2.多元正态分布
多元统计分析：第二章 多元正态分布及
1 2 exp( it ) exp( s j ) 2 j 1
) E(e
isqU q
)
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2
记Σ=AA′，则有以下定义。 定义2.2.2 若p维随机向量X的特征函数 t ' t 为:
X (t ) exp[ it '
，d为s×1常向量，令Z=BX+d,则
Z～Ns(Bμ+d , BΣB ).
该性质指出正态随机向量的任 意线性组合仍为正态分布.
19
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布的性质2
证明 因Σ ≥0, Σ可分解为Σ=AA ,其中A 为p×q 矩阵.已知X～Np(μ,Σ),由定义 2.2.1可知 X = AU+μ
是对称非负定阵. 即 =´ , ´ ≥0 (为任给的p维常量).
7
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.1 随机向量—
(4) Σ=L2 ,其中L为非负定阵.
由于Σ≥0(非负定),利用线性代数中实对称阵的对角化定理，存 在正交阵Γ,使
1 0 LL
1 0 ' 0 p
并设：
i 0(i 1,, q), q1 0,, p 0.
10
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2
在一元统计中，若U～N(0,1),则U的任意 线性变换X=σU+μ～N(μ,σ2)。利用这一性质， 可以从标准正态分布来定义一般正态分布：
若U～N(0,1),则称X =σU+μ的分布为 一般正态分布,记为X ～N(μ, σ2 )。
如例2.1.1,证明了X1,X2均为一元正态 分布,但由(X1,X2) 联合密度函数的形式易见 它不是二元正态.
厦门大学《应用多元统计分析》习题第02章 多元正态分布的参数估计
思考与练习2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。
2.2 设随机向量12(,)X X ′=X 服从二元正态分布，写出其联合分布密度函数和1X 、2X 各自的边缘密度函数。
2.3 已知随机向量12(,)X X ′=X 的联合分布密度函数为：()()()()()()()()()121122222,d c x a b a x c x a x c f x x b a d c −−+−−−−−2⎡⎤⎣⎦=−−其中，。
求：12,a x b c x d ≤≤≤≤⑴ 随机变量1X 和2X 各自的边缘密度函数、均值与方差。
⑵ 随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数。
⑶ 判断1X 和2X 是否相互独立。
2.4 设随机向量12(,,,)p X X X ′=X L 服从正态分布，已知其协差阵为对角阵，证明ΣX 的分量是相互独立的随机变量。
2.5 从某企业全部职工中随机抽取一个容量为6的样本，该样本中各职工的目前工资、受教育年限、初始工资和工作经验资料如下表所示： 职工编号目前工资 （美元）受教育年限（年）初始工资 （美元）工作经验（月）11 2 3 4 5 6 57,000 40,200 21,450 21,900 45,000 28,350 15 16 12 8 15 8 27,000 18,750 12,000 13,200 21,000 12,000 144 36 381 190 138 26设职工总体的以上变量服从多元正态分布，根据样本资料求出均值向量和协差阵的最大似然估计。
2.6 均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质？ 2.7 试证多元正态总体的样本均值向量(,)p N μΣ1~(,p N nX μΣ)。
2.8 试证多元正态总体的样本协差阵S 为(,)p N μΣΣ的无偏估计。
2.9 设()1x 、()2x 、…、()n x 是从多元正态总体中独立抽取的一个随机样本，试求样本协差阵的分布。
多元正态分布条件分布例题
多元正态分布条件分布例题
多元正态分布是指具有多个随机变量的正态分布。
它的概率密度函数可以用矩阵符号来表示。
对于一个具有n个变量的多元正态分布，其概率密度函数可以写作：
f(x) = (1 / ( (2π)^(n/2) |Σ|^0.5 )) exp(-0.5 (x-μ)' Σ^(-1) (x-μ))。
其中，x是一个n维向量，μ是一个n维向量，Σ是一个n×n 的对称正定矩阵，|Σ|表示Σ的行列式。
这个概率密度函数描述了多元正态分布的形状和分布情况。
现在让我们来看一个条件分布的例题。
假设我们有一个二维多元正态分布，其均值向量为μ = [1, 2]，协方差矩阵为Σ = [[2, 1], [1, 2]]。
我们想要求在给定X1 = 1 的条件下，X2 的条件分布。
首先，我们可以计算边缘分布，即X1的边缘分布。
X1的边缘
分布仍然是一个正态分布，其均值和方差可以通过均值向量和协方差矩阵的对应元素得到。
然后，我们可以计算条件分布。
在给定X1 = 1 的条件下，X2 的条件分布也是一个正态分布，其均值和方差可以通过边缘分布的均值和方差以及协方差矩阵的相关元素计算得到。
通过这个例题，我们可以理解多元正态分布的条件分布是如何计算的，以及如何利用均值向量和协方差矩阵来描述多元正态分布的形状和分布情况。
第2章多元正态分布的参数估计
第2章多元正态分布的参数估计多元正态分布是统计学中常用的一种概率分布模型，在实际应用中经常被用来描述多个变量之间的关系。
在参数估计的过程中，我们通常需要估计多元正态分布的均值向量和协方差矩阵。
本章将介绍多元正态分布的参数估计方法。
多元正态分布的均值向量和协方差矩阵分别用μ和Σ表示。
在参数估计的过程中，我们可以使用样本的均值向量和协方差矩阵来估计总体的均值向量和协方差矩阵。
首先，我们需要收集一个包含n个样本的数据集，其中每个样本有d 个变量。
我们将这个数据集表示为X=[x1, x2, ..., xn]，其中xi是一个d维向量。
均值向量的估计可以通过计算样本向量的平均值来得到。
均值向量的估计公式为：μ̂ = (1/n) * Σxi其中，μ̂是均值向量的估计值。
协方差矩阵的估计可以通过计算样本向量之间的协方差来得到。
协方差矩阵的估计公式为：Σ̂ = (1/n) * Σ(xi - μ̂)(xi - μ̂)T其中，Σ̂是协方差矩阵的估计值。
这里需要注意的是，协方差矩阵是一个对称正定矩阵，因此需要对估计值进行修正，以保证估计出的协方差矩阵是对称正定的。
修正的常用方法有Ledoit-Wolf修正和修正。
在进行参数估计之后，我们还可以计算估计值的标准误差（standard error），以衡量估计值的可靠性。
