哈三中2020 届高三综合题(一)理科数学
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)(附答案详解)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|x2−3x−4>0},B={x|xx−5<0}，那么集合(∁U A)∩B=()A. {x|−1≤x≤4}B. {x|0<x≤4}C. {x|0<x<5}D. {x|−1≤x<5}2.i为虚数单位，满足i⋅z=2+i的复数z的虚部是()A. 1B. iC. −2D. −2i3.(√3x2−x4)3的展开式中的常数项为()A. −3√3B. 3√3C. −9D. 94.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，若棱锥的体积为3π，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为()A. √33B. 1C. √3D. 2√35.某商场每天的食品销售额x(万元)与该商场的总销售额y(万元)具有相关关系，且回归方程为ŷ=9.7x+2.4.已知该商场平均每天的食品销售额为8万元，估计该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为()A. 110B. 19C. 18D. 176.已知S n为等比数列{a n}的前n项和，且S3是S4与S5的等差中项，则数列{a n}的公比为()A. −2B. −12C. 12D. −2或17.某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布N(120,9)，成绩在(117,126]之外的人数估计有()(附：若X服从N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.682，P(μ−2σ<X≤μ+ 2σ)=0.9545)A. 1814人B. 3173人C. 5228人D. 5907人8.以F1(−√2,0),F2(√2,0)为焦点的椭圆与直线x−y+2√2=0有公共点，则满足条件A.x 26+y 24=1B.x 23+y 2=1C.x 25+y 23=1D.x 24+y 22=19. 已知某同学每次射箭射中的概率为p ，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784，则p =( )A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.810. 已知函数y =log 2x 和函数y =log 2(x −2)的图象分别为曲线C 1，C 2，直线y =k 与C 1，C 2分别交于M ，N 两点，P 为曲线C 1上的点．如果△PMN 为正三角形，则实数k 的值为( )A. log 2(2√3−1)B. −log 2(2√3−1)C. (2√3−1)12D. −(2√3−1)1211. 将一枚骰子抛掷3次，则最大点数与最小点数之差为3的概率是( )A. 13B. 14C. 15D. 1612. 已知函数f(x)={|−|x +1|+1|,x ≤0ln(ex)x+1,x >0，若方程[f(x)]2−mf(x)+n =0(n ≠0)有7个不同的实数解，则2m +3n 的取值范围( )A. (2,6)B. (6,9)C. (2,12)D. (4,13)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f(x)=4cos(x −5π6)cosx −m 在[0,π2]上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______．14. 已知点P 为圆(x −6)2+(y −8)2=1上任一点，F 1，F 2分别为椭圆x 24+y 23=1的两个焦点，求PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围______．15. 若直线y =kx +b 是曲线y =lnx 的切线，也是曲线y =e x−2的切线，则k =______． 16. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为2c ，A 1，A 2是实轴顶点，以A 1A 2为直径的圆与直线bx +cy −bc =0在第一象限有两个不同公共点，则双曲线离心率e 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosA +√32a =c ．(1)若sinBsinC =cos 2A2，求C 的大小；(2)若AC 边上的中线BM 的长为1+√3，求△ABC 面积的最大值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD=CD=1，∠ADC=120°，PA=AB=BC=√3，点M是AC与BD的交点．(1)求二面角A−PC−B的余弦值；(2)若点N在线段PB上且MN//平面PDC，求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．19.哈三中总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法．某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品．并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为0.7，0.2和0.1.为了购买该品牌的粉笔，校总务主任设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔，随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买．设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件B i(i=0,1,2)．(1)求P(A|B0)，P(A|B1)，P(A|B2)；(2)随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列及期望；(3)若购买100箱该品牌粉笔，如果按照主任所设计方案购买的粉笔中，箱中每盒粉期望大10，则所设计的方案有效．讨论该方案是否有效．20. 已知函数f(x)=x 2+mx +2lnx ．(1)讨论f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若对∀x >0，f(x)−2e x −3x 2≤0恒成立，求实数m 的取值范围； (3)证明：若x ∈(0,+∞)，不等式e x +x 2−(e +1)x +1x −1≥0成立．21. 过x 轴正半轴上一点M(m,0)做直线与抛物线E ：y 2=x 交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，(y 1>0>y 2)两点，且满足0<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <2，过定点N(4,0)与点A 做直线AC 与抛物线交于另一点C ，过点N(4,0)与点B 做直线BD 与抛物线交于另一点D.设三角形AMN 的面积为S 1，三角形DMN 的面积为S 2． (1)求正实数m 的取值范围；(2)连接C ，D 两点，设直线CD 的斜率为k 0；(i)当m =43时，直线AB 在y 轴的纵截距范围为[−83,−43]，则求k 0的取值范围； (ii)当实数m 在(1)取到的范围内取值时，求S 2S 1的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{x =2√3cosαy =√6sinα(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =√3+√22t，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的极坐标方程以及直线l 的普通方程；f(2)若点A(1,√3)，直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，弦P ，Q 的中点为M ，求|AP|⋅|AQ||AM|的值．23. 设函数f(x)=|x +1|+|3−x|．(1)求f(x)≥5的解集；(2)若∀x ∈R ，使f(x)≥m 恒成立的m 的最大值为n.正数a ，b 满足12a+b +1a+3b =n ，求3a +4b 的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合A={x|x2−3x−4>0}={x|x<−1或x>4}，B={x|0<x<5}，则∁U A={x|−1≤x≤4}，那么集合(∁U A)∩B={x|0<x≤4}，故选：B．首先解不等式求出集合A，B，由补集的运算求出∁U A，再由交集的运算求出(∁U A)∩B．本题考查了解不等式和集合交、补集的混合运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由i⋅z=2+i，得z=2+ii =(2+i)(−i)−i2=1−2i，∴复数z的虚部是−2．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵(√3x2−x4)3的展开式中的通项公式为T r+1=C3r⋅(−1)r⋅(√3)3−r⋅x6r−6，令6r−6=0，求得r=1，可得常数项为−C31⋅3=−9，故选：C．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，棱锥的体积为3π，∴圆锥的体积为3π，∵圆锥的侧面展开图是半圆，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是πR，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=πR，∴R=2r，∴圆锥的高ℎ=√(2r)2−r2=√3r，∴圆锥的体积V=13×πr2×√3r=3π．解得r=√3，则圆锥的母线长为R=2r=2√3．故选：D．推导出圆锥的体积为3π，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是πR，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则R=2r，圆锥的高ℎ=√(2r)2−r2=√3r，由此能求出圆锥的母线长．本题考查圆锥的母线长的求法、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】A【解析】解：∵商场每天的食品销售额x(万元)与该商场的总销售额y(万元)的线性回归方程为ŷ=9.7x+2.4，∴当商场平均每天的食品销售额为8万元时，该商场平均每天的总销售额为y=9.7×8+ 2.4=80，∴该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为：880=110，故选：A．根据线性回归方程得到该商场平均每天的总销售额，从而求出该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值．本题主要考查了函数的实际应用，以及线性回归方程的应用，是基础题．6.【答案】A【解析】解：S3是S4与S5的等差中项，即为2S3=S4+S5，若公比q=1，则S n=na1，即有6a1=4a1+5a1，即a1=0，显然不成立，故q≠1，则2⋅a1(1−q 3)1−q =a1(1−q4)1−q+a1(1−q5)1−q，化为2q3=q4+q5，即q2+q−2=0，解得q=−2或1(舍去)，故选：A．由等差数列的中项性质和等比数列的求和公式，解方程可得所求公比，注意公比为1的情况．本题考查等比数列的求和公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由数学分数服从正态分布N(120,9)，得μ=120，σ=3．则P(117<x≤126)=P(117<X≤123)+P(123<X≤126)=P(μ−σ<X≤μ+σ)+12[P(μ−2σ<X≤μ+2σ)−P(μ−σ<X≤μ+σ)]=0.682+12(0.9545−0.682)=0.81825．则成绩在(117,126]之内的人数估计有8183，∴成绩在(117,126]之外的人数估计有1817，与1814最接近．故选：A．由已知可得μ=120，σ=3，则P(117<x≤126)=P(μ−σ<X≤μ+σ)+12[P(μ−2σ<X≤μ+2σ)−P(μ−σ<X≤μ+σ)]，求出概率，乘以10000可得成绩在(117,126]之内人数的近似值，再由10000减去该近似值得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：以F1(−√2,0),F2(√2,0)为焦点的椭圆，设椭圆方程为x2a2+y2a2−2=1(a2>2)，由{x 2a 2+y 2a 2−2=1x −y +2√2=0得(2a 2−2)x 2+4√2a 2x +10a 2−a 4=0， 由题意，a 有解，∴△=(4√2a 2)2−4(2a 2−2)(10a 2−a 4)≥0， ∴a 4−7a 2+10≥0，∴a 2≥5或a 2≤2(舍)，∴a min 2=5，此时椭圆方程是：x 25+y 23=1．故选：C ．先设椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，再根据该方程组有解即可求出a 的最小值，则问题解决．本题主要考查由代数方法解决直线与椭圆交点问题，是中档题．9.【答案】C【解析】解：某同学每次射箭射中的概率为p ，且每次射箭是否射中相互独立， 该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784，则1−[C 31p(1−p)2+C 30p 0(1−p)3]=0.784，解得p =0.7． 故选：C ．利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生一次的概率计算公式能求出结果．本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生一次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】B【解析】解：由已知可设M(2k .k)，N(2k +2,k)，则P 点横坐标为2k +1， 又因为点P 在函数y =log 2x 的图象C 1上，所以P(2k +1,log(2k +1))，因为△PMN 为正三角形，则∠PMN =60°，故直线PM 的∴log2(2k+1)−k2k+1−2k=√3，即log2(2k+1)=k+√3，∴2k+√3=2k+1，即2k=2√3−1，∴k=−log2(2√3−1)，故选：B．由已知条件设出M，N，P的坐标，利用直线PM的倾角是60°，即斜率为√3，利用斜率的坐标公式列出关于K的方程，解指对数方程即可本题主要考查对数函数的图象和性质应用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数n=6×6×6=216，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：①取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为C32C41=12，②取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为C32C41=12，③取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为C32C41=12，则最大点数与最小点数之差为3的概率是：P=12+12+12216=16．故选：D．将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数n=6×6×6=216，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：①取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为C32C41=12，②取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为C32C41=12，③取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为C32C41=12，由此能求出最大点数与最小点数之差为3的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】C【解析】解：当x >0时，f′(x)=1−ln(ex)x 2，令f′(x)=0，解得x =1，故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，且f(1)=2，x →+∞时，f(x)→1， 作出函数f(x)的图象如下图所示，令t =f(x)，则t 2−mt +n =0有两个不同的实数根t 1，t 2，要使方程[f(x)]2−mf(x)+n =0(n ≠0)有7个不同的实数解，则t 1∈(0,1)，t 2∈[1,2)， ∴{n(1−m +n)<0(1−m +n)(4−2m +n)≤0，即{n(m −n −1)>0(m −n −1)(2m −n −4)≤0， 作出上述不等式组表示的可行域如下图所示，由可行域可知，当(m,n)取点(1,0)时，2m +3n 最小，且最小值为2； 当(m,n)取点(3,2)时，2m +3n 最大，且最大值为12． 故2m +3n 的取值范围为(2,12)． 故选：C ．利用导数研究函数f(x)的性质，可作出f(x)的草图，观察图象，结合题设条件可得方程t 2−mt +n =0有两个不同的实数根t 1，t 2，且t 1∈(0,1)，t 2∈[1,2)，利用二次函数根的分布，可以得到m ，n 满足的约束条件，由此作出可行域，再根据2m +3n 的几何意义，求得取值范围．本题考查分段函数的综合运用，涉及了利用导数研究函数的性质，“套套”函数，二次函数根的分布，简单的线性规划等知识点，考查换元思想，数形结合思想，函数与方程思想等数学思想，考查逻辑推理能力，运算求解能力，直观想象等数学能力，属于较难题目．13.【答案】[0,2−√3)【解析】解：依题意，函数g(x)=4cos(x−5π6)cosx，x∈[0,π2]上的图象与直线y=m有两个不同的交点，g(x)=4(cosxcos5π6+sinxsin5π6)cosx=4(−√32cosx+12sinx)cosx=2sinxcosx−2√3cos2x=sin2x−√3cos2x−√3=2sin(2x−π3)−√3，又x∈[0,π2]，∴2x−π3∈[−π3,2π3]，∴2sin(2x−π3)−√3∈[−2√3,2−√3]，函数g(x)的图象如下，由图可知，m∈[0,2−√3)．故答案为：[0,2−√3)．依题意，函数g(x)=4cos(x−5π6)cosx，x∈[0,π2]上的图象与直线y=m有两个不同的交点，化简g(x)=2sin(2x−π3)−√3，作出函数g(x)在x∈[0,π2]上的图象，观察图象即可得到m的取值范围．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及化简求解能力，属于中档题．14.【答案】[80,120]【解析】解：如图，椭圆x 24+y 23=1的焦点F 1(−1,0)，F 2(1,0)，设P(6+cosθ,8+sinθ)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−7−cosθ,−8−sinθ)，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−5−cosθ,−8−sinθ)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =100+4(4sinθ+3cosθ)=100+20sin(θ+φ)(tanφ=34).∵−20≤20sin(θ+φ)≤20， ∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[80,120]． 故答案为：[80,120]．由椭圆方程求出焦点坐标，设P(6+cosθ,8+sinθ)，得到PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，写出数量积，再由三角函数求最值可得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．本题考查圆与椭圆综合，考查平面向量的数量积运算，训练了利用三角函数求最值，是中档题．15.