整体法求值1
《代数式》提升专题——整体思想求值
《代数式》提升专题——整体思想求值一、方法总述要利用整体思想解题，需要从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何求证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．二、例题探索1．直接代入例1：已知a－b＝－3，求代数式(－a＋b)²－a＋6＋b的值．分析：本题中，我们无需求出a，b的值，将a－b作为一个整体直接代入，需要注意的是－a＋b是其相反数．解答：当a－b＝－3时，原式＝(－a＋b)²－a＋b＋6＝3²＋3＋6＝18变式1：若ab＝－3，a＋b＝－2，则ab－4a＋a－3b＝_______．分析：本题中，同样无需求出a，b的值，先将多项式化简，观察化简结果中的某几项，能否作为一个整体，与所给条件中的某个整体是对应的倍数关系，从而在求解时，将所给条件中的这个整体添上括号和系数，方便求值．解答：当ab＝－3，a＋b＝－2时，原式＝ab－3a－3b＝ab－3(a＋b)＝－3－3×(－2)＝32．部分代入例2：若代数式2a²－3a＋1的值为5，(1)求代数式8＋4a²－6a的值．(2)求代数式－6a²－4＋9a的值．分析：本题中，我们可以把所给条件中的部分项组成一个整体，代入到要求的多项式中，一般来说，要求的多项式中，必然也有部分项可看作整体，是所给条件中部分项整体的倍数关系，同样，求解时，别忘给所给条件的部分项添上括号和系数．解答：(1)由题意得，2a²－3a＝4原式＝8＋2(2a²－3a)＝8＋2×4＝16(2)原式＝－6a²＋9a－4＝－3(2a²－3a)－4＝－3×4－4＝－163．两次代入例3：分析：本题中，显然需要把－3代入这个代数式，但是仅代一次是不够的，我们只能得到关于m，n 的多项式作为整体，因此，需要把3再次代入，观察此时关于m，n的多项式的整体与之前的关系，并求值．解答：当x＝－3时，原式＝－27m－3n＋1＝－5∴－27m－3m＝－6当x＝3时，原式＝27m＋3n＋1＝6＋1＝74．特殊值代入例4：分析：本题中，我们需要思考，到底代哪个特殊值．(1)中，只有a0，则其他项为0，则x取0．(2)中，是求每项的系数的和，因此，x必须保证其任何次幂为1，则x取1．(3)中，x必须保证其奇次幂为－1，偶次幂为1，则x取－1．(4)中，不含奇数次的项，则这些项要设法消去，则(2)(3)式相加，除以2即可．(5)中，不含偶数次的项，则这些项要设法消去，则(2)(3)式相减，除以2即可．解答：三、高阶运用1．拆项重组代入例1：分析：这种类型的题目，显然是无法求出x，y具体的值，因此只能观察要求的代数式与所给的两个整体之间的联系，我们通常将中间同时含字母xy的项拆解，是其中一项与第一项合并后是所给第一个整体的倍数，另一项与最后一项合并后是所给第二个整体的倍数．(1)显然，2xy拆成xy＋xy．(2)显然，0＝xy－xy．(3)看到第一项为2x²，则有一项被拆成2xy，凑出第一个所给整体的2倍．(4)同上．解答：例2：分析：本题中，要求的代数式中含有三次项，而已知条件的多项式是二次的，因此，要降次，我们可以把三次项拆成一次项乘二次项，而把已知条件中除二次项以外的多项式看作是这个二次项的相反项，用来代替要求式子中拆出来的二次项，则整个所求的三次项就达到了降次的目的．解答：思考题。
七年级上册整体法代入求值教学研究分类汇总
“整体法”代入求值教学研究整体思想是初中数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简求值中应用广泛。
在单个字母的取值不能确定的情况下，代数式的求值通常借助于“整体代入思想”来解决，即把某个代数式看做一个整体，巧妙的求出多项式的值。
用整体代入法求值的关键有两点：第一，确定可代入的“整体”，第二，在所求代数式中构造“整体”。
通俗的讲就是对所求多项式进行适当转换，凑出与已知整体相同的式子再代入求值。
整体代入法初步例1.已知x+y=-3，xy=-4，求2x-3xy+2y 的值。
解：已知x+y=-3，xy=-4（可代入整体）原式=2（x+y）-3xy (构造整体）=2×（-3）-3×（-4）=6变式1.若m+n=-2,mn=-4,求2(mn-3m)-3(2n-mn)的值。
变式2.已知x-y=4xy，求y -2xy -x 2y-3xy +2x 的值。
变式3.b a b a -+=7，则b a b a -+)(2﹣)(3b a b a +-的值是．例2.已知2x-3y=1，求10-4x+6y的值。
解：可代入整体：：2x-3y=1构造整体：10-4x+6y=10-2（2x-3y）=10-2×1=8变式一.若m2﹣5m+2=0，则2m2﹣10m+2018=__________．解：第一步确定可代入整体：攻略：可代入整体必须满足等式左边只剩含有字母项，常数项全部移到等号右边，即m2﹣5m+2=0变形为m2﹣5m=-2可代入整体：m2﹣5m=-2第二步构造“整体”攻略：对比两个式子中的同类项，观察其倍数关系2m2﹣10m+2018×2×2倍m2﹣5m=-2已知：m2﹣5m=-2原式=2m2﹣10m+2018=2（m2﹣5m）+2018=2×（-2）+2018=2014变式二.若代数式2x+y+1的值是5，那么代数式7﹣6x﹣3y 的值是．(先把常数项移到最后）变式三.当x=2时，式子ax 3﹣bx+1的值是2，当x=﹣2时，求式子ax 3﹣bx+2018的值．整体代入法提升例3.如果422=+ab a ，322-=+b ab ，求22252b ab a ++的值。
整体代入求值的方法
整体代入求值的方法
整体代入求值的方法是一种解决问题的思维方式，它强调在分析问题时全面考