在多元正态分布的参数估计中，均值向量估计值的标准误差为：SE(μ̂) = (√((2/n)(d(d+1)/2))) * (√(Σi î))协方差矩阵估计值的标准误差为：SE(Σ̂) = (√((1/n)(d(d+1)/2))) * (√(Σi î(Σj ĵ -Σi ĵ^2)))其中，Σi î表示协方差矩阵估计值的第i个对角元素，Σi ĵ表示协方差矩阵估计值的第i行第j列元素。
参数估计的过程中，还需要考虑到样本量的大小。
当样本量较大时，参数估计的精度会提高；而当样本量较小时，参数估计的精度会降低。
第2章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验
第一章 多元正态分布的参数估计一、填空题1.设X 、Y 为两个随机向量，对一切的u 、v ，有 ，则称X 与Y 相互独立。
2.多元分析处理的数据一般都属于 数据。
3．多元正态向量()'=p X X X ,,1 的协方差阵∑是 ，则X 的各分量是相互独立的随机变量。
4．一个p 元函数()p x x x f ,,,21 能作为p R 中某个随机向量的密度函数的主要条件是 和 。
5．若p 个随机变量1X ，2X ， ，p X 的联合分布等于 ，则称1X ，2X ， ，p X 是相互独立的。
6.多元正态分布的任何边缘分布为 。
7.若()∑,~μp N X ，A 为p s ⨯阶常数阵，d 为s 维常数向量，则~d AX + 。
8.多元正态向量X 的任何一个分量子集的分布称为X 的 。
9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。
10.多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。
11.多元正态总体均值向量μ和协差阵∑的估计量X 、S n 11-具有 、 和 。
12．设X 和S 分别是多元正态总体()∑,μp N 的样本均值向量和离差阵，则~X ，X 和S 。
13.若()()∑,~μαp N X ，n ,,2,1 =α且相互独立，则样本离差阵()()()()∑='--=nX X X X S 1~ααα 。
14．若()∑,~i p i n W S ，k i ,,1 =，且相互独立，则~21k S S S S +++= 。
二、判断题1.多元分布函数()x F 是单调不减函数，而且是右连续的。
2.设X 是p 维随机向量，则X 服从多元正态分布的充要条件是：它的任何组合()p R X ∈'αα都是一元正态分布。
3.μ是一个P 维的均值向量，当A 、B 为常数矩阵时，具有如下性质：（1）E （AX ）=AE （X ） （2）E （AXB ）=AE （X ）B4．若P 个随机变量X 1，…X P 的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X 1，… X P 是相互独立的。
多元统计分析_第2章_多元正态分布_s
第2章多元正态分布§2.1 多元分布§2.2 多元正态分布的定义及基本性质§2.3 正态分布的条件分布和独立性§2.4 矩阵正态分布§2.5 参数的极大似然估计§2.6 极大似然估计的性质13),21′=p ξξξ (ξ随机向量：pn ij ξξ×=)(随机矩阵：注：随机矩阵拉直后就是随机向量，二者都是由多个随机变量组成，只是摆放形势不同.4一、多元分布函数1212121122122.1.1 (,,,)()(,,,) ()(,,,)(,,,)(,,,)~.p p p p p pp ξξξξξξF x F x x x P ξx ξx ξx x x x x R F ξξ′===≤≤≤′=∈ 定义设是一随机向量，它的多元分布函数的联合分布函数定义为式中，记作512122112(1)(,,,)(1,2,,)(2)0(,,,)1(3)(,,,)(,,,)(,,,)0(4)(,,,)1p i p p p F x x x x i p F x x x F x x F x x F x x F =≤≤−∞=−∞==−∞=+∞+∞+∞= 是每个变量的单调非降右连续函数.多元分布函数的性质：71)( )2( ,0)( )1()(=∈∀≥⋅∫dx x f R x x f R f pR pp 当且仅当随机向量的分布密度，中某个能作为一个多元函数9二、边缘分布.)( 3.1.2)1(的边缘分布的分布称为个分量组成的随机向量的维随机向量，由它为若定义ξξξp q q p <10),,,,,,(),,,,,),,)111111)1()2()1(∞∞∞=∞≤∞≤≤≤=≤≤=≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+ q p q q q q q u u F u ξu ξP u ξu ξP u ξP ξξξξξξ((((1)的分布函数为，则不妨假设11(1)(1212112111)(,,)(,,)q q u u u p p u u u p q p q P ξu f t t dt dt dt f t t dt dt dt dt ∞∞∞−∞−∞−∞−∞−∞−∞∞∞∞+−∞−∞−∞−∞−∞−∞≤=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ 若ξ有分布密度函数f (x )，则12p q p q q q dt dt t t x x f x x f ξ1111)1(),,,,,(),,(++∞∞−∞∞−∞∞−∫∫∫=的边缘分布密度为(1)13注：（1）有分布密度函数，则它的任何边缘分布也有分布密度函数；（2）若的任何边缘分布有分布密度函数，并不能推出有分布密度.ξξξ两个随机向量独立的充分必要条件：①联合分布函数等于边缘分布函数的乘积；②若随机向量为连续型的，联合分布密度等于边缘分布密度的乘积；③若随机向量为离散型，联合分布列等于边缘分布列的乘积；④联合特征函数等于边缘特征函数的乘积.1621).()(~),(~),(~,)4(t t t t ηηηξηξηξΦΦ+ΦΦξξ则量的随机向是相互独立且维数相同与若).()(),( ,)()(,,)5()2()1()2()1(t t t t t t q p ηξξΦΦ=Φ⇔ΦΦ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ独立和则的特征函数和分别为和特征函数的表示维随机向量和分别为和若ηξηξηξηξη22(7) .p a ξξ′若为维随机向量，则它的分布由一切形如的分布所唯一决定).()exp()( ,),(~ )6(t A a t i t a A t ′Φ′=Φ+=Φξηξηξ则若ξ23).