【答案】1或1e【解析】解：设y =kx +b 与y =e x−2和y =lnx 的切点分别为(x 1,e x 1−2)、(x 2,lnx 2)； 由导数的几何意义可得k =e x 1−2=1x 2，曲线y =e x−2在(x 1,e x 1−2)处的切线方程为y −e x 1−2=e x 1−2(x −x 1)， 即y =e x 1−2⋅x +(1−x 1)e x 1−2，曲线y =lnx 在点(x 2,lnx 2)处的切线方程为y −lnx 2=1x 2(x −x 2)，即y =1x 2x +lnx 2−1，则{e x 1−2=1x2(1−x 1)e x 1−2=lnx 2−1， ∴(1x 2−1)(lnx 2−1)=0，解得x 2=1，或x 2=e ．当x 2=1时，切线方程为y =x −1，即k =1， 当x 2=e 时，切线方程为y =xe ，即k =1e ， ∴k =1或1e ． 故答案为：1或1e ．分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得答斜率和截距相等，从而求得切线方程得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．16.【答案】(√2,√5+12)【解析】解：由题意如图，要使以A 1A 2为直径的圆与直线bx +cy −bc =0在第一象限有两个不同公共点， 可得直线在x ，y 轴的交点分别为：(c,0)，(0,b)， 则O 到直线的距离小于半径，且b >a ，即bc√b 2+c 2<a ，b >a ，整理可得：{b 2>a 2c 4−3a 2c 2+a 4<0，即{2a 2<c 2e 4−3e 2+1<0，解得√2<e <√5+12， 故答案为：(√2,√5+12).由题意可得O 到直线的距离小于半径，且b >a ，可得a ，c 的关系，进而求出离心率的范围．本题考查双曲线的性质及点到直线的距离公式，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵bcosA +√32a =c ．∴由正弦定理可得sinBcosA +√32sinA =sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA ，∴√32sinA =sinAcosB ，∴由sinA ≠0，可得cosB =√32，由B ∈(0,π)，可得B =π3，∵由题意sinBsinC =cos 2A2=1+cosA 2，∴sinBsinC =1−cosCcosB ， ∴cos(C −B)=1， ∵C ，B ∈(0,π)， ∴C =B ， ∴C =B =π3，(2)∵由(1)可得B =π3，∴由向量的中点表示可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴两边平方可得：BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，可得：c 2+a 2+2⋅c ⋅a ⋅cosB =4(1+√3)2，可得：c 2+a 2+ac =16+8√3， ∴16+8√3≥2ac +ac =3ac ，解得ac ≤16+8√33，当且仅当a =c 时取等号，∴△ABC 的面积S =12acsinB =√34ac ≤4√3+63，当且仅当a =c 时取等号，即△ABC 面积的最大值是4√3+63．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式可得√32sinA =sinAcosB ，结合sinA ≠0，可得cosB =√32，结合范围B ∈(0,π)，可得B =π3，进而利用二倍角公式，两角差的余弦函数公式化简已知等式可得cos(C −B)=1，结合范围C ，B ∈(0,π)，可得C =B =π3，即可得解．(2)由已知运用向量的中点表示可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用向量的模的平方即为向量的平方以及基本不等式即可得到ac 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式，基本不等式，三角形的面积公式以及平面向量的运算，考查了转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)在△ACD 中，AC =√AD 2+CD 2−2AD ⋅CD ⋅cos120°=√3，cos∠DAC =AD 2+AC 2−CD 22AD⋅AC=√32，则∠DAC =π6． 在△ABC 中，cos∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC =12，则∠DAC =π6， 在△ABC 中，cos∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC=12，则∠BAC =π3， ∴∠BAD =π2，∴AB ⊥AD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴分别以直线AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， B(√3,0,0)，C(√32,32,0)，A(0,0,0)，P(0,0,√3)，N(√34,0,3√34)，M(√34,34,0)， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,√3)， 设平面ACP 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y =0m ⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3z =0，取x =√3，则m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)， 设平面BCP 的法向量n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32a +32b =0n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3a +√3c =0，取a =√3，得n ⃗ =(√3,1,√3)，则cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√4×√7=√77， ∴二面角A −PC −B 的余弦值为√77． (2)设平面PCD 的法向量a ⃗ =(m,n,t)， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,−√3)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)， 则{a ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32m +32n −√3t =0a ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n −√3t =0，取n =√3，得a ⃗ =(−1,√3,1)，设N(x,y,z)，且BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0≤λ≤1)，满足(x −√3,y,z)=λ(−√3,0,√3)， 则N(√3−√3λ,0,√3λ)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√34−√3λ,−34,√3λ)，∵点N 在线段PB 上且MN//平面PDC ， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅a ⃗ =√3λ−3√34−3√34+√3λ=0，解得λ=34．MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−34,3√34)， ∵平面ACP 的法向量m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，cos <m ⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=342×32=14．∴直线MN与平面PAC所成角的正弦值为14．【解析】(1)分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，求出平面APC的法向量、平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A−PC−D的正切值．(2)先根据条件求出点N的具体位置，再利用向量法能求出直线MN与平面PAC所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由已知P(A|B0)=1，P(A|B1)=C194C204=45，P(A|B2)=C184C204=1219．(2)X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=0.7+0.2×C194C204+0.1×C184C204=877950，P(X=1)=0.2×C193C204+0.1×C21C138C204=70950，P(X=2)=0.1×C22C182C204=3950，∴随机变量X的分布列为：E(X)=1×70950+2×3950=38475．(3)由(1)知P(A)=P(X=0)=877950，按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为：P(B0|A)=P(AB0)P(A)=P(A|B0)P(B0)P(A)=666877，∵100×665877−100×0.7<10，∴该方案无效．【解析】(1)利用古典概型概率计算公式能求出P(A|B0)，P(A|B1)，P(A|B2).(2)X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．(3)由P(A)=P(X=0)=877950，得到按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为P(B0|A)=P(AB0)P(A)=P(A|B0)P(B0)P(A)=666877，由100×665877−100×0.7<10，得到该方案无效．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查方案是否有效的判断与求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)f′(x)=2x+m+2x =2x2+mx+2x(x>0)，对于方程2x2+mx+2=0，Δ=m2−16，①当−4≤m≤4时，Δ=m2−16≤0，f′(x)≥0，此时f(x)没有极值点；②当m<−4时，方程2x2+mx+2=0的两根为x1，x2，不妨设x1<x2，则x1+x2=−m2>0,x1x2=1,0<x1<x2，当0<x<x1或x>x2时，f′(x)>0，当x1<x<x2时，f′(x)<0，此时x1，x2是函数f(x)的两个极值点；③当m>4时，方程2x2+mx+2=0的两根为x3，x4，且x3+x4=−m2<0,x3x4=1，故x3<0，x4<0，当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，故f(x)没有极值点；综上，当m<−4时，函数f(x)有两个极值点；当m≥−4时，函数f(x)没有极值点；(2)f(x)−2e x−3x2=x2+mx+2lnx−2e x−3x2≤0，即mx+2lnx−2e x−2x2≤0，则m≤2x2+2e x−2lnxx，设g(x)=x2+e x−lnxx,g′(x)=x2−1+(x−1)e x+lnxx2，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，则g(x)≥g(1)=e+1，故m≤2(e+1)；(3)证明：由(2)知当m=2(e+1)时，(e+1)x+lnx−e x−x2≤0恒成立，即e x+x2−(e+1)x≥lnx，欲证e x+x2−(e+1)x≥1−1x ，只需证lnx≥1−1x，设ℎ(x)=lnx−1+1x ,ℎ′(x)=x−1x2，∴当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， 当x ∈(1,+∞)，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， ∴ℎ(x)≥ℎ(1)=0，故lnx ≥1−1x ，∴对x ∈(0,+∞)，不等式e x +x 2−(e +1)x +1x −1≥0成立．【解析】本题考查利用导数研究函数的极值，以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想以及推理论证能力，属于较难题目．(1)函数的定义域为(0,+∞)，求导后研究方程2x 2+mx +2=0，分类讨论得出函数的单调性情况，进而得出极值点情况； (2)问题等价于m ≤2x 2+2e x −2lnxx，设g(x)=x 2+e x −lnxx，利用导数求函数g(x)的最小值即可；(3)由(2)知，(e +1)x +lnx −e x −x 2≤0恒成立，则问题转化为证明lnx ≥1−1x ，设ℎ(x)=lnx −1+1x ，利用导数证明ℎ(x)≥0恒成立即可．21.【答案】解：(1)设直线AB 方程为x =ty +m ，联立直线AB 与抛物线方程得{x =ty +my 2=x ，解得y 2−ty −m =0，则△=t 2+4m >0且{x 1x 2=m 2y 1y 2=−m，又∵0<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <2， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=m 2−m ∈(0,2)，解得1<m <2， ∴正实数m 的取值范围为(1,2)；(2)设A(y 12,y 1),B(y 22,y 2),C(y 32,y 3),D(y 42,y 4)，设过点N(4,0)的直线为x =t 1y +4，过点M(43,0)的直线为x =t 2y +43，由{x =t 1y +4y 2=x ，联立解得y 2−t 1y −4=0， 由{x =t 2y +43y 2=x ，联立解得y 2−t 2y −43=0， ∴{y 1y 3=−4y 2y 4=−4y 1y 2=−43， ∴k ABkCD=y 1−y 2y 12−y 22y 3−y 4y 32−y 42=y 3+y 4y1+y 2=−4(1y 1+1y 2)y 1+y 2=−4y1y 2=3，(i)∵直线AB 在y 轴上的纵截距取值范围为[−83,−43]， ∴k AB ∈[1,2]，∴k CD =13k AB ∈[13,23]，即k 0∈[13,23]；(ii)S △AMN =12⋅MN ⋅y 1,S △DMN =12⋅MN ⋅y 4， 由(1)和(i)可知，{y 1y 2=−my 2y 4=−4，∴S 2S 1=y 4y 1=−4−m =4m ∈[2,4]．【解析】(1)设直线AB 方程为x =ty +m ，与抛物线方程联立，由韦达定理可得{x 1x 2=m 2y 1y 2=−m，再结合已知条件0<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <2，即可求得正实数m 的取值范围； (2)设A(y 12,y 1),B(y 22,y 2),C(y 32,y 3),D(y 42,y 4)，设过点N(4,0)的直线为x =t 1y +4，过点M(43,0)的直线为x =t 2y +43，与抛物线方程联立后，可得{y 1y 3=−4y 2y 4=−4y 1y 2=−43，进而求得k AB =3k CD ，(i)由题意可知，k AB ∈[1,2]，进而得到k 0∈[13,23]；(ii)易知S 2S 1=y 4y 1=4m ，结合(1)中m 的范围即得解．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查逻辑推理能力及运算求解能力，对计算能力要求较高，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =2√3cosαy =√6sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 212+y 26=1．直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =√3+√22t ，(t 为参数).转换为直角坐标方程为x −y −1+√3=0．(2)把直线的参数方程{x =1+√22t y =√3+√22t ，(t 为参数)，代入x 212+y 26=1，得到32t 2+(2√6+√2)t −5=0， 所以t 1+t 2=−4√6+2√23，t 1t 2=−103， 所以t 1+t 22=−2√6+√23，即|AM|=|t 2+t 22|=2√6+√23，|AP|⋅|AQ|=|t 1t 2|=103，所以|AP|⋅|AQ||AM|=1032√6+√23=10√6−5√211．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和二次函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)|x +1|+|3−x|≥5等价为{x ≥3x +1+x −3≥5或{−1<x <3x +1+3−x ≥5或{x ≤−1−x −1+3−x ≥5， 解得x ≥72或x ∈⌀或x ≤−32，则原不等式的解集为(−∞,−32]∪[72,+∞)；(2)若∀x ∈R ，使f(x)≥m 恒成立，即为m ≤f(x)min ，由|x +1|+|3−x|≥|x +1+3−x|=4，当−1≤x ≤3时，取得等号，则f(x)的最小值为4，可得m ≤4，则n =4，即12a+b +1a+3b =n =4，由a >0，b >0，可得3a +4b =14[(2a +b)+(a +3b)](12a+b +1a+3b )=14(2+a+3b 2a+b +2a+b a+3b )≥14(2+2√a+3b 2a+b ⋅2a+ba+3b )=1， 当且仅当2a +b =a +3b ，即a =2b =15时取得等号，则3a +4b 的最小值为1．【解析】(1)由零点分区间法，结合绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得m ≤f(x)min ，运用绝对值的性质可得其最小值，进而得到m 的最大值，再由乘1法和基本不等式，可得所求最小值，注意运用3a +4b =(2a +b)+(a +3b)的变形．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用：求最值，化简整理的运算能力，属于中档题．。
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合(一)数学(理)试题(解析版)
C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得，因为 ， ，函数 在区间 内恒有 ，所以 ，由复合函数的单调性可知 的单调递减区间 ，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为 ，故选C．
考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.
【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出 的底数 的值，由 ，可得到内层函数的值域，再由 恒成立，可得到底数 的取值范围，再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.
【答案】D
【解析】A.根据众数和中位数的性质进行判断；
B.根据系统抽样的定义进行判断；
C.根据充分条件和必要条件的定义进行判断；
D.根据含有量词的命题的否定进行判断.
【详解】
对于A，在频率分步直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A错误；
对于B，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B错误；
故答案为：
【点睛】
本题考查了解三角形在实际问题中的应用，考查了学生综合分析，数学建模，数学运算的能力，属于较难题.
三、解答题
17．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 ， 的值.
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】（1）使用三角形的内角和公式和二倍角公式化简式子，得出cosC的方程；
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将给出的条件： ， ， ， 成等比数列用基本量 表示，求解 ，进而得到前 项和 .