虑各个方面的因素，而不只是局限于一个特定的角度。
该方法可以应用于各个领域，例如商业决策、项目管理、教育等。
在商业决策中，整体代入求值的方法能够帮助企业领导者综合考虑市场需求、
竞争态势、公司资源等多个因素，从而制定全面有效的战略决策。
通过将自己置身于各种可能的情况中，领导者可以更好地把握市场的变化趋势，预测风险和机遇，并做出正确的决策。
在项目管理中，整体代入求值的方法能够帮助项目经理更好地理解项目的复杂
性和各个环节之间的关联性。
通过将自己置身于项目的各个角色中，项目经理可以更好地分析和解决潜在的问题，确保项目按时按质完成。
此外，该方法还可以帮助项目团队成员更好地协作和沟通，充分发挥各自的优势，实现项目目标。
在教育领域，整体代入求值的方法被广泛运用于学生评价和教学改进。
通过将
自己置身于学生的角度中，教育工作者可以更全面地了解学生的需求和问题，从而采取更有效的教学策略。
这种方法还可以帮助学生更好地理解和运用所学知识，提高学习效果。
总之，整体代入求值的方法是一种重要的思维方式，能够帮助我们更全面地理
解问题，并找到更好的解决方案。
无论是商业决策、项目管理还是教育领域，应用这种方法都能够带来积极的效果。
通过整体代入求值，我们可以更好地理解各种因素之间的关系，做出更明智的决策和行动。
妙用整体处理 整式轻松求值
妙用整体处理 整式轻松求值在进行整式的运算时，如果总是注意其中的细节，会难以下手，这时转换一下解题角度，从全局着眼，仔细观察命题中的整体与局部的关系，找出其内在规律，可使问题得到解决。
这种解题思想称为整体思想。
在整式的加减运算中如能恰当地运用这一数学思想，常常能化繁为简，变难为易，收到事半功倍的效果。
下面举例说明，供同学们学习时参考！一、整体合并例1：计算 x y x y x y x 3)(10)(4)(5+---+-分析：计算式中三项都含有)(y x -，可将其看作一个整体，即含有)(y x -的项当作同类项，合并后再计算。
解：原式＝x y x 3))(1045(+--+＝x y x 3)(+--＝x y x 3++-＝y x +2.说明：本题若按常规方法求解，即先去括号再合并，运算量大且容易出错。
例2：计算 a b a b a b a b a ++---++-)(51)(31)(41)(2122分析：观察计算式，可将2)(b a -和)(b a +都看作一个整体，分别合并后再计算。
解：原式＝a b a b a ++-+--))(5141())(3121(2 ＝a b a b a +++-)(201)(612 ＝a b a b a +++-201201)(612 ＝b a b a 2012021)(612++-. 说明：（1）a a +201的结果应写成a 2021，不能写成a 2011.（2）2)(b a -在学习了整式的乘法后才可进一步计算，特别要注意222)(b a b a -≠-.二、整体代入例3：已知代数式722++x y 的值为5，求代数式81052-+x y 的值.分析：观察代数式722++x y 与81052-+x y 中含有字母的项，可发现)2(510522x y x y +=+，于是将x y 22+看成一个整体，求出x y 22+的值即可. 解：∵722++x y ＝5，∴x y 22+＝－2.∴8)2(5810522-+=-+x y x y ＝8)2(5--⨯＝－18.例4：已知3=-n m ，求533)(4++--n m n m 的值.分析：要求533)(4++--n m n m 的值，常规解法是将m 和n 的值分别代入求解，但已知中仅有条件3=-n m ，无法确定m 、n 的具体值，这时可将)(n m -看成一个整体，再将所求的代数式化为含有)(n m -的式子求解。
整体思想求值的技巧
ｌ Ｔ
＝
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５
可 对 要 求 式 作 简 单 的 变 形 再代 入 即 可
．
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ｙ
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（
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解 ３ ａ
例
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＋ ６ ａ ＝３
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已 知 ２ Ｖ ＋
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的 值 为 ７ 求６ ＊
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将要求式进 行转 化
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２〇
１
４
仔 细 观 察 已 知 式 和 要 求 式 它 们 当 中 都 含 有 针 对 训 练
整体思想在整式的加减求值中的运用
（ 一ｂ ｂ ）＋（ 一 ）＝３ ＋４ ＋７ ＝７ 口 ）＋（ —Ｃ２ 口 ｃ 。 ４
瓣 整 拆 求 体分值
辩 已 ｘ ：０３＋ｘ＝ ， ｘ ８ ９ 的 是 知２十 １， ２ ６ 求４＋ ＋ｙ 值 ｙ ｙ
多少 ．
解析
直接 用 ＋ｘ ｙ＝１ ０和 ３ ｙ＋２ｙ＝６两个 整体 的值 ， ｘ 需
整化求 体简值
：
ｒ