()exp()])([exp()exp()][exp()exp())]([exp()][exp()(t A a t i t A i E a t i A t i E a t i a A t i E t i E t ′Φ′=′′′=′′=+′=′=Φξηξξξη证明：（6）24.,3,,),()][exp()1( 1)][exp()( )7(:的分布它决定了知由性质的特征函数恰好是的函数把它看成得取的特征函数为证明ξξξξa a a i E t a it E t a a a Φ=′=Φ=′=Φ′′′ξξξξ25五、矩2.1.6 ()(), 1, 2, , ,1, 2, , ,()(), .ij ij ij n p E i n j p E ξξξεξξξ=×=== 定义设为随机矩阵，假定存在且有限记称为随机矩阵的均值)()( ij E ξξε=26,(1) ,,,( )(),()()A B C A B C A B CA A εξεξξεξεξ+=+=若为常数矩阵则特别当为随机向量时有注：以下总假定公式中用到的随机矩阵的矩是存在的.均值的性质：27)]([)]([)] )4()()( , )3()()( ,, )2(ξεξεξξηεξεηξεηεξεηξεA tr A tr A E n p A p n b a b a b a B A B A B A ==××+=++=+[tr()()(则常数矩阵，为随机矩阵，为若为常数，则若则为常数矩阵若注：以上四个性质均体现均值的线性性.28().),,cov()(),cov(])()][([),cov( ),,cov(,)(),), 7.2.1 2121的协方差称为时，记作当即其元素是矩阵定义为一个简称协差阵阵的协方差维随机向量，它们之间维和分别为和设定义ξξξξηξηξηεηξεξεηξηξηηηηξ===′−−=×′=′=D p n p n ξξξj i j i p n ((29() ),cov(),cov( j i ηξηξ=()),cov(),cov(j i ξξξξ=31.])(][)([)())()()( ,)2(.})(){() (),cov(,})(){() (),cov()1(′−−+=′−−=+′−′=′−′=a a D a a D a D a ξεξεξξξεξξξεξεξξεξξηεξεηξεηξ(则为常向量若特别协差阵的性质：32A AD A DB A B A B A ′=′=)()( ),cov(),cov( ,)3(ξξηξηξ特别则为常数矩阵和设协差阵的性质（续）35则记值和协差阵存在的均若随机向量定理 ),( ),( ,),,, 1.1.221ξξεμD ξξξξn =Σ=′= ()()( μμξξA A tr A E ′+Σ=′36μμμμξξξξξξA A tr A tr A Etr A Etr A E ′+Σ=′+Σ=′=′=′)()}({)()()(μμξξεξεξεξξεξ′+Σ=′′−′=) (,})(){() ()(:所以因为证明D。
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第二章部分习题解答学习资料
1 2 [y ( 1 7 )2 (y 2 4 )2]
g(y1,y2)
设函数 g(y1, y2) 是随机向量Y的密度函数.
15
第二章 多元正态分布及参数的估计
(3) 随机向量
YYY12~N274,
I2
(4) 由于 XX X121011Y Y12CY
1 0 1 1 7 4 3 4 , 1 0 1 1 I2 1 0 1 1 1 1 2 1
e e d x e 2
2
1 2 (x 1 7 )2
9
第二章 多元正态分布及参数的估计
1 1 2(2x1 22x2 16 5 x1 2 1x4 14)91 2(x2x17)2
e e dx 2
2
2 1e 2 1 e dx 1 2(x1 28x1 1)6
1 2(x2x17)2 2
1(
1 e2
(22)(22)0
可得Σ的特征值 1 2 (1 )2 , 2 (1 ).
22
第二章 多元正态分布及参数的估计
λi (i=1,2)对应的特征向量为 1
1
l1
2 1 2
l1
2 1 2
由(1)可得椭圆方程为 2(1y 1 2)b22(1y 2 2)b21
其 b 2 中 2 la n ( 2 ) [ | |1 /2 ] 2 l2 n2 [ 1 2 a ]
解二:比较系数法 设 f(x 1,x2)2 1ex 1 2 p (2 x 1 2x2 2 2 x 1x2 2x 1 2 1x2 4 6) 5
2 1 2 11 2ex 2 p 1 2 2 2 1 (1 2)[2 2(x 1 1)2 2 1 2(x 1 1)x (2 2) 1 2(x2 2)2]
多元正态分布随机数
多元正态分布随机数
多元正态分布是统计学中一种常见的概率分布，通常用于描述多个变量之间的关系。
在多元正态分布中，每个变量都是服从正态分布的，而且不同变量之间还存在一定的相关性。
这种分布在各个领域都有广泛的应用，比如金融、医学、工程等。
在金融领域，多元正态分布常常被用来建立投资组合的模型。
通过对不同资产的收益率进行建模，可以更好地了解不同资产之间的关系，从而优化投资组合的配置。
通过多元正态分布，投资者可以进行风险控制，提高收益率，并根据不同的风险偏好选择适合自己的投资组合。
在医学领域，多元正态分布也被广泛应用。
例如，在流行病学研究中，可以利用多元正态分布来建立疾病传播的模型。
通过对不同因素的影响进行建模，可以更好地预测疾病的传播路径，从而采取有效的控制措施。
多元正态分布在医学研究中的应用，有助于提高疾病控制的效率，保护人们的健康。
工程领域也经常使用多元正态分布来分析复杂系统的性能。
比如在电子工程中，可以利用多元正态分布来建立电路元件的故障模型。
通过对不同元件故障的概率进行建模，可以更好地预测整个系统的可靠性，从而提高系统的稳定性。
多元正态分布在工程领域的应用，有助于提高系统的设计效率，降低故障率，保障设备的正常运行。
总的来说，多元正态分布作为一种重要的概率分布，在各个领域都有着广泛的应用。
通过对多元正态分布的研究和应用，可以更好地理解复杂系统的特性，提高决策的准确性，促进科学技术的发展。
希望未来能有更多的研究者和工程师利用多元正态分布的优势，为人类社会的进步和发展做出更大的贡献。
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答)
P { X 2 x } P { X 1 x } ( x )
当x≥1时, P{X2x}
P{X2 1}P{1X2 1}P{1X2 x}
P{X11}P{1X11}P{1X1x}
P{X1x}(x) . 17
第二章 多元正态分布及参数的估计
当-1≤x≤1时,
P{X2 x}P{X2 1}P{1X2 x} P{X1 1}P{xX1 1} P{X1 1}P{1X1 x} P{X1 x}(x)
1lili(x) b 2
i 1 i
p
i1
1
i
yi2ห้องสมุดไป่ตู้
b2
.