哈三中2020届高三学年第一次调研考试理科数学试卷答案
2020届高三学年第一次调研考试数学科试卷（理科）参考答案1. A2. D3. B4. C5. A6. A7. B8. D9.C 10.B 11. C 12. B ． 13． 250x y +-= 14．－2. 15.2916．4π 17．解：（1）在ABC ∆中，，，解得2BC =，∴．（2）Q，∴，∴在ABC ∆中，，∴， ．∴13CD =18. 证明：（1）如图1，三棱柱中，连结BM ， 11BCC B Q 是矩形，1BC BB ∴⊥，11//AA BB Q ，1AA BC ∴⊥，1AA MC ⊥Q ，，1AA ∴⊥平面BCM ，1AA MB ∴⊥， 1AB A B =Q ，M ∴是1AA 中点， //NP MA ∴，且NP MA =，∴四边形AMNP 是平行四边形，//MN AP ∴， MN ⊂/Q 平面ABC ，AP ⊂平面ABC ，//MN ∴平面ABC ．解：（2）1AB A B ⊥Q ，1ABA ∴∆是等腰直角三角形，设AB ， 则12AA a =，，在Rt ACM ∆中，2AC a =，MC a ∴=，在BCM ∆中，，MC BM ∴⊥，由（1）知1MC AA ⊥，1BM AA ⊥， 如图2，以M 为坐标原点，1MA ，MB ，MC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0M ，0，0)，(0C ，0，)a ，1(2B a ，a ，0)，(,,)22a aN a ∴，，设平面CMN 的法向量(n x =r，y ，)z ，则00n MC n MN ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r r g u u u u r rg ，即，取1x =，得(1n =r ，2-，0)，平面ACM 的法向量(0m =r，1，0)，则，Q 二面角A CM N --的平面角是钝角，∴二知识面角A CM N --的余弦值为．19．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在[20，40)的频率为，故抽取的学生答卷总数为6600.1=，，18x =． ∴没有90%的把握，认为性别与安全测试是否合格有关．（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以X 可能的取值为20、15、10、5、0，，1421735210所以．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：∴．故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育案．⋯⋯⋯⋯ 20. 解（1）可知12(1,0)(1,0)F F -，设0000(,),(,)P x y Q x y - 则22120000005(1,)(1,)1F P F Q x y x y x y =-=+--=--u u u r u u u u rg g ，又2004y x =， 所以200514x x -=-- 解得02x =，所以T （2,0）（2）据题意，直线m 的斜率必不为0，所以设:1m x ty =+，将直线m 的方程代入椭圆的方程中，整理得22(2)210t y ty ++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122221(1),(2)22t y y y y t t +=-=-++，因为22F A F B λ=u u u u r u u u u r ，所以12y y λ=且0λ<，将（1）式平方除以（2）式得212221422y y t y y t ++=-+C所以221422t t λλ++=-+，又[]2,1λ∈--，解得2207t ≤≤又1212(4,)TA TB x x y y +=+-+u u r u u r ，2121224(1)4()22t x x t y y t ++-=+-=-+ 所以2221212222288=(4)()162(2TA TB x x y y t t ++-++=-+++u u r u u r ）令212n t =+，则71,162n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以222717169=828+16=8()4,4232TA TB n n n ⎡⎤+---∈⎢⎥⎣⎦u u r u u r所以28TA TB ⎡+∈⎢⎣⎦u u r u u r ，21． 解：（1）因为22321x y lnxx =-，(1)x >，所以，当3x =时，；证明：（2）要证，只需证设，则所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，所以()h x h <（1）0= 所以16yx <，即16m <；证明（3）因为，又由（2）知，当1x > 时，12x lnx x ->，所以，所以， 所以．[选修4--4：坐标系与参数方程] 22． 解：（1）由得，将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式并整理得曲线C 的直角坐标方程为2212x y +=，设点P 的直角坐标为(,)x y ，因为P 的极坐标为，)4π，所以，，所以点P 的直角坐标为(1,1)．（2）将315415x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2212x y +=，并整理得，因为△，故可设方程的两根为1t ，2t ，则1t ，2t 为A ，B 对应的参数，且，依题意，点M 对应的参数为122t t +，所以．[选修4-5：不等式选讲]23． 解：（Ⅰ）0m >Q ，，∴当2x m -…时，()f x 取得最大值3m ．1m ∴=． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，221a b +=，∴．，当且仅当a b =时等号成立．102ab ∴<…， 令1()2h t t t=-，102t <…，则()h t 在(0，1]2上单调递减，，∴当102ab <…时，121ab ab-…，∴331a b b a +…．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三学年第一次模拟考试 理科综合--试题--带答案-黑龙江高考
2020年哈三中高三学年第一次模拟考试理科综合试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Fe-56 Pd-106一、选择题：本题共13个小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列对细胞中蛋白质和核酸的叙述，错误的是A.两者在高温条件下都会发生变性B.两者的多样性都与空间结构有关C.两者都可具有降低反应活化能的作用D.两者的合成都需要模板、原料、能量和酶2．下列有关细胞结构和功能的叙述，正确的是A.细胞膜上的受体是细胞间进行信息交流所必需的结构B.生物膜系统包括叶绿体类囊体膜，也包括小肠黏膜等C.核孔是RNA和蛋白质等大分子物质自由进出细胞核的通道D.真核细胞中有维持细胞形态的细胞骨架，细胞骨架与物质运输等有关3．如图表示神经调节和体液调节关系的部分示意图。
下列分析的相关叙述，错误的是A.神经调节与激素调节都存在分级调节现象B.生长激素和甲状腺激素均可促进生长发育C.激素X的受体基因可在下丘脑细胞中表达D.促甲状腺激素释放激素与甲状腺激素可相互拮抗4．下列关于DNA复制、转录和翻译的相关叙述，错误的是A.半保留复制使子代DNA保留亲代一半的遗传信息B.DNA聚合酶和RNA聚合酶结合位点均在DNA上C.转录时有DNA双链解开和恢复的过程D.一个mRNA可结合多个核糖体，同时进行多条肽链合成5．下列有关教材中相关实验的叙述，错误的是A.建立血糖调节模型实验中涉及的模型种类有物理模型和概念模型B.探究酵母菌种群数量的变化时，应设空白对照排除无关变量干扰C.土壤中小动物类群丰富度的统计方法有记名计算法和目测估计法D.浸泡法处理插条生根适用于较低浓度溶液及空气湿度大和遮阴环境6．某雄性动物的基因型为AaBb。
2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案
5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程． （2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ． （1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ； （2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立， 求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用
2020年高考理科数学(1卷)：答案详细解析(客观题 最新)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.514- B.512 C.514+ D.512+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109π B.76π C.43π D.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点， 1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期期中数学(理)试题(解析版)
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．设集合[2,2]A =-，{}2|(1),B y y x x A ==-∈，则A B =I （ ）A ．[]22-,B ．[]1,2C ．[]0,2D ．[]2,9-【答案】C【解析】求出B 中函数的值域确定B ，找出两集合的交集即可. 【详解】解： 由B 中2(1),[2,2]y x x =-∈-，得到[0,9]B =，则[0,2]A B ⋂=. 故选：C. 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2．设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值. 【详解】 解：()(1)1(1)1(1)(1)2a i a i i a a ii i i -----+==++-Q为纯虚数， 1010a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得：1a =. 故选：C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题. 3．已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对①、②、③、④四个选项逐一判断，即可得到答案． 【详解】由题意，对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误； 对于②，设平面α∩平面β=m ，n ⊂α，l ⊂β，∵平面α⊥平面β， ∴当l ⊥m 时，必有l ⊥α，而n ⊂α， ∴l ⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误； 对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确； 故选：B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题．4．已知函数()f x 是奇函数，满足0x >时，()2xf x =，则21log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．3 B ．13C ．13-D ．3-【答案】D【解析】利用函数的奇偶性即可得出. 【详解】解：当0x >时，()2xf x =，又()f x 是奇函数，∴()2log 322211log log log 33323f f f ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则8S =（ ） A ．8 B ．64 C ．8或64 D ．64-【答案】C【解析】由已知可得，2215a a a =⋅即2(1)14d d +=+，从而可求d ，由等差数列的前n项和公式可求8S . 【详解】解：由已知可得，2215a a a =⋅，∴2(1)14d d +=+∴0d =或2d =，由等差数列的前n 项和公式可得，8188S a ==或8187878826422S a d ⨯⨯=+=+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等比中项的定义，等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础试题.6．《九章算术》卷五商功中记载了一个问题：今有圆亭：下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？答曰：五百二十七尺，九分尺之七．术曰：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一，文中给出了如三视图所示几何体体积的一种近似算法：（上底面周长⨯下底面周长+上底面周长的平方+下底面周长的平方）⨯高⨯136，如此求出的体积的近似值与实际值的比值为（ ）A ．3π B ．3πC ．227πD ．722π 【答案】A【解析】先根据题目提供的公式计算出近似体积的表达式，再求出实际体积的表达式，两者相除即可. 【详解】解：由三视图可知，几何体为一个圆台，设上底半径a ，下底半径为b ，高为h ， 则根据近似算法得体积：()()()22222112222369V a b a b h ab a b h πππππ⎡⎤=⋅++⋅=++⎣⎦， 实际体积：()22213V h a b ab π=++则()()22212229133ab a b hV V h a b ab πππ++==++. 故选：A. 【点睛】本题考查圆台的体积的计算，是基础题.7．如果将函数()y g x =图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移3π个单位长度，得到函数1()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则()y g x =图象的一条对称轴的直线方程为（ ） A ．2x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．2x π=【答案】A【解析】由题意根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论. 【详解】解：将函数1()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点向右平移3π个单位长度得11sin sin 2623y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，再将所有点的横坐标缩小为原来的12，可得的()sin y g x x ==图象，令2x π=，求得()1g x =，为函数()g x 的最大值，则()y g x =图象的一条对称轴是直线2x π=.故选：A. 【点睛】本题主要考查函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题.8．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3 B ．4C ．92D ．112【答案】B 【解析】【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥9．已知四面体ABCD 的所有棱长相等，E 为棱AC 的中点，F 为棱AB 上一点，且14AF AB =，则异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】在AG 上取一点G ，使14AG AE =，连接GD ，GF ，GFD ∠(或其补角)为异面直线BE ，DF 所成角，求出各边，再用余弦定理求角的余弦值. 【详解】解：如图：在AC 上取一点G ，使14AG AE =，连接GD ，GF因为14AF AB =，14AG AE =， //BE GF ∴，则GFD ∠(或其补角)为异面直线BE ，DF 所成角，设四面体ABCD 的棱长为4，113344422FG BE ==⨯⨯=， 2241214cos6013FD =+-⨯⨯⨯=o ，2221157424cos60224GD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯=⎪⎝⎭o ， 则22233571344cos 2392132GF FD GD GFD GF FD +-+-∠===⋅⨯⨯，则异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为3978. 故选：A. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是要通过平移线段产生平面角，是基础题.10．函数22cos 22sin cos 2sin cos ()24x x x x x f x x π+⋅-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值域为（ ） A ．()221 B ．)221-⎡⎣ C ．5214⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5214⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】将原式化简为()cos sin 2sin cos f x x x x x =++，再令cos sin t x x ⎡=+∈⎣，将()f x 转化为关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求解值域. 【详解】解：22cos 22sin cos 2sin cos ()4x x x x xf x x π+⋅-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ()22cos sin 2sin cos cos sin cos sin x x x x x x x x-+-=- cos sin 2sin cos (sin cos )x x x x x x =++≠，令cos sin 4t x x x π⎛⎫⎡=+=-∈ ⎪⎣⎝⎭且t ≠，则22sin cos 1x x t =-， 则2()1f x t t =+-，t ⎡∈⎣且t ≠，当t =时，()11f x f <==， 当12t =-时，2min 1115()()()()12224f x f =-=-+--=-， 故()f x的值域为514⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 故选：D. 【点睛】本题二次型三角函数的最值问题，考查换元法求函数值域，要注意新元的取值范围，是中档题.11．在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥底面ABC ，60BAC ∠=o ，2PA =，AB AC == ）A ．43π B．3C ．8πD ．12π【答案】C【解析】取BC 中点D ，且2AG DG =，可知G 为ABC ∆的外心；作//OG PA 且12OG PA =，//OM AG ，可验证出四边形OGAM 为平行四边形，从而得到OA OP =，又OA OB OC ==，可知O 为所求球的球心；利用勾股定理可求得球的半径，进而利用球的表面积公式求得结果.【详解】取BC 中点D ，连接AD ，取点G ，满足2AG DG =AB AC =Q ，60BAC ∠=o ABC ∆∴为等边三角形 G ∴为ABC ∆的外心作//OG PA 且12OG PA =，作//OM AG ，交PA 于M ∴四边形OGAM 为平行四边形 12AM OG PA MP ∴===22OM AM OA OP +==，又G 为ABC ∆外心222222OG CG OG BG OG AG ++=+OA OB OC ==O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心∴外接球半径22222111232R OA OM AM AD AP ⎛⎫⎛⎫==+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴该球的表面积248S R ππ==故选C 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够根据球的性质确定球心一定在过底面三角形的外心且垂直于底面的直线上，进而根据长度关系确定球心的位置. 12．已知三棱锥S ABC -的体积为4，且4AC =，2224SA BC +=，30ACB ∠=︒，则三棱锥S ABC -的表面积为（ ） A ．3B ．123C ．6123D ．