概率论与数理统计：泊松分布

泊松分布

教学目标：

1.了解泊松分布与二项分布的关系。.

2. 理解二项分布模型，并能应用泊松分布解决实际问题。

教学重难点：理解泊松分布定理，并能应用泊松分布解决实际问题。

一、类比关联：

贝努利试验（伯努利试验） ：一个试验E 只有两个可能结果：每次试验成功的概率都是p ，失败的概率都是q=1-p .

则称E 为贝努利（伯努利）试验或贝努利（伯努利）概型。 而人们所关心的问题是：事件A 恰好发生k 次的概率是多少？若在n 重贝努利试验中，事件A 发生的次数为X ，则X 的可能的取值为0, 1, …, n 。

二项分布、两点分布（0—1分布）

如果离散型随机变量X 可能取的值为0, 1, 2, …, n 。 且其分布律为

则称离散型随机变量X 服从二项分布，记为

特别地，当n =1时， 即为 （0--1）分布。

二、新知导入

引例：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。

解：将一次射击看成是一次试验（贝努利试验），设击中的次数为X ，则

X 的分布律为

所以所求概率为

).02.0,400(~b X )10(<

n C ≤≤-==-).0(,)1(}{n k p p k X P k n k k

n C ≤≤-==-).

,(~p n b X ).,1(),(p b p n b =.

400,,2,1,098.002.0}{400400 ===-k k X P k k k C

计算不方便，于是有如下定理解决了这类计算问题。

定理(泊松定理): 对二项分布 B (n ,p ), 当 n 充分大, p 又很小时,对任意固定的非负整数 k ，有近似公式

,2,1,0,

!)1(lim ==---∞→k k e p p C k

k n k k n n λλ

（泊松分布）设随机变量 X 所有可能取的值为: 0, 1, 2,…, 概率分布为：

其中λ>0为常数，则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，记为 X~P （λ）。 说明：二项分布的逼近分布就是泊松分布)(λP ， 其中np ≈λ。

泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n 很大，p 很小时，二项分布就可近似地看成是参数λ=np 的泊松分布，如下图所示的就是在10重贝努力试验中，红色折线表示的二项分布和对应的蓝色折线表示泊松分布的概率分布图像，大家会发现两者近似程度很高。

三、实际应用

例1.某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X 服从参数 λ=3 的泊松分布。求：

(1) 一分钟内恰好收到3次寻呼的概率；

9972

.0=3991140098.002.0C -4000040098.002.01C -=}1{}0{1=-=-=X P X P }2{≥X P {}, 0, 1, 2, .

!k

P X k e k k λλ-===

(2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率。

解：(1)P {X =3} = P (3; 3) = (33/3!)e -3 ≈ 0.2240；

(2) P {2≤X ≤5}= P {X =2} + P {X =3} + P {X =4} + P {X =5}

= [ (32/2!) + (33/3!) + (34/4!) + (35/5!) ]e -3≈ 0.7169.

例2. 某出租汽车公司共有出租车400辆，设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02，求:一天内没有出租车出现故障的概率。

解：设 X 表示一天内出现故障的出租车数, 则 X ∼ b (400, 0.02)。

令 λ = np = 400×0.02 = 8 ，于是,

P {一天内没有出租车出现故障} = P {X=0} = b (0;400,0.02) = 0.98400 =0.000309 ≈(80/0!)e -8 = 0.0003355.

例3．考察通过某交叉路口的汽车流。若在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。

记X 为一分钟内通过的车辆数，假设X ～)(λP 。记η为两分钟内通过的车辆数，则η～)2(λP 。 又)0(=X P =λ-e = 0.2， 故5ln =λ， 所求为

∑∞=----==-=-===>2

2221)1()0(1)()1(k e e P P k P P λ

λληηηη 831.05ln )252(2524≈-=

练习1：设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年内这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率。

解： 记X 为未来一年中死亡的人数,对每个人来说，在未来一年内是否死亡相当于做一次贝努里试验，则X ~ B （1000，0.005），而这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率为：

()k k k k X P -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≤100010

0)995.0(005.01000)10( 二项分布的逼近：设),(~p n B X ，当n 很大，p 很小，且np =λ适中时，有 (),,10000.0055!k

P X k e k λλλ-===⨯=因此有

≈

≤)10(X P 986.0!100≈-=∑λλe k k k

练习2：某人进行射击, 每次命中率为0.02, 独立射击400次, 求命中次数X ≥ 2的概率. 解: 显然, X ~ B(400, 0.02), 则