21
第二章 多元正态分布及参数的估计
y1b122y2b222ypb2 p2 1
故概率密度等高面 f(x;μ,Σ)= a是一个椭球面.
(2)当p=2且
2
1
1
(ρ>0)时,
||4(12).
由 |Ip|22 22(2)242
(22)(22)0
2
1
1
(ρ>0)时，
概率密度等高面就是平面上的一个椭圆，试求该椭圆
的方程式，长轴和短轴.
证f( 明x ; (1), :任 ) 给 a＞a 0 ,记a ( 0x (2)) p/ 2| 1 ( |1/x 2, 当 ) 0a b a12 0时
其 b 2 2 中 la n ( 2 ) p / [ 2 . | |1 / 2 ] 2 la n 0 ] 0 a [ ,20
所以 X(1)X(2)~Np((1)(2),2(12)); X(1)X(2) ~Np((1)(2),2(12)).
注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0.
. 8
结构方程模型的多元正态分布
结构方程模型的多元正态分布多元正态分布是结构方程模型中的一种常见假设。
本文将从多元正态分布的概念、性质和应用等方面进行阐述，旨在为读者提供对该主题的全面了解。
第一部分：多元正态分布的概念多元正态分布是指多个随机变量同时服从正态分布的情况。
在结构方程模型中，我们通常假设观测变量和潜变量都服从多元正态分布。
这种假设使得我们能够对变量之间的关系进行推断和建模。
第二部分：多元正态分布的性质多元正态分布具有许多重要的性质。
首先，多元正态分布的边际分布也是正态分布。
这意味着每个变量的边际分布可以独立地进行分析。
其次，多元正态分布的协方差矩阵可以用来描述变量之间的线性关系。
协方差矩阵可以通过样本数据的协方差矩阵估计得到。
最后，多元正态分布的联合分布可以通过均值向量和协方差矩阵来确定。
第三部分：多元正态分布的应用多元正态分布在许多领域都有广泛的应用。
在社会科学中，多元正态分布可以用来建立结构方程模型，研究变量之间的因果关系。
在金融学中，多元正态分布可以用来建立投资组合模型，评估不同投资资产之间的相关性。
在医学研究中，多元正态分布可以用来分析多个生物标志物之间的关系。
第四部分：多元正态分布的优缺点多元正态分布具有许多优点，如易于推断和建模、具有丰富的数学性质等。
然而，多元正态分布也有一些局限性，如对数据的要求较高、对大样本量的依赖性等。
因此，在应用多元正态分布时，需要考虑这些因素。
第五部分：结论多元正态分布作为结构方程模型的基本假设之一，在数据分析和建模中具有重要的应用。
通过对多元正态分布的概念、性质和应用的介绍，本文希望读者对该主题有更深入的理解。
同时，也提醒读者在实际应用中要考虑到多元正态分布的优缺点，并结合具体情况进行分析和建模。
通过合理的应用和推广，多元正态分布将为各个领域的研究提供有力的工具和方法。
多元统计分析陈钰芬课后答案
多元统计分析陈钰芬课后答案第1章多元正态分布1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？第1章多元正态分布1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？数据的标准化是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。
在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。
其中最典型的就是0-1标准化和Z标准化。
2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么？欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m维空间中两个点之间的真实距离。
在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。
缺点：就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。
每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。
当坐标表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的方法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。
当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小与指标的单位有关。
它将样品的不同属性之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。
没有考虑到总体变异对距离远近的影响。
马氏距离表示数据的协方差距离。
为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。
优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。
由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。
马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。
缺点：夸大了变化微小的变量的作用。
受协方差矩阵不稳定的影响，马氏距离并不总是能顺利计算出。
3、当变量X1和X2方向上的变差相等，且与互相独立时，采用欧氏距离与统计距离是否一致？统计距离区别于欧式距离，此距离要依赖样本的方差和协方差，能够体现各变量在变差大小上的不同，以及优势存在的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。
第2章多元正态分布参数估计
第2章多元正态分布参数估计多元正态分布是多元随机变量的一种常见模型。