963【答案】B【解析】设h 为底面ABC 上的高，,SA m BC n ==，根据体积可得12nh =，结合222m n mn +≥及基本不等式等号成立条件，可得12m n h ===，进而可得SA ⊥面ABC ，再通过计算求出每个面的面积即可.【详解】解：如图：h 为底面ABC 上的高，设,SA m BC n ==，则1114sin 304332S ABC ABC V S h n h -==⨯⨯⨯⨯︒⨯=V ， 得12nh =，,12m h mn ≥∴≥Q ，又22242m n mn =+≥，得12mn ≤， 所以12mn =，故12m n h ===，SA ∴⊥面ABC ，在ABC V 中22341224124AB =+-⨯=，则2AB =， 在Rt ABS V 中22124SB =+=，在Rt ACS V 中121628SC =+=所以在SBC V 中，222SC SB BC =+，则SBC V 为直角三角形， 三棱锥S ABC -的表面积11111=223+423+423+423=12322222S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故选：B. 【点睛】本题考查棱锥表面积的计算，关键是通过基本不等式的等号成立条件得到SA ⊥面ABC ，是中档题.二、填空题 13．若曲线y x =()P a a ，处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是_______．【答案】4 【解析】【详解】 由y '=，则切线斜率k =，则过(P a 的切线方程为:)y x a =-，与坐标轴交点分别为()0,,,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，又所成三角形面积为2，可得1222a ⋅=，所以4a =,故答案为4.14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m r ，n r满足),cos m c C =-r ，(,cos )n a A =r ，//m n r r，则cos A 的值为：_____________．【答案】13【解析】根据平面向量平行的性质求及两角和的公式对其进行化简，即可求得cos A 的值. 【详解】解：//cos (3)cos sin cos (3sin sin )cos m n a C b c A A C B C A ⇒=-⇒=-r r， 即sin cos cos sin 3sin cos A C A C B A +=， 即sin()3sin cos A C B A +=， 所以sin 3sin cos B B A =， 所以1cos 3A =. 故答案为：13. 【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查两角和的正弦公式的应用，是基础题..15．如图所示，四边形ABCD 为边长为2的菱形，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，AB 上运动（不含端点），且//EF AC ，沿EF 把平面BEF 折起，使平面BEF ⊥底面ECDAF ，当五棱锥B ECDAF -的体积最大时，EF 的长为________________．【答案】263【解析】连接BD ，交EF 与点G ，设EF x =，02x <<，用x 表示出BG ，表示出五边形ECDAF 的面积，进而可求出331234ECDAF V x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用导数求出体积最大时x 的值即可. 【详解】解：如图：连接BD ，交EF 于点G ，因为平面BEF ⊥底面ECDAF ，又BG EF ⊥， 则BG ⊥面ECDAF ，设EF x =，02x <<，则3BG x =，23BD = 则211332232322ECDAF ABCD BEF S S S x x x =-=⨯⨯⨯=X V ， 则2313312323434ECDAF V x x x x ⎛⎫⎫=⋅⋅=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()3124f x x x =-，则()'2324f x x =-， 当()'23204fx x =-=时， 83x = 则()3124f x x x =-在83⎛⎝上单调递增，在8,3⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，所以当83x=时，()f x最大，即ECDAFV最大.所以当五棱锥B ECDAF-的体积最大时，EF的长为26.故答案为：263.【点睛】本题考查棱柱体积的计算，考查利用导数求解最值，是中档题.16．已知函数()f x满足21,0(),0xx xf x ee xx⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，，若方程22[()]2()20f x mf x m-+-=有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围为_______________．【答案】212m-<≤-或12m>+或2m=【解析】作出函数()f x的图象，利用换元法转化为一元二次方程根的个数，利用函数与方程之间的关系转化为二次函数，利用根的分布进行求解即可.【详解】解：当0x>时，函数22(1)()x x xe x e e xf xx x'--==，则当1x>时，()0f x'>，函数为增函数，当01x<<时，()0f x'<，函数为减函数，即当1x=时函数取得极小值，同时也是最小值(1)0f e e=-=，画出的图象如图所示，设()t f x=，则二次方程等价为22220t mt m-+-=，设22g ()22t t mt m =-+-，要使方程22[()]2()20f x mf x m -+-=，有4个不相等的实数根，等价为方程22220t mt m -+-=有两个根，一个根1(0,1]t ∈内，一个根2(,0)t ∈-∞或者21(1,,)t t ∈+∞或210,(1,)t t ∈+∞=,当1(0,1]t ∈，2(,0)t ∈-∞时，22(0)20(1)1220g m g m m ⎧=-<⎨=-+-≥⎩，解得1m <≤当21(1,,)t t ∈+∞时，()()2222420212(1)1220m m mg m m ⎧∆=-->⎪⎪-->⎨⎪=-+->⎪⎩，解得：1m >+当210,(1,)t t ∈+∞=时，2g (0)20m =-=，解得m =，将m =22220t mt m -+-=得20t ±=，则t =符合，即m =综合得1m <≤-1m >+m =故答案为：1m ≤1m >m =.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数图象，利用换元法转化为一元二次函数，利用根的分布是解决本题的关键.注意利用数形结合.三、解答题17．已知ABC ∆外接圆直径是2，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()222sin sin ()sin A B a c C -=-．（1）求角B ；（2）求ABC ∆的周长的最大值． 【答案】（1）3B π=；（2）2【解析】（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B 的大小；（2）根据余弦定理结合基本不等式的应用求出+a b 的范围即可求ABC ∆的周长的最大值. 【详解】解：（1）由已知()222sin sin ()sin A B a c C -=-，由正弦定理2sin 2sin ,2sin 2sin ,2sin 2sin a R A A b R B B c R C C ======， 得()222sin sin 2(sin sin )sin A B A C C -=-， 由正弦定理角化边得22()b a a c c -=-，则22221cos 222()a c b c B a c c a c c a +-+===-，又()0,B π∈ 所以3B π=；（2）ABC ∆的周长2sin 2sin 2sin L a b c A B C =++=++ 22sin 2sin2sin 33A A ππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2sin sin A A A =-+2sin 3A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ， ,33A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， (]sin 0,13A π⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，2L ∴∈，即ABC ∆的周长的最大值为2. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合三角恒等变形及三角函数的性质是解决本题的关键.综合性较强.18．已知长方体1111ABCD A B C D -，1AA =22AB BC ==，E 为棱AB 的中点，F 为线段1D C 的中点．（1）求证：//EF 平面11BCC B（2）求直线1AD 与平面DEF 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3020【解析】（1）取1CC 的中点G ，连接GF ，GB ，可得四边形FGBE 为平行四边形，则//EF GB ，进而可证明//EF 平面11BCC B ；（2）建立空间直角坐标系，求出面DEF 的法向量，利用线面角的向量公式求解即可. 【详解】解：（1）如图：取1CC 的中点G ，连接GF ，GB ，则1//2FG AB ，又1//2EB AB ， //FG EB ∴，则四边形FGBE 为平行四边形，//EF GB ∴，又EF ⊄面11BCC B ，GB ⊂面11BCC B ， //EF ∴平面11BCC B ；（2）如果建立空间直角坐标系,则()()(131,1,0,,1,0,0,3E F A D ⎛ ⎝⎭， 则()(131,1,0,,3DE DF AD ⎛===- ⎝⎭u u u r u u u r u u u ur ，设面DEF 的法向量为(),,n x y z =r，则00DE n DF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即0302x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令2z =，可得)3,3,2n =-r，设直线1AD 与平面DEF 所成角为θ，则12132330sin 2013332AD n AD n θ-+⋅===⋅+⋅++u u u u r ru u u u r r ， 所以直线1AD 与平面DEF 所成角的正弦值3020. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查向量法求线面角，是基础题.19．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若数列{}n a 和数列{}nS 都是等差数列，且公差相等． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：34n T <． 【答案】（1）142n na =-+；（2）证明见解析 【解析】（1）设出()11n a a n d +-=n S c nd =+，利用待定系数法，列方程求解即可；（2）利用错位相减和分组求和法可求出n T ，然后观察可得34n T <. 【详解】解：（1）由已知设()11n a a n d +-=，1(1)2n n n S na d -=+，c nd ==+， ()22221122n S na n n d d n dcn c +=+-=+， 22221()2122ddn a n d n dcn c +-=++， 观察系数得120222c d a dcdd =⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎩， 所以100d a =⎧⎨=⎩或11214d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又数列{}n a 的各项均为正数， 所以()11142n a n =+-，即142n n a =-+； （2）1211242222n n n n n n a n ++-==-, 设()23411232222n nH n +=++++L ， 两式相减得：()23451221111111114212222222212n n n n n n H n +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++++-=--L ，整理得()11122n n n H n +=--，11111821122123123442nn n n n n n T +⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=---+-=⋅-123042nn +⋅>Q， 34n T ∴<. 【点睛】本题考查等差数列及前n 项和公式的计算，考查错位相减求和及分组求和，是一道中档题.20．如图，四棱锥S ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，BC AB ⊥，6AB =，4BC CD SD ===，平面SCD ⊥平面ABCD ，二面角S AD B --的大小为θ，15tan θ=-，M 为线段SC 的中点，N 为线段AB 上的动点．（1）求证：平面SBC ⊥平面SCD ；（2）是否存在点N ，使二面角C DM N --的大小为60︒，若存在，求ANAB的值，不存在说出理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在点N ，使二面角C DM N --的大小为60︒，此时79AN AB = 【解析】（1）通过平面SCD ⊥平面ABCD 可得BC ⊥平面SCD ，进而可证明平面SBC ⊥平面SCD ；（2）过点S 作SO ⊥面ABCD ，交CD 的延长线于点O ，过O 作OE AD ⊥交AD 于E ，连接SE ，可证明SEO ∠为二面角S AD B --的平面角的补角，通过计算可得3SC =假设存在点N ，使二面角C DM N --的大小为60︒，过N 作NP CD ⊥交CD 于点P ，过P 作PQ DM ⊥交DM 于点Q ，连接NQ ，可得NQP ∠为二面角C DM N --的平面角，计算可得43NB =，进而可得AN AB. 【详解】（1）证明：Q 平面SCD ⊥平面ABCD ，且BC CD ⊥，平面SCD I 平面ABCD CD =，BC ∴⊥平面SCD ，又BC ⊂平面SBC ，∴平面SBC ⊥平面SCD ；（2）如图：Q 平面SCD ⊥平面ABCD ，则过点S 作SO ⊥面ABCD ，交CD 的延长线于点O ，过O 作OE AD ⊥交AD 于E ，连接SE ，,,OE AD SO AD OE SO O ⊥⊥=Q I ，AD ∴⊥面SOE ，则AD SE ⊥，所以SEO ∠为二面角S AD B --的平面角的补角， 则tan 15SO SEO OE ∠==， 又22sin sin 542OE CBODE DAB OD AD=∠=∠===+， 两式相乘得tan 3SOSDO OD∠==， 即60SDO ∠=o ，120SDC ∠=o ，24sin 6043SC ∴=⨯=o ，假设存在点N ，使二面角C DM N --的大小为60︒过N 作NP CD ⊥交CD 于点P ，过P 作PQ DM ⊥交DM 于点Q ，连接NQ ，可得DM ⊥面NPQ ，则NQP ∠为二面角C DM N --的平面角，即60NQP ∠=o，设,04BN x x =<<，因为NP CD ⊥，四边形BCPN 为矩形，则CP x =，44QP DP x CM DC -∴==，则42xQP -=4tan 42NP NQP x QP ∴∠====- 解得43x =， 此时467369ANAB-==. 存在点N ，使二面角C DM N --的大小为60︒，此时79AN AB =. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查几何法作出二面角，本题的关键在于作出二面角的平面，要充分利用面面垂直产生线面垂直来作二面角的平面角，考查学生空间想象能力，是一道难度较大的题目.21．若函数2()ln 2f x x x mx x m =+-+()m R ∈在其定义域内有两个不同的极值点． （1）求实数m 的取值范围；（2）试比较20202019与20192020的大小，并说明理由；（3）设()f x 的两个极值点为1x ，2x ，证明：212x x e >．【答案】（1）102m e-<<；（2）2019201820182019>；（3）证明见解析 【解析】(1) 求函数的导数，利用()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根，转化为函数ln ()xg x x =与函数2y m =-的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，从而()g x 极大值1(e)g e=，利用数形结合所以要想函数ln ()x g x x =与函数2y m =-的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，只需102m e <-<，可得m 的取值范围；(2)由(1)利用()g x 在(0,)e 上单调性质可得试比较20202019与20192020的大小；(3)证明212x x e >等价于证明()()12112122122ln ln 222lnx x x x x m x x x x x -+>⇔-+>⇔>+， 令12x t x =，则1t >，等价于2(1)()ln ,11t g t t t t -=->+的最小值大于0即可. 【详解】解：（1）由已知2()ln 2f x x x mx x m =+-+得函数定义域为(0,)+∞，则()0f x '=在(0,)+∞有两个不同的根， 又()ln 2f x x mx '=+，即方程ln 20x mx +=在(0,)+∞上有两个不同的根， 转化为函数ln ()xg x x=与函数2y m =-的图像在(0,)+∞上有两个不同的交点， 又21ln ()xg x x -'=， 即0x e <<，()0g x '>，x e >时，()0g x '<， 所以()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，从而1()()g x g e e==极大， 又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →-∞，在x =→+∞时，()0g x →，所以要想函数ln ()xg x x=与函数2y m =-的图像在(0,)+∞上有两个不同的交点， 只需102m e<-<， 即102m e-<<； （2）由（1）()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， 所以(2018)(2019)g g >，即ln 2018ln 201920182019>，即2019ln 20182018ln 2019>， 即20192018ln 2018ln 2019>， 所以2019201820182019>；（3）设()f x 的两个极值点为12,x x ，由（1）可知12,x x 分别是方程ln 20x mx +=的两个根，即1122ln 2,ln 2x mx x mx =-=-， 设120x x >>，作差得，()1122ln 2x m x x x =--，即1212ln 2x x m x x -=-，要证明不等式212x x e >，即等价于证明()()12112122122ln ln 222ln x x x x x m x x x x x -+>⇔-+>⇔>+， 令12x t x =，则1t >， ()12121222(1)ln ln 1x x x t t x x x t -->⇔>++， 设2(1)()ln ,11t g t t t t -=->+， 22(1)()0,1(1)t g t t t t '-=>>+，则函数()g t 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g t g ∴>=，即不等式2(1)ln 1t t t ->+成立， 故所证不等式212x x e >成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，极值，最值的综合问题，考查学生分析问题，转化问题的能力，是一道难度较大的题目.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1313x m m y m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程； (2)已知点()2,0M ，若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，求11MP MQ+的值. 【答案】（1）2233144x y -=，20x --=（2【解析】（1）平方相减，消掉参数m ，即可将曲线C 的参数方程化为普通方程，利用两角和的余弦公式以及极坐标与直角坐标互化公式即可求出直线l 的直角坐标方程；（2）根据第一问，求出直线l 的倾斜角，写出直线l 的参数方程，将其与曲线C 的方程联立，利用t 的几何意义，即可求出11MP MQ+的值。
