已知AB=AC，D、E分别为AB、AC上两点，∠B=∠C，求证：BD=CE．2、如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：AC=DF．3、如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．4、如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE．求证：BE∥CF．5、如图，已知PB⊥BA，PC⊥CA，且PB=PC，D是PA上的一点，求证：BD=CD．6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长．基础过关：1、如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图所示，AB=AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（）A、∠B=∠CB、AD=AEC、∠ADC=∠AEBD、DC=BE3、如图，给出下列四组条件：①AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ；③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ；④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（ ）A 、1组B 、2组C 、3组D 、4组二、典例精讲【例1】下列说法：（1）有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等。
初二暑假预科
第一讲三角形1、三角形的基本概念类比猜一猜四边形的定义。
三角形和四边形的稳定性。
重点题型：复杂图形中数三角形的个数。
三角形的定义。
三角形是（）A．连接任意三点组成的图形B．由三条线段所组成的图形C．由三条线段首尾顺次相接组成的图形D．以上说法均不对⑤三角形分类：按边分，可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形。
按角分，可分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
如下表：注意：每个三角形中至少有两个锐角，至多有一个钝角或直角。
三角形的三个内角中，最大的一个是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)。
判断题：有一个角是直角的三角形叫直角三角形。
有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。
有一个角是锐角的三角形叫锐角三角形。
例2：如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是( )A. 三角形的稳定性B. 两点之间线段最短C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短2、三角形的角内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，同一个三角形中，大边对大角。
外角：三角形的一边与另一边的(反向)延长线所组成的角叫做三角形的外角。
什么叫直角、锐角、钝角？三角形的边c b a 、、和C B A ∠∠∠、、的对应关系。
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
（如何证明？初步思路引导。
）三角形的外角：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，每个内角有两个邻补角。
因此，三角形有六个外角，其中三个与另外三个相等，每个顶点有两个外角是相等的。
外角和？（三个角还是六个角？）例2：如图，在△ABC中，∠A = 90°，BD为∠ABC的平分线交AC于D，DE⊥BC，E 是BC的中点，求∠C的度数。
思考题：如图，在△ABC中，∠B = ∠C，D在BC上，∠BAD = 50°，在AC上取一点E，使得∠ADE = ∠AED，求∠EDC的度数。
角的思路总结：1、三个内角和180°；2、平角为180°；3、外角等于不相邻的两个内角和例5:⑴在∆ABC中，若∠A：∠B：∠C = 2：2：1，则∠A = ____，∠C = ____。
0205初二预科数学§1.4 一元一次不等式
0205初二预科数学§1.4 一元一次不等式学习目标：1、理解解一元一次不等式的概念；2、会解简单的一元一次不等式，并能正确地将不等式的解集表示在数轴上。
3、能利用一元一次不等式解决简单的实际问题。
学习重点：一元一次不等式的解法；解一元一次不等式时，去分母及化系数为1，这两步当乘数是负数时改变不等号的方向。
学习难点：去分母及化系数为1，这两步当乘数是负数时改变不等号的方向。
学习过程第一单元一、自主学习（一）复习旧知1、含有未知数的等式叫 。
只含有___个未知数，且含未知数的项次数是1的方程叫 。
2、使方程成立的未知数的值叫做方程的 。
求方程的解的过程叫做 。
3、解一元一次方程的一般过程是：4、解方程：623+=-x x3722x x -=-（二）课前预习1、观察下列不等式：2x -5≥15 x ≤8.75 x ＜4 5+3x ＞240它们有什么共同点？归纳，得出概念：一元一次不等式： 叫做一元一次不等式。
2、直接写出不等式的解集：（1）－x ＜2； （2）1－x ＜x －1；3、解不等式5x －1＞8x ＋3，并把它的解集在数轴上表示出来：二、小组交流：1、同桌交流“自主学习”的答案。
2、你认为解一元一次不等式与解一元一次方程有何异同？过程提示： 移项 合并同类项化系数为1过程提示： 去分母 去括号 移项 合并同类项 化系数为1三、全班交流，例题学习：例1：解不等式x -3＜62+x ，并把它的解集表示在数轴上。
解： 移项得： x - ＜6 ……………………合并同类项得： ＜ …………………… 两边都除以3-得： x 1- …………………… 这个不等式的解集在数轴上表示如下:例1：解不等式22-x ≥37x -，并把它的解集表示在数轴上。