在实际问题中，我们常常需要通过已有的数据对多元正态分布的参数进行估计，便于进行后续的统计分析和预测。
多元正态分布的参数估计主要包括均值向量和协方差矩阵的估计。
对于均值向量的估计，最简单的方法是直接计算样本均值。
假设我们有一个包含n个样本的数据集，其中每个样本有d个维度的观测值，我们可以将样本数据表示为一个n×d的矩阵X。
则样本均值向量的估计值μ可以通过以下公式得到：μ = (1/n) * Σxi其中，xi表示第i个样本观测值。
对于协方差矩阵的估计，最常用的方法是样本协方差矩阵的估计。
样本协方差矩阵S的估计值可以通过以下公式得到：S = (1/n) * Σ(xi - μ)(xi - μ)T其中，T表示矩阵的转置。
需要注意的是，样本协方差矩阵的估计是基于样本的二阶矩估计，因此在数据量较小的情况下，估计结果可能存在偏差。
为了减小估计结果的偏差，可以使用修正样本协方差矩阵的估计。
修正样本协方差矩阵的估计值可以通过以下公式得到：S = ((n-1)/n) * Σ(xi - μ)(xi - μ)T其中，n-1是修正系数。
除了样本协方差矩阵，也可以使用样本相关系数矩阵来估计多元正态分布的协方差矩阵。
样本相关系数矩阵R的估计值可以通过以下公式得到：rij = sij / (si * sj)其中，sij表示样本协方差矩阵的元素，si和sj分别表示样本标准差。
需要注意的是，当样本量较小或者存在样本相关系数为1的情况时，样本相关系数矩阵的估计结果可能不可靠，此时推荐使用样本协方差矩阵来估计。
在实际问题中，参数估计是多元正态分布分析的重要步骤。
通过对样本数据进行参数估计，我们可以对多元正态分布的均值和协方差矩阵有一个初步的认识，从而便于进行后续的模型建立、参数推断和预测。
同时，合理的参数估计方法也有助于提高分析结果的精度和可靠性。
总之，多元正态分布参数估计是一个对多元随机变量的观测数据进行统计分析的重要任务。
多元统计分析多元正态分布
因子分析可以用于数据的降维、分类和解释变量之间的复杂关系。
03
04
多元正态分布的聚类分析
K-means聚类
一种无监督的机器学习算法，通过迭代过程将数据划分为K个集群，使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最小。
总结词
K-means聚类是一种常见的聚类分析方法，其基本思想是：通过迭代过程将数据划分为K个集群，使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最小。具体步骤包括：随机选择K个中心点，将每个数据点分配给最近的中心点所在的集群，然后重新计算每个集群的中心点，并重复此过程直到中心点不再发生变化或达到预设的迭代次数。
定义与性质
性质
定义
均值向量
描述多元正态分布的期望值，表示分布的中心位置。
协方差矩阵
描述多元正态分布的各变量之间的方差和协方差，表示分布的散布程度和变量间的相关性。
维数
描述多元正态分布中随机变量的个数，不同维数的多元正态分布具有不同的形态和性质。
多元正态分布的参数
统计分析
多元正态分布在统计分析中广泛应用，如回归分析、因子分析、聚类分析等。
KNN分类
06
多元正态分布的可视化技术
总结词
主成分分析（PCA）是一种常用的多元统计分析方法，用于降维和数据可视化。
总结词
PCA可视化能够揭示数据中的模式和趋势，帮助我们理解数据的内在结构和关系。
详细描述
通过将数据投影到主成分上，我们可以将高维数据可视化为一组二维或三维图形，从而更直观地观察数据的分布、中心、离群值和聚类等特征。
逻辑回归分类
VS
支持向量机（SVM）是一种有监督学习算法，用于解决分类问题。在多元正态分布的背景下，支持向量机通过找到能够将不同类别的数据点最大化分隔的决策边界来实现分类。
多元统计分析第二章多元正态分布
多元统计分析第二章多元正态分布多元正态分布（Multivariate Normal Distribution），是指多个随机变量服从正态分布的情况。
在统计学中，多元正态分布是一个重要的概率分布，广泛应用于多个领域，如经济学、金融学、生物学、工程等。
多元正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x;μ,Σ) = (2π)^(-k/2) ，Σ，^(-1/2) exp(-(x-μ)'Σ^(-1)(x-μ)/2)其中，x表示一个k维向量（k个随机变量），μ是一个k维向量，表示均值向量，Σ是一个k*k维协方差矩阵，Σ，表示协方差矩阵的行列式，'表示向量的转置，Σ^(-1)表示协方差矩阵的逆矩阵，exp表示指数函数。
多元正态分布具有以下特点：1.对称性：多元正态分布的密度函数是关于均值向量对称的。
2.线性组合：多元正态分布的线性组合仍然服从正态分布。
3.条件分布：给定其他变量的取值，多元正态分布的边缘分布和条件分布仍然服从正态分布。
4.独立性：多元正态分布的随机变量之间相互独立的充要条件是它们的协方差矩阵为对角矩阵。
对于多元正态分布，可以使用协方差矩阵来描述不同随机变量之间的相关程度。
协方差矩阵的对角线元素表示各个随机变量的方差，非对角线元素表示各个随机变量之间的协方差。
多元正态分布的参数估计也是统计学中一个重要的问题。
通常可以使用最大似然估计方法来估计均值向量和协方差矩阵。
在实际应用中，多元正态分布可以用来描述多个相关变量的联合分布。
例如，在金融学中，可以使用多元正态分布来建模多个股票的收益率。
在生物学中，可以使用多元正态分布来建模多个基因的表达水平。
除了多元正态分布，还存在其他的多元分布，如多元t分布、多元卡方分布等。
这些分布可以用来处理更一般的随机变量，具有更广泛的应用领域。
总之，多元正态分布是统计学中一个重要的概率分布，具有许多重要的性质和应用。
通过对多元正态分布的研究，可以更好地理解和分析多个相关变量的联合分布，推断和预测相关变量的取值，并为实际问题提供可靠的解决方案。
应用多元统计分析课后习题解答详解北大高惠璇(第二章部分习题解答)
2 2
X 2 ~ N (3,2).