已 ｙ ， 数 ｝ 一 一 ｝ 知＝ ３ 代 式 ｙ 斋 ｙ＋ （ ＋求 ） ＋ ） 一
ｙ＋ （ ）＋ 的 ・ ）击 ， ２ 值 一）
解析 根 据式 子 的特点 ， 将整 式 中 的“ —ｙ 看 成一 个 整体 ， ” 可
使 运算 简便 ．
原＝ （ （ 式 ［ ）｝ ｝ 十
要将 乱 ＋８ｙ＋９ ｘ ｙ拆 分 成 含有 这 两个 整 体 的代 数 式 ， 答关 键 是 解 按整 体 的倍数 拆分 待求 代 数式 ．
４ ＋８ｙ ｙ＝（ｘ＋２ｙ ＋（ ｘ ｘ ＋９ ４ ｘ） ６ｙ＋９ ） （ｘ＋ ） （ ｘ ｙ ＝２ ２ ＋３ ２ｙ＋
３ ｙ）＝２× １ ０＋３×６＝３ ． ８
解析 本 题 无 法直 接 求 出 字母 ０ ｂ Ｃ的值 ， ，， 观察 后 可 直接 将
ｎ—ｂ＝３和 ｂ—ｃ＝４整体 代 人原 式 中 ， 而对 于 口 一ｃ的值 ， 则需 要
Ｅ ｅ ｙ ｎ ｓ ｏ ａ ｄ ｈ ｓａｄ ｒ ｉ ｅｗ ｉｈ ｈ ｅ ｅ ｈ ｗ ｏａ ｙ ｏ ｙ ｖ ｒ ｏ ｅｉ ａｍｏ ｎ， ｎ ａ ａ ｋｓｄ ｈ ｃ ｅ ｎ ｖ ｒ ｏ ｓｔ ｎ ｂ ｄ ． ｓ
： ２＝（ ｙ —ｙ ． — ）＋（ ） ＋２ ： 由 ＝ Ｙ＋３ 得 —Ｙ＝３ ， ，
斋（ ＋ （ ＋
整式加减之整体思想求值.学生版
题型切片（七个）对应题目题型目标 利用同类项求未知数的值 例1；练习1 整式加减的化简求值例2；练习1 化简并说明结果与字母取值无关 例3；练习2 整体思想之整体化简 例4；练习3 整体思想之代入求值例5：练习4 整体思想之构造整体 例6；练习5 整体思想之赋值 例7；练习6整式加减的实质： ⑴去括号；⑵找同类项；⑶合并同类项. 整式加减运算原则：有括号先去括号，有同类项先合并同类项.多重括号的整式加减混合运算中，常用的三种去括号方法： ⑴由内向外逐层进行； ⑵由外向内进行；⑶如果去括号法则掌握得熟练，还可以内外同时进行去括号．【例1】 ⑴若27m xy +-与33nx y -是同类项，则m =_______, n =________.⑵若3232583n m x y x y x y -=-，则22m n -=________.【例2】 ⑴化简：①()222323x x x x ⎡⎤---=⎣⎦ ；②()()3105223xy y x xy y x ++-+-=⎡⎤⎣⎦ .⑵化简求值：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-22411444841x x x x ，其中21-=x ．整体思想求值⑶已知：()2210x y ++-=，求()2222252342xy x y xy xy x y ⎡⎤-+--⎣⎦的值.【例3】 ⑴当k =时，代数式643643154105x kx y x x y --++中不含43x y 项.⑵ 有这样一道题“当22a b ==-，时，求多项式()()22233322a ab b a ab b -----+的值”，马小虎做题时把2a =错抄成2a =-时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想的解题方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用．【例4】 ⑴计算5()2()3()a b b a a b -+---= ．⑵化简：22233(2)(2)(1)(1)x x x x x +---+-+-= ．⑶化简：()()()432330321223120573x y y x x y -+----+= ．【例5】 ⑴已知代数式a b -等于3，则代数式()()25a b a b ---的值为 .⑵已知代数式2326y y -+的值为8，那么代数式2641y y -+的值为 .⑶若232x x --的值为3，则2239x x -+的值为_______.⑷已知代数式2346x x -+的值为9，则代数式2463x x -+的值为 .⑸已知32c a b =-，求代数式22523c a b a b c ----的值.【例6】 ⑴如果225a ab +=，222ab b +=-，则224a b -= .⑵己知：2a b -=，3b c -=-，5c d -=，求()()()a c b d c b -⨯-⨯-的值．【例7】 ⑴已知代数式25342()x ax bx cx x dx +++，当1x =时，值为1，求该代数式当1x =-时的值．⑵已知代数式4323ax bx cx dx ++++，当2x =时它的值为20；当2x =-时它的值为16， 求2x =时，代数式423ax cx ++的值.【选讲题】【例8】 李明在计算一个多项式减去2245x x -+时，误认为加上此式，计算出错误结果为221x x -+-，试求出正确答案．【例9】 设55432(21)x ax bx cx dx ex f -=+++++，求：⑴ f 的值；⑵ a b c d e f +++++的值； ⑶ a b c d e f -+-+-的值；⑷ a c e ++的值．训练1. ⑴ 下列说法正确的是（ ）A ．单项式23x -的系数是3- B ．单项式3242π2ab -的指数是7C ．1x 是单项式 D ．单项式可能不含有字母⑵ 多项式2332320.53x y x y y x ---是 次 项式，关于字母y 的最高次数项是 ，关于字母x 的最高次项的系数 ，把多项式按x 的降幂排列 ．A B C DEF⑶ 已知单项式4312x y -的次数与多项式21228m a a b a b +++的次数相同，求m 的值．⑷ 若A 和B 都是五次多项式，则（ ）A ．AB +一定是多项式 B ．A B -一定是单项式C ．A B -是次数不高于5的整式D ．