黑龙江省哈三中2020届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析
黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知在等比数列中，，，则（）A. B. C. D.3.，则（）A. B. C. D.4.若，则=（）A. B. C. D.5.等差数列中，，则（）A. B. C. D.6.已知向量，则“”是“与反向”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（）A. B.C. D.8.在中，、、分别为内角、、的对边，若，，，则（）A. B. 或 C. D. 或9.对于非零向量，下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则在上的投影为D. 若，则10.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（）A. B. C. D.11.在中，、、分别为内角、、的对边，，，点为线段上一点，，则的最大值为（）A. B. C. D.12.数列，满足，，，若的前项和为，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，则与的夹角为______．14.函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为______．15.数列满足，，，则数列的前项和______．16.下列命题中，①在中，若，则为直角三角形；②若，则的最大值为；③在中，若，则；④在中，，若为锐角，则的最大值为．正确的命题的序号是______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求数列前项和．18.已知的内角，，所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．19.已知数列中，且．（Ⅰ）求，；并证明是等比数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和．20.已知椭圆的离心率为，椭圆和抛物线有相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ），是椭圆的右顶点和上顶点，直线和椭圆交于，点，求四边形面积的最大值．21.已知（Ⅰ）列表求在的所有极值；（Ⅱ）当时，（i）求证：；（ii）若恒成立，求的取值范围22.在直角坐标系中，曲线，曲线（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求，的极坐标方程；（Ⅱ）射线的极坐标方程为，若分别与，交于异于极点的，两点．求的取值范围．23.已知函数（Ⅰ）若，，求不等式的解集；（Ⅱ）若，，且，求证：．黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得的坐标得答案．【详解】，在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知在等比数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设公比为，由等比数列的通项公式可得，由此求出的值，再由求得结果．【详解】设公比为，由等比数列的通项公式可得，即，解得，故选：D．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．3.，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得，计算即可得答案．【详解】根据题意，，且，则.故选：C．【点睛】本题考查分段函数的解析式的应用，注意分析的值，属于基础题．4.若，则=（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【详解】若，则，故选：A．【点睛】本题主要考查利用诱导公式化简式子，属于基础题．5.等差数列中，，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差中项的性质，，，再将转化为含有的算式即可．【详解】因为数列为等差数列，所以，，则，故选：B．【点睛】本题考查了等差数列的性质，等差中项，等差数列的前项和．属于基础题．6.已知向量，则“”是“与反向”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】与反向则存在唯一的实数，使得，即所以是“与反向”的充要条件故选C 7.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，，，，即可得出答案.【详解】利用向量的三角形法则，可得，，为的中点，为的中点，则，又.故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．8.在中，、、分别为内角、、的对边，若，，，则（）A. B. 或 C. D. 或【答案】A【解析】【分析】根据题意，有的值求出的值，结合正弦定理可得，计算可得的值，比较、的大小，分析可得答案．【详解】根据题意，在中，，则，且为锐角；又由，可得，又由，则，则，故选：A．【点睛】本题考查三角形中正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于基础题．9.对于非零向量，下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则在上的投影为D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由平面向量数量积的性质及其运算逐一检验即可得解。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）=()1.已知i为虚数单位，则9+8i1+2iA. 5−2iB. 5+2iC. 6iD. 82.已知集合A={x|(x+1)(x−3)<0}，B={1,2，3}，则A∩B=()A. {x|−1<x<3}B. {x|1≤x≤2}C. {1,2，3}D. {1,2}3.甲、乙两人数学成绩的茎叶图，如图所示，则两人的成绩中位数为()A. 87，98B. 98，87C. 88，88D. 81，834.已知向量β⃗=(−2,1)，向量α⃗与β⃗的夹角为180°，且|α⃗|=2√5，则α⃗=()A. (−4,2)B. (4,−2)C. (−4,−2)D. (4,2)5.已知甲、乙、丙三人中，一人是学霸，一人是班长(显然不是学霸)，一人是diao丝。
若纯从“颜值”分来看，乙比diao丝大；丙和学霸不同；学霸比甲小，则下列判断正确的是()A. 班长最漂亮B. 甲是diao丝C. 丙最漂亮D. 学霸最丑6.函数的图象大致为()A. B.C. D.7.如图所示的程序框图是为了求出满足21+22+⋯+2n>2018的最小整数n，则和两个空白框中，可以分别填入()A. S>2018?，输出n−1B. S>2018?，输出nC. S≤2018?，输出n−1D. S≤2018?，输出n8.数列{a n}的前n项和S n=3n2−5n，则a6的值为()A. 78B. 58C. 50D. 289.五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法有()A. 60种B. 48种C. 36种D. 24种10.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于M，N两点，MN的中点为P，若|MN|=5，则点P到y轴的距离为()A. 3B. 32C. 1 D. 1211.函数f(x)=−x2+5x−6的零点是()A. −2，3B. 2，3C. 2，−3D. −1，−312.已知数列{a n}中，a n=nn2+156(n∈N∗)，则数列{a n}的最大项是()A. a12B. a13C. a12或a13D. 不存在二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{x−1≤02x−y−1≥0x−2y−2≤0，则z=x+3y的最大值为______ ．14.已知双曲线x2a2−y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为1的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若|AF1|=|AB|，则双曲线的离心率为______．15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最大值为√3，其相邻两个零点之间的距离为π2，且f(x)的图象关于直线x=−π3对称，则当x∈[−π6,π6]时，函数f(x)的最小值为______．16.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M是BC1的中点，P是棱BB1上的动点，则AP+MP的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=7√3，CD=14，BD=7，∠BAD=120°．(1)求AD边的长；(2)求△ABC的面积．18.如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥CD，AD=AB=2，作BE⊥CD，E为垂足，将△CBE沿BE折到△PBE位置，如图2所示．(Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PDE；(Ⅱ)当PE⊥DE时，平面PBE与平面PAD所成角的余弦值为2√5时，求直线PB与平面PAD所5成角的正弦值．19.已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，经过点B(0,1).设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点(点Q在第一象限)，且与线段AB交于点M．(Ⅰ)求椭圆G的标准方程；(Ⅱ)是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．20.某学校高三年级有1000名学生，按分层抽样从高三学生中抽取30名男生，20名女生分析期末某学科的考试成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图．(Ⅰ)试计算男生、女生考试成绩的平均分；(Ⅱ)若由直方图可以认为，男生考试成绩服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ为10，利用该正态分布，求：(ⅰ)P(62<Z<82)；(ⅰ)若全校所有男生考试成绩在区间(62,82)人数记为X，利用(ⅰ)的结果，求E(X)．(Ⅲ)若从50名学生中任意抽取两名考试优秀的(90分以上为优秀包括90分)学生参加该学科的竞赛，若两名男生参加可以获A奖励；若两名女生参加可以获B奖励；若一名男生和一名女生参加可以获C奖励，试判断三种奖励的哪种奖励的可能性大？参考数据：若Z～(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6826．21.已知函数f(x)=xe x−a(ln x+x)，a∈R。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)
2020 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的 .1．（5 分）已知i为虚数单位，则 1i(i)A ．0B ． 1C ． 1 iD ．12．（5 分）设 A ｛1，2，3｝， B{ x | x 2 x 1 0} ，则 A I B ()A ．{1，2} B ．｛1， 2， 3} C ．{2 ，3}D ．{1}3．（ 5分）某校为了研究 a ，b 两个班的化学成绩， 各选了 10人的成绩，绘制了如右茎叶图， 则根据茎叶图可知， a 班 10人化学成绩的中位数和化学成绩更稳定的班级分别是 （ ）A ． 83 ， aB ． 82.5， bC ． 82.5， aD ． 82，b4．（ 5 分）已知向量 a r(1, 3) ， b r （x,1）且a r 与 b r 的夹角为60 ，则 | b r | () A ． 2 3B ．1C ． 3D ． 233335．（5分）2019年10月1日 1上午，庆祝中华人民共和国成立 70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月 异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼， 他们就是院校科研方阵． 他们是由军事科学院、国防大 学、国防科技大学联合组建．若己知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、 硕士、博士学位．现知道： ①甲不是军事科学院的； ② 来自军事科学院的不是博士； ③乙不 是军事科学院的； ④ 乙不是博士学位； ⑤ 国防科技大学的是研究生． 则丙是来自哪个院校的， 学位是什么 （ ）A ．国防大学，研究生B ．国防大学，博士C ．军事科学院，学士D ．国防科技大学，研究生xx6．（ 5分）函数 f （x ） e 2e ，在 [ 3， 3]的图象大致为 （ ）ln （ x 1）A ．3 2 3 2分)为计算 S 1 23 32 43 527．（5 1)2C ． i, 99 和 N N (i 2 8．（5 分）已知数列 { a n } 满足 a n 22a n a n 1ga n D ．992B ． D ． a n 1则 S 6 ( ) A ． 12B ．126B 3 1003设计了如图所示的程序框图，则在2 99 和 N N (i 1)23 101 和 N N (i 1)3a n 1 ，S n 为其前 n 项和，若 a 1 1 ，a 23，124D ．1209．( 5分)现有 5 名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不 相邻的站法种数为 ( )数 m 的取值范围是 ( )A ．(5 6， 1)B ．(5 6，3 2 2)C ．( 1 ，3 2 2)D ．( 1 ， 1)2 6 2 20 20 612．( 5 分 ) 已 知 等 差 数 列 {a n } 的 公 差 为 2020， 若 函 数 f(x) x cosx ， 且 f(a 1) f (a 2) f (a 2020 ) 1010 ，记 S n 为{a n } 的前 n 项和，则 S 2020的值为 ( )2021 4041A ． 1010B ．C ． 2020D ．22二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20分.x y 1, 013．(5 分)已知 x 、 y 满足约束条件 x y, 0 ，则 z x 2y 的最大值为 ．x ⋯02214．( 5分)已知双曲线 C: x 2 y2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过 F 2作一条 ab 直线 l 与其两条渐近线交于 A ，B 两点．若 AOB 为等腰直角三角形，记双曲线的离心率为 e ，则 e 2．15．(5 分)己知函数 f(x) 2sin( x )( 0，| | )过点 (0,1) ，若 f(x)在[0，1]上恰2好有两个最值且在 [ 1， 1] 上单调递增，则 ．4416．(5 分)如图，棱长为 2 的正方体 ABCD 一 A 1B 1C 1D 1 中，点 M 、 N 、 E 分别为棱 AA 1、AB 、AD 的中点，以 A 为圆心， 1为半径，分别在面 ABB 1 A 1和面 ABCD 内作弧 MN 和 NE ，B 两点(点 A 在 x 轴上方)，点 P(1,2)，连接 AP 交y 轴于 M ，过M 作MD //PF 交 AB 于D ， 若 FA 5DA ，则 AB 斜率为 ()4 ．31A ．BC ．D ．23．42(x 1)2 1 x211．( 5分)已知函数 f (x)1，若函数 Ff (x) mx 有 4 个零点， 则实f ( x 2) x ⋯24x ，F 为其焦点， 过 F 的直线与抛物线 C 交于 A 、2A ． 36B ．24C ．22D ．202 10．(5 分)已知抛物线 C 的方程为 y 2并将两弧各五等分，分点依次为M 、P1、P2、P3、P4、N以及N、Q1、Q2、Q3 、Q4、E．只蚂蚁欲从点P1出发，沿正方体的表面爬行至Q4 ，则其爬行的最短距离为．参考数据：cos9 0.9877 ；cos18 0.9511 ；cos27 0.8910)三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12 分）在平面四边形ABCD 中，E为AB上一点，连接CE，DE，已知AE 4BE，2 AE 4，CE 7，若 A B CED ．3（1）求BCE 的面积；（2）求CD 的长．18．（12分）如图，在三棱柱ABC A1B1C1 中，CA CB，侧面ABB1 A1是边长为 2 的正方形，点E 、F 分别是线段AA1 ，A1 B1的中点，且CE EF ．（1）证明：平面ABB1 A1 平面ABC ；（2）若CE CB ，求直线AC1 与平面CEF 所成角的正弦值．.第17～21 题为必考题，3 3 x 2y219．（12分）设直线AC:y 3x与直线BD:y 3 x分别与椭圆E: x y1（m 0）交6 6 4m m于点A，B，C，D，且四边形ABCD 的面积为 2 3．（1）求椭圆 E 的方程；（2）设过点P（0,2）的动直线1与椭圆E相交于M ，N 两点，是否存在经过原点，且以MN 为直径的圆？若有，请求出圆的方程，若没有，请说明理由．20．（12分）材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设置“ 3 3” 的考试科目．前一个“ 3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语．除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“ 3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二：2019 年 4 月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8 省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018 年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科日成绩和考生选择的 3 科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750 分．即通常所说的“ 3 1 2 ”模式，所谓“3 1 2”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1” 指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“ 2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理 4 门中选择 2 门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为A、B、C、 D 、E五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．（1）若按照“ 3 1 2 ”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学” 的概率．（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，满分450 分，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450 分：①考生甲得知他的成绩为270 分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171 分，351 分以上共有57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；②考生内得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201 分，351分以上共有57 人”，请结合统计学知识帮助内同学辨别乙同学信息的真伪．附：P(,X) 0.6828 ；P(2,X2)0.9544 ；P(3X3)0.9974．21．( 12 分) 已知函数xf ( x ) 2e x ax(a 0)(1)讨论函数 f (x) 的零点个数：(2)若a e m e n( m ，n为给定的常数，且m n，记f (x)在区间(m, n)上的最小值为g(m,n) ，求证：g(m，n) (1 m ln 2)e m (1 n ln2) e n．