10
第二章 多元正态分布及参数的估计
12 Cov( X1, X 2 ) E[( X1 E( X1))( X 2 E( X 2 )]
E[( X1 4)( X 2 3)]
(x1 4)(x2 3) f (x1, x2 )dx1dx2
令uu21
x1 x2
X
X X
(1) (2)
~
N2 p
(1) (2)
,
1 2
2 1
,
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立.
(2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.
解 :(1) 令
Y
2
x12
22
x1
65
x12
14
x1
49)
1 2
(
x2
x1
7)2
e e dx2
2
1 e
1 2
(
x12
8
x1
16)
2
1
2
e dx
1 2
(
x2
x1
7
)
2
2
1 e
1 2
(
x1
4
)
2
2
X1 ~ N(4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)2
4
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y
X1 X1
Lab2多元正态分布的特征
Lab2:多元正态分布的特征1.内容:练习多元正态分布特征的计算手段2.作业提交:完成后面的作业,现场演示给助教并解释结果.1多元正态的特征多元正态分布随机数可以通过R包MASS中的函数mvrnorm来获得.#二元正态随机数mu<-c(0,1)Sigma<-matrix(c(1,0.5,0.5,1),2,2)n<-1000library(MASS)biv<-mvrnorm(n,mu,Sigma)colnames(biv)<-c("X","Y")#参数估计mu.hat<-colMeans(biv)Sigma.hat<-cov(biv)#常数密度轮廓线install.packages("mixtools")library(mixtools)plot(biv)ellipse(mu<-colMeans(biv),sigma<-cov(biv),alpha=.05,col=’red’)points(t(mu),col=’red’,pch=19)练习 1.设一个五元正态分布的均值为µ=c(1,0,0,1,1),协方差为2R,其中R为参数是θ=0.5的AR(1)结构的相关系数阵(即其i,j元ρij=0.5|i−j|)。
试(1)利用outer函数，写函数ar1(θ,n)以生成n维参数为θ的AR(1)相关系数矩阵；(2)取θ=0.5，从此五元正态分布中随机生成1000组随机数并绘制散点图阵,在散点图阵中的每个图上添加值为χ25(0.95)的常数密度轮廓线(提示,使用car包里的spm函数).从图上你能发现什么?若θ=0和0.9呢？2多元正态分布的检验多元正态分布的检验可以通过验证其一些特征是否具有来进行.比如一维边际正态性,卡方Q-Q图,一维投影正态性,energy检验统计量等等方法.#Create a normal probability plot.qqnorm(biv[,1],pch=20,main="Normal Probability Plot")qqline(biv[,1])#Chi-squre Q-Q plotD2<-mahalanobis(biv,mu,Sigma)qqplot(qchisq(ppoints(n),df=2),D2,main=expression("Q-Q plot for"~~{chi^2}[nu==2]))abline(c(0,1))#一维投影下的多重假设检验方法pvals<-testnormality(biv,numproj=10000)#testnormality函数见课件sum(sort(pvals)<1:length(pvals)*0.05/length(pvals))#Energy Statisticslibrary(energy)mvnorm.etest(biv)当数据存在异常点时,一般需要仔细处理.可以基于一些距离工具来发现异常点.R包mvoutlier (http://www.statistik.tuwien.ac.at/public/filz/papers/ArticleFGR05.pdf)提供了一些工具来发现异常点.dat<-read.table("T1-11.dat")pairs(dat)chisq.plot(dat)abline(c(0,1))library(rgl)plot3d(dat1,col=c(rep(1,300),2))##automatic detectioninstall.packages("mvoutlier")library(mvoutlier)aq.plot(dat)练习2.使用表1.10(T1-10.dat)数据,考察变量YrHgt,FtFrBody,PrctFFB,BkFat,SaleHt和SaleWt是否具有联合正态性?是否存在异常点?3正态化变换当数据的正态性假设不满足时,有时可以通过一些变换使其近似满足正态性要求.install.packages("car")library(car)m1<-read.table(file="datafiles/T4-1.dat",header=F)#microwave.door.closem2<-read.table("datafiles/T4-5.dat",header=F)#microwave.door.openmdat1<-as.matrix(cbind(m1,m2))colnames(mdat1)<-c("close","open")bc<-powerTransform(mdat1~1)#find the optimal box-cox parameter vector lambda summary(bc)bc.mdat<-bcPower(mdat1,bc$lambda)#save the transformed values#check the normalityplot(bc.mdat)chiqqplot(bc.mdat)mvnorm.etest(bc.ndat,R=999)练习3.对表3.2数据(T3-2.dat),试考察(1)对每一个变量使用散点图,盒形图判断是否存在异常值?(2)基于边际正态和联合正态两种方法分别对两个变量进行Box-Cox变换,对比两种方法下得到的Box-Cox参数值.使用正态QQ图和卡方QQ图对比原始数据和变换后的数据。