A B +是次数不低于5的整式⑸ 代数式()()()22241332xyz xy xy xyz xyz xy +-+-+--+的值（ ）A ．与x y z ，，的大小无关B ．与x y z ，，大小有关C ．仅与x 的大小有关D ．仅与x y ，的大小有关⑹ 当m = 时，212323mx y xy --是五次二项式.训练2. 用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数——整体．试按提示解答下面问题．⑴ 已知2351A B x x +=-+，2235A C x x -=-+-，求当2x =时，B C +的值．.⑵ 若代数式2237x y ++的值为8，求代数式2698x y ++的值．训练3. 正方体六个面展开如图所示，六个面分别用字母A 、B 、C 、D 、E 、F 表示，已知：2243A x xy y =-+，1()2B C A =-，2232C x xy y =--，2E B C =-，若正方体相对的两个面上的多项式的和相等，求D 、F. (用含y x ,的多项式表示)训练4. ⑴设()5543254321031x a x a x a x a x a x a -=+++++，求024a a a ++的值．⑵已知()5543254321021x a x a x a x a x a x a -=+++++，则24a a +的值为 .利用同类项求未知数的值、整式加减的化简求值【练习1】 已知5+43a x y 与315b x y 是同类项，化简代数式()()2222352ab a a ab a ab ⎡⎤-----+⎣⎦并求该代数式的值.化简并说明结果与字母取值无关【练习2】 有这样一道题：“计算()()()32232332323223x x y xy x xy y x x y y ----++-+-的值”，其中“2013,1x y ==-”. 甲同学把“2013x =”错抄成了“2013x =-”，但他计算 的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果.整体思想之整体化简【练习3】 把()a b -当作一个整体，合并22()5a b --2()b a -+2()a b -的结果是（ ）A ．()2a b - B ．()2a b -- C ．()22a b -- D ．0整体思想之代入求值【练习4】 ⑴如果36a b -=，那么代数式53a b -+的值是___________.⑵已知5=-y x ，代数式y x --2的值是_________．⑶已知24x y -+=，则代数式()2526360x y y x --+-的值为 ．⑷若23x x +的值为2，则2396x x +-的值为_____． ⑸若2320a a --=，则2526a a +-＝ ．整体思想之构造整体【练习5】 如果1662=+xy x ，1242-=-xy y ，则222y xy x ++的值为 ．整体思想之赋值【练习6】 ⑴已知当2x =-时，代数式31ax bx ++的值为6，那么当2x =时，代数式31ax bx ++的值是多少？⑵若533y ax bx ax =++-，当2x =-时，10y =，则2x =时，y = ．是先有方程还是先有代数式？当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。
专题训练：整体代入求值
4 1 ，那么 3m 6n 1 的值是 5
2
3、已知 x 3x 5 的值为 3，则代数式 3x 9 x 1 的值为 4、若 3a a 2 0 ，则 7
2
1 3 a a 2 的值是 2 2
5、若 3m 2n 2007 时，则代数式 1 2n 3m 的值为 6、若 a-3b=-3,那么代数式 5-a+3b 的值为
1已知x2y5那么5x2y3x6ybxax时代数式的值为10当x2时多项式cxbxax时求这个多项式的值
专题训练：整体代入
姓名： 日期：
整体代入：
例、已知 m 2n 2 ，分别求下列各式的值： (1) 4(m 2n) 6n 3m 60 ； (2) 7(m 2n) 8(2n m) 7 ；
7、已知 x 3 y 3 ，则 5 2 x 6 y 的值是_____________. 8、若 3a a 2 0 ，则 7
2
1 3 a 3 时，代数式 ax bx 1 的值为 2010 ，当 x 3 时，代数式的值为______
3
2 2
13、已知 x 9 0 ，求代数式 x ( x 1) x( x 1) x 7 的值.
2
2 2
(3) 5(m 2n)
1 1 (2n m) (m 2n) (2n m) 1 3 4
例、若多项式 2a 3a 4 的值为 6，分别求下列各式的值：
2
(1) 4a 6a 3 ；
2
(2) 8a 12a 5 ；
2
(3)
2 2 a a 1 3
练习： 1、已知－x+2y=5,那么 5(x-2y)-3x+6y 的值为 2、若 m 2n
整体思想在分式求值中的应用
二、典型例题
1 1 =6，求 x- 的值． x x 1 1 1 分析：首先由 x+ =6，x• =1，运用完全平方公式得出（xx x x 1 ＜1，即可求出 x- 的值． x 1 解：∵x+ =6， x 1 1 ∴（x- ）2=（x+ ）2-4=36-4=32， x x 1 ∴x- =±4 2 ， x
分析：将方程
1 x
+x=3 的两边平方，得：
可． 解：将方程 得： ∴
1 x
+x=3 的两边平方，
1 +2+x2=9， x2
1 2 +x =7， x2
∵x≠0， ∴
x2 = x4 x2 1
1 x2 1 1 x2
=
1 1 ． 7 1 8
三、强化练习
6．已知 a+
1 a