解： 去分母得: )2(3+x ≥)7(2x -去括号得: ≥移项得：合并同类项得：两边都除以5得：这个不等式的解集在数轴上表示如下:四、随堂练习：解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（1）2x +1＞3； （2）3（2x +2）≥4(x -1)+7.五、课堂小结：1、 叫做一元一次不等式。
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前言本内容适合七年级进八年级学生暑假提高使用。
重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，是学生提高数学水平的好资料。
另外，在本次培训中，我们适当安排了实数、整式、函数方面的内容，给学生以学习上的提前量，对培养学生的学习兴趣有一定的帮助。
具体计划如下，以供参考：第一讲全等三角形（一）第二讲全等三角形（二）第三讲轴对称等腰三角形第四讲实数第五讲一次函数第六讲函数的综合应用第七讲不定方程与应用题第八讲整式的运算第九讲因式分解第十讲图论问题第十一讲整除的基本知识第十二讲归纳与枚举第十三讲复习考试第十四讲试卷讲评推理问题第一、二讲全等三角形一、课标要求全等形、能够完全重合的两个图形。
全等三角形、能够完全重合的两个三角形。
1. 全等三角形的判定方法有：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”2. 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。
（2）全等三角形的周长、面积相等。
3. 构造三角形全等常用的基本方法有：“翻折”、“旋转”、“截取”、“倍长中线”，等等。
基础练习：1、如图，已知AB=AC，D、E分别为AB、AC上两点，∠B=∠C，求证：BD=CE．2、如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：AC=DF．3、如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．4、如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE．求证：BE∥CF．5、如图，已知PB⊥BA，PC⊥CA，且PB=PC，D是PA上的一点，求证：BD=CD．6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长．基础过关：1、如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图所示，AB=AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（）A、∠B=∠CB、AD=AEC、∠ADC=∠AEBD、DC=BE3、如图，给出下列四组条件：①AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ；③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ；④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（ ）A 、1组B 、2组C 、3组D 、4组二、典例精讲【例1】下列说法：（1）有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等。
（2）有一条边对应相等的两个等腰三角形全等。
（3）有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等。
（4）有两条边对应相等的两个直角三角形全等。
（5）底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等。
其中正确的有 （ ）A ．2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个【例2】如图所示, 已知△ABC 中, AQ=PQ , PR=PS , PR ⊥AB 于R, PS ⊥AC 于S, 则三个结论:①AS=AR;②QP//AR; ③△BRP ≌△QSP 中 （ ）A. 全部正确B. 仅①②正确C. 仅①正确D. 仅①③正确【例3】如图所示, 设在一个宽度为的小巷内, 一个梯子的长为, 梯子的脚位于P 点,将该梯子的顶端放于一堵墙上Q 点时, Q 离开地面的高度为K, 梯子的倾斜角为45°,将梯子的顶端放于另一堵墙上R 点时,R 离开地面的高度为h ,且此时梯子的倾角为75°, 则小巷的宽度等于（ ）A. aB. 2h K C. KD. h【例4】在△ABC 中，∠ABC=30°，边AB=10，边AC 可以取值5、7、9、11之一，满足这些条件互不全等的三角形的个数是 （ ）A ．3 B. 4 C. 5 D. 6【例5】如图所示, AB 是等腰直角三角形ABC 的斜边, AD 是∠BAC 的平分线, AB=,求CD.【例6】如图所示, 已知在△ABC 中, AD 是BC 边上的中线, E 是AD 上一点, 且BE=AC, 延长BE 交AC 于F, 求证: AF=EF.【例7】如图所示, 各边都相等的五边形ABCDE 中, ∠ABC=2∠DBE, 求∠ABC.【例8】如图所示, 已知四边形ABCD 中, AB=AD, ∠BAD=60°, ∠BCD=120°, 求证: BC+DC=AC.【例9】如图所示, △ABC 是边长为1的等边三角形, △BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形, 点M 、N 分别在AB 、AC 上, 且∠MDN=60°，求证: △AMN 的周长l 为2.三、课堂练习1. 在△ABC 和△A′B′C′中，已知''''4415,6712,6833,44.25A B C A ∠=∠=∠=∠=o o o o，且''AC AC =，那么这两个三角形 （） A ．一定不是全等三角形B. 一定是全等三角形2. 