二、选考题：共10分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4 一4：极坐标与参数方程]x 2 cos22．(10 分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C1 的参数方程为( 为参数)，y 2sin以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为4sin ，设圆C1与圆C2的公共弦所在直线为1．(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若以坐标原点为中心，直线l 顺时针方向旋转后与圆C1 、圆C2 分别在第一象限交于6A、B两点，求|AB|．[选修 4 一5：不等式选讲]1123．已知函数f(x) |x | ，且对任意的x，f(x) f( x )⋯m．(1)求m 的取值范围；( 2)若m N ，证明： f (sin 2 ) f (cos2 a 1), m ．所以 a 班化学成绩更稳定些． 故选： C ．4．（ 5分）已知向量 a r （1, 3） ，b （x,1）且a r 与 b 的夹角为 602020 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的 .1．（5 分）已知 i 1i为虚数单位，则 1 i i()A ．0B ． 1C ． 1iD ．1【解答】 解： 1ii (1 i )i 2i(i 1) 1 i ．故选： C ．2．（5 分）设A{1，2， 3}， B {x | x 2x1 0}，则 A I B ()A ．{1， 2}B ． {1，2， 3}C ． {2 ， 3}D ．{1}解答】 解：QA {1，2，3}， B {x| 1 5 x 1 5} ，22A IB {1} ．故选： D ．3．（ 5分）某校为了研究 a ，b 两个班的化学成绩， 各选了 10 人的成绩，绘制了如右茎叶图，则根据茎叶图可知， a 班 10人化学成绩的中位数和化学成绩更稳定的班级分别是()C ． 82.5， aD ． 82， b 解答】 解：根据茎叶图可知， a 班 10 人化学成绩的中位数是1 (82 83) 82.5 ；2a 班成绩分布在 71~ 93 之间， 集中在 80~ 88内；b 班成绩分布在 62 ~ 95 之间，更分散些； B ．82.5， b A ． 83 ， aa rgb x 3 2 x211，解得x3，235．(5分)2019年10月1日1上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵．他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若己知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位．现知道：①甲不是军事科学院的；② 来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④ 乙不是博士学位；⑤ 国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( )A ．国防大学，研究生B．国防大学，博士C．军事科学院，学士D．国防科技大学，研究生【解答】解：由① 甲不是军事科学院的，得到甲来自于国防大学或国防科技大学；由③乙不是军事科学院的，得到乙来自于国防大学、国防科技大学；由①③ 得到丙来来自于军事科学院；由② 来自军事科学院的不是博士和④乙不是博士学位，得到甲是博士；由⑤国防科技大学的是研究生，得到乙来自于国防科技大学，且乙是研究生，由此得到甲来自于国防大学，且甲是博士，从而得到丙是来自军事科学院，学位是学士．故选： C ．6．( 5分)函数 f (x) xxee ln( x21) ，在[ 3，3] 的图象大致为(B．13C． 33D．(x,1) ，且a r与b r的夹角为603A． 2 3rr解：根据题意，解答】 f (x)xeeln(x21)x)xxee2ln( x2 1)f(x ) ，即函数当x 1时，f（1）ln21 elne当x 3时，f（3）31 e3eln10e313 e lne3故选：C．7．（ 5 分）为计算S 1 23D．f （ x）为奇函数，11 2 ，排除，e2 3 23453]，排除 B 、D，1313(e3113 ) 5 ，排除A ， e239921003设计了如图所示的程序框图，则在两个空白框中分别可以填入（为 101 ，判断框处应为 i 101 ，又知偶数列加的是立方和， 所以应填 N N (i 1)3 ， 故选： D ．28．(5分)已知数列 {a n } 满足 a n 2 2a n a n 1ga n 1 a n 1 a n 1 ，S n 为其前 n 项和，若 a 1 1，a 2 则 S 6 ( ) A ．128B ．126C ． 124D ． 120【解答】 解：Q a n 2 2a n a n 1ga n 1 a n 1 a n 1， a 1 1， a 2 3 ，2 a22a 2 a 1ga 3 a 1 a 3 ，即 9 62a 3 1 ，解得： a 37；同理， 由 2a 3 2a 3 a 2 ga 4 a 2 a 4 ，即 49 14 4a 4 3 ，解得： a 415；同理解得： a 5 31； a 6 63，S 6 1 3 7 15 31 63 120 ，故选： D ．9．( 5分)现有 5 名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不 相邻的站法种数为 ( )1)2B ．99 和 N N 2(i 1)2C ． i, 99 和 N N(iD ．101 和 N N(i 1)3解答】 解：程序框图为计算 S 1 23 32435223992 1003 ， 则终止程序运行的i 值3，A ．36 B．24 C．22 D．2011【解答】解：根据题意，按甲的站法分 2 种情况讨论：①、若甲站在两端，甲有 2 种情况，乙必须与甲相邻，也有 1 种情况，剩余 3 人全排列，安排的剩余的 3 个位置，有A33 6 种情况，则此时有 2 1 6 12 种站法；②、若甲不站在两端，甲可以站在中间的3个位置，有 3 种情况，乙必须与甲相邻，也有2种情况，甲与丁不能相邻，丁有 2 个位置可选，有 2 种情况，剩余 2 人全排列，安排的剩余的 2 个位置，有A22 2 种站法，则此时有 3 2 2 2 24 种站法；则一共有24 12 36 种站法；故选： A ．210．(5分)已知抛物线 C 的方程为y2 4x，F 为其焦点，过F 的直线与抛物线 C 交于A、B两点(点A在x轴上方)，点P( 1,2)，连接AP交y轴于M，过M 作MD //PF交AB于D，若FA 5DA，则AB 斜率为( )4 3 1A ．B．C．D． 23 4 2【解答】解：由抛物线的方程可得：焦点 F (1,0)，准线方程为x 1，作AA 垂直于准线交于 A ，因为MD / / PF ，所以AF AP AA，即xA 15 ，AD AM x A x A解得x A1，41，即A(14，1)，所以yA4所以k AB k AF( x 1)2 1 x 21 ，若函数 F ( x) f (x) mx 有 4 个零点， 则实 f ( x 2) x ⋯22数 m 的取值范围是 (取得最大值时对应的点为 A(3, 1 ) ；2取得最大值时对应的点为 B(5, 1) ；4作函数图象如下：11．( 5分)已知函数 f (x) 51A ．(2 6，6)解答】 解：依题当 x [2 ， 4) 时， x 1 16)1(20，2 2) C ． ( 1 ，3 2 2) D ．20(52 6 ，函数 y f (x) 的图象与直线 y mx 有 4 个交点，B ． 2 [0 ， 2) ，2) (x3)2 1，故此时 f (x)1 12(x3)1，2当 x [4 ，6) 时，x 2 [2 ，4) ，则f ( x 2)112(x5)2112，故此时 f (x)114(x5)21，411由图象可知，满足条件的实数 m 的取值范围为 (5 6, 3 2 2) ．2故选： B ．解答】 解：设 { a n } 的公差为 d ， 由 f ( x) x cosx ，且 f ( a 1 ) f (a 2 )点，且 1 20；又过点 (0,0)作函数在 [2， 4)上的切线切于点 C ，作函数在 [4 ， 6) 上的切线切于点 D ，则12 ．( 5 分 ) 已知等差数列{a n } 的公差为 2020， 若函数 f(x) x cosx ，f (a 1 ) f (a 2 ) f (a 2020 ) 1010 ，记S n 为{a n }的前n 项和，则 S 2020的值为 ( )A ． 1010B ． 2021C ． 2020D ．4041 2f ( a 2020 ) 1010 ，6f ( x) 有两个交k OB即1010( a 1 a 2020 ) (cos a 1 cosa 2 cosa 2020 ) 1010 ， ①又对1剟i 1010． i Z可得 (a 1 a 2a 2020 ) (cos a 1 cosa 2cosa 2020 ) 1010cos a i cos a 2021 i2a i (2021 2i )d cos[2(2021 22i)d ]2a i (2021 2i) d cos[ 2(2021 22i)d ]2cos 2a i (2021 2i)d cos (2021 2i)d2cos cos222cosa ia 2021 i cos (2021 2i)d 222cos a 1 a 2020 cos(2021 2i)d22所以 g(x)在 R 上递增，且 g( ) 02故选： A ．由 z x 2y 得： y 1 x z，221平移直线 y1x ，结合图象直线过 A(0,1)时， 2z 最大， z 的最大值是 2，故答案为： 2．a 1a 2020m22020m [(cos a 1 cos a 2020 ) (cos a 2 cos a 2019 )(cos a 1010 即 2020m 2cosmg[cos 2019d cos2019d设g(x) 2020x 2cos xg[cos2019d 可得g (x ) 2020 2sin xg[cos2 d cos 2]dcos ] 2①即为cosa 1011 )] 1010 ，②，1010 ，由 d 2020 ， 2020 2020 0 ，又由 ②可得 g(m) 0 ，所以 m ，2a 1 a 20202所以 S2020 2020(a 1 a 020 )1010二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .x y 1, 013．(5分)已知 x 、 y 满足约束条件 x y, 0 ，则 z xx ⋯02y 的最大值为 21010 cos2 2017d cos22 x14．(5 分)已知双曲线 C: 2a2 y21(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过 F 2作一条 b直线 l 与其两条渐近线交于 A ， B 两点．若 AOB 为等腰直角三角形，记双曲线的离心率为 e ，则 e e 22 或 4 2 2 解答】 解：因为 AOB 为等腰直角三角形， i) 当 AOB 90 ，由渐近线的对称性可得 AOF 2 b 2 c 245 ，即 b 1 ，所以离心率 e 2 2 a a 2a 2a2b 2 2， a ii)当 OAB 或 OBA 90 时，离心率是相等的， 因为直线 OA 的方程为bx ，直线 OB 的 a方程为： b x ，a 当 OAB 90 时，所以过 F 2 的直线 AB 的方程为： ay b (x c) ，联立方程 bx a ab(x 可得 c) x A 2 a ， y Ac ab 2即A( a ， cab )； c 联立方程 bx a ab(x 可得 c) x B a 2c b 2 y B abc2b 2B(a 2c，a 2b 2 ，abc) ， 2 2 ) ，a 2b 2因为 AOB 为等腰直角三角形，所以 OB 2OA ， 所以 ( 2a 22 a c )2 b 2)( abc ) 2 ( 2 2 )ab2 2[( a )2 c(ab )2]，b 2 c 2a ，整理可得： 4 2 28a 48a 2c 20 ，即 e428e28 0 ，解得 e综上所述： 2或 4 2 2 ，)( 2e 0，| | 2)过点(0,1) ，若 f(x)在［0，1］上恰4 324 337 6 2 则：5 3624 346 46216．(5 分)如图，棱长为 2 的正方体 ABCD 一 A 1B 1C 1D 1 中，点 M 、 N 、 E 分别为棱 AA 1、只蚂蚁欲从点 P 1出发，沿正方体的表面爬行至 Q 4 ，则其爬行的最短距离为 1.782 ．参考 数据： cos9 0.9877 ； cos18 0.9511 ； cos27 0.8910)好有两个最值且在 [ 1， 1] 上单调递增，则44解答】 解：函数 f(x) 2sin( x )( 0， | | 2)过点 (0,1)，所以6故答案为： 43AB 、AD 的中点，以 A 为圆心， 1为半径，分别在面 ABB 1 A 1和面 ABCD 内作弧 MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、P 1、P 2、P 3、P 4、N 以及 N 、Q 1、Q 2、Q 3 、Q 4、E ．由于函数 f (x) 在[0 ， 1]上恰好有两个最值且在 [ 1， 1]上单调递增， 44又由在 [0 ， 1]上恰有两个最值，所以所以，解得 0整理得 4390由余弦定理可得解答】 解：将平面 ABCD 绕 AB 旋转至与平面 ABB 1 A 1 共面，则 P 1AQ 4| P 1Q 4 | 2sin 72 ．ABB 1 A 1分别绕 AD 、 AA 1旋转至与平面 ADD 1 A 1共面，| P 1Q 4 | 2sin 63 ．最短距离为 2sin63 2 0.8910 1.782 ．故答案为： 1.782 ．三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 17～ 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答 .第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 .（一）必考题：共 60 分.分）在平面四边形 ABCD 中， E 为 AB 上一点，连接 CE ， DE ，已知 AE 4BE ，2）求 CD 的长．则 P 1AQ 4902590 126 ．解答】 解（1） BCE 中，由余弦定理可得， 所以 7 2 BC 2 1 BC ，解可得 BCS BCE1BC gBEgsin B 21 2， 332 2）因为 BCE CEB AEDCEB1，3所以 BCE AED ， 又因为 B A ，所以 DE AE4 2CEBC2 所以DE 2CE2 7 ， 在CDE中所以 BCE∽ADE，8 144将平面 ABCD 、平面 又由 sin63 sin72 17．（12 AE 4 ， CE 7 ，若 A B CED1）求 BCE 的面积；CD 2 DE 2 CE 2 2 DE gCE gcos120 28 7 2 2 7 7 ( 1) 49 ．2所以 CD 718．(12分)如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，CA CB ，侧面 ABB 1 A 1是边长为 2 的正方形，AC 1 与平面 CEF 所成角的正弦值．Q CACB ， OC AB ，分别为 AB ，AA 1， A 1B 1 的中点， 在正方体 ABB 1 A 1中，QO ， E ，F EF OE ，又 EF CE，且 OE I CE E ， EF平面 OCE ，Q OC平面OCE ， EF OC ，Q EF ， AB 相交， OC 平面 ABB 1 A 1 ，Q OC 平面 ABC ， 平面 A BB 1 A 1 平面 ABC ．（2） 解： Q AA 1 AB ，平面 ABC平面 ABB 1 A 1 AB ，平面 ABC 平面 ABB 1 A 1AA 1 平面 ABC ， AA 1BC ，Q BC CE ， CE IAA 1 E ， BC平面 AA 1C 1C ， BC AC ， OC 1，Q AA 1 平面 ABC ，AA 1 / / OF ，OF 平面 ABC ，OF OC ， OF OA ， OC OAAB 的中点 O ，连结 解答】 解：（ 1）证明：取 OE ， OC ，以 O 为坐标原点，OA 为 y 轴， OF 为 z 轴，建立空间直角坐标系，OC 为 x 轴， 点 E 、 F 分别是线段 AA 1 ， A 1 B 1的中点，且 CE EF ．1）证明：平面 ABB 1 A 1平面 ABC ；2）若 CE CB ，求直线则O （0 ，0， 0） ， C （1，0，0) ， A （0 ，1， 0)， E(0 ，1，1）， F （0 ，0， 2） ， C 1（1，0， 2），uuur uuurCE ( 1，1，1)， CFuuuur(1，0，2），AC 1 (1 ， 1， 2） ，设平面 CEF 的法向量 n r (x ， y ， z) ，r uuur则ngCE x y z 0 ， 则r uuur ，取 x 2 ，得 n r(2， 1，1)，n gCF x 2 z 0设直线 AC 1与平面 CEF 所成角为 ， 则直线 AC 1与平面 CEF 所成角的正弦值为：uuuur r | AC 1gn | 3 1sin uuuur r ．| AC 1 |g| n r | 6g 6 2于点 A ，B ，C ，D ，且四边形 ABCD 的面积为 2 3．（1）求椭圆 E 的方程；（2）设过点 P （0,2） 的动直线 1与椭圆 E 相交于 M ，N 两点，是否存在经过原点， 且以MN为直径的圆？若有，请求出圆的方程，若没有，请说明理由． 【解答】 解：（1）由题可知直线 AC 与直线 BD 关于坐标轴对称， 所以四边形 ABCD 为矩形，3y6 x 22 xy 4m m ，解得 | x A | 3m ， | y A | m ， 12所以S 四边形 ABCD 4 x A y A 2 3m 2 3 ，2所以 m 1，椭圆 E 的方程为： xy 2 1．42)设点 M(x 1， y 1)，N(x 2， y 2)3 3x 与直线 BD : y 6 3x 分别与椭圆 E : x 6 4m2y1(m 0) 交 m19．（ 12分）设直线 AC: y显然直线 MN 的斜率存在，不妨设直线 MN 的方程为 y kx 2 ，221，可得 (4k 2 1)x 2 16kx 12 0 ，20．（12分）材料一： 2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度． 所有省级行政区域均突破文理界限， 由学生跨文理选科， 均设置“ 3 3 的考试科目．前一个“ 3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语．除个别省级行 政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外， 绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统 一命题；后一个“ 3”为高中学业水平考试（简称“学考” ） 选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二： 2019 年 4 月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等 8 省市发布 高考综合改革实施方案，方案决定从 2018 年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合 改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、 数学、外语 3个科日成绩和考生选择的 3 科普通 高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为 750 分．即通常所说的“ 3 1 2 ”模式， 所谓“3 1 2”，即“3”是三门主科， 分别是语文、 数学、外语，这三门科目是必选的． “1” 指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩． “ 2”指考生要在生物、化学、思想政 治、地理 4 门中选择 2 门．但是这几门科目不以原始分计入成绩， 而是等级赋分． 等级赋分 指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为 A 、 B 、C 、 D 、 E 五个等级，五个等级分 别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．（1）若按照“ 3 1 2 ”模式选科， 求选出的六科中含有 “语文，数学，外语，物理，化学” 的概率．