=5，求
a4 a2 1 的值． a2
2 7
D．-
2 7
例1 若 0＜x＜1，且 x+ 又∵0＜x＜1， ∴x-
）2=（x+
1 x
）2-4，再结合已知条件 0＜x
1 x
=-4
2． 2．
1 x
+x=3，求
故答案为-4
例 2 已知
x2 的值 x4 x2 1
1 1 x2 +2+x2=9，∴ 2 +x2=7，代入 4 化简后的式子即 x2 x x x2 1
1 a2
的值， 然后根据分式的基本性质，
分析： 把已知条件两边同时乘方， 再根据完全平方公式展开， 求出 a2+
七年级整体代入求值知识点
七年级整体代入求值知识点初中数学知识点之七年级整体代入求值在初中数学的学习过程中，我们接触到了各种各样的知识点，其中也包括了整体代入求值这一知识点。
下面，我们将详细探讨七年级整体代入求值的相关内容。
1.概念解析整体代入求值是指将某一数值代入式子中计算的方法。
在数学中，我们常使用字母来代替数值，这样在处理不同的模型问题时，我们只需要将不同的数值代入到方程中，即可得到相应的结果。
那么，在实际使用中，我们如何进行整体代入求值呢？下面我们以一个简单的实例进行介绍。
假设现在有一个式子：5x + 2，要求将x=4代入该式中计算。
那么我们只需将x=4代入式子中，即可得到计算结果：5 x 4 + 2 = 22。
2.操作方法2.1、将变量代入对于一个给定的式子，我们可以将其当做一个模型，使用字母代替数值，从而得到一个通用的公式。
在实际运算中，我们可以通过将不同的数值代替字母，来求得相应答案。
比如对于5x+2这个式子，我们可以将其看作一个模型问题，只需要将x=4代入其中，就可以得到答案22。
2.2、使用计算器在实际计算中，我们可以通过使用计算器的功能，来实现快速求解问题的目的。
现有的计算器不仅可以进行基本的四则运算，还能够进行更为复杂的运算，如幂运算、三角函数等。
2.3、手写计算其实，手写计算也是一种非常有效的方法。
通过手工计算，我们不仅可以更好地理解问题，还可以提高自己的计算能力和数学思维能力。
但是，在进行手写计算时，一定要注意计算过程的规范性，并保持良好的心理素质，不要因为一些小错误而影响自己的情绪。
3.实际应用整体代入求值在我们的日常生活中也有广泛的应用。
比如，在计算商品价格时，我们需要根据不同的材料、规格和数量等情况，进行相应的计算。
只有在了解整体代入求值这一概念后，我们才能更好地掌握计算知识，从而提高自己的生活水平和工作能力。
4.总结整体代入求值是初中数学中的一个非常重要的知识点，需要我们在日常的学习过程中认真学习和掌握。
整体思想在加减求值中的运用
将 Ⅱ一 ３ 一ｃ ４的两 边 分 别 相 加 ， ｂ＝ ， ＝ 得
６一 ｂ ＝３ ． ０ ｃ 。 ／ ｂ＋ —ｃ ＋４ 即 一 ＝７ ，
‘
镩三个 甩 Ｔ ２ ６ ３ ２ 根 火柴棒 ， ＋ ｘ ＝ ０
。
．
（ ｂ 。 ｂ ｃ ６ ｃ ３ ＋ ２ ２ ４ 口一 ） ＋（ — ）＋（， ） ＝ ２ ４ ＋７ ２７ ． ／ 一
一
、
整 体化 简 求值
四、 整体 拆 分求值 ４ 已知 ＋ ｙ ０ ３ ． ｘ ＝１ ，ｙ＋Ｍｙ＝６ 贝 ｘ＋８ ｙ ，０ ４ ｘ＋
１ 知＝ ３ 代 式 ） 斋 ． ） ， 数 ｝ 一 一 已 ，求 ＋ ， ） ＋ ）＋ （）＋ ）＋的 ． ， ， 击（ ， ２值 ） ３ 一 一 ） ）
一
± 铵 疽逸 Ｃ －
２ 解析： ． 此题是一道用整式解决实际问题的应用题．
（ ）用 含 的代 数式 表示 出他应 支 付 的车费 为 ： １
、 ＋ ｔ 一３ ． Ｑ ２ ｘ
６ ｂ 一３： 一 ． ａ２ ３
显然 ， 代数式 的值与 。 ｂ的取 值无关 ， ， 因而无论 ａｂ ，
的值是 多少 ？
二、 整体 代 入求值
２ 若 ＋口＝０ ． ，则 ２ ＋２ ａ＋２ ０ ０ ８的值 为 多
少？ Biblioteka 五、 整体 转 换 求值 ５ 在 多项 式 似 ＋ｃ ． ＋６ 一１中 ， 已知 当 ＝２
时 ， 的值 为 ５求 当 ＝一 它 ． ２时 ， 多项 式 ＋
如果财富是你的， 那么你为什么不把它们和你一起带到另一个世界去呢？——富兰克林
（ ２
维普资讯
妙用整体思想求整式的值
“整体思想”帮大忙在进行整式的加减时，有些题目采用常规解法比较繁琐或根本无法解答，此时若经过适当变形，利用“整体思想”，可使问题迎刃而解，轻松取胜.一、整体代入例1 已知式子6232+-y y 的值为8，那么1232+-y y 的值是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 分析：本题经过变形，把y y -223作为一个整体代入即可求解，简捷准确.应注意审清题意，注意平时多积累，真正理解“整体思想”. 解：由题意可得6232+-y y =8，则2232=-y y ，即.1232=-y y 所以1232+-y y =1+1=2.故选（B ）. 二、整体合并例2 计算：)1()1(15322x x x x x -+-++--.分析：本题将21x x +-当作一个整体，恰好合并为0，在此切实注意符号变化.解：原式=322)1()1(15x x x x x -+-++--=.153x - 三、整体转化例 3 当3-=x 时，式子535-++cx bx ax 的值是7，那么当3=x 时，此式子的值是 .分析：本题利用m 的奇次幂与（m -）的奇次幂互为相反数来求解.注意将cx bx ax ++35作为一个整体来转化求值.解：当3-=x 时，535-++cx bx ax =7，即cx bx ax ++35=12，所以当3=x 时，所以cx bx ax ++35=－12，所以535-++cx bx ax =－12－5=－17.