在△ABC 中,B C ∠=∠,与△ABC 全等的三角形有一个角是100°,那么△ABC 中与这个角对应的角是（ ）A. ∠AB. ∠BC. ∠CD. ∠B 或∠C3. △ABC 中, AB=5, AC=a , BC 边上的中线AD=4, 则a 的取值范围为 （ ）A. 35a <<B. 39a <<C. 310a <<D. 313a <<4. 如图,在等腰△ABC 中, 顶角100BAC ∠=o ,延长AB 到D,AD BC =,则BCD ∠= （ ）A. 10oB. 15oC. 20oD. 30o5. 如图,123∠=∠=∠,DE DF =,则下面结论一定成立的是 （ ）A. AE FC =B. AE DE =C. AE FC AC +=D. AD FC AB +=6. 如图,在等边△ABC 中,D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 上的点且AD=BE=CF,若三个全等的三角形为一组,则图中共有 组全等三角形。
7. 如图,,,60,24,AE AF AB AC A B ==∠=∠=o o则BDE ∠= 。
第6题 第7题8. 如图, △ABC 的高AD 、BE 交于H, 且BH=AC, 则∠BCH 的度数为 。
9. 如图, 在Rt ABC ∆中, 90,,BAC AB AC BD ∠==o 平分ABC ∠交AC 于D ,作CE BD ⊥交BD 延长线于E ,过A 作AH BC ⊥交BD 于M ,交BC 于H ,则BM 与CE 的大小关系是 。
第8题 第9题10. 在矩形ABCD 中 ,16,8AB BC ==,将矩形沿对角线AC 折叠,点D 落在E 点处, 且CE 与AB 交于点F, 则AF = 。
11、（2008•泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，AB=AC ，AE=AD ，∠BAC=∠EAD=90°，B ，C ，E 在同一条直线上，连接DC ．（1）请找出图2中与△ABE 全等的三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC ⊥BE ．12、（2007•成都）已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ．（1）求证：BF=AC ；（2）求证：CE=12BF ； （3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论．第三讲 等腰三角形1. 等腰三角形判定方法（1）两边相等 （2）两角相等2. 等腰三角形性质（1）两底角相等 （2）顶角平分线、底边上的高、中线互相重合（三线合一）（3）等腰三角形是轴对称图形3. 等边三角形判定方法（1）三边都相等（2）三角都相等 （3）一角为60°的等腰三角形4. 等边三角形性质（1）三边都相等（2）三角都相等且均为60° （3）等边三角形是轴对称图形一、典例精讲【例1】如图所示, , 则BAC ∠的度数为（ ）A. 30°B. 32°C. 36°D. 40°【例2】如图所示,设等边△ABC 边长为a ,M 、N 是AB 、AC 的中点, D 为MN 上任一点, BD 、CD 的延长线交AC 、AB 于E 、F, 则11CE BF +的值是 （ ） A. 1aB. 2aC. 3aD. 4a【例3】在等腰()ABC AB AC BC =≠V 所在的平面上有一点P, 使得,,PAB PBC PAC V V V 都是等腰三角形, 则满足条件的点有（ ）A. 1个B. 3个C. 6个D. 7个【例4】如图所示, 60,30ABC BCD AD BC ∠=∠=+=o , BD 平分ABC ∠,//AD BC ,则四边形ABCD 的周长是 。
,,AB AC BG BH AK KG ===【例5】如图所示,（甲）在等腰三角形ABC 中, 底边BC 上有任意一点P,则P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高）,即PD PE CF +=,若P 点在BC 的延长线上, 那么PD 、PE 和CF 之间存在什么关系? 写出你的猜想并加以证明。
【例6】如图所示, 以矩形ABCD 的两边AB 、BC 为边在矩形外分别作等边△ABE 和△BCF, EA 和FC 的延长线交于P, 求证:PB EF ⊥。
二、课堂练习1. 如图所示, 在△ABC 中, AB BC AD ==, 则α与β的关系是（ ）A. 90αβ+=oB. 2180αβ+=oC. 3180αβ-=oD. 3180αβ+=o2. 若△ABC 的三边长为,,a b c , 且同时满足4442244422,a b c b c b c a a c =+-=+-, 则ABC V 是 （ ）A. 不等边三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形3. 等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角等于 （ ）A. 30oB. 30o 或150oC. 120o 或150oD. 30o 、120o 或150o4. 如图, 在△ABC 中, ,AB AC BE AC =⊥,D 是AB 中点, 且DE BE =, 则∠C 的度数是（ ）A. 65oB. 70oC. 75oD. 80o5. 下列说法正确的个数 （ ）①同底面积一定的所有三角形中, 等腰三角形周长最小②同底, 周长一定的所有三角形中, 等腰三角形面积最大③在锐角三角形中, 三个内角的度数都是质数, 则这样的三角形只有一个且为等腰三角形④等腰三角形两腰上的高相等A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 如图所示, 15XOY ∠=o ,1O 在OX 上, 在OY 上取一点2O , 使211O O O O =,再在OX 上取一点3O ,使3221O O O O =, 如此一直作下去, 到不能再作为止, 那么作出的最后一点是（ ）A. 5OB. 6OC. 7OD. 8O7. 如图所示, 在△ABC 中, AB AC =, P 为AC 上一点, PA PB =,若70C ∠=o , 则BPC ∠= ， 若,则△PBC 的周长为 。