2 代入x42 y 2x 1 x 216k 所以4k 2 1， 12，x 1x 24k 2 1uuuur uuur则 OM gON x 1x 2 y 1 y 2 x 1x 2 (kx 1 2)(kx 2 2) (k 2 1)x 1x 22k(x 1 x 2) 4 ，2 12(k 2 1) 2 32k 24k 2 12 4 0 ，解得 k 4k 2 1 2 ，经验证△ 0， 设线段 MN 的中点为 G （x 0 ， y 0)， 则 x0 x1 x28k16 24k2117y 0y 1 y 22k(x 1 x 2 ) 4 22 24k 2 1 17所以 OG 2 x 02 y 02 260289 所以存在满足条件的圆，其方程为：16 2 (x 1167)2 (y 2 )2 17260 289（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学 校中抽取高一学生 2500名参加语数外的网络测试，满分 450 分，并给前 400名颁发荣誉证 书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为 450 分：①考生甲得知他的成绩为 270 分，考试后不久了解到如下情况： “此次测试平均成绩为 171 分，351 分以上共有 57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；②考生内得知他的实际成绩为 430分，而考生乙告诉考生丙： “这次测试平均成绩为 201 分， 分以上共有 57 人”，请结合统计学知识帮助内同学辨别乙同学信息的真伪．而 270 261 ， 甲同学能获得荣誉证书．21．（12 分）已知函数 f （x ） 2e x ax （a 0） ．（1）讨论函数 f （x ） 的零点个数：351 附： P( , X ) 0.6828 ； P( 2,X ) 0.9544 ； P(3,X) 0.9974 ．解答】 解： 1）选出的六科中含有“语文，数学， 外语，物理，化学”为事件A ，则 P （A ）e 3 1痧21g 42 42）设该次网络测试成绩记为 X ，则 X ~ N ( , 22) ． ① 由 171， Q5725000.0228 ．且1 P(2 剟X2)0.954420.0228 ．351 171 902 4000.16 2500P( X ⋯ ) 1 P(剟X 20.6828 20.1587 0.16 ．前 400 名的成绩的最低分低于261分．②假设乙同学说的为真．则201．P( X ⋯ 2 )1 P(2 剟X221 0.95440.02285725000.0228 ，351 20175 ，从而 3 201 75 426 430 ．而P( X⋯ 31 P( 3 剟X321 0.99740.0013 20.005 ．事件“ X ⋯ 3 ”为小概率事件，即“丙同学的成绩为 430 分”是小概率事件，可以认为不可能发生， 却发生了．乙同学说的为假．2)若 a e m e n( m ，n为给定的常数，且m n，记f (x)在区间(m, n)上的最小值为g(m,n) ，求证：g( m ，n) (1 mln 2)e m(1 nln2)e n．解答】(1)解： f (x) 2e x a，由f (x) 0得，x ln a2；由f (x) 0得，ln a2，af(x)在( ,ln a2)上单调递减，a(ln2，) 上单调递增，f ( x) min f (ln a2)lna2e2aa aln a(1 ln ) ，22由于当x时，f(x)，当x 时， f (x)①当ln a21 ，即0a 2e时，f (x)无零点，②当ln a21 ，即a2e时，f ( x) 有一个零点，③当ln a 1 ，即a2e时，f ( x) 有两个零点；2(2)证明：Q a e mn e，m lne m ln a ln mn eelne n n22由( 1) 可知， f (x) 在(m,n)上的最小值g(m ，n) f (ln a)2 a(1 ln 2a) (e m e n)(1mneeln e e )，2原不等式(e m e n)(1 lnmne m2e n) (1 m ln2)e m(1 nln2)e( m ln 2mn e emln )e m( n2 ln2mneeln2)0m4e mme m gln m n ee 4nln e e n m1n n ee glnmn eenm m eglnen m10，令t e n m，则t 1，于是原不等式4 ln t ttlnt10，4 令h(t) ln t41tln t t1(t 1)，则h (t) 11t ln t 1t11tln t t1 ln1 0，h(t)在(1, ) 上单调递减，h(t) h(1) ln2 ln 1 0，2原不等式成立得证．、选考题：共10分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一计分． [选修 4 一 4：极坐标与参数方程 ]x 2 cos22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 1 的参数方程为（ 为参数），y 2sin以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 圆C 2 的极坐标方程为 4sin ，设圆 C 1与圆 C 2的公共弦所在直线为 1．1）求直线 l 的极坐标方程；（2）若以坐标原点为中心，直线 l 顺时针方向旋转 后与圆 C 1、圆 C 2分别在第一象限交于6A 、B 两点，求 |AB|．x 2 cos【解答】 解：（ 1）已知圆 C 1的参数方程为（ 为参数），整理为直角坐标方程为y 2sin22（x 2）2 y 2 4 ．圆 C 2 的极坐标方程为 4sin ，转换为直角坐标方程为 x 2 （ y 2） 2 4 ．两圆相减得： x y 0 ． 转换为极坐标方程为 ．4（2）直线 l 顺时针方向旋转 后得到： ，6 4 6 12由于圆 C 1 的极坐标方程为4cos ，所以：设A （ 1, ）B （ 2, ） ，由于与圆 C 1、圆 C 2分别在第一象限交于 A 、 B 两点，所以| AB | | 1 2 | | 4cos 4sin | 4 2 cos2 2 ．1 212 12 3[选修 4 一 5：不等式选讲 ] 1123．已知函数 f(x) |x| ，且对任意的 x ， f(x) f( x )⋯m ． 22(1)求 m 的取值范围；22f (sin 2 ) f (cos 2 a 1), m ．1 1 1 f ( x )| x || x |⋯ |x222解答】 解：（1） f（x ）( x)| 12 ， 2）若 m N ，证明：当且仅当 （ x 1）x, 0时等号成立，21m 的取值范围为 （ , 1 ] ．2当 1剟sin221时，2f (sin 2) f (cos21) 2sin 2, 0 ；当 0, sin 21，2f (sin 2)f (cos 21) 1，2综上， f（sin22)2f (cos1), 0 ， 原命题成立．2 2 2CE 2BC 2 BE 2 2BCgBEgcos120 ，Q f ( x) 对任意的 x ， f ( x) f ( x12)⋯m ，m,1，22）由（ 1）知， m, 1 ，又 m2要证 f (sin 2 ) f (cos2Q f (sin 2 )f (cos 21) N ， m即证 f (sin 212| | cos2f (cos 1), 0 ， 12|21 2 | sin 2 | cos 222sin 21,0,sin 212, 1剟sin 2 2 1 21), m ， )|sin 2。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，那么集合A. B.C. D.2.i为虚数单位，满足的复数z的虚部是A. 1B. iC.D.3.的展开式中的常数项为A. B. C. D. 94.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，若棱锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为A. B. 1 C. D.5.某商场每天的食品销售额万元与该商场的总销售额万元具有相关关系，且回归方程为已知该商场平均每天的食品销售额为8万元，估计该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为A. B. C. D.6.已知为等比数列的前n项和，且是与的等差中项，则数列的公比为A. B. C. D. 或17.某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布，成绩在之外的人数估计有附：若X服从，则，A. 1814人B. 3173人C. 5228人D. 5907人8.以为焦点的椭圆与直线有公共点，则满足条件的椭圆中长轴最短的为A. B. C. D.9.已知某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为，则A. B. C. D.10.已知函数和函数的图象分别为曲线，，直线与，分别交于M，N两点，P为曲线上的点．如果为正三角形，则实数k的值为A. B. C. D.11.将一枚骰子抛掷3次，则最大点数与最小点数之差为3的概率是A. B. C. D.12.已知函数，若方程有7个不同的实数解，则的取值范围A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围是______．14.已知点P为圆上任一点，，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围______．15.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．16.已知双曲线的焦距为2c，，是实轴顶点，以为直径的圆与直线在第一象限有两个不同公共点，则双曲线离心率e的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若，求C的大小；若AC边上的中线BM的长为，求面积的最大值．18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，点M是AC与BD的交点．求二面角的余弦值；若点N在线段PB上且平面PDC，求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．19.哈三中总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法．某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品．并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为，和为了购买该品牌的粉笔，校总务主任设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔，随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买．设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件1，．求，，；随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列及期望；若购买100箱该品牌粉笔，如果按照主任所设计方案购买的粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10，则所设计的方案有效．讨论该方案是否有效．20.已知函数．讨论在定义域内的极值点的个数；若对，恒成立，求实数m的取值范围；证明：若，不等式成立．21.过x轴正半轴上一点做直线与抛物线E：交于，，两点，且满足，过定点与点A做直线AC与抛物线交于另一点C，过点与点B做直线BD与抛物线交于另一点设三角形AMN的面积为，三角形DMN的面积为．求正实数m的取值范围；连接C，D两点，设直线CD的斜率为；当时，直线AB在y轴的纵截距范围为，则求的取值范围；当实数m在取到的范围内取值时，求的取值范围．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的参数方程为，为参数．写出曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；f若点，直线l与曲线C交于P，Q两点，弦P，Q的中点为M，求的值．23.设函数．求的解集；若，使恒成立的m的最大值为正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为集合或，，则，那么集合，故选：B．首先解不等式求出集合A，B，由补集的运算求出，再由交集的运算求出．本题考查了解不等式和集合交、补集的混合运算，属于基础题．2.答案：C解析：解：由，得，复数z的虚部是．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故选：C．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4.答案：D解析：解：现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，棱锥的体积为，圆锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则得到，，圆锥的高，圆锥的体积．解得，则圆锥的母线长为．故选：D．推导出圆锥的体积为，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则，圆锥的高，由此能求出圆锥的母线长．本题考查圆锥的母线长的求法、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.答案：A解析：解：商场每天的食品销售额万元与该商场的总销售额万元的线性回归方程为，当商场平均每天的食品销售额为8万元时，该商场平均每天的总销售额为，该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为：，故选：A．根据线性回归方程得到该商场平均每天的总销售额，从而求出该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值．本题主要考查了函数的实际应用，以及线性回归方程的应用，是基础题．6.答案：A解析：解：是与的等差中项，即为，若公比，则，即有，即，显然不成立，故，则，化为，即，解得或舍去，故选：A．由等差数列的中项性质和等比数列的求和公式，解方程可得所求公比，注意公比为1的情况．本题考查等比数列的求和公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：由数学分数服从正态分布，得，．则．则成绩在之内的人数估计有8183，成绩在之外的人数估计有1817，与1814最接近．故选：A．由已知可得，，则，求出概率，乘以10000可得成绩在之内人数的近似值，再由10000减去该近似值得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8.答案：C解析：解：以为焦点的椭圆，设椭圆方程为，由得，由题意，a有解，，，或舍，，此时椭圆方程是：．故选：C．先设椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，再根据该方程组有解即可求出a的最小值，则问题解决．本题主要考查由代数方法解决直线与椭圆交点问题，是中档题．9.答案：C解析：解：某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为，则，解得．故选：C．利用n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式能求出结果．本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：由已知可设，，则P点横坐标为，又因为点P在函数的图象上，所以，因为为正三角形，则，故直线PM的斜率等于，，即，，即，，故选：B．由已知条件设出M，N，P的坐标，利用直线PM的倾角是，即斜率为，利用斜率的坐标公式列出关于K的方程，解指对数方程即可本题主要考查对数函数的图象和性质应用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于中档题．11.答案：D解析：解：将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为，取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为，取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为，则最大点数与最小点数之差为3的概率是：．故选：D．将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为，取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为，取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为，由此能求出最大点数与最小点数之差为3的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.答案：C解析：解：当时，，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，且，时，，作出函数的图象如下图所示，令，则有两个不同的实数根，，要使方程有7个不同的实数解，则，，，即，作出上述不等式组表示的可行域如下图所示，由可行域可知，当取点时，最小，且最小值为2；当取点时，最大，且最大值为12．故的取值范围为．故选：C．利用导数研究函数的性质，可作出的草图，观察图象，结合题设条件可得方程有两个不同的实数根，，且，，利用二次函数根的分布，可以得到m，n满足的约束条件，由此作出可行域，再根据的几何意义，求得取值范围．本题考查分段函数的综合运用，涉及了利用导数研究函数的性质，“套套”函数，二次函数根的分布，简单的线性规划等知识点，考查换元思想，数形结合思想，函数与方程思想等数学思想，考查逻辑推理能力，运算求解能力，直观想象等数学能力，属于较难题目．13.答案：解析：解：依题意，函数，上的图象与直线有两个不同的交点，，又，，，函数的图象如下，由图可知，．故答案为：．依题意，函数，上的图象与直线有两个不同的交点，化简，作出函数在上的图象，观察图象即可得到m的取值范围．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及化简求解能力，属于中档题．14.答案：解析：解：如图，椭圆的焦点，，设，则，，则，的取值范围是．故答案为：．由椭圆方程求出焦点坐标，设，得到与的坐标，写出数量积，再由三角函数求最值可得的取值范围．本题考查圆与椭圆综合，考查平面向量的数量积运算，训练了利用三角函数求最值，是中档题．15.答案：1或解析：解：设与和的切点分别为、；由导数的几何意义可得，曲线在处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，则，，解得，或．当时，切线方程为，即，当时，切线方程为，即，或．故答案为：1或．分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得答斜率和截距相等，从而求得切线方程得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．16.答案：解析：解：由题意如图，要使以为直径的圆与直线在第一象限有两个不同公共点，可得直线在x，y轴的交点分别为：，，则O到直线的距离小于半径，且，即，，整理可得：，即，解得，故答案为：由题意可得O到直线的距离小于半径，且，可得a，c的关系，进而求出离心率的范围．本题考查双曲线的性质及点到直线的距离公式，属于中档题．17.答案：解：．由正弦定理可得，，由，可得，由，可得，由题意，，，，，，，由可得，由向量的中点表示可得，两边平方可得：，可得：，可得：，，解得，当且仅当时取等号，的面积，当且仅当时取等号，即面积的最大值是．解析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式可得，结合，可得，结合范围，可得，进而利用二倍角公式，两角差的余弦函数公式化简已知等式可得，结合范围C，，可得，即可得解．由已知运用向量的中点表示可得，利用向量的模的平方即为向量的平方以及基本不等式即可得到ac的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式，基本不等式，三角形的面积公式以及平面向量的运算，考查了转化思想，属于中档题．18.答案：解：在中，，，则．在中，，则，在中，，则，，，平面ABCD，分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，0，，，0，，0，，0，，，0，，，，，设平面ACP的法向量y，，则，取，则，设平面BCP的法向量b，，则，取，得，则，二面角的余弦值为．设平面PCD的法向量n，，，1，，则，取，得，设y，，且，，满足，则0，，，点N在线段PB上且平面PDC，，解得．，平面ACP的法向量，．直线MN与平面PAC所成角的正弦值为．解析：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，求出平面APC的法向量、平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角的正切值．先根据条件求出点N的具体位置，再利用向量法能求出直线MN与平面PAC所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：由已知，，．的可能取值为0，1，2，，，，随机变量X的分布列为：X 0 1 2P．