四、整体替换例4 三角形第一边长为b a 23+，第二边长是第一边长的2倍少1，第三边长是第二边长的32，求这个三角形的周长.分析：由题意可设A=b a 23+，则第二边长为2A －1，第三边长为2(32A －1），所以周长为A+2A －1+2(32A －1）. 解：设A=b a 23+，则这个三角形的周长为：A+2A －1+2(32A －1）=A+2A －1+34A －32 =313A －35，将A=b a 23+代入313A －35，即313A －35=313(b a 23+)－35=13.35326-+b a 所以这个三角形的周长为13.35326-+b a妙用整体思想求整式的值有的代数式求值往往不直接给出字母的取值，而是通过告诉一个代数式的值，且已知代数式中的字母又无法具体求出来，这时，我们应想到采用整体思想解决问题，用整体思想求值时，关键是如何确定整体。
整体代入求值五例
整体代入求值五例作者：陆敬雨来源：《新课程·下旬》2018年第11期整体思想是数学教学中的一种重要的数学思想。
整体代入可以解决一些复杂的代入求值问题。
整体代入求值大致可分为，直接整体代入、取相反数之后整体代入、变形后整体代入、多次整体代入和幂的运算有关的整体带入等几种常见情况。
一、直接整体代入这种情况是指一些比较简单的代入求值问题，对已知条件不需要处理便可以直接代入计算。
例如：已知x-y=7，求代数式x-y-3的值。
解析：此题只要把x-y当做整体即可。
即：x-y-3=7-3=4二、取相反数后整体代入这种题型是表面上看起来已知条件和要求值的代数式没有明显关系，其实是已知条件和代数式的部分项是互为相反数关系。
例如：已知x-y=7，求代数式3-x+y的值。
解析：从题目上看出x-y与-x+y互为相反数。
因为x-y=7所以-x+y=-7所以原式=3-7=-4三、变形后整体代入这种题型虽然比上面两种情况稍复杂一些，但是利用等式性质对已知条件进行一些简单变形后就可以整体代入顺利求出原代数式的值。
例1.已知4x2-2y+5=7，求2x2-y+1的值。
解析：由4x2-2y+5=7两边同时减5可得：4x2-2y=2两边同时除以2得：2x2-y=1把2x2-y=1整体代入得：2x2-y+1=1+1=2例2.已知=3，求的值。
解析：因为=3两边同时乘以xy得：y-x=3xy两边同时乘-1得：x-y=-3xy原式=把x-y=-3xy作为整体代入得：原式=四、变形后多次整体代入这种题型表面上看，已知条件和所要求值的代数式没有明显的关系，只要我们仔细观察，对已知条件和所要求值的代数式适当变形，就可以发现它们之间的关系。
例1.已知x2+x-1=0，求x3+2x2+2013的值。
解析：因为x2+x-1=0所以x3+x2-x=0所以x3+x2=x所以x3+2x2+2013=x3+x2+x2+2013把x3+x2=x整体代入得：原式=x+x2+2013又因为x2+x-1=0所以x2+x=1所以原式=1+2013 （x2+x=1整体代入）=2014例2.已知a-b=2，b-c=1，求a（a-b）-2c（b-c）的值。
思维特训(八) 整体法求整式的值
思维特训(八)整体法求整式的值方法点津·1．整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．2．根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．典题精练·类型一已知一个代数式的值进行整体求值1．若mn＝m＋3，则2mn＋3m－5mn＋10＝________．2．理解与思考：在某次作业中有这样的一道题：“如果式子5a＋3b的值为－4，那么式子2(a＋b)＋4(2a ＋b)的值是多少？”小明是这样来解的：原式＝2a＋2b＋8a＋4b＝10a＋6b.把等式5a＋3b＝－4的两边同乘2，得10a＋6b＝－8.仿照小明的解题方法，完成下面的问题：(1)如果a2＋a＝0，那么a2＋a＋2019＝________；(2)已知14x－21x2＝－14，求9x2－6x－5的值；(3)已知a－b＝－3，求3(a－b)－5a＋5b＋5的值；(4)请你仿照以上各题的解法，解决下列问题(写出必要的解题过程)：若a－b＝4，求如图8－S－1所示两个长方形的面积差，即S1－S2的值．图8－S－1类型二已知两个代数式的值进行整体求值3．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m＋n＝－2，mn＝－4，则2(mn－3m)－3(2n－mn)的值为________．4．若a＋c＝2019，b＋d＝－2019，则(a＋b＋c－d)＋(a＋b＋d－c)＋(a＋c＋d－b)－(a －b－c－d)＝________．5．阅读下面例题的解题过程，再解答下面的问题．例题：已知m－n＝100，x＋y＝－1，求(n＋x)－(m－y)的值．解：(n ＋x)－(m －y)＝n ＋x －m ＋y ＝n －m ＋x ＋y ＝－(m －n)＋(x ＋y)＝－100－1＝－101.问题：(1)已知a ＋b ＝－7，ab ＝10，求(3ab ＋6a ＋4b)－(2a －2ab)的值；(2)已知a 2＋2ab ＝－2，ab －b 2＝－4，求2a 2＋72ab ＋12b 2的值． 6．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数(整体)． 根据提示解答下列问题．已知A ＋B ＝3x 2－5x ＋1，A －C ＝－2x ＋3x 2－5，当x ＝2时，求B ＋C 的值．详解详析1．1[解析] 原式＝－3mn ＋3m ＋10，把mn ＝m ＋3代入，得原式＝－3m －9＋3m ＋10＝1.2．解：(1)a 2＋a ＋2019＝0＋2019＝2019.