多元正态分布参数的最大似然估计
多元正态分布参数的最大似然估计多元正态分布，也称为多元高斯分布，是概率分析中一种常见的分布。
在现实中，我们经常需要对数据进行建模，并判断其分布模型是否为多元正态分布。
多元正态分布的参数包括均值向量和协方差矩阵，而最大似然估计是确定这些参数的一种常用方法。
1. 多元正态分布的定义和参数多元正态分布是指在多维空间中，各变量之间相互独立、服从正态分布的一种概率分布。
设X=(X1,X2,…,Xn)为n维列向量，且其元素都是实数，X服从n元正态分布的概率密度函数表示为：f(x;μ,Σ)=(2π)−n/2|Σ|−1/2exp{−1/2(x−μ)TΣ−1(x−μ)}其中μ是n维列向量，代表X的均值向量，Σ是n×n的协方差矩阵。
|Σ|代表Σ的行列式。
2. 最大似然估计最大似然估计是确定参数值的一种方法，该方法通过样本数据来估计未知参数的值，以最大化样本出现的概率。
对于多元正态分布来说，最大似然估计可表述为：给定一组样本X1,X2,…,Xn，我们要找到均值向量μ和协方差矩阵Σ的估计值，使得在这些参数下，样本出现的概率最大。
在确定多元正态分布的参数时，最大似然估计是一种常用方法。
假设我们已有一组独立同分布的样本数据{X1,X2,…,Xn}，为了确定多元正态分布的参数μ和Σ的最大似然估计值，我们需要按照以下步骤进行：3.1 求样本均值向量首先，我们需要求出样本均值向量x¯：x¯=1n∑i=1nXi3.2 求样本协方差矩阵其次，我们需要求出样本协方差矩阵S：最后，我们可以根据样本均值向量和协方差矩阵，求出多元正态分布的均值向量和协方差矩阵的最大似然估计值：μ=x¯Σ=S。
2-多元正态分布
Σ
21
Σ
1 11Βιβλιοθήκη I Σ12 1 Σ Σ 21 11 Σ 22
I
1 Σ12 Σ11 Σ12 I
Σ12 Σ12 0
1 所以x1与x 2 Σ 21 Σ11 x1相互独立。
十一、将 x, , 作如下的分块： Σ11 Σ12 k μ1 k Σ μ Σ 21 Σ 22 p k μ 2 p k
( x1 1 ) 2 ( x1 1 )( x2 2 ) ( x1 1 )( x p p ) 2 ( x )( x ) ( x ) ( x )( x ) 2 2 1 2 2 2 2 2 p p E 2 ( x )( x ) ( x )( x ) ( x ) 1 1 p p 2 2 p p p
11.2 11 12 21
p 元正态分布；
－1存在，x
Au 是非退化
若 rank ( A) p( p q)，则 1 不存在， x Au 是退化
p 元正态分布，不存在密度函数。
1 0 0 1 ，则 的分布是 例：设随机向量 u ~ N 2 (0, I ) ， ， A x x Au 退化的三元正态分布。 1 1
x服从维正态分布则其中的任何子向量也服从多元正态分布其均值为的相应子向量协方差为的相应子矩相互独立且则对任意个常数varvar服从维标准正态分布故1112212212相互独立2211bxaxbxax11122122相互独立与相互独立221211211121112122211211112111211212111211相互独立
矩阵与多元正态分布2
§1.5
常用分布及抽样分布
2 分布与Wishart分布
2 分布与 分布 T t
1.5.1 1.5.2 1.5.3
F 中心分布与Wilks分布
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2
分布与Wishart分布
(i 1,2,, n)
在数理统计中，若 X i ~ N (0,1)
n i 1 2 i
n n 1 ( ) ( ) 1
X （） X 1 , X 2 , X p ( 1,2, , n)
相互独立，且 X ~ N p ( , )，
2 1 2 2 X 2 X p
所遵从的分布为自由度为n的p维非中心Wishart分布，记 为 W ~ Wp (n, , Z ) 。
AB 502 102 2600 CD 1002 12 10001
1
2
A
1
2
2 有两个正态总体 G1 : N (1,12 ) 和 G2 : N (2 , 2 )，设有一个样 本，其值在A处，点A距离哪个总体近些（样本来自哪个总 体） ？
欧氏距离主要有以下两个缺点：
4、随机变量的数字特征 （1）随机向量的均值
（2）随机向量X的自协方差阵
（3）随机向量X和Y的协方差阵 （4）随机向量的X的相关阵
例：益寿宁的降血脂效果
求均值向量和协方差阵、相关系数矩阵
相关系数矩阵＝？？
例：在一项实验中，测得大豆的周龄x(以周计) 和平均高度y(厘米)的数据如下：
注意：方阵A的特 征值之和等于方 阵A的迹
例：
先用7代替特征方程左端行列式中的λ
3－7 4
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（2） ~ Wp (n,) ，C为m×p阶的矩阵，则CC的分布
为Wm (n,CC) 分布。
（3） ~ Wp (n,) ，a 为任一p元常向量，满足a 'a 0 ,
则 a ' Aa ~ 2 (n) .