由知，按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为：，，该方案无效．解析：利用古典概型概率计算公式能求出，，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．由，得到按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为，由，得到该方案无效．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查方案是否有效的判断与求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：，对于方程，，当时，，，此时没有极值点；当时，方程的两根为，，不妨设，则，当或时，，当时，，此时，是函数的两个极值点；当时，方程的两根为，，且，故，，当时，，故没有极值点；综上，当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点；，即，则，设，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故；证明：由知当时，恒成立，即，欲证，只需证，设，当时，，单调递减，当，，单调递增，，故，对，不等式成立．解析：函数的定义域为，求导后研究方程，分类讨论得出函数的单调性情况，进而得出极值点情况；问题等价于，设，利用导数求函数的最小值即可；由知，恒成立，则问题转化为证明，设，利用导数证明恒成立即可．本题考查利用导数研究函数的极值，以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想以及推理论证能力，属于较难题目．21.答案：解：设直线AB方程为，联立直线AB与抛物线方程得，解得，则且，又，，解得，正实数m的取值范围为；设，设过点的直线为，过点的直线为，由，联立解得，由，联立解得，，，直线AB在y轴上的纵截距取值范围为，，，即；，由和可知，，．解析：设直线AB方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理可得，再结合已知条件，即可求得正实数m的取值范围；设，设过点的直线为，过点的直线为，与抛物线方程联立后，可得，进而求得，由题意可知，，进而得到；易知，结合中m的范围即得解．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查逻辑推理能力及运算求解能力，对计算能力要求较高，属于中档题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．直线l的参数方程为，为参数转换为直角坐标方程为．把直线的参数方程，为参数，代入，得到，所以，，所以，即，，所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和二次函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：等价为或或，解得或或，则原不等式的解集为；若，使恒成立，即为，由，当时，取得等号，则的最小值为4，可得，则，即，由，，可得，当且仅当，即时取得等号，则的最小值为1．解析：由零点分区间法，结合绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；由题意可得，运用绝对值的性质可得其最小值，进而得到m的最大值，再由乘1法和基本不等式，可得所求最小值，注意运用的变形．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用：求最值，化简整理的运算能力，属于中档题．。
黑龙江哈三中2019-2020学年上学期高三学年期中考试理科数学试题(5页)
黑龙江哈三中2019-2020学年上学期高三学年期中考试理科数学试题理科数学试题本试卷共23题，共150分，共8页，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合[2,2]A =-，{}2|(1),B y y x x A ==-∈，则A B =I （ ） A ．[]2,2-B ．[]1,2C ．[]0,2D ．[]2,9-2．设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．04．已知函数()f x 是奇函数，满足0x >时，()2x f x =，则21log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．3B ．13C ．13-D ．3-5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则8S =（ ） A ．8B ．64C ．8或64D ．64-6．《九章算术》卷五商功中记载了一个问题：今有圆亭：下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？答曰：五百二十七尺，九分尺之七．术曰：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一，文中给出了如三视图所示几何体体积的一种近似算法：（上底面周长⨯下底面周长+上底面周长的平方+下底面周长的平方）⨯高⨯136，如此求出的体积的近似值与实际值的比值为（ ）正视图 侧视图 俯视图 A ．3π B ．3πC ．227πD ．722π 7．如果将函数()y g x =图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移3π个单位长度，得到函数1()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则()y g x =图象的一条对称轴的直线方程为（ ）A ．2x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．2x π=8．已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．92D ．1129．已知四面体ABCD 的所有棱长相等，E 为棱AC 的中点，F 为棱AB 上一点，且14AF AB =，则异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为（ ） ABCD10．函数22cos 22sin cos 2sin cos ()4x x x x xf x x π+⋅-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值域为（ ）A．()1B．)1⎡⎣C．514⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．514⎡⎫-⎪⎢⎣⎭11．已知三棱锥P ABC -中PA ⊥底面ABC ，60BAC ∠=︒，2PA =，AB AC ==顶点都在同一个面上，则该球的表面积为（ ） A ．43π B．3C ．8πD ．12π12．已知三棱锥S ABC -的体积为4，且4AC =，2224SA BC +=，30ACB ∠=︒，则三棱锥S ABC -的表面积为（ ） A．B．C．或D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若曲线y =在点(P a 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值为_____________．14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m r ，n r满足),cos m c C =-r，(,cos )n a A =r ，//m n r r，则cos A 的值为：_____________．15．如图所示，四边形ABCD 为边长为2的菱形，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，AB 上运动（不含端点），且//EF AC ，沿EF 把平面BEF 折起，使平面BEF ⊥底面ECDAF ，当五棱锥B ECDAF -的体积最大时，EF 的长为________________．16．已知函数()f x 满足21,0(),0x x x f x e e x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，，若方程22[()]2()20f x mf x m -+-=有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为_______________．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．已知ABC ∆外接圆直径是2，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()222sin sin ()sin A B a c C -=-．（1）求角B ；（2）求ABC ∆的周长的最大值．18．已知长方体1111ABCD A B C D -，1AA =22AB BC ==，E 为棱AB 的中点，F 为线段1D C 的中点．（1）求证：//EF 平面11BCC B（2）求直线1AD 与平面DEF 所成角的正弦值．19．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若数列{}n a 和数列都是等差数列，且公差相等．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：34n T <． 20．如图，四棱锥S ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，BC AB ⊥，6AB =，4BC CD SD ===，平面SCD ⊥平面ABCD ，二面角S AD B --的大小为θ，tan 2θ=-，M 为线段SC 的中点，N 为线段AB 上的动点，N 为线段AB 上的动点．（1）求证：平面SBC ⊥平面SCD ；（2）是否存在点N ，使二面角C DM N --的大小为60︒，若存在，求ANAB的值，不存在说出理由． 21．若函数2()ln 2f x x x mx x m =+-+()m R ∈在其定义域内有两个不同的极值点． （1）求实数m 的取值范围； （2）试比较20202019与20192020的大小，并说明理由；（3）设()f x 的两个极值点为1x ，2x ，证明：212x x e >．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．若果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1313x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），以标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程以及直线的直角坐标方程； （2）已知点()2,0M ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11||||MP MQ +的值 23．【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|1||23|f x x x =--+． （1）解关于x 的不等式()1f x x ≥+； （2）设函数()f x 的最大值为m ，22211124m a b c ++=-，求111a b c++的最大值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A． a b c
B． c b a
C． c a b
D． b c a
哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第 3页 共 8 页
哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试
数学试卷（理工类）
第Ⅱ卷 （非选择题， 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
有一项是符合题目要求的．)
1．设
i
是虚数单位，则复数
1 2
i i
在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知集合 M x x 2 4 ， N a,a ，若 M N N ，则 a 的取值范围是
A． 2, C．2, 0 0, 2
B． , 2 2, D． 2,2
否定为：“ x R ，均有 x2 3x 2 0 ”．
5．欧拉公式 eix cos x i sin x （ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将
指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论
里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉的公式可知，e2i 表示的复
B．为调查高三年级的 240 名学生完成作业所需的时间,由教务处对高三年级的学生进
行编号，从 001 到 240 抽取学号最后一位为 3 的学生进行调查,则这种抽样方法为分
层抽样；
C．“ x 1 ”是“ x 2 3x 2 0 ”的必要不充分条件；
D．命题 p ：“ x0 R ，使得 x02 3x0 2 0 ”的
且 cos(
)
1
，
cos(
)
3 ，则
2
2
4
3
42 3
cos( ) 2
3
A．
3
B． 3 3
53
C．
9
D． 6 9
9．设数列 an 是公差不为 0 的等差数列，其前 n 项和为 Sn ，若 S7 S2 10 ，且
a1 ， a3 ， a6 成等比数列，则前 n 项和 Sn 等于
A． n2 7n 88
ABC 120 ，且三棱锥 O ABC 的体积为 3 ，则球 O 的表面积为
32
A．
3
B．16
C． 52
D． 64
12．定义方程 f x f x的实根 x0 叫做函数 f x 的“新驻点”，若函数 gx e2x 1，
hx ln(x 1) ，x x3 1的“新驻点”分别为 a,b, c ，则 a,b, c 的大小关系为
A1
B1
C1
E A
B
F
C
哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第 5页 共 8 页
19．（本小题满分 12 分）
某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中 茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如下： （1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数； （2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定； （3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不
2
2
3．某几何体是圆锥的一部分，它的三视图如图所示，
2 主视图
其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为
A． 3 2
B． 3 3 2
C． 3
D． 5 3 2
俯视图
3
1 左视图
哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第 1页 共 8 页
4．下列说法正确的是：
A．在频率分布直方图中, 众数左边和右边的直方图的面积相等；
字笔书写，字体工整，字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无
效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第 I 卷 （选择题，共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
1(a
0,b
0)
的左、右焦点分别为 F1、F2 ,且抛物线 C2 ：
y2 2 px( p 0) 的焦点与双曲线 C1 的焦点重合，若双曲线 C1 与抛物线 C2 的交点 P
满足 PF2 F1F2 ，则双曲线 C1 的离心率 e =_______. 16．已知南北回归线的纬度为 2326 , 设地球表面某地正午太阳高度角为 , 为此时太
(3) 求证: ln 3n 1 n ( 1 1 2 ) ln 3 .
n 1 i1 3i 2 3i 1 3i
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
已知曲线 C 的极坐标方程是 1 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直
23．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
已知关于 x 的不等式 x a2 x 2a 5 5 . (1) 当 a 1 时，求不等式的解集； (2) 若不等式有实数解，求实数 a 的取值范围．
哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第 8页 共 8 页
哈三中 2020 届高三 综合题(一) 数学试卷（理工类）
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试 时间 120 分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签
哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第 4页 共 8 页
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 4sin2 A B cos 2C 7 ．
低于 90 分的次数为 ，求 的分布列及均值．
甲
89 934 3
40
乙
75 8 0224 9 250
20．（本小题满分 12 分）
已知过圆
C1
:
x2
y2
1
上一点
E(1 2
,
3 ) 的切线，交坐标轴于 A、B 两点，且 A、B 2
恰好分别为椭圆 C2
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的上顶点和右顶点.
x
的
取值范围是
A． 1，2 C． ，1 2，
B． 2，1 D． ，1 2，
开始
输入 x
x [2,2]? 是 f (x) 2x
否 f (x) 2
输出 f ( x)
结束
哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第 2页 共 8 页
8．已知 (0,
) ， (
, 0) ，
B． n 2 7n 44
C． n2 3n 24
D． n2 n
10．若函数
f
x
log a
(2 x 2
x)a
0且a
1
在区间
0，1 2
内恒有
f
x
0 ，则
f
x
的单调递增区间是
A． , 1 B． , 1
4
2
C． 1 , 4
D． 0,
11．已知三棱锥 O ABC 中， A, B,C 三点在以 O 为球心的球面上，若 AB BC 2 ,
2
2
（1）求角 C ；
（2）若 SABC
33 2
,c
Байду номын сангаас
7 ，求 a ， b 的值．
18．（本小题满分 12 分）
已知三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱垂直于底面， BAC 90 ， AB AC AA1 1 ， E 、 F 分别是棱 C1C 、 BC 的中点． （1）求证： B1F 平面 AEF ； （2）求直线 B1F 与平面 AB1E 所成的角的正弦值．
13．已知向量 a, b 满足 a 3 ， b 2 ，且 a 与 b 的夹角为 60 ，则 2a b _______．
x y 4 0
14．实数
x,
y
满足条件
x x
2y 2 0, y 0
0
，则
log
4
(
1 2
x
y
1)
的最大值为_______．
15．双曲线 C1 ：
x2 a2
y2 b2
(1)求椭圆 C2 的方程；
(2)已知 P 为椭圆的左顶点，过点 P 作直线 PM、PN 分别交椭圆于 M、N 两点，若 直线 MN 过定点 Q(1, 0) ，求证: PM PN .
哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第 6页 共 8 页
21．（本小题满分 12 分）
已知
S1
1 2
阳直射纬度, 为该地的纬度值, 那么这三个量之间的关系是 90 . 当
地夏半年 取正值, 冬半年 取负值, 如果在北半球某地 (纬度为 0 )的一幢高为 h0
的楼房北面盖一新楼, 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 两楼的距
离应不小于________________(结果用含有 h0 和0 的式子表示).
1 3
1 n
,
S2
1 1 2
1
,
n 1
直线 x 1,
xn,
y 0 与曲
线 y 1 所围成的曲边梯形的面积为 S . 其中 n N , 且 n 2 . x