(2)由14x －21x 2＝－14，得21x 2－14x ＝14，即3x 2－2x ＝2，则原式＝3(3x 2－2x)－5＝6－5＝1.(3)3(a －b)－5a ＋5b ＋5＝3(a －b)－5(a －b)＋5＝－2(a －b)＋5.当a －b ＝－3时，原式＝11.(4)两个长方形的面积差是S 1－S 2＝4(5a －2b)－3(6a －2b)＝20a －8b －(18a －6b)＝2a －2b ＝2(a －b)．当a －b ＝4时，S 1－S 2＝2×4＝8.3．－8[解析] 因为m ＋n ＝－2，mn ＝－4，所以原式＝2mn －6m －6n ＋3mn ＝5mn －6(m ＋n)＝－20＋12＝－8.4．－2 [解析] 因为a ＋c ＝2019，b ＋d ＝－2019，所以原式＝a ＋b ＋c －d ＋a ＋b ＋d －c ＋a ＋c ＋d －b －a ＋b ＋c ＋d ＝2a ＋2b ＋2c ＋2d ＝2(a ＋b ＋c ＋d)＝－2.5．解：(1)(3ab ＋6a ＋4b)－(2a －2ab)＝3ab ＋6a ＋4b －2a ＋2ab＝5ab ＋4a ＋4b＝5ab ＋4(a ＋b)．当a ＋b ＝－7，ab ＝10时，原式＝5×10＋4×(－7)＝22.(2)把a 2＋2ab ＝－2左右两边同乘2，得2a 2＋4ab ＝－4，把ab －b 2＝－4左右两边同乘12， 得12ab －12b 2＝－2. 所以2a 2＋72ab ＋12b 2＝2a 2＋4ab －(12ab －12b 2)＝－4－(－2)＝－2. 6．解：因为A ＋B ＝3x 2－5x ＋1，A －C ＝－2x ＋3x 2－5， 所以B ＋C＝(A ＋B)－(A －C)＝3x 2－5x ＋1－(－2x ＋3x 2－5)＝3x 2－5x ＋1＋2x －3x 2＋5＝－3x ＋6，把x ＝2代入上式，得B ＋C ＝－6＋6＝0.。
整体代入求值五例
探索篇•方法展示整体思想是数学教学中的一种重要的数学思想。
整体代入可以解决一些复杂的代入求值问题。
整体代入求值大致可分为，直接整体代入、取相反数之后整体代入、变形后整体代入、多次整体代入和幂的运算有关的整体带入等几种常见情况。
一、直接整体代入这种情况是指一些比较简单的代入求值问题，对已知条件不需要处理便可以直接代入计算。
例如：已知x-y =7，求代数式x-y -3的值。
解析：此题只要把x-y 当做整体即可。
即：x-y -3=7-3=4二、取相反数后整体代入这种题型是表面上看起来已知条件和要求值的代数式没有明显关系，其实是已知条件和代数式的部分项是互为相反数关系。
例如：已知x-y =7，求代数式3-x+y 的值。
解析：从题目上看出x-y 与-x+y 互为相反数。
因为x 原y =7所以-x+y =-7所以原式=3-7=-4三、变形后整体代入这种题型虽然比上面两种情况稍复杂一些，但是利用等式性质对已知条件进行一些简单变形后就可以整体代入顺利求出原代数式的值。
例1.已知4x 2-2y +5=7，求2x 2-y +1的值。
解析：由4x 2-2y +5=7两边同时减5可得：4x 2-2y =2两边同时除以2得：2x 2-y =1把2x 2-y =1整体代入得：2x 2-y +1=1+1=2例2.已知1x -1y =3，求2x +3xy -2y x -2xy-y 的值。
解析：因为1x -1y=3两边同时乘以xy 得：y-x =3xy 两边同时乘-1得：x-y =-3xy原式=2x -2y +3xy x-y -2xy =2（x -y ）+3xy （x-y ）-2xy把x-y =-3xy 作为整体代入得：原式=2（-3xy ）+3xy -3xy -2xy =-6xy +3xy -5xy =-3xy -5xy =35四、变形后多次整体代入这种题型表面上看，已知条件和所要求值的代数式没有明显的关系，只要我们仔细观察，对已知条件和所要求值的代数式适当变形，就可以发现它们之间的关系。
整体带入求值知识点总结
整体带入求值知识点总结知识点总结是对所学知识进行系统梳理和深入理解的过程，通过总结知识点可以更好地掌握和应用知识，提高学习效率和成绩。
本篇文章将从整体带入求值知识点的角度进行总结，通过对相关概念、理论和方法的梳理和分析，帮助读者更好地理解和应用整体带入求值知识点。
二、整体带入求值的概念及特点整体带入求值是指在解决问题时，将整体作为一个整体考虑，而不是分解为各个部分来独立求解。
整体带入求值的特点主要包括：一是对整体的认识和了解，二是对整体的分析和综合，三是对整体的评价和优化。
整体带入求值将问题整体化处理，强调整体性、系统性和综合性，有利于发现整体间的相互关系和影响，提高问题解决效率和质量。
三、整体带入求值的基本方法整体带入求值有几种基本方法，包括系统分析法、整体优化法和综合评价法。
系统分析法是先对整体进行系统分析，分析整体的结构和功能，找出整体问题的关键因素和瓶颈环节，再针对关键因素和环节进行系统优化。
整体优化法是通过对整体现状进行深入了解，找出整体存在的问题和不足，然后提出整体优化方案，对整体进行系统改进和优化。
综合评价法是对整体进行综合性评价，从多个角度对整体进行综合评估，找出整体的优劣势和改进空间，为整体优化提供参考和支持。
四、整体带入求值的应用领域整体带入求值方法在许多领域都有广泛的应用，如经济管理、工程技术、环境保护和社会发展等。
在经济管理领域，整体带入求值可以用于企业管理、市场营销和生产布局等方面，帮助企业发现问题和挖掘潜力，提高综合竞争力和盈利能力。
在工程技术领域，整体带入求值可以用于工程设计、工艺改进和设备优化等方面，帮助提高工程质量和效率，降低成本和风险。
在环境保护领域，整体带入求值可以用于生态保护、资源开发和环境治理等方面，帮助实现可持续发展和生态平衡。