a 'a
三、 多元正态分布总体的抽样分布
定理1：设X1,X2,……Xn是来自多元正态总体Np(,) 的简单随机样本，有
二、协方差矩阵
1、定义：设 x (x1, x2,, xp )和 y ( y1, y2,, yq ) 分 别为 p 维和 q 维随机向量，则其协方差矩阵为
E
x1 x2
E(x1) E(x2 )
y1
E( y1)
xp E(xp )
y2 E( y2 )
yq
E(
yq
)
cov(
x1
x (x1, x2,, xp )
2.第 个样品的观测值：
x( ) (x1, x 2 , , x p ), 1, 2, , n
3.样本资料矩阵：
x11 x12
X
x21
x22
xn1
xn 2
x1q
x2q
(
X1,
X
2
,
xnq
,
X
q
)
X' (1)
X' (2)
X
' (n
)
定义：设 x1, x2 , , xp为p个随机变量，则由它们
设X =(X1,X2)'遵从二元正态分布，则
11 11
12 12
＝
2 1
1
1 2r
2r
2 2
,
r
1,
＝
12
2 2
(1
r2 ),
1
1
12
2 2
(1
r2)
2 2
1 2r
1 2r
2 1
故X1与X2的密度函数为
f
( x1 ,
x2
)
2π1
2
1 (1
r2
)1/2
exp
1 2(1
r2
)
(
x1
1)2 12
2r
( x1
1 )( x2 1 2
2
)
( x2
2
2 2
)2
思考：r=0,r>0,r<0分别意味着什么？
二、多元正态分布的性质
1、如果正态随机向量X =(x1, x2, , xp ) '的协方差阵 是 对角阵，则X的各分量是相互独立的随机变量。
2、多元正态分布随机向量X的边际分布仍然遵从正态
第一章 多元正态分布
主要内容
§1 一元分布 §2 多元分布的基本概念 §3 随机向量的数字特征 §4 多元正态分布 §5 样本分布
§2 多元分布的基本概念
一、随机向量 二、多元概率分布函数 三、多元概率密度函数 四、边际分布 五、条件分布 六、独立性
§2 多元分布的基本概念
一、随机向量
1.对同一个体观测的p个变量：
x1 (x11, x12 ,, x1p )
x2 (x21, x22 ,, x2 p )
xn (xn1, xn2 ,, xnp )
令
1 n
n i 1
i
，
S
n
i1(Xi
X)(Xi
X)
则有
S
n
X
i1
j Xj
nXX
1、
~
N
p
(,
1ห้องสมุดไป่ตู้n
)
2、和S相互独立
3、S ~ Wp (n 1,)
f(1) (x1,, xq )
f (x1, x2 , xp )dxq1dxp
F(1) ()称为F ()的边际分布函数， f(1) ()称为f ()的边际分布密度函数。
§3 随机向量的数字特征
一、数学期望：均值 二、协方差矩阵 三、相关系数矩阵
§3 随机向量的数字特征
一、数学期望：均值
x11
Var
(x)
cov(
x2
,
x1
)
cov( x1, x2 )
var( x2 )
cov( x1, xp ) cov( x2, xp )
cov( xp , x1) cov( xp , x2 ) var( xp )
2、协方差矩阵的性质
1）若x=(x1,x2,…，xp)’ 和y=(y1,y2,…，yp)'不 相关，则
在多元正态随机变量也有类似的样本分布，即维希特 分布。
当 1 ，p 1 时，由卡方分布的定义可知
n
A xi2 ~ 2 (n) i 1
可见维希特分布是卡方分布在多元下的推广。
3、维希特（Wishart）分布的密度函数
定理1：若 ~ Wp (n,) ，且 0 ，n p ，则 的分布密度
为
r(x1, xp )
r ( x2
,
xp
)
(rij
)
p×p
r(xp , xp )
§4 多元正态分布
一、多元正态分布的定义 二、多元正态分布的性质 三、多元正态分布的条件分布和独立性 四、均值向量和协方差阵的点估计
§4 多元正态分布
一、多元正态分布的定义
定义 ： 若p元随机变量X =(x1, x2, , xp ) '的概率密度函数为：
f (x1, x2 ,
, xp)
(2 ) p
2
1 2
exp[
1 (x )1(x
2
)]
( 0)
则称X =(x1, x2, , xp ) '遵从p元正态分布，也称X为p元正态变量。
记为 ： X ~ N p (, ).
定理 ： 设X ~ N p (, )，则 E(X ) ，D(X ) .
❖ 例：二元正态分布的密度公式
X' (2)
X
' (n
)
设样品X(1) , , X(n)相互独立，同遵从于p元正态分布N p (, )，
且n > p， 0，则
1、总体均值的估计值为样本均值向量
n
xi1
i=1 n
X
1
ˆ
X
1 n
n i 1
X (i)
1 n
i=1
xi2
X2
n X p
i=1
xip
是的无偏估计。
2、总体协方差阵的极大似然估计为：
ˆ m
1 n
S
1 n
n i 1
( X(i)
X )( X (i)
X )
n
(xi1 X1)2
i1
1 n
n
(xi1 X1)(xi2 X 2 )
i 1
n
(xi2 X 2 )2
i1
n
( xi1
X 1 )( xip
X
p
)
i 1
n
(xi2 X 2 )(xip X p )
矩阵 除主对角线上的元素外均为零，即
var( x1)
Var
(x)
0
0
var( x2 )
0 0
0
0
var( xp )
2）随机向量X的协方差矩阵是非负定矩阵。 证：设a为任意与X有相同维数的常数向量，则
aa a[E(x )(x )]a
E[a(x )(x )a] E[a(x )]2 0
3）设A是常数矩阵，b为常数向量，则 V(AX+b)=AV(X)A’ ；
V (AX b)
E[(AX b) (A b)] [(AX b) (A b)]
AE[(x )(x )]A AV (x)A
4)若x=(x1,x2,…，xp)’ 和y=(y1,y2,…，yq)分别 是p和q维随机向量，A和B为常数矩阵，则
，则随机矩阵
n
i
i
i1
A X X
x11 x21
x12
x22
x1
p
x2 p
xn1 x11 x12
xn
2
x21
x22
xnp
xn1
xn2
x1p
x2
p
xnp
n
X il X lj
l 1
服从自由度为 n 的非中心维斯特分布，记为 ~ Wp (n,,。μ)
在一元正态随机变量中，我们曾经讨论了分2 布，
4、若 X ~ NP (, ) ，则 d 2 (X )'1(X ) ~ 2 ( p).
三、多元正态分布的条件分布和独立性
定理：
四、均值向量和协方差阵的点估计
若样本资料阵为：
x11 x12
X
x21
x22
xn1
xn 2
x1p
x2
p
(
X1,
X
2
,
xnp
,
X
p
)
X' (1)
Cov(Ax,By) ACov(x, y)B
证 Cov(Ax,By) E{[(Ax AE(x)][(Bx BE(x)]}
AE[(x )(x )]B 5)若k1,k2,…，kn是n个不全为零的常数， x1,x2,…，xn是相互独立的p维随机向量，则
V (k1x1 k2x2 knxn ) k12V (x1) k22V (x2 ) kn2V (xn )
1、定义：X
x21
x12 x1q
x22
x2
q
x
p1
xp2
x
pq
是由随机变量构成的随机矩阵，定义X的数学 期望为
E(x11)