在社会发展领域，整体带入求值可以用于教育体系、医疗卫生和城乡规划等方面，帮助提高社会服务水平和民生福祉。
五、整体带入求值的价值和意义整体带入求值方法具有重要价值和意义，主要体现在以下几个方面：1. 提高问题解决效率和质量。
三角函数整体法
三角函数整体法
三角函数是数学中的重要分支，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、
余切函数、正割函数和余割函数等。
它们在物理学、工程学和计算机科学等
领域中都有广泛的应用。
三角函数可以通过整体法来求解。
所谓整体法，就是将三角函数中的正
弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数看作一个整体，然后求解这个整体。
具体来说，可以将正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数看作一个
整体，即正弦函数(s)、余弦函数(c)、正切函数(t)和余切函数(c)，它们的和
为1。
在求解这个整体时，可以将正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数
分别表示为一个函数，然后将它们相加得到整体函数。
这个整体函数的求解
过程，就是三角函数整体法的核心思想。
可以看将其作是将三角函数中的各
个函数看作一个整体，然后求解这个整体。
这种方法可以大大简化三角函数
的求解过程，提高求解效率。
在实际应用中，三角函数整体法可以用于求解各种三角函数的值，如正
弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数的值，以及正割函数和余割函数的
值等。
三角函数整体法是求解三角函数的一种重要方法，可以大大简化三角
函数的求解过程，提高求解效率。
在实际应用中，三角函数整体法可以用于
各种数学问题，如求解正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数的值，以
及正割函数和余割函数的值等。
【同步讲练】整体思想在整式求值中的运用(电子版可下载)
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
类型1整体代入求值在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形，再整体代入求值，使问题化繁为简.例1 已知a-2b=3,求（a-2b）2+1的值.解：当a-2b=3时，（a-2b）2+1=32+1=10.变式1 已知a-2b=3,则2a-4b+1的值为.变式2 已知a-2b=3,则1-a+2b的值为.变式3 已知a-2b=3,则8-3a+6b的值为.变式4 已知a-2b=3,则b-a/2+1的值为.【方法总结】整体代入求值:我们将已知条件看成一个整体，根据关键因素进行倍数提取及括号添加，从而将所求代数式与已知条件建立关系。
类型2整体加减求值在求代数式的值时，先将所给的2个及以上条件进行适当的变形，然后通过加减转化为所要求的代数式。
例2 m2-mn=3,mn-n2=5,求下面式子的值.（1）m2-n2;（2）m2-2m n+n2;（3）2m2+m n-3n2;解：（1）原式=（m2-m n）+（m n-n2）=3+7=10.（2）原式=（m2-m n）-（m n-n2）=3-7=-4.（3）原式=2（m2-m n）+3（m n-n2）=2×3+3×7=27.【方法总结】整体加减代入求值一般有两个条件，我们将两个条件看成两个整体，根据所求代数式各项的系数进行适当变形，然后进行加减.从而将所求代数式与已知两个条件建立关系。
【针对训练】已知a2＋b2＝6，a b＝－2，求(4a2＋3a b－b2)－(7a2－5ab＋2b2)的值．类型3整体构造法求值在求多项式的系数相关数值时，我们通常令x等于某一特殊值，从而求出部分系数和的值.例3：已知（x+1）4=a+b x+c x2+d x3+e x4,则a=.【分析】令x=0,则（1+0）4=a,则a=1.变式1已知（x+1）4=a+b x+c x2+d x3+e x4,则a+b+c+d+e=.变式2已知（x+1）4=a+b x+c x2+d x3+e x4,则a-b+c-d+e=.变式3已知（x+1）4=a+b x+c x2+d x3+e x4,则b+d=.【方法总结】整体构造法求值一般为代数式的展开式，根据所求系数，可以令x为适当的值，从而将所求系数和与左侧代数式的值建立关系.若对x赋值一次无法直接求出部分系数之和，我们可进行两次赋值，然后利用整体加减法进行处理.1．已知x－2y＝5，那么5(x－2y)2－4(x－2y)－60的值为( ) A．55 B．45 C．80 D．402．已知式子3y2－2y＋6的值是8，那么y2－y＋1的值是( ) A．1 B．2 C．3 D．43．若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值为( ) A．3 B．2 C．1 D．－14．若式子2x2＋3x＋7的值是8，则式子4x2＋6x－9的值是( ) A．2 B．－17 C．－7 D．75．已知x2＋2x－1＝0，则3x2＋6x－2＝．6．如果m，n互为相反数，那么(3m－2n)－(2m－3n)＝．7．(广东中考)已知x＝2y＋3，则式子4x－8y＋9的值是．8．若2a－b＝2，则6＋4b－8a＝．9．若a2－5a－1＝0，则5(1＋2a)－2a2的值为．10．已知a2＋b2＝6，ab＝－2，求(4a2＋3ab－b2)－(7a2－5ab＋2b2)的值．。